2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot

Transkriptio

1 2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot Olkoon I R väli. Yhden muuttujan funktion g : I R kuvaaja eli graafi on avaruuden R 2 osajoukko {(x, y) R 2 : x I, y = g(x)} Kuva 2.1: Funktion f(x) = 2x 3 1, x [ 1, 1], kuvaaja on avaruuden R 2 osajoukko.

2 Määritelmä Olkoon D R m. Funktion f : D R kuvaaja eli graafi on avaruuden R m+1 osajoukko {(x, y) R m+1 : x D, y = f(x)}. Esimerkki a) Asetetaan f(x 1, x 2 ) = e 1 2 (x2 1 +x2 2 ) kaikilla x 1, x 2 [ 5, 5]. Funktion f kuvaaja on avaruuden R 3 osajoukko {(x 1, x 2, e 1 2 (x2 1 +x2 2 ) ) : x 1, x 2 [ 5, 5]} Kuva 2.2: Funktion f(x 1, x 2 ) = e 1 2 (x2 1 +x2 2 ) kuvaaja on avaruuden R 3 osajoukko.

3 Esimerkki Funktion f(x) = 1 x, x R3 \{0} kuvaaja on avaruuden R 4 osajoukko {( x, 1 ) } : x R 3 \{0}. x Huomautus Funktioiden f : D R 3 R graafisessa esityksessä käytetään kuvaajan osajoukkoja. Eräs näistä on {(x, f(x)) D R : f(x) = C}, missä C on vakio. Määritelmä Olkoon f : D R m R. Joukkoa nmitetään funktion f tasa-arvojoukoksi: f 1 ({C}) = {x D : f(x) = C} R m Esimerkki Olkoon f(x 1, x 2, x 3 ) = x x 2 2 x 3, missä x 1, x 2, x 3 [ 1, 1]. Tasa-arvojoukko ({ }) { 1 f 1 = (x 1, x 2, x 3 ) [ 1, 1] 3 : x x 2 2 x 3 = 1 }. 3 3

4 Kuva 2.3: Funktion f(x 1, x 2, x 3 ) = x x 2 2 x 3, x i f ( 1 { 1 3 }) on avaruuden R 3 osajoukko. [ 1, 1] tasa-arvojoukko

5 Korkeaulotteisten funktoiden graafinen esittäminen on hankalaa. Funktioiden kuvaajia ja tasa-arvojoukkoja käytetään matematiikassa muuhunkin kuin graafiseen esittämiseen! Tangentti yleistyy uusen muuttujan tapauksessa tangenttiavaruudeksi, joka yleistyy moniston (eng. manifold) tangenttiavaruudeksi. Sovelluksissa tarvitaan monistoja, kun suorat eivät edusta lyhintä etäisyyttä pisteiden välillä. Kuuluisin esimerkki on yleinen suhteellisuusteoria, jossa avaruus on kaareutunut Toinen esimerkki on seismisten aaltojen eteneminen maapallon sisällä. Tasa-arvojoukkojen avulla määritellään säännöllisiä reunoja/pintoja/avoimia joukkoja. Näitä käytetään mm. osittaisdifferentiaaliyhtälöitä ratkottaessa. Säännöllisen pinnan pisteille määritellään normaalivektori, jolla on sovelluksia mm. sähkömagneettisissa ilmiöissä.

6 Kuva 2.4: Kaareutunut aika-avaruus (kuva Wikipedia). Kuva 2.5: Normaalivektoreita tietokonegrafiikassa. Kuva VTK Textbook (Schroeder, Martin, Lorensen et al.) (Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Unported License). Originaali:

7 2.6.1 Tangenttitavaruudet Yksiulotteisessa tapauksessa derivaatta määrää tangenttisuoran. Tangenttiavaruus määritellään gradientin avulla. Määritelmä Olkoon D R m, f : D R differentioituva joukon D sisäpisteessä a. Joukkoa T f,a = {(x 1,..., x m, y) R m+1 : y = f(a) + (x a) f(a)} nimitetään funktion f kuvaajan tangenttiavaruudeksi pisteessä (a, f(a)). Esimerkki a) Olkoon f(x 1, x 2 ) = x 2 1 2x 2 2 jokaisella x 1, x 2 R. Määrätään tangenttiavaruus pisteessä (a, f(a)), missä a = (3, 1). Silloin f(3, 1) = 11 ja f(3, 1) = ( 2x 1, 4x 2 ) (x1,x 2 )=(3.1) = ( 6, 4) Funktion f kuvaajan tangenttiavaruus pisteessä (3, 1, 11) on T f,a = {(x 1, x 2, y) R 3 : y = 11 6(x 1 3) 4(x 2 1)}

8 Kuva 2.6: Periaatekuva: funktion f(x 1, x 2 ) = x 2 1 2x 2 2 kuvaajan tangentttiavaruus pisteessä (3, 1, 11).

9 b) Olkoon f(x 1, x 2 ) = e 1 2 (x2 1 +x2 2 ) kaikilla x 1, x 2 [ 4, 4] ja a = ( 1 5, 5) 1. Silloin f(a) = e 25 1 ja ( f 1 5, 1 ) = ( x 1 e 1 2 (x2 1 x2 2 ), x 2 e 1 2 (x2 1 x2 2 ) ) 5 (x1,x 2 )=( 1 5,1 5) = (1 5 e 25, e 25). 1 ( ) Funktion f kuvaajan tangenttiavaruus pisteessä 1 5, 1 5, e 25 1 on { ( T f,a = (x 1, x 2, y) R 3 : y = e x ) e 1 ( x 2 1 ) } e

10

11 c) Kun piste a D R 2 on sellainen, että funktion f : D R on differentioituva pisteessä a ja sen gradientti f(a) = (0, 0), niin funktion f kuvaajan tangenttiavaruus pisteessä (a, f(a)) on joukko T f,a = {(x 1, x 2, y) R 3 : y = f(a)} = R 2 {f(a)}. Lause Olkoon T f,a kuten Määritelmässä Silloin T f,a on avaruuden R m+1 m- ulotteinen affiini aliavaruus. Todistus. Näytetään, että joukko T f,a (a, f(a)) = {(x, y) R m+1 : y = x f(a)} on aliavaruus: Vektori (x, y) T f,a (a, f(a)) jos ja vain jos vektori (x, y) on homogeenisen lineaarisen yhtälön 0 = [ f(a) 1 ] [ ] x, }{{} y =:A 1 (m+1) ratkaisu. Täten T f,a (a, f(a)) on matriisin A nolla-avaruutena aliavaruus. Nolla-avaruuden N(A) dimensio on m, sillä missä matriisin A aste rank(a) = 1. dim(r m+1 ) = rank(a) + dim(n(a)),

12 Huomautus Kun m = 2, niin tangenttiavaruus on taso, josta käytetään nimitystä tangenttitaso. Huomautus Kun tangenttiavaruuden määritelmää verrataan Taylorin 1. asteen kehitelmään f(a + h) = f(a) + h f(a) + R 2 pisteessä h = x a, niin havaitaan, että tangenttiavaruus on funktion f 1. asteen Taylorin polynomin (lokaalin linearisaation) f(a) + (x a) f(a) kuvaaja. 2.7 Tasa-arvojoukko ja sileä pinta Olkoon a R 2 ja r > 0. Avoimen pallon B(a, r) reuna on funktion f(x) = x a tasa-arvojoukko B(a, r) = {x R 2 : x a = 1}, Määritelmä Joukko S R m on C 1 -sileä (hyper)pinta, jos löytyy sellainen C 1 -funktio F : D R m R, D avoin, että S = F 1 ({C}) jollakin C R ja F (x) 0 jokaisella x S.

13 Esimerkki Avoimen pallon B(0, 3) reuna {x R 3 : x = 3} on C 1 -sileä pinta, sillä funktio F (x) = x kuuluu avaruuteen C 1 (R 3 \{0}) ja F (x) = x x 0, kun x = 3. Esimerkki Mitä tapahtuu, jos ehto F (x) 0 jokaisella x S ei täyty? Tarkastellaan funktiota, joka ei toteuta tätä vaatimusta. Olkoon F (x 1, x 2, x 3 ) = x x 2 2 x 2 3. Silloin F C 1 (R 3 ). Miltä näyttää tasa-arvojoukko F 1 ({0}), joka sisältää myös pisteen (0, 0, 0), jossa F (0, 0, 0) = (0, 0, 0)? Kuva 2.7: Periaatekuva: pisteessä (0, 0, 0) tasa-arvopinnalla on terävä kärki. Tämä ei intuitiivisesti ajatellen sovi yhteen sileyden kanssa.