Transkriptio

1 Kuva 1.13: Ultraäänikuvauksen periaate 2. Taaksepäin sironnut pulssi (kuvassa sininen käyrä) vastaanotetaan ja muunnetaan alla oleviksi kirkkausarvoiksi verhokäyrän (eng. envelope, kuvassa punainen käyrä) avulla. Ultraäänikuvauksen tarkempi matemaattinen malli on ääniaaltojen eli akustisten aaltojen etenemistä väliaineessa kuvaava malli. Aika-harmonista akustista aaltoa kappaleessa D R n voidaan kuvata yhtälöllä u(x) + ω2 u(x) = 0, x D, c 2 (x) missä ω on taajuus ja c(x) on äänen nopeus väliaineessa. Lähetettävää ääntä kuvataan yhtälöllä n(x) u(x) = f(x), x D, missä n(x) on pinnan D normaalivektori. Pinnalla vastaanotettua ääntä kuvataan yhtälöllä g(x) = u(x), x D. Funktion u(x) yhteys ajasta riippuvaan fysikaaliseen äänen paineeseen p(x, t) saadaan kaavasta p(x, t) = Re u(x)e iωt. Suora ongelma: Määrää u kun funktiot c ja f on annettu. Inversio-ongelma: Määrää c kun g tunnetaan eri funktioilla f. Tämä inversio-ongelma on myös käänteinen reuna-arvo-ongelma. Inversio-ongelmissa käytetään matematiikkaa erilaisten kuvantamismenetelmien parantamiseen. Samaa akustista yhtälöä voidaan käyttää seismisten eli maan tärinää kuvaavien aaltojen etenemisen kuvaamiseen. Maankuoren rakennetta voidaan kartoittaa täristämällä maanpintaa koneellisesti (tai räjäytyksien avulla) ja mittaamalla maankuoren epähomogeenisuuksista heijastunutta aaltoa maan pinnalla. Ääniaallot kulkevat hyvin myös vedessä, jolloin puhutaan kaikuluotaimista eli sonareista. 13

2 Esimerkki 8 Käänteisessä sirontaongelmassa (eng. inverse scattering problem) lähetetetään aalto (yleensä sähkömagneettinen tai akustinen) kohti tuntemattoman kappaletta tai väliainetta. Tuntematon poikkeama muuttaa lähetettyä aaltoa, jolloin syntyy sironnut aalto. Sironnutta aaltoa havainnoidaan etäällä tuntemattomasta poikkeamasta. Inversio-ongelmana on päätellä tuntemattoman rakenne näiden havaintojen perusteella. Kuva 1.14: Sironnan periaate. Tuleva aalto on u i. Sirottaja saa aikaan sironneen aallon u s. Koko aalto u = u i + u s. Matemaattisessa sironnassa aaltoa kutsutaan kentäksi (eng. field, tarkoittaa usean muuttujan funktiota). Sirontaa yksinkertaistetaan usein olettamalla, että kenttien aikariippuvuus on harmoninen eli u(x, t) = e iωt u(x). Aikaharmonista akustista sirontaongelmaa (eng. time-harmonic acoustic scattering), missä sirottaja on epähomogeeninen väliaine kuvaavat yhtälöt u(x) = u i (x) + u s (x) u(x) + ω2 c 2 (x) u(x) = 0, x Rn, missä ω on tulevan aallon taajuus. Lisäksi vaaditaan säteilyehto ( x lim x x x us (x) i ω ) c us (x) = 0 tasaisesti joka suuntaan x x Funktio c(x) kuvaa äänen nopeutta väliaineessa. Äänen nopeus on fysikaalinen suure, joka riippuu mm. väliaineen rakenteesta (esim. molekyylitiheydestä). Yllä oletetaan että c on positiivinen sileä funktio, joka on vakio kaukana sirottavasta poikkeamasta. Suorassa sirontaongelmassa pyritään määräämään sironnut kenttä u s kun u i ja c tunnetaan. Tuleva kenttä oletetaan usein tasoaalloksi u i (x) = e ia x, missä a on suuntavektori. Käänteisessä akustisessa sirontaongelmassa pyritään määräämään funktio c kun sironnut kenttä u s tunnetaan kaukana tuntemattomasta sirottajasta ja tuleva kenttä u i on 14

