1 Prosenttilaskua 3. 2 Yksinkertainen korkolasku 4. 3 Diskonttaus 6. 4 Koronkorko 8. 5 Korkokannat 9. 6 Jatkuva korko Jaksolliset suoritukset 11

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1 Prosenttilaskua 3. 2 Yksinkertainen korkolasku 4. 3 Diskonttaus 6. 4 Koronkorko 8. 5 Korkokannat 9. 6 Jatkuva korko 10. 7 Jaksolliset suoritukset 11"

Transkriptio

1 Sisältö Prosenttilaskua 3 2 Yksinkertainen korkolasku 4 3 Diskonttaus 6 4 Koronkorko 8 5 Korkokannat 9 6 Jatkuva korko 0 7 Jaksolliset suoritukset 8 Luotot ja korkolasku 2 8. Annuiteettiperiaate Lainan kuolettaminen ja efektiivinen korkokanta Keskimaksuhetki ja todellinen vuosikorko 4 0 Investointilaskelmia 5 Indeksiteoriaa 6 Keskiarvoista 6 2 Indeksiluvun käsite 7 3 Kuluttajahintaindeksi 8 4 Aikasarjan deflatointi ja inflatointi 9

2 5 Indeksiluvun muodostaminen 20 6 Keskilukumalli 20 7 Keskilukumallin painotetut indeksiluvut 22 8 Kokonaislukumallit 24 9 Keskilukumallin ja kokonaislukumallin yhteys 26 0 Fisherin indeksikriteerit 26 Kevään 203 kaksi viimeistä luentoa 28 2

3 I Finanssimatematiikka Prosenttilaskua Jos luku a kasvaa p prosenttia (%), niin uusi arvo on a + p 00 a = ( + p 00 ) a. Vastaavasti jos luku a vähenee p prosenttia, niin uusi arvo on a Lisäksi p prosenttia luvusta a on p 00 a = ( p 00 ) a. p 00 a. Esimerkki.. Paljonko 500 euron tuote maksaa 5 % alennusmyynnissä? Vastaus: 275 euroa. Montako prosenttia luku a on luvusta b? a b 00%. Esimerkki.2. Montako prosenttia luku a on luvusta b, kun a) a = 5 ja b = 90? b) a = 90 ja b = 5? Vastaus: a) 6,7 % b) 600 %. Kuinka monta % luku a on suurempi (pienempi) kuin luku b: a b b 00%. Esimerkki.3. a) Kuinka monta prosenttia luku 60 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta prosenttia luku 25 on pienempi kuin 75? c) Kuinka monta prosenttia luku 20 on pienempi kuin 60? Vastaus: a) 700 % b) 85,7 % c) 87,5 % 3

4 Esimerkki.4. a) Mistä luvusta 24 on 32 %? b) Mitä lukua 80 on 20 % pienempi? c) Mikä luku on 5 % suurempi kuin 50? d) Mikä luku on 0 % pienempi kuin luku 30? e) Mikä luku on 32 % luvusta 24? Vastaus: a) 75 b) 00 c) 57,5 d) 27 e) 7,58 2 Yksinkertainen korkolasku Korko on korvaus lainaksi saadusta/annetusta rahapääomasta (luotosta tai talletuksesta). Korkokanta i on prosenttiluku, joka ilmoittaa kuinka monta prosenttia pääoma kasvaa korkoa korkojakson aikana korkojakso korkokanta vuosi i pa. (per annum) 6 kk i ps. (per semester) 3 kk i pq. (per quartal) kk, 2 kk i per kk, i per 2 kk Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua sovelletaan yhden korkojakson sisällä. Pääoma ajanhetkellä t on K t = K 0 ( + it), () missä K 0 = alkupääoma (ajanhetkellä t = 0), i = korkokanta, t = jaksosta kulunut aika korkojakson pituus (0 t ). Korko hetkellä t on K t K 0 = K 0 it. Korkojakson lopussa korko liitetään pääomaan eli realisoidaan. Uusi pääoma toimii seuraavan korkojakson alkupääomana. 4

5 Esimerkki 2.. Talletetaan euroa 6 % vuosikorolla (6 % pa.). Määrää talletuksen arvo a) vuoden kuluttua. b) 8 kuukauden kuluttua. c) 6 kuukauden kuluttua. d) 6 kuukauden kuluttua ilman, että korko realisoidaan pääomaan korkojakson lopussa. Vastaus: a) euroa b) euroa c) euroa d) euroa Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit, kun ne maksavat korkoa talletuksille (yleensä). Toimenpidettä, jossa määrätään pääoman kasvavia arvoja siirryttäessä ajassa eteenpäin, kutsutaan prolongoimiseksi. Sanotaan myös, että pääoma siirretään ajassa eteenpäin. Esimerkki 2.2. Mikä on alkupääoman euroa arvo 0 kuukauden kuluttua, kun korkokanta on a) 8 % pa. b) 5 % ps. c) 5 % ps., mutta korkoa ei realisoida korkojakson lopussa. Vastaus: a) euroa b) 9530 euroa c) euroa Esimerkki 2.3. Mikä korkokanta i % pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa. Vastaus: 28 % pa. Esimerkki 2.4. Missä ajassa pääoma kasvaa 8 %, kun korkokanta on a) 0 % pa. b) 5 % ps. Vastaus: a) 9,6 kk b) 9,4 kk 5

6 3 Diskonttaus Mitä jos halutaan määrätä tunnettua (tulevan) ajanhetken t > 0 pääomaa K t vastaava alkupääoman arvo K 0? Toimenpide on virallinen diskonttaus (pääoma siirretään ajassa taaksepäin). Virallinen diskonttaus Ratkaistaan K 0 yhtälöstä (), jolloin saadaan missä K 0 = K t + it, (2) K 0 = pääoman K t diskontattu arvo eli nykyarvo, i = diskonttauskorkokanta, t = jaksosta kulunut aika korkojakson pituus (0 t ). Kuten yksinkertainen korkolasku, kaavan (2) mukainen diskonttaus toimii ainoastaan yhden korkojakson sisällä. Kun t 0, niin pääoman muutos eli diskontto on K t = K t ( it ). + it Korko ja diskontto ovat samat. Näin ollen prolongointi yksinkertaisella korkolaskulla ja virallinen diskonttaus ovat käänteisiä toimituksia. Esimerkki 3.. Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8 % pa. arvoon euroa? Vastaus: 45 euroa. Esimerkki 3.2. Mikä rahasumma kasvaa 5 kuukaudessa korkokannalla 8 % pa. arvoon euroa? Vastaus: 8 55,4 euroa (diskontataan osissa). Käytännön pankkitoiminnassa virallinen diskonttaus on käytössä sijoitustodistusten kaupassa (ns. eurooppalainen diskonttaus). Sijoitustodistus on pankin liikkeelle laskema velkakirja (hinta K 0 ), jonka haltijalle pankki maksaa todistuksessa mainitun rahamäärän K t ajan t kuluttua. 6

7 Esimerkki euron sijoitustodistus erääntyy 8 kuukauden kuluttua. Määrää sen hinta, kun korkokanta on 5 % pa. Vastaus: 45 6 euroa. Vekselidiskonttaus Vekseleiden yhteydessä käytetään vekseli- eli kauppadiskonttausta missä K 0 = vekselin käteis- eli nykyarvo, K 0 = K t ( it), (3) K t = ajan t kuluttua erääntyvän vekselin nimellisarvo, i = diskonttauskorkokanta, t = jaksosta kulunut aika korkojakson pituus (0 t ). Vekselidiskontto on K t = K t K 0 = K t K t ( it) = K t it. Esimerkki 3.4. Vekseli, jonka nimellisarvo on euroa, erääntyy 5 kuukauden kuluttua. Mikä on käteisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 2 % pa.? Vastaus: euroa Esimerkki 3.5. Mikä olisi edellisen esimerkin vekselin nykyarvo virallisen diskonttauksen mukaan? Vastaus: 8 57 euroa Esimerkki 3.6. Vekseli, jonka käteisarvo on euroa, erääntyy 5 kuukauden kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 2 % pa.? Vastaus: 9 473,68 euroa (ratkaistaan K t yhtälöstä (3)) 7

8 4 Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa yhtälön () mukaisesti. Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan ja seuraavassa korkojaksossa pääoma määräytyy tästä uudesta alkupääomasta jne. Näin edellisen korkojakson tuottama korko kasvaa korkoa seuraavalla jaksolla. Syntyy ns. koronkorko. Jos alkupääoma on K 0 ja korkojaksoja on n kappaletta, niin pääoma n:nnen korkojakson lopussa on K n = K 0 ( + i) n, kun n =, 2,... (4) Vajaissa korkojaksoissa käytetään yksinkertaista korkolaskua. Jaksollinen diskonttaus Kun ratkaistaan alkupääoma K 0 yhtälöstä (4), niin saadaan missä K 0 = K n ( + i) n, (5) K n = pääoman arvo n korkojakson jälkeen, i = korkokanta, n = kokonaisten korkojaksojen lukumäärä. Yhtälön (5) mukaista toimenpidettä, jossa määrätään pääoman K n arvo n korkojaksoa ajassa taaksepäin, sanotaan jaksolliseksi diskonttaukseksi. Jaksollinen prolongointi ja jaksollinen diskonttaus ovat toistensa käänteisiä toimituksia. Esimerkki 4.. Mihin arvoon 000 euroa kasvaa 6 vuodessa, kun korkokanta on a) 4 % pa. b) 2 % ps. c) % pq. d) aika on 6,5 vuotta ja korkokanta on 4 % pa. Vastaus: a) 265 euroa b) 268 euroa c) 270 euroa d) 290,62 euroa Esimerkki 4.2. Millä korkokannoilla a) pa. b) ps. pääoma kolminkertaustuu 8 vuodessa? 8

9 Vastaus: a) 4,7 % pa. b) 7, % ps. Esimerkki 4.3. Olkoon alkupääoma euroa ja korkokanta 4 % ps. Tilille halutaan loppupääomaksi euroa. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Vastaus: 6 vuotta 6 kuukautta ja 5 päivää. Esimerkki 4.4. Loppupääomaksi halutaan euroa. Korkokanta on 4 % ps. ja talletusaika on 6 vuotta. Paljonko on alkupääoman oltava? Vastaus: euroa 5 Korkokannat Relatiiviset korkokannat Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia, jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde, ts. i j = p q. Relatiiviset korkokannat eivät anna samaa tuottoa pääomalle samassa ajassa. Konformiset korkokannat Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään konformiset, jos ne antavat saman tuoton (pääoma-arvon) kaikilla ajanhetkillä t, joka on korkojaksojen p ja q jokin monikerta. Jos korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat konformiset, niin ( + i) /p = ( + j) /q j = ( + i) q/p. (6) Esimerkki 5.. Määritä korkokannan 7 % per 0 kk kanssa a) konforminen neljännesvuosikorkokanta. b) relatiivinen neljännesvuosikorkokanta. Vastaus: a) 2,05 % pq. b) 2, % pq. 9

10 Esimerkki 5.2. Määritä korkokannalle 6 % pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. Vastaus: 2,96 % ps. 6 Jatkuva korko Miten korkolaskulle käy, jos korkojakson pituus lyhennetään mielivaltaisen pieneksi? Tällöin korkoa liitetään pääomaan jatkuvasti. Jatkuva prolongointi missä K 0 = alkupääoma, K t = pääoman arvo ajanhetkellä t, K t = K 0 e it, (7) i = korkointensiteetti jotakin aikaväliä d kohti (esim. 6 % pa.), t = (kulunut aika), t 0. d Jatkuva diskonttaus Ratkaistaan K 0 yhtälöstä (7), jolloin K 0 = K t e it = K t e it. (8) Jatkuva prolongointi ja jatkuva diskonttaus ovat toistensa käänteisiä toimituksia. Esimerkki 6.. Kuinka monta prosenttia suurempi on jatkuvan korkolaskun mukainen pääoma-arvo korkointensiteetillä 3 % pa. verrattuna tavanomaiseen koronkorkolaskuun korkokannalla 3 % pa. 8 vuoden kuluttua? Vastaus: 0,35 % Korkointensiteetin i (jatkuva korko) kanssa konforminen korkokanta ĩ normaalissa korkolaskussa (koronkorko) saadaan seuraavasti: i = ln( + ĩ) ĩ = e i. (9) 0

11 Esimerkki 6.2. Mikä on edellisen esimerkin korkointensiteetin konforminen korkokanta normaalissa (koronkorko) korkolaskussa? Vastaus: 3,05 % 7 Jaksolliset suoritukset Tarkastellaan maksusysteemiä, jossa on n kappaletta (yhtä pitkiä) jaksoja ja jokaisen jakson lopussa on toistuva maksu k. Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on K n = k ( + i)n = k A n,i, (0) i missä luku A n,i = ( + i)n i on jaksollisten maksujen prolongointitekijä. Systeemin pääoma-arvo alussa (t = 0) on missä K 0 = k ( + i)n i ( + i) n = k a n,i, () a n,i = ( + i)n i ( + i) n = A n,i ( + i) n on jaksollisten maksujen diskonttaustekijä. Jaksollisten suoritusten yhteydessä käytetään relatiivisia korkokantoja, ellei toisin mainita. Esimerkki 7.. Olkoon euroa vuoden lopussa toistuva maksu 2 vuoden ajan. Mikä on maksusysteemin a) alkuarvo (. vuoden alussa), b) loppuarvo (2. vuoden lopussa), kun korkokanta on 5 % pa. Vastaus: b) euroa a) euroa. Esimerkki 7.2. Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 2 vuodessa maksusysteemin loppuarvo olisi euroa, kun korkokanta on 6 % pa? Vastaus: 47,59 euroa.

12 8 Luotot ja korkolasku 8. Annuiteettiperiaate Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtana on yhtälö (). Nimellisarvoltaan K 0 suuruisen lainan, joka suoritetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannassa i, maksuerä k on k = K 0 i ( + i) n ( + i) n. (2) Kaavaa (2) voidaan käyttää määrättäessä maksuerä k systeemille, jossa nimellisarvon K 0 suuruinen laina maksetaan takaisin eli kuoletetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannan ollessa i. Kuoletus=lyhennys+korko. Yleensä annuiteettiluottojen yhteydessä käytetään relatiivisia korkokantoja. Esimerkki 8.. Kuinka suuren lainan pankki voi asiakkaalle myöntää, kun asiakas pystyy kuolettamaan luottoa vuosittain euroa, laina-aika on 0 vuotta ja korkokanta on 2 % pa. Vastaus: 282 5, euroa. Esimerkki 8.2. Mikä on 2 vuodeksi annetun euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 3 % pa. Vastaus: euroa. Esimerkki 8.3. Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen tehtävän lainalle? Vastaus: 4 24 euroa Esimerkki 8.4. Nimellisarvoltaan euron laina kuoletetaan 2 vuoden kuluessa korkokannalla 4 % pa. käyttäen puolivuosiannuiteetteja. Mikä on koron ja lyhennyksen osuus kussakin annuiteetissa? Vastaus: Puolivuosittainen kuoletus on euroa. 2

