802339A Inversio-ongelmien peruskurssi (Kevät 2017) Sari Lasanen

Transkriptio

1 802339A Inversio-ongelmien peruskurssi (Kevät 2017) Sari Lasanen 11. tammikuuta 2017

2 Inversio-ongelmien peruskurssi (5 op) Osaamistavoitteet: Kurssin onnistuneen suorittamisen jälkeen opiskelija tunnistaa useat inversio-ongelmat tietää inversio-ongelmien tyypilliset ominaisuudet osaa ratkaista yksinkertaisia inversio-ongelmia eksakteilla ja epätarkoilla arvoilla. Kirjallisuus: 1. Jari Kaipio, Erkki Somersalo: "Statistical and computational inverse problems". Springer-Verlag (Applied Mathematical Sciences, Vol. 160). 2. Daniela Calvetti, Erkki Somersalo: "Introduction to Bayesian scientific computing. Ten lectures on subjective computing"springer (Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences, Vol. 2) 2

3 Luku 1 Inversio-ongelmat Inversio-ongelmat ovat osa sovellettua matematiikkaa, mutta matka puhtaaseen matematiikkaan on lyhyt. Useat inversio-ongelmat tuottavat uutta tietoa sekä käytännön sovelluksesta että pelkästä matematiikasta. Jopa matematiikan alan arvostetuimmassa lehdessä Annals of Mathematics on julkaisuja inversio-ongelmista. Erityisesti inversio-ongelmiin erikoistuneita tieteellisiä lehtiä ovat: Inverse Problems (IP), Inverse Problems and Imaging (IPI), Journal of Inverse and Ill-posed Problems ja Inverse Problems in Science and Engineering. Näitä lehtiä voi lukea Oulun yliopiston kirjaston Nelli-portaalin kautta (myös etäkäytöllä). 1.1 Mitä inversio-ongelmat ovat? Inversio-ongelmissa pyritään saamaan tietoa tuntemattomista kohteista epäsuorien ja usein epätarkkojen havaintojen avulla. Esimerkkejä tutuista inversio-ongelmista ovat lääketietelliset kuvantamismenetelmät (ultraäänikuvaus, tietokonekerroskuvaus), kuvanparannus kuvankäsittelyssä ja sateen havainnointi säätutkalla. Tällä kurssilla tutustutaan matemaattisiin inversio-ongelmiin sekä yksinkertaisten inversio-ongelmien käytännön ratkaisumenetelmiin. Inversio-ongelman eli käänteisongelman nimitys tulee siitä että ensin on tunnettava suora ongelma, joka kertoo kuinka data y riippuu kiinnostuksen kohteena olevasta suureesta x. Tyypillisesti data y saadaan hyödyntämällä jotakin fysikaalista ilmiötä ja suora ongelma on kyseistä ilmiötä selittävä fysikaalinen teoria: sanotaan vaikka kuvaus x F (x) =: y. Suureet x ja y ovat useimmiten vektoreita tai usean muuttujan funcktioita. Määritelmä 1. Kuvausta F, joka vie tuntemattoman sitä vastaavaksi dataksi, kutsutaan suoraksi teoriaksi (eng. direct theory, forward mapping). Inversio-ongelmassa kysytään, mikä suure x on tuottanut datan y. Maallikkotermein asian voi selittää seuraavasti: Suora ongelma: Syistä seurauksiin. Inversio-ongelma: Seurauksista syihin. 1

4 Matemaattisesti kyse on käänteiskuvauksen F 1 määräämisestä, mutta tulemme näkemään että datan epätarkkuus mutkistaa asioita. Myös kuvaus F on tyypillisesti yksinkertaisempi käsitellä kuin sen käänteiskuvaus. 1.2 Esimerkkejä inversio-ongelmista ja niiden tyypillisistä ominaisuuksista Esimerkki 1 Suora ongelma: Laske yhteen luvut, jotka ovat samalla rivillä tai samalla sarakkeella tai samaa väriä.?????? 1 5 7?? 4 3 8?? 6 2 9? Inversio-ongelma: Määrää luvut, joiden rivi-, sarake- ja värisummat on annettut ??? 13 15??? 9 17??? 10 Inversio-ongelmat ovat usein vaikeanpia kuin suorat ongelmat. Esimerkki 2 Suora ongelma: Määrää funktio f C 1 (0, 1), kun sen derivaatta f (t) = 3t 2 ja alkuarvo f(0) = 0 on annettu. Inversio-ongelma: Määrää funktion f C 1 (0, 1) derivaatta f kun f(t) = t 3. Tämä on helppoa, mutta vaikeuksia syntyy jos annettu integraalifunktio tunnetaan epätarkasti. Esim. jos annettu data ei ole f vaan niin sen derivaatta onkin g(t) = f(t) sin(100t), g (t) = 3t 2 + cos(100t). Inversio-ongelmien ratkaisut ovat usein herkkiä datassa esiintyville pienille häiriöille. 2

5 1.2 1 g f Dg Df Kuva 1.1: Häiriöinen data g ei paljon eroa tarkasta datasta f... mutta vastaavat derivaatat eroavat! Esimerkki 3 Kuvan terävöittämisessä pyritään muodostamaan sumeasta valokuvasta yksityiskohtaisempi valokuva. Suora ongelma: Mallinna kuinka terävästä valokuvasta tulee sumeampi valokuva. Inversio-ongelma: Tee sumeasta valokuvasta terävämpi valokuva Suora ongelma Inversio-ongelma Mustavalkoinen digitaalinen valokuva voidaan esittää matriisina M R n m, jonka elementit M ij kuvaavat pikseleiden väriä: mitä suurempi luku on sitä vaaleampi pikselin väri on (katso kuvat 1.2 ja 1.3). 3

6 Kuva 1.2: Mustavalkoinen digitaalinen valokuva koostuu pikseleistä: suorakaiteen muotoisista yksivärisistä kuvaelementeistä Kuva 1.3: Esimerkki 9 9-matriisin kuvapikseleistä ja harmaasävyjä vastaavista lukuarvoista. Sumentamista voidaan mallintaa painotetulla keskiarvolla: Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi tapausta n = m. Merkitään kohdassa (k, l) olevan pikselin naapuripikselien indeksejä N k,l. Esimerkiksi N k,l = {(i, j) : i k 2, j l 2 ja 1 i, j n}. Merkitään joukon N k,l alkioiden lukumäärää N k.l. Sumean kuvan pikseliä mallinnetaan silloin yhtälöllä M kl = F (M) kl = 1 N(k, l) (i,j) N(k,l) missä M kl ovat terävän kuvan pikselit. Suora teoria F vie jokaisen kuvamatriisin M toiseksi kuvamatriisiksi M. Valitsemalla erikokoisia naapuripisteiden joukkoja saadaan erilaisia sumennoksia. Kuvan sumentamista voidaan mallintaa myös normitetulla Gaussisella konvoluutiolla M kl = C kl M ij, n e ( k i 2 /n 2 + l j 2 /n 2 )/2σ 2 M ij, i,j=1 4

7 missä k, l = 1,..., n ja normitusvakio ( n ) 1 C kl = e ( k i 2 /n 2 + l j 2 /n 2 )/2σ 2. i,j=1 Eniten painoa on kyseisen pikselin ja sen viereisten pikselien arvoilla. Suora ongelma: Määrää M kun M tunnetaan. Inversio-ongelma: Määrää M kun M tunnetaan. Pienessä kuvassa n, m = 256, mutta korkealaatuisissa kuvissa n ja m ovat useita tuhansia, jolloin matriisissa on miljoonia elementtejä. Inversio-ongelmissa tuntemattomat ovat usein korkeaulotteisten avaruuksien vektoreita. Esimerkki 4 Säätutka lähettää sähkömagneettisia pulsseja mikroaaltotaajudella ( MHz, aallonpituus n. 5.3 cm). Pulssit heijastuvat takaisin esteistä, esimerkiksi sadepisaroista ja lumihiutaleista. Säätutka vastaanottaa heijastuneet pulssit, joiden matka-ajoissta saadaan selville sadepisaroiden etäisyys. Heijastuneen pulssin voimakkuudesta (tehosta) saadaan selville sateen voimakkuus. Doppler-tutka kertoo myös sadepisaroiden nopeuden taajuudessa tapahtuvan Doppler-siirtymän avulla. Sadepisaroista saadaan havaittavan suuruisia kaikuja aina 250 km päästä. Mittauksia tehdään eri suunnissa antennia liikuttamalla. Suora ongelma: Määrää heijastunut kaiku kun sadepisaroiden jakauma (ja nopeus) tunnetaan. Inversio-ongelma: Määrää sadepisaroiden jakauma (ja nopeus), kun niistä heijastunut kaiku tunnetaan. Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi ongelman matemaattista kuvausta, kun kyseessä on yksi liikkuva kappale. Lähetetty signaali on funktio φ(t) = P e(t) sin(ω 0 t), 5

8 missä ω 0 on kantotaajuus, P on lähetetyn pulssin teho ja e(t) kuvaa pulssin muotoa. Yhden kappaleen liikettä kuvaa yhtälö r(t) = x 2 + x 3 t x 4t 2, missä x 2 on kappaleen etäisyys tutkasta, x 3 on kappaleen nopeus ja x 4 on kappaleen kiihtyvyys. Sadepisarasta takaisinpäin heijastunutta signaalia kuvaa yhtälö ( z(t) = x 1 φ t 2 ) ( c x 2 exp i2 ω 0 c (x 3t + 1 ) 2 x 4t 2 ), missä x 1 on heijastuneen signaalin teho, c on valonnopeus ja ɛ(t) on mittauskohinaa. Heijastuneen signaalin teho toteuttaa tutka-yhtälön (eng. radar equation) x 1 = CP σ, (4π) 2 x 4 2 missä C on tutkasta riippuva vakio ja takaisinsirontapinta-ala (eng. radar cross section) σ riippuu kappaleen koosta ja heijastavuudesta. Kuva 1.4: Ilmatieteen laitoksen kuva säätutkahavainnoista. Inversio-ongelmissa käytetään usein epäsuoraa tietoa tuntemattomista kohteista. Muita tutkasovelluksia: Avaruusromun kartoitus (maanpinnalta lähetetty sähkömagneettinen pulssi heijastuu hukatuista työkaluista, pirstoutuneista satelliiteista ja rakettiromusta, joka putoaa hitaaaasti kohti maata). Esimerkiksi kansainvälinen avaruusasema ISS joutuu väistämään putoavaa romua pari kertaa vuodessa. Kuun kaukokartoitus (maanpinnalta lähetetty sähkömagneettinen pulssi heijastuu kuusta). 6

9 Ionosfäärin tutkimus (revontulet, aurinkomyrskyn vaikutukset). Hyödynnetään epäkoherenttia sirontaa: tutkasignaali saa ionosfäärin plasman värähtelemään, jolloin syntyy heikko sähkömagneettinen signaali, joka voidaan vastaanotttaa maanpinnalla. Taajuus satoja megahertsejä. Maaperätutka. Toimii mikroaaltotaajuuksilla. Esimerkki 5 Lääketieteellisessä tietokonetomografiakuvauksessa (tietokonekerroskuvaus, TT-kuvaus) muodostetaan röntgenkuvien avulla kuva potilaan sisäosista. Kuva 1.5: Tietokonekerroskuvauslaite (kuva: Siemens Press Picture). Eri kudokset (kuten lihas ja luu) vaimentavat röntgensäteilyä eri voimakkuudella. Kun kehon läpi kulkeneen säteilyn kokonaisvaimeneminen mitataan useasta eri suunnasta, saadaan muodostettua poikkileikkauskuva kehosta tarkemmin sanottuna massaabsorptiokertoimien vaihtaluista. Kuva 1.6: Tavallinen röngenkuva vs. viipalekuva. Tavallisessa röntgenkuvassa nähdään kokonaisabsorptio vain yhdessä suunnassa. Viipalekuvat muodostetaan röntgensäteilyn absorptiosta useassa eri suunnassa. 7

10 Olkoon f = f(x, y) 0 paloittain jatkuva funktio, joka esittää massa-absorptiokerrointa pisteessä (x, y) R 2. Jos I 0 on lähetetyn röntgensäteilyn intensiteetti, I 1 on vastaanotetun röntgensäteilyn intensiteetti ja röntgensäde kulkee kehon läpi pitkin suoraa polkua C, jonka parametrisaatio on r(t), t [t 1, t 2 ], niin ln ( I0 I 1 ) t2 = fds = f(r(t)) r (t) dt C t 1 missä keskimmäinen termi esittää funktion f polkuintegraalia yli polun C. Tässä oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että kehon poikkileikkaus sisältyy neliöön S = [ 1, 1] [ 1, 1] ts. f(x, y) = 0 kun x > 1 tai y > 1. y 1 Suora y = x -1 1 x -1 Kuva 1.7: Funktion f polkuintegraalit lasketaan pitkin eri suoria. Esimerkiksi, jos C = {(x, y) R 2 : x = y, 1 y 1}, niin voidaan valita (t) = (t, t), 1 t 1, jolloin ln ( I0 I 1 ) 1 1 = fds = f(r(t)) r (t) dt = f(t, t) (1, 1) dt = 1 2 f(t, t)dt. C Suora ongelma: Kun funktio f tunnetaan, laske integraalit fds pitkin kaikkia suoria polkuja C, jotka alkavat ja päättyvät neliön S reunalla. Inversio-ongelma: Määrää funktio f kun tunnetaan sen integraalit fds C C pitkin kaikkia suoria polkuja C, jotka alkavat ja päättyvät neliön S reunalla. Tämä inversio-ongelma voidaan ratkaista Fourier-analyysin avulla. Menetelmä on kuitenkin tämän kurssin ulkopuolella, joten etenemme seuraavaan käytännön ongelmaan. 8

11 Käytännössä mittauksia ei voi tehdä jokaista suoraa pitkin, vaan mittaussuuntia on rajallinen määrä. Mitä vähemmän mittaussuuntia on käytössä, sitä vähemmän tietoa on saatavilla tuntemattomasta funktiosta. Ongelmana on, että useilla eri funktioilla voi olla samat integraalit. Esim. jos f(x, y) = x 2 +y 2 kun (x, y) B(0, 1) ja f(x, y) = 0 muulloin, niin sen integraali pitkin suoraa y = 0 (tai pitkin mitä tahansa origon kautta kulkevaa suoraa C = {(x, y) R 2 : y = ax, (x, y) B(0, 1)}), on 1 1 x 2 dx = 2 3 joka on sama kuin funktion f(x, y) = 1 integraali pitkin samaa suoraa. 3 Tomografiakuvauksessa datan rajallisuutta kompensoidaan rajoittamalla sallittujen ratkaisujem muotoa: Oletetaan esimerkiksi, että f(x, y) = n c j φ j (x, y), j=1 missä n on kiinnitetty luku, funktiot φ i ovat tunnettuja ja kertoimet c i R ovat tuntemattomia. Funktiot φ j (x, y), i = 1,..., n voivat olla esimerkiksi pistevieraiden neliöiden karakteristisia funktioita (kuvan pikseleitä) { 1 kun (x, y) I j φ j (x, y) = 0 muulloin. y I 24 I 1 I 8 I 2 I 3 I 4 I 5 I 9 I 10 I 11 I 12 I 6 I 7 x y Kuva 1.8: Neliö I j. Oletetaan, että polkuja on m kappaletta, sanotaan vaikka polut C j, joiden parametrisaatiot ovat r j : [t 1, t 2 ] R 2, j = 1,..., m. Tällöin dataa mallintavat yhtälöt ovat muotoa t2 n n y i = fds = φ j (r i (t)) r i(t) c j dt = M ij c j missä M ij = C t 1 j=1 j=1 t2 t 1 φ j (r i (t)) r i(t) dt 9

12 ja i = 1,..., m, j = 1,..., n. Inversio-ongelma on määrätä kertoimet c = (c 1,..., c n ), kun vektori y = (y 1,..., y m ) on annettu. Suoran teorian matriisi M on tunnettu, sillä funktiot φ j ja polut C i tunnetaan. On syytä huomata, että käytännön data sisältää lisäksi myös häiriöitä! Kuva 1.9: Esimerkki karkean resoluution harmaasävykuvasta. Kuva 1.10: Tietokonekerroskuva: eri harmaasävyt vastaavat funktion f eri arvoja. (kuva: Siemens Press Picture). Käytännön inversio-ongelmissa rekonstruktio (eli kuvan muodostaminen tuntemattomasta kohteesta) on tehtävä jollakin tapaa rajallisesta määrästä dataa. Käytännön inversio-ongelmissa approksimoidaan tuntemattomia usein äärellisulotteisten vektoreiden avulla. Esimerkki 6 Impedanssitomografiassa (eng. electrical impedance tomography, EIT) sähköiset mittaukset kappaleen pinnalla antavat tietoa kappaleen sisärakenteesta (materian sähkönjohtavuudesta). Kappaleeseen voidaan syöttää jännite ja mitata virtaa tai syöttää virtaa ja mitata jännitettä. Olkoon u jännite kappaleessa D ja oletetaan, että pinnalle on asetettu jännite f. Olkoon kappaleen D sähkönjohtavuus σ C ( D). Silloin funktio u C 2 (D) C 1 ( D) 10

13 Virta Jännite D Kuva 1.11: Jännite-virta mittaukset kappaleesta D. toteuttaa yhtälöt (σ u)(x) = 0, x D u(x) = f(x), x D Pinnalla mitattava virta g(x) saadaan jännitteestä u kaavalla g(x) = σ(x)n(x) u(x), x D, missä n(x) on kappaleen D pinnan (ulospäin suunnattu) normaalivektori. Suora ongelma: Määrää funktio g kun funkiot σ ja f on annettu. Inversio-ongelma: Määrää funktio σ kun funktio g tunnetaan jokaisella f C 1 ( D). Tämäntyyppisiä inversio-ongelmia nimitetään käänteisiksi reuna-arvo-ongelmiksi (eng. inverse boundary value problems). Yllä olevan inversio-ongelman ratkaisu tunnetaan melko yleisillä D ja σ. Ratkaisumenetelmä edellyttää mm. osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teorian tuntemusta. Tämän vuoksi emme opeta ongelman ratkaisua tässä kurssissa. Viimeisessä luvussa tarkastellaan menetelmiä, joita voidaan käyttää tämän ongelman käytännön ratkaisuissa. Mihin soveltuu: Lääketieteellinen kuvantaminen (sydämen ja keuhkojen toiminta). Ainetta rikkomaton testaus (esim. vauvanruokapurkkien eheyden tarkistus, lentokoneen siipien korroosiovaurioiden tarkistus, siltojen betoniraudoitusten tutkiminen). Teollisuuden prosessien valvonta (esim. säiliön sisällä olevan seoksen tasaisuuden tarkkailu). 11

14 Tästä ongelmasta on olemassa myös karkea versio jota hyödynnetään kaupallisesti sähköinen kehonkoostumusmittaus (eng. bioelectrical impedance analysis). Siinä mittausperiaate on sama: kehoon johdetaan vähäistä virtaa ja mitataan sen aikaansaama jännite. Erona EIT:hen on, että tarkan suoran teorian sijaan käytetään tiettyjen parametrien sovituksia karkeisiin yhtälöihin. Tärkein näistä parametreistä on kehossa olevan veden määrä. Esitietona tarvitaan henkilön pituus (henkilöä approksimoidaan sen jälkeen samanpituisena sylinterinä, jonka tilavuus kertoo kehossa olevan veden määrän...). Mitatusta jännitteestä lasketaan sylinterin sisältämä veden määrä. Käytettyjä yhtälöitä on pyritty tarkentamaan ottamalla lisää parametreja huomioon, kuten henkilön iän, sukupuolen ja painon sekä käyttämällä eritaajuisia sähkövirtoja. Inversio-ongelmien avulla on mahdollista saada tietoa sellaisistakin kohteista jotka eivät muutoin ole näkyvissä tai tavoitettavissa. Esimerkki 7 Lääketieteellisessä ultraäänikuvauksessa muodostetaan kuva potilaan sisäosista ääniaaltojen avulla. Periaate on seuraava: potilaan sisälle lähetetään kapea äänipulssi (taajuus 2-15 MHz), joka heijastuu osittain takaisinpäin kehon eri kudosten rajapinnoista. Takaisinsironnut pulssi vastaanotetaan ja muunnetaan kirkkausarvoiksi. Tämä toistetaan eri mittaussuoria pitkin. Eräs ultraäänikuvauksen yksinkertaistuksista on olettaa, että Kuva 1.12: Ultraäänikuvauksen periaate 1. Pulssi heijastuu rajapinnoista. Tässä samanväriset alueet ovat täysin homogeenisia. ääni kulkee vakionopeudella kehossa, vaikka eri kudoksilla on erilaiset äänennopeudet. Tästä johtuen ultraäänikuvissa olevien kohteiden koko on vääristynyt. Lisäksi malli ei ota huomioon monitie-etenemistä eikä aaltojen taittumista, jolloin kuvassa oleva kohde ei välttämättä ole todellisella paikallaan. Hyvin epätasaiset rajapinnat tekevät kuvasta lisäksi täplikkään. 12

15 Kuva 1.13: Ultraäänikuvauksen periaate 2. Taaksepäin sironnut pulssi (kuvassa sininen käyrä) vastaanotetaan ja muunnetaan alla oleviksi kirkkausarvoiksi verhokäyrän (eng. envelope, kuvassa punainen käyrä) avulla. Ultraäänikuvauksen tarkempi matemaattinen malli on ääniaaltojen eli akustisten aaltojen etenemistä väliaineessa kuvaava malli. Aika-harmonista akustista aaltoa kappaleessa D R n voidaan kuvata yhtälöllä u(x) + ω2 u(x) = 0, x D, c 2 (x) missä ω on taajuus ja c(x) on äänen nopeus väliaineessa. Lähetettävää ääntä kuvataan yhtälöllä n(x) u(x) = f(x), x D, missä n(x) on pinnan D normaalivektori. Pinnalla vastaanotettua ääntä kuvataan yhtälöllä g(x) = u(x), x D. Funktion u(x) yhteys ajasta riippuvaan fysikaaliseen äänen paineeseen p(x, t) saadaan kaavasta p(x, t) = Re u(x)e iωt. Suora ongelma: Määrää u kun funktiot c ja f on annettu. Inversio-ongelma: Määrää c kun g tunnetaan eri funktioilla f. Tämä inversio-ongelma on myös käänteinen reuna-arvo-ongelma. Inversio-ongelmissa käytetään matematiikkaa erilaisten kuvantamismenetelmien parantamiseen. Samaa akustista yhtälöä voidaan käyttää seismisten eli maan tärinää kuvaavien aaltojen etenemisen kuvaamiseen. Maankuoren rakennetta voidaan kartoittaa täristämällä maanpintaa koneellisesti (tai räjäytyksien avulla) ja mittaamalla maankuoren epähomogeenisuuksista heijastunutta aaltoa maan pinnalla. Ääniaallot kulkevat hyvin myös vedessä, jolloin puhutaan kaikuluotaimista eli sonareista. 13

16 Esimerkki 8 Käänteisessä sirontaongelmassa (eng. inverse scattering problem) lähetetetään aalto (yleensä sähkömagneettinen tai akustinen) kohti tuntemattoman kappaletta tai väliainetta. Tuntematon poikkeama muuttaa lähetettyä aaltoa, jolloin syntyy sironnut aalto. Sironnutta aaltoa havainnoidaan etäällä tuntemattomasta poikkeamasta. Inversio-ongelmana on päätellä tuntemattoman rakenne näiden havaintojen perusteella. Kuva 1.14: Sironnan periaate. Tuleva aalto on u i. Sirottaja saa aikaan sironneen aallon u s. Koko aalto u = u i + u s. Matemaattisessa sironnassa aaltoa kutsutaan kentäksi (eng. field, tarkoittaa usean muuttujan funktiota). Sirontaa yksinkertaistetaan usein olettamalla, että kenttien aikariippuvuus on harmoninen eli u(x, t) = e iωt u(x). Aikaharmonista akustista sirontaongelmaa (eng. time-harmonic acoustic scattering), missä sirottaja on epähomogeeninen väliaine kuvaavat yhtälöt u(x) = u i (x) + u s (x) u(x) + ω2 c 2 (x) u(x) = 0, x Rn, missä ω on tulevan aallon taajuus. Lisäksi vaaditaan säteilyehto ( x lim x x x us (x) i ω ) c us (x) = 0 tasaisesti joka suuntaan x x Funktio c(x) kuvaa äänen nopeutta väliaineessa. Äänen nopeus on fysikaalinen suure, joka riippuu mm. väliaineen rakenteesta (esim. molekyylitiheydestä). Yllä oletetaan että c on positiivinen sileä funktio, joka on vakio kaukana sirottavasta poikkeamasta. Suorassa sirontaongelmassa pyritään määräämään sironnut kenttä u s kun u i ja c tunnetaan. Tuleva kenttä oletetaan usein tasoaalloksi u i (x) = e ia x, missä a on suuntavektori. Käänteisessä akustisessa sirontaongelmassa pyritään määräämään funktio c kun sironnut kenttä u s tunnetaan kaukana tuntemattomasta sirottajasta ja tuleva kenttä u i on 14