3 tunnettu. Funktio c kuvaa tuntamattoman kohteen rakennetta. Sähkömagneettinen sironta: Väliaineesta tapahtuvaa sähkömagneettista sirontaa voidaan kuvata seuraavasti. Olkoon E = E(x, t) C 2 (R 2 R + ; R 3 ) ja H = H(x, t) C 2 (R 2 R + ; R 3 ) sähkömagneettisen aallon sähkökenttä ja magneettikenttä. Isotrooppisessa väliaineessa nämä kentät toteuttavat Maxwellin yhtälöt Aikaharmonisessa tapauksessa H E(x, t) + µ 0 (x, t) = 0 t H(x, t) ɛ(x) E (x, t) = σ(x)e (x, t). t E(x, t) = ɛ E(x)e iωt, H(x, t) = µ H(x)e iωt, missä ω on aallon taajuus ja ɛ 0 ja µ 0 tyhjiön permittiivisyys ja permeabiliteetti. Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt ovat E(x) ikh(x) = 0 (1.1) H(x) + ikn(x)e(x) = 0 (1.2) missä heijastuskerroin n(x) = 1 ( ɛ(x) + i σ(x) ) ɛ 0 ω riippuu väliaineesta ja k = ω ɛ 0 µ 0. Olkoon E i ja H i aikaharmonsen Maxwellin yhtälöiden ratkaisu tyhjiössä (jolloin ɛ ɛ 0 ja σ 0). Kun tuleva kenttä (E i, H i ) kohtaa epähomogeenisen väliaineen, se siroaa. Tulevan ja sironneen kentän summa E = E i + E s, H = H i + H s toteuttaa epähomogeenisen aineen Maxwellin yhtälöt (1.1) ja (1.2). Lisäksi vaaditaan säteilyehto: tasaisesti joka suuntaan x x. lim x (Hs x x E s ) = 0 Suora ongelma: Määrää E s ja H s kun E i ja H i sekä n(x) on annettu. Inversio-ongelma: Määrää n(x) kun H s ja E s tunnetaan kaukana sirottavasta väliaineesta annetuilla E i ja H i. Käänteiset sironta-ongelmat (eng. inverse scattering problem) ovat matematiikaltaan haastavia. 15

4 1.3 Inversio-ongelmien luokittelua (A) Matemaattiset inversio-ongelmat. Esimerkiksi. Sirontaongelmat (esim. sironta väliaineesta, data yhdellä tai usealla tulevan aallon taajuudella tai tulosuunnalla) Käänteiset reuna-arvo-ongelmat (esim. impedanssitomografia) Matemaattinen tomografia (myös matka-aikatomografia) Alkuarvojen määrääminen Käänteiset ominaisarvo-ongelmat. (B) Käytännönläheiset ja laskennalliset inversio-ongelmat. Esimerkiksi Kuvankäsittely Kaukokartoitus (=etäällä olevien kohteiden kuvantaminen epäsuorien menetelmien avulla, mukaan lukien ekologiset, geologiset ja tähtitieteelliset kohteet) Lääketieteellinen kuvantaminen Ainetta rikkomaton testaus (mukaan lukien teollisten prosessien laadunvalvonta). Retrospektiiviset eli menneisyyteen liittyvät ongelmat (esim. mistä saastehiukkaset ovat kulkeutuneet) Biologiset inversio-onglmat (esim. Fylogeneettinen ongelma: Määrää DNAerojen perusteella missä järjestyksessä nykyiset lajit ovat eriytyneet toisistaan eli piirrä lajien evoluutiopuu.) Taloustieteen inversio-ongelmat (mallien parametrien määrääminen) 1.4 Yhteenveto Inversio-ongelmissa pyritään saamaan tietoa tuntemattomista kohteista epäsuorien havaintojen avulla. Inversio-ongelmat voidaan jakaa matemaattisiin ja käytännönläheisiin ongelmiin ja niitä tavataan useilla eri aloilla (missä?). Tyypilliset ominaisuudet: vaikeampia kuin suorat ongelmat. herkkiä datan häiriöille käytännön inversio-ongelmissa datan määrä on rajallinen Osattava: mainita käytännön esimerkkejä, joissa tuntemattomasta saadaan epäsuoraa tietoa. (suora tieto= havaitaan tuntemattoman arvoja, epäsuora tieto suora tieto), selittää mitä tarkoitetaan kuvan terävöittämisellä kun kuvan sumentamista mallintava kuvaus on annettu, 16

5 muotoilla tietokonetomorafiakuvaus matemaattisena ongelmana, selittää, mitä tarkoitetaan käänteisellä reuna-arvo-ongelmalla, kun suoran ongelman yhtälöt on annettu, selittää mitä tarkoittaa käänteinen sirontaongelma kun suoran sirontaongelman yhtälöt on annettu, selittää, mitä tarkoittaa suora teoria. 17

6 18

7 Luku 2 Äärellisulotteiset lineaariset inversio-ongelmat Kerrataan lineaarialgebran peruskäsitteitä. Joukko V R n on vektoriavaruuden R n lineaarinen aliavaruus, jos jokaisella a, b R ja x, z V pätee ax + bz V. Olkoon V R n lineaarinen alivaruus. Kuvaus F : V R m on lineaarikuvaus, jos F (ax + bz) = af (x) + bf (z) aina kun a, b R ja x, z R n. Olkoon matriisi M R n m. Tällöin F : x Mx on lineaarikuvaus avaruudelta R n avaruudelle R m. 2.1 Lineaarisuus Määritelmä 2. Inversio-ongelmaa sanotaan äärellisulotteiseksi, jos sekä tuntematon että data ovat äärellisulotteisten vektoriavaruuksien alkioita. Inversio-ongelmaa sanotaan lineaariseksi, jos sitä vastaava suora teoria on lineaarikuvaus. Esimerkki 1. Muodostetaan Luvun 1 Esimerkissä 1 olevan inversio-ongelman suora teoria ja tutkitaan, onko suora teoria lineaarikuvaus. Inversio-ongelma: Määrää luvut, joiden rivi-, sarake- ja värisummat on annettut. Inversio-ongelmassa tuntemattomasta vektoris-?????? x 1 x 4 x 7?? x 2 x 5 x 8?? x 3 x 6 x 9? Kuva 2.1: Ruudukko on kirjoitettu nyt vapaasti valittaville arvoille x 1,..., x 9 R. 19

8 ta x = (x 1,..., x 9 ) annettu data koostuu luvuista y k = F k (x), missä F 1 (x 1,..., x 9 ) = x 5 (punainen) F 2 (x 1,..., x 9 ) = x 1 + x 2 + x 3 (1. pystyrivi) F 3 (x 1,..., x 9 ) = x 4 + x 5 + x 6 (2. pystyrivi) F 4 (x 1,..., x 9 ) = x 7 + x 8 + x 9 (3. pystyrivi) F 5 (x 1,..., x 9 ) = x 2 + x 3 (pinkki) F 6 (x 1,..., x 9 ) = x 4 + x 8 (turkoosi) F 7 (x 1,..., x 9 ) = x 7 + x 6 (sininen) F 8 (x 1,..., x 9 ) = x 1 + x 9 (vihreä) F 9 (x 1,..., x 9 ) = x 1 + x 4 + x 7 (1. vaakarivi) F 10 (x 1,..., x 9 ) = x 2 + x 5 + x 8 (2. vaakarivi) F 11 (x 1,..., x 9 ) = x 3 + x 6 + x 9 (3. vaakarivi) Suora teoria F = (F 1,..., F 11 ) on vektorikuvaus, joka kuvaa vektorin x = (x 1,..., x 9 ) R 9 vektoriksi y = (F 1 (x),..., F 11 (x)) R 11. Yhtälöryhmä y = F (x) voidaan kirjoittaa matriisiyhtälönä y = Mx, missä y = (y 1,..., y 11 ), x = (x 1,..., x 9 ) ja M R 11 9 on muotoa M = Suora teoria F on matriisikuvauksena lineaarikuvaus. (Vaihteoehtoinen perustelu: Näytä, että F (ax + bz) = af (x) + bf (z) tarkastelemalla kutakin funktion F komponenttia F k erikseen.) Esimerkki 2. Luvun 1 Esimerkissä 4 käsiteltiin tutkaa. Yksinkertaistetaan tutkayhtälöä vielä lisää olettamalla, että kappaleen nopeus ja kiihtyvyys ovat nolla ja signaali on alassekoitettu kantotaajuudelta ω 0. Lisäksi otetaan huomioon, että digitaalinen mittalaite rekisteröi arvoja vain kiinnitetyillä tasavälisillä ajanhetkillä t 1,..., t m, missä t k = kt 1. Annettu data on silloin F k (x 1, x 2 ) = x 1 e(kt 1 x 2 ), k = 1,..., m 20

