Kvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Kvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia"

Aki Melasniemi
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Kvanttimekaniikka I.. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Olkoon H systeemin Hamiltonin operaattori, ja A jotakin observaabelia kuvaava operaattori. Johda Ehrenfestin teoreema d A dt = ī [A, H] + A h t. (b (4p. Tarkastellaan δ-funktiopotentiaalia V ( = αδ(, missä α >. Ratkaise sidotut tilat E <. Toisin sanoen, etsi Schrödingerin yhtälön ratkaisut alueissa < ja > ja vaadi aaltofunktion jatkuvuus pisteessä =. Huomaa, että aaltofunktion derivaatta ei nyt ole jatkuva pisteessä =, mutta epäjatkuvuuden voi määrätä stationaarisen Schrödingerin yhtälön avulla. Osoittautuu, että sidottuja tiloja on tasan yksi. Mikä on ko. tilan energia ja vastaava normitettu ominaisfunktio?. Tarkastellaan Hamiltonin operaattoria missä H = H + H, ( E H =, H E = ( ia, ia ja häiriö a E E kun E E ja a E jos E = E. Ominaisenergioita E ja E vastaavat häiritsemättömän järjestelmän ominaistilat ( ( ( =, ( =. (a (p. Oletetaan E E, eli järjestelmällä on kaksi degeneroitumatonta ominaisenergiaa. Laske häiriöteoriaa käyttäen ensimmäisen ja toisen kertaluvun korjaukset energioihin E ja E. (b (p. Olkoon sitten E = E. Laske häiriöteoreettiset ensimmäisen kertaluvun energiakorjaukset tässä tapauksessa. (c (p. Ratkaise Hamiltonin operaattorin H = H + H ominaisarvot eksaktisti ja vertaa edellisissä kohdissa laskemiisi tuloksiin. Kehitelmästä + + / +... saattaa olla apua.

2 . Tarkastellaan spin- hiukkasen (hiukkanen ja spin-/ hiukkasen (hiukkanen muodostamaa systeemiä. (a (p. Kirjoita kaikki kytketyn kannan tilat kytkemättömien tilojen avulla. (Clebsch- Gordan-kertoimet saa katsoa taulukosta. (b (p. Olkoon systeemin Hamiltonin operaattori H = E h S S, missä E on vakio ja S ja S ovat hiukkasten ja spinoperaattorit. Mitä tuloksia on mahdollista saada kun systeemin energia mitataan? (c (p. Oletetaan, että kummankin hiukkasen spin on mitattu z-akselin suunnassa ja saatu tulos + h hiukkaselle ja + h/ hiukkaselle. Jos välittömästi tämän mittauksen jälkeen mitataan systeemin energia, niin mitkä ovat eri energian arvoihin liittyvät todennäköisyydet? 4. (a (p. Sironta-amplitudi elastiselle sironnalle potentiaalista V (r on f k (θ, φ = π d r Φ k f (r U(r Ψ ki (r, missä k f on sironneen hiukkasen aaltovektori ja k i on hiukkasen aaltovektori ennen sirontaa, k f = k i = k = µe/ h, ja Φ kf (r = e ik (π / f r, ja U(r = µ V (r. Aaltofunktio Ψ h ki (r toteuttaa integraaliyhtälön Ψ k (r = Φ k (r + d r G k (r r U(r Ψ k (r, missä G k (r r on operaattorin + k Greenin funktio (jonka eksplisiittistä muotoa ei tarvita tässä tehtävässä. Selitä miten sironta-amplitudin Bornin kehitelmä muodostetaan ja kirjoita kehitelmän kaksi ensimmäistä termiä eksplisiittisesti. Osoita, että Bornin approksimaatiossa sironta-amplitudi on oleellisesti potentiaalin Fourier muunnos: f B (θ, φ = µ 4π h d re i(k i k f r V (r. (b (p. Rutherfordin sirontakoe osoitti Thomsonin rusinakakkumallin atomin rakenteelle vääräksi. Oleta ydinaineen positiiviselle varaustiheydelle jakauma ρ N ( = Ze (π / a e /(a pistemäisen varausjakauman ρ N ( = Zeδ( sijaan. Laske differentiaalinen vaikutusala alfafiukkasen sironnalle atomista käyttäen Bornin approksimaatiota. Voit jättää huomiotta atomin elektronit olettamalla ne kevyiksi ytimen läpi jyräävään alfahiukkaseen verrattuna. Vertaa saamaasi tulosta pistemäisen varausjakauman differentiaaliseen vaikutusalaan dσ dω point = (m (ZZ e 6( hk sin 4 (θ/

