Vektorianalyysi II MAT21020

Save this PDF as:
Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Vektorianalyysi II MAT21020"

Transkriptio

1 Vektorianalyysi II MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ke: :5-:, to: :5-4: Helsingin yliopisto 4. huhtikuuta 8

2 Sisältö RHS:n luennoista 3 5 Kertausta vektorifunktioista 4 6 Vektorifunktioiden derivaatat 6 Määritelmä 6.: Kuvauksen derivaatta ja differentioituvuus pisteessä x Määritelmä 6.: Differentioituva kuvaus Lause 6.4: Pisteessä x o differentioituva kuvaus on jatkuva samassa pisteessä Määritelmä 6.7: Affiini kuvaus Derivoimissääntöjä 9 Lause 7.: Summafunktion differentioituvuus Lause 7.3: Tulofunktion differentioituvuus Korollaari 7.4: Vakiolla kerrotun funktion differentioituvuus Lause 7.6: Sisätulon differentioituvuus Lause 7.7: Ketjusääntö Suunnattu derivaatta ja osittaisderivaatta 3 Määritelmä 8.: Suunnattu derivaatta Määritelmä 8.5: Osittaisderivaatat Jacobin matriisi 6 Määritelmä 9.3: Jacobin matriisi Määritelmä 9.6: Jacobin determinantti Differentioituvuudesta 9 Määritelmä.3: Jatkuvasti differentioituva kuvaus Yhteenveto Yhden muuttujan vektoriarvoiset kuvaukset.4 Jatkuvasti differentioituvat polut paloittain säännöllisistä poluista Käänteiskuvauslause 7 Lause.: Lokaali injektiivisyys Lause.5: Käänteiskuvauslause Määritelmä.7: Diffeomorfismi Ääriarvotehtävistä 3 Lause 3.3: Lagrangen kertojien menetelmä Geometrista perustelua Avaruuden R n pinnoista Implisiittisesti määritellyistä pinnoista Yleistä ääriarvotehtävistä 4 5. A on kompakti joukko A ei ole kompakti joukko

3 Vektorianalyysi II SISÄLTÖ 6 Riemannin integraalista Kertausta Riemannin integraali avaruudessa R n Iteroiduista integraaleista Integraalin ominaisuuksia funktion suhteen Nollajoukon käsite Lause 6.3: Additiivisuus joukon suhteen Muuttujanvaihtokaava karkeasti) Muuttujanvaihtolause tarkemmin Sylinterikoordinaattikuvaus avaruudessa R Pallokoordinaattikuvaus avaruudessa R Epäoleellisista integraaleista Integraali yli avaruuden R n, n Lause 7.: Iteroitu integraali Käyräintegraalista Reaaliarvoisen funktion käyräintegraali Vektorikentän käyräintegraali Analyysin peruslause ja sen moniulotteisia vastineita 7 Kertausta kurssikokeeseen 73 Roottori ja divergenssi 78 Reaaliarvoisen funktion pintaintegraali 79 Vektorikentän pintaintegraali 8 3 Stokesin lause 8 4 Gaussin lause Divergenssilause) 83 Viitteet 85 RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu

4 Vektorianalyysi II RHS:N LUENNOISTA RHS:n luennoista Luennot sisältävät euklidisessa avaruudessa R n, n, määriteltyjen vektoriarvoisten vektorifunktioiden differentiaalilaskennan ja integraalilaskennan perusteita. Luentojen runko seuraa Olli Martion kirjaa. Luentoja tehdessäni olen käyttänyt Veikko T. Purmosen luentomonisteita Differentiaalilaskentaa euklidisissa avaruuksissa, Differentiaalilaskentaa, Integraalilaskenta ja Integraalilaskenta, omia Differentiaalilaskenta luentojani ja James Stewartin kirjaa Calculus. Early Transcendentals. Suurkiitos Outi Bomanille, Ilmari Lehmusoksalle ja Heli Virtaselle luentojen LATEX:lla kirjoittamisesta ja Toivo Kiiskelle painovirheiden etsimisestä. Ilmarille suurkiitos myös kuvien todella taidokkaasta piirtämisestä! Kiitos luennoille osallistuneille. Helsingissä 4..7 Ritva Hurri-Syrjänen RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 3

5 Vektorianalyysi II 5 KERTAUSTA VEKTORIFUNKTIOISTA 5 Kertausta vektorifunktioista Kurssi on tavallaan kuvausten teoriaa. Kertaamme ensin tuloksia jatkuvista kuvauksista ja raja-arvoista. 5. Kuvauksen f A R m, A R n, lähtöjoukko) on A, maalijoukko) on R m, kuvajoukko) on fa). Kuvaus f A B, A R n, B R m, on a) vektorifunktio, jos n > tai m >, ja erityisesti b) vektoriarvoinen, jos m >, c) reaaliarvoinen, jos m =. 5. Kuvaus f A R m, A R n, on jatkuva pisteessä x A, jos jokaisella ε > on olemassa δ > siten, että fy) fx) < ε, kun y x < δ, y A. Kuvaus f on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa pisteessä x A. 5.3 Kuvaus f = f,, f m ) A R m, A R n, fx) = f x)e + f x)e + + f m x)e m kaikilla x A, missä { e, e,, e m } on avaruuden R m kanta, on jatkuva pisteessä x A vastaavasti joukossa A), jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio f k A R, k =,, m, on jatkuva pisteessä x A vastaavasti joukossa A). Esimerkki 5.4 Olkoon f = f, f, f 3 ) R R 3 Silloin komponenttifunktiot ovat f x, x ) = x, x + 5x, 4x x ). f R R, f R R, f 3 R R, x, x ) x x, x ) x + 5x x, x ) 4x x. 5.5 Kuvauksella f A R m on raja-arvo b R m joukon A kasautumispisteessä a, merkitään lim fx) = b, x a x A jos jokaisella ε > on olemassa δ > siten, että fx) b < ε, kunhan < x a < δ, x A. 5.6 Kuvauksella f = ) f, f,, f m A R m, A R n, on raja-arvo b = ) b,, b m R m pisteessä a, jos ja vain jos lim f j x) = b j, kaikilla j =,, m. x a x A RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 4

6 Vektorianalyysi II 5 KERTAUSTA VEKTORIFUNKTIOISTA 5.7 Jos x A ei ole erillinen piste, niin silloin kuvaus f A R m, A R n, on jatkuva pisteessä x, jos ja vain jos lim fy) = fx). y x y A Huomautus: Funktio on aina jatkuva erillisessä pisteessä. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 5

7 Vektorianalyysi II 6 VEKTORIFUNKTIOIDEN DERIVAATAT 6 Vektorifunktioiden derivaatat Määritelmä 6.: Kuvauksen derivaatta ja differentioituvuus pisteessä x. Olkoon avoin joukko avaruudessa R n. Kuvaus f R m on differentioituva pisteessä x, jos on olemassa kuvaus A L R n, R m ) siten, että missä εh), kun h. f x + h ) f x ) = Ah + h εh), x + h, Kuvaus A = Df x ) L R n, R m ) on kuvauksen f derivaatta pisteessä x. Määritelmä 6.: Differentioituva kuvaus. Olkoon R n avoin. Kuvaus f R m on differentioituva, merkitään diffva, jos kuvaus f on differentioituva jokaisessa pisteessä x. Esimerkki 6.3 ) Olkoon R n avoin. Olkoon f R m vakiofunktio, ts. fx) = c R m kaikilla x. Tällöin f on diffva ja Df x ) = L R n, R m ) kaikilla x : f x + h ) = c = f x ) = f x ) + h + h, x + h. ) Olkoon I R n R n, Ix) = x, identtinen kuvaus. Tällöin I on diffva ja DI x ) = I kaikilla x R n. Koska I on lineaarikuvaus, R n R n, niin I x + h ) I x ) = Ih + h. 3) Olkoon A R n R m lineaarikuvaus. Tällöin A on diffva ja DA x ) = A kaikilla x R n : A x + h ) A x ) = Ah + h. Seuraava lause antaa yhteyden differentioituvuuden ja jatkuvuuden välillä; differentioituvuus on voimakkaampi ominaisuus. Lause 6.4: Pisteessä x o differentioituva kuvaus on jatkuva samassa pisteessä. Olkoon f R m vektorifunktio, R n avoin, x. Jos f on differentioituva pisteessä x, niin f on jatkuva pisteessä x. Todistus. Kuten Vektorianalyysi I-kurssilla. Korollaari 6.5. Olkoon f R m, R n avoin, differentioituva. Tällöin f on jatkuva joukossa. Huomautus 6.6 Funktio f R R, on differentioituva pisteessä x R, jos ja vain jos f on derivoituva pisteessä x. Tällöin Df x ) h = f x ) h, h R. Määritelmä 6.7: Affiini kuvaus. Kuvaus T R n R m on affiini, jos T on lineaarikuvauksen A R n R m ja avaruuden R m siirron yhdiste, toisin sanoen, jos Huomautus: T ) = A ) + b = + b = b. T x) = Ax + b, b R m, kaikilla x R n. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 6

8 Vektorianalyysi II 6 VEKTORIFUNKTIOIDEN DERIVAATAT Esimerkki 6.8 ) Olkoon b =, ) R ja lineaarikuvaus A R 3 R siten, että [ ] mata) =. 3 3 Silloin T R 3 R, T x) = Ax + b on affiinikuvaus, jolle T x) = y = y, y ) = x + x 3 +, 3x + x + 3x 3 + ). ) Affiinikuvaus T = T, T ) R R, { T x) = 3x + T x) = x +, kuvaa reaaliakselin tason R suoraksi, joka kulkee pisteen, ) kautta. Nyt { y = 3x + y = x +, joten suoran yhtälö on y + 3y = Kuvausmerkintä εx) ja sanonta ε-funktio: Kuvaus φ n, r) R m, φx) = εx), on ε-funktio, kun φx), kun x. Esimerkki 6. ) Olkoon φ R R, x cos x. Silloin φ on ε-kuvaus, sillä εx) = cos x, kun x. ) Olkoon φ = ) φ, φ, r ) R, φ x) = log x ) φ x) = sin x. Nyt φx) = log x ) ), sin x = εx), sillä εx), ), kun x. Esimerkki 6. Tärkeä! Olkoot f ja f R R derivoituva kuvauksia ja f R R, f ) ) ) x, x = f ) x, f x. Osoita, että f on diffva ja derivaattaa vastava matriisi on mat Df ) ) [ f ) ] x x, x = f ). x Ratkaisuehdotus. Merkitään h = h, h ) R, x = x, x ) R. Koska f ja f ovat derivoituvia, niin fx + h) ) = f ) ) ) ) x + h, x + h = f ) x + h, f x + h 3) ) ) = f x + f x h + h ε ) ) ) h, f x + f x h + h ε ) ) h RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 7

9 Vektorianalyysi II 6 VEKTORIFUNKTIOIDEN DERIVAATAT = ) ) ) f x, f x + f ) x h, f ) ) ) ) x h + h ε h, h ) ε h = fx) + Ah + h εh), missä A R R lineaarikuvaus siten, että [ f ) ] x mata) = f ) x ja εh) = h h ε h ), h h ε h ) ), kun h. Siis f on differentioituva ja mat Dfx, x ) ) [ f ) ] x = f ). x Kohdassa ) sijoitetaan merkinnät, kohdassa ) käytetään funktion määritelmää ja kohdassa 3) käytetään sitä, että funktiot f ja f ovat derivoituvia. Lisäksi huomaa, että h = h + h. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 8

10 Vektorianalyysi II 7 DERIVOIMISSÄÄNTÖJÄ 7 Derivoimissääntöjä Lause 7.: Summafunktion differentioituvuus. Jos f, g R m, R n avoin, ovat differentioituvia pisteessä x, niin kuvaus f + g R m on differentioituva pisteessä x ja x ) ) ) D f + g) = Df x + Dg x. x ) ) ) Siis D f + g) h = Df x h + Dg x h, h R n. Todistus. Suoraan kehitelmällä. Esimerkki 7. Etsi kuvauksen f R R, x, x ) x + sin x, x + x + cos x ) derivaatta Df x, x ). Ratkaisuehdotus. Nyt fx) = x, x + x ) + sin x, cos x ), missä gx) = x, x + x ) on lineaarinen ja hx) = sin x, cos x ) on Esimerkin 6. tyyppiä. Siis ja mat Dgx) ) = [ ] mat Dhx) ) [ ] cos x =. sin x Siis Lauseen 7. nojalla summafunktio f on differentioituva ja Dfx) L R, R ) ja mat Dfx) ) [ ] cos x =. sin x Siis Dfx)h = h cos x + h, h + h h sin x ), h R. Lause 7.3: Tulofunktion differentioituvuus. Jos φ R ja f R m, R n avoin, ovat differentioituvia pisteessä x, niin on differentioituva pisteessä x ja Todistus. Melkein suoraan kehitelmällä. φf R m, φf)x) = φx)fx), Dφf) x ) h = Dφ x ) h )f x ) + φ x ) Df x ) h. Korollaari 7.4: Vakiolla kerrotun funktion differentioituvuus. Olkoon R n avoin. Jos f R m on differentioituva pisteessä x ja λ R, niin λf R m on differentioituva pisteessä x ja Dλf) x ) = λ Df x ). Seuraava esimerkki on Lauseiden 7. ja 7.3 sovellus. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 9

11 Vektorianalyysi II 7 DERIVOIMISSÄÄNTÖJÄ Esimerkki 7.5 Olkoon f R R, f x, x ) = x, x x ). Etsi derivaatta Dfx). Ratkaisuehdotus. Nyt f ) x, x = x, ) +, x ) ) = φx) gx) + hx) ), missä φ R R, x, x ) x lineaarinen g R R, x, x ), ) vakio h R R, x, x ), x ) lineaarinen. Siis mat Dφx) ) = [ ] mat Dhx) ) [ ] =. Olkoon u = u, u ) R. Lauseiden 7. ja 7.3 nojalla Dfx)u Dgx)= = Dφx)u gx) + hx) ) + φx) Dhx)u = u, ) +, x ) ) + x, u ) = ) u, x u + x u [ ] [ ] u. x x u Siis mat Dfx) ) [ ] =. x x Lause 7.6: Sisätulon differentioituvuus. Jos f, g R m, R n avoin, ovat differentioituvia pisteessä x, niin kuvaus on differentioituva pisteessä x ja f g R, f g)x) = fx) gx) Df g) x ) h = Df x ) h g x ) + f x ) Dg x ) h. Huomautus merkinnästä: Sisätulo f g R eli f g ) R merkitään f g)x) = f g ) x) fx) gx) = fx) gx) ). Lause 7.7: Ketjusääntö. Tärkeä! Olkoon R n avoin ja R m avoin. Jos kuvaus f on differentioituva pisteessä x ja kuvaus g R l on differentioituva pisteessä y = f x ), niin yhdistetty kuvaus g f R l on differentioituva pisteessä x ja Dg f) x ) = Dg y ) Df x ) L R n, R l), toisin sanoen Dg f) x ) h = Dg f x ) ) Df x ) h, h R n. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu

12 Vektorianalyysi II 7 DERIVOIMISSÄÄNTÖJÄ Todistus. ) Kehitelmä, ) funktion f jatkuvuuden hyödyntäminen. f g R l g f Kuva : Lauseen 7.7 yhdistetty kuvaus g f R l. Esimerkki 7.8 Etsi derivaatta Dh x ), kun h = g f, missä f R R 3, x mat Df ) ) x = g L R 3, R ) ja matg) =, x =, sin x, x, x ), [ ] 3. f R 3 g R R h = g f Kuva : Esimerkin 7.8 yhdistetty kuvaus h = g f R R. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu

13 Vektorianalyysi II 7 DERIVOIMISSÄÄNTÖJÄ Ratkaisuehdotus. Ketjusäännön nojalla yhdistetty kuvaus h = g f R R on diffva pisteessä x = ja Dh ) = Dg f )) Df ) = g Df ) L R, R ) ja mat Dh )) = matg) mat Df )) = Siis k = Dh ) R R, k x) = 3x, x ). [ ] 3 = [ ] 3. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu

14 Vektorianalyysi II 8 SUUNNATTU DERIVAATTA JA OSITTAISDERIVAATTA 8 Suunnattu derivaatta ja osittaisderivaatta Määritelmä 8.: Suunnattu derivaatta. Olkoon R n avoin, f R m, x ja e R n yksikkövektori, e =. Jos raja-arvo f x + te ) f ) x lim t t t R on olemassa, niin merkitään tätä raja-arvoa e f ) x R m ja sanotaan, että e f ) x R m on kuvauksen f suunnattu derivaatta pisteessä x suuntaan e. { x ) } Esimerkki 8. Olkoon =, x R x > ja f R, ) x x, x, x + x ). x x Etsi funktion f derivaatta pisteessä x =, ) suuntaan a =, ). Ratkaisuehdotus. Yksikkövektori on nyt e = a a =, ). Joten f x + te ) f ) x lim t t = lim t f = lim t t t, + t ), + t t = lim t f ) t f, ) t + t ), ) ) + t, f, ) = lim t ) = t t + t, + t t ), ) ), ) =,. Lause 8.3. Jos kuvaus f R m, R n avoin, on differentioituva pisteessä x, niin sillä on pisteessä x derivaatta jokaiseen suuntaan e R n, e = ja e f x ) = Df x ) e R m. Todistus. Katso vektorianalyysi -kurssikokeen. tehtävä. Esimerkki 8.4 Olkoon R avoin. Olkoon f R differentioituva kuvaus ja [ ] mat Dfx) ) = x x x x e x, x = x, x ). Etsi funktion f derivaatta pisteessä, ) vektorin,) suuntaan. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 3

15 Vektorianalyysi II 8 SUUNNATTU DERIVAATTA JA OSITTAISDERIVAATTA Ratkaisuehdotus., ) e =, ) = 5, ) 5 Lauseen 8.3 nojalla e f, ) = Df, ) e [ = e ] 3 = 5 e , e 5 ) R. Määritelmä 8.5: Osittaisderivaatat. Olkoon R n avoin. Kuvauksen f R m suunnatut derivaatat pisteessä x kantavektoreiden e i R n, i =,, n, e =, suuntaan ovat jos ne ovat olemassa) kuvauksen f vektori)osittaisderivaatat pisteessä x. Merkitään ei f x ) = i f x ) = f e i x ) = D i fx ), i =,, n. Lause 8.6. Olkoon R n avoin, olkoon x. Kuvauksella f = f,, f m ) R m on olemassa osittaisderivaatta i f x ), jos ja vain jos jokaisella komponenttifunktiolla f j R, j =,, m on olemassa osittaisderivaatta i f j x ), j = i,, m. Tällöin i f x ) = i f x ), i f x ),, i f m x ) ). Huomautus: Kysymys on vain seuraavasta tosiasiasta: lim fx) = y, x x jos ja vain jos missä lim f x x j x) = y j, j =,, m, y = y,, y m ). RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 4