9 missä x 1 on kappaleesta takaisin tutkaan heijastuneen signaalin voimakkuus ja x 2 on kappaleen etäisyys tutkasta (sopivissa yksiköissä). Oletetaan vielä, että käytössä on ideaalinen pulssimuoto { 1, 0 t t 1 e(t) = 0, muulloin. Tällöin suora teoria F = (F 1,..., F m ) on epälineaarinen kuvaus, sillä esimerkiksi kun x = (1, t 1 ) ja z = (1, t 1 ), niin F 3 (x + z) = (x 1 + z 1 )e(3t 1 (x 2 + x 2 )) = 2e(3t 1 2t 1 ) = 2, mutta F 3 (x) = F 3 (z) = e(3t 1 t 1 ) = 0. Huomautus 1. Äärellisulotteinen vektoriavaruus soveltuu hyvin tuntemattomien kuvailuun käytännön inversio-ongelmissa, sillä usein tavoitteena on muodostaa kuva tuntemattomasta kohteesta. Jos kuvassa on N N pikseliä, niin tuntematon voidaan kuvata vektorina, jonka dimensio on n = N Hyvin ja huonosti asetetut ongelmat Seuraava määritelmä on inversio-ongelmien teorian kannalta tärkeä. Määritelmä 3 (Jacques Hadamard). Ongelma on hyvin asetettu (eng. well-posed), jos 1. Ongelmalla on ratkaisu. 2. Ratkaisu on yksikäsitteinen. 3. Ratkaisu riippuu annetusta datasta jatkuvasti. Tarkastellaaan inversio-ongelmaa, jossa suora teoria F : V W ja data y W on annettu. Yllä olevat kohdat 1-3 ovat silloin 1. Löytyy sellainen x V, että F (x) = y. 2. Aina kun x, x V toteuttavat yhtälön F (x) = y = F (x ), niin siitä seuraa, että x = x. 3. Käänteiskuvaus F 1 on jatkuva. Määritelmä 4. Jos ongelma ei ole hyvin asetettu, se on huonosti asetettu (eng. ill-posed). Tarkastellaaan äärellisulotteista lineaarista inversio-ongelmaa, jossa suora teoria F : V W aliavaruuksien V R n ja W R m välillä on määritelty matriisin M R m n avulla eli F (x) = Mx kaikilla x V. Lin. äärellisulotteinen inversio-ongelma ( ) Olkoot V R n ja W R m lineaarisia aliavaruuksia ja M R m n. Määrää sellainen x V, että y = Mx, kun y W on annettu. Tässä luvussa näytetään, että inversio-ngelma ( ) on hyvin asetettu, jos 21

10 jokaisella y W yhtälölle y = Mx löytyy ratkaisu x V. yhtälöllä Mx = 0 on aliavaruudessa V ainoastaan triviaali ratkaisu x = 0. Vastaavasti, inversio-ongelma ( ) on huonosti asetettu, jos edes toinen seuraavista väitteistä on totta: jollakin y W yhtälöllä y = Mx ei ole ratkaisua x V. löytyy x V, jolle x 0 ja Mx = 0. Huomautus 2. Tällä kurssilla käytetään lineaarialgebrasta tuttuja matriisiyhtälön ratkaisumenetelmiä. Matriisiyhtälön ratkaisu voidaan määrätä esim. ratkaisemalla matriisiyhtälö M x = y (i) takaisinsijoituksilla yhtälöryhmässä tai (ii) Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmällä. Käytännössä suurikokoisten matriisiyhtälöiden ratkaiseminen toteutetaan tietokoneella. On syytä muistaa, että tietokoneavusteisessa laskennassa tuloksien tarkkuutta rajoittaa numeerinen laskentatarkkuus. Huomautus 3. Huomioita hyvin ja huonosti määritellyistä inversio-ongelmista: Ratkaisun olemassaolon tarkastelu on tärkeää, kun ollaan suunnittelemassa tuntemattomasta tehtäviä mittauksia. Ei ole suotavaa, että ratkaisualgoritmi hajoaa, kun satutaan saamaan mittaustulokseksi tietty data. Käytännön kannalta yksikäsitteisyys on tärkeä kysymys. Esimerkiksi lääketieteellisessä kuvantamisessa epäyksikäsitteisyys lisää virhediagnoosin vaaraa: ei ole suotavaa, että haitallinen kudosmuutos tuottaisi täsmälleen saman mittausdatan kuin terve kudos. Jos suora teoria F : V 1 W on bijektio, niin käänteiskuvuas F 1 : W V 1 on olemassa, mutta se ei aina ole jatkuva, vaikka F olisi jatkuva. Silloin pienimmätkin häiriöt datassa voivat saada aikaan suuria muutoksia ratkaisuun Injektiivisyys Palautetaan lineaarialgebrasta mieliin seuraava tulos Lause 1. Olkoon V R n lineaarinen aliavaruus. Lineaarinen kuvaus F : V R m on injektio jos ja vain jos sen ydin N (F ) = {x V : F (x) = 0} sisältää vain nollavektorin. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että lineaarisen kuvauksen F matriisin M ytimelle N (M) = {x R n : Mx = 0} pätee V N (M) = {0}. Todistus. Katso Lineaarialgebran kurssit. Korollaari 1 (Identifioituvuus). Inversio-ongelman ( ) ratkaisu on yksikäsitteinen, jos ja vain jos suoran teorian F ydin N (F ) = {0}. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että V N (M) = {0}. Täten inversio-ongelman ( ) suora teoria on injektio, jos ja vain jos yhtälöllä Mx = 0 on aliavaruudessa V ainoastaan triviaaliratkaisu x = 0. 22

11 Esimerkki 3. Olkoon W = R 2, V = R 3 ja M = ( Silloin Mx = 0 jos ja vain jos x 1 + x 2 = 0 ja x 3 = 0. Toisin sanoen ). N (M) = {(x 1, x 1, 0) : x 1 R} {0}. Inversio-ongelma ( ) on tällöin huonosti asetettu, sillä sen ratkaisu ei ole yksikäsitteinen. Huomautus 4. Kun V = R n, W = R m ja n > m, niin suora teoria ei ole injektio. Esimerkki 4. Olkoon V = {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 0}, W = R 2 ja ( ) M = Onko inversio-ongelmalla ( ) yksikäsitteinen ratkaisu? Ratkaisu: Olkoon x = (x 1, x 2, x 3 ) V matriisiyhtälön 0 = Mx ratkaisu. Tällöin ( ) ( ) ( ) = x x x = 1, x x 1 + 3x 2 + x 3 3 mistä seuraa 0 = x 1 ja 0 = x 1 + 3x 2 + x 3 = 0 + 3x 2 + x 3. Koska x V, niin x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 2 = 0, x 3 = 0. Täten inversio-ongelmalla on yksikäsitteinen ratkaisu. Huomautus 5 (Affiinit ongelmat). Affiini aliavaruus V af R n on sellainen joukko, jolle V af + x 0 = {x + x 0 : x V af } on lin. aliavaruus jollakin x 0 R n. Jos Esimerkissä 4 lineaarinen aliavaruus V korvataan affiinilla alivaruudella, esim. V af = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 1}, niin joko (a) yksikäsitteisyys olisi tutkittava ehdon Mx = M x x = x avulla tai (b) affiini ongelma olisi ensin palautettava lineaariseksi ongelmaksi. Vaihtoehdossa (b) voidaan edetä esimerkiksi seuraavalla tavalla. Tuntemattoman x = (x 1, x 2, x 3 ) on toteutettava yhtälö x 1 + x 2 + x 3 = 1, jotta x V af. Tämä yhtälö voidaan lisätä matriisiyhtälöön, jolloin saadaan uusi lineaarinen ongelma y x 1 y 2 = x 2 ỹ = Mx, x 3 missä x R 3 ja ỹ = (y 1, y 2, 1) R 3. Esimerkki 5. Tarkastelllaan Luvun 1.2 Esimerkkiä 1. Merkitään datavektoria y = (y 1,..., y 11 ) ja tuntematonta x = (x 1,..., x 9 ). Muodostetaan suoran teorian F : R 9 R 11 matriisi M = M 12 9 rivi-, sarake- ja värisummista. 23

12 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 9 x 1 x 4 x 7 y 6 y 10 x 2 x 5 x 8 y 7 y 11 x 3 x 6 x 9 y 8 Luvun 1.2. Esimerkki 1: Määrää luvut, joiden rivi-, sarake- ja värisummat on annettut. Tällöin y 1 y x 1 y x 2 y x 3 y x 4 y = Mx y 6 = x 5. y x 6 y x 7 y x 8 y x 9 y Lineaarialgebran kurssilla on näytetty, että yhtälöllä 0 = M x on vain triviaaliratkaisu x = 0, jos ja vain jos M voidaan saattaa Gaussin ja Jordanin eliminointimentelmällä muotoon M Lähdetään viemään matriisia M kohti porrasmuotoa. Järjestetään ensin rivit uudelleen ja edetään Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmällä: 24

13 M

14 M ( 1) Täten kuvaus R 9 x Mx R 11 on injektio Surjektiivisuus Inversio-ongelmalla ( ) on ratkaisu, jos jokaisella y W matriisiyhtälölle löytyy ratkaisu x V. y = Mx Esimerkki 6. Olkoon M = Tutki onko inversio-ongelmalla ( ) ratkaisua, kun W = R 4 ja V = R 3. Ratkaisu: Käytetään Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmää täydennetylle matriisille y y y y y 1 + y y y y y 1 + y 4 y y y 3 2y y y y 2 y y 1 + y 4 y y 3 2y 2 Inversio-ongelmalla ( ) ei ole ratkaisua, kun 0 y 3 2y y 1 + y 4 y y y y y 1 + y 4 y y 2 y y 3 2y y 4