Talousmatematiikka (4 op)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Talousmatematiikka (4 op)"

Transkriptio

1 Talousmatematiikka (4 op) M. Nuortio, T. Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012

2 Talousmatematiikka 2012 Yhteystiedot: Matti Nuortio Työhuone M225 Kurssin kotisivu Tulee yliopiston wiki-sivuille. Osoite päivitetään myöhemmin. Luennot salissa L10, paitsi 1.2. ja 8.2. PR104. Laskupäivät: ti to Salit ilmoitetaan, kun tilojen varaustilanne selviää. Laskupäivävastaava on Niina Korteslahti 2 / 118

3 Tarkennuksia kurssimateriaalista Alkuperäisen materiaalin on laatinut Tero Vedenjuoksu. Vuoden 2012 materiaalin toimittanut Matti Nuortio. Toimitettua materiaalia saatetaan päivittää kurssin aikana. Päivitetyt versiot julkaistaan kurssin kotisivuilla. Kurssin kotisivuilla voidaan esittää linkkejä lisämateriaaliin. 3 / 118

4 Kurssin suoritus Kurssi suoritetaan loppukokeella. Ensimmäinen loppukoemahdollisuus tulee olemaan huhti toukokuussa. Kurssin suorittamiseksi riittää osata ne asiat, jotka käsitellään luennoilla, joista erikseen mainitaan luennoilla, tai joita harjoitellaan laskupäivissä. Ylimääräiset materiaalit eivät ole välttämättömiä, ellei erikseen mainita. Pyri opiskelemaan säännöllisesti koko kurssin keston ajan. Älä yritä parin viikon tärppimistä ennen loppukoetta. 4 / 118

5 Sisältö I FINANSSIMATEMATIIKKA 1 Prosenttilaskua 2 Yksinkertainen korkolasku 3 Diskonttaus 4 Koronkorko 5 Jatkuva korkolasku 6 Jaksolliset suoritukset 7 Luotot ja korkolasku 8 Annuiteettiperiaate 9 Lainan kuolettaminen ja efektiivinen korkokanta 10 Keskimaksuhetki ja Todellinen vuosikorko 11 Investointilaskelmia 5 / 118

6 Sisältö II INDEKSITEORIA 1 Keskiarvoista 2 Indeksiluvun käsite 3 Kuluttajahintaindeksi 4 Aikasarjan deflatointi ja inflatointi 5 Indeksiluvun muodostaminen 6 Keskilukumalli 7 Keskilukumallin painotetut indeksiluvut 8 Kokonaislukumallit 9 Keskilukumallin ja kokonaislukumallin yhteys 10 Fisherin indeksikriteerit 6 / 118

7 Opiskelussa huomioitavaa 1 Huomio a) Älä opettele kaavoja ulkoa. b) Yritä ymmärtää kaavat symbolisella tasolla, ei numeerisella tasolla. c) Yritä liittää esitetty teoria/kaava tarvittaessa esimerkkeihin. d) Kysy tarvittaessa! e) Tee harjoitustehtäviä! Hyödynnä laskupäivät! f) Kertaa symboleilla laskeminen eli algebra ja yksinkertaisten yhtälöiden ratkaiseminen. Muistele myös juuren ja logaritmin käsitteitä. 7 / 118

8 Opiskelussa huomioitavaa 2 Suurin osa ihmisistä oppii matematiikkaa vain itse kirjoittamalla ja tekemällä. Yritä siis tehdä aktiivisesti luentomuistiinpanoja ja ratkaise laskuharjoitukset itse kopioinnin sijaan. Ihmisten kognitiivisissa rakenteissa on kuitenkin eroja ja jotkut pystyvät oppimaan myös katselemalla tai kuuntelemalla. Tärkeintä on tuntea oma paras oppimistapa hyötyineen ja rajoituksineen. Kehotan joka tapauksessa aktiivisuuteen luennoilla tai muuten materiaalin parissa. 8 / 118

9 Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? b) Kuinka lasketaan lainan kuukausierän suuruus kun laina-aikana on 20 vuotta? c) Kuinka paljon laina/luotto oikeasti maksaa? d) Miten tutkia investoinnin kannattavuutta? e) Miten rahan arvon muutoksia seurataan? f) Miten seurata erilaisten hyödykkeiden kulutuksen muutoksia? 9 / 118

10 Prosenttilaskua Jos luku a kasvaa p%, niin uusi arvo on a + p 100 a. Jos luku a vähenee p%, niin uusi arvo on a p 100 a. 10 / 118

11 Prosenttilaskua Esimerkki 1 Paljonko on 1500 e maksava tuote 15% alennusmyynnissä? 1500 e e = 1275 e (= 0, e) / 118

12 Prosenttilaskua Montako prosenttia luku a on luvusta b? p = a b 100% 12 / 118

13 Prosenttilaskua Esimerkki 2 Montako prosenttia luku a on luvusta b? a) a = 15, b = 90 b) a = 90, b = 15 a) b) % = 16, 7% (= 0, , 167) % = 600% (= 6, 00) / 118

14 Prosenttilaskua Kuinka monta prosenttia p luku a on suurempi (pienempi) kuin luku b? p = a b b 100% 14 / 118

15 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) = 7 Vast. 700% b) c) = 0, 857 Vast. 85, 7% = 0, 875 Vast. 87, 5% 15 / 118

16 Prosenttilaskua Esimerkki 4 a) Mistä luvusta 24 on 32%? b) Mitä lukua 80 on 20% pienempi? c) Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50? d) Mikä luku on 10% pienempi kuin 30? e) Mikä luku on 32% luvusta 24? a) 24 x = 0, 32 0, 32x = 24 x = 24 0, 32 = / 118

17 Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 c) (Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50?) x = 0, 15 x 50 = 7, 5 x = 57, 5 d) (Mikä luku on 10% pienempi kuin 30?) 30 x 30 = 0, 1 30 x = 3 x = / 118

18 Prosenttilaskua e) (Mikä luku on 32% luvusta 24?) x = 0, 32 x = 24 0, 32 = 7, / 118

19 Yksinkertainen korkolasku Korko on korvaus lainaksi saadusta/annetusta rahapääomasta (esim. luotto tai talletus). Korkokanta i on prosenttiluku, joka ilmoittaa kuinka prosenttia (%) pääoma kasvaa korkojakson aikana. Korkojakso Korkokanta 1 vuosi i pa. (per annum) 6 kk i ps. (per semester) 3 kk i pq. (per quartal) 1 kk, 2 kk i per (1) kk, i per 2 kk 19 / 118

20 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua sovelletaan ainoastaan yhden korkojakson sisällä. Yksinkertainen korko Pääoma ajanhetkellä t (0 t 1) on K t = K 0 (1 + it), (1) missä K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Korko ajanhetkellä t on K t K 0 = K 0 it. 20 / 118

21 Yksinkertainen korkolasku Kysymys Korko on siis suoraan verrannollinen kuluneeseen aikaan korkojakson sisällä, koska missä c = K 0 i =vakio. K 0 it = ct, Pääoman kasvu on siis lineaarista korkojakson sisällä. (vrt. kuva) Mitä tapahtuu korkojakson lopussa? Vastaus Korkojakson lopussa korko liitetään pääomaan eli realisoidaan. Uusi kasvanut pääoma toimii seuraavan korkojakson alkupääomana. 21 / 118

22 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit (korko talletuksille). Prolongointi: pääomaa siirretään ajassa eteenpäin. Esimerkki 5 Talletetaan e korkokannalla 6% pa. Määrää talletuksen arvo a) vuoden b) 8 kk:n c) 16 kk:n kuluttua? d) 16 kk:n kuluttua, ilman että korko realisoidaan pääomaan aina korkojakson lopussa. a) K 0 = e i = 0, 06pa t = 1 ( korkojakson pituus 1 vuosi) K t = K 0 (1 + it) = e (1 + 0, 06 1) = e 1, 06 = e 22 / 118

23 Yksinkertainen korkolasku b) (aika 8 kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = 8 12 K t = K 0 (1 + it) = e (1 + 0, 06 = e 8 12 ) 23 / 118

24 Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) Nyt aika menee korkojakson yli, joten joudutaan laskemaan osissa: K 1 = e (1 + 0, 06 1) = e Realisoidaan korko pääomaan, jolloin K 2 = e (1 + 0, ) = e 24 / 118

25 Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) Lasketaan ilman, että realisoidaan pääomaa. K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = K t = e (1 + 0, ) = e Huom. 30 e erotus c) kohtaan verrattuna. (Miksi?) 25 / 118

26 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 6 Mikä on alkupääoman e arvo 10 kk kuluttua, kun korkokantana on a) 8% pa. b) 5% ps.? c) 5% ps. (ilman koron realisointia pääomaan)? a) Korkojaksona 12 kk, joten 10 kk kuluttua pääoman arvo on K t = K 0 (1 + it) = e(1 + 0, ) = e b) Korkojaksona 6 kk (< 10kk), joten lasketaan osissa: 0 6 kk : K 1 = e(1 + 0, 05 1) = e 6 10 kk : K t = e(1 + 0, ) = e 26 / 118

27 Yksinkertainen korkolasku c) Korkojaksona 6 kk eikä realisoida korkoa pääomaan K t = K 0 (1 + it) = e(1 + 0, ) = e Huom. 30 e erotus b) kohtaan verrattuna. 27 / 118

28 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokanta i% pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. K 0 (1 + i 1 4 ) = 1, 07 K i 1 4 = i = = = 28% 28 / 118

29 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakson pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K , 1t = 1, 08 0, 1t = 0, 08 0, 08 t = 0, 1 = 0, 8 Siis kysytty aika on 0, 8 12kk = 9, 6kk. 29 / 118

30 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 1, , 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 03 t = = 0, 571(< 1) 1, 05 0, 05 Kysytty aika: 6kk + 0, 571 6kk 9, 4kk. 30 / 118

31 Diskonttaus Yksinkertaisen korkolaskun kaava yhden korkojakson sisällä ajanhetkellä t (0 t 1) on missä K t = K 0 (1 + it), (2) K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Entä jos halutaan määrätä tunnettua (tulevan) ajanhetken t > 0 pääomaa K t vastaava alkupääoman arvo K 0? 31 / 118

32 Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0, jolloin Virallinen diskonttauskaava K 0 = K t 1 + it. (3) missä K 0 = pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Kuten yksinkertainen korkolasku, myös kaavan (3) mukainen diskonttaus toimii ainoastaan yhden korkojakson sisällä. Diskonttaus on siis toimenpide, missä pääomaa siirretään ajassa taaksepäin. 32 / 118

33 Diskonttaus Kuinka paljon pääoma sitten muuttuu kun t 0? Muutos on tietenkin erotus K 0 K t = K t 1 + it K t ( ) 1 = K t 1 + it 1 ( ) it = K t < it) } {{ } <0 Muutoksen itseisarvo eli diskontto on K t = K 0 K t = K t Vertaa korko K t K 0 = K 0 it. ( it ) 1 + it 33 / 118

34 Diskonttaus Mikä on koron ja diskonton suhde? Diskonton ja koron täytyy tietenkin olla samat. Tarkistetaan: ( ) it K t = K t 1 + it ( ) it = (K 0 (1 + it)) 1 + it = K 0 it. Siis prolongointi yksinkertaisella korkolaskulla ja virallinen diskonttaus ovat käänteisiä toimituksia. 34 / 118

35 Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e ja korkojakso on 12 kk, joten t = 9 12 = 3 4. Lisäksi K t = K 0 (1 + it), joten K 0 = K t 1 + it = e 1 + 0, = e 1, 06 = e 35 / 118

36 Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e, korkojakso on 12 kk ja aika on 15 kk, joka menee korkojakson yli. Diskontataan siis osissa: 15kk 12kk K 1 = e 1 + 0, = e 1, 02 = 19607, 84 e 36 / 118

37 Diskonttaus 12kk 0kk 19607, 84 e K 0 = 1 + 0, , 84 e = 1, 08 = 18155, 41 e (Miten voit tarkistaa laskun?) 37 / 118

38 Diskonttaus Virallista diskonttausta käytetään sijoitustodistusten kaupassa. Sijoitustodistus on pankin liikkeelle laskema velkakirja (hinta K 0 ), jonka haltialle pankki maksaa todistukseen mainitun rahan K t ajan t kuluttua. Esimerkki e sijoitustodistus erääntyy 8kk kuluttua. Määrää sen hinta, kun korkokanta on 5% pa. Diskontataan, jolloin K 0 = e 1 + 0, = e 38 / 118

39 Vekselidiskonttaus Vekseleiden yhteydessä käytetään vekseli- eli kauppadiskonttausta. Vekselidiskonttauskaava K 0 = K t (1 it), (4) missä K 0 = vekselin käteis- eli nykyarvo K t = ajan t kuluttua erääntyvän vekselin nimellisarvo i = diskonttauskorkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Vekselidiskontto: K t = K t K 0 = K t K t (1 it) = K t it. 39 / 118

40 Vekselidiskonttaus Esimerkki 12 Vekseli, jonka nimellisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on käteisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa. Käytetään vekselidiskonttausta, jolloin K 0 = 9000 e (1 0, 12 5 ) = 9000 e 450 e = 8550 e / 118

41 Vekselidiskonttaus Esimerkki 13 Mikä on edellisen esimerkin vekselin nykyarvo virallisen diskonttauksen mukaan. Käytetään virallista diskonttausta vekselidiskonttauksen sijaan. Tällöin 9000 e K 0 = 1 + 0, 12 5 = 9000 e 1, 05 = 8571 e / 118

42 Vekselidiskonttaus Esimerkki 14 Vekseli, jonka käteisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa.? Käytetään vekselidiskonttausta, jolloin K t = 9000 e 1 0, = 9473, 68 e 42 / 118

43 Vekselidiskonttaus Esimerkki 15 Vekseli, jonka käteisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa.? Käytetään vekselidiskonttausta, jolloin K t = 9000 e 1 0, = 9473, 68 e 43 / 118

44 Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa lineaarisesti yhtälön K t = K 0 (1 + it). Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan. Seuraavassa korkojaksossa uusi kasvanut pääoma kasva korkoa kunnes korko jälleen liitetään pääomaan. Näin edellisten korkojaksojen tuottama korko kasvaa korkoa aina seuraavilla jaksolla. Syntyy ns. koronkorko. 44 / 118

45 Koronkorko Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta ja alkupääoma on K 0. Pääoma 1. korkojakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + i). Pääoma 2. korkojakson lopussa: K 2 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) 2. Näin jatkamalla saadaan pääoma n. korkojakson lopussa: K n = K n 1 (1 + i) = K n 2 (1 + i) 2 = = K 0 (1 + i) n. Saadaan geometrinen jono (K j ) n j=1, missä K j+1 K j = 1 + i. korkotekijä 45 / 118

46 Koronkorko Koronkorko Pääoma n. korkojakson lopussa on K n = K 0 (1 + i) n, (5) missä K 0 on alkupääoma, i on korkokanta ja n on kokonaisten korkojaksojen lukumäärä. (Huom. Vajaissa korkojaksoissa käytetään yksinkertaista korkolaskua.) 46 / 118

47 Koronkorko Jaksollinen diskonttaus Pääoman arvo alussa on K 0 = K n (1 + i) n, (6) missä K n on pääoman arvo lopussa, i on korkokanta ja n on kokonaisten korkojaksojen lukumäärä. Jaksojen lukumäärä Tästä voidaan selvittää myös jaksojen lukumäärä n: n = Kn ln K 0 ln(1 + i). (7) 47 / 118

48 Koronkorko Esimerkki 16 Mihin arvoon 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokannalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) kun aika on 6,5 vuotta ja korkokanta 4% pa. a) Nyt i = 4% pa, joten korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl. Siis K 6 = K 0 (1 + i) n = 1000 e 1, 04 6 = 1265 e b) Nyt i = 2% ps, joten korkojaksoja on yhteensä n = 2 6 = 12 kpl. Siis K 12 = 1000 e 1, = 1268 e 48 / 118

49 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e Oliko tämä laskettu oikein? Ei sillä kaava (6) toimii ainoastaan kokonaisilla korkojaksoilla. Lasketaan tämä siis oikein: K 6 = 1000 e 1, 04 6 = 1265, 32 e 6 K 6,5 = K 6 (1 + 0, 04 ) = 1290, 62 e / 118

50 Koronkorko Esimerkki 17 Millä korkokannoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? a) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 1 vuosi, eli korkojaksoja yhteensä n = 8 kpl. Halutaan siis kolminkertaistaa alkupääoma K 0. Siis K 0 (1 + i) 8 = 3K 0 (1 + i) 8 = i = 8 3 i = , 147 Haluttu korkokanta on siis 14, 7% pa. 50 / 118

51 Koronkorko b) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 0,5 vuotta, eli korkojaksoja yhteensä n = 2 8 = 16 kpl. Siis K 0 (1 + i) 16 = 3K 0 (1 + i) 16 = i = 16 3 i = , 071 Haluttu korkokanta on siis 7, 1% ps. 51 / 118

52 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä e = e (1 + 0, 04) n 1, 04 n = 5 3 ln 1, 04 n = ln 5 3 n ln 1, 04 = ln 5 3 n = ln , 024 ln 1, 04 Tarvitaan siis vähintää 13 kokonaista jaksoa ja osa seuraavaa korkojaksoa. Miten selvitetään tarkka aika? 52 / 118

53 Korkokannat (Relatiivinen korkokanta) Idea Jaetaan korkoprosentit ja korkojakso samassa suhteessa (esim. puolitetaan prosentti ja korkojakso). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde, ts. i j = p q. (8) Relatiivisessa korkokannassa saadaan suurempi korkotuotto, mitä lyhyempi korkojakson pituus on. Relatiiviset korkokannat eivät anna siis samaa tuottoa pääomalle (esim. 4% pa. ja 2% ps.). 53 / 118

54 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Idea Etsitään eri korkokannalle i (per p) sellainen korkokanta j (per q), että tuotto kummallakin korkokannalla on sama (samassa ajassa). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään konformiset jos ne antavat saman tuoton (pääoma-arvon) kaikilla ajanhetkillä t, joka on korkojaksojen p ja q jokin monikerta. Jos siis aikaan t tarvitaan n kpl korkojaksoja p ja m kpl korkojaksoja q, niin täytyy olla np = mq = n m = q p. (9) Käyttäen jaksollista korkolaskua saadaan K 0 (1 + i) n = K 0 (1 + j) m j = (1 + i) q p 1 (10) 54 / 118

55 Korkokannat Esimerkki 19 Määritä korkokannalle 7% per 10kk a) konforminen neljännesvuosikorkokanta, b) relatiivinen neljännesvuosikorkokanta. a) Nyt i = 7% (per p = 10kk) ja j =? (per q = 3kk), joten j = (1 + i) q p 1 = (1 + 0, 07) = 0, 0205 = 2, 05%. b) Relatiivinen neljännesvuosikorkokanta on 3 0, 07 = 2, 10% / 118

56 Korkokannat Esimerkki 20 Loppupääomaksi halutaan e. Korkokanta on 4% ps. ja talletusaika on 6 vuotta. Paljonko on alkupääoman oltava? Nyt korkojaksoja on n = 2 6 = 12 kpl, joten ratkaistaan K 0 yhtälöstä K n = K 0 (1 + i) n. Täten saadaan K 0 = K n (1 + i) n = e 1, = e. 56 / 118

57 Korkokannat Esimerkki 21 Määritä korkokannalle 6% pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. On siis oltava K 0 (1 + 0, 06) = K 0 (1 + j) 2 missä j on kysytty puolivuotiskorkokanta ja K 0 on alkupääoma. Täten 1, 06 = (1 + j) 2 j = 1, , 0296 = 2, 96% Konforminen puolivuotiskorkokanta on siis j = 2, 96% ps. (vrt. relatiivinen). 57 / 118

58 Jatkuva korkolasku Miten korkolaskulle käy jos korkojakson pituus lyhennetään mielivaltaisen pieneksi? Korkojakson pituus siis lähestyy nollaa, joten korkoa liitetään pääomaan jatkuvasti. Idea: lasketaan siis koronkorkoa mielivaltaisen pienellä korkojakson pituudella. 58 / 118

59 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea Olkoon K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokanta jotakin korkojaksoa kohti. 1 Koronkoron kaava: K t = K 0 (1 + i) n 2 Nyt t = (aika) (korkojakson pituus) ( korkojaksojen lkm ), joten (aika) = t (korkojakson pituus) 3 Jaetaan aikaväli [0, t] n:ään yhtäsuureen osaa ja realisoidaan korko jokaisen osavälin lopussa. 4 Nyt uudeksi korkojaksoksi saadaan (uusi korkojakso) = (aika) n = t (korkojakson pituus) n 59 / 118

60 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Uusi korkokanta on nyt uusi korkokanta = t i per uusi korkojakso. n 2 Korkojaksoja on nyt n kpl välillä [0, t], joten K (n) t = K 0 (1 + i t n )n 3 Sijoitetaan it n = 1 x, jolloin n = x it. 4 Siis K (n) t = K 0 ( x ) x it. 60 / 118

61 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Annetaan nyt n, jolloin myös x. 2 Mitä tapahtuu? 3 Nyt korkojakson pituus t n 0, ts. korkojakson pituus lähestyy nollaa. 4 Itseasiassa koska ( K (n) t = K ) x it [( = K ) x ] it x x ja ( lim ) x = e 2, x x 61 / 118

62 Jatkuva korkolasku Jatkuva prolongointi Jatkuva prolongointi voidaan suorittaa kaavalla missä K 0 = alkupääoma K t = pääoman arvo ajanhetkellä t K t = K 0 e it, (11) i = korkointensiteetti jotakin aikaväliä d kohti (esim. 6% pa.) kulunut aika t = d (t 0) 62 / 118

63 Jatkuva korkolasku Esimerkki 22 Kuinka monta prosenttia suurempi on jatkuvan korkolaskun mukainen pääoma-arvo korkointensiteetillä 3% pa. verrattuna tavanomaiseen koronkorkolaskuun korkokannalla 3% pa. 8 vuoden kuluttua? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K 0 e it = K 0 e 0,03 8 Pääoma-arvo normaalilla korkolaskulla (koronkorko): Arvojen suhde: K 0 (1 + i) n = K 0 1, 03 8 K 0 e 0,03 8 K 0 1, 03 8 = e0,03 8 1, , 0035 V : 0, 35% suurempi 63 / 118

64 Jatkuva diskonttaus Jatkuva diskonttaus Jatkuva diskonttaus saadaan ratkaisemalla K 0 yhtälöstä (11) K o = K t e it = K t e it, (12) missä K t = pääoman arvo ajanhetkellä t i = korkointensiteetti jotakin aikaväliä d kohti (esim. 6% pa.) kulunut aika t = d (t 0) 64 / 118

65 Jatkuva diskonttaus Huom 1 Jatkuvassa korkolaskussa pääoman siirtäminen on riippumaton siirtoreitistä. Jatkuvan korkolaskun malli on teoreettinen ja sitä käytetään mm. erilaisten maksusysteemien vertailuissa. Huom 2 Jatkuvan korkolaskun mukainen korko on aina suurempi kuin yksinkertainen korko ja koronkorko, koska e it = 1 k! (it)k = 1 + it (it)2 + > 1 + it k=0 e in = (e i ) n > (1 + i) n 65 / 118

66 Jatkuva diskonttaus Kysymys Miten saadaan selville korkointensiteetin i (jatkuva korko) kanssa konforminen korkokanta ĩ normaalissa korkolaskussa (koronkorko)? Olkoon korkojakson pituus d. Tiedetään siis korkointensiteetti i per d ja selvitetään (konforminen) korkokanta ĩ per d. Pääoma ajanhetkellä t { K 0 (1 + ĩ) t K 0 e it Konformisuus = (koronkorko) (jatkuva korkolasku) K 0 e it = K 0 (1 + ĩ) t (e i ) t = (1 + ĩ) t 66 / 118

67 Jatkuva diskonttaus Ratkaistaan ĩ, joten e i = 1 + ĩ ĩ = e i 1 Voidaan myös ratkaista i, eli saadaan {ĩ = e i 1 i = ln(1 + ĩ) 67 / 118

68 Jatkuva korkolasku Esimerkki 23 Mikä on edellisen esimerkin (esim. 22) korkointensiteetin konforminen korkokanta normaalissa (koronkorko) korkolaskussa? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K t = K 0 e it = K 0 e 0,03 8 Pääoma-arvo korkokannan ĩ mukaan: Koska oltava konformiset, niin K n = K 0 (1 + ĩ) n K 0 e 0,03 8 = K 0 (1 + ĩ) 8 ĩ = e 0,03 1 0, 0305 V: 3,05% pa. 68 / 118

69 Jaksolliset suoritukset Tarkastellaan maksusysteemiä, jossa on n jakson ajan (jakson lopussa) toistuva maksu k. Mikä on maksusysteemin pääoma-arvo viimeisen suorituksen hetkellä? Prolongoidaan jokainen maksuerä korkokannalla i per jakso. Tarkastellaan miten talletusten arvo muuttuu: - 1. jakson maksu k(1 + i) n 1-2. jakson maksu k(1 + i) n 2-3. jakson maksu k(1 + i) n 3. - n-1. jakson maksu k(1 + i) - n. jakson maksu k Mikä on maksusysteemin pääoma-arvo lopussa? 69 / 118

70 Jaksolliset suoritukset Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on näiden summa, eli K n = k(1 + i) n 1 + k(1 + i) n 2 + k(1 + i) + k n 1 = k(1 + i) j (Huom. geom. sarja, q = 1 + i) j=0 1 (1 + i)n = k 1 (1 + i) 1 (1 + i)n = k i = k (1 + i)n 1 i = k A n,i, missä A n,i = (1 + i)n 1 i 70 / 118

71 Jaksolliset suoritukset Jaksollisten suoritusten prolongointi Talletetaan n jakson lopussa toistuva maksu k kun korkokantana on i% (per jakso). Tällöin pääoma-arvo lopussa on missä K n = k (1 + i)n 1 i A n,i = (1 + i)n 1 i = k A n,i, (13) 71 / 118

72 Jaksolliset suoritukset Jaksollisten suoritusten diskonttaus Systeemin pääoma-arvo alussa (t = 0) saadaan diskontaamalla K n alkuun. Siis K 0 = K n (1 + i) n = k (1 + i)n 1 i(1 + i) n = k a n,i, (14) missä a n,i = A n,i (1 + i) n = (1 + i)n 1 i(1 + i) n Huom 3 Systeemin pääoma-arvo alussa on se rahasumma K 0, joka kasvaisi korkoa n jakson aikana korkokannalla i per jakso summaan K n. 72 / 118

73 Jaksolliset suoritukset Muutama huomio: Jaksollisissa suorituksissa korkoprosenttiin i täytyy olla korkojaksona maksuerien välinen jakson pituus. Ts. ei siis voida käyttää esim. kuukausittaisissa maksusuorituksissa korkokantana vuosikorkoa i%pa. Jaksollisten suoritusten yhteydessä käytetään relatiivisia korkokantoja, ellei toisin mainita. 73 / 118

74 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 24 Olkoon 6000 e vuoden lopussa toistuva maksu 12 vuoden ajan. Mikä on maksusysteemin a) alkuarvo ja b) loppuarvo, kun korkokanta on 5% pa.? Nyt k = 6000 e, i = 5% pa. ja n = 12. b) K n = k (1 + i)n 1 i = , , 05 = e a) K 0 = K n (1 + i) n = k (1 + i)n 1 1, i(1 + i) n = 6000 = e 0, 05 1, / 118

75 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on e kun korkokanta 6% pa.? Nyt korkokantana on 6% pa., joten kuukausittainen relatiivinen korkokanta on i = 0, 5% per kk. Korkojaksoja nyt n = = 144 kpl. Lisäksi K n = e ja k =?, joten K n = k A n,i K n = k A n,i k = K i n (1 + i) n 1 0, 005 k = e 1, = 47, 59 e 75 / 118

76 Annuiteettiperiaate Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Annuiteetti Nimellisarvoltaan K 0 suuruisen lainan maksuerä k, joka suoritetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannassa i, saadaan yhtälöstä k = K 0 i(1 + i) n (1 + i) n 1. (15) Kuoletus = lyhennys+korko; Annuiteetti = tasamaksuerä Käytetään relatiivisia korkokantoja ellei toisin pyydetä. Annuiteetissa maksettu korko lasketaan jäljellä olevasta luoton määrästä. 76 / 118

77 Annuiteettiperiaate Esimerkki 26 Kuinka suuren pankkilainan pankki voi asiakkaalleen myöntää, kun asiakas pystyy kuolettamaan luottoa vuosittain e, laina-aika on 10 vuotta ja korkokanta on 12% pa.? Nyt n = 10 ja i = 0, 12, joten K 0 = k a n,i = k (1 + i)n 1 i(1 + i) n 1, = e 0, 12 1, = , 15 e e 77 / 118

78 Annuiteettiperiaate Esimerkki 27 Mikä on 12 vuodeksi annetun e euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 13% pa.? Korkokantaa 13% pa. vastaava relatiivinen puolivuotiskorko on i = 6, 5% ps. Lisäksi 6 kk:n korkojaksoja on n = 2 12 = 24 kpl. Puolivuotisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 = = e 0, 065 1, , Siis vuosittain yht e = e. Maksettu korko: e e = e. 78 / 118

79 Annuiteettiperiaate Esimerkki 28 Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen esimerkin lainalle? Nyt i = % = 1, % per kk ja korkojaksoja on n = = 144 kpl. Kuukausittaisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 = = 4124 e 0, , , Siis vuosittain yht e = e (< e). Maksettu korko: e e = e. 79 / 118

80 Annuiteettiperiaate Esimerkki 29 Nimellisarvoltaan e laina kuoletetaan 2 vuoden kulueassa korkokannalla 14% pa. käyttäen puolivuosiannuiteetteja. Mikä on koron ja lyhennuksen osuus kussakin annuiteetissa? Nyt i = 7% ps. ja n = 2 2 = 4. Puolivuosittainen kuoletus on k = e 0, 07 1, 074 1, = e 80 / 118

81 Annuiteettiperiaate Muodostetaan taulukko, missä näkyvät korko, lyhennys sekä kuoletus: Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus lyhennys Lyh. jälkeen Yht (Huom. pyöristysvirheet) 81 / 118

82 Tasalyhennys Esimerkki 30 Nimellisarvoltaan e laina kuolletetaan 2 vuoden kuluessa korkokannalla 14% pa. käyttäen puolivuosittaisia tasalyhennyksiä. Määrää kuoletuserien suuruudet ja koron sekä lyhennyksen osuus kussakin kuoletuksessa. Muodostetaan taulukko, missä näkyvät korko, lyhennys sekä kuoletus. 82 / 118

83 Tasalyhennys Nyt laina kuoletetaan siis tasalyhennyksin. Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus lyhennys Lyh. jälkeen Yht / 118

84 Lainan kuolettaminen Esimerkki e laina kuoletetaan seuraavasti: vuoden kuluttua lyhennetään e ja kahden vuoden kuluttua e. Määrää kuoletuserien suuruudet kun korkokantana on 14% pa.. Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus lyhennys Lyh. jälkeen / 118

85 Keskimaksuhetki Keskimaksuhetki Keskimaksuhetki on ajanhetki (tai korkoaika), jonka kuluttua voidaan suorittaa osamaksujen (esim. kuukausierien) summan suuruinen maksu ilman, että kummallekaan osapuolelle tulee korkotappioita. Keskimaksuhetki T saadaan yhtälöstä T = n j=1 a jt j n j=1 a, (16) j missä a j on hetkellä t j erääntyvä maksuerä. Huom 5 Lainan arvon kannalta on sama maksetaanko laina useissa erissä vai kerralla keskimaksuhetkenä. 85 / 118

86 Keskimaksuhetki 1 Jos maksut ovat yhtäsuuret, niin a 1 = a 2 =... = a n = k. Tällöin n j=1 T = kt j n j=1 k = k n j=1 t n j j=1 = t j. (17) n k n 2 Jos maksut ovat yhtäsuuret ja tasaväliset, niin a 1 = a 2 =... = a n = k ja t j = t 1 + (j 1)d. Tällöin 1):n nojalla T = n j=1 t j n = n (t 1+t n) 2 n = t 1 + t n. (18) 2 86 / 118

87 Todellinen vuosikorko Todellinen vuosikorko Olkoon K luottomäärä (se osa käteishinnasta, jolle luotto saadaan) ja R luoton kustannukset. Todellinen vuosikorko p saadaan keskimaksuhetken T ja maksusysteemin rahallisen arvon K + R avulla. Keskimaksuhetkellä siis pätee yhtäsuuruus K + R = K(1 + pt ), mistä saadaan p = R K T. (19) 87 / 118

88 Todellinen vuosikorko Esimerkki e maksava tuote myydään osamaksuluotolla, jonka nimelliskorko on 12% pa. ja luottoaika 3 vuotta. Maksu tapahtuu kuukausiannuiteetein. Mikä on luoton keskimaksuhetki? Mikä on luoton todellinen vuosikorko? Nyt n = 3 12 = 36, i = 1% per kk ja K 0 = e. Kuukausiannuiteetti on k = e 0, 01 1, , = 1661 e Maksut tasavälisiä tasaeriä, joten keskimaksuhetki T = 1kk + 36kk 2 = 18, 5kk = 1, 5417v 88 / 118

89 Todellinen vuosikorko Luottokustannukset R = Luoton hinta Luoton määrä eli R = e e = 9796 e. Luottomäärä on K = 50000, joten p = R KT = 9796 = 0, , 5417 eli todellinen vuosikorko on p = 12, 7% pa. 89 / 118

90 Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko. Sisäisen/efektiivisen korkokannan menetelmä on tarkempi menetelmä todellisen korkokannan löytämiseksi. Sisäisen korkokannan menetelmä on melko haastava käyttää eikä ole täysin ongelmaton. Sisäisen korkokannan menetelmä on erittäin yleisesti käytetty menetelmä investointilaskelmissa. 90 / 118

91 Efektiivinen/sisäinen korkokanta Idea Sijoitetaan lainapääoma L jollakin tuntemattomalla korolla i e Tehdään annetut vähennykset (kuoletukset) M i ajanhetkillä t i Pyritään siihen, että vähennyksistä huolimatta sijoitus ei tuota tappiota. Etsitään siis korkokanta i e siten, että sijoituksen arvo tehtävät vähennykset huomioonottaen menee nollaan (eli pienempi korko toisi tappiota). 91 / 118

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava K t 1 + it. (3) missä pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson

Lisätiedot

1 Prosenttilaskua 3. 2 Yksinkertainen korkolasku 4. 3 Diskonttaus 6. 4 Koronkorko 8. 5 Korkokannat 9. 6 Jatkuva korko 10. 7 Jaksolliset suoritukset 11

1 Prosenttilaskua 3. 2 Yksinkertainen korkolasku 4. 3 Diskonttaus 6. 4 Koronkorko 8. 5 Korkokannat 9. 6 Jatkuva korko 10. 7 Jaksolliset suoritukset 11 Sisältö Prosenttilaskua 3 2 Yksinkertainen korkolasku 4 3 Diskonttaus 6 4 Koronkorko 8 5 Korkokannat 9 6 Jatkuva korko 0 7 Jaksolliset suoritukset 8 Luotot ja korkolasku 2 8. Annuiteettiperiaate........................

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/

Lisätiedot

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, joka

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

diskonttaus ja summamerkintä, L6

diskonttaus ja summamerkintä, L6 diskonttaus ja summamerkintä, L6 1 Edellä aina laskettiin kasvanut pääoma alkupääoman ja koron perusteella. Seuraavaksi pohdimme käänteistä ongelmaa: Miten suuri tulee alkupääoman K 0 olla, jotta n jakson

Lisätiedot

Jaksolliset suoritukset, L13

Jaksolliset suoritukset, L13 , L13 1 Jaksollinen talletus Tarkastellaan tilannetta, jossa asiakas tallettaa pankkitilille toistuvasti yhtäsuuren rahasumman k aina korkojakson lopussa. Asiakas suorittaa talletuksen n kertaa. Lasketaan

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 9, syksy 2018 1. 1. Ratkaisutapa (Yksinkertainen korkolaskenta) Olkoon alkupääoma K 0 ja korkokanta i = 10% pa. Koska korkokanta on 10 % pa., niin pääoma kasvaa

Lisätiedot

Korkolasku, L6. Koronkorko. Korko-kaavat. Aiheet. Yksinkertainen korkolasku. Koronkorko. Jatkuva korkolasku. Korko-kaavat

Korkolasku, L6. Koronkorko. Korko-kaavat. Aiheet. Yksinkertainen korkolasku. Koronkorko. Jatkuva korkolasku. Korko-kaavat Korkolasku, L6 1 Merkinnät Tarkastellaan tilannetta, jossa pääomalle maksetaan korkoa. Tulemme seuraavassa systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä K 0 = alkupääoma p = korkoprosentti i = p 100

Lisätiedot

Korkolasku ja diskonttaus, L6

Korkolasku ja diskonttaus, L6 Korkolasku ja diskonttaus, L6 1 Merkinnät Tarkastellaan tilannetta, jossa pääomalle maksetaan korkoa. Tulemme seuraavassa systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä K 0 = alkupääoma p = korkoprosentti

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran / m kertaa vuodessa / jatkuvasti Diskonttaus

Lisätiedot

9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT

9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT 9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT ALOITA PERUSTEISTA 370A. Kunnallisveroprosentti oli 19,5, joten 31 200 tuloista oli maksettava kunnallisveroa 0,195 31 200 = 6084. Vastaus: 6084 euroa 371A. a) Hajuveden

Lisätiedot

Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC.

Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC. Kotitehtäviä 6. Aihepiiri Rahoitusmuodot Ratkaisuehdotuksia 1. Pankki lainaa 100000 bullet-luoton. Laina-aika on 4kk ja luoton (vuotuinen) korkokanta 8% Luoton korot maksetaan kuukausittain ja laskutapa

Lisätiedot

On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin.

On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin. Rahoitusmuodot HUOM. Tässä esitetään vain teoriaa ja joitakin esimerkkejä. Enemmän esimerkkejä ja laskuja löytyy ratkaistuina EXCEL-tiedostosta "Rahoitusmuodot - laskut ja esimerkit", joka on MOODLESSA

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan

Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Talousmatematiikan perusteet: Luento 2 Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Viime luennolla Lukujono on päättyvä tai päättymätön jono reaalilukuja a 1, a 2,, a n, joita sanotaan jonon termeiksi. Erikoistapauksia

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy Kotitehtävät 7. Aihepiirinä Investointi Ratkaisuehdotuksia 1. Investoinnin hankintameno on 9000 euroa ja siitä saadaan seuraavina vuosina vuosittain 1200 euron tulot. Määritä a) koroton takaisinmaksuaika

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet

Talousmatematiikan perusteet kevät 2019 / orms.1030 Talousmatematiikan perusteet 5. harjoitus, viikko 7 11.02. 15.02.2019 R01 Ma 12 14 F453 R08 Ke 10 12 F453 R02 Ma 16 18 F453 L To 08 10 A202 R03 Ti 08 10 F425 R06 To 12 14 F140 R04

Lisätiedot

10 Liiketaloudellisia algoritmeja

10 Liiketaloudellisia algoritmeja 218 Liiketaloudellisia algoritmeja 10 Liiketaloudellisia algoritmeja Tämä luku sisältää liiketaloudellisia laskelmia. Aiheita voi hyödyntää vaikkapa liiketalouden opetuksessa. 10.1 Investointien kannattavuuden

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Lukujonot Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan

Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Lukujonot Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Talousmatematiikan perusteet: Luento 2 Lukujonot Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Lukujonoista Miten jatkaisit seuraavia lukujonoja? 1, 3, 5, 7, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 9, 27, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 8.1.2018 2

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet

Talousmatematiikan perusteet kevät 219 / orms.1 Talousmatematiikan perusteet 1. Laske integraalit a 6x 2 + 4x + dx, b 5. harjoitus, viikko 6 x + 1x 1dx, c xx 2 1 2 dx a termi kerrallaan kaavalla ax n dx a n+1 xn+1 +C. 6x 2 + 4x +

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasan yliopisto, kevät 20 Talousmatematiikan perusteet, ORMS030 4. harjoitus, viikko 6 6.2. 0.2.20) R ma 2 4 F249 R5 ti 4 6 F453 R2 ma 4 6 F453 R6 to 2 4 F40 R3 ti 08 0 F425 R to 08 0 F425 R4 ti 2 4 F453

Lisätiedot

JA n. Investointi kannattaa, jos annuiteetti < investoinnin synnyttämät vuotuiset nettotuotot (S t )

JA n. Investointi kannattaa, jos annuiteetti < investoinnin synnyttämät vuotuiset nettotuotot (S t ) Annuiteettimenetelmä Investoinnin hankintahinnan ja jäännösarvon erotus jaetaan pitoaikaa vastaaville vuosille yhtä suuriksi pääomakustannuksiksi eli annuiteeteiksi, jotka sisältävät poistot ja käytettävän

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja

Lisätiedot

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 SISÄLTÖ 1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN 7 1.1 Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 1.2 Yhtälöitä 29 Epäyhtälö 30 Yhtälöpari 32 Toisen

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L14

Nykyarvo ja investoinnit, L14 Nykyarvo ja investoinnit, L14 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n netto 0 1 2 3 4 5 6...

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L7

Nykyarvo ja investoinnit, L7 Nykyarvo ja investoinnit, L7 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k n k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... 0 1 2 3 4 5 6... n j netto

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L9

Nykyarvo ja investoinnit, L9 Nykyarvo ja investoinnit, L9 netto netto netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n 0 1 2 3 4 5

Lisätiedot

Tasaerälaina ja osamaksukauppa

Tasaerälaina ja osamaksukauppa Tasaerälaina ja osamaksukauppa Merkintöjä Yleensä laskussa lähdetään todellisesta vuosikorosta. Merkitään todellista vuosikorkokantaa kirjaimella i a, jolloin vuosikorkotekijä on (1 + i a ). Vuosi jaetaan

Lisätiedot

10.8 Investoinnin sisäinen korkokanta

10.8 Investoinnin sisäinen korkokanta 154 108 Investoinnin sisäinen korkokanta Investoinnin sisäinen korkokanta on se laskentakorko, jolla investoinnin nettonykyarvo on nolla Investointi on tuottava (kannattava), jos sen sisäinen korkokanta

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet

Talousmatematiikan perusteet Talousmatematiikan perusteet 1 Lukujonoista ja sarjoista, finanssimatematiikkaa 1.1 Suhteellinen muutos - kuinka moninkertainen jokin arvo on lähtöarvoon verrattuna Prosenttilaskennan kertausta 1. Yksi

Lisätiedot

(1) Katetuottolaskelma

(1) Katetuottolaskelma (1) Katetuottolaskelma Katetuottolaskelmalla tarkastellaan yrityksen kannattavuutta myyntituotto - muuttuvat kustannukset (mukut) = katetuotto katetuotto - kiinteät kustannukset (kikut) = tulos (voitto

Lisätiedot

Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA

Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA 4.12.2012 Sisällys Johdanto... 1 Aikaan liittyviä laskelmia... 1 Excelin rahoitusfunktioita... 2 Koronkorkolaskenta... 2 Jaksolliset suoritukset... 4 Luotot... 7

Lisätiedot

BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka

BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka Talouslaskelmat Jarmo Partanen Taloudellisuuslaskelmat Jakeluverkon kustannuksista osa on luonteeltaan kiinteitä ja kertaluonteisia ja osa puolestaan jaksollisia ja mahdollisesti

Lisätiedot

Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%)

Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%) Sisäisen korkokannan menetelmä Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%) Sisäinen korkokanta määritellään

Lisätiedot

Osamaksukauppa, vakiotulovirran diskonttaus, L8

Osamaksukauppa, vakiotulovirran diskonttaus, L8 Osamaksukauppa, vakiotulovirran diskonttaus, L8 1 Kerrataan kaavoja s n;i = ((1 + i)n 1) i = prolongointitekijä a n;i = ((1 + i)n 1) i(1 + i) n = diskonttaustekijä c n;i = i(1 + i) n ((1 + i) n 1) = kuoletuskerroin

Lisätiedot

Indekseistä, L17. Reaalikorko. Indeksikaavat. Aiheet. Aritmeettinen ja geometrinen keskiarvo. Yhden tuotteen hintaindeksi.

Indekseistä, L17. Reaalikorko. Indeksikaavat. Aiheet. Aritmeettinen ja geometrinen keskiarvo. Yhden tuotteen hintaindeksi. Indekseistä, L17 1 Lukujoukon {a 1,a 2,...,a n } aritmeettinen lasketaan kaavalla a aka a 1 + a 2 + + a n n 1 n n j1 Lukujoukon {a 1,a 2,...,a n }, eli keskiverto, lasketaan kaavalla n a gka (a 1 a 2 a

Lisätiedot

Verkkokurssin tuotantoprosessi

Verkkokurssin tuotantoprosessi Verkkokurssin tuotantoprosessi Tietotekniikan perusteet Excel-osion sisältökäsikirjoitus Heini Puuska Sisältö 1 Aiheen esittely... 3 2 Aiheeseen liittyvien käsitteiden esittely... 3 2.1 Lainapääoma...

Lisätiedot

Tasaerälaina ja osamaksukauppa

Tasaerälaina ja osamaksukauppa Tasaerälaina ja osamaksukauppa Merkintöjä Yleensä laskussa lähdetään todellisesta vuosikorosta. Merkitään todellista vuosikorkokantaa kirjaimella i a, jolloin vuosikorkotekijä on (1 + i a ). Merkintöjä

Lisätiedot

Kertausta Talousmatematiikan perusteista

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Kertausta Talousmatematiikan perusteista Ensimmäinen välikoe luokittelu 1. asteen yhtälö 1. asteen epäyhtälö 2. asteen yhtälö 2. asteen epäyhtälö Prosentti Määritelmä "b on p a a:sta." b = p 100 p% = b

Lisätiedot

Kertausta Talousmatematiikan perusteista

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Kertausta Talousmatematiikan perusteista Ensimmäinen välikoe luokittelu 1. asteen yhtälö 1. asteen epäyhtälö 2. asteen yhtälö 2. asteen epäyhtälö Prosentti Määritelmä "b on p a a:sta." b = p 100 a p% =

Lisätiedot

1.1 Suhteisjako 8. Euro 14 Valuuttakurssit 15 Kurssimuutokset ja rahan arvo 18. Tulovero 21 Ansiotulon vero 21 Pääomatulon vero 23

1.1 Suhteisjako 8. Euro 14 Valuuttakurssit 15 Kurssimuutokset ja rahan arvo 18. Tulovero 21 Ansiotulon vero 21 Pääomatulon vero 23 SISÄLTÖ 1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7 1.1 Suhteisjako 8 1.2 Valuutat 14 Euro 14 Valuuttakurssit 15 Kurssimuutokset ja rahan arvo 18 1.3 Verotus 21 Tulovero 21 Ansiotulon vero 21 Pääomatulon vero 23 Varallisuusvero

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe 1 päätösmuuttujat (x 1,x 2,...) tavoitefunktio (z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +...) rajoitteet (a i1 x 1 + a i2 x 2 + b i ) Mallin Formaatti käypä alue Optimipisteen

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7. 1.1 Tulovero 8

1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7. 1.1 Tulovero 8 SISÄLTÖ 1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7 1.1 Tulovero 8 1.2 Hintaan vaikuttavia tekijöitä 13 - Arvonlisävero 13 - Myyntipalkkio ja myyntikate 15 - Alennus ja hävikki 17 1.3 Indeksit 22 - Indeksin käsite 22

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

Tämä. Tili-ja kulutusluotot. -aineisto on tarkoitettu täydentämään. Liiketalouden matematiikka 2. kirjan sisältöä.

Tämä. Tili-ja kulutusluotot. -aineisto on tarkoitettu täydentämään. Liiketalouden matematiikka 2. kirjan sisältöä. Tämä Tili-ja kulutusluotot -aineisto on tarkoitettu täydentämään Liiketalouden matematiikka 2 kirjan sisältöä. 1 Sisällysluettelo TILI- JA KULUTUSLUOTOT...3 Esim. 1... 4 Esim. 2... 6 Esim. 3... 7 Esim.

Lisätiedot

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe 1 Parametrit D Kysyntä (kpl/vuosi) h Yksikköylläpito-kustannus (euro/kpl/vuosi) K Tilauskustannus (euro) Tarkista aina yksiköiden yhteensopiminen

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

f (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2

f (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2 BMA581 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Syksy 15 1. (a) Olisiko virhe likimain.5, ja arvio antaa siis liian suuren arvon. (b) Esim (1,1.5) tai (,.5). Funktion toinen derivaatta saa

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun

Lisätiedot

Indekseistä, L12. Reaalikorko. Aiheet. Aritmeettinen ja geometrinen keskiarvo. Yhden tuotteen hintaindeksi. Reaalikorko. Pääoman deatoitu arvo

Indekseistä, L12. Reaalikorko. Aiheet. Aritmeettinen ja geometrinen keskiarvo. Yhden tuotteen hintaindeksi. Reaalikorko. Pääoman deatoitu arvo Indekseistä, L12 1 Lukujoukon {a 1, a 2,..., a n } aritmeettinen lasketaan kaavalla a aka = a 1 + a 2 + + a n n = 1 n n a j. j=1 Lukujoukon {a 1, a 2,..., a n }, eli keskiverto, lasketaan kaavalla n a

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Yksinkertainen korkolasku

Yksinkertainen korkolasku Sivu 1/7 Rahan lainaus voidaan innastaa tavaan vuokaukseen, jolloin lainatusta ahasta maksetaan kokoa sitä enemmän, mitä suuemmasta ahamääästä on kysymys ja mitä pidempään aha on lainattuna. äyttöön saatua

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Kansantaloudessa tuotetaan vehnää, jauhoja ja leipää. Leipä on talouden ainoa lopputuote, ja sen valmistuksessa käytetään välituotteena jauhoja.

Kansantaloudessa tuotetaan vehnää, jauhoja ja leipää. Leipä on talouden ainoa lopputuote, ja sen valmistuksessa käytetään välituotteena jauhoja. Taloustieteen perusteet Kesä 2014 Harjoitus 4: MALLIRATKAISUT Juho Nyholm (juho.nyholm@helsinki.fi Tehtävä 1 Kansantaloudessa tuotetaan vehnää, jauhoja ja leipää. Leipä on talouden ainoa lopputuote, ja

Lisätiedot

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Iterointi on menetelmä, missä jollakin likiarvolla voidaan määrittää jokin toinen,

Lisätiedot

Yhden muuttujan funktion minimointi

Yhden muuttujan funktion minimointi Yhden muuttujan funktion minimointi Aloitetaan yhden muuttujan tapauksesta Tarpeellinen myös useamman muuttujan tapauksessa Tehtävä on muotoa min kun f(x) x S R 1 Sallittu alue on muotoa S = [a, b] tai

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

4 LUKUJONOT JA SUMMAT

4 LUKUJONOT JA SUMMAT Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet

Talousmatematiikan perusteet kevät 2019 / orms.1030 Talousmatematiikan perusteet 1. välikoe tiistaina 29.1.2019 MALLIRATKAISUT Ratkaise 3 tehtävää. Kokeessa saa olla mukana laskin ja taulukkokirja (MAOL tai vastaava). Kun teet tehtävän,

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

INVESTOINTIEN EDULLISUUSVERTAILU. Tero Tyni Erityisasiantuntija (kuntatalous)

INVESTOINTIEN EDULLISUUSVERTAILU. Tero Tyni Erityisasiantuntija (kuntatalous) INVESTOINTIEN EDULLISUUSVERTAILU Tero Tyni Erityisasiantuntija (kuntatalous) 25.5.2007 Mitä tietoja laskentaan tarvitaan Investoinnista aiheutuneet investointikustannukset Investoinnin pitoaika Investoinnin

Lisätiedot

Huippu 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Hank maksaa kunnallisveroa 22 % verotettavasta tulostaan eli 0,22 52 093,84 = 11 460,6448 11 460,64. Hank maksaa kunnallisveroa 11 460,64. Vastaus: 11 460,64 K2. Kimin maksaman

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

10.5 Jaksolliset suoritukset

10.5 Jaksolliset suoritukset 4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0 BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Korko ja inflaatio Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Sisältö Nimellis ja reaalikorot, Fisher yhtälö Lyhyt ja pitkä korko Rahapolitiikka ja korot Korko ja inflaatio Nimellinen korko i: 1 tänä vuonna

Lisätiedot

Vastaus: Aikuistenlippuja myytiin 61 kappaletta ja lastenlippuja 117 kappaletta.

Vastaus: Aikuistenlippuja myytiin 61 kappaletta ja lastenlippuja 117 kappaletta. Seuraava esimerkki on yhtälöparin sovellus tyypillisimmillään Lukion ekaluokat suunnittelevat luokkaretkeä Sitä varten tarvitaan tietysti rahaa ja siksi oppilaat järjestävät koko perheen hipat Hippoihin

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Prosentti- ja korkolaskut 1

Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti on sadasosa jostakin, kuten sentti eurosta ja senttimetri metristä. Yksi ruutu on 1 prosentti koko neliöstä, eli 1% Kuinka monta prosenttia on vihreitä ruutuja neliöstä?

Lisätiedot

Kauppakorkean pääsykoe 2015 / Ratkaisut

Kauppakorkean pääsykoe 2015 / Ratkaisut Kauppakorkean pääsykoe 2015 / Ratkaisut Johtaminen ja markkinointi: 1. / Ratk: Osiot 1, 2 ja 3 / Tosia (s.1 ja s. 1 sekä s. 2). Osio 4 / Epätosi; Ei, vaan klassisissa organisaatioteorioissa tutkimuksen

Lisätiedot

1 PROSENTTILASKENTAA 7

1 PROSENTTILASKENTAA 7 SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 4/2008, Ratkaisut

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 4/2008, Ratkaisut Projektien valintapäätöksiä voidaan pyrkiä tekemään esimerkiksi hyöty-kustannus-suhteen (so. tuottojen nykyarvo per kustannusten nykyarvo) tai nettonykyarvon (so. tuottojen nykyarvo - kustannusten nykyarvo)

Lisätiedot