16 Vektorianalyysi II 8 SUUNNATTU DERIVAATTA JA OSITTAISDERIVAATTA Esimerkki 8.7 Olkoon f R R, ) ) x, x x + x, x + x. Silloin f R R, f x, x ) = x + x. f R R, f x, x ) = x + x. Siis f x, x ) = f x, x ) = f x, x ) = x f x, x ) = x. Siis f x, x ) = f x, x ), f x, x ) ) =, x ) f x, x ) = f x, x ), f x, x ) ) =, x ). Lauseesta 8.3 seuraa Korollaari 8.8. Olkoon meillä R n avoin, x. Jos kuvaus f R m on differentioituva pisteessä x, niin kuvauksella f on olemassa kaikki osittaisderivaatat pisteessä x ja i f x ) = Df x ) ei, i =,, n. Seurauslause 8.8 ei päde kääntäen. Kuitenkin derivaatta on laskettavissa osittaisderivaattojen avulla. Lause 8.9. Olkoon R n avoin, x. Jos kuvaus f R m on differentioituva pisteessä x, niin Df ) n x h = h i i f ) x, h = h,, h n ) R n. i= RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 5

17 Vektorianalyysi II 9 JACOBIN MATRIISI 9 Jacobin matriisi Lause 9.. Olkoon R n avoin, x. Jos funktio f = f,, f m ) R m on differentioituva pisteessä x, niin derivaatan Df x ) L R n, R m ) matriisi pisteessä x on ) ) ) f x j f x n f x mat Dfx ) ) ) ) ) = f i x j f i x n f i x. 9.) ) ) ) f m x j f m x n f m x Määritelmä 9.3: Jacobin matriisi. Matriisi 9.) on tällöin kuvauksen f Jacobin matriisi. Huomautus 9.4 Kertausta. Lineaarikuvausta A R n R m vastaa m n - matriisi. a a a n a a a n = [a ij ] a m a m a mn Jokainen m n-matriisi määrittelee lineaarikuvauksen A R n R m siten, että kaikilla x R n y = y,, y m ) = Ax = Ax,, x n ), jos ja vain jos y a a a n x y = a a a n x. y m a m a m a mn x n Merkitsemme ]. A [a ij = mata). a ij = Ae j ) i = e i Ae j sillä a a a + +a j + n +a Ae j = a a a n j + = + = a m a m a mn +a ij a mj + eli Ae j = A,,,,,, ) = a j, a j,, a ij,, a mj ), joten Ae j ) i = a ij = e i Ae j, missä e i R m, Ae j R m. a j a ij a mj RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 6

18 Vektorianalyysi II 9 JACOBIN MATRIISI ] Todistus. Olkoon [a ij = matdfx )). Siis Lauseen 8.9, Lauseen 8.6 ja Seurauslauseen 8.8 nojalla a ij = e i Df x ) ej = e i j f x ) = j f i x ). Esimerkki 9.5 Olkoon f R R, x, x ) x x, x ). Tällöin f on differentioituva erityisesti pisteessä,). Silloin f R R, f x, x ) = x x f R R, f x, x ) = x, ja ) ) f x, x = x f x, x = x ) ) f x, x = f x, x = x. Silloin mat Df, ) ) ) [ = f, ) f, )] f, ) = f, [ ]. Määritelmä 9.6: Jacobin determinantti. Pisteessä x differentioituvan kuvauksen f R n, R n avoin, Jacobin determinantti J f x ) pisteessä x on J f x ) = det Dfx ) ). Siis vastaavan Jacobin matriisin determinantti. Esimerkki 9.7 Olkoon f R R, x, x ) x, x sin x ). Tällöin f on differentioituva. Etsi J f ). Ratkaisuehdotus. Nyt f R R, f x, x ) = x, ja siis ja erityisesti Ja f R R, f x, x ) = x sin x, ja siis ja erityisesti f x, x ) = ja f x, x ) = f ) = ja f ) =. f x, x ) = sin x ja f x, x ) = x cos x f ) = ja f ) =. siis J f ) = =. Lause 9.8. Pisteessä x differentioituvan kuvauksen f R n, R n avoin, derivaatta Dfx ) L R n, R n ) on bijektio, jos ja vain jos J f x ). Todistus. Lineaarialgebra. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 7

19 Vektorianalyysi II 9 JACOBIN MATRIISI Esimerkki 9.9 Kuvaus f R R, x, x ) x + x, x x ), on differentioituva. f R R, f x, x ) = x + x f R R, f x, x ) = x x f x, x ) = f x, x ) = f x, x ) = x f x, x ) = x. Kuvauksen Jacobin determinantti on J f x) = = x x x x. Siis Dfx) R R on bijektio suoran x x = ulkopuolisissa pisteissä, eli kun x = x, x ) R ja x x. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 8

20 Vektorianalyysi II DIFFERENTIOITUVUUDESTA Differentioituvuudesta Lause.. Kuvaus f = f,, f m ) R m, R n avoin joukko, on differentoituva pisteessä x, jos ja vain jos komponenttifunktiot f j R, j =,, m, ovat differentioituvia pisteessä x. Tällöin m ) ) m ) ) Dfx )h = Df j x h e j = f j x h e j. j= Lause.. Kuvaus f R m, R n avoin joukko, on differentioituva pisteessä x, jos jollakin j, j n, j f x ) on olemassa sekä muut n derivaattaa i f, i j, ovat olemassa pisteen x jossain ympäristössä ja jatkuvia pisteessä x. Määritelmä.3: Jatkuvasti differentioituva kuvaus. Differentioituva kuvaus f R m, R n avoin joukko, on jatkuvasti differentioituva, jos sen derivaattakuvaus Df L R n, R m), x Dfx) on jatkuva. Lause.4. Tärkeä! Kuvaus f = f,, f m ) R m, R n avoin joukko, on jatkuvasti differentioituva, jos ja vain jos kaikki komponenttifunktioiden f j R, j =,, m, osittaisderivaatat i f j, i =,, n ovat olemassa ja jatkuvia avoimessa joukossa. Esimerkki.5 Tärkeä!) x + x x 3, e x + x cos x 3 ). Kuvaus f on jatkuvasti differen- Olkoon f = ) f, f R 3 R, x tioituva, sillä j= f R 3 R f x, x, x 3 ) = x + x x 3, f R 3 R f x, x, x 3 ) = e x + x cos x 3, f x, x, x 3 ) = x f x, x, x 3 ) = x 3 3 f x, x, x 3 ) = x f x, x, x 3 ) = cos x 3 f x, x, x 3 ) = e x 3 f x, x, x 3 ) = x sin x 3 ja siis osittaisderivaatat ovat jatkuvia R 3 R. Edelleen mat Dfx) ) [ ] x x 3 x cos x 3 e x x sin x 3 ja erityisesti Korollaari.6. Df,, π ) [ ] π. Kuvaus f R m, R n avoin joukko, on jatkuvasti differentioituva, jos ja vain jos kaikki vektori)osittaisderivaatat i f, i =,, n, ovat olemassa ja jatkuvia joukossa. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 9

21 Vektorianalyysi II DIFFERENTIOITUVUUDESTA.7 Yhteenveto f j differentioituva j =,, m f jatkuvasti differentioituva Määritelmä.3 f differentioituva Lause 6.5 f jatkuva Seurauslause.6 Lause 8.3 i f ovat olemassa ja jatkuvia i =,, n Laskuharjoitus. Lause.4 i f j ovat olemassa ja jatkuvia i =,, n j =,, m e f on olemassa e R n, e = i f on olemassa i =,, n Määritelmä 8.5 Lause 8.6 i f j ovat olemassa j =,, m i =,, n Kuva 3: Yhteenveto differentioituvuudesta. Olkoon yllä f = ) f,, f m R m, R n avoin joukko. : Katso Vektorianalyysi I -luennot, siellä on vastaesimerkit. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu

22 Vektorianalyysi II YHDEN MUUTTUJAN VEKTORIARVOISET KUVAUKSET Yhden muuttujan vektoriarvoiset kuvaukset f R n R Kuva 4: Yhden muuttujan vektoriarvoinen kuvaus f kuvaa reaaliakselin R tai sen avoimen joukon) vektoriavaruuteen R n. Lause.. Yhden muuttujan vektoriarvoinen funktio f R m, R avoin joukko, on differentioituva pisteessä t, jos ja vain jos on olemassa raja-arvo ns. derivaattavektori) Tällöin f ) ft) f ) t t = lim R m. t t t t t Df t ) h = hf t ), h R. Lause.. Yhden muuttujan vektoriarvoinen funktion f = f,, f m ) R m, avoin joukko reaaliakselilla, on differentioituva pisteessä t, jos ja vain jos jokaisella komponenttifunktiolla f j R, j =,, m, on derivaatta f j t ) R pisteessä t, jolloin f t ) = f t ), f t ),, f m t ) ). Huomautus: Lause. on hyödyllinen jatkossa. ) Esimerkki.3 Olkoon f R R 3, t e t, t 3, t 3. Silloin f R R, t e t derivoituva koko reaaliakselilla, f R R, t t 3 derivoituva koko reaaliakselilla, f 3 R R, t t 3. Siis f on differentioituva täsmälleen pisteissä t, ja f t) = e t, 3t, 3 t ) 3 R 3..4 Jatkuvasti differentioituvat polut Polku on jatkuva kuvaus γ [ a, b ] R m, [ a, b ] R. Polku γ on polku joukossa A R m, jos γt) A, kaikilla t [ a, b ]. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu

23 Vektorianalyysi II YHDEN MUUTTUJAN VEKTORIARVOISET KUVAUKSET a b γ γ[a, b]) A Kuva 5: Polku γ [ a, b ] R m, [ a, b ] R, on polku joukossa A R m, jos γt) A, kaikilla t [ a, b ]. Eli polun jälki γ = γ[a, b]) A. Polun γ jälki on sen kuvajoukko { γt) t [a, b] } ja merkitään usein γ = γ[a, b]). Joukko Γ R m on käyrä pisteestä x pisteeseen y, jos se on jonkun polun γ [a, b] R m jälki ja jos x = γa) ja y = γb). Tällöin γ on käyrän Γ = γ[a, b]) parametriesitys parametrina t [a, b]. Käyrää Γ sanotaan kaareksi, jos x y. Esimerkki.5 Kuvaus γ [, ] R m, γt) = a + tb a), on polku ja sen jälki γ [, ] ) = { x R m x = a + tb a), t [, ] } = a, b) on kaari pisteestä a pisteeseen b; pisteiden a ja b välinen jana. γ a b Kuva 6: Esimerkin.5 polku γ, joka kuvaa välin [, ] janaksi a, b). Polku γ [a, b] R m on jatkuvasti differentioituva, jos on olemassa avoin väli ]c, d[ siten, että [a, b] ]c, d[, ja jatkuvasti dfferentioituva funktio f ]c, d[ R m siten, että γ = f [a,b]. Tällöin merkitään γ t) = f t), t [a, b] ja sanotaan, että γ t) R m on polun γ derivaatta pisteessä t [a, b]. Huomautus: γt) = f [a,b] t = ft), kaikilla t [a, b]. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu

24 Vektorianalyysi II YHDEN MUUTTUJAN VEKTORIARVOISET KUVAUKSET f γ c a b d R Kuva 7: Jatkuvasti differentioituva polku. Esimerkki.6 Olkoon γ [, π] R, γt) = cos t, sin t ). Tällöin γ on polku. Määritellään f R R, t cos t, sin t), jolloin f on jatkuvasti differentioituva, sillä osittais)derivaatat ovat jatkuvia; mat Dft) ) [ ] sin t = sin t, cos t ) = f cos t t), t R. Nyt γ = f [,π]. Siis γ on jatkuvasti differentioituva polku ja Polun γ jälki on yksikköympyrän kehä. γ t) = sin t, cos t ), t [, π]. π R γ R Kuva 8: Esimerkin.6 jatkuvasti differentioituva polku. Huomautus: Käyrällä on monta parametriesitystä. { } Esimerkki Käyrällä Γ = x R x = on muun muassa seuraavat parametriesitykset γ [, π] R, γt) = cos t, sin t ) α [, ] R, αt) = cos πt, sin πt ) β [, π] R, βt) = cos t, sin t ). RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 3

25 Vektorianalyysi II YHDEN MUUTTUJAN VEKTORIARVOISET KUVAUKSET a b R γ R m Kuva 9: Muistutuksena, polku on jatkuva kuvaus γ [a, b] R m, jossa [a, b] R. Huomautus.7 Polku γ = γ γ m ) [a, b] R m on jatkuvasti differentioituva, jos ja vain jos jokainen γ j [a, b] R, j =,, m on jatkuvasti derivoituva. Päätepisteissä toispuoleiset derivaatat.) Määritelmä.8. Polku γ [a, b] R m on säännöllinen, jos se on jatkuvasti differentioituva ja γ t) > kaikilla t [a, b]. Huomautus Tässä siis γ t) = γ t) + + γ m t). Vektorin γ t) pituus on lineaarikuvauksen Dγt) R R m normi. Esimerkki.9. Esimerkin.6 polku γ [, π] R, γt) = cos t, sin t ) on säännöllinen polku, sillä γ on jatkuvasti differentioituva ja γ t) = sin t) + cos t) = >, t.. Polku γ [, ] R, γt) = t, t 3 ) on jatkuvasti differentioituva, mutta ei säännöllinen, sillä γ ) = R. Määritelmä.. Olkoon γ [a, b] R m jatkuvasti differentioituva polku. Jos γ t ), niin polun tangenttivektori pisteessä γt ) on γ t ) ja polun γ yksikkötangenttivektori pisteessä γt ) on γ t ) γ t ). Joukko { } x R m x = γt ) + sγ t ), s R on polun γ tangenttisuora) pisteessä γt ). Esimerkki. Polulla γ [, π] R, γt) = cos t, sin t ) on jokaisessa pisteessä γt), t [, π], olemassa yksikkö)tangenttivektori ja tangenttisuora) γ t) = sin t, cos t ), γ t) = { x R x = cos t, sin t ) + s sin t, cos t ) }, s R { = x R x = cos t s sin t, sin t + s cos t ) }, s R. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 4

26 Vektorianalyysi II YHDEN MUUTTUJAN VEKTORIARVOISET KUVAUKSET ) ) Jos t = 3π, niin γ 3π =, ) ja γ 3π =, ) ja tangenttisuora) { } x R x = s, ), s R, on pisteen γ ) ) 3π kautta kulkeva suora, jonka suunnan määrää γ 3π., ) ) Kuva : Yksikköympyrä, eli esimerkin. polku. Merkittynä piste γ 3π =, ) ja samassa pisteessä tangenttivektori γ 3π ) =, ).. Paloittain säännöllisistä poluista Monesti käytännössä polut eivät ole säännöllisiä, mutta ne voidaan paloitella säännöllisiin osiin. a) Siistejä eli säännöllisiä polkuja. b) Paloittain säännöllinen polku. Kuva : Esimerkkejä säännöllisistä ja paloittain säännöllisistä poluista. Polku γ [a, b] R m on paloittain säännöllinen, jos on olemassa pisteet a j, j =,,, k siten, että a = a < a < < a k = b ja polku ν j = γ [a j,a j ], j =,, k RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 5

27 Vektorianalyysi II YHDEN MUUTTUJAN VEKTORIARVOISET KUVAUKSET on säännöllinen. Pisteissä a j toispuoleiset derivaatat: katso komponenttifunktioita käyttäen. a = a a a a k a k = b Kuva : Paloittain säännöllinen polku γ [a, b] R m. Väli [a, b] voidaan jakaa paloihin a j, j =,,, k siten, että a = a < a < < a k = b ja kutakin väliä [a j i, a j ] vastaava polku on säännöllinen. Esimerkki.3 Olkoon meillä γ [, ] R. γt) = {, t), kun t [, ] t, ), kun t [, ]. Tällöin γ on paloittain säännöllinen. f R R, f t) =, t), jatkuvasti differentioituva f R R, f t) = t, ), jatkuvasti differentioituva. Merkitään γ = f [,] ja γ = f [,]. Silloin γ =, ), ) ja γ =, ), ). γ γ γ Kuva 3: Esimerkin.3 paloittain säännöllinen polku. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 6

28 Vektorianalyysi II KÄÄNTEISKUVAUSLAUSE Käänteiskuvauslause Tutkimme seuraavassa kuvauksen lokaalia kääntämistä. Lause.: Lokaali injektiivisyys. Olkoon f R n, avoin avaruudessa R n, siten, että. f on jatkuvasti differentioituva,. J f x ) pisteessä x. Silloin pisteellä x on olemassa avoin ympäristö U siten, että f U on injektio eli f on lokaali injektio pisteessä x. Lisäksi J f x) kaikilla x U. Huomautus. Lauseeseen. huomautuksia.. On oleellista, että Lauseessa. lähtö- ja maalijoukko ovat saman dimensioisia.. Ehto Lauseessa. merkitsee, että kuvaus Dfx ) R n R n on bijektio. Koska Dfx ) approksimoi kuvausta x fx) fx ) pisteen x pienessä ympäristössä, niin voidaan tutkia olisiko itse f lokaali injektio. 3. Jos n = niin J f x ) = f x ) ja ehto Lauseessa. merkitsee, että f x ). Silloin Lause. on tavallinen kuvauksen lokaalikääntämislause. Aikaisempi analyysin kurssi.): Jos f x ) niin on olemassa pisteen x ympäristö siten, että f on aidosti monotoninen ja silloin f on lokaali injektio. Huomautus.3 Tärkeä!). Kuvauksen f R n, on avoin avaruudessa R n, n ei tarvitse olla injektio, vaikka J f x) kaikilla x. Esimerkki Jos f R R, x, x ) e x cos x, e x sin x ) niin e J f x, x ) = x cos x e x sin x e x sin x e x = e cos x x aina. Kuitenkin f x, x ) = f x, x + kπ ), k = ±, ±,.. Huomaa tapaus n =. Aikaisemmat analyysin kurssit.) Kuitenkin jos f ] a, b [ R jatkuva ja lokaali injektio kaikilla x ] a, b [, niin f on injektio. 3. Jatkuvasti differentioituva kuvaus f R n, avoin avaruudessa R n, voi olla injektio vaikka J f x) = joillakin x. Esimerkki a) f R R, x x 3, f ) =. b) f R n R n, x x x on jopa bijektio, mutta J f ) =. ) Esimerkki.4 Olkoon f R R, x, x ) x, x. Missä pisteissä f määrittelee lokaalin injektion? Määrää suurin r > siten, että f x,r) on injektio. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 7

