Kiertomatriisi Erikoistyö. Petri Rönnholm

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kiertomatriisi Erikoistyö. Petri Rönnholm"

Transkriptio

1 Kietomtiisi Eikoistö Peti önnholm

2 isälls JOHDANO KEOUUNNA 3 OMEGA-, PH- JA KAPPA-KEO 3 ALPHA-, N- JA KAPPA-KEO 5 5 KOLMULOEEN KEOMAN OMNAUUKA 7 6 KEOMAN KOVAAMNEN MLLÄ AHANA OOGONAALELLA MALLA 9 7 KEOMAN LAKEMNEN 3 PEEN JA KAMEAN POJEKOPEEN AVULLA 8 KEOMA OANA MUUNNOKA 8. Kolmiulotteinen hdenmuotoisuusmuunnos 8. Kollineisuushtälöt 8.3 Ktselupiste, -suunt j suhteellinen liikkuminen -mtii vull 3 LÄHEE Liitteet: Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen suuntkoien vull Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen geometisesti Liite 3: 3D kietomtii lskeminen D osmtiiseist Liite. odigues-mtii muodostminen

3 Johdnto Kietomtiisi on peustöklu kikenlisiin koodintistojen, pisteiden j kppleiden kietoihin. Kätännön toteutuksiss vlmiin kietomtii kättäminen on tehokst j kketist. Kietomtiisi sisältää kuitenkin pljon enemmän kuin enäkemältä voisi kuvitell. oislt se on tehoks töklu, mutt toislt ilmn hiemn svempää tuntemist sen knss voi tull llättäviä ongelmi. ämän tön on tkoitus koot kietomtii ominisuuksi, tulkintoj j muodostmistpoj ksiin knsiin. Kietosuunnt Kietojen mmätämiseksi on en mmäettävä kolmiulotteisen koodintiston sopimuksi. leensä kätetään oikekätistä koodintisto, jolloin koodinttikseleit voidn kuvt oiken käden somill kuv. Kuv. Oikekätisen koodintiston kselien suunnt voidn tkist settmll oiken käden peuklo, etusomi j etusomi kuvn esittämällä tvll. Vsenkätiseen koodintistoon voidn kättää vstvsti vsent kättä. On sovittu, että kieon suunt jonkin kselin mpäi ktsotn oigost kohti kselin ksvusuunt. Kieto mötäpäivään voidn tkist toisen somisäännön vull kuv, joss peuklo litetn kselin ksvusuuntn j muut somet tipuvt luonnollisesti mötäpäivään kselin mpäille. Kuv. Kun peuklo setetn kselin ksvusuuntn, muut somet osoittvt kieon mötäpäivään.

4 Etenkin, kun mietitään kietosuunti kksiulotteisess tpuksess, knntt oll eitisen huolellinen j kättää edellä minittuj muistisääntöjä. Kuvss 3 on esitett, miten kksiulotteisess kieoss ensisilmäs voi hämätä. Kieon suunt ei voi päätellä miettimättä mihin suuntn -kseli osoitt. A B C D Kuv 3. Kikiss kuviss lkupeäinen koodintisto on esitett htenäisellä viivll j kieett koodintisto ktkoviivll. Kieot ovt -kselin mpäi joko mötä- ti vstpäivään. A -kseli uppo ppein sisään, joten kieto on mötäpäivään. B -kseli nousee ppeist löspäin, joten kieto on vstpäivään. C Kieto on vstpäivään. D Kieto on mötäpäivään. euvss esitetään kieot mötäpäivään kunkin koodinttikselin mpäi. Kksiulotteisten kietomtiisien johtminen on esitett liitteissä j. Omeg-kieto ϖ -kselin mpäi mötäpäivään: ϖ osϖ ϖ ϖ osϖ Phi-kieto ϕ -kselin mpäi mötäpäivään: osϕ ϕ ϕ ϕ osϕ

5 Kpp-kieto -kselin mpäi mötäpäivään: os os 3 euvss esitetään kieot vstpäivään kunkin koodinttikselin mpäi. Omeg-kieto ϖ -kselin mpäi vstpäivään: ϖ osϖ ϖ ϖ osϖ Phi-kieto ϕ -kselin mpäi vstpäivään: osϕ ϕ ϕ 5 ϕ osϕ Kpp-kieto -kselin mpäi vstpäivään: os os 6 Kolmiulotteinen kietomtiisi sdn lskettu ketomll mtiisit käänteisesti hlutuss kietojäjestksessä. Esimekiksi, jos hlutn kietojäjestkseksi omeg, phi j kpp, kolmiulotteinen kietomtiisi stisiin htälöstä:. 7 ϖϕ ϕ ϖ Liitteessä 3 on esitett, miksi osmtiisien ketominen tehdään käänteisessä jäjestksessä kietojäjestkseen nähden. 3 Omeg-, phi- j kpp-kieot leisesti kätett tp on jtell kieot koodinttikselien mpäi siten, että ω on kieto -kselin mpäi, ϕ on kieto -kselin mpäi j on kieto -kselin mpäi. euvss on esitett kietomtiisi, joss kietojäjests on ωϕ j kikki kieot ovt positiivisi mötäpäivään kseliins nähden kuv 3

6 osϕ os ωϕ osϕ ϕ osω ω ϕ os osω os ω ϕ ω osϕ ω osω ϕ os osω osω ϕ osω osϕ 8 Homogeenisess koodintostoss mtiisi voidn kijoitt: ωϕ Kietomtii elementtien...nn indeksöinti on vlittu niin, että se vst fotogmmetisten kollineisuushtälöiden leisestä kätäntöä. Mtiisi tekee muunnoksen lkupeäisestä koodintistost kietneeseen koodintistoon. Fotogmmetisiss tehtävissä leensä jtelln, että kohdekoodintisto on lkupeäinen j kmen koodintisto on kietnt. Mtiisi siis kätetään muunnokseen kohdekoodintistost kmekoodintistoon. Kun hlutn tehdä muunnos kmekoodintistost kohdekoodintistoon, kätetään kietomtii tnspoosi ϖϕ. Kpp- ϖϕ leess keotn tkemmin, miksi näin voi tehdä. ϖϕ χ ϕ o ω Kuv. Kieot -, - j -kselien mpäi ovt positiivisi mötäpäivään. Kietomtii elementtien lskentkvt muuttuvt, jos kietojäjeststä ti kietojen positiivisi suunti muutetn. Mtii elementeistä tulee kuitenkin numeeisesti smt huolimtt vlitust jäjestelmästä. Jos on olemss tunnettu kietomtiisi, voidn siitä lske käänteisesti kieot esimekiksi kvoill: tn 3 ω, 3 ϕ, tn.

7 Kietomtiisi ei ole ksiselitteinen. m kietomtiisi voidn muodost khdell eilisell ωϕ-hdistelmällä. ämän johdost tulee eikseen tkist, että sdut kulmt ovt hlutuss neljänneksessä. [7], [3] Alph-, n- j kpp-kieto Kietomtiisi voidn muodost mös kuvussuunnn tsimuutin α, kuvkllistuksen ν j kuvkieon vull kuv 5. Eitisesti viistokuvuksiss tämä kietojäjestelmä on helpompi mieltää kuin ωϕ-kieot. Kietomtiisi kietojäjestksessä αν, joss kikki kieot ovt positiivisi mötäpäivään on muoto [] osα os α osν α os osα osν ν αν osα α osν os α osα osν os ν os α ν osα ν osν Kietomtii elementtien... indeksöinti on vlittu niin, että se vst fotogmmetisten kollineisuushtälöiden leisestä kätäntöä. Mtiisi αν tekee muunnoksen lkupeäisestä koodintistost kietneeseen koodintistoon. Fotogmmetisiss tehtävissä leensä jtelln, että kohdekoodintisto on lkupeäinen j kmen koodintisto on kietnt. Mtiisi αν siis kätetään muunnokseen kohdekoodintistost kmekoodintistoon. Kun hlutn tehdä muunnos kmekoodintistost kohdekoodintistoon, kätetään kietomtii tnspoosi αν. Kppleess keotn tkemmin, miksi näin voi tehdä. Kolmiulotteinen kietomtiisi muodostuu kuvn 5 B, C j D mukisist kksiulotteisist kietomtiiseist kieett mötäpäivään: osα α α α osα ν osν ν ν osν 3 os os 5 αν ν α 5

8 A B H N kuv ν α α α α α α mnpint N H α C α D α αν αν ν ν ν α Kmen suunt αν α ν α αν αν αν αν Kuv 5. A leiskuv αν-kieoist [7]. B Kieto tsimuutin mpäi, C kuvkllistus j D kuvkieto [] Kätännön sovelluksi vten on huomttv, että edellä nnetuss kietomtiisiss kuvussuunnn tsimuutin ksvusuunt on vstkkinen esimekiksi kompssisuunnn knss kuv 5 A. Jos hlutn suon kättää kompssisuunti, lph-kieto pitää tehdä vstpäivään. Kuten ωϕ-kietojenkin tpuksess mös αν-kieot on lskettviss tunnetust kietomtiisist: tn 3 α, os 3 ν, tn Mös αν-kietojen oiket neljännekset on tkstettv eikseen, kosk kietomtiisi ei ole ksiselitteinen. Huomttv on mös, jos kuvn 5 C ν-kieto on noll ndiiikuvus, α- j -kieot tphtuvt smn koodinttikselin mpäi. ellisess tpuksess näiden kietojen eotteleminen toisistn on siis mhdotont. leensä lph-nkpp kietoj kätetäänkin vin muihin kuin pstkuvuksiin. Mkuvuksiss lphn-kpp kieot ovt helpommin miellettävissä kuin omeg-phi-kpp kieot. 6

9 5 Kolmiulotteisen kietomtii ominisuuksi Kolmiulottinen kietomtiisi on otogonlinen. Otogonlinen koodintisto on suokulminen, joten eteneminen hden kselin suuntn on iippumtont sijinnist toisten kseleiden suhteen. Kieettävän kohteen muoto ei muunnoksess muutu. 3 Kuv 6. kstelln kolmiulotteisen kietomtii ensimmäistä iviä. ivin kolme elementtiä,, 3 ovt kietneen -kselin ksikkövektoin pojektiot -, - j - kseleille []. Kietomtii vkivit ovt kietneen koodintiston kseleiden ksikkövektoeiden pojektiot lkupeäisen koodintiston kseleille. Kuvss 6 on tätä hvinnollistettu hdellä kietneellä kselill. Vstv tkstelu voidn tehdä kikille kolmelle kselille. ksikkövektoin pituus on tietsti ksi, joten. 7 3 Kosk tiedämme etukäteen tuloksen olevn ksi, voidn lskuist jättää neliöjuui pois. m ehto toimii mös pstskkeisiin. illoin kseessä on lkupeäisten koodinttikselien ksikkövektoeiden pojektiot kietneen koodintiston koodinttikseleille. ivejä j skkeit kutsutn otonomleiksi Otonomlin ssteemin määitelmään kuuluvt lisäksi, että kunkin ivin ti skkeen välinen sisätulo on noll: 7

10 Edellä esitett otogonliehdot voidn kijoitt leisessä tpuksess, jos pst- j vkskkeit mekitään...n lindeksi j viitt iveihin j k skkeisiin [5]: j k j k,, jos j k jos j k 8 Nt voidn todist otogonlisen mtii kätännön knnlt ehkä täkein ominisuus [5]: A A A : A : n. n [ ] n... n. n..... n n n 9 Otogonlisen mtii käänteismtiisi on siis sm kuin sen tnspoosi: A A Otogonlisen mtii deteminntti on ti [5]: det det AA - det AA det A det A det A Lisäksi jokinen mtii elementti on htä suui kuin lideteminnttins [7]. Kolmiulotteiselle kietomtiisille siis pätee:

