2 ENSIMMÄISEN KERTAUVUN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

Transkriptio

1 2 ENSIMMÄISEN KERTAUVUN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Peruskäsitteitä ja esimerkkejä Funktion y = y(x) derivaattaa merk. y, y (x) tai dy/dx. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt sisältävät ainoastaan y:n sekä mahd. y:n ja x:n funktioita. Yhtälö voidaan kirjoittaa tai F(x,y,y ) = 0 y = f(x,y) Yhtälön ratkaisu jollakin avoimella välillä a < x < b on funktio y = h(x), jolla on derivaatta y = h (x), ja joka toteuttaa DY:n kaikilla x(a,b).

2 2 Muotoa y = h(x) kutsutaan eksplisiittiseksi ratkaisuksi. Muotoa H(x,y) = 0 kutsutaan implisiittiseksi ratkaisuksi. Integroimalla saadaan mielivaltaisia vakioita, joten DY:llä on yleisessä tapauksessa useita ratkaisuja. Jos y on ainoastaan x:n funktio y = f(x), ratkaisu suoraan integroimalla. Esimerkki: y = cos x Ratkaisu y = cos x dx sin x C

3 3 Yleinen ratkaisu sisältää integroimisvakion Yksityisratkaisu, erityisratkaisu: integroimisvakioille on annettu jokin arvo Erikoisratkaisu, singulaarinen ratkaisu: ratkaisu, jota ei saada yleisestä ratkaisusta Alkuarvotehtävä muodostuu DY:stä ja alkuehdoista, esim. y = f(x,y), y(x 0 ) = y 0 missä x 0 ja y 0 ovat annettuja arvoja. Alkuarvotehtävän ratkaisu on se DY:n y = f(x,y) yksityisratkaisu, joka toteuttaa alkuehdon y(x 0 ) = y 0.

4 4 Fysikaalisen systeemin matemaattinen mallintaminen: 1. Muodostetaan fysikaalista prosessia kuvaava matemaattinen malli. Tämä malli on tyypillisesti differentiaaliyhtälö. 2. Ratkaistaan differentiaaliyhtälö. 3. Määritetään yksityisratkaisu alkuehtojen perusteella. 4. Tarkistus: onko saatu funktio ongelman ratkaisu?

5 5 Esimerkki (Eksponentiaalisen kasvun ja vähenemisen malli) Kun y(x) = ce kx eli y (x) = kce kx y = ky

6 6 Käytännön tilanne: Jos tiedetään, että suureen y kasvunopeus on suoraan verrannollinen y:n suuruuteen, saadaan differentiaaliyhtälö y = ky Yleinen ratkaisu: y = ce kx Eksponentiaalisen kasvun tapauksessa k > 0, vähenemisen tapauksessa k < 0.

7 Radioaktiivinen hajoaminen 7 Tiedetään, että radioaktiivinen aine hajoaa siten, että aineen määrän y(t) muutosnopeus hetkellä t (sekuntia), y (t) on suoraan verrannollinen ainemäärään hetkellä t. Ilmiön malliksi sopii DY y = ky jonka yleinen ratkaisu on y = ce kt

8 Vakio k < 0 riippuu tarkasteltavasta aineesta. 8 Olkoon k = -1,5. Jos radioaktiivista ainetta on 0,5 g alkuhetkellä t=0, mikä on ainemäärä t sekunnin kuluttua? Alkuehdosta y(0) = 0,5 saadaan ce 0 = 0,5 josta c = 0,5. Differentiaaliyhtälön (yksityis)ratkaisu eli ainemäärä hetkellä t on y(t) = 0,5e -1,5t.

9 2.2 Separoituvat differentiaaliyhtälöt 9 Jos differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon g(y)y = f(x) kyseessä on separoituva yhtälö: muuttujat x ja y voidaan erottaa yhtälön eri puolille kirjoittamalla g(y)dy = f(x)dx josta integroimalla ratkaisu g (y)dy f (x)dx C

10 10 Esimerkki Ratkaise x + yy = 0.

11 Esimerkki Ratkaise separoimalla 11 y = ky eli dy ky dx => dy k dx y => dy k dx, y <=> ln y = kx + C <=> y = e kx+c = e C e kx Yleinen ratkaisu: y = ce kx Koska myös y 0 on ratkaisu, vakio c voi saada mitä tahansa arvoja.

12 Tapauksia, joissa DY voidaan muuttaa separoituvaksi muuttujanvaihdolla: 12 Tapaus 1) Sijoitus y f y x u y x => y = ux => y = u + xu missä u = du/dx => y = u + xu = f(u) => xu = f(u) u => du dx f (u) u x

13 Tapaus 2) y = f(ax + by + c) 13 Jos b=0, voidaan integroida puolittain. Jos b0, tehdään sijoitus z = ax + by + c => z = a + by = a +bf(z) dz => dx a bf (z)

14 Esimerkki Ratkaise 2xyy = y 2 x 2 14

15 Esimerkki Logistinen differentiaaliyhtälö: 15 y = ky(m-y) missä k ja M ovat vakioita. Esim. infektioiden leviämisen malli. Olkoon M populaation koko ja y(t) tartunnan saaneiden lukumäärä hetkellä t. Tulkinta: Infektoituneiden määrän kasvunopeus on suoraan verrannollinen infektoituneiden ja ei-infektoituneiden lukumäärien tuloon.

16 Ratkaisu: Yhtälö on separoituvaa muotoa 16 1 y(m dy y) k dt Integroimalla + osamurtokehitelmällä 1 y(m y) dy k dt 1/ M y 1/ M dy M y kt C 1 M ln y 1 M ln M y kt C

17 Ratkaisuksi: 17 y c cm e Mkt

18 Esimerkki (Newtonin jäähtymislaki) 18 Lämpömittari, joka näyttää ulkolämpötilan lukemaa 10 o C, tuodaan huoneeseen, jossa lämpötila on 23 o C. Kahden min. kuluttua mittari näyttää 18 o C. a) Mikä on mittarin lämpötila t min kuluttua alkuhetkestä? Newtonin jäähtymislaki: Kappaleen lämmön T muutosnopeus on suoraan verrannollinen kappaleen ja ympäröivän ilman lämpötilaeroon. dt / dt = m(t T A )

19 Jos kappale lämpimämpi kuin ympäristö, T T A > 0 ja kappale jäähtyy: dt/dt < 0, joten m < 0 19 Jos kappale kylmempi kuin ympäristö, T T A < 0 ja kappale lämpenee: dt/dt > 0, joten m < 0 m:n oltava < 0, joten merk. dt / dt = k(t T A ) missä k>0 a) Separoimalla muuttujat dt (T T A ) = (-k) dt ln T T A = -kt + c

20 20 Mittari lämpenee: T < T A => T T A = T A T T A T = e -kt e c = Ce -kt T = T A Ce -kt = 23 Ce -kt Yleinen ratkaisu : T = 23 Ce -kt Alkuehdot: T(0) = 10 T(2) = 18 T(0) = 23 Ce -k0 = C = 10 C = 13 T(2) = 23 13e -2k = 18 e -2k = 5/13 k = -ln(5/13) / 2 0,478

21 Mittarin lämpötila t min kuluttua 21 T = 23 13e -0,478t b) Milloin mittari on lämmennyt 22,8 o C:een? T(t) = 22, e -0,478t = 22,8 e -0,478t = 0,2/13 t = ln(0,2/13) / (-0,478) 8,73 min kuluttua

22 2.3 Eksaktit differentiaaliyhtälöt 22 Funktion u(x,y) kokonaisdifferentiaali du u x dx u y dy Jos u(x,y) = c (vakio), niin du = 0. Muotoa M(x,y) + N(x,y)y = 0 eli M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (16) oleva differentiaaliyhtälö on eksakti, jos vasen puoli on jonkin funktion u(x,y) kokonaisdifferentiaali.

23 Yhtälö on silloin 23 du u u dx dy= 0 (17) x y Implisiittinen ratkaisu u(x,y) = c (18) Yhtälö (16) on eksakti, jos on olemassa funktio u(x,y), jolle u x M(x, y), u y N(x, y) (19)

24 24 Tällöin (eräin oletuksin) y x u x N x y u y M 2 2 (20) Välttämätön ja riittävä ehto sille, että Mdx + Ndy = 0 on eksakti: x N y M (21)

25 Ratkaiseminen: u 1. Integroi funktiota M(x, y) x:n suhteen, pitäen y:tä vakiona. x => u M(x, y)dx k(y) missä k(y) on x:stä riippumaton integroimisvakio Derivoi edellistä lauseketta y:n suhteen ja ratkaise k (y) = dk/dy ehdosta u y N(x, y) 3. Integroi k (y):n lauseketta y:n suhteen => k(y) => u(x,y) Implisiittinen ratkaisu u(x,y) = c.

26 26 Muuttujien x ja y rooleja voi vaihtaa, jos laskenta helpottuu: Integroi funktiota u/dy = N(x,y) y:n suhteen pitäen x:ää vakiona. Ratkaisuna u N(x, y)dy k(x) missä k(x) on y:stä riippumaton integroimisvakio. Edellisen derivaatta x:n suhteen = M(x,y), josta k (x) ja integroimalla k(x).

27 27 Esimerkki Ratkaise cos(x+y) dx + (3y 2 + 2y + cos(x+y)) dy = 0 Merk. M(x,y) = cos(x+y) N(x,y) = 3y 2 + 2y + cos(x+y) M y sin(x y) N x DY on eksakti. u M(x, y)dx k(y) = cos( x y)dx k(y) = sin(x+y) + k(y)

28 u = sin(x+y) + k(y) 28 Ratkaistaan k(y) ehdosta u y N(x, y) u y cos(x y) k (y) N(x, y) cos(x+y) + k (y) = 3y 2 + 2y + cos(x+y) => k (y) = 3y 2 + 2y => k(y) = y 3 + y 2 + C

29 29 Valitaan C = 0 (ei tarvita yleistä ratkaisua k(y):lle, mikä tahansa kelpaa.) Implisiittinen ratkaisu on u(x,y) = c eli sin(x+y) + y 3 + y 2 = c.

30 2.4 Integroivat tekijät 30 Jos differentiaaliyhtälö ei ole eksakti, se voidaan muuntaa eksaktiksi kertomalla se sopivalla funktiolla. Esimerkki Ratkaise DY y = y/x eli y dx + x dy = 0 Kun DY kerrotaan termillä 1/x 2, saadaan y 1 dx dy 2 x x 0 Vasen puoli on funktion u(x,y) = y/x kokonaisdifferentiaali, joten du = 0 Ratkaisu: u = y/x = c eli y = cx.

31 Yleisesti: Ei-eksakti differentiaaliyhtälö 31 P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (24) voidaan muuntaa eksaktiksi kertomalla se sopivalla funktiolla F(x,y), jota kutsutaan integroivaksi tekijäksi: F(x,y)P(x,y)dx + F(x,y)Q(x,y)dy = 0 (25) eli FP dx + FQ dy = 0 Eksaktisuuden ehto: (FP) y (FQ) x (26) eli F y P + FP y = F x Q + FQ x

32 32 Helpompi tapaus: integroiva tekijä riippuu vain toisesta muuttujasta, olkoon F = F(x). Silloin F y = 0, F x = F (x) = df/dx. Eksaktisuuden ehto FP y = F Q + FQ x F /F = (P y Q x )/Q 1 df F dx 1 P Q R, missä R Q y x

33 33 Lause Ratkaistavana DY P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 1 P Q a) Jos R Q y x riippuu vain muuttujasta x, niin DY:llä on vain x:stä riippuva integroiva tekijä F (x) e R(x)dx

34 34 1 Q P b) Jos S P x y riippuu vain muuttujasta y, niin DY:llä on vain y:stä riippuva integroiva tekijä G (y) e S( y)dy

35 35 Esimerkki Ratkaise DY (e x+y + ye y )dx + (xe y 1)dy = 0 P(x,y) = e x+y + ye y Q(x,y) = xe y 1 Eksaktisuus? P y e x y e y ye y Q x e y P y DY ei ole eksakti.

36 36 Onko x:stä riippuva integroiva tekijä? R 1 (e y xe 1 x y e y ye y e y ) riippuu sekä x:stä että y:stä, ei kelpaa. Onko y:stä riippuva integroiva tekijä? S e x y 1 ye y (e y e x y e y ye y ) 1 ei riipu x:stä, kelpaa.

37 37 Integroiva tekijä on G(y) e ( 1)dy e y Kertomalla yhtälö puolittain G(y):llä: M = e x + y N = x e -y (e x + y)dx + (x e -y )dy = 0 M y 1 N x on eksakti

38 u x x (e y)dx e xy k(y) 38 u y x k (y) x e y N(x, y) => k (y) = - e -y => k(y) = e -y + c (vakion voi unohtaa, se sisältyy yleiseen ratkaisuun) Yleinen ratkaisu implisiittisessä muodossa: e x + xy + e -y = C

39 2.5 Lineaariset differentiaaliyhtälöt 39 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö: + p(x)y = r(x) Yhtälö on lineaarinen y:n ja y:n suhteen, p ja r mitä tahansa x:n funktioita. Jos r(x) 0, yhtälö on homogeeninen: + p(x)y = 0 Muulloin epähomogeeninen. Jos yhtälö on f(x)y + g(x)y = h(x) jaa se f(x):llä ( 0 jollain välillä).

40 2.5.1 Homogeeninen yhtälö 40 + p(x)y = 0 on separoituva: => => dy y p(x)dx kun y 0 ln y y Ce p(x)dx p(x) dx c on yleinen ratkaisu kaikilla vakioilla C. (koska myös triviaaliratkaisu y(x) 0 toteuttaa DY:n).

41 2.5.2 Epähomogeeninen yhtälö 41 + p(x)y = r(x) => (py r)dx + dy = 0 Tällä DY:llä on x:stä riippuva integroiva tekijä F(x). P = py r Q = 1 1 df F dx 1 P Q = Q y x = p(x) => 1 df p(x) dx F => ln F(x) p(x) dx

42 42 Integroiva tekijä: F (x) e p(x)dx Kerro tekijällä p(x)dx F (x) e yhtälö y + p(x)y = r(x) => e pdx (y py) e pdx r Vasen puoli e pdx d (e y) e dx pdx pdx y pe y. pdx y on tulon e pdx y derivaatta, merk. => (e pdx y) e pdx r => e pdx pdx y e rdx C

43 43 Yleinen ratkaisu: y(x) h h e ( e rdx C) missä h p(x) dx

44 Differentiaaliyhtälön y + p(x)y = r(x) ratkaiseminen integroivan tekijän avulla Laske integroiva tekijä p(x)dx F (x) e (vakiota ei tarvita). 2. Kerro DY puolittain tekijällä F(x). Silloin yhtälö on muotoa d dx F(x)y F(x)r(x) 3. Integroi puolittain ja lisää integroimisvakio. Ratkaise y. Voi käyttää suoraan kaavaa (35). Integroiva tekijä tarkoittaa että se muuttaa DY:n muotoon joka voidaan laskea suoraan integroimalla. Lineaarista tapausta ei tarvitse ratkaista eksaktin DY:n tapaan koska ratkaisu saadaan helpommin.

45 Esimerkki Ratkaise y y = e 2x 45

46 Esimerkki Sekoitustankissa on 1000 l vettä, jossa on liuenneena 4 kg suolaa. Tankkiin virtaa tasaisella nopeudella 50 l/min suolaliuosta, jonka suolapitoisuus on 200 g/l. Liuos pidetään tasaisena jatkuvalla sekoittamisella. Liuosta virtaa myös tankista ulos 50 l/min. Paljonko tankissa on suolaa 10 min kuluttua? 46 Ohje: Olkoon y(t) = suolan määrä tankissa hetkellä t. Muodosta yhtälö seuraavalla periaatteella: suolamäärän muutosnopeus on y =virtausnopeus sisään virtausnopeus ulos. Sisäänvirtaus: 0,2 kg/l 50 l/min = 10 kg/min. Ulosvirtaus: (y kg/1000 l) 50 l/min = 20 y kg/min Ratkaistava differentiaaliyhtälö: y = 10 y/20 = (200 y )/20

47 y = dy/dt = (200 y )/ ) Separoimalla dy 200 y 1 20 dt josta integroimalla ln 200 y = t/20 + C ln (200 y) = t/20 C (200 > y) 200 y = e -t/20 e -C = ce -t/20 y = 200 ce -t/20

48 48 Alkuehto: y(0) = 200 c = 4 => c = 196 Suolan määrä (g) hetkellä t on y(t) = e -t/20 10 min kuluttua y(10) = e -1/2 = 81.1 kg

49 2) Lineaarisen DY:n ratkaisukaavalla 49 y(x) h h e ( e rdx C) missä h = p(x)dx y = 10 y/20 1 y y p(t) = 1/20 r(t) = 10 1 dt 20 h(t) = p (t)dt t 20 y(t) e t / 20 ( e t / 20 10dt C) = e t / 20 (200e t / 20 C) 200 Ce t / 20

50 2.5.3 Homogeenisen ja epähomogeeninen lineaarisen differentiaaliyhtälön välinen yhteys 50 Homogeeninen: y + p(x)y = 0 Epähomogeeninen: y + p(x)y = r(x) Lause Ensimmäisen kertaluvun lineaarisen, epähomogeenisen DY:n yleinen ratkaisu on missä y(x) = y h (x) + y p (x) y h (x) on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu (sisältäen vakion) y p (x) on epähomogeenisen yhtälön jokin yksityisratkaisu

51 Epähomogeeninen DY: 51 JOKO integroivan tekijän menetelmällä TAI hakemalla yksityisratkaisu seuraavilla kokeellisilla menetelmillä. 1) Yritemenetelmä eli määräämättömien kertoimien menetelmä: kokeile samankaltaista funktiota kuin oikean puolen funktio r(x) ja määrää funktion parametrit siten, että DY toteutuu. Kun DY on vakiokertoiminen eli p(x) vakio, voidaan valita esim. r(x) yrite y p (x) polynomi saman asteen polynomi cos(x), sin(x) A cos(x) + B sin(x) e kx Ae kx b) Vakion variointi: käytä yritteenä homogeenisen DY:n yleistä ratkaisua, jossa integroimisvakio korvataan funktiolla u(x).

52 52 Esimerkki Ratkaise y y = e 2x a) määräämättömien kertoimien menetelmällä b) vakion varioinnilla

53 2.5.4 Bernoullin differentiaaliyhtälö 53 Bernoullin DY: y + p(x)y = g(x)y a Yhtälö on epälineaarinen, kun a0, a1. Voidaan muuttaa lineaariseksi asettamalla Derivoimalla u(x) = [y(x)] 1-a u =(1-a)y -a y = (1-a)y -a (gy a py) = (1-a)(g py 1-a ) = (1-a)(g pu) => u + (1-a)pu = (1-a)g joka on lineaarinen u:n ja u :n suhteen.

54 Esimerkki Ratkaise 54 y + 4y = 3e 2x y 2. p(x) = 4, g(x) = 3e 2x, a = 2 u = y -1 u 4u = -3e 2x h ( 4)dx 4x Integroiva tekijä F(x) = e h = e -4x. e -4x (u 4u) = e -4x (-3e 2x )

55 Vasen puoli e -4x u 4e -4x u on tulon e -4x u derivaatta: 55 Integroimalla (ue -4x ) = -3e -2x josta ue -4x = u 3 2 e 3 ( e Ce 2x )dx 3e C 2x 2x 4x 3 2 e 2Ce 2 2x 4x C Sijoittamalla u = 1/y yleinen ratkaisu: 2 y 2x 4x 3e Ce

56 2.6 Käyräparven kohtisuorat leikkaajat 56 Yhtälö F(x, y, c) = 0 esittää käyrää xy tasossa kiinteällä c:n arvolla. Vaihtelemalla c:n arvoa saadaan äärettömän monta käyrää. Vakio c on käyräparven parametri. Käyräparven kohtisuorat leikkaajat eli ortogonaalileikkajat ovat käyriä, jotka leikkaavat kaikki parven käyrät 90 :een kulmassa. Tarkoittaa että käyrien tangentit kohtisuoria!

57 57 Olkoon = f(x, y) differentiaaliyhtälö, jonka yleinen ratkaisu käyräparven yhtälö on. Huom. vakio c ei esiinny differentiaaliyhtälössä. Ensin muodostetaan DY y = f(x,y) derivoimalla käyräparven yhtälöä F(x,y,c) = 0. Tähän derivaattaan sijoitetaan c, joka ratkaistaan käyräparven yhtälöstä. Jos f(x,y) on käyrän tangentin kulmakerroin, kohtisuorilla käyrillä tangentin kulmakerroin on 1/f(x,y).

58 58 Parven kohtisuorasti leikkaavien käyrien yhtälöt saadaan ratkaisemalla DY 1 y Eri y! f (x, y) Esimerkki Etsi paraabelien y = cx 2 kohtisuorat leikkaajat. Käyrän tangentin kulmakerroin on y = 2cx. Sijoitetaan tähän käyrän yhtälöstä c = y/x 2 y = 2y/x joten kohtisuoran leikkaajan tangentin kulmakerroin on x/2y.

59 Ratkaistaan yhtälö 59 y = x 2y Ratkaisu (separoimalla): x y C x y eli 1 2C C Kohtisuorat leikkaajat ovat ellipsejä.