Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Transkriptio

1 Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 9, syksy Ratkaisutapa (Yksinkertainen korkolaskenta) Olkoon alkupääoma K 0 ja korkokanta i = 10% pa. Koska korkokanta on 10 % pa., niin pääoma kasvaa vuodessa eli 1.korkojakson aikana arvoon K 1 = K 0 (1 + it) = K 0 (1 + 0, 10 1) = 1, 1 K 0 Ratkaistaan, kuinka kauan pääoman on vielä kasvettava korkoa 2.korkojakson aikana, jotta se on kasvanut kaikkiaan 15 % eli kasvanut arvoon Tällöin K t = (1 + 0, 15)K 0 = 1, 15 K 0 K 1 (1 + it) = 1, 15K 0 1, 1K 0 (1 + 0, 1 t) = 1, 15K 0 1, 1(1 + 0, 1 t) = 1, 15 1, , 1 t = 1, 1 1, 15 0, 1 t = 1, 1 1 1,15 1,1 t = 1 = 0, , 45 0, 1 Näin ollen pääoman on kasvettava korkoa vielä 0,45 vuotta. Näin ollen alkupääoma kasvaa 15 % 1,45 vuodessa. 1

2 2. Ratkaisutapa (Jatkuva korkolaskenta) Olkoon alkupääoma K 0 ja korkokanta i = 10% pa. Nyt loppupääoma K t = (1 + 0, 15)K 0 = 1, 15 K 0 Näin ollen 1, 15K 0 = K 0 e 0,1t 1, 15 = e 0,1t ln (1, 15) = ln e 0,1t ln (1, 15) = 0, 1t 0, 1t = ln (1, 15) t = ln (1, 15) 0, 1 1, 40 Näin ollen tarvittava aika on aika = t korkojakso = 1, 40 1 vuosi = 1, 40 vuotta. 2

3 2. 1. Ratkaisutapa (Koronkorko ja Yksinkertainen korkolaskenta) Nyt aika on 10,5 vuotta, alkupääoma K 0 = 5000 euroa ja korkokanta i = 4% pa. Talletus kasvaa ensin 10 vuotta koronkoron mukaisesti ja sitten vielä puoli vuotta yksinkertaisen korkolaskun mukaisesti. Näin ollen pääoman arvo 10 vuoden jälkeen on K 10 = K 0 (1 + i) n = 5000 (1 + 0, 04) 10 Ja edelleen pääoman arvo 10,5 vuoden jälkeen on K 10,5 = K 10 (1 + i t) K 10,5 = K 10 (1 + 0, ) = 5000 (1 + 0, 04) 10 (1 + 0, ) = , , 02 = 7549, 25 euroa Missä ajassa talletus kasvaa yli euroon eli loppupääoma K n = euroa? Nyt K n = K 0 (1 + i) n = 5000 (1 + 0, 04) n 1, 04 n = = 2 ln 1, 04 n = ln 2 n ln 1, 04 = ln 2 n = ln 2 ln 1, 04 17, 67, joten talletuksen on oltava tilillä noin 17,67 vuotta. 3

4 Mutta jos ollaan ihan tarkkoja ja muistetaan, että Koronkorko-kaava toimii vain kokonaisilla korkojaksoilla, niin jatketaan pohdintaa. Nyt pääoma 17 korkojakson jälkeen on K 17 = 5000 (1 + 0, 04) , 50 euroa Se, paljonko aikaa tarvitaan 18. korkojaksolta, ratkaistaan Yksinkertaisen korkolaskun kaavalla: 9739, 50 (1 + 0, 04 t) = (1 + 0, 04 t) = , 50 0, 04 t = , 50 1 t = ,50 0, 04 = 0, , 67 Aikaa tarvitaan siis 18. korkojaksolta t 1 vuosi = 0, 67 vuotta Aikaa tarvitaan siis kaikkiaan , 67 = 17, 67 vuotta 4