11 Jos keotn kksi smnkokoist otogonlist mtiisi keskenään, tuloksen sdn mös otogonlinen mtiisi [8]: AB BA AB B BA A A B AB B B B BA A A A B A 3 Otogonlisi kietomtiisej voidn siis hdistellä ketomll kdottmtt otogonlisuutt. 6 Kietomtii kovminen millä thns otogonlisell mtiisill Kietomtiisi voidn kovt millä thns mtiisill, mikä toteutt otogonlisuusehdot [7]. tse kolmiulotteinen kietomtiisi ps smn, mutt sen muodostminen j tulkint muuttuu. ksi vihtoehto on odigues-mtiisi muodostminen esitett liitteessä, jok on kennettu kolmest iippumttomst pmetist, j : Pienillä kieoill pmetit, j vstvt ωϕ-kietoj. ässä htedessä esitetään vielä toinen otogonlinen mtiisi, jok on kennettu nomlist kietomtiisist vlitsemll kolme toisistn iippumtont elementtiä. Kikki loput mtii elementit on lusuttu näiden kolmen funktioin: Mtii muodostminen peustuu otogonlisuusehtoihin: vk- ti pstivien sisätulo on, joten sekä jokinen elementti on htä suui kuin lideteminnttins kpple 5. 9

12 ijoitetn vielä :een: Kietomtii lskeminen 3 pisteen j kmen pojektiopisteen vull Kietomtiisi voidn lske, jos tunnetn 3 pistettä mstost. Kuvn pojektiokeskus tät en oll tunnettu. e voidn lske pisteistä esimekiksi Mülle/Killin menetelmällä, jok on esitett Kus kijss kppleess... [, s. 8-]. Kuvss 8 on esitett, kuink vektoit i, j j k ovt sellisen koodintiston kselien suuntisi, joss -kseli kulkee pisteiden P j P kutt. -koodintisto voi oll siis kietnt suhteess kuvkoodintistoon. Lisäksi molemmt edelliset koodintistot voivt oll kietneinä suhteess mstokoodintistoon. ehdään en muunnos -koodintistost mstokoodintistoon. Mstopisteen koodinttej mekitään :llä j kuvpistettä -koodintistoss :llä: ˆ 6 Muunnoksess kuvlt mhn pisteestä P lähteviä ksikkövektoeit mekitään smoleill i, j j k. ksikköektoi i vlittiin -kselin suuntiseksi, joten pätee P P i. 7 P P ksikkövektoi k on kohtisuoss vektoien P j P viittämään tsoon nähden: P P3 k P P P P3. 8 P P P P 3

13 ksikkövektoi j on ts kohtisuoss khteen edellä johdettuun vektoiin nähden: j k i. 9 ksikkövektoit i, j j k ovt kietomtii vkivit tässä jäjestksessä. ä vstv menettel tehdään muunnksess -koodintistost -koodintistoon. Nt smoj ksikkövektoeit mekitään selvden vuoksi ei smoleill î, ĵ j kˆ. Jos kuvpistettä -koodintistoss mekitään ts :llä j vstv kuvpistettä -kuvkoodintistoss :llä, sdn muunnos ˆ 3 ksikkövektoit î, ĵ j kˆ ovt kietomtii ˆ vkivit tässä jäjestksessä. Nt voidn hdistää mtiisit, jott stisiin suo muunnos -kuvkoodintistost -mstokoodintistoon: ˆ. 3 Lskuiss tvittvt vektoien OP i pituudet sdn kuvkoodinttien vull kuv 8: OP i i i, i,, 3. 3 [] O O P k P j i P P 3 P P 3 kˆ ĵ P î P ˆ P 3 Kuv 7. -koointistoss olevien ksikkövektoien muunnos -mstokoodintistoon sekä -kuvkoodintistoon. []

14 8 Kietomtiisi osn muunnoksi ässä kppleess esitellään kolme täkeää muunnost, joiss kolmiulotteist kietomtiisi kätetään tehokksti hväksi. Eilisi kättökohteit kietomtiisille on olemss huomttvsti enemmän kuin tässä htedessä esitetään. 8. Kolmiulotteinen hdenmuotoisuusmuunnos Kolmiulotteisell hdenmuotoisuusmuunnoksell voidn 3D-pisteelle lske uudet 3Dkoodintit kietneessä, siitneessä j mittkvltn muuttuneess koodintistoss. Muunnost kutsutn mös leisesti seitsemänpmetiseksi muunnokseksi [6]. Jos mekitään pistettä P lkupeäisessä koodintistoss p j kieetssä koodintistoss p, voidn kolmiulotteinen hdenmuotoisuusmuunnos kijoitt: t p p λ, missä λ on mittkvkeoin, on kolmiulotteinen kietomtiisi j t on koodintiston siito. 8. Kollineisuushtälöt Kollineisuushtälöiden vull voidn tehdä muunnos mstost kuvlle [7]: sekä kääntäen kuvlt mstoon:

15 htälöissä... ovt kietomtii elementit,,, kmen pojektiokeskuksen koodintit,,, mstopiste,, kuvn pääpiste,, kuvpiste j - on kmevkio* Ktselupiste, -suunt j suhteellinen liikkuminen -mtii vull ämän kppleen sovelluksi on kätett vähemmän fotogmmetiss, mutt konenäön puolell j 3D-peliteollisuudess hvinkin leisesti. Oletetn, että ktselij on pisteessä P,, j ktsoo tiettn suuntn. Ktseen suunt sisält homogeenisess koodintistoss esitettn kolmiulotteiseen kietomtiisiin j pikk mtiisiin. Nämä voidn hdistää smn mtiisiin []: Jos ktseen suunt hlutn muutt keotn mtiisi uudell kietomtiisill: _ uusi muutos _ vnh 36 Liike kietneen koodintiston kseleiden suuntisesti voidn tehdä pienellä lisäksellä. Kppleess 5 esitettin, kuink kietomtii. ivi on kietneen -kselin,. ivi -kselin j 3. ivi -kselin ksikkövektoin pojektiot lkupeäisessä,,-koodintistoss. iippuen siitä, minkä koodinttikselin suuntisesti hlutn liikku, voidn kunkin ivin moniket lisätä mtiisiin. iito -kselin suuntisesti on n n _ siito, 37 n 3 siito -kselin suuntisesti on n n _ siito 37 n 3 j siito -kselin suuntisesti on 3

16 n 3 n 3 _ siito. 37 n Ketomll mtiisit j siito sdn siis mtiisi, joll pst siitämään ktselupistettä n:n pitui skelein kunkin kmekoodinttikselin suunnss tvitsemtt huolehti kulmist. Lähteet [] Chuh, E., 98, heo of Photogmmet, No. 9 in seies of ulletins pulished the deptment of photogmmet use univesit, New ok, 69 sivu. [] Gue, D.,, he Mthemtis of the 3D ottion Mti, Pesented t the teme Gme Developes Confeene, epteme 3-Otoe,, nt Cl, Clifoni, sivu luettu 7... [3] Kus, K., 993, Photogmmet, Volume, Fundmentls nd tndd Poess, Fed. Dummles Velg, Bonn, 397 sivu. [] Kus, K., 997, Photogmmet, Volume, Advned Methods nd Applitions, Fed. Dummles Velg, Bonn, 66 sivu. [5] Kesig, E., 993, Advned Engineeing Mthemtis, eventh edition, John Wile & ons n., ingpoe. [6] Moffit, F., E. Mikhil, 98, Photogmmet, hid Edition, Hpe & ow, Pulishes, New ok, 68 sivu. [7] hwidefsk, K., F. Akemnn, 976, Fotogmmeti; Peusteit, menetelmiä j sovelluksi, uom. E. Kilpelä, Otkustntmo, Otniemi, 38 sivu. [8] hihuo, W., 99, Piniples of Photogmmet With emote eng, Pulishing House of uveing nd Mpping, Beijing, 575 sivu.

17 Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen suuntkoien vull -koodintiston kpp-kieto -kselin mpäi mötäpäivään Muodostetn suuntkoit otetn koi kseleiden välisistä kulmist lkupeäisen j kietneen koodintiston koodinttikselien välille []: os os os os os os os os os uuntkoit ketovt muunnosvektoit lkupeäisisestä koodintistost uuteen koodintistoon: lusutn esim. :n, :n j :n vull. Koodintisto on kieett :n ven, joten voidn kijoitt: os os os os Kuvst voidn luke muiden kseleiden väliset kulmt: gon > os os gon - 3 gon os os3 gon -kseli on 9 stett eli gon sekä - että -kselist: gon os gon Kulm, joten os os. Nt voidn koot kksiulotteinen kietomtiisi : os os Vstv tkstelu voidn tehdä mös omeg- j phi-kieoille. 5

18 -koodintiston kpp-kieto -kselin mpäi vstpäivään Muodostetn suuntkoit lkupeäisen j kietneen koodintiston koodinttikselien välille []: os os os os os os os os os uuntkoit ketovt muunnosvektoin lkupeäisisestä koodintistost uuteen koodintistoon. Koodintisto on kieett :n ven, joten voidn kijoitt: os os os os Kuvst voidn luke muiden kseleiden väliset kulmt: 3 gon > os os3 gon os os - -kseli on 9 stett eli gon sekä - että -kselist: gon os gon Kulm, joten os os. Nt voidn koot kksiulotteinen kietomtiisi : os os Vstv tkstelu voidn tehdä mös omeg- j phi-kieoille. 6

19 7 Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen geometisesti Kpp-kieto -kselin mpäi mötäpäivään elvitetään htes lkupeäisen j kietneen koodintiston välille: <> Kuvn piste P näk sekä lkupeäisessä koodintistoss että kietneessä koodintistoss. Apuviivojen vull on lödett hdenmuotoisi kolmioit, joiden vull voidn htes koodintistojen välille selvittää. d Apukolmiost voidn luke: os d Apukolmioist voidn luke: os Nämä hmitellään :n j :n mukn, jolloin sdn: d os os Kolmiulotteisen htedet ovt nt: os os Kietomtiisi voidn kijoitt poimimll :n :n j :n ketoimet: os os Kpp-kieto -kselin mpäi vstpäivään P d

20 8 elvitetään htes lkupeäisen j kietneen koodintiston välille: <> Kuvn piste P näk sekä lkupeäisessä koodintistoss että kietneessä koodintistoss. Apuviivojen vull on lödett hdenmuotoisi kolmioit, joiden vull voidn htes koodintistojen välille selvittää. d Apukolmiost voidn luke: os d Apukolmioist voidn luke: os Nämä hmitellään :n j :n mukn, jolloin sdn: d os os Kolmiulotteisen htedet ovt nt: os os Kietomtiisi voidn kijoitt poimimll :n :n j :n ketoimet: os os P d

21 Liite 3. 3D kietomtii lskeminen D osmtiiseist Nimetään lkupeäinen piste p j kieett piste p. Päätetään tehdä kieot jäjestksessä: omeg, phi j kpp. Kieetään pistettä tässä jäjestksessä kieto kelln: ϖ p ϕ p Nt hdistetään sdut tulokset käänteisesti: p p. ϕ ϕ ϖ Kolmiulotteinen kietomtiisi siis tulee lske käänteisessä jäjestksessä kietojäjestkseen nähden. Kietojäjestkselle omeg, phi j kpp sdn 3D kietomtiisi siis: ϖϕ ϕ ϖ j kieett piste sdn siis: p ϕ ϖ p ϖϕ p 9

22 Liite. odigues-mtii muodostminen Muodostetn ntismmetinen mtiisi kolmest elementistä, j [8]. Antismmetisessä mtiisiss elementit sijitsevt smmetisesti, mutt ei mekkiä: - Lähdetään liikkeelle ntismmetisestä mtiisist : Otogonlinen mtiisi voidn muodost ksikkömtii vull:. ämä voidn todist: odigues-mtiisi voidn kijoitt uki :

23 Mtii muuttujt, j eivät ole geometisesti helposti hvinnollistettviss, mutt pienillä kieoill ne vstvt ωϕ-kietoj [7].

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä

Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä ynmiikk 1 Liite lukuun 6. Jäykän kppleen tskinetiikk - hrjitustehtäviä 6.1 vlvpkettiutn mss n 1500 kg. ut lähtee levst liikkeelle 10 % ylämäkeen j svutt vkikiihtyvyydellä npeuden 50 km / h 1 10 60 m mtkll.

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

Mat. tukikurssi 27.3.

Mat. tukikurssi 27.3. Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016 lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle Vkioiden vriointi kolmnnen kertluvun yhtälölle Olkoon trksteltvn kolmnnen kertluvun linerinen epähomogeeninen differentiliyhtälö > diffyht:= (-1)*diff(y(), $3)-*diff(y(), $2)+diff(y(), )=ep(^2); diffyht

Lisätiedot

33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light)

33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light) 68 33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nture nd Propgtion of Light) Toinen ihmiselle tärkeä luonnon ltoliike, meknisten ääniltojen lisäksi, liittyy näkemiseen j on tietysti vlo. Vlo on sähkömgneettist ltoliikettä

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050 OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden

Lisätiedot

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A 3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4.50 Lsknnllinn systmiiologi 4. Hrjoitus. Viill tutkittvll ljill (,, c, j ) on määrätty täisyyt c 0 8 8 8 0 8 8 8 c 0 4 4 0 0 Määritä puurknn käyttän UPGMA-mntlmää. Näytä kunkin vihn osrkntt vstvin täisyyksinn.

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Kurssikoe, FY5 Pyöriminen ja gravitaatio,

Kurssikoe, FY5 Pyöriminen ja gravitaatio, Kussikoe, FY5 Pöiinen j gittio, 5.4.6 Vst in iiteen tehtäään. Jokisess tehtäässä ksii pisteäää on kuusi pistettä. Voit psti tehdä ekintöjä ös tehtääppeiin, niitä ei huoioid ioinniss. Plut ös tehtääppei..

Lisätiedot

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Sisällysluettelo: 1. Johdnto 2. Peruselementit Tunnus j versiot...2.1 Tunnuksen

Lisätiedot

Nelikanavainen vahvistin aktiivisella jakosuotimella

Nelikanavainen vahvistin aktiivisella jakosuotimella Mrkku Kuppinen Neliknvinen vhvistin ktiivisell jkosuotimell Vhvistimen yleisselostus Suunnittelun lähtökohtn on ollut toteutt edullinen mutt kuitenkin lduks ktiivisell jkosuotimell vrustettu stereovhvistin

Lisätiedot

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L ) 76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti

Lisätiedot

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä. .. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi

Lisätiedot

Usean muuttujan funktiot

Usean muuttujan funktiot Usean muuttujan funktiot Johdantoa Kertauksen vuoksi seuraavassa kuviossa on joitakin asioita, joita olemme laskeneet hden muuttujan funktioista f() : [a, b] R Kuvion kärä on funktion f() kuvaaja = f()

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Funktion raja-arvo Monisteen määritelmässä 32 s 55 määritellään funktion f) raja-arvo f) ja sitä selitetään huomautuksen 33 kohdassa a) Seuraavassa on a hiukan tarkempi

Lisätiedot

järjestelmät Jatkuva-aikaiset järjestelmät muunnostason ratkaisu Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen

järjestelmät Jatkuva-aikaiset järjestelmät muunnostason ratkaisu Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen DEE- Lineiet jäjetelmät Jtkuv-ikiet jäjetelmät muunnoton tkiu Lineiet jäjetelmät Rito Mikkonen Lplce-muunno Aikton DY Aikton tkiu Lplcemuunno Käänteimuunno Rtkiu -to 2 Lineiet jäjetelmät Rito Mikkonen

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen

Lisätiedot

6.2 Algoritmin määritelmä

6.2 Algoritmin määritelmä 6.2 Algoritmin määritelmä Mitä lgoritmill yleensä trkoitetn? Peritteess: Yksiselitteisesti kuvttu jono (tietojenkäsittely)opertioit, jotk voidn toteutt meknisesti. Käytännössä: luonnollist kieltä, pseudokoodi

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT OUML6421B3004 3-tilohjttu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET i Lämmityksen säätö i Ilmnvihtojärjestelmät TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia

Lisätiedot

Luku 21 Kustannuskäyrät

Luku 21 Kustannuskäyrät Luku 2 Kustannuskärät Edellisessä luvussa johdimme ritksen kustannusfunktion minimoimalla ritksen tuotannon kokonaiskustannuksia. Kustannusfunktiota ja sen ominaisuuksia voidaan tarkastella graafisesti

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat Markus Harju. Matemaattiset tieteet

Johdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat Markus Harju. Matemaattiset tieteet Johdtus L A TEXiin 7. Tulukot j kuvt Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 7. Tulukot j kuvt Johdtus LTeXiin (2/) Tulukot I Tulukkomiset rkenteet tehdään ympäristöllä tbulr Ympäristön rgumentiksi nnetn srkemäärittely,

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...

Lisätiedot

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015 MATEMATIIKKA Mtemtiikk pintkäsittelijöille Peruslskutoimitukset Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ 1. Lskujärjestys 1. Murtoluvuill lskeminen. Suureet j mittyksiköt. Potenssi. Juuri 6. Tekijäyhtälöiden rtkiseminen

Lisätiedot

Rekursioyhtälön ratkaisutapa #1: iteratiivinen korvaus

Rekursioyhtälön ratkaisutapa #1: iteratiivinen korvaus NodeCount(v /* lskee solmun v lipuun solmujen lukumäärän */ if solmu v on null return 0 else return + NodeCount(v.left + NodeCount(v.right Rekursio: lgoritmi kutsuu itseään Usein hjot j hllitse -perite:

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Laskennan perusmallit (LAP)

Laskennan perusmallit (LAP) Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen mterileist muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden 2014

Lisätiedot

Ankkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti Framax Xlife

Ankkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti Framax Xlife 999805711-02/2015 fi Muottimestrit. nkkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti rmx Xlife Käyttäjätieto sennus- j käyttöohje 9764-445-01 Johdnto Käyttäjätieto nkkurijärjestelmä Monotec dnto Joh- by ok

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

RATKAISUT: 6. Pyörimisliike ja ympyräliike

RATKAISUT: 6. Pyörimisliike ja ympyräliike Phyic 9 pio () 6 Pyöiiliike j ypyäliike : 6 Pyöiiliike j ypyäliike 6 ) Pyöiiliikkeeä kpple pyöii joki keli ypäi Kpplee eto uuttuu b) Ypyäliikkeeä kpple liikkuu pitki ypyät dϕ c) Hetkellie kulopeu ω o kietokul

Lisätiedot

Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite

Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Hakemisto KATSO MYÖS: potenssi, juuret, polnomit, rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, logaritmifunktio, trigonometriset funktiot, arcusfunktiot,

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

Asennusohje EPP-0790-FI-4/02. Kutistemuovijatkos Yksivaiheiset muovieristeiset. Cu-lanka kosketussuojalla 12 kv & 24 kv.

Asennusohje EPP-0790-FI-4/02. Kutistemuovijatkos Yksivaiheiset muovieristeiset. Cu-lanka kosketussuojalla 12 kv & 24 kv. Asennusohje EPP-0790-FI-4/02 Kutistemuovijtkos Yksiviheiset muovieristeiset kpelit Cu-lnk kosketussuojll 12 kv & 24 kv Tyyppi: MXSU Tyco Electronics Finlnd Oy Energy Division Konlntie 47 F 00390 Helsinki

Lisätiedot

2.2 Automaattien minimointi

2.2 Automaattien minimointi 24 2.2 Automttien minimointi Kksi utomtti, jotk tunnistvt täsmälleen smn kielen ovt keskenään ekvivlenttej Äärellinen utomtti on minimlinen jos se on tilmäärältään pienin ekvivlenttien utomttien joukoss

Lisätiedot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena

Lisätiedot

Osittaisderivaatat. Huomautus 4.15 (Geometrinen tulkinta)

Osittaisderivaatat. Huomautus 4.15 (Geometrinen tulkinta) Osittaisderivaatat Monisteessa määritellään sivulla 31 osittaisderivaatat: useamman muuttujan funktion osittaisderivaatat saadaan derivoimalla aina hden muuttujan suhteen pitämällä muita muuttujia vakioina.

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa 1/5 Sisältö ESITIEDOT: integraalifunktio, määrätty integraali, derivointisäännöt Hakemisto

Integroimistekniikkaa 1/5 Sisältö ESITIEDOT: integraalifunktio, määrätty integraali, derivointisäännöt Hakemisto Integroimistekniikk /5 Sisältö Sijoitsmenettely Annetn fnktion integrlifnktiot lskettess fnktiot pyritään mntmn siten, että tlos voidn tnnist jonkin lkeisfnktion derivtksi. Usein mntminen jodtn tekemään

Lisätiedot