Kiertomatriisi Erikoistyö. Petri Rönnholm

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kiertomatriisi Erikoistyö. Petri Rönnholm"

Transkriptio

1 Kietomtiisi Eikoistö Peti önnholm

2 isälls JOHDANO KEOUUNNA 3 OMEGA-, PH- JA KAPPA-KEO 3 ALPHA-, N- JA KAPPA-KEO 5 5 KOLMULOEEN KEOMAN OMNAUUKA 7 6 KEOMAN KOVAAMNEN MLLÄ AHANA OOGONAALELLA MALLA 9 7 KEOMAN LAKEMNEN 3 PEEN JA KAMEAN POJEKOPEEN AVULLA 8 KEOMA OANA MUUNNOKA 8. Kolmiulotteinen hdenmuotoisuusmuunnos 8. Kollineisuushtälöt 8.3 Ktselupiste, -suunt j suhteellinen liikkuminen -mtii vull 3 LÄHEE Liitteet: Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen suuntkoien vull Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen geometisesti Liite 3: 3D kietomtii lskeminen D osmtiiseist Liite. odigues-mtii muodostminen

3 Johdnto Kietomtiisi on peustöklu kikenlisiin koodintistojen, pisteiden j kppleiden kietoihin. Kätännön toteutuksiss vlmiin kietomtii kättäminen on tehokst j kketist. Kietomtiisi sisältää kuitenkin pljon enemmän kuin enäkemältä voisi kuvitell. oislt se on tehoks töklu, mutt toislt ilmn hiemn svempää tuntemist sen knss voi tull llättäviä ongelmi. ämän tön on tkoitus koot kietomtii ominisuuksi, tulkintoj j muodostmistpoj ksiin knsiin. Kietosuunnt Kietojen mmätämiseksi on en mmäettävä kolmiulotteisen koodintiston sopimuksi. leensä kätetään oikekätistä koodintisto, jolloin koodinttikseleit voidn kuvt oiken käden somill kuv. Kuv. Oikekätisen koodintiston kselien suunnt voidn tkist settmll oiken käden peuklo, etusomi j etusomi kuvn esittämällä tvll. Vsenkätiseen koodintistoon voidn kättää vstvsti vsent kättä. On sovittu, että kieon suunt jonkin kselin mpäi ktsotn oigost kohti kselin ksvusuunt. Kieto mötäpäivään voidn tkist toisen somisäännön vull kuv, joss peuklo litetn kselin ksvusuuntn j muut somet tipuvt luonnollisesti mötäpäivään kselin mpäille. Kuv. Kun peuklo setetn kselin ksvusuuntn, muut somet osoittvt kieon mötäpäivään.

4 Etenkin, kun mietitään kietosuunti kksiulotteisess tpuksess, knntt oll eitisen huolellinen j kättää edellä minittuj muistisääntöjä. Kuvss 3 on esitett, miten kksiulotteisess kieoss ensisilmäs voi hämätä. Kieon suunt ei voi päätellä miettimättä mihin suuntn -kseli osoitt. A B C D Kuv 3. Kikiss kuviss lkupeäinen koodintisto on esitett htenäisellä viivll j kieett koodintisto ktkoviivll. Kieot ovt -kselin mpäi joko mötä- ti vstpäivään. A -kseli uppo ppein sisään, joten kieto on mötäpäivään. B -kseli nousee ppeist löspäin, joten kieto on vstpäivään. C Kieto on vstpäivään. D Kieto on mötäpäivään. euvss esitetään kieot mötäpäivään kunkin koodinttikselin mpäi. Kksiulotteisten kietomtiisien johtminen on esitett liitteissä j. Omeg-kieto ϖ -kselin mpäi mötäpäivään: ϖ osϖ ϖ ϖ osϖ Phi-kieto ϕ -kselin mpäi mötäpäivään: osϕ ϕ ϕ ϕ osϕ

5 Kpp-kieto -kselin mpäi mötäpäivään: os os 3 euvss esitetään kieot vstpäivään kunkin koodinttikselin mpäi. Omeg-kieto ϖ -kselin mpäi vstpäivään: ϖ osϖ ϖ ϖ osϖ Phi-kieto ϕ -kselin mpäi vstpäivään: osϕ ϕ ϕ 5 ϕ osϕ Kpp-kieto -kselin mpäi vstpäivään: os os 6 Kolmiulotteinen kietomtiisi sdn lskettu ketomll mtiisit käänteisesti hlutuss kietojäjestksessä. Esimekiksi, jos hlutn kietojäjestkseksi omeg, phi j kpp, kolmiulotteinen kietomtiisi stisiin htälöstä:. 7 ϖϕ ϕ ϖ Liitteessä 3 on esitett, miksi osmtiisien ketominen tehdään käänteisessä jäjestksessä kietojäjestkseen nähden. 3 Omeg-, phi- j kpp-kieot leisesti kätett tp on jtell kieot koodinttikselien mpäi siten, että ω on kieto -kselin mpäi, ϕ on kieto -kselin mpäi j on kieto -kselin mpäi. euvss on esitett kietomtiisi, joss kietojäjests on ωϕ j kikki kieot ovt positiivisi mötäpäivään kseliins nähden kuv 3