13 Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus Lyhennys Lyh. jälkeen Lainan kuolettaminen ja efektiivinen korkokanta Verrataan annuiteettiperiaatteella tapahtunutta lainan kuoletusta muihin tapoihin. Esimerkki 8.5. Nimellisarvoltaan euron laina kuoletetaan 2 vuoden kuluessa korkokannalla 4 % pa. käyttäen puolivuosittaisia tasalyhennyksiä. Määrää kuoletuserien suuruudet ja koron ja lyhennyksen osuus kussakin kuoletuksessa. Vastaus: Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus Lyhennys Lyh. jälkeen Esimerkki 8.6. Edellisen esimerkin laina kuoletetaan seuraavasti: euroa lyhennystä vuoden kuluttua ja kahden vuoden kuluttua. Määrää kuoletuserien suuruudet. Vastaus: Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus Lyhennys Lyh. jälkeen Efektiivinen korkokanta Olkoon M i maksuerä (kuoletus) ajanhetkellä t i. Diskontataan maksuerät M i alkuhetkeen t = 0 koronkorko-korkolaskun mukaisesti tuntemattomalla korkokannalla i e (efektiivinen korkokanta valittua korkojaksoa kohti). Asetetaan diskontattujen arvojen summa samaksi kuin lainan nimellisarvo L 3

14 (tai asiakkaan saama summa=nimellisarvo-kulut). Efektiivinen korkokanta i e on siis yhtälön M j L = ( + i e ) t. (3) j ratkaisu. Esimerkki euron laina kuoletetaan kahdessa vuodessa vuosiannuiteetein euroa. Laske efektiivinen korkokanta. Vastaus: 8 % pa. 9 Keskimaksuhetki ja todellinen vuosikorko Keskimaksuhetki on ajanhetki (tai korkoaika), jonka kuluttua voidaan suorittaa osamaksujen (esim. kuukausierien) summan suuruinen maksu ilman, että kummallekaan osapuolelle tulee korkotappioita. Keskimaksuhetki T saadaan yhtälöstä n T = a jt j n a, j missä a j on hetkellä t j erääntyvä maksuerä. Jos maksut ovat yhtäsuuret, eli a = a 2 =... = a n = k, niin n T = t j. n Jos maksut ovat yhtäsuuret ja tasaväliset, eli t j t j = d kaikilla j = 2, 3,..., n, niin T = t + t n. 2 Todellinen vuosikorko Käytetään seuraavia merkintöjä: K = luottomäärä = käteishinta käsiraha = se osa hinnasta, jolle luotto saadaan R = luottokustannukset T = keskimaksuhetki (yksikkönä vuosi) 4

15 Todellinen vuosikorko p saadaan keskimaksuhetken T ja maksusysteemin rahallisen arvon K + R avulla. Keskimaksuhetkellä pätee yhtäsuuruus joten K + R = K( + pt ), p = R K T. (4) Esimerkki euroa maksava tuote myydään osamaksuluotolla, jonka nimelliskorko on 2 % pa. ja luottoaika 3 vuotta. Maksu tapahtuu kuukausiannuiteetein. Mikä on luoton keskimaksuhetki? Mikä on luoton todellinen vuosikorko? Vastaus: Kuukausiannuiteetti 66 euroa, keskimaksuhetki T =, 547 v, todellinen vuosikorko p = 2, 7 %. 0 Investointilaskelmia Investointi=sijoitettujen varojen ja tuottojen muodostama kokonaisuus. Investoinnin kannattavuutta voidaan tutkia eri menetelmillä: ) Nykyarvomenetelmä Nykyarvo = alkuhetkeen diskontattu arvo. Tuotot ja kustannukset muutetaan nykyarvoiksi T NA ja KNA. Investointi on kannattava, jos T NA KNA. 2) Annuiteettimenetelmä Tuotot ja kustannukset muutetaan tasasuuruisiksi vuosimaksuiksi eli annuiteeteiksi T A ja KA. Investointi on kannattava, jos T A KA. 3) Efektiivisen korkokannan menetelmä Määritellään korkokanta i e, jolla T NA = KNA. Investointi on kannattava, jos i e tavoitekorkokanta. Esimerkki 0.. Koneen hankintahinta on euroa ja arvioutu käyttöikä 5 vuotta. Vuosittainen investointituotto on euroa ja käyttökustannukset euroa. Jäännösarvo on euroa ja laskentakorkokanta 5 % pa. Tutki, onko investointi kannattava. 5

16 II Indeksiteoriaa Keskiarvoista Olkoot x,..., x n reaalilukuja ja niiden painokertoimet v,... v n positiivisia reaalilukuja ja v = v v n. Aritmeettinen keskiarvo A = n x j = n (x x n ). Painotettu aritmeettinen keskiarvo A w = v v j x j = v (v x v n x n ), missä v j on luvun x j painokerroin. Geometrinen keskiarvo G = ( n ) /n x j = (x... x n ) /n = n x... x n. Tällöin log G = n n log x j. Painotettu geometrinen keskiarvo G w = ( n Tällöin log G w = v n v j log x j. Harmoninen keskiarvo H = x v ) j /v j = (x v... xvn n ) /v = v x v... xvn n. n x j kun x j 0 kaikilla j =,... n. Tällöin = n = x x n n H = n 6 x j., x j

17 Painotettu harmoninen keskiarvo H w = v v j x j = v kun x j 0 kaikilla j =,..., n. v v n x = x n v v j x j Esimerkki.. Laske lukujen 2, 4 ja 6 edellä mainitut keskiarvot, kun painoina ovat 3, 2 ja., Vastaus: A = 4, A w = 0/3 3, 33, G = , 63, G w = , 03, H = 36/ 3, 27, H w = 36/3. 2 Indeksiluvun käsite Indeksin avulla kuvataan jonkin ryhmän yhteisen suureen, eli muuttujan, kehitystä tilanteesta toiseen ilman, että tutkitaan erikseen jokaisen ryhmän jäsenen ko. suureen kehitystä. Tilanteet voivat olla eri ajanhetkiä, henkilöryhmiä tms. Erilaisia indeksejä ovat esimerkiksi. hintaindeksi, joka mittaa hinnan muutoksia; 2. volyymi-indeksi, joka mittaa määrän muutoksia; 3. arvoindeksi, joka mittaa arvonmuutoksia (esim. tuonti ja vienti eri vuosina). Indeksi kuvaa aina suhteellista muutosta johonkin peruskohtaan nähden. Peruskohdassa indeksi saa arvon. Tavallisesti indeksit ilmoitetaan prosentteina ja puhutaan indeksipisteistä. Tällöin peruskohdan arvoa vastaa indeksin pisteluku 00 (00 %). Esimerkki 2.. Suomen asuntotuotanto vuosina : Vuosi Valm. huoneistot Indeksi (982=00) 00 05,2 04,9 04,8 87,3 90,0 7

18 3 Kuluttajahintaindeksi Kuluttajahintaindeksi mittaa yksityisessä kulutuksessa käytettävien tavaroiden ja palveluiden hintakehitystä kahden ajankohdan välillä koko yksityisessä kulutuksessa (kokonaisindeksi) ja erikseen kulutuksen eri pääryhmissä. Kuluttajahintaindeksin kokonaisindeksiä käytetään tapahtuneen hintakehityksen kompensaatiotarkistuksiin (esim. palkat ja eläkkeet). Edelleen indeksiä käytetään hintatason ja rahan arvon muutosten osoittajana. Kuluttajahintaindeksin muutosprosentti (inflaatioprosentti) on maassa vallitsevan keskimääräisen inflaation mittari. Indeksin pisteluvut lasketaan kuukausittain kullekin pääryhmälle ns. Laspeyresin hintaindeksikaavalla ja nämä yhdistetään kokonaisindeksiin painotetun keskiarvon menetelmällä. Esimerkki 3.. Kuluttajahintaindeksi (985=00) Pääryhmä paino (%) Ravinto 8,7 2,0 6,6. Juomat ja tupakka 7,0 27,6 39,8 2. Vaatetus ja jalkineet 6,4 2,9 6,3 3. Asuminen, lämpö ja valo 8,4 23,0 33,3 4. Kotitalouskalusto ja tarvikkeet 6,9 6,9 22,3 5. Terveyden- ja sairaudenhoito 2,9 37,7 52,4 6. Liikenne 7,2 7,3 24,5 7. Vapaa-aika, virkistys ja koulutus 9,7 2,8 26,6 8. Muut tavarat ja palvelut 2,8 27,0 36,2 Kokonaisindeksi 00,0 20,0 27,5 Inflaatioprosentti Olkoot t ja t kaksi ajanhetkeä sekä P t ja P t näitä vastaavat kuluttajahintaindeksit. Inflaatioprosentti hetkestä t hetkeen t on P t P t P t = P t P t. (5) Ostovoima Kuluttajahintaindeksin käänteisluku /P t (tässä P t ei ole prosentteina) on rahan ostovoima hetkellä t verrattuna perusvuoteen. Ostovoiman muutos- 8

19 prosentti aikavälillä t t on P t P t P t = P t P t. P t Rahan reaaliarvo Rahamäärän x t reaaliarvo hetkellä t on x t P t. (6) Esimerkki 3.2. Kuluttajahintaindeksi on noussut vuoden 985 pisteluvusta 00 vuoden 989 pistelukuun 20,0. Millä vuoden 985 rahamäärällä on sama ostovoima kuin vuoden markalla? Vastaus: 83,3 markkaa. 4 Aikasarjan deflatointi ja inflatointi Olkoot x t rahamäärä hetkellä t ja x t rahamäärä hetkellä t. Olkoot lisäksi P t ja P t vastaavat kuluttajahintaindeksit. Jos halutaan rahamäärän x t siirtyvän hetkestä t hetkeen t siten, että reaaliarvo säilyy (eli inflaatio otetaan huomioon), niin asetetaan kyseisten rahamäärien reaaliarvot samoiksi. Siis x t P t = x t P t. (7) Jos t < t, niin kyseessä on inflatointi. Jos t < t, niin kyseessää on deflatointi. Esimerkki 4.. Kuluttajahintaindeksi nousi arvosta 20,0 arvoon 27,5. Henkilön nettopalkka kasvoi tuona aikana 3 prosenttia. Mikä on elintason (reaaliansioiden) muutos prosentteina? Vastaus: -3, %. Esimerkki 4.2. Teollisuustyöntekijöiden tuntiansiot vuosina (hintaindeksin perusvuosi 98) olivat seuraavat: Vuosi Keskituloansiot (mk) KHI Deflatoidut ansiot ( t = 983) ,07 8, ,00 27, ,59 34, ,57 39, ,8 44,5 9

20 5 Indeksiluvun muodostaminen Vertaillaan jotain koko hyödyke- ja palveluryhmän yhteistä suuretta (esim. hinta tai määrä) eri ajankohtina. Eri hyödykkeiden ja palvelujen hintojen (määrien) muutokset yhdistetään koko ryhmän hintojen (määrien) muutosta kuvaavaksi indeksiksi käyttämällä painotuksia. Indeksiluvut voidaan muodostaa käyttämällä keskilukumallia tai kokonaislukumallia. Käytetään seuraavia merkintöjä: p = hinta q = määrä P = hintaindeksiluku Q = (määrä)volyymi-indeksiluku p it = hyödykkeen p i hinta hetkellä t q it = hyödykkeen p i määrä (kulutus) hetkellä t Peruskohta on t = 0. Lisäksi hyödykkeitä on n kappaletta ja ajanhetkiä on k tilannetta peruskohdan jälkeen, eli i =,..., n ja t = 0,,..., k. Esimerkki 5.. Hyödykkeen i kulutuksen arvo hetkellä t on p it q it. Kaikkien hyödykkeiden kulutuksen kokonaisarvo hetkellä t = 0 on p i0 q i0 = p 0 q 0 + p 20 q p n0 q n0 6 Keskilukumalli Määrä- ja hintasuhteet ovat laaduttomia lukuja. Siten hintasuhteet ovat keskenään vertailukelpoisia, samoin kuin määräsuhteet. Hyödykeryhmään liittyvän hinnan (määrän) vaihtelua kuvaavaksi indeksiluvuksi otetaan jokin hyödykkeiden hintasuhteista (määräsuhteista) laskettu keskiarvo (aritmeettinen, geometrinen tai harmoninen). Hintaindeksiluvut Aritmeettinen hintaindeksi on hintasuhteiden aritmeettinen keskiarvo, eli P A 0t = 00 n p jt p j0, (8) 20

21 missä 0 ja t osoittavat vertailtavat tilanteet (peruskohtana on 0). Geometrinen hintaindeksi on hintasuhteiden geometrinen keskiarvo, eli ( n P0t G p ) jt /n = 00. (9) p j0 Harmoninen hintaindeksi on hintasuhteiden harmoninen keskiarvo, eli P H 0t = 00 n p jt /p j0 = 00n p j0 p jt (20) Esimerkki 6.. Viiden hyödykkeen hintoja vähittäiskaupassa: Hyödyke Yksikkö Hinta 983 Hinta 988 p 0 p maito litra 3,00 3,53 peruna 2,5 kg 7,05,26 sokeri kg 7,96 8,28 tomaatti kg 3,49 4,67 kahvi 0,5 kg 6,46 7,66 Laske edellä olevat hintaindeksi vuodelle 988 käyttäen perusvuotena vuotta 983. Vastaus: P A 0 9, 5, P G 0 7, 9, P H 0 6, 6. Hintaindeksien laskemisessa ei oteta huomioon kulutuksen määrää. Volyymi-indeksiluvut Aritmeettinen volyymi-indeksi on Q A 0t = 00 n q jt q j0. (2) Geometrinen hintaindeksi on ( n Q G q ) jt /n 0t = 00. (22) q j0 2

22 Harmoninen hintaindeksi on Q H 0t = 00 n q jt /q j0 = 00n. (23) q j0 q jt Esimerkki 6.2. Viiden hyödykkeen kulutusmääriä vähittäiskaupassa: Hyödyke Yksikkö Määrä 983 Määrä 988 q 0 q maito litra peruna 2,5 kg sokeri kg tomaatti kg 7 8 kahvi 0,5 kg 0 Laske edellä olevat volyymi-indeksi vuodelle 988 käyttäen perusvuotena vuotta 983. Vastaus: Q A 0 0, 93, QG 0 0, 9, QH 0 0, Keskilukumallin painotetut indeksiluvut Painotetut hintaindeksiluvut Hyödykkeen kulutuksen arvo on hinnan ja kulutusmäärän tulo. Keskilukumallin painotetut indeksiluvut saadaan laskettua hinta-/määräsuhteiden painotettuina keskiarvoina. Painoina voidaan käyttää mm.. perusvuoden kulutuksen arvoja p i0 q i0 ; 2. vertailuvuoden kulutuksen arvoja p in q in ; 3. jonkin muun vuoden kulutuksen arvoja p it q it ; 4. useamman vuoden kulutuksen arvojen yhdistelyjä (keskiarvoa). Aritmeettinen hintaindeksi, kun painoina ovat perusvuoden kulutuksen ar- 22

23 vot, on P A 0t = 00 (p j0 q j0 ) pjt p j0 = 00 p j0 q j0 p jt q j0. (24) p j0 q j0 Geometrinen hintaindeksi, kun painoina ovat vertailuvuoden kulutuksen arvot, on ( n ( P0t G pjt ) ) pjtq jt n = 00 p jtq jt. (25) p j0 Harmoninen hintaindeksi, kun painoina ovat perusvuoden ja vertailuvuoden kulutuksen arvojen keskiarvot, on P H 0t = 00 p j0 q j0 + p jt q jt 2 ( v j pj0 ) p it. (26) Painotetut volyymi-indeksiluvut Painotetaan hyödykkeen kulutuksen määrän merkitystä kulutuksen arvon perusteella. Aritmeettinen volyymi-indeksi, kun painoina ovat perusvuoden kulutuksen arvot, on (p j0 q j0 ) qjt p j0 q jt q Q A j0 0t = 00 = 00. (27) p j0 q j0 p j0 q j0 Geometrinen volyymi-indeksi, kun painoina ovat perusvuoden ja vertailuvuoden kulutuksen arvojen keskiarvot, on ( n Q G 0t = 00 ) pj0qj0+pjtqjt ) 2 q j0 ( qjt n p j0 q j0 +p jt q jt 2. (28) 23

24 Harmoninen volyymi-indeksi, kun painoina ovat vertailuvuoden kulutuksen arvot, on p jt q jt p jt q jt Q H 0t = 00 p jt q jt qj0 q jt = 00. (29) p jt q j0 Esimerkki 7.. Laske aritmeettinen hintaindeksi Esimerkille 6. ja geometrinen volyymi-indeksi Esimerkille 6.2, kun painoina ovat perusvuoden kulutuksen arvot. Vastaus: 88, 3 ja 87, 4. 8 Kokonaislukumallit Kokonaislukumallit muodostetaan laskemalla hyödykkeiden määriä ja hintoja sopivasti yhteen. Hintaindeksiluvut Hintojen painotettu kokonaissumma, kun painoina ovat hyödykkeiden kulutetut tai tuotetut määrät q i, on P 0t = 00 p jt q j. (30) p j0 q j Painoina q j voidaan käyttää mm.. perusvuoden kulutuksen määriä q j0 ; 2. vertailuvuoden kulutuksen määriä q jt ; 3. jonkin muun, yhden tai useamman vuoden kulutuksen määriä. Laspeyresin hintaindeksi 24

25 Valitaan hintojen painoiksi q j hyödykkeiden perusvuoden kulutuksen määrät: p jt q j0 Paaschen hintaindeksi P L 0t = 00. (3) p j0 q j0 Valitaan hintojen painoiksi q j hyödykkeiden kulutuksen määrät vertailuvuonna: p jt q jt P P 0t = 00 Marshall-Edgeworthin hintaindeksi. (32) p j0 q jt Valitaan hintojen painoiksi q j perusvuoden ja vertailuvuoden kulutuksen määrien keskiarvot: P ME 0t = 00 p jt (q j0 + q jt ). (33) p j0 (q j0 + q jt ) Volyymi-indeksiluvut Kokonaislukumallin volyymi-indeksiluvut eli määrää kuvaavat indeksiluvut saadaan vastaavasti kuin hintaindeksit valitsemalla nyt määrien painoiksi hinnat p j samalla periaatteella. Laspeyresin volyymi-indeksi Valitaan kulutusmäärien painoiksi p j hyödykkeiden perusvuoden hinnat: Q L 0t = 00 q jt p j0. (34) q j0 p j0 25

26 Paaschen volyymi-indeksi Valitaan kulutusmäärien painoiksi p j hyödykkeiden hinnat vertailuvuonna: q jt p jt Q P 0t = 00. (35) q j0 p jt Marshall-Edgeworthin volyymi-indeksi Valitaan kulutusmäärien painoiksi p j perusvuoden ja vertailuvuoden hintojen keskiarvot: Q ME 0t = 00 q jt (p j0 + p jt ). (36) q j0 (p j0 + p jt ) Esimerkki 8.. Määrää Laspeyresin, Paaschen ja Marshall-Edgeworthin hintaja volyymi-indeksiluvut Esimerkissä Keskilukumallin ja kokonaislukumallin yhteys Laspeyresin hintaindeksi on aritmeettinen hintaindeksi, jonka painoina ovat perusvuoden kulutuksen arvot (hinnan ja määrän tulo). Paaschen hintaindeksi on harmoninen hintaindeksi, jonka painoina ovat vertailuvuoden kulutuksen arvot. Vastaavat tulokset pätevät myös volyymi-indekseille. 0 Fisherin indeksikriteerit Seuraavien kriteerien yhteydessä indeksien arvot ovat suhdelukuja eivätkä prosenttilukuja (esim.,26 eikä 26). Kriteerit jaetaan kolmeen ryhmään.. Peruskriteerit Identiteettikriteeri: P tt =. 26

27 -Jos vuotta verrataan itseensä, niin indeksin mukaan muutosta ei ole tapahtunut. Suhdekriteeri: Jos p jt = λ p j0 kaikille hyödykkeille j, missä λ on vakio, niin P 0t = λ. -Jos kaikki hinnat muuttuvat samassa suhteessa, niin indeksin tulee osoittaa ko. suhde. Yksikön vaihtokriteeri: P 0t on riippumaton raha- tai määräyksiköistä. Esimerkki 0.. Laspeyresin hintaindeksi toteuttaa edellä mainitut ehdot. 2. Transitiivisuuskriteerit Ajankääntökriteeri: P 0t = P t0 eli P 0t P t0 =. (37) Ketjutuskriteeri: P 0s P st = P 0t, missä s t. (38) Esimerkki 0.2. Tavallinen geometrinen hintaindeksi toteuttaa transitiivisuuskriteerit. 3. Kertomakriteeri P 0t Q 0t = V 0t, (39) missä P 0t on hintaindeksi, Q 0t on volyymi-indeksi ja V 0t = p jt q jt p j0 q j0 on arvoindeksi, joka ilmoittaa kulutuksen arvosuhteen. Mikään käsitellyistä indekseistä ei toteuta kertomakriteeriä. Kertomakriteerin avulla voidaan tutkia eri indeksien luotettavuutta vertaamalla tuloa P 0t Q 0t ihannearvoon V 0t. Esimerkki 0.3. Tutkitaan Esimerkin 8. indeksien luotettavuutta. Fisherin ihanneindeksit P F 0t = P0t L P 0t P (hintaindeksi) (40) 27

28 Q F 0t = Q L 0t QP 0t (volyymi-indeksi) (4) Esimerkki 0.4. Laske Esimerkin 7. hyödykkeille Fisherin ihanneindeksit. Kevään 203 kaksi viimeistä luentoa Lyhimmän takaisinmaksuajan menetelmä Perusajatuksena on lyhyesti Kuinka nopeasti investointi maksaa itsensä takaisin? Jos korkoa ei huomioida, niin takaisinmaksuaika (vuosina) on hankintamenot vuosittaiset nettotuotot Esimerkki.. Investoinnin hankintamenot ovat euroa ja arvioitu vuotuinen nettotuotto euroa. Takaisinmaksuaika on tällöin = 7, 4 vuotta. Menetelmä painottaa investoinnin rahoitusvaikutuksia ja sen käyttö suosii investointeja, joihin sidottu pääoma kertyy nopeasti takaisin, Menetelmä ei kuitenkaan välttämättä ilmaise investoinnin todellista kannattavuutta, koska se ei ota huomioon takaisinmaksuajan jälkeisiä tapahtumia. Käytännössä investointi voi olla kannattava juuri siksi, että siitä saadaan nettotuottoja pitkään. Menetelmää kuitenkin käytetään yleisesti sen helppouden vuoksi. Korko voidaan ottaa huomioon käyttämällä diskonttaustekijää. Esimerkki.2. Investoinnin hankintamenot ovat euroa, arvioitu vuotuinen nettotuotto on euroa ja laskentakorkokanta 7 % pa. Jaksollisten maksujen diskonttaustekijä on a n,i = ( + i)n i ( + i) n. Tarkoituksena on siis ratkaista aika n, jolloin diskontatut vuosituotot antavat hankintahinnan, eli 4000 Tästä saadaan n 0, 24 vuotta., 07 n n 0, 07, 07 n =

29 Tuottoastemenetelmä Tuottoastemenetelmä on yksinkertaistettu efektiivisen korkokannan menetelmä. Tarkoituksena on selvittää investoinnin tuottoprosentti. Tämä lasketaan vuotuiset nettotuotot keskimäärin investointiin sidottu pääoma keskimäärin. Tässä investointiin sidottu pääoma keskimäärin on hankintamenot+jäännösarvo. 2 Tässä menetelmässä ei oteta huomioon suoritusten eriaikaisuutta. Tätä puutetta voidaa eliminoida ottamalla huomioon investoinnin vuotuinen poisto, joka on hankintamenot-jäännösarvo. investoinnin pitoaika Esimerkki.3. Investoinnin hankintahinta on euroa, jäännösarvo on euroa, arvioutu vuotuinen nettotuotto on euroa ja pitoaika 8 vuotta. Investoinnin sitoma pääoma keskimäärin on Jos poistoja ei huomioida, niin tuottoaste on Vuotuinen poisto on = = 25, 5% = 250. Poistot huomioimalla tuottoasteeksi tulee = 5% Jos tavoitetuotto on esim. 7 %, niin tämän menetelmän pohjalta investointi ei ole kannattava. Kustannus- ja tuottofunktio Jos yritys valmistaa jossain aikayksikössä x kpl tuotteita ja kokonaiskustannukset (kiinteät + muuttuvat kustannukset) ovat K(x), niin yksikkökustannus on K(x) x. 29

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun

Lisätiedot

10.8 Investoinnin sisäinen korkokanta

10.8 Investoinnin sisäinen korkokanta 154 108 Investoinnin sisäinen korkokanta Investoinnin sisäinen korkokanta on se laskentakorko, jolla investoinnin nettonykyarvo on nolla Investointi on tuottava (kannattava), jos sen sisäinen korkokanta

Lisätiedot

Tasaerälaina ja osamaksukauppa

Tasaerälaina ja osamaksukauppa Tasaerälaina ja osamaksukauppa Merkintöjä Yleensä laskussa lähdetään todellisesta vuosikorosta. Merkitään todellista vuosikorkokantaa kirjaimella i a, jolloin vuosikorkotekijä on (1 + i a ). Merkintöjä

Lisätiedot

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 SISÄLTÖ 1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN 7 1.1 Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 1.2 Yhtälöitä 29 Epäyhtälö 30 Yhtälöpari 32 Toisen

Lisätiedot

Indeksit: muodostus ja käyttö. Tilastokoulu 11.4.2016 Satu Ruotsalainen / Tilastokeskus satu.ruotsalainen@stat.fi

Indeksit: muodostus ja käyttö. Tilastokoulu 11.4.2016 Satu Ruotsalainen / Tilastokeskus satu.ruotsalainen@stat.fi Indeksit: muodostus ja käyttö Tilastokoulu 11.4.2016 Satu Ruotsalainen / Tilastokeskus satu.ruotsalainen@stat.fi Sisältö 1. Indeksin määritelmä ja esimerkkejä 2. Erilaisia indeksejä, Tilastokeskuksen tuottamat

Lisätiedot

Kertausta Talousmatematiikan perusteista

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Kertausta Talousmatematiikan perusteista Ensimmäinen välikoe luokittelu 1. asteen yhtälö 1. asteen epäyhtälö 2. asteen yhtälö 2. asteen epäyhtälö Prosentti Määritelmä "b on p a a:sta." b = p 100 a p% =

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

Tentissä saa olla mukana vain muistiinpanovälineet ja laskin. Laskut erilliselle konseptille, vastaus selkeästi näkyviin!!! Palauta tenttipaperi!!

Tentissä saa olla mukana vain muistiinpanovälineet ja laskin. Laskut erilliselle konseptille, vastaus selkeästi näkyviin!!! Palauta tenttipaperi!! 1 School of Business and Management Yliopisto-opettaja, Tiina Sinkkonen Opiskelijanumero ja nimi: CS31A0101 KUSTANNUSJOHTAMISEN PERUSKURSSI Tentti 01.02.2016 Tentissä saa olla mukana vain muistiinpanovälineet

Lisätiedot

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe 1 Parametrit D Kysyntä (kpl/vuosi) h Yksikköylläpito-kustannus (euro/kpl/vuosi) K Tilauskustannus (euro) Tarkista aina yksiköiden yhteensopiminen

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Korko ja inflaatio Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Sisältö Nimellis ja reaalikorot, Fisher yhtälö Lyhyt ja pitkä korko Rahapolitiikka ja korot Korko ja inflaatio Nimellinen korko i: 1 tänä vuonna

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe 1 päätösmuuttujat (x 1,x 2,...) tavoitefunktio (z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +...) rajoitteet (a i1 x 1 + a i2 x 2 + b i ) Mallin Formaatti käypä alue Optimipisteen

Lisätiedot

Opiskelijanumero ja nimi:

Opiskelijanumero ja nimi: 1 LUT School of Business and Management Yliopisto-opettaja, Tiina Sinkkonen Opiskelijanumero ja nimi: CS31A0101 KUSTANNUSJOHTAMISEN PERUSKURSSI Tentti 22.10.2015 Tentissä saa olla mukana vain muistiinpanovälineet

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

Kauppakorkean pääsykoe 2016 / Ratkaisut Johtaminen ja markkinointi

Kauppakorkean pääsykoe 2016 / Ratkaisut Johtaminen ja markkinointi Kauppakorkean pääsykoe 2016 / Ratkaisut Johtaminen ja markkinointi 1. / Ratk: Osio 1 / Epätosi; Ei, vaan tällöin vallitsevaa ihmiskuvaa on kuvattu mekanistiseksi (s.1). Osio 2 / Epätosi; Ei, vaan tällöin

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Tamprn ksäyliopisto, 2015-2016 Talousmatmatiikan prustt, ORMS1030 1. väliko, (ti 15.12.2015) Ratkais 3 thtävää. Kokssa saa olla mukana laskin (myös graafinn laskin on sallittu) ja taulukkokirja (MAOL tai

Lisätiedot

Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9

Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9 Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9 (1) Yritys Valmistaa kuukaudessa q tuotetta. Kysyntäfunktio on p = 15 0, 05q ja kustannusfunktio on C(q) = 350 + 2q + 0, 05q 2. a) Yritys valmistaa nyt tuotteita kuukaudessa

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

Metsän arvostuskysymykset yhteismetsän laajentuessa liittymisten kautta. Arvokäsitteitä

Metsän arvostuskysymykset yhteismetsän laajentuessa liittymisten kautta. Arvokäsitteitä Metsän arvostuskysymykset yhteismetsän laajentuessa liittymisten kautta MML 3.5.2010 Eero Autere (MH) Raito Paananen Metsävaratietoasiantuntija (MMM, LKV) 5.5.2010 1 5.5.2010 2 Arvokäsitteitä Käyttöarvo

Lisätiedot

Vaihdettavat valuutat klo 15.30

Vaihdettavat valuutat klo 15.30 HAAGA-HELIA HARJOITUS 4/Ratkaisut s. / 6 Liike-elämän matematiikka Syksy 20 Käytä tehtävissä tarvittaessa alla olevia valuuttakursseja. Kurssit ilmaisevat yhden euron arvon kyseisessä valuuttayksikössä.

Lisätiedot

Millainen on Osuuspankin asuntopalvelu?

Millainen on Osuuspankin asuntopalvelu? Millainen on Osuuspankin asuntopalvelu? 1 Mistä asuntopalvelumme koostuu? Olitpa sitten hankkimassa ensimmäistä omaa kotia tai vaihtamassa nykyistä, saat meiltä juuri sinulle sopivan asuntolainan. Hoidamme

Lisätiedot

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g?

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? PERUSPROSENTTILASKUT Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? Kuinka paljon 12 % on 350 grammasta? 350 g 12 % % g 12 x 100 350 12 x 100 350 100

Lisätiedot

Yksikkökate tarkoittaa katetuottoa yhden tuotteen kohdalla. Tämä voidaan määrittää vain jos myytäviä tuotteita on vain yksi.

Yksikkökate tarkoittaa katetuottoa yhden tuotteen kohdalla. Tämä voidaan määrittää vain jos myytäviä tuotteita on vain yksi. KATETUOTTOLASKENTA laskennassa selvitetään onko liiketoiminta kannattavaa. Laskelmat tehdään liiketoiminnasta syntyvien kustannuksien ja tuottojen perusteella erilaisissa tilanteissa. laskennassa käytetään

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Mikä indeksissä muuttui

Mikä indeksissä muuttui Mikä indeksissä muuttui 17.2.2006 Mikä indeksissä muuttui! Perusvuosi! Kansallisen kuluttajahintaindeksin painorakenne! Yhdenmukaistetun kuluttajahintaindeksin painorakenne! Omistusasumisen mittaamistapa!

Lisätiedot

MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI

MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI 1a. Täydellisen kilpailun vallitessa yrityksen A tuotteen markkinahinta on 18 ja kokonaiskustannukset

Lisätiedot

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f

Lisätiedot

Kolme näkökulmaa kulutuksen muutoksiin. - trickle down - vuoden 2008 kulutuksen jakautumia - kulutus päästöinä

Kolme näkökulmaa kulutuksen muutoksiin. - trickle down - vuoden 2008 kulutuksen jakautumia - kulutus päästöinä Kolme näkökulmaa kulutuksen muutoksiin - trickle down - vuoden 2008 kulutuksen jakautumia - kulutus päästöinä Kulutuksen jakautumisen pitkä trendi Kansantalouden tilinpidon mukaan Kulutuksen jakautumisen

Lisätiedot

6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia

6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia 6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia Tässä luvussa esitellään muutama esimerkki, joissa käytetään hyväksi eksponentti-, logaritmi- sekä trigonometrisia funktioita. Ensimmäinen esimerkki juontaa juurensa

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f

Lisätiedot

Pisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät

Pisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0 Pisteytyssuositus Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 0..0 Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat

Lisätiedot

OKON KORKO 12 VI/2004 LAINAKOHTAISET EHDOT

OKON KORKO 12 VI/2004 LAINAKOHTAISET EHDOT OKON KORKO 12 VI/2004 LAINAKOHTAISET EHDOT Nämä lainakohtaiset ehdot muodostavat yhdessä Op-joukkovelkakirjaohjelman 6.5.2004 listalleottoesitteen yleisten ehtojen kanssa tämän lainan ehdot. Yleisiä ehtoja

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO. Bryssel, 27. heinäkuuta 2011 (27.07) (OR. en) 13263/11 CONSOM 133 SAATE

EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO. Bryssel, 27. heinäkuuta 2011 (27.07) (OR. en) 13263/11 CONSOM 133 SAATE EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO Bryssel, 27. heinäkuuta 2011 (27.07) (OR. en) 13263/11 CONSOM 133 SAATE Lähettäjä: Euroopan komissio Saapunut: 25. heinäkuuta 2011 Vastaanottaja: Neuvoston pääsihteeristö Kom:n

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

Voitonmaksimointi, L5

Voitonmaksimointi, L5 , L5 Seuraavassa tullaan systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä q = tuotannon määrä (quantity) (kpl/kk) p = tuotteen hinta (price) (e/kpl) R(q) = tuotto (revenue) R(q) = pq MR(q) = rajatuotto

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja.

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja. PROSENTTILASKUT Prosenttilaskuun ja sen sovelluksiin, jotka ovat kerto- ja jakolaskun sovelluksia, perustuu suuri osa kaikesta laskennasta, jonka avulla talousyksikön toimintaa suunnitellaan ja seurataan.

Lisätiedot

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0 BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

Makrotaloustiede 31C00200

Makrotaloustiede 31C00200 Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Kansantalouden tilinpito 1 Monisteen sisältö Kansantalouden tilinpito, BKT Nimelliset ja reaaliset suureet Logaritmiset luvut, indeksit Maksutase Taloudellisten muuttujien

Lisätiedot

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden

Lisätiedot

Maatalouden tuotantovälineiden ostohintaindeksi

Maatalouden tuotantovälineiden ostohintaindeksi Hinnat ja kustannukset 2010 Maatalouden tuotantovälineiden ostohintaindeksi 2010, 3. vuosineljännes Maatalouden tuotantovälineiden ostohinnat nousivat 5,1 prosenttia kolmannella vuosineljänneksellä Maatalouden

Lisätiedot

Maatalouden tuotantovälineiden ostohintaindeksi

Maatalouden tuotantovälineiden ostohintaindeksi Hinnat ja kustannukset 2012 Maatalouden tuotantovälineiden ostohintaindeksi 2012, 2. neljännes Maatalouden tuotantovälineiden ostohinnat nousivat prosenttia toisella vuosineljänneksellä Korjattu 24.8.2012.

Lisätiedot

Rahavirtojen diskonttaamisen periaate

Rahavirtojen diskonttaamisen periaate Rahavirtojen diskonttaamisen periaate TU-C1030 Laskelmat liiketoiminnan päätösten tukena Luento 14.1.2016 I vaiheen luentokokonaisuus INVESTOINNIN KANNATTAVUUS YRITYKSEN KANNATTAVUUS 1. Vapaa rahavirta

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

LASKENTATOIMEN JA RAHOITUKSEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT

LASKENTATOIMEN JA RAHOITUKSEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT LASKENTATOIMEN JA RAHOITUKSEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT 1. Yrityksen sidosryhmät 1. Mitä tarkoittaa yrityksen sidosryhmä? Luettele niin monta sidosryhmää kuin muistat. 2. Ketkä käyttävät ylintä päätösvaltaa osakeyhtiössä?

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot

Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot Luvut 20 ja 21 Marita Laukkanen November 3, 2016 Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 1 / 17 Kustannusten minimointiongelma

Lisätiedot

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 2 ermiini- ja futuurihintojen määräytyminen 1. ermiinien hinnoittelusta Esimerkki 1 Olkoon kullan spot -hinta $ 300 unssilta, riskitön korko 5 % vuodessa

Lisätiedot

Kausihuonelaskelma

Kausihuonelaskelma Kausihuonelaskelma 16.12.2014 Markku Kajalo, Oulun yliopisto/kajaanin yliopistokeskus, Sotkamo Taustatietoja kausihuoneinvestoinnin laskelmalle Esimerkkinä tuoreena myyty vadelma. Kausihuoneen tarvikekustannus

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

ENNAKKOTEHTÄVÄ 2016: Maisterivaiheen haku, tuotantotalous

ENNAKKOTEHTÄVÄ 2016: Maisterivaiheen haku, tuotantotalous Tampereen teknillinen yliopisto 1 (5) ENNAKKOTEHTÄVÄ 2016: Maisterivaiheen haku, tuotantotalous Yleiset valintaperusteet Tuotantotalouden hakukohteessa kaikkien hakijoiden tulee palauttaa ennakkotehtävä.

Lisätiedot

2. Kuvan esim. prosessin ISBL-laitteiden hinnat ( ) paikalle tuotuina FA-2 DA-1 GA-3

2. Kuvan esim. prosessin ISBL-laitteiden hinnat ( ) paikalle tuotuina FA-2 DA-1 GA-3 CHEM-C2110 Materiaalitekniikan teolliset prosessit (5 op) 3. Laskuharjoitus (Prosessin investointi ja kannattavuus) Sarwar Golam, TkT. Yliopistonlehtori, A! Tehdassuunnittelu 1. Lämmönsiirrin (ala 40 m

Lisätiedot

1 PROSENTTILASKENTAA 7

1 PROSENTTILASKENTAA 7 SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö

Lisätiedot

2.1 Kertaus prosenttilaskennasta

2.1 Kertaus prosenttilaskennasta Verotus 2.1 Kertaus prosenttilaskennasta 1. Alennukset yhteensä 1500 + 800 = 2300 Alennusprosentti 2300 0,184 18,4% 12500 Vastaus: Alennus 18,4 % 2. Reetun alennusprosentti: 99,90 0,8649... 115,50 alennusprosentti100%

Lisätiedot

KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN

KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN 00 N:o 22 LIITE KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN. Positioriskin laskemisessa käytettävät määritelmät Tässä liitteessä tarkoitetaan: arvopaperin nettopositiolla samanlajisen arvopaperin pitkien

Lisätiedot

Jos Q = kysytty määrä, Q = kysytyn määrän muutos, P = hinta ja P = hinnan muutos, niin hintajousto on Q/Q P/P

Jos Q = kysytty määrä, Q = kysytyn määrän muutos, P = hinta ja P = hinnan muutos, niin hintajousto on Q/Q P/P Osa 5. Joustoista Kysynnän hintajousto (price elasticity of demand) mittaa, miten kysynnän määrä reagoi hinnan muutokseen = kysytyn määrän suhteellinen muutos jaettuna hinnan suhteellisella muutoksella

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 206 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 5. harjoitus, viikko 7 5. 9.2.206 R ma 0 2 F455 R5 ti 0 2 F9 R2 ma 4 6 F455 R6 to 2 4 F455 R3 ti 08 0 F455 R7 pe 08 0 F455 R4 ti 2 4 F455

Lisätiedot

Tiehallinto Parainen - Nauvo yhteysvälin kannattavuus eri vaihtoehdoilla. Raportti 10.12.2008

Tiehallinto Parainen - Nauvo yhteysvälin kannattavuus eri vaihtoehdoilla. Raportti 10.12.2008 Tiehallinto Parainen - Nauvo yhteysvälin kannattavuus eri vaihtoehdoilla Raportti 10.12.2008 Sisällysluettelo 1.Johdanto 2.Yhteenveto 3.Tunnelivaihtoehdon kuvaus 4.Siltavaihtoehdon kuvaus 5.Lauttavaihtoehdon

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Jyväskylän yliopisto

Matematiikan peruskurssi. Jyväskylän yliopisto Matematiikan peruskurssi Jyväskylän yliopisto 017 Sisältö 1 Finanssimatematiikkaa 3 11 Lukujonot ja summat 3 111 Aritmeettinen lukujono ja summa 5 11 Geometrinen lukujono ja summa 8 1 Korkolaskuja 10 11

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Omakotitalojen hinnat laskivat heinä syyskuussa 1,4 prosenttia

Omakotitalojen hinnat laskivat heinä syyskuussa 1,4 prosenttia Asuminen 2012 Kiinteistöjen hinnat 2012, 3. vuosineljännes Omakotitalojen hinnat laskivat heinä syyskuussa 1,4 prosenttia Omakotitalojen hinnat laskivat vuoden 2012 kolmannella neljänneksellä koko maassa

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Monopoli. Tommi Välimäki S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu

Monopoli. Tommi Välimäki S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu Monopoli Tommi Välimäki 29.1.2003 Peruskäsitteitä: kysyntä ja tarjonta Hyödykkeen arvo kuluttajalle on maksimihinta, jonka hän olisi siitä valmis maksamaan Arvon raja-arvo vähenee määrän funktiona, D=MV

Lisätiedot

Luku 21 Kustannuskäyrät

Luku 21 Kustannuskäyrät Luku 2 Kustannuskärät Edellisessä luvussa johdimme ritksen kustannusfunktion minimoimalla ritksen tuotannon kokonaiskustannuksia. Kustannusfunktiota ja sen ominaisuuksia voidaan tarkastella graafisesti

Lisätiedot

Näissä ehdoissa määritellään ne ehdot, joilla Risicum Oyj (myöhemmin luotonantaja) myöntää lainan (50 1000 ) asiakkailleen.

Näissä ehdoissa määritellään ne ehdot, joilla Risicum Oyj (myöhemmin luotonantaja) myöntää lainan (50 1000 ) asiakkailleen. 1. Yleistä Näissä ehdoissa määritellään ne ehdot, joilla Risicum Oyj (myöhemmin luotonantaja) myöntää lainan (50 1000 ) asiakkailleen. 2. Lainan myöntämisen yleiset edellytykset Luotonantaja voi myöntää

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

sama kuin liikkeeseenlaskijan muilla vakuudettomilla sitoumuksilla Nordea Pankki Suomi Oyj:n Structured Products -yksikkö

sama kuin liikkeeseenlaskijan muilla vakuudettomilla sitoumuksilla Nordea Pankki Suomi Oyj:n Structured Products -yksikkö Lainakohtaiset ehdot Nordea Pankki Suomi Oyj 11/2003 Erillisjoukkovelkakirjalaina Nordea Pankki Suomi Oyj:n joukkovelkakirjaohjelman lainakohtaiset ehdot Nämä lainakohtaiset ehdot muodostavat yhdessä Nordea

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

Monitavoiteoptimointi

Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointi Useita erilaisia tavoitteita, eli useita objektifunktioita Tavoitteet yleensä ristiriitaisia ja yhteismitattomia Optimaalisuus tarkoittaa yleensä eri asiaa kuin yksitavoitteisessa

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Rahoituksen rahavirta *Lyhytaik.lainojen lisäys/vähenn 0,7 0,0 *Lainojen takaisinmaksut -90,0-90,0 *Omien osakkeiden hankinta 0,0-89,3 0,0-90

Rahoituksen rahavirta *Lyhytaik.lainojen lisäys/vähenn 0,7 0,0 *Lainojen takaisinmaksut -90,0-90,0 *Omien osakkeiden hankinta 0,0-89,3 0,0-90 RAHOITUSLASKELMA (1000 euroa) VUODELTA 2016 Liiketoiminnan rahavirta *Myynnistä ja muista liiketoim. tuotoista saadut maksut 957,8 989,4 *Maksut liiketoiminnan kuluista -865,2-844,3 *Saadut korot 0,5 0,8

Lisätiedot

Ravintola-alalla kasvatetaan lisäarvoa

Ravintola-alalla kasvatetaan lisäarvoa Ravintola-alalla kasvatetaan lisäarvoa Saska Heino Helsingin Sanomat uutisoi jokin aika sitten siitä, kuinka Helsingin huippuravintoloissa vallitsevan yleisen käsityksen mukaan korvaukseton työ kuuluu

Lisätiedot

Valtion tuottavuustilasto 2007

Valtion tuottavuustilasto 2007 Julkinen talous 2008 Valtion tuottavuustilasto 2007 Valtion tuottavuuden kasvu hidastui vuonna 2007 Valtion virastojen ja laitosten tuottavuuskehitys heikkeni vuonna 2007 edellisvuoteen verrattuna. Työn

Lisätiedot

Stokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely)

Stokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely) Stokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely) Esitelmöijä Olli Rentola päivämäärä 21.1.2013 Ohjaaja: TkL Anssi Käki Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena

Lisätiedot

TU Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2016

TU Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2016 TU-91.1001 Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2016 5. www-harjoitusten mallivastaukset Tehtävä 1 Ratkaistaan tasapainopiste yhtälöparista: P = 25-2Q P = 10 + Q Ratkaisu on: Q = 5, P = 15 Kuluttajan ylijäämä

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot