Kiertomatriisi Erikoistyö. Petri Rönnholm

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kiertomatriisi Erikoistyö. Petri Rönnholm"

Transkriptio

1 Kietomtiisi Eikoistö Peti önnholm

2 isälls JOHDANO KEOUUNNA 3 OMEGA-, PH- JA KAPPA-KEO 3 ALPHA-, N- JA KAPPA-KEO 5 5 KOLMULOEEN KEOMAN OMNAUUKA 7 6 KEOMAN KOVAAMNEN MLLÄ AHANA OOGONAALELLA MALLA 9 7 KEOMAN LAKEMNEN 3 PEEN JA KAMEAN POJEKOPEEN AVULLA 8 KEOMA OANA MUUNNOKA 8. Kolmiulotteinen hdenmuotoisuusmuunnos 8. Kollineisuushtälöt 8.3 Ktselupiste, -suunt j suhteellinen liikkuminen -mtii vull 3 LÄHEE Liitteet: Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen suuntkoien vull Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen geometisesti Liite 3: 3D kietomtii lskeminen D osmtiiseist Liite. odigues-mtii muodostminen

3 Johdnto Kietomtiisi on peustöklu kikenlisiin koodintistojen, pisteiden j kppleiden kietoihin. Kätännön toteutuksiss vlmiin kietomtii kättäminen on tehokst j kketist. Kietomtiisi sisältää kuitenkin pljon enemmän kuin enäkemältä voisi kuvitell. oislt se on tehoks töklu, mutt toislt ilmn hiemn svempää tuntemist sen knss voi tull llättäviä ongelmi. ämän tön on tkoitus koot kietomtii ominisuuksi, tulkintoj j muodostmistpoj ksiin knsiin. Kietosuunnt Kietojen mmätämiseksi on en mmäettävä kolmiulotteisen koodintiston sopimuksi. leensä kätetään oikekätistä koodintisto, jolloin koodinttikseleit voidn kuvt oiken käden somill kuv. Kuv. Oikekätisen koodintiston kselien suunnt voidn tkist settmll oiken käden peuklo, etusomi j etusomi kuvn esittämällä tvll. Vsenkätiseen koodintistoon voidn kättää vstvsti vsent kättä. On sovittu, että kieon suunt jonkin kselin mpäi ktsotn oigost kohti kselin ksvusuunt. Kieto mötäpäivään voidn tkist toisen somisäännön vull kuv, joss peuklo litetn kselin ksvusuuntn j muut somet tipuvt luonnollisesti mötäpäivään kselin mpäille. Kuv. Kun peuklo setetn kselin ksvusuuntn, muut somet osoittvt kieon mötäpäivään.

4 Etenkin, kun mietitään kietosuunti kksiulotteisess tpuksess, knntt oll eitisen huolellinen j kättää edellä minittuj muistisääntöjä. Kuvss 3 on esitett, miten kksiulotteisess kieoss ensisilmäs voi hämätä. Kieon suunt ei voi päätellä miettimättä mihin suuntn -kseli osoitt. A B C D Kuv 3. Kikiss kuviss lkupeäinen koodintisto on esitett htenäisellä viivll j kieett koodintisto ktkoviivll. Kieot ovt -kselin mpäi joko mötä- ti vstpäivään. A -kseli uppo ppein sisään, joten kieto on mötäpäivään. B -kseli nousee ppeist löspäin, joten kieto on vstpäivään. C Kieto on vstpäivään. D Kieto on mötäpäivään. euvss esitetään kieot mötäpäivään kunkin koodinttikselin mpäi. Kksiulotteisten kietomtiisien johtminen on esitett liitteissä j. Omeg-kieto ϖ -kselin mpäi mötäpäivään: ϖ osϖ ϖ ϖ osϖ Phi-kieto ϕ -kselin mpäi mötäpäivään: osϕ ϕ ϕ ϕ osϕ

5 Kpp-kieto -kselin mpäi mötäpäivään: os os 3 euvss esitetään kieot vstpäivään kunkin koodinttikselin mpäi. Omeg-kieto ϖ -kselin mpäi vstpäivään: ϖ osϖ ϖ ϖ osϖ Phi-kieto ϕ -kselin mpäi vstpäivään: osϕ ϕ ϕ 5 ϕ osϕ Kpp-kieto -kselin mpäi vstpäivään: os os 6 Kolmiulotteinen kietomtiisi sdn lskettu ketomll mtiisit käänteisesti hlutuss kietojäjestksessä. Esimekiksi, jos hlutn kietojäjestkseksi omeg, phi j kpp, kolmiulotteinen kietomtiisi stisiin htälöstä:. 7 ϖϕ ϕ ϖ Liitteessä 3 on esitett, miksi osmtiisien ketominen tehdään käänteisessä jäjestksessä kietojäjestkseen nähden. 3 Omeg-, phi- j kpp-kieot leisesti kätett tp on jtell kieot koodinttikselien mpäi siten, että ω on kieto -kselin mpäi, ϕ on kieto -kselin mpäi j on kieto -kselin mpäi. euvss on esitett kietomtiisi, joss kietojäjests on ωϕ j kikki kieot ovt positiivisi mötäpäivään kseliins nähden kuv 3

6 osϕ os ωϕ osϕ ϕ osω ω ϕ os osω os ω ϕ ω osϕ ω osω ϕ os osω osω ϕ osω osϕ 8 Homogeenisess koodintostoss mtiisi voidn kijoitt: ωϕ Kietomtii elementtien...nn indeksöinti on vlittu niin, että se vst fotogmmetisten kollineisuushtälöiden leisestä kätäntöä. Mtiisi tekee muunnoksen lkupeäisestä koodintistost kietneeseen koodintistoon. Fotogmmetisiss tehtävissä leensä jtelln, että kohdekoodintisto on lkupeäinen j kmen koodintisto on kietnt. Mtiisi siis kätetään muunnokseen kohdekoodintistost kmekoodintistoon. Kun hlutn tehdä muunnos kmekoodintistost kohdekoodintistoon, kätetään kietomtii tnspoosi ϖϕ. Kpp- ϖϕ leess keotn tkemmin, miksi näin voi tehdä. ϖϕ χ ϕ o ω Kuv. Kieot -, - j -kselien mpäi ovt positiivisi mötäpäivään. Kietomtii elementtien lskentkvt muuttuvt, jos kietojäjeststä ti kietojen positiivisi suunti muutetn. Mtii elementeistä tulee kuitenkin numeeisesti smt huolimtt vlitust jäjestelmästä. Jos on olemss tunnettu kietomtiisi, voidn siitä lske käänteisesti kieot esimekiksi kvoill: tn 3 ω, 3 ϕ, tn.

7 Kietomtiisi ei ole ksiselitteinen. m kietomtiisi voidn muodost khdell eilisell ωϕ-hdistelmällä. ämän johdost tulee eikseen tkist, että sdut kulmt ovt hlutuss neljänneksessä. [7], [3] Alph-, n- j kpp-kieto Kietomtiisi voidn muodost mös kuvussuunnn tsimuutin α, kuvkllistuksen ν j kuvkieon vull kuv 5. Eitisesti viistokuvuksiss tämä kietojäjestelmä on helpompi mieltää kuin ωϕ-kieot. Kietomtiisi kietojäjestksessä αν, joss kikki kieot ovt positiivisi mötäpäivään on muoto [] osα os α osν α os osα osν ν αν osα α osν os α osα osν os ν os α ν osα ν osν Kietomtii elementtien... indeksöinti on vlittu niin, että se vst fotogmmetisten kollineisuushtälöiden leisestä kätäntöä. Mtiisi αν tekee muunnoksen lkupeäisestä koodintistost kietneeseen koodintistoon. Fotogmmetisiss tehtävissä leensä jtelln, että kohdekoodintisto on lkupeäinen j kmen koodintisto on kietnt. Mtiisi αν siis kätetään muunnokseen kohdekoodintistost kmekoodintistoon. Kun hlutn tehdä muunnos kmekoodintistost kohdekoodintistoon, kätetään kietomtii tnspoosi αν. Kppleess keotn tkemmin, miksi näin voi tehdä. Kolmiulotteinen kietomtiisi muodostuu kuvn 5 B, C j D mukisist kksiulotteisist kietomtiiseist kieett mötäpäivään: osα α α α osα ν osν ν ν osν 3 os os 5 αν ν α 5

8 A B H N kuv ν α α α α α α mnpint N H α C α D α αν αν ν ν ν α Kmen suunt αν α ν α αν αν αν αν Kuv 5. A leiskuv αν-kieoist [7]. B Kieto tsimuutin mpäi, C kuvkllistus j D kuvkieto [] Kätännön sovelluksi vten on huomttv, että edellä nnetuss kietomtiisiss kuvussuunnn tsimuutin ksvusuunt on vstkkinen esimekiksi kompssisuunnn knss kuv 5 A. Jos hlutn suon kättää kompssisuunti, lph-kieto pitää tehdä vstpäivään. Kuten ωϕ-kietojenkin tpuksess mös αν-kieot on lskettviss tunnetust kietomtiisist: tn 3 α, os 3 ν, tn Mös αν-kietojen oiket neljännekset on tkstettv eikseen, kosk kietomtiisi ei ole ksiselitteinen. Huomttv on mös, jos kuvn 5 C ν-kieto on noll ndiiikuvus, α- j -kieot tphtuvt smn koodinttikselin mpäi. ellisess tpuksess näiden kietojen eotteleminen toisistn on siis mhdotont. leensä lph-nkpp kietoj kätetäänkin vin muihin kuin pstkuvuksiin. Mkuvuksiss lphn-kpp kieot ovt helpommin miellettävissä kuin omeg-phi-kpp kieot. 6

9 5 Kolmiulotteisen kietomtii ominisuuksi Kolmiulottinen kietomtiisi on otogonlinen. Otogonlinen koodintisto on suokulminen, joten eteneminen hden kselin suuntn on iippumtont sijinnist toisten kseleiden suhteen. Kieettävän kohteen muoto ei muunnoksess muutu. 3 Kuv 6. kstelln kolmiulotteisen kietomtii ensimmäistä iviä. ivin kolme elementtiä,, 3 ovt kietneen -kselin ksikkövektoin pojektiot -, - j - kseleille []. Kietomtii vkivit ovt kietneen koodintiston kseleiden ksikkövektoeiden pojektiot lkupeäisen koodintiston kseleille. Kuvss 6 on tätä hvinnollistettu hdellä kietneellä kselill. Vstv tkstelu voidn tehdä kikille kolmelle kselille. ksikkövektoin pituus on tietsti ksi, joten. 7 3 Kosk tiedämme etukäteen tuloksen olevn ksi, voidn lskuist jättää neliöjuui pois. m ehto toimii mös pstskkeisiin. illoin kseessä on lkupeäisten koodinttikselien ksikkövektoeiden pojektiot kietneen koodintiston koodinttikseleille. ivejä j skkeit kutsutn otonomleiksi Otonomlin ssteemin määitelmään kuuluvt lisäksi, että kunkin ivin ti skkeen välinen sisätulo on noll: 7

10 Edellä esitett otogonliehdot voidn kijoitt leisessä tpuksess, jos pst- j vkskkeit mekitään...n lindeksi j viitt iveihin j k skkeisiin [5]: j k j k,, jos j k jos j k 8 Nt voidn todist otogonlisen mtii kätännön knnlt ehkä täkein ominisuus [5]: A A A : A : n. n [ ] n... n. n..... n n n 9 Otogonlisen mtii käänteismtiisi on siis sm kuin sen tnspoosi: A A Otogonlisen mtii deteminntti on ti [5]: det det AA - det AA det A det A det A Lisäksi jokinen mtii elementti on htä suui kuin lideteminnttins [7]. Kolmiulotteiselle kietomtiisille siis pätee:

11 Jos keotn kksi smnkokoist otogonlist mtiisi keskenään, tuloksen sdn mös otogonlinen mtiisi [8]: AB BA AB B BA A A B AB B B B BA A A A B A 3 Otogonlisi kietomtiisej voidn siis hdistellä ketomll kdottmtt otogonlisuutt. 6 Kietomtii kovminen millä thns otogonlisell mtiisill Kietomtiisi voidn kovt millä thns mtiisill, mikä toteutt otogonlisuusehdot [7]. tse kolmiulotteinen kietomtiisi ps smn, mutt sen muodostminen j tulkint muuttuu. ksi vihtoehto on odigues-mtiisi muodostminen esitett liitteessä, jok on kennettu kolmest iippumttomst pmetist, j : Pienillä kieoill pmetit, j vstvt ωϕ-kietoj. ässä htedessä esitetään vielä toinen otogonlinen mtiisi, jok on kennettu nomlist kietomtiisist vlitsemll kolme toisistn iippumtont elementtiä. Kikki loput mtii elementit on lusuttu näiden kolmen funktioin: Mtii muodostminen peustuu otogonlisuusehtoihin: vk- ti pstivien sisätulo on, joten sekä jokinen elementti on htä suui kuin lideteminnttins kpple 5. 9

12 ijoitetn vielä :een: Kietomtii lskeminen 3 pisteen j kmen pojektiopisteen vull Kietomtiisi voidn lske, jos tunnetn 3 pistettä mstost. Kuvn pojektiokeskus tät en oll tunnettu. e voidn lske pisteistä esimekiksi Mülle/Killin menetelmällä, jok on esitett Kus kijss kppleess... [, s. 8-]. Kuvss 8 on esitett, kuink vektoit i, j j k ovt sellisen koodintiston kselien suuntisi, joss -kseli kulkee pisteiden P j P kutt. -koodintisto voi oll siis kietnt suhteess kuvkoodintistoon. Lisäksi molemmt edelliset koodintistot voivt oll kietneinä suhteess mstokoodintistoon. ehdään en muunnos -koodintistost mstokoodintistoon. Mstopisteen koodinttej mekitään :llä j kuvpistettä -koodintistoss :llä: ˆ 6 Muunnoksess kuvlt mhn pisteestä P lähteviä ksikkövektoeit mekitään smoleill i, j j k. ksikköektoi i vlittiin -kselin suuntiseksi, joten pätee P P i. 7 P P ksikkövektoi k on kohtisuoss vektoien P j P viittämään tsoon nähden: P P3 k P P P P3. 8 P P P P 3

13 ksikkövektoi j on ts kohtisuoss khteen edellä johdettuun vektoiin nähden: j k i. 9 ksikkövektoit i, j j k ovt kietomtii vkivit tässä jäjestksessä. ä vstv menettel tehdään muunnksess -koodintistost -koodintistoon. Nt smoj ksikkövektoeit mekitään selvden vuoksi ei smoleill î, ĵ j kˆ. Jos kuvpistettä -koodintistoss mekitään ts :llä j vstv kuvpistettä -kuvkoodintistoss :llä, sdn muunnos ˆ 3 ksikkövektoit î, ĵ j kˆ ovt kietomtii ˆ vkivit tässä jäjestksessä. Nt voidn hdistää mtiisit, jott stisiin suo muunnos -kuvkoodintistost -mstokoodintistoon: ˆ. 3 Lskuiss tvittvt vektoien OP i pituudet sdn kuvkoodinttien vull kuv 8: OP i i i, i,, 3. 3 [] O O P k P j i P P 3 P P 3 kˆ ĵ P î P ˆ P 3 Kuv 7. -koointistoss olevien ksikkövektoien muunnos -mstokoodintistoon sekä -kuvkoodintistoon. []

14 8 Kietomtiisi osn muunnoksi ässä kppleess esitellään kolme täkeää muunnost, joiss kolmiulotteist kietomtiisi kätetään tehokksti hväksi. Eilisi kättökohteit kietomtiisille on olemss huomttvsti enemmän kuin tässä htedessä esitetään. 8. Kolmiulotteinen hdenmuotoisuusmuunnos Kolmiulotteisell hdenmuotoisuusmuunnoksell voidn 3D-pisteelle lske uudet 3Dkoodintit kietneessä, siitneessä j mittkvltn muuttuneess koodintistoss. Muunnost kutsutn mös leisesti seitsemänpmetiseksi muunnokseksi [6]. Jos mekitään pistettä P lkupeäisessä koodintistoss p j kieetssä koodintistoss p, voidn kolmiulotteinen hdenmuotoisuusmuunnos kijoitt: t p p λ, missä λ on mittkvkeoin, on kolmiulotteinen kietomtiisi j t on koodintiston siito. 8. Kollineisuushtälöt Kollineisuushtälöiden vull voidn tehdä muunnos mstost kuvlle [7]: sekä kääntäen kuvlt mstoon:

15 htälöissä... ovt kietomtii elementit,,, kmen pojektiokeskuksen koodintit,,, mstopiste,, kuvn pääpiste,, kuvpiste j - on kmevkio* Ktselupiste, -suunt j suhteellinen liikkuminen -mtii vull ämän kppleen sovelluksi on kätett vähemmän fotogmmetiss, mutt konenäön puolell j 3D-peliteollisuudess hvinkin leisesti. Oletetn, että ktselij on pisteessä P,, j ktsoo tiettn suuntn. Ktseen suunt sisält homogeenisess koodintistoss esitettn kolmiulotteiseen kietomtiisiin j pikk mtiisiin. Nämä voidn hdistää smn mtiisiin []: Jos ktseen suunt hlutn muutt keotn mtiisi uudell kietomtiisill: _ uusi muutos _ vnh 36 Liike kietneen koodintiston kseleiden suuntisesti voidn tehdä pienellä lisäksellä. Kppleess 5 esitettin, kuink kietomtii. ivi on kietneen -kselin,. ivi -kselin j 3. ivi -kselin ksikkövektoin pojektiot lkupeäisessä,,-koodintistoss. iippuen siitä, minkä koodinttikselin suuntisesti hlutn liikku, voidn kunkin ivin moniket lisätä mtiisiin. iito -kselin suuntisesti on n n _ siito, 37 n 3 siito -kselin suuntisesti on n n _ siito 37 n 3 j siito -kselin suuntisesti on 3

16 n 3 n 3 _ siito. 37 n Ketomll mtiisit j siito sdn siis mtiisi, joll pst siitämään ktselupistettä n:n pitui skelein kunkin kmekoodinttikselin suunnss tvitsemtt huolehti kulmist. Lähteet [] Chuh, E., 98, heo of Photogmmet, No. 9 in seies of ulletins pulished the deptment of photogmmet use univesit, New ok, 69 sivu. [] Gue, D.,, he Mthemtis of the 3D ottion Mti, Pesented t the teme Gme Developes Confeene, epteme 3-Otoe,, nt Cl, Clifoni, sivu luettu 7... [3] Kus, K., 993, Photogmmet, Volume, Fundmentls nd tndd Poess, Fed. Dummles Velg, Bonn, 397 sivu. [] Kus, K., 997, Photogmmet, Volume, Advned Methods nd Applitions, Fed. Dummles Velg, Bonn, 66 sivu. [5] Kesig, E., 993, Advned Engineeing Mthemtis, eventh edition, John Wile & ons n., ingpoe. [6] Moffit, F., E. Mikhil, 98, Photogmmet, hid Edition, Hpe & ow, Pulishes, New ok, 68 sivu. [7] hwidefsk, K., F. Akemnn, 976, Fotogmmeti; Peusteit, menetelmiä j sovelluksi, uom. E. Kilpelä, Otkustntmo, Otniemi, 38 sivu. [8] hihuo, W., 99, Piniples of Photogmmet With emote eng, Pulishing House of uveing nd Mpping, Beijing, 575 sivu.

17 Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen suuntkoien vull -koodintiston kpp-kieto -kselin mpäi mötäpäivään Muodostetn suuntkoit otetn koi kseleiden välisistä kulmist lkupeäisen j kietneen koodintiston koodinttikselien välille []: os os os os os os os os os uuntkoit ketovt muunnosvektoit lkupeäisisestä koodintistost uuteen koodintistoon: lusutn esim. :n, :n j :n vull. Koodintisto on kieett :n ven, joten voidn kijoitt: os os os os Kuvst voidn luke muiden kseleiden väliset kulmt: gon > os os gon - 3 gon os os3 gon -kseli on 9 stett eli gon sekä - että -kselist: gon os gon Kulm, joten os os. Nt voidn koot kksiulotteinen kietomtiisi : os os Vstv tkstelu voidn tehdä mös omeg- j phi-kieoille. 5

18 -koodintiston kpp-kieto -kselin mpäi vstpäivään Muodostetn suuntkoit lkupeäisen j kietneen koodintiston koodinttikselien välille []: os os os os os os os os os uuntkoit ketovt muunnosvektoin lkupeäisisestä koodintistost uuteen koodintistoon. Koodintisto on kieett :n ven, joten voidn kijoitt: os os os os Kuvst voidn luke muiden kseleiden väliset kulmt: 3 gon > os os3 gon os os - -kseli on 9 stett eli gon sekä - että -kselist: gon os gon Kulm, joten os os. Nt voidn koot kksiulotteinen kietomtiisi : os os Vstv tkstelu voidn tehdä mös omeg- j phi-kieoille. 6

19 7 Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen geometisesti Kpp-kieto -kselin mpäi mötäpäivään elvitetään htes lkupeäisen j kietneen koodintiston välille: <> Kuvn piste P näk sekä lkupeäisessä koodintistoss että kietneessä koodintistoss. Apuviivojen vull on lödett hdenmuotoisi kolmioit, joiden vull voidn htes koodintistojen välille selvittää. d Apukolmiost voidn luke: os d Apukolmioist voidn luke: os Nämä hmitellään :n j :n mukn, jolloin sdn: d os os Kolmiulotteisen htedet ovt nt: os os Kietomtiisi voidn kijoitt poimimll :n :n j :n ketoimet: os os Kpp-kieto -kselin mpäi vstpäivään P d

20 8 elvitetään htes lkupeäisen j kietneen koodintiston välille: <> Kuvn piste P näk sekä lkupeäisessä koodintistoss että kietneessä koodintistoss. Apuviivojen vull on lödett hdenmuotoisi kolmioit, joiden vull voidn htes koodintistojen välille selvittää. d Apukolmiost voidn luke: os d Apukolmioist voidn luke: os Nämä hmitellään :n j :n mukn, jolloin sdn: d os os Kolmiulotteisen htedet ovt nt: os os Kietomtiisi voidn kijoitt poimimll :n :n j :n ketoimet: os os P d

21 Liite 3. 3D kietomtii lskeminen D osmtiiseist Nimetään lkupeäinen piste p j kieett piste p. Päätetään tehdä kieot jäjestksessä: omeg, phi j kpp. Kieetään pistettä tässä jäjestksessä kieto kelln: ϖ p ϕ p Nt hdistetään sdut tulokset käänteisesti: p p. ϕ ϕ ϖ Kolmiulotteinen kietomtiisi siis tulee lske käänteisessä jäjestksessä kietojäjestkseen nähden. Kietojäjestkselle omeg, phi j kpp sdn 3D kietomtiisi siis: ϖϕ ϕ ϖ j kieett piste sdn siis: p ϕ ϖ p ϖϕ p 9

22 Liite. odigues-mtii muodostminen Muodostetn ntismmetinen mtiisi kolmest elementistä, j [8]. Antismmetisessä mtiisiss elementit sijitsevt smmetisesti, mutt ei mekkiä: - Lähdetään liikkeelle ntismmetisestä mtiisist : Otogonlinen mtiisi voidn muodost ksikkömtii vull:. ämä voidn todist: odigues-mtiisi voidn kijoitt uki :

23 Mtii muuttujt, j eivät ole geometisesti helposti hvinnollistettviss, mutt pienillä kieoill ne vstvt ωϕ-kietoj [7].

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Jakso 7. Lorentz-voima

Jakso 7. Lorentz-voima Jkso 7. Loentz-voim Mgnetismi-ilmiö on monelle mysteei. Siksi sen vull voidn helposti huijt ihmisiä j myydä kiken milmn polttoineen säästäjiä utoihin. Edelleen on kuitenkin kysymys Coulombin voimst eli

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET

Lujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET Lujuusopi jtkokussi III. III. LAATTARAKENTEET Lttketeet tti Lähteemäki Lujuusopi jtkokussi III. JOHDANTO Tsopitketee kuomitus void jk keskipi suutisee j sitä vst kohtisuo kuomituksee eli lev- j lttkuomituksee.

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä

Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä ynmiikk 1 Liite lukuun 6. Jäykän kppleen tskinetiikk - hrjitustehtäviä 6.1 vlvpkettiutn mss n 1500 kg. ut lähtee levst liikkeelle 10 % ylämäkeen j svutt vkikiihtyvyydellä npeuden 50 km / h 1 10 60 m mtkll.

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN)

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN) Pyydämme lukemn käyttöohjeen huolellisesti läpi j noudttmn sitä! Ohjeiden liminlyönti voi joht kytkimen toiminthäiriöihin j siitä johtuviin vurioihin. Nämä käyttöohjeet (B.1.0.FIN) ovt os kytkintoimitust.

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light)

33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light) 68 33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nture nd Propgtion of Light) Toinen ihmiselle tärkeä luonnon ltoliike, meknisten ääniltojen lisäksi, liittyy näkemiseen j on tietysti vlo. Vlo on sähkömgneettist ltoliikettä

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }

Lisätiedot

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan A1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016 lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

Säännöt 2 7. Regler 8 13. Regler. Regler. Rules 26 31

Säännöt 2 7. Regler 8 13. Regler. Regler. Rules 26 31 Säännöt 8 9 Rules B tyhjä suositusruutu krtt rhmittri vesiruutu viinitrhruutu utio viinitrhruutu Sisällys C pelilut Viiniyhdistyksen suositus -ltt hintmerkkiä Ltikoit: punviiniltikko vlkoviiniltikko smppnjltikko

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press. Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä

Lisätiedot

Mat. tukikurssi 27.3.

Mat. tukikurssi 27.3. Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle Vkioiden vriointi kolmnnen kertluvun yhtälölle Olkoon trksteltvn kolmnnen kertluvun linerinen epähomogeeninen differentiliyhtälö > diffyht:= (-1)*diff(y(), $3)-*diff(y(), $2)+diff(y(), )=ep(^2); diffyht

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050 OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot