Statistinen fysiikka I

Transkriptio

1 Statistinen fysiikka I Kevät 2014 Luennoitsija Aleksi Vuorinen (aleksi.vuorinen@helsinki.fi, A322) Laskuharjoitusassitentti Lasse Franti (lasse.franti@helsinki.fi, A312) Yleistä Luennot salissa CK111 aina maanantaisin sekä tiistaisin tammi-helmikuussa; maalis-huhtikuussa tiistain luennot DK118 Laskarit tiistaisin Physicumin salissa D104 Kurssikirjana Arponen & Honkonen, Statistinen fysiikka, luvut 4-14 (pl sekä osin 12) Kurssin kotisivu: Kannattaa seurata: prujut, laskarit, ajankohtaista tietoa (luentojen/laskarien peruutukset/siirrot, jne.). Laskareita 9 kpl. Jaetaan tiistaisin luennolla ja palautetaan maanantaisin luennolla tai viim. klo 16 Lasse Frantin postilaatikkoon. Tehtävät ilmestyvät myös kurssin kotisivulle. Väliviikko ei luentoja Viimeinen luento näillä näkymin ti Saattaa siirtyä viikolla kumpaan tahansa suuntaan. Suoritus: loppukoe (75%) pääsiäisen (20.4.) jälkeen, tarkka ajankohta vielä auki. Laskarit eivät pakollisia, mutta pisteet muodostavat 25% arvosanasta. 1

2 Mitä statistinen fysiikka - ja Stafy I - oikein on? Tutkii makroskooppisten systeemien käyttäytymistä lähtien liikkeelle mikroskooppisesta teoriasta Yksinkertaistetusti: Klassinen/kvanttimekaniikka + tilastolliset menetelmät termofysiikan fenomenologiset lait (mm. termodynamiikan pääsäännöt) Stafy I muodostaa termofysiikan kurssin (formaalin) pohjan. Kurssi onnistunut tehtävässään, jos se tukee termofysiikan hallintaa ja ymmärrystä Stafyn ja termofysiikan suurin ero formalismissa. Termofysiikka matemaattisesti helppo, mutta kvalitatiivisen ymmärryksen tasolla erittäin haastava. Stafy I konseptuaalisesti yksinkertaisempi ja loogisempi, mutta samalla aavistuksen formaalimpi ja teknisempi. Pohjatiedot: termofysiikka tärkeä; lisäksi klassisesta mekaniikasta, kvanttimekaniikasta ja elektrodynamiikasta hyötyä. Matemaattinen koneisto MAPU:lta ja osin FYMM I&II:lta. Puuttuvia taustatietoja mahdollista kerrata kurssin aikana - kysykää jos/kun jokin epäselvää! Kurssin alustava sisällys Viikot 1-4: klassinen ja kvanttimekaaninen faasiavaruus, erilaiset tasapainojakaumat ja kineettisen teorian perusteet (AH: 4-6, 14) Viikot 5-7: ideaalisia tasapainojärjestelmiä, esimerkkejä bosoni- ja fermionijärjestelmistä (AH 7-9) Viikot 8-9: faasimuutosten teoria (termofysiikan kurssia täydentäen), kriittiset ilmiöt (AH 12-13) Viikko 10: kertausta (tai aikataulun petettyä jotain ihan muuta) 2

3 KERTAUSTA: LAGRANGEN JA HAMILTONIN FORMALISMI Konservatiivisten systeemien mekaniikkaa (joissa kokonaisenergia säilyy) voidaan kuvata Lagrangen tai Hamiltonin formulaatiolla, jotka ovat yhteneväisiä Newtonin mekaniikan kanssa. Lagrangen funktio L määritellään missä K on kineettinen energia, U potentiaalienergia, ja q i yleistettyjä, ajasta riippuvia koordinaatteja. Aktiota varioimalla saadaan liikeyhtätöksi tuttu Euler-Lagrangen yhtälö joka on täysin yhteneväinen Newtonin 2. lain kanssa Hamiltonin formalismiin päästään suorittamalla Legendren muunnos jossa ja jonka myötä funktion luonnollisiksi muuttujiksi tulevat ja. Tälle funktiolle saadaan helposti tulos Hamiltonin formalismissa liikeyhtälöt saavat muodon (johda!),. 3

4 Huom: Hamiltonin funktio on määritelty paikka- ja liikemääräavaruudessa, eli ns. faasiavaruudessa, joka osoittautuu erittäin hyödylliseksi työkaluksi statistisessa fysiikassa. Lagrangen funktio puolestaan sisältää pelkästään paikka-avaruuden muuttujia. Muistutus: Legendren muunnos Mainitsimme yllä että Hamiltonin ja Lagrangen formalismeja yhdistää Legendren muunnos, joka tehdään kahden muuttujan funktiolle seuraavasti: Määritellään ja sen avulla Legendren muunnos, Funktion infinitesimaalinen muunnos on nyt joten funktion riippumattomina muuttujina voidaan pitää :ää ja :aa, ts.. Legendren muunnos on usein termodynamiikassakin esiintyvä muuttujanvaihdos, jonka avulla siirrytään käyttämään alkuperäisten muuttujien sijasta uutta muuttujajoukkoa, joka sopii paremmin tarkasteltavan tapauksen reunaehtoihin. Esimerkki: Johdetaan Lagrangen ja Hamiltonin yhtälöt 2-ulotteiselle harmoniselle värähtelijälle, jossa paino on jäykän -pituisen akselin päässä. y g θ x R Koordinaatin täytyy toteuttaa ehto. Jos kirjoitamme liikeyhtälön pelkässä koordinaatti-avaruudessa, niin tuo ehto täytyy ottaa eksplisiittisesti (x,y) 4

5 huomioon. Vaihtoehtoisesti voimme kuitenkin käyttää vain yhtä muuttujaa, mikä onnistuu näppärästi Lagrangen funktion avulla. Aloitetaan kirjoittamalla. Nyt ja Euler-Lagrangen yhtälössä voidaan nyt identifioida josta edelleen helposti ratkeava liikeyhtälö Seuraavaksi kirjoitamme Hamiltonin funktion käyttäen Legendren muunnosta. Aloitetaan liikemäärästä (huomaa dimensio!) josta Hamiltonin funktioksi saadaan Tästä on helppo työ johtaa Hamiltonin yhtälöiksi 5

6 joiden nähdään olevan yhtäpitävää Lagrangen liikeyhtälön kanssa., 6

7 KLASSINEN FAASIAVARUUS (AH 4.1) Faasiavaruus Mekaanisen N-hiukkassysteemin tilaa d-ulotteisessa avaruudessa kuvaavat yleistetyt koordinaatit q i, ja yleistetyt liikemäärät p i, missä i=1,2,,nd. Faasiavaruus on koordinaattien q=(q 1,q 2,,q Nd ) ja p=(p 1,p 2,,p Nd ) virittämä 2Ndulotteinen avaruus (esim. 2-hiukkassysteemille 3-ulotteisessa tila-avaruudessa faasiavaruus on 12-ulotteinen). Faasiavaruuden jokainen piste =(q,p) vastaa systeemin yhtä mikroskooppista tilaa. Pisteen aikakehitystä kuvaavat Hamiltonin yhtälöt missä H=H(,t) on Hamiltonin funktio. Jos Hamiltonin funktio ei riipu ajasta, on systeemi olennaisesti ajasta riippumaton. Hamiltonin yhtälöiden ratkaisut eli faasiradat (trajektorit) ovat tällöin stationaarisia, eikä faasiavaruuden pisteen liike tietyllä trajektorilla riipu lähtöhetkestä. Faasiradat Eivät voi leikata tosiaan (Hamiltonin yhtälöiden deterministisyyden nojalla) Eivät (tyypillisesti) ala mistään eivätkä pääty mihinkään (t) (t) 7

8 Mielivaltaisen funktion F(q,p,t) aikakehitys lasketaan seuraavasti: missä {F,H} ovat funktioiden F ja H Poissonin sulut. Huomaa derivaattojen ja ero: kertoo muutoksen virtauksen mukana kulkevassa tilavuuselementissä kertoo ominaisuuden F ajallisen muutoksen tietyssä faasiavaruuden pisteessä Käytännössä klassisten faasiratojen laskeminen onnistuu vain molekyylidynamiikkkasimulaatioilla pienille systeemeille ja lyhyillä aikaskaaloilla. Tätä suurempien systeemien käsittelyssä kannattaa turvautua tilastollisiin menetelmiin. Tilastollinen joukko eli ensemble Määritellään ensin seuraavia tarkasteluja varten faasiavaruuden tilavuusmitta d N:n identtisen hiukkasen systeemille d-ulotteisessa avaruudessa missä N! poistaa permutaatiosymmetrian ja h=6,62607 x Js on Plankin vakio. Se kannattaa sisällyttää d:n määritelmään kahdesta syystä: [dq dp]= [h], joten d on dimensioton luku. 8

9 Kvanttimekaniikan mukaan koordinaatteja ja liikemäärää ei voida määritellä samanaikaisesti mielivaltaisen tarkasti. Kun valitaan normitustekijäksi h, sisältää faasiavaruuden elementti (dq dp)/h karkeasti ottaen yhden kvanttitilan. Systeemin makrotilaa kuvaa tyypillisesti muutama observaabeli (esim. ideaalikaasua laatikossa P, T, V ), mutta yhtä makrotilaa vastaa suuri joukko ( kpl.) systeemin mahdollisia mikrotiloja. Näiden mikrotilojen kuvapisteet faasiavaruudessa j (j=1,,) muodostavat tilastollisen joukon eli ensemblen. Rajalla kuvapisteiden j jakaumasta saadaan todennäköisyystiheys ϱ(), joka oletetaan normitetuksi siten että Jos ϱ() tunnetaan, voidaan makrotilaa vastaavat fysikaaliset suureet laskea ensemblen oletusarvoina On kuitenkin vaadittava, että trajektoreiden kulku faasiavaruudessa on sellainen, että makrotilan rajoitusten määrittelemissä puitteissa jokainen faasiavaruuden piste vaeltaa mielivaltaisen lähellä mitä tahansa muuta faasiavaruuden pistettä. Tämä on ns. ergodisuushypoteesi. Suureelle voi yleisesti ottaen laskea oletusarvon kahdella tapaa: joko keskiarvoistamalla faasiavaruuden pisteiden yli tai lähtemällä liikkeelle mielivaltaisesta faasiavaruuden pisteestä ja ottamalla aikakeskiarvon jonkin riittävän pitkän tarkastelujakson yli. Ergodiselle systeemille suureen f pitkän ajan keskiarvo on sama kuin ensemblekeskiarvo,, riippumatta lähtöpisteestä. Todelliset systeemit ovat yleensä ergodisia. 9

10 Liikeyhtälöt Faasiavaruus ei sisällä lähteitä tai nieluja, joissa todennäköisyyttä syntyisi lisää tai sitä häviäisi. Siksi todennäköisyys tietyssä trajektoria pitkin virtaavassa faasiavaruuden elementissä 0 säilyy: 0 da Tarkastellaan lähemmin yllä olevan mitan muutosta. Se koostuu: todennäköisyystiheyden muutoksesta alueen 0 muutoksesta Alueen 0 reunapiste kulkee nopeudella. Ajassa dt pinta siirtyy matkan. Siirtymän seurauksena faasiavaruuden tilavuus muuttuu määrän. Tämä pätee kaikilla alueilla 0. Rajalla 0 0 saadaan jatkuvuusyhtälö: 10

11 kehitetään divergenssitermiä: Tässä Tämän mukaan virtaus faasiavaruudessa vastaa kokoonpuristumattoman nesteen virtausta. Nyt jatkuvuusyhtälöstä saadaan eli Tämä on Liouvillen lause, ja se kertoo, että todennäköisyystiheys säilyy vakiona virtauksen mukana kulkevassa tilavuuselementissä. Hamiltonin liikeyhtälöiden avulla voidaan johtaa missä on Liouvillen operaattori. 11

12 KAASUJEN KINEETTISTÄ TEORIAA (AH 14.1, 14.2) Vlasovin yhtälö Määritellään redusoitu 1-hiukkastiheys ) todennäköisyystiheytenä siten, että. on niiden hiukkasten lukumäärä, jotka ovat tilavuuselementissä :n avulla saadaan ns. redusoitut 1-hiukkastiheydet (yksittäisille paikkanopeuskomponenteille ) paikka- ja nopeusavaruudessa sekä hiukkasten kokonaislukumäärä Jos N-hiukkasensemblen todennäköisyystiheys (tässä esittää siis koko nopeus ja paikka-avaruutta) tunnetaan, voidaan selvästi lausua muodossa Tutkitaan seuraavaksi :n ajallista muutosta käyttämällä relaatiota Jos törmäyksiä hiukkasten välillä ei ole, seuraavat tilavuuselementit virtaviivoja ja. 12

13 Koska ja, missä on esim. gravitaatiovoima tai Lorentzin voima, voidaan kirjoittaa Tämä on törmäyksetön kuljetusyhtälö eli Vlasovin yhtälö. Vlasovin yhtälö on käypä approksimaatio, kun hiukkasten välisen vuorovaikutuksen kantama on pitkä ja hiukkastiheys suuri, ts.. Yleensä kuitenkin törmäykset on otettava huomioon, jolloin kuljetusyhtälön oikealle puolelle kirjoitetaan ns. törmäysintegraali. Mutta sitä ennen muutama peruskäsite. Vapaa matka Vapaa matka on etäisyys, jonka hiukkanen keskimäärin liikkuu kahden törmäyksen välillä. Silloin todennäköisyys, että törmäys tapahtuu infinitesimaalisella matkalla on. Jos lisäksi merkitään :llä todennäköisyyttä, että r:n mittaisella matkalla origosta ei ole tapahtunut törmäyksiä, saadaan selvästi todennäköisyydeksi että törmäystä ei ole tapahtunut myöskään etäisyydellä. Kehitetään siis yllä jolloin 13

14 missä normitus (integroimisvakio) on valittu luonnolisella tavalla. Todennäköisyys, että ensimmäinen törmäys tapahtuu välillä on nyt. Tätä voidaan käyttää todennäköisyystiheytenä laskettaessa törmäysten välistä keskimääräistä matkaa, jolloin saadaan Tuloksena on vapaa matka λ kuten pitikin. Törmäystaajuus Määritellään seuraavaksi törmäysaika keskiarvona yksittäisten törmäysten välisistä ajoista, ja vastaavasti törmäystaajuus Hiukkasten keskimääräinen nopeus saa nyt muodon josta relaatiota sekä identiteettiä käyttämällä saadaan hyödyllinen tulos 14

15 Bolzmannin kuljetusyhtälö Palataan nyt tarkastelemaan kuljetusyhtälöä hieman yleisemmässä tapauksessa. Jos hiukkasten väliset törmäykset ovat systeemin kollektiivisen dynamiikan kannalta tärkeitä, kirjoitetaan kuljetusyhtälö muotoon missä on törmäystermi, tai ns. törmäysintegraali. Tutkitaan nyt kahden identtisen hiukkasen 1 ja 2 törmäyksiä kaasussa, jossa on tasainen tiheysjakauma. Törmäyksen vaikutusala määritellään missä on sironneiden hiukkasten määrä/aikayksikkö ja puolestaan tulevien hiukkasten intensiteetti (määrä per aika per pinta-ala). Kahden klassisen hiukkasen elastiselle törmäykselle voidaan johtaa tulos missä hiukkanen 2 on kohtio ja hiukkanen 1 törmääjä. Tässä on avaruuskulmaelementti MKP-koordinaatistossa on sirontakulma MKP-koordinaatistossa on differentiaalinen vaikutusala.,, Törmäysintegraalin lausekkeessa on oletettu: Kaasu on niin harvaa, että kaikki törmäykset ovat kahden hiukkasen välisiä törmäyksiä Molekulaarinen kaaos: hiukkaset eivät ole korreloituneita. Silloin redusoitu 2 hiukkastiheys voidaan kirjoittaa 1-hiukkastiheyksien tulona: 15

16 Hieman muodollisemmin törmäysintegraali voidaan kirjoittaa missä on transitiotodennäköisyys. Se sisältää liikemäärän ja energian säilymisestä johtuvat -funktiotekijät, joten integroinnit suoritetaan kaikkien nopeuksien yli. Mikroskooppisen törmäysprosessin täytyy yleensä olla yhtä todennäköinen myös käänteiseen törmäyssuuntaan. Siksi on voimassa symmetria eli mikroskooppinen detaljibalanssi. Hiukkasten väliset historiasta riippuvien korrelaatiot ovat tässä yhteydessä jätetty huomiotta molekylaarisen kaaoksen oletuksen perusteella. Tämä johtaa mielenkiintoiseen tulokseen: Bolzmannin kuljetusyhtälö ei ole invariantti ajan käännön suhteen (törmäystermi rikkoo symmetrian), vaikka alkuperäiset liikeyhtälöt ovatkin aikainvariantteja. Määritellään seuraavaksi ns. H-funktio: Boltzmannin H-teoreema Tarkastellaan :n muutosta ajassa: Boltzmannin kuljetusyhtälön mukaan 16

17 Ensimmäiset kaksi integraalia voidaan Gaussin lauseen nojalla muuttaa pintaintegraaleiksi, jotka häviävät kunhan faasialueen reunalla. Vaihdetaan nyt integraalissa 1 2 ja summataan puolet tästä puoleen alkuperäiseen termiin (symmetriasyistä niiden pitäisi olla identtiset): Vaihdetaan sitten, jolloin detaljibalanssiehtoa käyttämällä saadaan mikä summataan puolittain edellisen kanssa: Merkitään nyt ja. Käyttäen tulosta saadaan tästä epäyhtälö Boltzmann identifioi entropian suureeksi termodynamiikan toisen pääsäännön, jolloin yllä oleva epäyhtälö lausuu eli eristetyn systeemin entropia ei voi vähetä. 17

18 Yllättävän tästä tuloksesta tekee se, että Boltzmannin yhtälö perustuu Newtonin dynamiikkaan, joka on täysin symmetrinen ajan käännön suhteen. Boltzmannin yhtälön ajan suunnan määritys syntyy molekulaarisen kaaoksen alkuehdosta. 18