6 osϕ os ωϕ osϕ ϕ osω ω ϕ os osω os ω ϕ ω osϕ ω osω ϕ os osω osω ϕ osω osϕ 8 Homogeenisess koodintostoss mtiisi voidn kijoitt: ωϕ Kietomtii elementtien...nn indeksöinti on vlittu niin, että se vst fotogmmetisten kollineisuushtälöiden leisestä kätäntöä. Mtiisi tekee muunnoksen lkupeäisestä koodintistost kietneeseen koodintistoon. Fotogmmetisiss tehtävissä leensä jtelln, että kohdekoodintisto on lkupeäinen j kmen koodintisto on kietnt. Mtiisi siis kätetään muunnokseen kohdekoodintistost kmekoodintistoon. Kun hlutn tehdä muunnos kmekoodintistost kohdekoodintistoon, kätetään kietomtii tnspoosi ϖϕ. Kpp- ϖϕ leess keotn tkemmin, miksi näin voi tehdä. ϖϕ χ ϕ o ω Kuv. Kieot -, - j -kselien mpäi ovt positiivisi mötäpäivään. Kietomtii elementtien lskentkvt muuttuvt, jos kietojäjeststä ti kietojen positiivisi suunti muutetn. Mtii elementeistä tulee kuitenkin numeeisesti smt huolimtt vlitust jäjestelmästä. Jos on olemss tunnettu kietomtiisi, voidn siitä lske käänteisesti kieot esimekiksi kvoill: tn 3 ω, 3 ϕ, tn.

7 Kietomtiisi ei ole ksiselitteinen. m kietomtiisi voidn muodost khdell eilisell ωϕ-hdistelmällä. ämän johdost tulee eikseen tkist, että sdut kulmt ovt hlutuss neljänneksessä. [7], [3] Alph-, n- j kpp-kieto Kietomtiisi voidn muodost mös kuvussuunnn tsimuutin α, kuvkllistuksen ν j kuvkieon vull kuv 5. Eitisesti viistokuvuksiss tämä kietojäjestelmä on helpompi mieltää kuin ωϕ-kieot. Kietomtiisi kietojäjestksessä αν, joss kikki kieot ovt positiivisi mötäpäivään on muoto [] osα os α osν α os osα osν ν αν osα α osν os α osα osν os ν os α ν osα ν osν Kietomtii elementtien... indeksöinti on vlittu niin, että se vst fotogmmetisten kollineisuushtälöiden leisestä kätäntöä. Mtiisi αν tekee muunnoksen lkupeäisestä koodintistost kietneeseen koodintistoon. Fotogmmetisiss tehtävissä leensä jtelln, että kohdekoodintisto on lkupeäinen j kmen koodintisto on kietnt. Mtiisi αν siis kätetään muunnokseen kohdekoodintistost kmekoodintistoon. Kun hlutn tehdä muunnos kmekoodintistost kohdekoodintistoon, kätetään kietomtii tnspoosi αν. Kppleess keotn tkemmin, miksi näin voi tehdä. Kolmiulotteinen kietomtiisi muodostuu kuvn 5 B, C j D mukisist kksiulotteisist kietomtiiseist kieett mötäpäivään: osα α α α osα ν osν ν ν osν 3 os os 5 αν ν α 5

8 A B H N kuv ν α α α α α α mnpint N H α C α D α αν αν ν ν ν α Kmen suunt αν α ν α αν αν αν αν Kuv 5. A leiskuv αν-kieoist [7]. B Kieto tsimuutin mpäi, C kuvkllistus j D kuvkieto [] Kätännön sovelluksi vten on huomttv, että edellä nnetuss kietomtiisiss kuvussuunnn tsimuutin ksvusuunt on vstkkinen esimekiksi kompssisuunnn knss kuv 5 A. Jos hlutn suon kättää kompssisuunti, lph-kieto pitää tehdä vstpäivään. Kuten ωϕ-kietojenkin tpuksess mös αν-kieot on lskettviss tunnetust kietomtiisist: tn 3 α, os 3 ν, tn Mös αν-kietojen oiket neljännekset on tkstettv eikseen, kosk kietomtiisi ei ole ksiselitteinen. Huomttv on mös, jos kuvn 5 C ν-kieto on noll ndiiikuvus, α- j -kieot tphtuvt smn koodinttikselin mpäi. ellisess tpuksess näiden kietojen eotteleminen toisistn on siis mhdotont. leensä lph-nkpp kietoj kätetäänkin vin muihin kuin pstkuvuksiin. Mkuvuksiss lphn-kpp kieot ovt helpommin miellettävissä kuin omeg-phi-kpp kieot. 6

9 5 Kolmiulotteisen kietomtii ominisuuksi Kolmiulottinen kietomtiisi on otogonlinen. Otogonlinen koodintisto on suokulminen, joten eteneminen hden kselin suuntn on iippumtont sijinnist toisten kseleiden suhteen. Kieettävän kohteen muoto ei muunnoksess muutu. 3 Kuv 6. kstelln kolmiulotteisen kietomtii ensimmäistä iviä. ivin kolme elementtiä,, 3 ovt kietneen -kselin ksikkövektoin pojektiot -, - j - kseleille []. Kietomtii vkivit ovt kietneen koodintiston kseleiden ksikkövektoeiden pojektiot lkupeäisen koodintiston kseleille. Kuvss 6 on tätä hvinnollistettu hdellä kietneellä kselill. Vstv tkstelu voidn tehdä kikille kolmelle kselille. ksikkövektoin pituus on tietsti ksi, joten. 7 3 Kosk tiedämme etukäteen tuloksen olevn ksi, voidn lskuist jättää neliöjuui pois. m ehto toimii mös pstskkeisiin. illoin kseessä on lkupeäisten koodinttikselien ksikkövektoeiden pojektiot kietneen koodintiston koodinttikseleille. ivejä j skkeit kutsutn otonomleiksi Otonomlin ssteemin määitelmään kuuluvt lisäksi, että kunkin ivin ti skkeen välinen sisätulo on noll: 7

10 Edellä esitett otogonliehdot voidn kijoitt leisessä tpuksess, jos pst- j vkskkeit mekitään...n lindeksi j viitt iveihin j k skkeisiin [5]: j k j k,, jos j k jos j k 8 Nt voidn todist otogonlisen mtii kätännön knnlt ehkä täkein ominisuus [5]: A A A : A : n. n [ ] n... n. n..... n n n 9 Otogonlisen mtii käänteismtiisi on siis sm kuin sen tnspoosi: A A Otogonlisen mtii deteminntti on ti [5]: det det AA - det AA det A det A det A Lisäksi jokinen mtii elementti on htä suui kuin lideteminnttins [7]. Kolmiulotteiselle kietomtiisille siis pätee:

11 Jos keotn kksi smnkokoist otogonlist mtiisi keskenään, tuloksen sdn mös otogonlinen mtiisi [8]: AB BA AB B BA A A B AB B B B BA A A A B A 3 Otogonlisi kietomtiisej voidn siis hdistellä ketomll kdottmtt otogonlisuutt. 6 Kietomtii kovminen millä thns otogonlisell mtiisill Kietomtiisi voidn kovt millä thns mtiisill, mikä toteutt otogonlisuusehdot [7]. tse kolmiulotteinen kietomtiisi ps smn, mutt sen muodostminen j tulkint muuttuu. ksi vihtoehto on odigues-mtiisi muodostminen esitett liitteessä, jok on kennettu kolmest iippumttomst pmetist, j : Pienillä kieoill pmetit, j vstvt ωϕ-kietoj. ässä htedessä esitetään vielä toinen otogonlinen mtiisi, jok on kennettu nomlist kietomtiisist vlitsemll kolme toisistn iippumtont elementtiä. Kikki loput mtii elementit on lusuttu näiden kolmen funktioin: Mtii muodostminen peustuu otogonlisuusehtoihin: vk- ti pstivien sisätulo on, joten sekä jokinen elementti on htä suui kuin lideteminnttins kpple 5. 9

12 ijoitetn vielä :een: Kietomtii lskeminen 3 pisteen j kmen pojektiopisteen vull Kietomtiisi voidn lske, jos tunnetn 3 pistettä mstost. Kuvn pojektiokeskus tät en oll tunnettu. e voidn lske pisteistä esimekiksi Mülle/Killin menetelmällä, jok on esitett Kus kijss kppleess... [, s. 8-]. Kuvss 8 on esitett, kuink vektoit i, j j k ovt sellisen koodintiston kselien suuntisi, joss -kseli kulkee pisteiden P j P kutt. -koodintisto voi oll siis kietnt suhteess kuvkoodintistoon. Lisäksi molemmt edelliset koodintistot voivt oll kietneinä suhteess mstokoodintistoon. ehdään en muunnos -koodintistost mstokoodintistoon. Mstopisteen koodinttej mekitään :llä j kuvpistettä -koodintistoss :llä: ˆ 6 Muunnoksess kuvlt mhn pisteestä P lähteviä ksikkövektoeit mekitään smoleill i, j j k. ksikköektoi i vlittiin -kselin suuntiseksi, joten pätee P P i. 7 P P ksikkövektoi k on kohtisuoss vektoien P j P viittämään tsoon nähden: P P3 k P P P P3. 8 P P P P 3

13 ksikkövektoi j on ts kohtisuoss khteen edellä johdettuun vektoiin nähden: j k i. 9 ksikkövektoit i, j j k ovt kietomtii vkivit tässä jäjestksessä. ä vstv menettel tehdään muunnksess -koodintistost -koodintistoon. Nt smoj ksikkövektoeit mekitään selvden vuoksi ei smoleill î, ĵ j kˆ. Jos kuvpistettä -koodintistoss mekitään ts :llä j vstv kuvpistettä -kuvkoodintistoss :llä, sdn muunnos ˆ 3 ksikkövektoit î, ĵ j kˆ ovt kietomtii ˆ vkivit tässä jäjestksessä. Nt voidn hdistää mtiisit, jott stisiin suo muunnos -kuvkoodintistost -mstokoodintistoon: ˆ. 3 Lskuiss tvittvt vektoien OP i pituudet sdn kuvkoodinttien vull kuv 8: OP i i i, i,, 3. 3 [] O O P k P j i P P 3 P P 3 kˆ ĵ P î P ˆ P 3 Kuv 7. -koointistoss olevien ksikkövektoien muunnos -mstokoodintistoon sekä -kuvkoodintistoon. []

14 8 Kietomtiisi osn muunnoksi ässä kppleess esitellään kolme täkeää muunnost, joiss kolmiulotteist kietomtiisi kätetään tehokksti hväksi. Eilisi kättökohteit kietomtiisille on olemss huomttvsti enemmän kuin tässä htedessä esitetään. 8. Kolmiulotteinen hdenmuotoisuusmuunnos Kolmiulotteisell hdenmuotoisuusmuunnoksell voidn 3D-pisteelle lske uudet 3Dkoodintit kietneessä, siitneessä j mittkvltn muuttuneess koodintistoss. Muunnost kutsutn mös leisesti seitsemänpmetiseksi muunnokseksi [6]. Jos mekitään pistettä P lkupeäisessä koodintistoss p j kieetssä koodintistoss p, voidn kolmiulotteinen hdenmuotoisuusmuunnos kijoitt: t p p λ, missä λ on mittkvkeoin, on kolmiulotteinen kietomtiisi j t on koodintiston siito. 8. Kollineisuushtälöt Kollineisuushtälöiden vull voidn tehdä muunnos mstost kuvlle [7]: sekä kääntäen kuvlt mstoon:

15 htälöissä... ovt kietomtii elementit,,, kmen pojektiokeskuksen koodintit,,, mstopiste,, kuvn pääpiste,, kuvpiste j - on kmevkio* Ktselupiste, -suunt j suhteellinen liikkuminen -mtii vull ämän kppleen sovelluksi on kätett vähemmän fotogmmetiss, mutt konenäön puolell j 3D-peliteollisuudess hvinkin leisesti. Oletetn, että ktselij on pisteessä P,, j ktsoo tiettn suuntn. Ktseen suunt sisält homogeenisess koodintistoss esitettn kolmiulotteiseen kietomtiisiin j pikk mtiisiin. Nämä voidn hdistää smn mtiisiin []: Jos ktseen suunt hlutn muutt keotn mtiisi uudell kietomtiisill: _ uusi muutos _ vnh 36 Liike kietneen koodintiston kseleiden suuntisesti voidn tehdä pienellä lisäksellä. Kppleess 5 esitettin, kuink kietomtii. ivi on kietneen -kselin,. ivi -kselin j 3. ivi -kselin ksikkövektoin pojektiot lkupeäisessä,,-koodintistoss. iippuen siitä, minkä koodinttikselin suuntisesti hlutn liikku, voidn kunkin ivin moniket lisätä mtiisiin. iito -kselin suuntisesti on n n _ siito, 37 n 3 siito -kselin suuntisesti on n n _ siito 37 n 3 j siito -kselin suuntisesti on 3

16 n 3 n 3 _ siito. 37 n Ketomll mtiisit j siito sdn siis mtiisi, joll pst siitämään ktselupistettä n:n pitui skelein kunkin kmekoodinttikselin suunnss tvitsemtt huolehti kulmist. Lähteet [] Chuh, E., 98, heo of Photogmmet, No. 9 in seies of ulletins pulished the deptment of photogmmet use univesit, New ok, 69 sivu. [] Gue, D.,, he Mthemtis of the 3D ottion Mti, Pesented t the teme Gme Developes Confeene, epteme 3-Otoe,, nt Cl, Clifoni, sivu luettu 7... [3] Kus, K., 993, Photogmmet, Volume, Fundmentls nd tndd Poess, Fed. Dummles Velg, Bonn, 397 sivu. [] Kus, K., 997, Photogmmet, Volume, Advned Methods nd Applitions, Fed. Dummles Velg, Bonn, 66 sivu. [5] Kesig, E., 993, Advned Engineeing Mthemtis, eventh edition, John Wile & ons n., ingpoe. [6] Moffit, F., E. Mikhil, 98, Photogmmet, hid Edition, Hpe & ow, Pulishes, New ok, 68 sivu. [7] hwidefsk, K., F. Akemnn, 976, Fotogmmeti; Peusteit, menetelmiä j sovelluksi, uom. E. Kilpelä, Otkustntmo, Otniemi, 38 sivu. [8] hihuo, W., 99, Piniples of Photogmmet With emote eng, Pulishing House of uveing nd Mpping, Beijing, 575 sivu.

17 Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen suuntkoien vull -koodintiston kpp-kieto -kselin mpäi mötäpäivään Muodostetn suuntkoit otetn koi kseleiden välisistä kulmist lkupeäisen j kietneen koodintiston koodinttikselien välille []: os os os os os os os os os uuntkoit ketovt muunnosvektoit lkupeäisisestä koodintistost uuteen koodintistoon: lusutn esim. :n, :n j :n vull. Koodintisto on kieett :n ven, joten voidn kijoitt: os os os os Kuvst voidn luke muiden kseleiden väliset kulmt: gon > os os gon - 3 gon os os3 gon -kseli on 9 stett eli gon sekä - että -kselist: gon os gon Kulm, joten os os. Nt voidn koot kksiulotteinen kietomtiisi : os os Vstv tkstelu voidn tehdä mös omeg- j phi-kieoille. 5

18 -koodintiston kpp-kieto -kselin mpäi vstpäivään Muodostetn suuntkoit lkupeäisen j kietneen koodintiston koodinttikselien välille []: os os os os os os os os os uuntkoit ketovt muunnosvektoin lkupeäisisestä koodintistost uuteen koodintistoon. Koodintisto on kieett :n ven, joten voidn kijoitt: os os os os Kuvst voidn luke muiden kseleiden väliset kulmt: 3 gon > os os3 gon os os - -kseli on 9 stett eli gon sekä - että -kselist: gon os gon Kulm, joten os os. Nt voidn koot kksiulotteinen kietomtiisi : os os Vstv tkstelu voidn tehdä mös omeg- j phi-kieoille. 6

19 7 Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen geometisesti Kpp-kieto -kselin mpäi mötäpäivään elvitetään htes lkupeäisen j kietneen koodintiston välille: <> Kuvn piste P näk sekä lkupeäisessä koodintistoss että kietneessä koodintistoss. Apuviivojen vull on lödett hdenmuotoisi kolmioit, joiden vull voidn htes koodintistojen välille selvittää. d Apukolmiost voidn luke: os d Apukolmioist voidn luke: os Nämä hmitellään :n j :n mukn, jolloin sdn: d os os Kolmiulotteisen htedet ovt nt: os os Kietomtiisi voidn kijoitt poimimll :n :n j :n ketoimet: os os Kpp-kieto -kselin mpäi vstpäivään P d

20 8 elvitetään htes lkupeäisen j kietneen koodintiston välille: <> Kuvn piste P näk sekä lkupeäisessä koodintistoss että kietneessä koodintistoss. Apuviivojen vull on lödett hdenmuotoisi kolmioit, joiden vull voidn htes koodintistojen välille selvittää. d Apukolmiost voidn luke: os d Apukolmioist voidn luke: os Nämä hmitellään :n j :n mukn, jolloin sdn: d os os Kolmiulotteisen htedet ovt nt: os os Kietomtiisi voidn kijoitt poimimll :n :n j :n ketoimet: os os P d

21 Liite 3. 3D kietomtii lskeminen D osmtiiseist Nimetään lkupeäinen piste p j kieett piste p. Päätetään tehdä kieot jäjestksessä: omeg, phi j kpp. Kieetään pistettä tässä jäjestksessä kieto kelln: ϖ p ϕ p Nt hdistetään sdut tulokset käänteisesti: p p. ϕ ϕ ϖ Kolmiulotteinen kietomtiisi siis tulee lske käänteisessä jäjestksessä kietojäjestkseen nähden. Kietojäjestkselle omeg, phi j kpp sdn 3D kietomtiisi siis: ϖϕ ϕ ϖ j kieett piste sdn siis: p ϕ ϖ p ϖϕ p 9

22 Liite. odigues-mtii muodostminen Muodostetn ntismmetinen mtiisi kolmest elementistä, j [8]. Antismmetisessä mtiisiss elementit sijitsevt smmetisesti, mutt ei mekkiä: - Lähdetään liikkeelle ntismmetisestä mtiisist : Otogonlinen mtiisi voidn muodost ksikkömtii vull:. ämä voidn todist: odigues-mtiisi voidn kijoitt uki :

23 Mtii muuttujt, j eivät ole geometisesti helposti hvinnollistettviss, mutt pienillä kieoill ne vstvt ωϕ-kietoj [7].

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET

Lujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET Lujuusopi jtkokussi III. III. LAATTARAKENTEET Lttketeet tti Lähteemäki Lujuusopi jtkokussi III. JOHDANTO Tsopitketee kuomitus void jk keskipi suutisee j sitä vst kohtisuo kuomituksee eli lev- j lttkuomituksee.

