Kiertomatriisi Erikoistyö. Petri Rönnholm
|
|
- Niina Korpela
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kietomtiisi Eikoistö Peti önnholm
2 isälls JOHDANO KEOUUNNA 3 OMEGA-, PH- JA KAPPA-KEO 3 ALPHA-, N- JA KAPPA-KEO 5 5 KOLMULOEEN KEOMAN OMNAUUKA 7 6 KEOMAN KOVAAMNEN MLLÄ AHANA OOGONAALELLA MALLA 9 7 KEOMAN LAKEMNEN 3 PEEN JA KAMEAN POJEKOPEEN AVULLA 8 KEOMA OANA MUUNNOKA 8. Kolmiulotteinen hdenmuotoisuusmuunnos 8. Kollineisuushtälöt 8.3 Ktselupiste, -suunt j suhteellinen liikkuminen -mtii vull 3 LÄHEE Liitteet: Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen suuntkoien vull Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen geometisesti Liite 3: 3D kietomtii lskeminen D osmtiiseist Liite. odigues-mtii muodostminen
3 Johdnto Kietomtiisi on peustöklu kikenlisiin koodintistojen, pisteiden j kppleiden kietoihin. Kätännön toteutuksiss vlmiin kietomtii kättäminen on tehokst j kketist. Kietomtiisi sisältää kuitenkin pljon enemmän kuin enäkemältä voisi kuvitell. oislt se on tehoks töklu, mutt toislt ilmn hiemn svempää tuntemist sen knss voi tull llättäviä ongelmi. ämän tön on tkoitus koot kietomtii ominisuuksi, tulkintoj j muodostmistpoj ksiin knsiin. Kietosuunnt Kietojen mmätämiseksi on en mmäettävä kolmiulotteisen koodintiston sopimuksi. leensä kätetään oikekätistä koodintisto, jolloin koodinttikseleit voidn kuvt oiken käden somill kuv. Kuv. Oikekätisen koodintiston kselien suunnt voidn tkist settmll oiken käden peuklo, etusomi j etusomi kuvn esittämällä tvll. Vsenkätiseen koodintistoon voidn kättää vstvsti vsent kättä. On sovittu, että kieon suunt jonkin kselin mpäi ktsotn oigost kohti kselin ksvusuunt. Kieto mötäpäivään voidn tkist toisen somisäännön vull kuv, joss peuklo litetn kselin ksvusuuntn j muut somet tipuvt luonnollisesti mötäpäivään kselin mpäille. Kuv. Kun peuklo setetn kselin ksvusuuntn, muut somet osoittvt kieon mötäpäivään.
4 Etenkin, kun mietitään kietosuunti kksiulotteisess tpuksess, knntt oll eitisen huolellinen j kättää edellä minittuj muistisääntöjä. Kuvss 3 on esitett, miten kksiulotteisess kieoss ensisilmäs voi hämätä. Kieon suunt ei voi päätellä miettimättä mihin suuntn -kseli osoitt. A B C D Kuv 3. Kikiss kuviss lkupeäinen koodintisto on esitett htenäisellä viivll j kieett koodintisto ktkoviivll. Kieot ovt -kselin mpäi joko mötä- ti vstpäivään. A -kseli uppo ppein sisään, joten kieto on mötäpäivään. B -kseli nousee ppeist löspäin, joten kieto on vstpäivään. C Kieto on vstpäivään. D Kieto on mötäpäivään. euvss esitetään kieot mötäpäivään kunkin koodinttikselin mpäi. Kksiulotteisten kietomtiisien johtminen on esitett liitteissä j. Omeg-kieto ϖ -kselin mpäi mötäpäivään: ϖ osϖ ϖ ϖ osϖ Phi-kieto ϕ -kselin mpäi mötäpäivään: osϕ ϕ ϕ ϕ osϕ
5 Kpp-kieto -kselin mpäi mötäpäivään: os os 3 euvss esitetään kieot vstpäivään kunkin koodinttikselin mpäi. Omeg-kieto ϖ -kselin mpäi vstpäivään: ϖ osϖ ϖ ϖ osϖ Phi-kieto ϕ -kselin mpäi vstpäivään: osϕ ϕ ϕ 5 ϕ osϕ Kpp-kieto -kselin mpäi vstpäivään: os os 6 Kolmiulotteinen kietomtiisi sdn lskettu ketomll mtiisit käänteisesti hlutuss kietojäjestksessä. Esimekiksi, jos hlutn kietojäjestkseksi omeg, phi j kpp, kolmiulotteinen kietomtiisi stisiin htälöstä:. 7 ϖϕ ϕ ϖ Liitteessä 3 on esitett, miksi osmtiisien ketominen tehdään käänteisessä jäjestksessä kietojäjestkseen nähden. 3 Omeg-, phi- j kpp-kieot leisesti kätett tp on jtell kieot koodinttikselien mpäi siten, että ω on kieto -kselin mpäi, ϕ on kieto -kselin mpäi j on kieto -kselin mpäi. euvss on esitett kietomtiisi, joss kietojäjests on ωϕ j kikki kieot ovt positiivisi mötäpäivään kseliins nähden kuv 3
6 osϕ os ωϕ osϕ ϕ osω ω ϕ os osω os ω ϕ ω osϕ ω osω ϕ os osω osω ϕ osω osϕ 8 Homogeenisess koodintostoss mtiisi voidn kijoitt: ωϕ Kietomtii elementtien...nn indeksöinti on vlittu niin, että se vst fotogmmetisten kollineisuushtälöiden leisestä kätäntöä. Mtiisi tekee muunnoksen lkupeäisestä koodintistost kietneeseen koodintistoon. Fotogmmetisiss tehtävissä leensä jtelln, että kohdekoodintisto on lkupeäinen j kmen koodintisto on kietnt. Mtiisi siis kätetään muunnokseen kohdekoodintistost kmekoodintistoon. Kun hlutn tehdä muunnos kmekoodintistost kohdekoodintistoon, kätetään kietomtii tnspoosi ϖϕ. Kpp- ϖϕ leess keotn tkemmin, miksi näin voi tehdä. ϖϕ χ ϕ o ω Kuv. Kieot -, - j -kselien mpäi ovt positiivisi mötäpäivään. Kietomtii elementtien lskentkvt muuttuvt, jos kietojäjeststä ti kietojen positiivisi suunti muutetn. Mtii elementeistä tulee kuitenkin numeeisesti smt huolimtt vlitust jäjestelmästä. Jos on olemss tunnettu kietomtiisi, voidn siitä lske käänteisesti kieot esimekiksi kvoill: tn 3 ω, 3 ϕ, tn.
7 Kietomtiisi ei ole ksiselitteinen. m kietomtiisi voidn muodost khdell eilisell ωϕ-hdistelmällä. ämän johdost tulee eikseen tkist, että sdut kulmt ovt hlutuss neljänneksessä. [7], [3] Alph-, n- j kpp-kieto Kietomtiisi voidn muodost mös kuvussuunnn tsimuutin α, kuvkllistuksen ν j kuvkieon vull kuv 5. Eitisesti viistokuvuksiss tämä kietojäjestelmä on helpompi mieltää kuin ωϕ-kieot. Kietomtiisi kietojäjestksessä αν, joss kikki kieot ovt positiivisi mötäpäivään on muoto [] osα os α osν α os osα osν ν αν osα α osν os α osα osν os ν os α ν osα ν osν Kietomtii elementtien... indeksöinti on vlittu niin, että se vst fotogmmetisten kollineisuushtälöiden leisestä kätäntöä. Mtiisi αν tekee muunnoksen lkupeäisestä koodintistost kietneeseen koodintistoon. Fotogmmetisiss tehtävissä leensä jtelln, että kohdekoodintisto on lkupeäinen j kmen koodintisto on kietnt. Mtiisi αν siis kätetään muunnokseen kohdekoodintistost kmekoodintistoon. Kun hlutn tehdä muunnos kmekoodintistost kohdekoodintistoon, kätetään kietomtii tnspoosi αν. Kppleess keotn tkemmin, miksi näin voi tehdä. Kolmiulotteinen kietomtiisi muodostuu kuvn 5 B, C j D mukisist kksiulotteisist kietomtiiseist kieett mötäpäivään: osα α α α osα ν osν ν ν osν 3 os os 5 αν ν α 5
8 A B H N kuv ν α α α α α α mnpint N H α C α D α αν αν ν ν ν α Kmen suunt αν α ν α αν αν αν αν Kuv 5. A leiskuv αν-kieoist [7]. B Kieto tsimuutin mpäi, C kuvkllistus j D kuvkieto [] Kätännön sovelluksi vten on huomttv, että edellä nnetuss kietomtiisiss kuvussuunnn tsimuutin ksvusuunt on vstkkinen esimekiksi kompssisuunnn knss kuv 5 A. Jos hlutn suon kättää kompssisuunti, lph-kieto pitää tehdä vstpäivään. Kuten ωϕ-kietojenkin tpuksess mös αν-kieot on lskettviss tunnetust kietomtiisist: tn 3 α, os 3 ν, tn Mös αν-kietojen oiket neljännekset on tkstettv eikseen, kosk kietomtiisi ei ole ksiselitteinen. Huomttv on mös, jos kuvn 5 C ν-kieto on noll ndiiikuvus, α- j -kieot tphtuvt smn koodinttikselin mpäi. ellisess tpuksess näiden kietojen eotteleminen toisistn on siis mhdotont. leensä lph-nkpp kietoj kätetäänkin vin muihin kuin pstkuvuksiin. Mkuvuksiss lphn-kpp kieot ovt helpommin miellettävissä kuin omeg-phi-kpp kieot. 6
9 5 Kolmiulotteisen kietomtii ominisuuksi Kolmiulottinen kietomtiisi on otogonlinen. Otogonlinen koodintisto on suokulminen, joten eteneminen hden kselin suuntn on iippumtont sijinnist toisten kseleiden suhteen. Kieettävän kohteen muoto ei muunnoksess muutu. 3 Kuv 6. kstelln kolmiulotteisen kietomtii ensimmäistä iviä. ivin kolme elementtiä,, 3 ovt kietneen -kselin ksikkövektoin pojektiot -, - j - kseleille []. Kietomtii vkivit ovt kietneen koodintiston kseleiden ksikkövektoeiden pojektiot lkupeäisen koodintiston kseleille. Kuvss 6 on tätä hvinnollistettu hdellä kietneellä kselill. Vstv tkstelu voidn tehdä kikille kolmelle kselille. ksikkövektoin pituus on tietsti ksi, joten. 7 3 Kosk tiedämme etukäteen tuloksen olevn ksi, voidn lskuist jättää neliöjuui pois. m ehto toimii mös pstskkeisiin. illoin kseessä on lkupeäisten koodinttikselien ksikkövektoeiden pojektiot kietneen koodintiston koodinttikseleille. ivejä j skkeit kutsutn otonomleiksi Otonomlin ssteemin määitelmään kuuluvt lisäksi, että kunkin ivin ti skkeen välinen sisätulo on noll: 7
10 Edellä esitett otogonliehdot voidn kijoitt leisessä tpuksess, jos pst- j vkskkeit mekitään...n lindeksi j viitt iveihin j k skkeisiin [5]: j k j k,, jos j k jos j k 8 Nt voidn todist otogonlisen mtii kätännön knnlt ehkä täkein ominisuus [5]: A A A : A : n. n [ ] n... n. n..... n n n 9 Otogonlisen mtii käänteismtiisi on siis sm kuin sen tnspoosi: A A Otogonlisen mtii deteminntti on ti [5]: det det AA - det AA det A det A det A Lisäksi jokinen mtii elementti on htä suui kuin lideteminnttins [7]. Kolmiulotteiselle kietomtiisille siis pätee:
11 Jos keotn kksi smnkokoist otogonlist mtiisi keskenään, tuloksen sdn mös otogonlinen mtiisi [8]: AB BA AB B BA A A B AB B B B BA A A A B A 3 Otogonlisi kietomtiisej voidn siis hdistellä ketomll kdottmtt otogonlisuutt. 6 Kietomtii kovminen millä thns otogonlisell mtiisill Kietomtiisi voidn kovt millä thns mtiisill, mikä toteutt otogonlisuusehdot [7]. tse kolmiulotteinen kietomtiisi ps smn, mutt sen muodostminen j tulkint muuttuu. ksi vihtoehto on odigues-mtiisi muodostminen esitett liitteessä, jok on kennettu kolmest iippumttomst pmetist, j : Pienillä kieoill pmetit, j vstvt ωϕ-kietoj. ässä htedessä esitetään vielä toinen otogonlinen mtiisi, jok on kennettu nomlist kietomtiisist vlitsemll kolme toisistn iippumtont elementtiä. Kikki loput mtii elementit on lusuttu näiden kolmen funktioin: Mtii muodostminen peustuu otogonlisuusehtoihin: vk- ti pstivien sisätulo on, joten sekä jokinen elementti on htä suui kuin lideteminnttins kpple 5. 9
12 ijoitetn vielä :een: Kietomtii lskeminen 3 pisteen j kmen pojektiopisteen vull Kietomtiisi voidn lske, jos tunnetn 3 pistettä mstost. Kuvn pojektiokeskus tät en oll tunnettu. e voidn lske pisteistä esimekiksi Mülle/Killin menetelmällä, jok on esitett Kus kijss kppleess... [, s. 8-]. Kuvss 8 on esitett, kuink vektoit i, j j k ovt sellisen koodintiston kselien suuntisi, joss -kseli kulkee pisteiden P j P kutt. -koodintisto voi oll siis kietnt suhteess kuvkoodintistoon. Lisäksi molemmt edelliset koodintistot voivt oll kietneinä suhteess mstokoodintistoon. ehdään en muunnos -koodintistost mstokoodintistoon. Mstopisteen koodinttej mekitään :llä j kuvpistettä -koodintistoss :llä: ˆ 6 Muunnoksess kuvlt mhn pisteestä P lähteviä ksikkövektoeit mekitään smoleill i, j j k. ksikköektoi i vlittiin -kselin suuntiseksi, joten pätee P P i. 7 P P ksikkövektoi k on kohtisuoss vektoien P j P viittämään tsoon nähden: P P3 k P P P P3. 8 P P P P 3
13 ksikkövektoi j on ts kohtisuoss khteen edellä johdettuun vektoiin nähden: j k i. 9 ksikkövektoit i, j j k ovt kietomtii vkivit tässä jäjestksessä. ä vstv menettel tehdään muunnksess -koodintistost -koodintistoon. Nt smoj ksikkövektoeit mekitään selvden vuoksi ei smoleill î, ĵ j kˆ. Jos kuvpistettä -koodintistoss mekitään ts :llä j vstv kuvpistettä -kuvkoodintistoss :llä, sdn muunnos ˆ 3 ksikkövektoit î, ĵ j kˆ ovt kietomtii ˆ vkivit tässä jäjestksessä. Nt voidn hdistää mtiisit, jott stisiin suo muunnos -kuvkoodintistost -mstokoodintistoon: ˆ. 3 Lskuiss tvittvt vektoien OP i pituudet sdn kuvkoodinttien vull kuv 8: OP i i i, i,, 3. 3 [] O O P k P j i P P 3 P P 3 kˆ ĵ P î P ˆ P 3 Kuv 7. -koointistoss olevien ksikkövektoien muunnos -mstokoodintistoon sekä -kuvkoodintistoon. []
14 8 Kietomtiisi osn muunnoksi ässä kppleess esitellään kolme täkeää muunnost, joiss kolmiulotteist kietomtiisi kätetään tehokksti hväksi. Eilisi kättökohteit kietomtiisille on olemss huomttvsti enemmän kuin tässä htedessä esitetään. 8. Kolmiulotteinen hdenmuotoisuusmuunnos Kolmiulotteisell hdenmuotoisuusmuunnoksell voidn 3D-pisteelle lske uudet 3Dkoodintit kietneessä, siitneessä j mittkvltn muuttuneess koodintistoss. Muunnost kutsutn mös leisesti seitsemänpmetiseksi muunnokseksi [6]. Jos mekitään pistettä P lkupeäisessä koodintistoss p j kieetssä koodintistoss p, voidn kolmiulotteinen hdenmuotoisuusmuunnos kijoitt: t p p λ, missä λ on mittkvkeoin, on kolmiulotteinen kietomtiisi j t on koodintiston siito. 8. Kollineisuushtälöt Kollineisuushtälöiden vull voidn tehdä muunnos mstost kuvlle [7]: sekä kääntäen kuvlt mstoon:
15 htälöissä... ovt kietomtii elementit,,, kmen pojektiokeskuksen koodintit,,, mstopiste,, kuvn pääpiste,, kuvpiste j - on kmevkio* Ktselupiste, -suunt j suhteellinen liikkuminen -mtii vull ämän kppleen sovelluksi on kätett vähemmän fotogmmetiss, mutt konenäön puolell j 3D-peliteollisuudess hvinkin leisesti. Oletetn, että ktselij on pisteessä P,, j ktsoo tiettn suuntn. Ktseen suunt sisält homogeenisess koodintistoss esitettn kolmiulotteiseen kietomtiisiin j pikk mtiisiin. Nämä voidn hdistää smn mtiisiin []: Jos ktseen suunt hlutn muutt keotn mtiisi uudell kietomtiisill: _ uusi muutos _ vnh 36 Liike kietneen koodintiston kseleiden suuntisesti voidn tehdä pienellä lisäksellä. Kppleess 5 esitettin, kuink kietomtii. ivi on kietneen -kselin,. ivi -kselin j 3. ivi -kselin ksikkövektoin pojektiot lkupeäisessä,,-koodintistoss. iippuen siitä, minkä koodinttikselin suuntisesti hlutn liikku, voidn kunkin ivin moniket lisätä mtiisiin. iito -kselin suuntisesti on n n _ siito, 37 n 3 siito -kselin suuntisesti on n n _ siito 37 n 3 j siito -kselin suuntisesti on 3
16 n 3 n 3 _ siito. 37 n Ketomll mtiisit j siito sdn siis mtiisi, joll pst siitämään ktselupistettä n:n pitui skelein kunkin kmekoodinttikselin suunnss tvitsemtt huolehti kulmist. Lähteet [] Chuh, E., 98, heo of Photogmmet, No. 9 in seies of ulletins pulished the deptment of photogmmet use univesit, New ok, 69 sivu. [] Gue, D.,, he Mthemtis of the 3D ottion Mti, Pesented t the teme Gme Developes Confeene, epteme 3-Otoe,, nt Cl, Clifoni, sivu luettu 7... [3] Kus, K., 993, Photogmmet, Volume, Fundmentls nd tndd Poess, Fed. Dummles Velg, Bonn, 397 sivu. [] Kus, K., 997, Photogmmet, Volume, Advned Methods nd Applitions, Fed. Dummles Velg, Bonn, 66 sivu. [5] Kesig, E., 993, Advned Engineeing Mthemtis, eventh edition, John Wile & ons n., ingpoe. [6] Moffit, F., E. Mikhil, 98, Photogmmet, hid Edition, Hpe & ow, Pulishes, New ok, 68 sivu. [7] hwidefsk, K., F. Akemnn, 976, Fotogmmeti; Peusteit, menetelmiä j sovelluksi, uom. E. Kilpelä, Otkustntmo, Otniemi, 38 sivu. [8] hihuo, W., 99, Piniples of Photogmmet With emote eng, Pulishing House of uveing nd Mpping, Beijing, 575 sivu.
17 Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen suuntkoien vull -koodintiston kpp-kieto -kselin mpäi mötäpäivään Muodostetn suuntkoit otetn koi kseleiden välisistä kulmist lkupeäisen j kietneen koodintiston koodinttikselien välille []: os os os os os os os os os uuntkoit ketovt muunnosvektoit lkupeäisisestä koodintistost uuteen koodintistoon: lusutn esim. :n, :n j :n vull. Koodintisto on kieett :n ven, joten voidn kijoitt: os os os os Kuvst voidn luke muiden kseleiden väliset kulmt: gon > os os gon - 3 gon os os3 gon -kseli on 9 stett eli gon sekä - että -kselist: gon os gon Kulm, joten os os. Nt voidn koot kksiulotteinen kietomtiisi : os os Vstv tkstelu voidn tehdä mös omeg- j phi-kieoille. 5
18 -koodintiston kpp-kieto -kselin mpäi vstpäivään Muodostetn suuntkoit lkupeäisen j kietneen koodintiston koodinttikselien välille []: os os os os os os os os os uuntkoit ketovt muunnosvektoin lkupeäisisestä koodintistost uuteen koodintistoon. Koodintisto on kieett :n ven, joten voidn kijoitt: os os os os Kuvst voidn luke muiden kseleiden väliset kulmt: 3 gon > os os3 gon os os - -kseli on 9 stett eli gon sekä - että -kselist: gon os gon Kulm, joten os os. Nt voidn koot kksiulotteinen kietomtiisi : os os Vstv tkstelu voidn tehdä mös omeg- j phi-kieoille. 6
19 7 Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen geometisesti Kpp-kieto -kselin mpäi mötäpäivään elvitetään htes lkupeäisen j kietneen koodintiston välille: <> Kuvn piste P näk sekä lkupeäisessä koodintistoss että kietneessä koodintistoss. Apuviivojen vull on lödett hdenmuotoisi kolmioit, joiden vull voidn htes koodintistojen välille selvittää. d Apukolmiost voidn luke: os d Apukolmioist voidn luke: os Nämä hmitellään :n j :n mukn, jolloin sdn: d os os Kolmiulotteisen htedet ovt nt: os os Kietomtiisi voidn kijoitt poimimll :n :n j :n ketoimet: os os Kpp-kieto -kselin mpäi vstpäivään P d
20 8 elvitetään htes lkupeäisen j kietneen koodintiston välille: <> Kuvn piste P näk sekä lkupeäisessä koodintistoss että kietneessä koodintistoss. Apuviivojen vull on lödett hdenmuotoisi kolmioit, joiden vull voidn htes koodintistojen välille selvittää. d Apukolmiost voidn luke: os d Apukolmioist voidn luke: os Nämä hmitellään :n j :n mukn, jolloin sdn: d os os Kolmiulotteisen htedet ovt nt: os os Kietomtiisi voidn kijoitt poimimll :n :n j :n ketoimet: os os P d
21 Liite 3. 3D kietomtii lskeminen D osmtiiseist Nimetään lkupeäinen piste p j kieett piste p. Päätetään tehdä kieot jäjestksessä: omeg, phi j kpp. Kieetään pistettä tässä jäjestksessä kieto kelln: ϖ p ϕ p Nt hdistetään sdut tulokset käänteisesti: p p. ϕ ϕ ϖ Kolmiulotteinen kietomtiisi siis tulee lske käänteisessä jäjestksessä kietojäjestkseen nähden. Kietojäjestkselle omeg, phi j kpp sdn 3D kietomtiisi siis: ϖϕ ϕ ϖ j kieett piste sdn siis: p ϕ ϖ p ϖϕ p 9
22 Liite. odigues-mtii muodostminen Muodostetn ntismmetinen mtiisi kolmest elementistä, j [8]. Antismmetisessä mtiisiss elementit sijitsevt smmetisesti, mutt ei mekkiä: - Lähdetään liikkeelle ntismmetisestä mtiisist : Otogonlinen mtiisi voidn muodost ksikkömtii vull:. ämä voidn todist: odigues-mtiisi voidn kijoitt uki :
23 Mtii muuttujt, j eivät ole geometisesti helposti hvinnollistettviss, mutt pienillä kieoill ne vstvt ωϕ-kietoj [7].
Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.
Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä
LisätiedotPythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause
Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
Lisätiedot( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotViivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13
Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotJakso 7. Lorentz-voima
Jkso 7. Loentz-voim Mgnetismi-ilmiö on monelle mysteei. Siksi sen vull voidn helposti huijt ihmisiä j myydä kiken milmn polttoineen säästäjiä utoihin. Edelleen on kuitenkin kysymys Coulombin voimst eli
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotMITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotTasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.
KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt
LisätiedotDigitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30
Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),
LisätiedotPinta-alan laskeminen
Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin
Lisätiedot3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
Lisätiedot763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin
LisätiedotY56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset
Y6 Mikron jtkokurssi kl 008: HARJOITUSTEHTÄVÄT Mllivstukset Kuluttjn vlint (Muokttu Burketist 006, 07) Olkoon Mrkon udjettirjoite = 40 Mrkoll on hvin kättätvät referenssit j Mrkon rjusustituutiosuhde on
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
LisätiedotTeoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta
Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on
Lisätiedot7.lk matematiikka. Geometria 1
7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
LisätiedotViivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta
Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes
LisätiedotVEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1
VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
Lisätiedot5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)
5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
Lisätiedot4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotJäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä
ynmiikk 1 Liite lukuun 6. Jäykän kppleen tskinetiikk - hrjitustehtäviä 6.1 vlvpkettiutn mss n 1500 kg. ut lähtee levst liikkeelle 10 % ylämäkeen j svutt vkikiihtyvyydellä npeuden 50 km / h 1 10 60 m mtkll.
LisätiedotLujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET
Lujuusopi jtkokussi III. III. LAATTARAKENTEET Lttketeet tti Lähteemäki Lujuusopi jtkokussi III. JOHDANTO Tsopitketee kuomitus void jk keskipi suutisee j sitä vst kohtisuo kuomituksee eli lev- j lttkuomituksee.
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
Lisätiedot601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
LisätiedotVastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.
S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
Lisätiedot8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella
H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että
LisätiedotSarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
LisätiedotTehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
LisätiedotOlkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)
T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
LisätiedotOlkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään
T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
Lisätiedot4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI
4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotMonikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat
MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
Lisätiedot3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus
Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto
LisätiedotTYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.
TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk
LisätiedotGeometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä
Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotSuoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
Lisätiedot2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
LisätiedotLuento 5 Fotogrammetrian perusteet
GIS-E From mesurements to mps Luento 5 Fotogrmmetrin perusteet Henrik Hggrén Petri Rönnholm Oppimistvoitteet Nope fotogrmmetrin kooste Miten 3D mittuksi voi tehdä D kuvilt mmärtää erilisi koordintistoj,
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotRunkovesijohtoputket
Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist
Lisätiedot33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light)
68 33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nture nd Propgtion of Light) Toinen ihmiselle tärkeä luonnon ltoliike, meknisten ääniltojen lisäksi, liittyy näkemiseen j on tietysti vlo. Vlo on sähkömgneettist ltoliikettä
Lisätiedotnormaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät
TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,
LisätiedotSuorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat
Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist
LisätiedotSäännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
LisätiedotAsennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN)
Pyydämme lukemn käyttöohjeen huolellisesti läpi j noudttmn sitä! Ohjeiden liminlyönti voi joht kytkimen toiminthäiriöihin j siitä johtuviin vurioihin. Nämä käyttöohjeet (B.1.0.FIN) ovt os kytkintoimitust.
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
LisätiedotMonikulmion pinta-ala ylioppilaille
Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n
LisätiedotKognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP
Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }
LisätiedotKirjallinen teoriakoe
11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1
Lisätiedotb) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan
A1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
LisätiedotAutomaatin tunnistama kieli on sen hyväksymien merkkijonojen joukko. Täsmällinen muotoilu: δ,q 0,{q 2,q 3,q 6 }), missä
T 79.1001/1002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.3 Äärellisen utomtin käsitteen formlisointi eknistinen mlli: syötenuh: nuhpää: ohjusyksikkö: i n p δ u q 1 q 2 Äärellinen utomtti koostuu äärellistilisest
LisätiedotAnalyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita
Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
Lisätiedot6 Kertausosa. 6 Kertausosa
Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)
Lisätiedot2.1 Vaillinaiset yhtälöt
.1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
Lisätiedot