3 HYÖTYTIETOA: Fouriermuunnos: f(p = d (π e ip f( f( = d p (π eip f(p Sopivin oletuksin funktioille f( ja g( pätee: d d (π f( g( = (π ( f(g(. g( = /(σ (πσ / e σk g(k = e Pallokoordinaatit ja palloharmoniset funktiot: = r r (r r h r ˆL d r = r drdω = r dr sin θdθdϕ dω = 4π Y (θ, ϕ = R = ˆL = h [ sin θ Y lm (θ, ϕ = ( m+ m ˆL Y lm (θ, ϕ = h l(l + Y lm (θ, ϕ ˆLz Y lm (θ, ϕ = hmy lm (θ, ϕ θ (sin θ θ + ] sin θ ϕ l + 4π dω Y l m (θ, ϕy lm(θ, ϕ = δ ll δ mm (l m! (l + m! P m l (cos θe imϕ Y l, m (θ, ϕ = ( m Y l,m(θ, ϕ Pl k (z = ( z k/ dk dz P l(z P k l (z = d l l l! dz l (z l Y (θ, ϕ = Y (θ, ϕ = 4π 4π cos θ Y ±(θ, ϕ = sin θe±iϕ 8π 5 ( cos θ 5 5 Y ± (θ, ϕ = 6π 8π cos θ sin θe±iϕ Y ± (θ, ϕ π sin θe ±iϕ Vetyatomin(kaltaisen ionin elektronin aaltofunktiot: R nl (r = Ψ nlm ( = R nl (ry lm (θ, ϕ κ = Z na (n l! (κ n(n + l! (κrl e κr L l+ n l (κr Lq p( = a = 4πɛ h µe ( / Z e Zr/a R = ( / ( Z Zr e Zr/a R = a a a 6 p ( k (p + q! k (p k!(q + k!k! k= ( 5/ Z re Zr/a a

4 Besselin ja von Neumannin pallofunktiot: r d R(r dr + r dr(r dr + [ (kr l(l + ] R(r = R(r = Aj l (kr + Bn l (kr j l ( = l l j ( = sin s= ( s (s + l! s!(s + l +! s j ( = sin cos n l ( = ( l+ l l+ n ( = cos s= ( s (s l! s!(s l! s n ( = cos sin Integrointiapuja: d n e a = n! a n+, de a = π a, Resf(z ( d n [(z z z=z = lim n f(z], z z (n! dz Trigonometriaa: d n e a = C dzf(z = πi 5 (n + π/ n/ a (n+/ n Resf(z z=zj. j= cos = cos sin, cos + sin = Pyörimismäärä: Ĵ j, m = h j(j + j, m, Ĵ z j, m = hm j, m Ĵ ± = Ĵ ± iĵy, Ĵ ± j, m = h (j m(j ± m + j, m ± Sarjoja: [Ĵi, Ĵj] = i h ɛ ijk Ĵ k, [Ĵ, Ĵi] = k= e = n= Paulin matriisit: n n! σ = ( cos = ( n n (n! n= σ y = ( i i sin = σ z = n= ( n n+ (n +! ( [σ i, σ j ] = iɛ ijk σ k {σ i, σ j } = δ ij ( σ a( σ b = ( a b + i( a b σ Häiriöteoria: E n ( = n V n, E n ( = m n n V m E n ( E m (

5 4. Clebsch-Gordan coefficients - 4. CLEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS, SPHERICAL HARMONICS, AND d FUNCTIONS Note: A square-root sign is to be understood over every coefficient, e.g., for 8/5 read 8/5. m m + Y = 4π cos θ 5/ / m +/ +/ +5/ 5/ / m Coefficients +/ +/.. +/ / / / + +/ Y =.. / +/ / / sin θeiφ + / /5 4/5 5/ /.. / / 8π + +/ 4/5 /5 +/ +/ 5 ( Y = 4π cos θ + / /5 /5 5/ / +/ /5 /5 / / / / +/ / / / /5 /5 5/ / + +/ +/ +/ 5 Y = +/ /5 /5 / / sin θ cos θeiφ 8π + / / / / / / 4/5 /5 5/ Y = / / + / / +/ / / +/ /5 4/5 5/ 5 4 π sin θe iφ +/ +/ + + / / / / / +/ / / / +/ / /4 /4 +/ +/ /4 /4 / 5/ + / +/ / / / +5/ 5/ / / + +/ +/ / +/ / / + / / +/ /5 /5 5/ / / / / /4 /4 + + / / / + /5 /5 +/ +/ +/ / +/ /4 /4 + /5 / /5 +/ / /5 / / / + 8/5 /6 / +/ /5 /5 / 5/ / / + + /5 / / / + / 8/5 /6 / / / /5 / / +/ / 8/5 /6 + / / /5 /5 / /5 /5 / 5/ / + / / + /5 / / / + / /5 / / / + /6 / / /5 / / / /5 /5 5/ / / 8/5 /6 / / /5 /5 5/ + /6 / / + /5 / /5 / Yl m =( m Yl m / / / / / / / / j j m m j j JM 4π d l =( J j j j m, = j m m j j JM l + Ym l e imφ / / Notation: d j m,m =( m m d j m,m = d j / / m, m + d, =cosθ d/ /,/ =cosθ d, = + cos θ +/ +/ + + / 7/ +/ +/ / / d / /, / = sin θ d, = sin θ +7/ 7/ 5/ +/ +/ / / / +5/ +5/ +/ / /5 / / + +/ /7 4/7 7/ 5/ / +/ +/ /5 /5 d, = cos θ + +/ 4/7 /7 +/ +/ +/ / +/ /5 / / + / /7 6/5 /5 +/ / / /4 9/ /4 + +/ 4/7 /5 /5 7/ 5/ / / 4 +/ / 9/ /4 / /4 +/ /7 8/5 /5 +/ +/ +/ +/ +4 4 / +/ 9/ /4 / / / /5 6/5 /5 /5 / +/ / /4 9/ /4 + / /5 5/4 / + + / / / / / 8/5 7/ 5/ +/ 4/5 7/7 / / / +/ / /5 / / /5 /5 /5 / / / /5 /5 /5 / / / / +/ /5 / / + /4 / /7 + / 4/5 7/7 /5 / + + 4/7 /7 4 / / / / / 8/5 /5 /5 /5 + /4 / / / / / / +/ /5 5/4 / 7/ 5/ / + /4 / /7 /5 +/ /5 6/5 /5 /5 / / / / / + /7 /5 /4 / / /7 8/5 /5 + /7 /5 /4 / 4 / 4/7 /5 /5 7/ 5/ + /4 / /7 /5 +/ /7 6/5 /5 5/ 5/ + /7 / /7 /5 /5 / 4/7 /7 7/ + 8/5 /5 /4 / /5 / /7 4/7 7/ 8/5 /7 /5 d / /,/ = + cos θ cos θ + 8/5 /5 /4 / /5 4 / + /7 / /7 /5 /5 + /4 / /7 /5 d / /,/ = + cos θ sin θ ( + cos θ d, = /7 /5 /4 / /7 /5 /4 / 4 + /4 / /7 /5 d / /, / = cos θ cos θ d + cos θ /4 / /7, = sin θ 4/7 /7 4 d / cos θ = sin θ 6 d /, /, = 4 sin θ d, = + cos θ /4 / /7 ( cos θ / / 4 d / /,/ = cosθ cos θ / / 4 d cos θ, = sin θ d, = sin θ cos θ d / /, / = cosθ+ sin θ ( cos θ d, = d, = cos θ ( ( cos θ + d, = cos θ Figure 4.: The sign convention is that of Wigner (Group Theory, Academic Press, New York, 959, also used by Condon and Shortley (The Theory of Atomic Spectra, Cambridge Univ. Press, New York, 95, Rose (Elementary Theory of Angular Momentum, Wiley, New York, 957, and Cohen (Tables of the Clebsch-Gordan Coefficients, North American Rockwell Science Center, Thousand Oaks, Calif., 974. The coefficients here have been calculated using computer programs written independently by Cohen and at LBNL. J M J M......

Samankaltaiset tiedostot

2m 2 r + V (r) ψ n (r) = ɛ n ψ n (r)

2m 2 r + V (r) ψ n (r) = ɛ n ψ n (r) Kvanttimekaniikka I. 5. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Tarkastellaan keskeisliikettä potentiaalissa V (r = V (r, missä r = r on keskeisliikkeeseen liittyvä suhteellinen etäisyys. Separoi Schrödingerin