Lisätiedot

Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä

Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä ynmiikk 1 Liite lukuun 6. Jäykän kppleen tskinetiikk - hrjitustehtäviä 6.1 vlvpkettiutn mss n 1500 kg. ut lähtee levst liikkeelle 10 % ylämäkeen j svutt vkikiihtyvyydellä npeuden 50 km / h 1 10 60 m mtkll.

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light)

33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light) 68 33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nture nd Propgtion of Light) Toinen ihmiselle tärkeä luonnon ltoliike, meknisten ääniltojen lisäksi, liittyy näkemiseen j on tietysti vlo. Vlo on sähkömgneettist ltoliikettä

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN)

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN) Pyydämme lukemn käyttöohjeen huolellisesti läpi j noudttmn sitä! Ohjeiden liminlyönti voi joht kytkimen toiminthäiriöihin j siitä johtuviin vurioihin. Nämä käyttöohjeet (B.1.0.FIN) ovt os kytkintoimitust.

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Säännöt 2 7. Regler 8 13. Regler. Regler. Rules 26 31

Säännöt 2 7. Regler 8 13. Regler. Regler. Rules 26 31 Säännöt 8 9 Rules B tyhjä suositusruutu krtt rhmittri vesiruutu viinitrhruutu utio viinitrhruutu Sisällys C pelilut Viiniyhdistyksen suositus -ltt hintmerkkiä Ltikoit: punviiniltikko vlkoviiniltikko smppnjltikko

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press. Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050 OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Nelikanavainen vahvistin aktiivisella jakosuotimella

Nelikanavainen vahvistin aktiivisella jakosuotimella Mrkku Kuppinen Neliknvinen vhvistin ktiivisell jkosuotimell Vhvistimen yleisselostus Suunnittelun lähtökohtn on ollut toteutt edullinen mutt kuitenkin lduks ktiivisell jkosuotimell vrustettu stereovhvistin

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Sisältö. Luento 1: Transformaatiot (2D) 1. Koordinaattimuunnokset. Muunnokset (jatkuu) 2. Perustransformaatiot. Perustransformaatiot (jatkuu)

Sisältö. Luento 1: Transformaatiot (2D) 1. Koordinaattimuunnokset. Muunnokset (jatkuu) 2. Perustransformaatiot. Perustransformaatiot (jatkuu) Sisältö ietokonegrafiikka / perusteet Ako/-.3/3 4 ov / 2 ov Perustransformaatiot ransformaatioiden hdistäminen Muunnosmatriisit Laskennallisia näkökohtia Luento : ransformaatiot (2D) Marko Mllmaa 6/4 2D

Lisätiedot

ArcGIS for Server. Luo, jaa ja hallitse paikkatietoa

ArcGIS for Server. Luo, jaa ja hallitse paikkatietoa ArcGIS Server ArcGIS for Server Luo, j j hllitse pikktieto ArcGIS Serverin vull voidn luod plveluit keskitetysti, hllinnoid näitä plveluit j jk niitä orgnistion sisällä sekä verkoss. Plveluj voidn helposti

Lisätiedot

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN ilumuoto st ksvtu luun ou perusk Tuntikehyksen os-lue: HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN A2 Aivomyrsky j unelmien leikkipuisto Kesto: 1 kksoistunti, 45 min + 45 min Aihe: Syvennetään jtuksi ympäristöstä liittyvästä

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

6.2 Algoritmin määritelmä

6.2 Algoritmin määritelmä 6.2 Algoritmin määritelmä Mitä lgoritmill yleensä trkoitetn? Peritteess: Yksiselitteisesti kuvttu jono (tietojenkäsittely)opertioit, jotk voidn toteutt meknisesti. Käytännössä: luonnollist kieltä, pseudokoodi

Lisätiedot

2. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visuaalinen havaitseminen

2. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visuaalinen havaitseminen 2. Digitlisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visulinen hvitseminen Tässä luvuss käsitellään digitlisten kuvien perussioist, in kuvien näkemisestä pikseleihin j trvittviin lskentmenetelmiin sti. Vikk kuvnprosessointi

Lisätiedot

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Sisällysluettelo: 1. Johdnto 2. Peruselementit Tunnus j versiot...2.1 Tunnuksen

Lisätiedot

RTS 16:2. Tässä ohjeessa esitetään ajoneuvojen ja yleisimpien autotyyppien mittoja, massoja sekä liikenteeseen hyväksymistä koskevia rajoituksia.

RTS 16:2. Tässä ohjeessa esitetään ajoneuvojen ja yleisimpien autotyyppien mittoja, massoja sekä liikenteeseen hyväksymistä koskevia rajoituksia. RTS 16:2 RT XX-XXXXX KH XX-XXXXX Infr x-x AJONEUVOJEN MITTOJA OHJEET xxxkuu 2016 1 (8) korv RT 98-10914 Tässä ohjeess esitetään joneuvojen j yleisimpien utotyyppien mittoj, mssoj sekä liikenteeseen hyväksymistä

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

ELE-3600 Elektroniikan erikoistyö 24.05.2007 tomi.kettunen@biaspiste.fi. Putkitekniikan perusteet

ELE-3600 Elektroniikan erikoistyö 24.05.2007 tomi.kettunen@biaspiste.fi. Putkitekniikan perusteet Putkitekniikn perusteet 1 Sisällysluettelo 1. Historist nykypäivään...3 2. Putkitekniikn perusteet...4 3. Putken eri ost...8 4. Diodi...12 5. Triodi...18 6. Tetrodi...31 7. Pentodi...33 8. Lähdeluettelo...39

Lisätiedot

/-zîe. r/2 MANNERHEIMIN LASTENSUOJELULIITTO

/-zîe. r/2 MANNERHEIMIN LASTENSUOJELULIITTO Kruunupyyn kunt 26.L.2075 r/2 Sosili- j terveyslutkunt /-zîe MLL;n Lsten j nuorten puhelimen j netin vustus vuodelle 2015 f7o Toivomme, että kuntnne vust Lsten j nuorten puhelin- j nettiplvelun toimint.

Lisätiedot

6.1 Lineaarinen optimointi

6.1 Lineaarinen optimointi 6.1 Lineaarinen optimointi Suora a + b + c = 0 jakaa -tason kahteen puolitasoon. Tason jokainen piste, joka on suoralla, toteuttaa suoran htälön ja kääntäen. Jos siis tason mielivaltaisen pisteen koordinaatit

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT OUML6421B3004 3-tilohjttu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET i Lämmityksen säätö i Ilmnvihtojärjestelmät TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden

Lisätiedot

Laskennan perusmallit (LAP)

Laskennan perusmallit (LAP) Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen mterileist muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden 2014

Lisätiedot

Helsingin kaupunki / Liikennesuunnitteluosasto 26.2.2014 16:21 Anitta Vähäkuopus 1 (3) Koje vaihdetaan ja muutetaan minikojeeksi (ITC-2bM).

Helsingin kaupunki / Liikennesuunnitteluosasto 26.2.2014 16:21 Anitta Vähäkuopus 1 (3) Koje vaihdetaan ja muutetaan minikojeeksi (ITC-2bM). Helsinin kupunki / Liikennesuunnitteluossto 26.2.204 6:2 Anitt Vähäkuopus (3) TYÖSELTE Telkkktu/Pursimiehenktu Risteys 256 Kojeuusint Yleistä Koje vihdetn j muutetn minikojeeksi (TC-2M). Klusteet j työ

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen

Lisätiedot

Kustaankartanon vanhustenkeskus Vanhainkoti Päivätoiminta Palvelukeskus

Kustaankartanon vanhustenkeskus Vanhainkoti Päivätoiminta Palvelukeskus Kustnkrtnon vnhustenkeskus Vnhinkoti Päivätoimint Plvelukeskus 1 Kustnkrtnoss tärkeinä pidettyjä sioit: sukkn hyvä olo hyvä elämä hyvä yhteistyö omisten knss gerontologisen hoidon osminen työntekijöiden

Lisätiedot

Kattoeristeet - nyt entistä parempia kokonaisratkaisuja. Entistä suurempi Kuormituskestävyys ja Jatkuva Keymark- Laadunvalvontajärjestelmä

Kattoeristeet - nyt entistä parempia kokonaisratkaisuja. Entistä suurempi Kuormituskestävyys ja Jatkuva Keymark- Laadunvalvontajärjestelmä Kttoeristeet - nyt entistä prempi kokonisrtkisuj Entistä suurempi Kuormituskestävyys j Jtkuv Keymrk- Lunvlvontjärjestelmä Rockwool-ekolvll kttoeristeet seisovt omill jloilln Ekolvoj käytettäessä työ on

Lisätiedot

Matematiikkalehti 2/2000 2001. http://www.math.helsinki.fi/solmu/

Matematiikkalehti 2/2000 2001. http://www.math.helsinki.fi/solmu/ Mtemtiikklehti 2/2000 2001 http://wwwmthhelsinkifi/solmu/ 2 Solmu Solmu 2/2000 2001 Mtemtiikn litos PL 4 (Yliopistonktu 5) 00014 Helsingin yliopisto http://wwwmthhelsinkifi/solmu/ Päätoimittj Pekk Alestlo

Lisätiedot

Ruiskuvalukappaleen valettavuus

Ruiskuvalukappaleen valettavuus Ruiskuvlukppleen vlettvuus Käännökset: Snn Nykänen, Tuul Höök Tmpereen teknillinen yliopisto Seinämänpksuus Yordnk Atnsov Technicl University of Gbrovo Seinämänpksuus vikutt huomttvsti ruiskuvletun kppleen

Lisätiedot

INNER WHEEL FINLAND. Istanbulin yleiskokouksen ehdotus 17 / jäsenyys

INNER WHEEL FINLAND. Istanbulin yleiskokouksen ehdotus 17 / jäsenyys Be Friend Toteut ystävyyttä 6. Europen Meeting (Toulouse, Köln, Tmpere, Montreux, Amsterdm, Grz) Pikk: Grz, Itävlt Aik: 30.8. -2.9.2012 Osnottjt noin 30 IW-sisrt 15:st eri mst Suomest mukn Mij-Leen Virt-Kngs

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

JARRUDYNAMOMETRIN LASKENTAOHJELIITE

JARRUDYNAMOMETRIN LASKENTAOHJELIITE LIITE JARRUDYNAMOMETRIN LASKENTAOHJELIITE Jrruje surtuskyvy määrtys jrrudymmetrllä Määräksktsstuksess rsk kurm-ut j erävuu jrrujärjestelmä surtuskyky määrtetää jrrudymmetrmttuksll. Jrrujärjestelmä mttussuurede

Lisätiedot

KANDIDAATINTYÖ: TEOLLISUUSKIINTEISTÖN ILMANVAIHTOKONEEN LTO- LAITTEISTON HYÖTYSUHTEEN PARANTAMINEN

KANDIDAATINTYÖ: TEOLLISUUSKIINTEISTÖN ILMANVAIHTOKONEEN LTO- LAITTEISTON HYÖTYSUHTEEN PARANTAMINEN LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunt Energitekniikn koulutusohjelm KANDIDAATINTYÖ: TEOLLISUUSKIINTEISTÖN ILMANVAIHTOKONEEN LTO- LAITTEISTON HYÖTYSUHTEEN PARANTAMINEN Lppeenrnnss 1.2.2010

Lisätiedot

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö 10 Suran vektrimutinen htälö J aluki tarkatellaan -tan kuuluvaa, rign kautta kulkevaa uraa, niin ura n täin määrätt, mikäli tunnetaan en uunta. Tavallieti tämä annetaan uuntakulman tangentin = kulmakertimen

Lisätiedot

RATKAISUT: 9. Pyörimisen peruslaki ja pyörimismäärä

RATKAISUT: 9. Pyörimisen peruslaki ja pyörimismäärä Phyic 9. pino (9) 9. Pyöiien peulki j pyöiiäää : 9. Pyöiien peulki j pyöiiäää 9. ) Hituoentti on uue, jok kuv kppleen pyöiihitutt, toiin noen itä, iten vike kppleen pyöiitä on uutt. b) Syteein pyöiiäää

Lisätiedot

Maa-57.290, Fotogrammetrian erikoistyö. Monoplotting. Anna Erving 58394J

Maa-57.290, Fotogrammetrian erikoistyö. Monoplotting. Anna Erving 58394J M-57.29, Fotogrmmetrin erikoistyö Monoplotting Ann Erving 58394J Sisällysluettelo Sisällysluettelo... 2 1. Johdnto... 3 2. Perusperite j histori... 3 3. Trvittvt ineistot... 4 3.1 Vlokuv kohteest... 4

Lisätiedot

Kulttuuria vapaaehtoistyönä!

Kulttuuria vapaaehtoistyönä! Juh Iso-Aho & Esko Juhol (toim.) Kulttuui vpehtoistyönä! Susnn Eklund, Snni Hllnv, Mik Htikinen, Juh Iso-Aho, Esko Juhol, Kti Kilpiä, Jn Komi, Jeni Kopinen, Anu Lähteenmäki, Cit Rntl, j Rehnstöm, Soili

Lisätiedot

Avaruuden muunnokset Jukka Liukkonen 24. joulukuuta 2009

Avaruuden muunnokset Jukka Liukkonen 24. joulukuuta 2009 Avaruuden muunnokset Jukka Liukkonen 24. joulukuuta 2009 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Vektorilaskennan kertaus 3 2.1 Vektorit koordinaatistossa........................... 7 3 Siirto 9 3.1 Siirto koordinaatistossa.............................

Lisätiedot

MATRIISILASKENNAN PERUSTEET. Timo Mäkelä

MATRIISILASKENNAN PERUSTEET. Timo Mäkelä MTRIISILSKENNN PERUSTEET Tmo Mäkelä Mtrslske perusteet SISÄLLYS:. PERUSSIOIT.... MÄÄRITELMIÄ.... MTRIISITYYPPEJÄ.... LSKUTOIMITUKSET.... MTRIISIN KERTOMINEN LUVULL.... YHTEEN- J VÄHENNYSLSKU.... KERTOLSKU....

Lisätiedot

RATKAISUT: 6. Pyörimisliike ja ympyräliike

RATKAISUT: 6. Pyörimisliike ja ympyräliike Phyic 9 pio () 6 Pyöiiliike j ypyäliike : 6 Pyöiiliike j ypyäliike 6 ) Pyöiiliikkeeä kpple pyöii joki keli ypäi Kpplee eto uuttuu b) Ypyäliikkeeä kpple liikkuu pitki ypyät dϕ c) Hetkellie kulopeu ω o kietokul

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot