L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )

Transkriptio

1 76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti pituuden dl verrn. Systeemin entropin luseke on SE, L) = [ ) ] 1 L θl 0 E L 0 + L 0 L 0 L 3, ) missä, θ j L 0 ovt positiivisi vkioit. ) Entropin äärirvo löydetään derivtn nollkohdst, 0 = ds L dl = L 0 L ) 0 L L = L 0. Tämä on mksimi, kosk d S/dL < 0. b) Reltiost 1) sdn ds = de/t F/T )dl. Toislt entropin SE, L) kokonisdifferentili on ) ) S S ds = de + dl E L L E = 1 ) S T de + dl, L missä ensimmäinen osittisderivtt on kirjoitettu luentojen mukisen termodynmisen lämpötiln 4.9) vull. Yhdistämällä tulokset sdn yhtälö de T F T dl = de ) S T + dl L E ) S F = T L Sijoitetn tähän kohdss ) lskettu entropin derivtt, jolloin nuhn tilnyhtälöksi sdn [ L F = T L 0 L )] 0 L 0 L [ ) ] L L0 = T. L 0 L L 0 E. E 1

2 c) Sisäiselle energille sdn luseke käyttämällä termodynmisen lämpötiln määritelmää j entropin lusekett ), 1 T = S E = [ [ ) ]] 1 L θl 0 E L 0 + L 0 E L 0 L 3 = θl 0 θl0 E θl 0 E = θ L 0T E = θl 0 T. 4 d) Trkstelln nuhn entropin muutost ds = de/t F/T ) dl. Isotermisessä prosessiss ensimmäinen termi häviää, kosk tällöin dt = 0 j kohdn c) tuloksen vull de dt = θl 0 T de = θl 0 T dt. Entropin muutos riippuu siis venymästä, jolloin kohdn b) tuloksen vull sdn ds = F T dl [ ) ] L L0 = dl L 0 L ) L 3 L 3 0 = dl. L 0 L Venytetyn nuhn tpuksess L > L 0, jolloin ds < 0, kun dl > 0 j ds > 0, kun dl < 0. Entropi siis i) pienenee, kun nuh venytetään j ii) ksv, kun nuh supistuu kohti lepopituuttn. e) Adibttisess prosessiss d Q = T ds = 0. Nollst poikkevss lämpötilss siis ds = 0, jolloin reltion 1) mukn de = F dl. Kohdn d) vull sdn ) θl 0 L 3 L 3 0 T dt = T dl L 0 L dt = ) L 3 L 3 0 dl. θl 0 L 0 L Venytetyn nuhn tpuksess L > L 0, jolloin dt > 0, kun dl > 0 j dt < 0, kun dl < 0. Lämpötil siis i) ksv nuh venytettäessä j ii) lskee nuhn supistuess.. Dieselmoottorin sylinterin tilvuus rv = V = 350 cm 3 = m 3, puristussuhde r = V / = 18,5 j ruiskutussuhde φ = V c / = 1,70. Puristusthdin luss sylinterissä on

3 P b QH c W d V rv Q C V Kuv 1: Hvinnekuv dieselmoottorin kiertoprosessist. ilm, joll on ympäristön pine P = 1 br = 100 kp j lämpötil T = 0,0 = 93,15 K. Oletetn, että ilm käyttäytyy kuten ideliksu, jonk ominislämpökpsiteetti vkiotilvuudess on CV m = 0,9 J/mol K), jolloin vkio γ = 1,40. ) Kuvn 1 mukisen neliviheisen kiertoprosessin lkupisteen pine j lämpötil ovt edellä minitut. Kosk prosessi b on dibttinen, se noudtt luentojen mukn yhtälöitä T V γ 1 = vkio.4) P V γ = vkio..7) Käyttämällä pisteessä tunnettuj rvoj sdn pisteen b lämpötilksi j pineeksi T V γ 1 = T b V γ 1 b V T b = T = T r γ 1 P V γ ) γ 1 = 93,15 K 18,5 1,40 1 = 941, K 670 = P b V γ b V P b = P = P r γ ) γ = 1 br 18,5 1,40 = 59, br 59,4 br. Prosessi b c on isobrinen, jolloin P c = P b j ideliksun tilnyhtälöstä P V = nrt seur, että T/V = P/nR) = vkio. Tällöin pisteen c lämpötilksi sdn pisteen 3

4 lämpötiln vull T b = T c V c T c = T b V c = T r γ 1 φ = 93,15 K 18,5 1,40 1 1,70 = 1601, K Prosessi c d on jälleen dibttinen j tilvuus V d = V kosk prosessi d on isokoorinen). Puristus- j ruiskutussuhteiden määritelmien vull sdn V d = V = r ) Vc = r φ V c V d = φ r, jolloin lämpötilksi pisteessä d sdn edellä esitettyjen tulosten perusteell T d = T c Vc V d ) γ 1 = T r γ 1 φ ) φ r = T φ γ ) γ 1 = 93,15 K 1,70 1,40 = 616,19531 K 340. Kosk prosessi d on isokoorinen, ideliksun tilnyhtälöstä seur P/T = nr/v = vkio, joten pisteen d pineeksi sdn P d T d = P T T d T = P d P φ γ = P d P P d = P φ γ = 1 br 1,70 1,40 =, br,10 br. b) Jos piste vlitn sisäisen energin nollkohdksi, E = 0 J. Lämpötiln äärellisessä muutoksess T = T T 1 ideliksun sisäisen energin muutos on luentojen mukn prosessist riippumtt E = C V T T 1 ),.35) 4

5 missä C V = ncv m. Ideliksun inemäärä voidn lske tilnyhtälön j esimerkiksi pisteen rvojen vull, jolloin lskuiss käytettävän kertoimen numerorvoksi sdn C V T = ncv m T = P V R Cm V Sisäisen energin muutos välillä b on siten välillä b c välillä c d j välillä d = 105 P m 3 8,31447 J mol 1 K 1 0,9 J mol 1 K 1 = 590, J. E b = C V T b T ) = C V T r γ 1 T ) = C V T r γ 1 1 ) = 590, J 18,5 1, ) = 1307,07304 J, E bc = C V T c T b ) = C V T r γ 1 φ T r γ 1) = C V T r γ 1 φ 1) = 590, J 18,5 1,40 1 1,70 1) = 138, J, E cd = C V T d T c ) = C V T φ γ T r γ 1 φ ) = C V T φ γ φr γ 1) = 590, J 1,70 1,40 1,70 18,5 1,40 1) = 1984, J E d = C V T T d ) = C V T T φ γ ) = C V T 1 φ γ ) = 650, J. Näiden vull sdn sisäiseksi energiksi pisteessä b pisteessä c E b = E + E b = 0 J ,07304 J 1310 J, E c = E b + E bc = 1307,07304 J + 138, J = 635,56075 J 640 J 5

6 j pisteessä d E d = E c + E cd = 635,56075 J 1984, J = 650,95807 J 650 J. c) Moottorin yhden kiertoprosessin ikn tekemä työ on syklin PV-digrmmiss olevn silmukn bcd sisään jäävä pint-l. Se voidn lske integroimll, tässä tpuksess helpoiten lskemll yhteen väleillä b c d tehdyt työt. Kosk prosessit b j c d ovt dibttisi, niissä Q = 0 j siten termodynmiikn ensimmäisen pääsäännön nojll E = W. Isokoorisess prosessiss d tehty työ on noll. Isobrisess polttoprosessiss b c tehty työ sdn integroimll pinett, W bc = V c P b dv = P b V c ) φ = P r γ ) r V V ) r = P V r γ 1 φ 1) = 10 5 P m 3 18,5 1,40 1 1,70 1) = 58, J, jolloin moottorin yhden syklin ikn tekemä työ W > 0) on W = W b + W bc + W cd = E b + W bc + E cd = 1307,07304 J + 58, J , J = 105,9831 J. Moottori ott vstn lämpöä välillä b c, joss sisäisen energin muutos E bc = Q H + W bc. Tästä sdn vstnotetuksi lämmöksi huom merkkivlint) d) Moottorin hyötysuhteeksi sdn Q H = E bc + W bc = 138, J + 58, J = 1856,94038 J. i) suorn nettotyön j vstnotetun lämpömäärän vull η = W Q H = 105,9831 J 1856,94038 J = 0, ,65 6

7 ii) luennoiss johdetun yhtälön vull η = 1 1 φ γ 1 γr γ 1 φ 1 1 1,70 1,40 1 = 1 1,40 18,5 1,40 1 1,70 1 = 0, , ) e) Kiertoprosessin mksimi- j minimilämpötilojen välillä toimivn lämpövoimkoneen hyötysuhteen teoreettinen ylärj on luennoiss esitetyn epäyhtälön 6.4) perusteell η mx = T H T C T H = T c T T c 1601, K 93,15 K = 1601, K = 0, ,8. 3. Syklin luss tilss jääkpin ilmsäiliön tilvuus V = 10,0 l = 10, m 3, pine P = 10,0 tm = P j lämpötil T = 80 = 353,15 K. Tilss b tilvuus on = 30,0 l = 30, m 3 j tilss c lämpötil T c = 0,0 = 73,15 K. Tilss d tilvuus on jälleen sm kuin tilss, V d = V. Ilm oletetn ideliksuksi, jonk moolinen lämpökpsiteetti vkiotilvuudess on CV m = 0,9 J/mol K). ) Tehtävässä kuvtun syklin PV-digrmmi on esitetty kuvss. Käyrät b j c d kuvvt dibttisi prosessej. P tm) d 10 c b V l) Kuv : Hvinnekuv jäähdyttimen kiertoprosessist. b) Lskuiss trvitn ksun määrää, jok sdn rtkistu ksun tilnyhtälöstä tiln 7

8 tietojen perusteell, n = P V RT sekä luennoiss määriteltyä kerroint = P 10, m 3 8,31447 J mol 1 K 1 353,15 K = 3, mol, γ = Cm P CV m = Cm V + R CV m = 0,9 J mol 1 K 1 + 8,31447 J mol 1 K 1 0,9 J mol 1 K 1 = 1, ) Til b: luentojen yhtälön.7) mukn dibttisess tilvuuden muutoksess b pineen j tilvuuden muutoksen välillä vllitsee reltio P V γ = vkio, jolloin P V γ = P b V γ b. Pine tilss b voidn siten rtkist, kun tunnetn pine tilss sekä tilojen j b tilvuuksien suhde, ) γ V P b = P ) 1, ,0 l = P 30,0 l = 18165,5654 P, tm. Toislt luentojen yhtälön.4) mukn dibttisess tilvuuden muutoksess pätee myös yhtälö T V γ 1 = vkio, jolloin T V γ 1 = T b V γ 1 b T b = T V ) γ 1 = 353,15 K = 8, K 45,0. ) 1, ,0 l 30,0 l Til c: kosk tilvuus ei muutu, = V c j pine voidn rtkist ideliksun 8

9 tilnyhtälön vull, nrt b P b = nrt c P c P c = P b T c T b = 18170,749 P 73,15 K 8, K = 6144,8096 P,6 tm. Til d: kosk prosessi c d on dibttinen, sdn edellä esitettyyn tpn pineeksi j lämpötilksi P d = P c Vc V d ) γ = 6144,8096 P = 11337,607 P 1,0 tm ) 1, ,0 l 10,0 l ) γ 1 Vc T d = T c V d ) 1, ,0 l = 73,15 K 10,0 l = 4, K 149,7. Tehtävännnoss nnetut j edellä lsketut suureet on koottu seurvn tulukkoon. Til Tilvuus l) Pine tm) Lämpötil ) 10,0 10,0 80,0 b 30,0, 45,0 c 30,0,6 0,0 d 10,0 1,0 149,7 c) Vlitn til energin nollkohdksi eli setetn E = 0 J. Ideliksun sisäinen energi riippuu vin sen lämpötilst, jolloin energin muutos ei riipu prosessin tiestä vn pelkästään lku- j loppulämpötiloist. Tällöin E on oltv kikiss prosesseiss sm kuin esimerkiksi vkiotilvuudess tphtuvss prosessiss, jolloin lämpötiln äärellisessä muutoksess sdn lämpökpsiteetin C V määritelmän.11) vull tulos E = C V T. Pisteessä b energiksi sdn siis, kun C V = ncv m, E b = E + E b = 0 + W b = nc m V T b T ) = 3, mol 0,9 J mol 1 K 1 8, K 353,15 K) = 9017, J 9,0 kj. 9

10 Pisteessä c energiksi sdn edellä lsketun perusteell E c = E + E c = E + Q c = E + nc m V T c T ) = 0 + 3, mol 0,9 J mol 1 K 1 73,15 353,15 K) = 5769,77664 J 5,77 kj j pisteessä d vstvsti E d = E + E d = E + Q d = E + nc m V T d T ) = 0 + 3, mol 0,9 J mol 1 K 1 4, K 353,15) = 508, J 5,03 kj. d) Q C on säiliön vstnottm j Q H luovuttm lämpö. Adibttisiss prosesseiss Q = 0, joten lämpöä siirtyy vin väleillä b c pine ksv vkiotilvuudess, jolloin säiliö vstnott lämpöä) j d pine lskee vkiotilvuudess, jolloin säiliö luovutt lämpöä). Vstnotetuksi lämmöksi sdn siten Q C = Q bc = nc m V T c T b ) = 3, mol 0,9 J mol 1 K 1 73,15 K 8, K) = 348, J 3,5 kj. Luovutetuksi lämmöksi sdn vstvsti Q H = Q d = Q d = nc m V T d T ) = 3, mol 0,9 J mol 1 K 1 4, K 353,15 K) = 508, J 5,03 kj, missä säiliöön siirtyvä lämpö välillä d on Q d < 0 eli säiliö luovutt lämpöä, jolloin positiivinen) luovutettu lämpömäärä Q H = Q d = Q d. Jääkpin tekemä työ on luovutetun j vstnotetun lämmön erotus, W = Q H Q C = 508, J 348, J = 1780,4378 J 1,78 kj. 10

11 e) Jääkpin tehokerroin sdn luentojen yhtälön 6.7) mukisesti vstnotetun lämmön suhteen tehtyyn työhön, ɛ r = Q C W = 348, J 1780,4378 J = 1, ,8. f) Lämpötilojen T C = 0,0 = 73,15 K j T H = 80,0 = 353,15 K välillä toimivn jääkpin tehokertoimen teoreettinen ylärj sdn luentojen mukisesti kylmemmän lämpötiln suhteest lämpötilojen erotukseen, T C ɛ r 6.8) T H T C ɛ mx 73,15 K r = 353,15 K 73,15 K = 3, ,4. Jos tehokertoimen teoreettinen ylärj kirjoitetn muotoon ɛ mx r = T H /T C 1) 1, nähdään, että lämpötilojen eron ksvess se pienenee. Esimerkiksi kuumn ympäristöön sijoitetun jääkpin tehokertoimen teoreettinen ylärj on siis huonompi kuin viileässä ympäristössä, mikäli jääkpin sisälämpötil pidetään smn. 4. Isobutnin CH 3 ) 3 CH höyrynpine j höyrystymislämpö ovt lämpötilss T = 10 = 83,15 K ovt P =,36 tm = 3917 P j L = 351 kj kg 1. Isobutni kiehuu 1 tm:n pineess 11,7 :n lämpötilss j sen moolimss on M m = 58,13 g/mol. Sylinteri on luksi ivn täynnä nestemäistä isobutni, jonk lämpötil T = +10,7 j mss on 100 g. ) Kun sylinterin tilvuutt ksvtetn isotermisesti j reversiibelisti, nestemäinen isobutni lk höyrystyä. Höyrynpine pysyy tilvuuden ksvuss vkion, kunnes kikki neste on höyrystynyt. Jos sylinterin tilvuutt ksvtetn kiken isobutnin olless ksumisen, sylinterissä olev pine lk lske. Kosk sylinterin tilvuutt ksvtetn isotermisesti, täytyy ksun ljenemiseen trvittvn lämpömäärän siirtyä systeemiin ulkopuolelt. b) Höyrystymislämpö L on höyrystymiseen trvittv lämpömäärä mssyksikköä kohti L = Q m. Isobutnin höyrystymiseen j ljenemiseen tilvuuteen V trvittv lämpömäärä on siten Q = ml = nm m L = P V RT M ml. 11

12 i) Kun höyryn tilvuus ksv nollst rvoon V = 5,00 l = m 3, ulkopuolelt siirtyy lämpömäärä 3917 P m 3 Q = 8,31447 J mol 1 K 1 83,15 K 0,05813 kg mol J kg 1 = 10361,0013 J 10,4 kj. ii) Vstvsti, kun höyryn tilvuus ksv rvoon V = 10,00 l = m 3, ulkopuolelt siirtyy lämpömäärä 3917 P m 3 Q = 8,31447 J mol 1 K 1 83,15 K 0,05813 kg mol J kg 1 = 07,0405 J 0,7 kj. c) Ksun höyrystyessä vkiopineess j ljetess tilvuuteen V sen tekemä työ on W = V 0 = P V. P dv Käyttämällä edellä lskettu yhtälöä ulkopuolelt siirtyvälle lämpömäärälle Q sdn työn j lämmön suhteeksi W Q = P V P V M RT ml = RT M m L = 8,31447 J mol 1 K 1 83,15 K 0,05813 kg mol J kg 1 = 0, ,5 %. Huomtn, että tämä ei riipu lopputilvuudest niin kun kuin pine pysyy vkion eli niin kun kuin höyrystymistä tphtuu. Kun kikki neste on höyrystynyt, pine ei pysy enää ljenemisen ikn vkion, jolloin myös suhde W/Q muuttuu. d) Sylinterin tilvuus ksv isotermisesti vielä 5 l, kun sitä on ikisemmin ljennettu 0 l. Trkstelln ensin nesteen j ksun määrää kyseisellä tilvuuslueell. Aluksi nestettä on 100 g. Systeemin höyrynpine pysyy vkion, kunnes kikki neste on höyrystynyt. Tällöin ksun tilvuus on V = nrt P = mrt M m P = 0,100 kg 8,31447 J mol 1 K 1 83,15 K 0,05813 kg mol P = 0, m 3 17 l. 1

13 Kikki neste höyrystyy, kun sylinterin tilvuus ksv luss 0 l. Ksun tekemä työ, kun tilvuutt ksvtetn vielä 5 l on W = nrt = mrt M m V V 1 ln dv V V V 1 ) = 0,100 kg 8,31447 J mol 1 K 1 83,15 K 0,05813 kg mol 1 ln = 903, J 904 J. ) 5 l 0 l Tilvuuden muutosprosessi on isoterminen j kun trksteltv ksu noudtt ideliksun tilnyhtälöä, on sen sisäisen energin muutos 1. pääsäännön nojll noll. Säiliöön bsorboituneest lämmöstä kikki 100 %) tulee siten ksun ljetess tekemästä työstä, kuten voitiin päätelläkin. 13