5 2. Ratkaisutapa (Jatkuva korkolaskenta) Nyt aika on 10,5 vuotta, alkupääoma K 0 = 5000 euroa ja korkokanta i = 4% pa. Näin ollen Saadaan t = 10, 5 1, 0 = 10, 5 K t = 5000 e 0,04 10,5 K t = 5000 e 0,42 = 7609, 81 euroa Missä ajassa talletus kasvaa yli euroon eli loppupääoma K n = euroa? Nyt = 5000 e 0,04 t e 0,04 t = e 0,04 t = 2 ln e 0,04 t = ln 2 0, 04 t = ln 2 t = ln 2 0, 04 = 17, 33 Näin ollen tarvittava aika on aika = t korkojakso = 17, 33 1 vuosi = 17, 33 vuotta. 5

6 3. 1. Ratkaisutapa (Koronkorko) Nyt aika on 15 vuotta, alkupääoma K 0 = 5000 euroa ja loppupääoma K n = euroa. Koska haetaan vuotuista korkokantaa i pa. niin korkojaksojen lukumäärä n = 15. Tällöin koronkorkokaavalla saadaan K n = K 0 (1 + i) n = 5000 (1 + i) 15 (1 + i) 15 = = i = 15 3 i = , 076, joten vuotuisen korkoprosentin on oltava 7, 6 %. 2. Ratkaisutapa (Jatkuva korkolaskenta) Nyt aika on 15 vuotta, alkupääoma K 0 = 5000 euroa ja loppupääoma K n = euroa. Koska haetaan vuotuista korkokantaa i pa. niin korkojaksojen lukumäärä t = 15. Tällöin jatkuvan koron kaavalla saadaan Nyt = 5000 e i 15 e 15i = e 15i = 3 ln e 15i = ln 3 15i = ln 3 i = ln 3 15 = 0, Siis vuotuisen korkoprosentin on oltava 7, 32 %. 6

7 4. 1. Ratkaisutapa (Koronkorko ja Yksinkertainen korkolaskenta) Nyt aika on 14,5 vuotta, loppupääoma K t = euroa ja korkokanta i = 3% pa. Ratkaisuvaihtoehto 1 Talletus kasvaa ensin 14 vuotta koronkoron mukaisesti ja sitten vielä puoli vuotta yksinkertaisen korkolaskun mukaisesti. Näin ollen pääoman arvo 14 vuoden jälkeen on K 14 = K 0 (1 + 0, 03) 14 Ja edelleen pääoman arvo 14,5 vuoden jälkeen on K 14,5 = K 14 (1 + 0, ) = K 0 (1 + 0, 03) 14 (1 + 0, ) = K 0 (1, 03) 14 (1 + 0, 015) = K 0 (1, 03) 14 (1, 015) Jotta pääoma lopussa olisi K 14,5 = euroa, niin = K 0 (1, 03) 14 (1, 015) eli alkupääoman K 0 on oltava K 0 = , , 015 = 13026, 95 euroa. 7

8 Ratkaisuvaihtoehto 2 Siis aika on 14,5 vuotta, loppupääoma K t i = 3% pa. = euroa ja korkokanta Talletus kasvaa ensin 14 vuotta koronkoron mukaisesti ja sitten vielä puoli vuotta yksinkertaisen korkolaskun mukaisesti. Diskontataan loppupääoma K 14,5 ensin yksinkertaisen korkolaskun diskonttauskaavalla puolivuotta taaksepäin: K 14,5 K 14 = 1 + 0, = , , 43 euroa Diskontataan pääoma K 14 koronkoron diskonttauskaavalla neljätoista vuotta eli neljätoista korkojaksoa taaksepäin: K 14 K 0 = (1 + 0, 03) , 43 = 1, , 95 euroa 8

9 2. Ratkaisutapa (Jatkuva korkolaskenta) Nyt aika on 14,5 vuotta, loppupääoma K t = euroa ja korkokanta i = 3% pa. Näin ollen korkojaksojen lukumäärä t = 14, 5. Tällöin jatkuvan koron kaavalla saadaan Nyt = K 0 e 0,03 14,5 K 0 = e 0,03 14,5 K 0 = e 0,435 = 12945, 29 euroa Tai suoraan jatkuvan korkolaskennan diskonttauskaavalla K 0 = K t e it K 0 = e 0,03 14,5 K 0 = e 0,435 = 12945, 29 euroa 9