29 Vektorianalyysi II KÄÄNTEISKUVAUSLAUSE Ratkaisuehdotus. Koska f on jatkuvasti differentioituva, niin voimme soveltaa Lausetta. x J f x, x ) = = x, joten J f x, x ), kun x. Siis f on lokaali injektio ainakin pisteessä x, x ), x ). Suoran x = pisteet on tutkittava erikseen. Kaikilla t >, fx, x ) = t, x ) = f t, x ), joten f ei ole lokaali injektio. Pisteen, x ) jokaisesta umpäristöstä löytyy kaksi eri pistettä jotka kuvautuvat samaksi pisteeksi, näin ollen f ei ole lokaali injektio piseessä, x ). Erityisesti pisteessä, ) f on lokaali injektio. On olemassa r > siten, että f x,r) on injektio. Määräämme suurimman luvun r >, jolle f x,r) on injektio. Edellä olevasta seuraa, että r. Osoitamme että f x,r) on injektio. Olkoon x, x ), y, y ) x, ) siten, että fx, x ) = fy, y ). Nyt siis x >, y > { x = y x = y, koska y >, x > x = y,. Siis x, x ) = y, y ). x x, x ) x, ) x a) Pisteen, x ) ympäristö. b) Piste x =, ) ja x, ). Kuva 4: Esimerkin.4 erikseen tutkittavat pisteet a) ja piste, ), missä f on lokaali injektio. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 8

30 Vektorianalyysi II KÄÄNTEISKUVAUSLAUSE Lause.5: Käänteiskuvauslause. Olkoon kuvaus f R n, avoin avaruudessa R n, jatkuvasti differentioituva, jolle J f x ) pisteessä x. Silloin pisteellä x on avoin ympäristö U siten, että. Rajoittumakuvaus f U U V = fu) on bijektio.. V = fu) on avoin. 3. Kuvauksen f U käänteiskuvaus g V U, g = f ) U on jatkuvasti differentioituva ja D gfx) ) = Dfx) ) kaikilla x U. Todistus: Tom Apostol, Mathematical Analysis, nd edition, s ) Esimerkki.6 Olkoon f R R, x, x ) e x cos x, x e x. Osoita, että pisteellä,) on ympäristö siten, että f U U fu) on bijektio. Määrää tämän kuvauksen f U käänteiskuvauksen g = f ) U derivaatta. Ratkaisuehdotus. Kuvaus f on jatkuvasti differentioituva. Nyt Siis e J f x, x ) = x cos x e x sin x e x + x ex. e J f, ) = = e. Käänteiskuvauslauseen nojalla pisteellä, ) on olemassa ympäristö U siten, että f U U fu) = V on bijektio. Lisäksi käänteiskuvaus g = f ) U on jatkuvasti differentioituva ja mat D ge, ) )) = [ ] e = [ ] e. Määritelmä.7: Diffeomorfismi. Bijektio f U V, U R n, V R n avoimia, on diffeomorfismi jos molemmat f U V ja f V U ovat jatkuvasti differentioituvia. Esimerkki.8 Tärkeä!) Napakoordinaattikuvaus tasossa R on jatkuvasti differentioituva injektio ja g, ), π) R gr, ρ) = r cos ρ, r sin ρ ), cos ρ r sin ρ g r, ρ) = = r. sin ρ r cos ρ { } Siis g, ), π) R x, ) R x on diffeomorfismi. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 9

31 Vektorianalyysi II KÄÄNTEISKUVAUSLAUSE π φ x r g x { } Kuva 5: Esimerkin.8 kuvaus g, ), π) R x, ) R x. Esimerkki.9 Olkoon = {x, x ) R < x + x < 4, x >, x > }. Silloin g ) =, missä = { r, ρ) R < r <, < ρ < π }. ρ x π r g x Kuva 6: Esimerkin.9 kuvaus g ja joukot ja ja. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 3

32 Vektorianalyysi II 3 ÄÄRIARVOTEHTÄVISTÄ 3 Ääriarvotehtävistä Määritelmä 3.. Sidotulla ääriarvotehtävällä tarkoitetaan funktion f A R, A R n, ääriarvopisteiden ja ääriarvojen määräämistä kuvauksen h = h, h p ) A R p, p < n antamien rajotteiden määräämässä joukon A osajoukossa h x) = h = x) = = h p x) = = { x A hx) = }. Esimerkki 3. Määrää funktion f R 3 R, x, x, x 3 ) x x + x 3 ääriarvopisteet ja ääriarvot pallopinnalla, ) = {x, x, x 3 ) R 3 x + x + x 3 = }. Lause 3.3: Lagrangen kertojien menetelmä. Olkoot f R ja h = h,, h p ) R p, p < n, avoimessa joukossa R n jatkuvasti differentioituvia funktioita. Jos funktiolla f on tasa-arvojoukossa h ) = { x hx) = } { = x } h x) = h x) = = h p x) = lokaali ääriarvopiste x h ) ja jos matriisin mat Dhx ) ) aste on p, niin on olemassa ns. Lagrangen kertojat λ R, λ R,, λ p R siten, että fx ) = λ h x ) + + λ p h p x ) p = λ k h k x ). k= Huomautus 3.4 Lauseen 3.3 oletuksiin funktion f mahdolliset sidotut ääriarvopisteet saadaan selville ratkaisemalla yhtälöryhmä eli yhtälöryhmä { fx) = λ h x) + λ h x) + + λ p h p x) hx) = h x), h x),, h p x)) =,,, ), RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 3

33 Vektorianalyysi II 3 ÄÄRIARVOTEHTÄVISTÄ Siis n + p yhtälöä n + p tuntemattomalle: fx) = λ h x) + λ h x) + + λ p h p x) n fx) = λ n h x) + λ n h x) + + λ p n h p x) h x) = h p x) =. x,, x n, λ,, λ p. Huomaa, että yhtälöryhmän ratkaisu ei ole välttämättä ääriarvopiste. 3.5 Geometrista perustelua. Funktio f muuttuu pisteessä x nopeimmin gradientin fx ) suuntaan.. Oletus = h ) = h, W ) = h ) W, x W, W on avoin joukossa, on säännöllinen pinta ja pinnan normaalitaso on vektoreiden h x ),, h p x ) virittämä. 3. Jos funktiolla f on pinnan suhteen lokaali ääriarvo pisteessä x, niin silloin fx ) T x, ts. fx ) on pinnan normaalivektori pisteessä x, joten on olemassa luvut λ R,, λ p R siten, että oli Lauseen 3.3 väite. fx ) = λ h x ) + + λ p h p x ) Esimerkki 3.6 Määrää esimerkin 3. funktion f R 3 R, fx, x, x 3 ) = x x + x 3, ääriarvopisteet pallopinnalla, ) ja ääriarvopisteiden antamat ääriarvot. Ratkaisuehdotus. Rajoitefunktio on h R 3 { } R, h ) x, x, x 3 = x + x + x, ja rajoite-ehto 3 on h ) x, x, x 3 = x + x + x =. Tällöin 3 a) f, h C R 3 { }), R 3 { } on alue eli avoin ja yhtenäinen), b) hx) = ) ) ) x, x, x 3,,, kaikilla x = x, x, x 3 R 3 { }, { c) h ) = x R 3 { } } hx) =. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 3

34 Vektorianalyysi II 3 ÄÄRIARVOTEHTÄVISTÄ Mahdolliset sidotut ääriarvokohdat: { fx) = λ hx) hx) =, eli {,, ) = λx, x, x 3 ) x + x + x 3 =, eli = λx = λx x = x = x 3 = = λx λ 3 x + x + x 3 =,, λ joten Siis mahdolliset sidotut ääriarvopisteet: ) 3 3 = eli λ = ± λ. ± 3,, ). Koska, ) on kompakti ja f on jatkuva, niin f saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa pinnalla, ) : f f ), ) antaa funktiolle suurimman arvon 3 ja vastaavasti ääriar- 3 Ääriarvopiste,, 3 3 vopiste, 3 ),, = 3 on funktion suurin arvo pinnalla, ) ja ),, = 3 on funktion pienin arvo pinnalla, ) , 3 ), ) antaa funktiolle pienimmän arvon 3. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 33

35 Vektorianalyysi II 4 AVARUUDEN R N PINNOISTA 4 Avaruuden R n pinnoista Määritelmä 4.. Olkoon m < n. Joukko R n on m-ulotteinen alkeispinta avaruudessa R n, jos se on homeomorfinen avoimen joukon U R m kanssa, ts. on olemassa jatkuva bijektio ρ U siten, että ρ U on myös jatkuva. Homeomorfismi ρ U on pinnan parametriesitys. Huomautus 4.. on varustettu avaruuden R n indusoimalla metriikalla.. Sovitaan merkinnöistä Esimerkki 4.3 Joukko = avaruudessa R 3. Määritetään k x, r) = {x = x,, x k ) R k x x } < r { } k x, r) = x = x,, x k ) R k x x = r {x, x, x 3 ) R 3 x + x + x3 =, x 3 > } on -ulotteinen alkeispinta ρ, ), ρu, u ) = Tällöin ρ on jatkuva bijektio, jonka käänteisfunktio on myös jatkuva. ) u, u, u u. x 3,, ) Kuva 7: Esimerkin 4.3 joukko =,, ),, ) x x {x, x, x 3 ) R 3 x + x + x3 =, x 3 > }, joka on avaruudessa R 3 oleva -ulotteinen puolipallon muotoinen pinta. Esimerkki 4.4 Jos polku γ [a, b] R n on injektio, niin silloin käyrä Γa, b) on -ulotteinen pinta avaruudessa R n. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 34

36 Vektorianalyysi II 4 AVARUUDEN R N PINNOISTA Γa, b) γ a b R Kuva 8: Esimerkin 4.4 käyrä Γa, b) on -ulotteinen pinta avaruudessa R n. Määritelmä 4.5. Avaruuden R n joukko R n on m-ulotteinen pinta, jos jokaisella pisteellä x on avoin ympäristö joukossa ) V x, joka on alkeispinta parametriesityksenä ρ x U x V x, U x R m. Jos m = n, niin tällöin on hyperpinta. Esimerkki 4.6 Ympyrän kehä }, ) = {x, x ) R x + x = on -ulotteinen pinta. x x Kuva 9: Esimerkin 4.6 -ulotteinen pinta, eli yksikköympyrä. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 35

37 Vektorianalyysi II 4 AVARUUDEN R N PINNOISTA Huomautus 4.7.) Avaruuden R n m-ulotteinen taso T on m-ulotteinen lineaarinen avaruus tai tällaisen siirto vektorin x R n verran, ns. affiini aliavaruus, joten tason T parametriesitys on affiini kuvaus A R m R n, x x + Lx, missä lineaarista kuvausta L R m R n vastaavan matriisin sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat. Jos m = n, niin T on hypertaso..) Differentioituvalla kuvauksella φ U R n, U avoin avaruudessa R n, on pisteen x U lähellä pienessä ystössä) affiini approksimaatio ) Tx φ R m R n, T x φ x ) = φx ) + Dφx )x x ). Tässä T x φ on funktion φ. asteen Taylorin polynomi pisteessä x. Määritelmä 4.8. Avaruuden R n m-ulotteinen pinta = φu) on C -pinta jos φ U on C - kuvaus. Esimerkki 4.9 Esimerkin 4.3 puolipallo on C -pinta, sillä = φ, ) ), φ, ) R 3, φ ) ) x, x = x, x, x x on jatkuvasti differentioituva homeomorfismi. Määritelmä 4.. Olkoon = φu), U R m avoin, C -pinta avaruudessa R n. Jos Tx φ R m R n on m-ulotteisen tason parametriesitys, niin tämä taso { T x = x R n } x = Tu φ )u), u R m on pinnan tangettitaso pisteessä x = φu ). Jos pinnalla on pisteessä x tangettitaso T x, niin piste on säännöllinen. Pinta on säännöllinen, jos sen jokainen piste on säännöllinen. Huomautus 4. T x on matriisin mat Dφu ) ) sarakevektoreiden i φu ), i =,, m, virittämä taso, ts. m T x = x R n x = x + α i i φu ), α i R i= = x + φu ), φu ),, m φu ). RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 36

38 Vektorianalyysi II 4 AVARUUDEN R N PINNOISTA Määritelmä 4.. Olkoon = φ ) R n, R m, säännöllinen pinta. Pinnan ) tangettivektori pisteessä x on jokainen vektori x x, x T x, ) normaalivektori pisteessä x on jokainen tangenttitasoa vastaan pisteessä x kohtisuora vektori ν ν x x ) =, kaikilla x T x, 3) normaalitaso N x pisteessä x on normaalivektoreiden virittämä n m)-ulotteinen taso. x x 3 x T x x x Kuva : Määritelmän 4.. kohdan tilanne: on C -pinta avaruudessa R 3 ja sen pisteessä x eräs tangenttivektori x x, x T x. x x 3 x ν T x x x Kuva : Määritelmän 4.. kohdan tilanne: on C -pinta avaruudessa R 3, sen pisteessä x eräs tangenttivektori x x, x T x ja eräs normaalivektori ν, jolle ν x x ) =. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 37

39 Vektorianalyysi II 4 AVARUUDEN R N PINNOISTA x x 3 N x x ν T x x x Kuva : Määritelmän kohdan tilanne: on C -pinta avaruudessa R 3, sen pisteessä x eräs tangenttivektori x x, x T x ja eräs normaalivektori ν, jolle ν x x ) =, sekä pisteen x normaalivektoreiden virittämä normaalitaso N x. Tässä tapauksessa normaalisuora.) 4.3 Implisiittisesti määritellyistä pinnoista Määritelmä Olkoon F R n m, R n, jatkuva kuvaus. Olkoon α R n m. Merkitään F α) = { x F x) = α } R n. Tällöin jatkuvan kuvauksen F tasa-arvopinta joukossa W, W avoin, on F α; W ) = F α) W mikäli se on pinta. Määritelmä Pinta R n on jatkuvan kuvauksen F R n m, R n, implisiittisesti määrittelemä, jos = F α; W ) jollakin α R n m, W avoin. x 3,, ),, ),, ) x x Kuva 3: Seuraavan esimerkin pallopinta, ) R 3. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 38

40 Vektorianalyysi II 4 AVARUUDEN R N PINNOISTA Esimerkki Olkoon F α = ) = { } x R 3 F x) =, F R 3 R, F x) = x. Pallopinta, ) R 3 on funktion F R 3 R, F x, x, x 3 ) = x + x + x 3 implisiittisesti määrittelemä -ulotteinen pinta, sillä, ) = F ; R n ). Lause Olkoon F = F,, F n m ) R n m, avoin avaruudessa R n, C -kuvaus ja x sekä F x ) = α R n m. Jos matriisin mat DF x ) ) aste on n m, niin silloin pisteellä x on avoin ympäristö W siten, että = F α; W ) on funktion F implisiittisesti määrämä m-ulotteinen säännöllinen pinta. Lisäksi T x = { x R n DF x )x x ) = } ja N x on vektoreiden F x ),, F n m x ) virittämä. Esimerkki Kuvaukselle F R 3 R, F x) = x + x + x 3 pisteessä x =,, ) F 9), df x) [ x x x 3 ] df x ) 4 4 ), joten on olemassa W R 3 avoin siten, että x W ja F 9; W ) = on säännöllinen -ulotteinen pinta avaruudessa R 3. Lisäksi { } T x = x R 3 DF x )x x ) = { } = x R 3 4x + x + 4x 3 = 8 ja { } N x = x R 3 x x = α F x ), α R { = x R 3 x = 4α +, α +, 4α + ) }, α R = x + F x ) =,, ) +,, ) = { } x R 3 x =,, ) + t,, ) ; t R. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 39

41 Vektorianalyysi II 5 YLEISTÄ ÄÄRIARVOTEHTÄVISTÄ 5 Yleistä ääriarvotehtävistä Olkoon f R, R n avoin, jatkuvasti differentioituva. Tavoitteena on määrätä funktion f ääriarvot annetussa joukossa A, eli määrätä funktion f A A R globaalit ääriarvot. Erotetaan seuraavat tapaukset: 5. A on kompakti joukko Ääriarvot joukossa A löydetään tutkimalla seuraavat kolme joukkoa ja määräämällä ääriarvot niissä: a) { x int A fx) = } = N b) Reunan A se osa L A, johon voidaan soveltaa Lagrangen kertojien menetelmää c) A L A = R A. Funktion f suurin ja pienin arvo löydetään nyt määräämällä funktion arvot joukoissa N, L A, R A. Muistutus: Kompaktissa joukossa A R n jatkuva funktio f A R saavuttaa joukossa A suurimman ja pienimmän arvonsa. Huomautus 5. Joukko R A = A L A sisältää poikkeuspisteet, jotka on aina tutkittava erikseen. Erikoisesti tutki reunan kärkipisteet. Esimerkki 5.3 Määrää funktion f R R, ) x, x x + x 3x 4x, ääriarvot joukossa } A = {x R x + x, x, x. x S S A S 3 x } Kuva 4: Esimerkin 5.3 joukko A = {x R x + x, x, x, joukon reunan A osat S, S ja S 3, sekä poikkeuspisteet kärjet). Ratkaisuehdotus. Funktio on f C R ). Huomaa, että tämä riittäisi: f C R )). RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 4

42 Vektorianalyysi II 5 YLEISTÄ ÄÄRIARVOTEHTÄVISTÄ } a) int A = {x R < x + x <, x >, x > Kriittiset pisteet: ) Koska 3, int A, niin N =. fx) = x 3, x 4 ) = x, x ) = 3, ). b) Lagrangen menetelmää voidaan soveltaa joukossa } b) S = {x R h x) = x + x =. f, h jatkuvasti differentioituvia h x) = ) x, x, ) Saadaan yhtälöt: { fx) = λ h x) h x) =, eli Jos λ =, niin ristiriita, koska 3 = ). Siis kun λ, x 3 = λx x 4 = λx x + x =. 3 x = λ) x = λ λ = ± 5. Siis ) ) x, x = 3 5, 4 tai ) ) x 5, x = 3 5, 4. 5 Joukossa { x S x >, x > } L A on ääriarvopiste- ehdokas ) ) x, x = 3 5, 4. 5 b) Joukossa S = {x R } h x) = x =, funktiolla f on mahdollinen ääriarvopiste, ) A. b3) Joukossa S 3 = { x R } ) h 3x) = x = piste 3, A. c) Joukko R A = A L A: Ääriarvopiste-ehdokkaita ovat kärkipisteet:, ),, ),, ). Yhteenveto: Koska f on jatkuva kompaktissa joukossa A, niin riittää laskea/määrätä funktion f arvot ehdokaspisteissä: 3 f 5, 4 ) = 4 5 RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 4

43 Vektorianalyysi II 5 YLEISTÄ ÄÄRIARVOTEHTÄVISTÄ f, ) = f, ) = f, ) = 3, joten 3 min fx) = f x A 5, 4 ) = 4 5 max fx) = f, ) =. x A 5.4 A ei ole kompakti joukko ) Jos A on rajoitettu siten, että A, niin voidaan soveltaa kohdan 5. menetelmiä kompaktiin joukkoon A. Näin saatavista ääriarvopisteistä kelpaavat vain ne, jotka kuuluvat joukkoon A. ) Muut tilanteet tutkittava tapaus kerrallaan. Huomautus 5.5 Ääriarvoja ei välttämättä saavuteta. Esimerkki 5.6 Määrää Esimerkin 5.3 funktiolle f ääriarvot joukossa } B = {x R < x + x, x, x. B = A, missä A on Esimerkissä 5.3 annettu. Ratkaisuehdotus. Kuten Esimerkki 5.3 sovellettuna kompaktiin joukkoon B = A: nyt funktio ei saavuta maksimia joukossa B, koska B. x B x Kuva 5: Esimerkin 5.6 ei-kompakti joukko B = ei siis kuulu joukkoon B. {x R < x + x, x, x }. Origo RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 4

44 Vektorianalyysi II 5 YLEISTÄ ÄÄRIARVOTEHTÄVISTÄ Jos joukko on rajoittamaton, niin tapaus kerrallaan tutkittava erikseen. Esimerkki 5.7 Olkoon f R {} R, f ) x x, x =. Tutki, onko funktiolla f suurinta tai x +x pienintä arvoa joukossa A, kun { x ) A =, x R {} } ) x, x. x A x { x ) Kuva 6: Esimerkin 5.7 ei-kompakti joukko A =, x R {} } ) x, x, eli kaikki avaruuden R pisteet, jotka ovat vähintään etäisyydellä origosta. Ratkaisuehdotus. Nyt Siis fr, φ) <, kun r >. Rajat ± saavutetaan: x = r cos φ x = r sin φ cos φ fr, φ) = =, sillä r. r r f, ) = f, ) = Suurin arvo Pienin arvo toisin sanoen ja max fx) = x A min fx) =. x A RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 43

45 Vektorianalyysi II 5 YLEISTÄ ÄÄRIARVOTEHTÄVISTÄ Esimerkki 5.8 Olkoon funktio f määritelty kuten Esimerkissä 5.7. Tutki onko funktiolla f suurinta tai pienintä arvoa joukossa B, { x ) B =, x R {} } < x + x. x B x { x ) Kuva 7: Esimerkin 5.8 ei-kompakti joukko B =, x R {} } < x + x, eli kaikki avaruuden R pisteet, jotka ovat origokeskisen suljetun yksikköympyrän sisällä, poislukien itse origo. Ratkaisuehdotus. Nyt f x, ) = x, kun x, ) B ja lim x + x = + ja lim x joten f ei saavuta suurinta eikä pienintä arvoa joukossa B. x =, RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 44

46 Vektorianalyysi II 6 RIEMANNIN INTEGRAALISTA 6 Riemannin integraalista 6. Kertausta Olkoon f rajoitettu reaaliarvoinen funktio, joka on määritelty suljetulla välillä [ a, b ] R. Välin [ a, b ] jako on äärellinen jono numeroita x, x,, x N siten, että a = x < x < < x N = b. Kun jako on annettu, merkitään osaväliä ] I j = [x j, x j ja merkitään osavälin pituutta I j, I j = x j x j. a = x x x x N x N = b R Kuva 8: Suljetun välin [ a, b ] R jako. Määritellään jakoa vastaavat ylä- ja alasummat ) N U, f) = sup fx) j= x I j I j ) N ja L, f) = inf fx) x I j I j y j= U, f) y = fx) L, f) a = x x x x 3 x 4 = b x Kuva 9: Funktion f R R erästä välin [ a, b ] jakoa vastaavat ylä- ja alasummat. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 45

47 Vektorianalyysi II 6 RIEMANNIN INTEGRAALISTA Koska f on rajoitettu, niin supremum ja infimum ovat olemassa. Selvästi U, f) L, f). Funktio f on Riemann-integroituva, jos jokaisella ε > on olemassa jako siten, että U, f) L, f) < ε. Jotta saadaan integraalin arvo, niin tarvitsemme seuraavan havainnon: jako on jaon tihennys eli hienonnus, jos saadaan jaosta lisäämällä pisteitä. a = x p x x x N x N = b R Kuva 3: Suljetun välin [ a, b ] R tihennetty jako. Vertaa kuvaan 8, johon lisätty piste p. Lisäämällä yksi piste kerrallaan, havaitaan U, f ) U, f) ja L, f ) L, f) Siis, jos ja ovat kaksi välin [ a, b ] jakoa ja merkitään yhteistä tihennystä jaolla, niin Koska f on rajoitettu, niin on olemassa U, f ) U, f ) L, f ) L, f ). inf U, f) = U ja sup L, f) = L, missä infimum ja supremum on otettu yli välin [ a, b ] kaikkien jakojen. Lisäksi U L. Jos f on integroituva, niin on oltava U = L ja määritellään, että on tämä yhteinen arvo. a b fx) dx RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 46

48 Vektorianalyysi II 6 RIEMANNIN INTEGRAALISTA y y = fx) a b x Kuva 3: Funktion f R R Riemannin integraali b a fx) dx välillä [ a, b ], jolla fx) >. 6. Riemannin integraali avaruudessa R n Riemannin integraalin käsite avaruuden R n suorakaiteelle R n on suora yleistys Riemannin integraalin käsitteestä välillä [ a, b ] R. Joukko = { } a j x j b j ; j n, missä a j R ja b j R, j n, on suljettu suorakaide avaruudessa R n. Toisin sanoen = [ a, b ] [ a, b ] [ an, b n ] on -dimensionaalisten suljettujen välien karteesinen tulo. x b a a b x Kuva 3: Suljettu suorakaide avaruudessa R n. Tässä n =.) RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 47

49 Vektorianalyysi II 6 RIEMANNIN INTEGRAALISTA ] Jos j on suljetun välin [a j, b j jako, niin =,,, n ) on suorakaiteen jako. Jos S j on jaon j osaväli, niin = S S S n on jaon osasuorakaide. Osasuorakaiteen tilavuus on sen sivujen pituuksien tulo = S S S n, missä S j on välin S j pituus. x x Kuva 33: Jakojen ja osasuorakaide = S S. Avaruudessa R n, tässä n =.) Nyt olemme valmiit määrittelemään integraalin yli suorakaiteen. Olkoon annettu rajoitettu reaaliarvoinen funktio f, joka on määritelty suorakaiteessa, jolle on annettu jako. Määritellään funktion f ylä- ja alasummat jaon suhteen: ) U, f) = sup fx), x L, f) = ) inf fx), x missä summat on otettu yli jaon kaikkien osajakojen. Nämä määritelmät ovat suoria yleistyksiä vastaavista merkinnöistä -ulotteisissa tapauksissa. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 48

50 Vektorianalyysi II 6 RIEMANNIN INTEGRAALISTA x 3 f x, x ) sup x,x ) f x, x ) ) x S x inf x,x ) f x, x ) ) Kuva 34: Funktion f ) x, x yläosasumma sup x,x ) f ) ) x, x ja alaosasumma inf x,x ) f ) ) x, x yksittäisessä osasuorakaiteessa S. Jako = ),,, n on jaon = ),,, n tihennys, jos jokainen j on jaon j tihennys. Vastaavasti, kuten -ulotteisessa tapauksessa, saamme: Jos määrittelemme niin U ja L ovat olemassa äärellisinä ja U L. U = inf U, f) ja L = sup L, f), Funktio f on Riemann-integroituva suorakaiteen yli eli Riemann-integroituva suorakaiteessa, jos jokaisella ε > on olemassa jako siten, että U, f) L, f) < ε. Siis U = L ja tätä yhteistä arvoa, jota merkitsemme joko f x,, x n ) dx dx n tai fx) tai f sanomme funktion f integraaliksi yli suorakaiteen. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 49

51 Vektorianalyysi II 6 RIEMANNIN INTEGRAALISTA x 3 f x, x ) > x x Kuva 35: Funktion f x, x ) integraali f x, x ) yli suorakaiteen. Eli x x -tasolla olevan suorakaiteen ja funktion f x, x ) pinnan välisen avaruuden osan tilavuus. Huomautus Jatkossa olemme kiinnostuneita lähinnä jatkuvista funktioista. Jos f on jatkuva suljetussa suorakaiteessa, niin f on integroituva. Huomautus Jos funktio f on jatkuva suljetussa pallossa, niin voimme määritellä funktion f integraalin yli pallon seuraavasti: Jos g on funktion f laajennus siten, että gx) =, kun x ja g on integroituva missä tahansa suorakaiteessa, joka sisältää pallon, niin fx) dx = R gx) dx. Kuva 36: Suorakaide, joka sisältää pallon, eli. 6.3 Iteroiduista integraaleista Analyysin peruslause antaa meidän laskea monia -ulotteisia integraaleja, koska antiderivaatta on monissa tapauksissa löydettävissä. Olkoon g [ a, b ] R jatkuva suljetulla välillä [ a, b ] ja derivoituva avoimella välillä a, b). Jos g on integroituva välillä [ a, b ], niin b a g = g b) g a). RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 5

52 Vektorianalyysi II 6 RIEMANNIN INTEGRAALISTA Avaruudessa R n tämä antaa mahdollisuuden laskea multi-integraaleja, koska n-dimensionaalinen integraali voidaan palauttaa tietyillä oletuksilla n kappaleeseen -ulotteisia integraaleja. Lause 6.4. Olkoon f jatkuva funktio suljetussa suorakaiteessa R n. Olkoon =, missä R n ja R n ja n + n = n. Jos merkitsemme x = x, x ), missä xj R n j, j =,, niin F x ) = f x, x ) dx on jatkuva joukossa ja fx) dx = f ) ) x, x dx dx. Korollaari 6.5. Jos f on jatkuva suorakaiteessa = [ a, b ] [ a, b ] [ an, b n ] R n, niin b fx) dx = a a b b n a n missä oikealla puolella on n kappaletta -ulotteisia integraaleja. a n b n f ) ) x, x,, x n dxn dx n dx dx, Esimerkki 6.6 Olkoon f [, ] [, ] R, x, y) x 3y, missä = { x, y) x, y } ja f on jatkuva. Etsi/määrää f. y x Kuva 37: Esimerkin 6.6 joukko, jonka ylitse kysytty integraali lasketaan. Ratkaisuehdotus. Korollaarin 6.5 nojalla f = x 3y ) dy dx RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 5

Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018

Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2.

Lisätiedot

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan

Lisätiedot

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen

Lisätiedot

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella. Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen

Lisätiedot

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,... HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT21003

Vektorianalyysi I MAT21003 Vektorianalyysi I MAT21003 Ritva Hurri-Syrjänen Helsingin yliopisto 3. syyskuuta 2018 Sisältö Luennot syyslukukaudella 2017 3 Esimakua 4 Kertaus 5 1 Euklidinen avaruus 6 1.1 Euklidinen avaruus R n...............................

Lisätiedot

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2 LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja

Lisätiedot

Vastaa kaikkiin kysymyksiin (kokeessa ei saa käyttää laskinta)

Vastaa kaikkiin kysymyksiin (kokeessa ei saa käyttää laskinta) Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen osasto Vektorianalyysi II (MAT22, syksy 28 Kurssitentti, Ma 7228 (RATKAISUEHDOTUKSET Tentaattori: Ville Tengvall (villetengvall@helsinkifi Vastaa kaikkiin

Lisätiedot

4.3.7 Epäoleellinen integraali

4.3.7 Epäoleellinen integraali Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään

Lisätiedot

MAT21020 Vektorianalyysi II (5op) Syksy 2018

MAT21020 Vektorianalyysi II (5op) Syksy 2018 MAT21020 Vektorianalyysi II (5op) Syksy 2018 Ville Tengvall Matematiikan ja tilastotieteen osasto Helsingin yliopisto MAT21020 Vektorianalyysi II Syksy 2018 1 Kurssin perustiedot: Opettajat: Ville Tengvall

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 23.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 23. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 23. lokakuuta 2017 Sisältö Luennot syyslukukaudella 2017 3 Esimakua 4 Kertaus

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa

Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x

Lisätiedot

Ville Suomala VEKTORIANALYYSIN JATKOKURSSI

Ville Suomala VEKTORIANALYYSIN JATKOKURSSI Ville Suomala VEKTORANALYYSN JATKOKURSS Luentotiivistelmä kevät 2017 R reaalilukujen joukko R n Euklidinen avaruus R n = {(x 1,..., x n ) : x i R} x y pisteiden x, y R n välinen sisätulo, x y = n i=1 x

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

Esimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi

Esimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi . Pinnoista.. Pinnan määritelmästä. Monisteen [] määritelmän 4.. mukainen pinta S on sama olio, jollaista abstraktimmassa differentiaaligeometriassa kutsutaan avaruuden R n alimonistoksi (tarkemmin upotetuksi

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Tasokäyrän kaarevuus LUKU 1

Tasokäyrän kaarevuus LUKU 1 LUKU Tasokäyrän kaarevuus.. Käyrät Määritelmä.. Polku (eli parametrisoitu käyrä) on jatkuva kuvaus α: I R n, missä I R on väli. Polku α = (α,..., α n ) on (jatkuvasti) derivoituva, jos jokainen α j, j

Lisätiedot

Monistot LUKU 4. (P ): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko W

Monistot LUKU 4. (P ): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko W LUKU 4 Monistot Muistettakoon, että avointen joukkojen U, V R n välinen diffeomorfismi h: U V on C 1 -kuvaus, jolle myös käänteiskuvaus h 1 on C 1. Jatkossa oletetaan, että tarkasteltavat kuvaukset ovat

Lisätiedot

Taustatietoja ja perusteita

Taustatietoja ja perusteita Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot 2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot Olkoon I R väli. Yhden muuttujan funktion g : I R kuvaaja eli graafi on avaruuden R 2 osajoukko {(x, y) R 2 : x I, y = g(x)}. 1 0 1 2 3 1 0.5 0 0.5 1 Kuva 2.1:

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

Vektorilaskenta Luennot / 42. Vektorilaskenta Napakoordinaatit

Vektorilaskenta Luennot / 42. Vektorilaskenta Napakoordinaatit Luennot 19.09.-21.09. 1 / 42 Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) 2 / 42 Määritelmä (1/3) Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) Tason pisteen P sijainti voidaan karteesisten

Lisätiedot

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 3. luento 17.11.2017 Neuroverkon opettaminen (ohjattu oppiminen) Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla

Lisätiedot

Matematiikka B1 - TUDI

Matematiikka B1 - TUDI Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin

Lisätiedot

Perusasioita. Vektorianalyysi I. opettajat Ritva Hurri-Syrjänen sairaslomalla Sirkka-Liisa Eriksson B328

Perusasioita. Vektorianalyysi I. opettajat Ritva Hurri-Syrjänen sairaslomalla Sirkka-Liisa Eriksson B328 Vektorianalyysi I opettajat Ritva Hurri-Syrjänen sairaslomalla Sirkka-Liisa Eriksson B328 sirkka-liisa.eriksson@helsinki.fi Perusasioita Kurssissa on loppukoe Harjoituksista saa bonuspisteitä seuraavasti

Lisätiedot

7.1. Käänteiskuvauslause

7.1. Käänteiskuvauslause LUKU 7 Käänteiskuvauslause Parit (E, ), (F, ),... ovat Banachin avaruuksia, ellei toisin mainita. [4, Ch. XIV, Lemma. 1.1] 7.1. Käänteiskuvauslause Lause 7.1 (Banachin kiintopistelause). Olkoon (X, d)

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Differentiaalimuodot

Differentiaalimuodot LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja

Lisätiedot

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R,

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R, Vektorianalyysi Harjoitus 9, Ratkaisuehdotuksia Anssi Mirka Tehtävä 1. ([Martio, 3.4:1]) Millä suoralla sylinterillä, jonka tilavuus on V > on pienin vaipan ja pohjan yhteenlaskettu pinta-ala? Ratkaisu

Lisätiedot

USEAN MUUTTUJAN FUNKTIOT II. Kari Ylinen

USEAN MUUTTUJAN FUNKTIOT II. Kari Ylinen USEAN MUUTTUJAN FUNKTIOT II Kari Ylinen 21 Sisältö 1 I Avaruuden R n rakenteesta ja kuvauksista 1 I.1 Avaruuden R n lineaarinen ja metrinen rakenne.......... 1 I.2 Jonon suppeneminen.........................

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden

Lisätiedot

x = (1 t)x 1 + tx 2 x 1 x 2

x = (1 t)x 1 + tx 2 x 1 x 2 4 Konveksisuus ja ääriarvot Palautan mieliin, että R:n välillä I derivoituvaa funktiota sanottiin konveksiksi (alaspäin kuperaksi), jos käyrä y = f(x) on välillä I jokaisen tangenttisuoransa yläpuolella

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1].

f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1]. Tässä luvussa näytetään divergenssilause konveksin joukon tapauksessa. Määritelmä 4.5.1. 1. Joukko R m on konveksi, jos kaikilla x, y pisteet tx + (1 t)y jokaisella t [0, 1]. 2. Olkoon R m konveksi. Funktio

Lisätiedot

LUKU 6. Weingartenin kuvaus

LUKU 6. Weingartenin kuvaus LUKU 6 Weingartenin kuvaus 6.1. Vektorikentän derivaatta Seuraavassa määritellään pinnalla määritellyn reaaliarvoisen funktion ja vektorikentän derivaatta. Nämä tulevat olemaan hyvinmääriteltyjä, kunhan

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Determinantti 1 / 30

Determinantti 1 / 30 1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Perusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä.

Perusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä. Lähtötilanne Lähtötilanne Tavoite: Määritellään funktion f : [a, b] R integraali siten, että integraalin arvo yhtyy funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan. Perusidea: Jaetaan

Lisätiedot

Pinnan tangenttivektorit

Pinnan tangenttivektorit LUKU 5 Pinnan tangenttivektorit Tästä lähtien oletetaan, että annetut polut, pinnat, funktiot ja vektorikentät ovat C. Vastaavasti, konstruoiduista poluista, pinnoista, funktioista ja vektorikentistä pitää

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 2. luento 10.11.2017 Keinotekoiset neuroverkot Neuroverkko koostuu syöte- ja ulostulokerroksesta

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Kuudennen eli viimeisen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuihin 2.3. ja 2.4. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Jatkuvuuden

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

1 Supremum ja infimum

1 Supremum ja infimum Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.

Lisätiedot

1 Euklidiset avaruudet R n

1 Euklidiset avaruudet R n 1 Euklidiset avaruudet R n Tässä osiossa käymme läpi Euklidisten avaruuksien R n perusominaisuuksia. Olkoon n N + positiivinen kokonaisluku. Euklidinen avaruus R n on joukko R n = {(x 1, x 2,..., x n )

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot