1 Prosenttilaskua 3. 2 Yksinkertainen korkolasku 4. 3 Diskonttaus 6. 4 Koronkorko 8. 5 Korkokannat 9. 6 Jatkuva korko Jaksolliset suoritukset 11

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1 Prosenttilaskua 3. 2 Yksinkertainen korkolasku 4. 3 Diskonttaus 6. 4 Koronkorko 8. 5 Korkokannat 9. 6 Jatkuva korko 10. 7 Jaksolliset suoritukset 11"

Transkriptio

1 Sisältö Prosenttilaskua 3 2 Yksinkertainen korkolasku 4 3 Diskonttaus 6 4 Koronkorko 8 5 Korkokannat 9 6 Jatkuva korko 0 7 Jaksolliset suoritukset 8 Luotot ja korkolasku 2 8. Annuiteettiperiaate Lainan kuolettaminen ja efektiivinen korkokanta Keskimaksuhetki ja todellinen vuosikorko 4 0 Investointilaskelmia 5 Indeksiteoriaa 6 Keskiarvoista 6 2 Indeksiluvun käsite 7 3 Kuluttajahintaindeksi 8 4 Aikasarjan deflatointi ja inflatointi 9

2 5 Indeksiluvun muodostaminen 20 6 Keskilukumalli 20 7 Keskilukumallin painotetut indeksiluvut 22 8 Kokonaislukumallit 24 9 Keskilukumallin ja kokonaislukumallin yhteys 26 0 Fisherin indeksikriteerit 26 Kevään 203 kaksi viimeistä luentoa 28 2

3 I Finanssimatematiikka Prosenttilaskua Jos luku a kasvaa p prosenttia (%), niin uusi arvo on a + p 00 a = ( + p 00 ) a. Vastaavasti jos luku a vähenee p prosenttia, niin uusi arvo on a Lisäksi p prosenttia luvusta a on p 00 a = ( p 00 ) a. p 00 a. Esimerkki.. Paljonko 500 euron tuote maksaa 5 % alennusmyynnissä? Vastaus: 275 euroa. Montako prosenttia luku a on luvusta b? a b 00%. Esimerkki.2. Montako prosenttia luku a on luvusta b, kun a) a = 5 ja b = 90? b) a = 90 ja b = 5? Vastaus: a) 6,7 % b) 600 %. Kuinka monta % luku a on suurempi (pienempi) kuin luku b: a b b 00%. Esimerkki.3. a) Kuinka monta prosenttia luku 60 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta prosenttia luku 25 on pienempi kuin 75? c) Kuinka monta prosenttia luku 20 on pienempi kuin 60? Vastaus: a) 700 % b) 85,7 % c) 87,5 % 3

4 Esimerkki.4. a) Mistä luvusta 24 on 32 %? b) Mitä lukua 80 on 20 % pienempi? c) Mikä luku on 5 % suurempi kuin 50? d) Mikä luku on 0 % pienempi kuin luku 30? e) Mikä luku on 32 % luvusta 24? Vastaus: a) 75 b) 00 c) 57,5 d) 27 e) 7,58 2 Yksinkertainen korkolasku Korko on korvaus lainaksi saadusta/annetusta rahapääomasta (luotosta tai talletuksesta). Korkokanta i on prosenttiluku, joka ilmoittaa kuinka monta prosenttia pääoma kasvaa korkoa korkojakson aikana korkojakso korkokanta vuosi i pa. (per annum) 6 kk i ps. (per semester) 3 kk i pq. (per quartal) kk, 2 kk i per kk, i per 2 kk Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua sovelletaan yhden korkojakson sisällä. Pääoma ajanhetkellä t on K t = K 0 ( + it), () missä K 0 = alkupääoma (ajanhetkellä t = 0), i = korkokanta, t = jaksosta kulunut aika korkojakson pituus (0 t ). Korko hetkellä t on K t K 0 = K 0 it. Korkojakson lopussa korko liitetään pääomaan eli realisoidaan. Uusi pääoma toimii seuraavan korkojakson alkupääomana. 4

5 Esimerkki 2.. Talletetaan euroa 6 % vuosikorolla (6 % pa.). Määrää talletuksen arvo a) vuoden kuluttua. b) 8 kuukauden kuluttua. c) 6 kuukauden kuluttua. d) 6 kuukauden kuluttua ilman, että korko realisoidaan pääomaan korkojakson lopussa. Vastaus: a) euroa b) euroa c) euroa d) euroa Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit, kun ne maksavat korkoa talletuksille (yleensä). Toimenpidettä, jossa määrätään pääoman kasvavia arvoja siirryttäessä ajassa eteenpäin, kutsutaan prolongoimiseksi. Sanotaan myös, että pääoma siirretään ajassa eteenpäin. Esimerkki 2.2. Mikä on alkupääoman euroa arvo 0 kuukauden kuluttua, kun korkokanta on a) 8 % pa. b) 5 % ps. c) 5 % ps., mutta korkoa ei realisoida korkojakson lopussa. Vastaus: a) euroa b) 9530 euroa c) euroa Esimerkki 2.3. Mikä korkokanta i % pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa. Vastaus: 28 % pa. Esimerkki 2.4. Missä ajassa pääoma kasvaa 8 %, kun korkokanta on a) 0 % pa. b) 5 % ps. Vastaus: a) 9,6 kk b) 9,4 kk 5

6 3 Diskonttaus Mitä jos halutaan määrätä tunnettua (tulevan) ajanhetken t > 0 pääomaa K t vastaava alkupääoman arvo K 0? Toimenpide on virallinen diskonttaus (pääoma siirretään ajassa taaksepäin). Virallinen diskonttaus Ratkaistaan K 0 yhtälöstä (), jolloin saadaan missä K 0 = K t + it, (2) K 0 = pääoman K t diskontattu arvo eli nykyarvo, i = diskonttauskorkokanta, t = jaksosta kulunut aika korkojakson pituus (0 t ). Kuten yksinkertainen korkolasku, kaavan (2) mukainen diskonttaus toimii ainoastaan yhden korkojakson sisällä. Kun t 0, niin pääoman muutos eli diskontto on K t = K t ( it ). + it Korko ja diskontto ovat samat. Näin ollen prolongointi yksinkertaisella korkolaskulla ja virallinen diskonttaus ovat käänteisiä toimituksia. Esimerkki 3.. Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8 % pa. arvoon euroa? Vastaus: 45 euroa. Esimerkki 3.2. Mikä rahasumma kasvaa 5 kuukaudessa korkokannalla 8 % pa. arvoon euroa? Vastaus: 8 55,4 euroa (diskontataan osissa). Käytännön pankkitoiminnassa virallinen diskonttaus on käytössä sijoitustodistusten kaupassa (ns. eurooppalainen diskonttaus). Sijoitustodistus on pankin liikkeelle laskema velkakirja (hinta K 0 ), jonka haltijalle pankki maksaa todistuksessa mainitun rahamäärän K t ajan t kuluttua. 6

7 Esimerkki euron sijoitustodistus erääntyy 8 kuukauden kuluttua. Määrää sen hinta, kun korkokanta on 5 % pa. Vastaus: 45 6 euroa. Vekselidiskonttaus Vekseleiden yhteydessä käytetään vekseli- eli kauppadiskonttausta missä K 0 = vekselin käteis- eli nykyarvo, K 0 = K t ( it), (3) K t = ajan t kuluttua erääntyvän vekselin nimellisarvo, i = diskonttauskorkokanta, t = jaksosta kulunut aika korkojakson pituus (0 t ). Vekselidiskontto on K t = K t K 0 = K t K t ( it) = K t it. Esimerkki 3.4. Vekseli, jonka nimellisarvo on euroa, erääntyy 5 kuukauden kuluttua. Mikä on käteisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 2 % pa.? Vastaus: euroa Esimerkki 3.5. Mikä olisi edellisen esimerkin vekselin nykyarvo virallisen diskonttauksen mukaan? Vastaus: 8 57 euroa Esimerkki 3.6. Vekseli, jonka käteisarvo on euroa, erääntyy 5 kuukauden kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 2 % pa.? Vastaus: 9 473,68 euroa (ratkaistaan K t yhtälöstä (3)) 7

8 4 Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa yhtälön () mukaisesti. Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan ja seuraavassa korkojaksossa pääoma määräytyy tästä uudesta alkupääomasta jne. Näin edellisen korkojakson tuottama korko kasvaa korkoa seuraavalla jaksolla. Syntyy ns. koronkorko. Jos alkupääoma on K 0 ja korkojaksoja on n kappaletta, niin pääoma n:nnen korkojakson lopussa on K n = K 0 ( + i) n, kun n =, 2,... (4) Vajaissa korkojaksoissa käytetään yksinkertaista korkolaskua. Jaksollinen diskonttaus Kun ratkaistaan alkupääoma K 0 yhtälöstä (4), niin saadaan missä K 0 = K n ( + i) n, (5) K n = pääoman arvo n korkojakson jälkeen, i = korkokanta, n = kokonaisten korkojaksojen lukumäärä. Yhtälön (5) mukaista toimenpidettä, jossa määrätään pääoman K n arvo n korkojaksoa ajassa taaksepäin, sanotaan jaksolliseksi diskonttaukseksi. Jaksollinen prolongointi ja jaksollinen diskonttaus ovat toistensa käänteisiä toimituksia. Esimerkki 4.. Mihin arvoon 000 euroa kasvaa 6 vuodessa, kun korkokanta on a) 4 % pa. b) 2 % ps. c) % pq. d) aika on 6,5 vuotta ja korkokanta on 4 % pa. Vastaus: a) 265 euroa b) 268 euroa c) 270 euroa d) 290,62 euroa Esimerkki 4.2. Millä korkokannoilla a) pa. b) ps. pääoma kolminkertaustuu 8 vuodessa? 8

9 Vastaus: a) 4,7 % pa. b) 7, % ps. Esimerkki 4.3. Olkoon alkupääoma euroa ja korkokanta 4 % ps. Tilille halutaan loppupääomaksi euroa. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Vastaus: 6 vuotta 6 kuukautta ja 5 päivää. Esimerkki 4.4. Loppupääomaksi halutaan euroa. Korkokanta on 4 % ps. ja talletusaika on 6 vuotta. Paljonko on alkupääoman oltava? Vastaus: euroa 5 Korkokannat Relatiiviset korkokannat Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia, jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde, ts. i j = p q. Relatiiviset korkokannat eivät anna samaa tuottoa pääomalle samassa ajassa. Konformiset korkokannat Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään konformiset, jos ne antavat saman tuoton (pääoma-arvon) kaikilla ajanhetkillä t, joka on korkojaksojen p ja q jokin monikerta. Jos korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat konformiset, niin ( + i) /p = ( + j) /q j = ( + i) q/p. (6) Esimerkki 5.. Määritä korkokannan 7 % per 0 kk kanssa a) konforminen neljännesvuosikorkokanta. b) relatiivinen neljännesvuosikorkokanta. Vastaus: a) 2,05 % pq. b) 2, % pq. 9

10 Esimerkki 5.2. Määritä korkokannalle 6 % pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. Vastaus: 2,96 % ps. 6 Jatkuva korko Miten korkolaskulle käy, jos korkojakson pituus lyhennetään mielivaltaisen pieneksi? Tällöin korkoa liitetään pääomaan jatkuvasti. Jatkuva prolongointi missä K 0 = alkupääoma, K t = pääoman arvo ajanhetkellä t, K t = K 0 e it, (7) i = korkointensiteetti jotakin aikaväliä d kohti (esim. 6 % pa.), t = (kulunut aika), t 0. d Jatkuva diskonttaus Ratkaistaan K 0 yhtälöstä (7), jolloin K 0 = K t e it = K t e it. (8) Jatkuva prolongointi ja jatkuva diskonttaus ovat toistensa käänteisiä toimituksia. Esimerkki 6.. Kuinka monta prosenttia suurempi on jatkuvan korkolaskun mukainen pääoma-arvo korkointensiteetillä 3 % pa. verrattuna tavanomaiseen koronkorkolaskuun korkokannalla 3 % pa. 8 vuoden kuluttua? Vastaus: 0,35 % Korkointensiteetin i (jatkuva korko) kanssa konforminen korkokanta ĩ normaalissa korkolaskussa (koronkorko) saadaan seuraavasti: i = ln( + ĩ) ĩ = e i. (9) 0

11 Esimerkki 6.2. Mikä on edellisen esimerkin korkointensiteetin konforminen korkokanta normaalissa (koronkorko) korkolaskussa? Vastaus: 3,05 % 7 Jaksolliset suoritukset Tarkastellaan maksusysteemiä, jossa on n kappaletta (yhtä pitkiä) jaksoja ja jokaisen jakson lopussa on toistuva maksu k. Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on K n = k ( + i)n = k A n,i, (0) i missä luku A n,i = ( + i)n i on jaksollisten maksujen prolongointitekijä. Systeemin pääoma-arvo alussa (t = 0) on missä K 0 = k ( + i)n i ( + i) n = k a n,i, () a n,i = ( + i)n i ( + i) n = A n,i ( + i) n on jaksollisten maksujen diskonttaustekijä. Jaksollisten suoritusten yhteydessä käytetään relatiivisia korkokantoja, ellei toisin mainita. Esimerkki 7.. Olkoon euroa vuoden lopussa toistuva maksu 2 vuoden ajan. Mikä on maksusysteemin a) alkuarvo (. vuoden alussa), b) loppuarvo (2. vuoden lopussa), kun korkokanta on 5 % pa. Vastaus: b) euroa a) euroa. Esimerkki 7.2. Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 2 vuodessa maksusysteemin loppuarvo olisi euroa, kun korkokanta on 6 % pa? Vastaus: 47,59 euroa.

12 8 Luotot ja korkolasku 8. Annuiteettiperiaate Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtana on yhtälö (). Nimellisarvoltaan K 0 suuruisen lainan, joka suoritetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannassa i, maksuerä k on k = K 0 i ( + i) n ( + i) n. (2) Kaavaa (2) voidaan käyttää määrättäessä maksuerä k systeemille, jossa nimellisarvon K 0 suuruinen laina maksetaan takaisin eli kuoletetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannan ollessa i. Kuoletus=lyhennys+korko. Yleensä annuiteettiluottojen yhteydessä käytetään relatiivisia korkokantoja. Esimerkki 8.. Kuinka suuren lainan pankki voi asiakkaalle myöntää, kun asiakas pystyy kuolettamaan luottoa vuosittain euroa, laina-aika on 0 vuotta ja korkokanta on 2 % pa. Vastaus: 282 5, euroa. Esimerkki 8.2. Mikä on 2 vuodeksi annetun euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 3 % pa. Vastaus: euroa. Esimerkki 8.3. Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen tehtävän lainalle? Vastaus: 4 24 euroa Esimerkki 8.4. Nimellisarvoltaan euron laina kuoletetaan 2 vuoden kuluessa korkokannalla 4 % pa. käyttäen puolivuosiannuiteetteja. Mikä on koron ja lyhennyksen osuus kussakin annuiteetissa? Vastaus: Puolivuosittainen kuoletus on euroa. 2

13 Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus Lyhennys Lyh. jälkeen Lainan kuolettaminen ja efektiivinen korkokanta Verrataan annuiteettiperiaatteella tapahtunutta lainan kuoletusta muihin tapoihin. Esimerkki 8.5. Nimellisarvoltaan euron laina kuoletetaan 2 vuoden kuluessa korkokannalla 4 % pa. käyttäen puolivuosittaisia tasalyhennyksiä. Määrää kuoletuserien suuruudet ja koron ja lyhennyksen osuus kussakin kuoletuksessa. Vastaus: Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus Lyhennys Lyh. jälkeen Esimerkki 8.6. Edellisen esimerkin laina kuoletetaan seuraavasti: euroa lyhennystä vuoden kuluttua ja kahden vuoden kuluttua. Määrää kuoletuserien suuruudet. Vastaus: Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus Lyhennys Lyh. jälkeen Efektiivinen korkokanta Olkoon M i maksuerä (kuoletus) ajanhetkellä t i. Diskontataan maksuerät M i alkuhetkeen t = 0 koronkorko-korkolaskun mukaisesti tuntemattomalla korkokannalla i e (efektiivinen korkokanta valittua korkojaksoa kohti). Asetetaan diskontattujen arvojen summa samaksi kuin lainan nimellisarvo L 3

14 (tai asiakkaan saama summa=nimellisarvo-kulut). Efektiivinen korkokanta i e on siis yhtälön M j L = ( + i e ) t. (3) j ratkaisu. Esimerkki euron laina kuoletetaan kahdessa vuodessa vuosiannuiteetein euroa. Laske efektiivinen korkokanta. Vastaus: 8 % pa. 9 Keskimaksuhetki ja todellinen vuosikorko Keskimaksuhetki on ajanhetki (tai korkoaika), jonka kuluttua voidaan suorittaa osamaksujen (esim. kuukausierien) summan suuruinen maksu ilman, että kummallekaan osapuolelle tulee korkotappioita. Keskimaksuhetki T saadaan yhtälöstä n T = a jt j n a, j missä a j on hetkellä t j erääntyvä maksuerä. Jos maksut ovat yhtäsuuret, eli a = a 2 =... = a n = k, niin n T = t j. n Jos maksut ovat yhtäsuuret ja tasaväliset, eli t j t j = d kaikilla j = 2, 3,..., n, niin T = t + t n. 2 Todellinen vuosikorko Käytetään seuraavia merkintöjä: K = luottomäärä = käteishinta käsiraha = se osa hinnasta, jolle luotto saadaan R = luottokustannukset T = keskimaksuhetki (yksikkönä vuosi) 4

15 Todellinen vuosikorko p saadaan keskimaksuhetken T ja maksusysteemin rahallisen arvon K + R avulla. Keskimaksuhetkellä pätee yhtäsuuruus joten K + R = K( + pt ), p = R K T. (4) Esimerkki euroa maksava tuote myydään osamaksuluotolla, jonka nimelliskorko on 2 % pa. ja luottoaika 3 vuotta. Maksu tapahtuu kuukausiannuiteetein. Mikä on luoton keskimaksuhetki? Mikä on luoton todellinen vuosikorko? Vastaus: Kuukausiannuiteetti 66 euroa, keskimaksuhetki T =, 547 v, todellinen vuosikorko p = 2, 7 %. 0 Investointilaskelmia Investointi=sijoitettujen varojen ja tuottojen muodostama kokonaisuus. Investoinnin kannattavuutta voidaan tutkia eri menetelmillä: ) Nykyarvomenetelmä Nykyarvo = alkuhetkeen diskontattu arvo. Tuotot ja kustannukset muutetaan nykyarvoiksi T NA ja KNA. Investointi on kannattava, jos T NA KNA. 2) Annuiteettimenetelmä Tuotot ja kustannukset muutetaan tasasuuruisiksi vuosimaksuiksi eli annuiteeteiksi T A ja KA. Investointi on kannattava, jos T A KA. 3) Efektiivisen korkokannan menetelmä Määritellään korkokanta i e, jolla T NA = KNA. Investointi on kannattava, jos i e tavoitekorkokanta. Esimerkki 0.. Koneen hankintahinta on euroa ja arvioutu käyttöikä 5 vuotta. Vuosittainen investointituotto on euroa ja käyttökustannukset euroa. Jäännösarvo on euroa ja laskentakorkokanta 5 % pa. Tutki, onko investointi kannattava. 5

16 II Indeksiteoriaa Keskiarvoista Olkoot x,..., x n reaalilukuja ja niiden painokertoimet v,... v n positiivisia reaalilukuja ja v = v v n. Aritmeettinen keskiarvo A = n x j = n (x x n ). Painotettu aritmeettinen keskiarvo A w = v v j x j = v (v x v n x n ), missä v j on luvun x j painokerroin. Geometrinen keskiarvo G = ( n ) /n x j = (x... x n ) /n = n x... x n. Tällöin log G = n n log x j. Painotettu geometrinen keskiarvo G w = ( n Tällöin log G w = v n v j log x j. Harmoninen keskiarvo H = x v ) j /v j = (x v... xvn n ) /v = v x v... xvn n. n x j kun x j 0 kaikilla j =,... n. Tällöin = n = x x n n H = n 6 x j., x j

17 Painotettu harmoninen keskiarvo H w = v v j x j = v kun x j 0 kaikilla j =,..., n. v v n x = x n v v j x j Esimerkki.. Laske lukujen 2, 4 ja 6 edellä mainitut keskiarvot, kun painoina ovat 3, 2 ja., Vastaus: A = 4, A w = 0/3 3, 33, G = , 63, G w = , 03, H = 36/ 3, 27, H w = 36/3. 2 Indeksiluvun käsite Indeksin avulla kuvataan jonkin ryhmän yhteisen suureen, eli muuttujan, kehitystä tilanteesta toiseen ilman, että tutkitaan erikseen jokaisen ryhmän jäsenen ko. suureen kehitystä. Tilanteet voivat olla eri ajanhetkiä, henkilöryhmiä tms. Erilaisia indeksejä ovat esimerkiksi. hintaindeksi, joka mittaa hinnan muutoksia; 2. volyymi-indeksi, joka mittaa määrän muutoksia; 3. arvoindeksi, joka mittaa arvonmuutoksia (esim. tuonti ja vienti eri vuosina). Indeksi kuvaa aina suhteellista muutosta johonkin peruskohtaan nähden. Peruskohdassa indeksi saa arvon. Tavallisesti indeksit ilmoitetaan prosentteina ja puhutaan indeksipisteistä. Tällöin peruskohdan arvoa vastaa indeksin pisteluku 00 (00 %). Esimerkki 2.. Suomen asuntotuotanto vuosina : Vuosi Valm. huoneistot Indeksi (982=00) 00 05,2 04,9 04,8 87,3 90,0 7

18 3 Kuluttajahintaindeksi Kuluttajahintaindeksi mittaa yksityisessä kulutuksessa käytettävien tavaroiden ja palveluiden hintakehitystä kahden ajankohdan välillä koko yksityisessä kulutuksessa (kokonaisindeksi) ja erikseen kulutuksen eri pääryhmissä. Kuluttajahintaindeksin kokonaisindeksiä käytetään tapahtuneen hintakehityksen kompensaatiotarkistuksiin (esim. palkat ja eläkkeet). Edelleen indeksiä käytetään hintatason ja rahan arvon muutosten osoittajana. Kuluttajahintaindeksin muutosprosentti (inflaatioprosentti) on maassa vallitsevan keskimääräisen inflaation mittari. Indeksin pisteluvut lasketaan kuukausittain kullekin pääryhmälle ns. Laspeyresin hintaindeksikaavalla ja nämä yhdistetään kokonaisindeksiin painotetun keskiarvon menetelmällä. Esimerkki 3.. Kuluttajahintaindeksi (985=00) Pääryhmä paino (%) Ravinto 8,7 2,0 6,6. Juomat ja tupakka 7,0 27,6 39,8 2. Vaatetus ja jalkineet 6,4 2,9 6,3 3. Asuminen, lämpö ja valo 8,4 23,0 33,3 4. Kotitalouskalusto ja tarvikkeet 6,9 6,9 22,3 5. Terveyden- ja sairaudenhoito 2,9 37,7 52,4 6. Liikenne 7,2 7,3 24,5 7. Vapaa-aika, virkistys ja koulutus 9,7 2,8 26,6 8. Muut tavarat ja palvelut 2,8 27,0 36,2 Kokonaisindeksi 00,0 20,0 27,5 Inflaatioprosentti Olkoot t ja t kaksi ajanhetkeä sekä P t ja P t näitä vastaavat kuluttajahintaindeksit. Inflaatioprosentti hetkestä t hetkeen t on P t P t P t = P t P t. (5) Ostovoima Kuluttajahintaindeksin käänteisluku /P t (tässä P t ei ole prosentteina) on rahan ostovoima hetkellä t verrattuna perusvuoteen. Ostovoiman muutos- 8

19 prosentti aikavälillä t t on P t P t P t = P t P t. P t Rahan reaaliarvo Rahamäärän x t reaaliarvo hetkellä t on x t P t. (6) Esimerkki 3.2. Kuluttajahintaindeksi on noussut vuoden 985 pisteluvusta 00 vuoden 989 pistelukuun 20,0. Millä vuoden 985 rahamäärällä on sama ostovoima kuin vuoden markalla? Vastaus: 83,3 markkaa. 4 Aikasarjan deflatointi ja inflatointi Olkoot x t rahamäärä hetkellä t ja x t rahamäärä hetkellä t. Olkoot lisäksi P t ja P t vastaavat kuluttajahintaindeksit. Jos halutaan rahamäärän x t siirtyvän hetkestä t hetkeen t siten, että reaaliarvo säilyy (eli inflaatio otetaan huomioon), niin asetetaan kyseisten rahamäärien reaaliarvot samoiksi. Siis x t P t = x t P t. (7) Jos t < t, niin kyseessä on inflatointi. Jos t < t, niin kyseessää on deflatointi. Esimerkki 4.. Kuluttajahintaindeksi nousi arvosta 20,0 arvoon 27,5. Henkilön nettopalkka kasvoi tuona aikana 3 prosenttia. Mikä on elintason (reaaliansioiden) muutos prosentteina? Vastaus: -3, %. Esimerkki 4.2. Teollisuustyöntekijöiden tuntiansiot vuosina (hintaindeksin perusvuosi 98) olivat seuraavat: Vuosi Keskituloansiot (mk) KHI Deflatoidut ansiot ( t = 983) ,07 8, ,00 27, ,59 34, ,57 39, ,8 44,5 9

20 5 Indeksiluvun muodostaminen Vertaillaan jotain koko hyödyke- ja palveluryhmän yhteistä suuretta (esim. hinta tai määrä) eri ajankohtina. Eri hyödykkeiden ja palvelujen hintojen (määrien) muutokset yhdistetään koko ryhmän hintojen (määrien) muutosta kuvaavaksi indeksiksi käyttämällä painotuksia. Indeksiluvut voidaan muodostaa käyttämällä keskilukumallia tai kokonaislukumallia. Käytetään seuraavia merkintöjä: p = hinta q = määrä P = hintaindeksiluku Q = (määrä)volyymi-indeksiluku p it = hyödykkeen p i hinta hetkellä t q it = hyödykkeen p i määrä (kulutus) hetkellä t Peruskohta on t = 0. Lisäksi hyödykkeitä on n kappaletta ja ajanhetkiä on k tilannetta peruskohdan jälkeen, eli i =,..., n ja t = 0,,..., k. Esimerkki 5.. Hyödykkeen i kulutuksen arvo hetkellä t on p it q it. Kaikkien hyödykkeiden kulutuksen kokonaisarvo hetkellä t = 0 on p i0 q i0 = p 0 q 0 + p 20 q p n0 q n0 6 Keskilukumalli Määrä- ja hintasuhteet ovat laaduttomia lukuja. Siten hintasuhteet ovat keskenään vertailukelpoisia, samoin kuin määräsuhteet. Hyödykeryhmään liittyvän hinnan (määrän) vaihtelua kuvaavaksi indeksiluvuksi otetaan jokin hyödykkeiden hintasuhteista (määräsuhteista) laskettu keskiarvo (aritmeettinen, geometrinen tai harmoninen). Hintaindeksiluvut Aritmeettinen hintaindeksi on hintasuhteiden aritmeettinen keskiarvo, eli P A 0t = 00 n p jt p j0, (8) 20

21 missä 0 ja t osoittavat vertailtavat tilanteet (peruskohtana on 0). Geometrinen hintaindeksi on hintasuhteiden geometrinen keskiarvo, eli ( n P0t G p ) jt /n = 00. (9) p j0 Harmoninen hintaindeksi on hintasuhteiden harmoninen keskiarvo, eli P H 0t = 00 n p jt /p j0 = 00n p j0 p jt (20) Esimerkki 6.. Viiden hyödykkeen hintoja vähittäiskaupassa: Hyödyke Yksikkö Hinta 983 Hinta 988 p 0 p maito litra 3,00 3,53 peruna 2,5 kg 7,05,26 sokeri kg 7,96 8,28 tomaatti kg 3,49 4,67 kahvi 0,5 kg 6,46 7,66 Laske edellä olevat hintaindeksi vuodelle 988 käyttäen perusvuotena vuotta 983. Vastaus: P A 0 9, 5, P G 0 7, 9, P H 0 6, 6. Hintaindeksien laskemisessa ei oteta huomioon kulutuksen määrää. Volyymi-indeksiluvut Aritmeettinen volyymi-indeksi on Q A 0t = 00 n q jt q j0. (2) Geometrinen hintaindeksi on ( n Q G q ) jt /n 0t = 00. (22) q j0 2

22 Harmoninen hintaindeksi on Q H 0t = 00 n q jt /q j0 = 00n. (23) q j0 q jt Esimerkki 6.2. Viiden hyödykkeen kulutusmääriä vähittäiskaupassa: Hyödyke Yksikkö Määrä 983 Määrä 988 q 0 q maito litra peruna 2,5 kg sokeri kg tomaatti kg 7 8 kahvi 0,5 kg 0 Laske edellä olevat volyymi-indeksi vuodelle 988 käyttäen perusvuotena vuotta 983. Vastaus: Q A 0 0, 93, QG 0 0, 9, QH 0 0, Keskilukumallin painotetut indeksiluvut Painotetut hintaindeksiluvut Hyödykkeen kulutuksen arvo on hinnan ja kulutusmäärän tulo. Keskilukumallin painotetut indeksiluvut saadaan laskettua hinta-/määräsuhteiden painotettuina keskiarvoina. Painoina voidaan käyttää mm.. perusvuoden kulutuksen arvoja p i0 q i0 ; 2. vertailuvuoden kulutuksen arvoja p in q in ; 3. jonkin muun vuoden kulutuksen arvoja p it q it ; 4. useamman vuoden kulutuksen arvojen yhdistelyjä (keskiarvoa). Aritmeettinen hintaindeksi, kun painoina ovat perusvuoden kulutuksen ar- 22

23 vot, on P A 0t = 00 (p j0 q j0 ) pjt p j0 = 00 p j0 q j0 p jt q j0. (24) p j0 q j0 Geometrinen hintaindeksi, kun painoina ovat vertailuvuoden kulutuksen arvot, on ( n ( P0t G pjt ) ) pjtq jt n = 00 p jtq jt. (25) p j0 Harmoninen hintaindeksi, kun painoina ovat perusvuoden ja vertailuvuoden kulutuksen arvojen keskiarvot, on P H 0t = 00 p j0 q j0 + p jt q jt 2 ( v j pj0 ) p it. (26) Painotetut volyymi-indeksiluvut Painotetaan hyödykkeen kulutuksen määrän merkitystä kulutuksen arvon perusteella. Aritmeettinen volyymi-indeksi, kun painoina ovat perusvuoden kulutuksen arvot, on (p j0 q j0 ) qjt p j0 q jt q Q A j0 0t = 00 = 00. (27) p j0 q j0 p j0 q j0 Geometrinen volyymi-indeksi, kun painoina ovat perusvuoden ja vertailuvuoden kulutuksen arvojen keskiarvot, on ( n Q G 0t = 00 ) pj0qj0+pjtqjt ) 2 q j0 ( qjt n p j0 q j0 +p jt q jt 2. (28) 23

24 Harmoninen volyymi-indeksi, kun painoina ovat vertailuvuoden kulutuksen arvot, on p jt q jt p jt q jt Q H 0t = 00 p jt q jt qj0 q jt = 00. (29) p jt q j0 Esimerkki 7.. Laske aritmeettinen hintaindeksi Esimerkille 6. ja geometrinen volyymi-indeksi Esimerkille 6.2, kun painoina ovat perusvuoden kulutuksen arvot. Vastaus: 88, 3 ja 87, 4. 8 Kokonaislukumallit Kokonaislukumallit muodostetaan laskemalla hyödykkeiden määriä ja hintoja sopivasti yhteen. Hintaindeksiluvut Hintojen painotettu kokonaissumma, kun painoina ovat hyödykkeiden kulutetut tai tuotetut määrät q i, on P 0t = 00 p jt q j. (30) p j0 q j Painoina q j voidaan käyttää mm.. perusvuoden kulutuksen määriä q j0 ; 2. vertailuvuoden kulutuksen määriä q jt ; 3. jonkin muun, yhden tai useamman vuoden kulutuksen määriä. Laspeyresin hintaindeksi 24

25 Valitaan hintojen painoiksi q j hyödykkeiden perusvuoden kulutuksen määrät: p jt q j0 Paaschen hintaindeksi P L 0t = 00. (3) p j0 q j0 Valitaan hintojen painoiksi q j hyödykkeiden kulutuksen määrät vertailuvuonna: p jt q jt P P 0t = 00 Marshall-Edgeworthin hintaindeksi. (32) p j0 q jt Valitaan hintojen painoiksi q j perusvuoden ja vertailuvuoden kulutuksen määrien keskiarvot: P ME 0t = 00 p jt (q j0 + q jt ). (33) p j0 (q j0 + q jt ) Volyymi-indeksiluvut Kokonaislukumallin volyymi-indeksiluvut eli määrää kuvaavat indeksiluvut saadaan vastaavasti kuin hintaindeksit valitsemalla nyt määrien painoiksi hinnat p j samalla periaatteella. Laspeyresin volyymi-indeksi Valitaan kulutusmäärien painoiksi p j hyödykkeiden perusvuoden hinnat: Q L 0t = 00 q jt p j0. (34) q j0 p j0 25

26 Paaschen volyymi-indeksi Valitaan kulutusmäärien painoiksi p j hyödykkeiden hinnat vertailuvuonna: q jt p jt Q P 0t = 00. (35) q j0 p jt Marshall-Edgeworthin volyymi-indeksi Valitaan kulutusmäärien painoiksi p j perusvuoden ja vertailuvuoden hintojen keskiarvot: Q ME 0t = 00 q jt (p j0 + p jt ). (36) q j0 (p j0 + p jt ) Esimerkki 8.. Määrää Laspeyresin, Paaschen ja Marshall-Edgeworthin hintaja volyymi-indeksiluvut Esimerkissä Keskilukumallin ja kokonaislukumallin yhteys Laspeyresin hintaindeksi on aritmeettinen hintaindeksi, jonka painoina ovat perusvuoden kulutuksen arvot (hinnan ja määrän tulo). Paaschen hintaindeksi on harmoninen hintaindeksi, jonka painoina ovat vertailuvuoden kulutuksen arvot. Vastaavat tulokset pätevät myös volyymi-indekseille. 0 Fisherin indeksikriteerit Seuraavien kriteerien yhteydessä indeksien arvot ovat suhdelukuja eivätkä prosenttilukuja (esim.,26 eikä 26). Kriteerit jaetaan kolmeen ryhmään.. Peruskriteerit Identiteettikriteeri: P tt =. 26

27 -Jos vuotta verrataan itseensä, niin indeksin mukaan muutosta ei ole tapahtunut. Suhdekriteeri: Jos p jt = λ p j0 kaikille hyödykkeille j, missä λ on vakio, niin P 0t = λ. -Jos kaikki hinnat muuttuvat samassa suhteessa, niin indeksin tulee osoittaa ko. suhde. Yksikön vaihtokriteeri: P 0t on riippumaton raha- tai määräyksiköistä. Esimerkki 0.. Laspeyresin hintaindeksi toteuttaa edellä mainitut ehdot. 2. Transitiivisuuskriteerit Ajankääntökriteeri: P 0t = P t0 eli P 0t P t0 =. (37) Ketjutuskriteeri: P 0s P st = P 0t, missä s t. (38) Esimerkki 0.2. Tavallinen geometrinen hintaindeksi toteuttaa transitiivisuuskriteerit. 3. Kertomakriteeri P 0t Q 0t = V 0t, (39) missä P 0t on hintaindeksi, Q 0t on volyymi-indeksi ja V 0t = p jt q jt p j0 q j0 on arvoindeksi, joka ilmoittaa kulutuksen arvosuhteen. Mikään käsitellyistä indekseistä ei toteuta kertomakriteeriä. Kertomakriteerin avulla voidaan tutkia eri indeksien luotettavuutta vertaamalla tuloa P 0t Q 0t ihannearvoon V 0t. Esimerkki 0.3. Tutkitaan Esimerkin 8. indeksien luotettavuutta. Fisherin ihanneindeksit P F 0t = P0t L P 0t P (hintaindeksi) (40) 27

28 Q F 0t = Q L 0t QP 0t (volyymi-indeksi) (4) Esimerkki 0.4. Laske Esimerkin 7. hyödykkeille Fisherin ihanneindeksit. Kevään 203 kaksi viimeistä luentoa Lyhimmän takaisinmaksuajan menetelmä Perusajatuksena on lyhyesti Kuinka nopeasti investointi maksaa itsensä takaisin? Jos korkoa ei huomioida, niin takaisinmaksuaika (vuosina) on hankintamenot vuosittaiset nettotuotot Esimerkki.. Investoinnin hankintamenot ovat euroa ja arvioitu vuotuinen nettotuotto euroa. Takaisinmaksuaika on tällöin = 7, 4 vuotta. Menetelmä painottaa investoinnin rahoitusvaikutuksia ja sen käyttö suosii investointeja, joihin sidottu pääoma kertyy nopeasti takaisin, Menetelmä ei kuitenkaan välttämättä ilmaise investoinnin todellista kannattavuutta, koska se ei ota huomioon takaisinmaksuajan jälkeisiä tapahtumia. Käytännössä investointi voi olla kannattava juuri siksi, että siitä saadaan nettotuottoja pitkään. Menetelmää kuitenkin käytetään yleisesti sen helppouden vuoksi. Korko voidaan ottaa huomioon käyttämällä diskonttaustekijää. Esimerkki.2. Investoinnin hankintamenot ovat euroa, arvioitu vuotuinen nettotuotto on euroa ja laskentakorkokanta 7 % pa. Jaksollisten maksujen diskonttaustekijä on a n,i = ( + i)n i ( + i) n. Tarkoituksena on siis ratkaista aika n, jolloin diskontatut vuosituotot antavat hankintahinnan, eli 4000 Tästä saadaan n 0, 24 vuotta., 07 n n 0, 07, 07 n =

29 Tuottoastemenetelmä Tuottoastemenetelmä on yksinkertaistettu efektiivisen korkokannan menetelmä. Tarkoituksena on selvittää investoinnin tuottoprosentti. Tämä lasketaan vuotuiset nettotuotot keskimäärin investointiin sidottu pääoma keskimäärin. Tässä investointiin sidottu pääoma keskimäärin on hankintamenot+jäännösarvo. 2 Tässä menetelmässä ei oteta huomioon suoritusten eriaikaisuutta. Tätä puutetta voidaa eliminoida ottamalla huomioon investoinnin vuotuinen poisto, joka on hankintamenot-jäännösarvo. investoinnin pitoaika Esimerkki.3. Investoinnin hankintahinta on euroa, jäännösarvo on euroa, arvioutu vuotuinen nettotuotto on euroa ja pitoaika 8 vuotta. Investoinnin sitoma pääoma keskimäärin on Jos poistoja ei huomioida, niin tuottoaste on Vuotuinen poisto on = = 25, 5% = 250. Poistot huomioimalla tuottoasteeksi tulee = 5% Jos tavoitetuotto on esim. 7 %, niin tämän menetelmän pohjalta investointi ei ole kannattava. Kustannus- ja tuottofunktio Jos yritys valmistaa jossain aikayksikössä x kpl tuotteita ja kokonaiskustannukset (kiinteät + muuttuvat kustannukset) ovat K(x), niin yksikkökustannus on K(x) x. 29

Talousmatematiikka (4 op)

Talousmatematiikka (4 op) Talousmatematiikka (4 op) M. Nuortio, T. Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Talousmatematiikka 2012 Yhteystiedot: Matti Nuortio mnuortio@paju.oulu.fi Työhuone M225 Kurssin

Lisätiedot

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava K t 1 + it. (3) missä pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.

Lisätiedot

diskonttaus ja summamerkintä, L6

diskonttaus ja summamerkintä, L6 diskonttaus ja summamerkintä, L6 1 Edellä aina laskettiin kasvanut pääoma alkupääoman ja koron perusteella. Seuraavaksi pohdimme käänteistä ongelmaa: Miten suuri tulee alkupääoman K 0 olla, jotta n jakson

Lisätiedot

Jaksolliset suoritukset, L13

Jaksolliset suoritukset, L13 , L13 1 Jaksollinen talletus Tarkastellaan tilannetta, jossa asiakas tallettaa pankkitilille toistuvasti yhtäsuuren rahasumman k aina korkojakson lopussa. Asiakas suorittaa talletuksen n kertaa. Lasketaan

Lisätiedot

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, joka

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy Kotitehtävät 7. Aihepiirinä Investointi Ratkaisuehdotuksia 1. Investoinnin hankintameno on 9000 euroa ja siitä saadaan seuraavina vuosina vuosittain 1200 euron tulot. Määritä a) koroton takaisinmaksuaika

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

(1) Katetuottolaskelma

(1) Katetuottolaskelma (1) Katetuottolaskelma Katetuottolaskelmalla tarkastellaan yrityksen kannattavuutta myyntituotto - muuttuvat kustannukset (mukut) = katetuotto katetuotto - kiinteät kustannukset (kikut) = tulos (voitto

Lisätiedot

Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%)

Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%) Sisäisen korkokannan menetelmä Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%) Sisäinen korkokanta määritellään

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

JA n. Investointi kannattaa, jos annuiteetti < investoinnin synnyttämät vuotuiset nettotuotot (S t )

JA n. Investointi kannattaa, jos annuiteetti < investoinnin synnyttämät vuotuiset nettotuotot (S t ) Annuiteettimenetelmä Investoinnin hankintahinnan ja jäännösarvon erotus jaetaan pitoaikaa vastaaville vuosille yhtä suuriksi pääomakustannuksiksi eli annuiteeteiksi, jotka sisältävät poistot ja käytettävän

Lisätiedot

1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7. 1.1 Tulovero 8

1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7. 1.1 Tulovero 8 SISÄLTÖ 1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7 1.1 Tulovero 8 1.2 Hintaan vaikuttavia tekijöitä 13 - Arvonlisävero 13 - Myyntipalkkio ja myyntikate 15 - Alennus ja hävikki 17 1.3 Indeksit 22 - Indeksin käsite 22

Lisätiedot

Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC.

Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC. Kotitehtäviä 6. Aihepiiri Rahoitusmuodot Ratkaisuehdotuksia 1. Pankki lainaa 100000 bullet-luoton. Laina-aika on 4kk ja luoton (vuotuinen) korkokanta 8% Luoton korot maksetaan kuukausittain ja laskutapa

Lisätiedot

Korkolasku ja diskonttaus, L6

Korkolasku ja diskonttaus, L6 Korkolasku ja diskonttaus, L6 1 Merkinnät Tarkastellaan tilannetta, jossa pääomalle maksetaan korkoa. Tulemme seuraavassa systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä K 0 = alkupääoma p = korkoprosentti

Lisätiedot

Korkolasku, L6. Koronkorko. Korko-kaavat. Aiheet. Yksinkertainen korkolasku. Koronkorko. Jatkuva korkolasku. Korko-kaavat

Korkolasku, L6. Koronkorko. Korko-kaavat. Aiheet. Yksinkertainen korkolasku. Koronkorko. Jatkuva korkolasku. Korko-kaavat Korkolasku, L6 1 Merkinnät Tarkastellaan tilannetta, jossa pääomalle maksetaan korkoa. Tulemme seuraavassa systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä K 0 = alkupääoma p = korkoprosentti i = p 100

Lisätiedot

1.1 Suhteisjako 8. Euro 14 Valuuttakurssit 15 Kurssimuutokset ja rahan arvo 18. Tulovero 21 Ansiotulon vero 21 Pääomatulon vero 23

1.1 Suhteisjako 8. Euro 14 Valuuttakurssit 15 Kurssimuutokset ja rahan arvo 18. Tulovero 21 Ansiotulon vero 21 Pääomatulon vero 23 SISÄLTÖ 1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7 1.1 Suhteisjako 8 1.2 Valuutat 14 Euro 14 Valuuttakurssit 15 Kurssimuutokset ja rahan arvo 18 1.3 Verotus 21 Tulovero 21 Ansiotulon vero 21 Pääomatulon vero 23 Varallisuusvero

Lisätiedot

10 Liiketaloudellisia algoritmeja

10 Liiketaloudellisia algoritmeja 218 Liiketaloudellisia algoritmeja 10 Liiketaloudellisia algoritmeja Tämä luku sisältää liiketaloudellisia laskelmia. Aiheita voi hyödyntää vaikkapa liiketalouden opetuksessa. 10.1 Investointien kannattavuuden

Lisätiedot

Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA

Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA 4.12.2012 Sisällys Johdanto... 1 Aikaan liittyviä laskelmia... 1 Excelin rahoitusfunktioita... 2 Koronkorkolaskenta... 2 Jaksolliset suoritukset... 4 Luotot... 7

Lisätiedot

On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin.

On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin. Rahoitusmuodot HUOM. Tässä esitetään vain teoriaa ja joitakin esimerkkejä. Enemmän esimerkkejä ja laskuja löytyy ratkaistuina EXCEL-tiedostosta "Rahoitusmuodot - laskut ja esimerkit", joka on MOODLESSA

Lisätiedot

Indekseistä, L12. Reaalikorko. Aiheet. Aritmeettinen ja geometrinen keskiarvo. Yhden tuotteen hintaindeksi. Reaalikorko. Pääoman deatoitu arvo

Indekseistä, L12. Reaalikorko. Aiheet. Aritmeettinen ja geometrinen keskiarvo. Yhden tuotteen hintaindeksi. Reaalikorko. Pääoman deatoitu arvo Indekseistä, L12 1 Lukujoukon {a 1, a 2,..., a n } aritmeettinen lasketaan kaavalla a aka = a 1 + a 2 + + a n n = 1 n n a j. j=1 Lukujoukon {a 1, a 2,..., a n }, eli keskiverto, lasketaan kaavalla n a

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Indeksit

Talousmatematiikan verkkokurssi. Indeksit Sivu 1/8 ja niiden käyttö Indeksi on jono lukuja, joilla seurataan jonkin hyödykkeen tai palvelun hinnan muuttumista ajan kuluessa. Indekseillä kuvataan hintatason tai määrien muuttumista. Eri maita koskevissa

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L7

Nykyarvo ja investoinnit, L7 Nykyarvo ja investoinnit, L7 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k n k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... 0 1 2 3 4 5 6... n j netto

Lisätiedot

Tasaerälaina ja osamaksukauppa

Tasaerälaina ja osamaksukauppa Tasaerälaina ja osamaksukauppa Merkintöjä Yleensä laskussa lähdetään todellisesta vuosikorosta. Merkitään todellista vuosikorkokantaa kirjaimella i a, jolloin vuosikorkotekijä on (1 + i a ). Vuosi jaetaan

Lisätiedot

Investointilaskentamenetelmiä

Investointilaskentamenetelmiä Investointilaskentamenetelmiä Laskentakorkokannan käyttöön perustuvat menetelmät (netto)nykyarvomenetelmä suhteellisen nykyarvon menetelmä eli nykyarvoindeksi annuiteettimenetelmä likimääräinen annuiteettimenetelmä

Lisätiedot

Osamaksukauppa, vakiotulovirran diskonttaus, L8

Osamaksukauppa, vakiotulovirran diskonttaus, L8 Osamaksukauppa, vakiotulovirran diskonttaus, L8 1 Kerrataan kaavoja s n;i = ((1 + i)n 1) i = prolongointitekijä a n;i = ((1 + i)n 1) i(1 + i) n = diskonttaustekijä c n;i = i(1 + i) n ((1 + i) n 1) = kuoletuskerroin

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka

BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka Talouslaskelmat Jarmo Partanen Taloudellisuuslaskelmat Jakeluverkon kustannuksista osa on luonteeltaan kiinteitä ja kertaluonteisia ja osa puolestaan jaksollisia ja mahdollisesti

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

Indeksit: muodostus ja käyttö. Tilastokoulu 11.4.2016 Satu Ruotsalainen / Tilastokeskus satu.ruotsalainen@stat.fi

Indeksit: muodostus ja käyttö. Tilastokoulu 11.4.2016 Satu Ruotsalainen / Tilastokeskus satu.ruotsalainen@stat.fi Indeksit: muodostus ja käyttö Tilastokoulu 11.4.2016 Satu Ruotsalainen / Tilastokeskus satu.ruotsalainen@stat.fi Sisältö 1. Indeksin määritelmä ja esimerkkejä 2. Erilaisia indeksejä, Tilastokeskuksen tuottamat

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

1.2 Hintaan vaikuttavia tekijöitä 13 - Arvonlisävero 13 - Myyntipalkkio ja myyntikate 15 - Alennus ja hävikki 17

1.2 Hintaan vaikuttavia tekijöitä 13 - Arvonlisävero 13 - Myyntipalkkio ja myyntikate 15 - Alennus ja hävikki 17 SISÄLTÖ 1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7 1.1 Tulovero 8 1.2 Hintaan vaikuttavia tekijöitä 13 - Arvonlisävero 13 - Myyntipalkkio ja myyntikate 15 - Alennus ja hävikki 17 1.3 Indeksit 22 - Indeksin käsite 22

Lisätiedot

Sisäinen korkokanta ja investoinnin kannattavuuden mittareita, L10

Sisäinen korkokanta ja investoinnin kannattavuuden mittareita, L10 Sisäinen ja investoinnin, L10 1 Määritelmä: i sis on se laskentakorko, jolla nettonykyarvo on nolla. Jos projekti on normaali siinä mielessä, että alun negatiivisia nettoeriä seuraa lopun positiiviset

Lisätiedot

Investoinnin takaisinmaksuaika

Investoinnin takaisinmaksuaika Investoinnin takaisinmaksuaika Takaisinmaksuaika on aika, jona investointi maksaa hintansa takaisin eli nettotuottoja kertyy perushankintamenon verran Investointi voidaan tehdä, jos takaisinmaksuaika

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L14

Nykyarvo ja investoinnit, L14 Nykyarvo ja investoinnit, L14 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n netto 0 1 2 3 4 5 6...

Lisätiedot

Tämä. Tili-ja kulutusluotot. -aineisto on tarkoitettu täydentämään. Liiketalouden matematiikka 2. kirjan sisältöä.

Tämä. Tili-ja kulutusluotot. -aineisto on tarkoitettu täydentämään. Liiketalouden matematiikka 2. kirjan sisältöä. Tämä Tili-ja kulutusluotot -aineisto on tarkoitettu täydentämään Liiketalouden matematiikka 2 kirjan sisältöä. 1 Sisällysluettelo TILI- JA KULUTUSLUOTOT...3 Esim. 1... 4 Esim. 2... 6 Esim. 3... 7 Esim.

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L9

Nykyarvo ja investoinnit, L9 Nykyarvo ja investoinnit, L9 netto netto netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n 0 1 2 3 4 5

Lisätiedot

INVESTOINTILASKENTA JA PÄÄTÖKSENTEKO

INVESTOINTILASKENTA JA PÄÄTÖKSENTEKO INVESTOINTILASKENTA JA PÄÄTÖKSENTEKO Investoinnin käsite Investointeina pidetään menoja, jotka ovat rahamäärältään suuria ja joissa tulon kertymisaika on pitkä (> 1 vuosi) Vaikutukset ulottuvat pitkälle

Lisätiedot

Nostiko euro hintoja? Hintojen todellinen ja koettu nousu

Nostiko euro hintoja? Hintojen todellinen ja koettu nousu Nostiko euro hintoja? Hintojen todellinen ja koettu nousu Studia Monetaria Samu Kurri 1 Käsiteltäviä aiheita Koettu inflaatio ja kuluttajien hintatietoisuus Koettu inflaatio 1996-2006 Kuluttajatutkimuskeskus

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 6. Swap -sopimukset

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 6. Swap -sopimukset Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 6 Swap -sopimukset 1. Swapit eli vaihtosopimukset Swap -sopimus on kahden yrityksen välinen sopimus vaihtaa niiden saamat tai maksamat rahavirrat keskenään.

Lisätiedot

Kansantaloudessa tuotetaan vehnää, jauhoja ja leipää. Leipä on talouden ainoa lopputuote, ja sen valmistuksessa käytetään välituotteena jauhoja.

Kansantaloudessa tuotetaan vehnää, jauhoja ja leipää. Leipä on talouden ainoa lopputuote, ja sen valmistuksessa käytetään välituotteena jauhoja. Taloustieteen perusteet Kesä 2014 Harjoitus 4: MALLIRATKAISUT Juho Nyholm (juho.nyholm@helsinki.fi Tehtävä 1 Kansantaloudessa tuotetaan vehnää, jauhoja ja leipää. Leipä on talouden ainoa lopputuote, ja

Lisätiedot

Sijoitustodistuksen nykyinen markkinahinta: euroa. Jos viitekorko laskee 0,5 %-yksikköä, uusi markkinahinta: euroa

Sijoitustodistuksen nykyinen markkinahinta: euroa. Jos viitekorko laskee 0,5 %-yksikköä, uusi markkinahinta: euroa AB30A0101 Finanssi-investoinnit 4. harjoitukset 7.4.015 Tehtävä 4.1 45 päivän kuluttua erääntyvälle, nimellisarvoltaan 100 000 euron sijoitustodistukselle maksettava vuosikorko on 3,0 %. Jos viitekorko

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

Inflaatio, deflaatio, valuuttakurssit ja korot

Inflaatio, deflaatio, valuuttakurssit ja korot Studia monetaria Rahatalouden perusasioita I Inflaatio, deflaatio, valuuttakurssit ja korot Lauri Kajanoja, VTT Rahapolitiikka- ja tutkimusosasto Suomen Pankki Mitä teen työkseni Suomen Pankin tehtävät

Lisätiedot

1. Keskimääräisen nimellistuottoprosentin laskenta

1. Keskimääräisen nimellistuottoprosentin laskenta 1 3.10.2011/TELA/Tuotonlaskentaryhmä/R.Vanne Yli vuoden mittaisen aikavälin tuoton raportointi 1. Keskimääräisen nimellistuottoprosentin laskenta FIVAn määräykset yksityisalojen työeläkevakuuttajille sisältävät

Lisätiedot

Kauppakorkean pääsykoe 2015 / Ratkaisut

Kauppakorkean pääsykoe 2015 / Ratkaisut Kauppakorkean pääsykoe 2015 / Ratkaisut Johtaminen ja markkinointi: 1. / Ratk: Osiot 1, 2 ja 3 / Tosia (s.1 ja s. 1 sekä s. 2). Osio 4 / Epätosi; Ei, vaan klassisissa organisaatioteorioissa tutkimuksen

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Tamprn ksäyliopisto, 2015-2016 Talousmatmatiikan prustt, ORMS1030 1. väliko, (ti 15.12.2015) Ratkais 3 thtävää. Kokssa saa olla mukana laskin (myös graafinn laskin on sallittu) ja taulukkokirja (MAOL tai

Lisätiedot

10.5 Jaksolliset suoritukset

10.5 Jaksolliset suoritukset 4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e

Lisätiedot

Verkkokurssin tuotantoprosessi

Verkkokurssin tuotantoprosessi Verkkokurssin tuotantoprosessi Tietotekniikan perusteet Excel-osion sisältökäsikirjoitus Heini Puuska Sisältö 1 Aiheen esittely... 3 2 Aiheeseen liittyvien käsitteiden esittely... 3 2.1 Lainapääoma...

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Omistusasumisen hintaindeksit

Omistusasumisen hintaindeksit Asuminen Omistusasumisen hintaindeksit, Omistusasujien asumiskustannukset pysyivät ennallaan Tilastokeskuksen mukaan omistusasujien asumiskustannukset pysyivät ennallaan vuoden toisella neljänneksellä

Lisätiedot

Tunnetko asuntolainariskisi?

Tunnetko asuntolainariskisi? Tunnetko asuntolainariskisi? Studia Monetaria 12.10.2010 Peter Palmroos, tutkija Esityksen sisältö Asuntoluottojen riskit lainanottajalle Vakuuksien hinnan kehitys Maksukyvyn säilyminen Pankkien asuntoluottoriskit

Lisätiedot

1 PROSENTTILASKENTAA 7

1 PROSENTTILASKENTAA 7 SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö

Lisätiedot

Kauppakorkean valintakokeen / 2009 ratkaisut (TH /Supermaster Ky)

Kauppakorkean valintakokeen / 2009 ratkaisut (TH /Supermaster Ky) Kauppakorkean valintakokeen / 2009 ratkaisut (TH /Supermaster Ky) Hallinto / 2009: 1. Osio 1 / Tosi; Yritys tarjoaa ydinsegmenttiin kuuluville muun muassa työturvan (s.47). Osio 2 / Epätosi; Ei, vaan ydinryhmä

Lisätiedot

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: Kauppamatematiikka Versio 1.2 / 16.8.2009

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: Kauppamatematiikka Versio 1.2 / 16.8.2009 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: Kauppamatematiikka Versio 1.2 / 16.8.2009 Vesa Korhonen vesa.korhonen@jamk.fi 0400 451 752 Sisältö 0. Johdanto... 2 1. Prosenttilaskun soveltamista... 3 1.1

Lisätiedot

Rajatuotto ja -kustannus, L7

Rajatuotto ja -kustannus, L7 ja -kustannus, L7 1 Kun yritys valmistaa tuotetta jaksossa määrän q (kpl/jakso), niin kassaan kertyvä tuotto on R(q) = p q = p(q) q. Esimerkki. Jos kysyntäfunktio on p = 20 0.1q, niin tuotto funktio on

Lisätiedot

Menot (oikaistut) / Tulot (oikaistut) x 100 = Suorat rahamenot tuloista %

Menot (oikaistut) / Tulot (oikaistut) x 100 = Suorat rahamenot tuloista % Veroilmoituksesta laskettavat tunnusluvut Heikki Ollikainen, ProAgria Oulu Nopea tuloksen analysointi on mahdollista tehdä laskelmalla veroilmoituksesta muutamia yksinkertaisia tunnuslukuja, joiden perusteella

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Kotitehtäviä on yhteensä kahdeksan ja ne ratkeavat tavallisilla taulukkolaskentaohjelmistoilla. Jokaisesta kotitehtävistä saa maksimissaan 5 pistettä: 4p/oikea

Lisätiedot

Yksinkertainen korkolasku

Yksinkertainen korkolasku Sivu 1/7 Rahan lainaus voidaan innastaa tavaan vuokaukseen, jolloin lainatusta ahasta maksetaan kokoa sitä enemmän, mitä suuemmasta ahamääästä on kysymys ja mitä pidempään aha on lainattuna. äyttöön saatua

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

16145 0, 19 = 3067, 55 euroa. Kirkkoon henkilö ei kuulu, joten kirkollisveroa ei makseta. Sairausvaikutusmaksu

16145 0, 19 = 3067, 55 euroa. Kirkkoon henkilö ei kuulu, joten kirkollisveroa ei makseta. Sairausvaikutusmaksu Talousmatematiikka Kotitehtävät 2 - Pakollisten tehtävien ratkaisut 1. Laske valtion tulovero, kunnallisvero, kirkollisvero ja sairausvakuutusmaksu taulukon jokaisen rivin tilanteessa. Laske myös kuinka

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET KANSANTALOUSTIETEEN ÄÄSYKOE 4.6.05 MALLIVASTAUKSET Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti ohjola, Taloustieteen oppikirja,. painos, 04] sivuihin. () (a) Bretton Woods -järjestelmä:

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka 4..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1

Lisätiedot

Vaasan Ekonomien hallituksen ehdotus yhdistyksen syyskokoukselle selvitystyön aloittamiseksi oman mökin tai lomaasunnon 26.11.2010

Vaasan Ekonomien hallituksen ehdotus yhdistyksen syyskokoukselle selvitystyön aloittamiseksi oman mökin tai lomaasunnon 26.11.2010 » Vaasan Ekonomien hallituksen ehdotus yhdistyksen syyskokoukselle selvitystyön aloittamiseksi oman mökin tai lomaasunnon hankkimiseksi 26.11.2010 Lähtökohdat selvitystyölle 1/3 2 Hallitus esittää yhdistyksen

Lisätiedot

Investointipäätöksenteko

Investointipäätöksenteko Investointipäätöksenteko Ekstralaskuesimerkkejä Laskentatoimen Perusteet, Syksy 2015 Katja Kolehmainen KTT, Apulaisprofessori Neppi Oy valmistaa neppejä ja nappeja. Käsityöpiireissä se on tunnettu laadukkaista

Lisätiedot

Projektin arvon määritys

Projektin arvon määritys Projektin arvon määritys Luku 6, s. 175-186 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Tehtävä Johdetaan menetelmä projektiin oikeuttavan option määrittämiseksi kohde-etuuden hinnan P perusteella projektin

Lisätiedot

YHTEENVETO LAINATARJOUKSISTA 13.11.2014 (vesi- ja viemärilaitos)

YHTEENVETO LAINATARJOUKSISTA 13.11.2014 (vesi- ja viemärilaitos) YHTEENVETO LAINATARJOUKSISTA 13.11.2014 (vesi- ja viemärilaitos) 1 Danske Bank Oyj Kuntarahoitus Oyj Nordea Pankki Suomi Oyj Lainan määrä 220.000 euroa 220.000 euroa 220.000 euroa Laina-aika 10 vuotta

Lisätiedot

YHTEENVETO LAINATARJOUKSISTA 17.6.2015

YHTEENVETO LAINATARJOUKSISTA 17.6.2015 1 YHTEENVETO LAINATARJOUKSISTA 17.6.2015 Danske Bank Oyj Kuntarahoitus Oyj Rantasalmen Osuuspankki Lainan määrä 1.000.000 euroa 1.000.000 euroa 1.000.000 euroa Laina-aika 10 vuotta 15 vuotta 15 vuotta

Lisätiedot

Metsän arvostuskysymykset yhteismetsän laajentuessa liittymisten kautta. Arvokäsitteitä

Metsän arvostuskysymykset yhteismetsän laajentuessa liittymisten kautta. Arvokäsitteitä Metsän arvostuskysymykset yhteismetsän laajentuessa liittymisten kautta MML 3.5.2010 Eero Autere (MH) Raito Paananen Metsävaratietoasiantuntija (MMM, LKV) 5.5.2010 1 5.5.2010 2 Arvokäsitteitä Käyttöarvo

Lisätiedot

MAB7 Loppukoe 25.9.2014

MAB7 Loppukoe 25.9.2014 MAB7 Loppukoe 25.9.2014 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko konseptin ekalle sivulle yläreunaan! Valitse kuusi tehtävää, joihin vastaat. Muista että välivaiheet perustelevat

Lisätiedot

Julkisten menojen hintaindeksi

Julkisten menojen hintaindeksi Hinnat ja kustannukset 2015 Julkisten menojen hintaindeksi 2015, 1. vuosineljännes Valtion menojen hintaindeksi nousi 0,3 ja kuntatalouden prosenttia ensimmäisellä vuosineljänneksellä vuodentakaisesta

Lisätiedot

Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto

Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto Ekspontentiaalinen kasvu Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Yleinen juurenotto Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus)

Lisätiedot

Vaihdettavat valuutat klo 15.30

Vaihdettavat valuutat klo 15.30 HAAGA-HELIA HARJOITUS 4/Ratkaisut s. / 6 Liike-elämän matematiikka Syksy 20 Käytä tehtävissä tarvittaessa alla olevia valuuttakursseja. Kurssit ilmaisevat yhden euron arvon kyseisessä valuuttayksikössä.

Lisätiedot

MAATALOUS-METSÄTIETEELLISEN TIEDEKUNNAN VALINTAKOE 2014

MAATALOUS-METSÄTIETEELLISEN TIEDEKUNNAN VALINTAKOE 2014 MAATALOUS-METSÄTIETEELLISEN TIEDEKUNNAN VALINTAKOE 2014 KOE 2: Ympäristöekonomia KANSANTALOUSTIEDE JA MATEMATIIKKA Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 10 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän

Lisätiedot

Millainen on Osuuspankin asuntopalvelu?

Millainen on Osuuspankin asuntopalvelu? Millainen on Osuuspankin asuntopalvelu? 1 Mistä asuntopalvelumme koostuu? Olitpa sitten hankkimassa ensimmäistä omaa kotia tai vaihtamassa nykyistä, saat meiltä juuri sinulle sopivan asuntolainan. Hoidamme

Lisätiedot

Prosentti- ja korkolaskut 1

Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti on sadasosa jostakin, kuten sentti eurosta ja senttimetri metristä. Yksi ruutu on 1 prosentti koko neliöstä, eli 1% Kuinka monta prosenttia on vihreitä ruutuja neliöstä?

Lisätiedot

1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100

1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100 1.3 Prosenttilaskuja Yksi prosentti jostakin luvusta tai suureesta on tämän sadasosa ja saadaan siis jakamalla ao. luku tai suure luvulla. Jos luku b on p % luvusta a, toisin sanoen jos luku b on p kpl

Lisätiedot

Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa

Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa Kansainvälinen rahatalous Matti Estola ermiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa 1. Valuuttariskien suojauskeinot Rahoitusalan yritykset tekevät asiakkailleen valuuttojen välisiä termiinisopimuksia

Lisätiedot

Opetusapteekkiharjoittelun taloustehtävät. 12.11.2013 Esittäjän nimi 1

Opetusapteekkiharjoittelun taloustehtävät. 12.11.2013 Esittäjän nimi 1 Opetusapteekkiharjoittelun taloustehtävät 12.11.2013 Esittäjän nimi 1 ESIMERKKI APTEEKIN TULOSLASKELMASTA APTEEKIN TULOSLASKELMA Liikevaihto 3 512 895 Kelan ostokertapalkkiot 34 563 Muut tuotot 27 156

Lisätiedot

Makrotaloustiede 31C00200

Makrotaloustiede 31C00200 Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Kansantalouden tilinpito 1 Monisteen sisältö Kansantalouden tilinpito, BKT Nimelliset ja reaaliset suureet Logaritmiset luvut, indeksit Maksutase Taloudellisten muuttujien

Lisätiedot

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g?

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? PERUSPROSENTTILASKUT Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? Kuinka paljon 12 % on 350 grammasta? 350 g 12 % % g 12 x 100 350 12 x 100 350 100

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 8 Optioiden hinnoittelusta 1. Optioiden erilaiset kohde-etuudet 1.1. Osakeoptiot Yksi optio antaa yleensä oikeuden ostaa/myydä 1 kpl kohdeetuutena olevia

Lisätiedot

Voimassa toistaiseksi. Osakkeiden numerot. Myyntihinta. Lainaosuus. luku

Voimassa toistaiseksi. Osakkeiden numerot. Myyntihinta. Lainaosuus. luku Asunto Oy Helsingin Emmy Myyntihinnasto pvm 14.08.2012 Osoite Mechelininkatu 3 Voimassa toistaiseksi krs. Huoneisto tyyppi Asunto Pintaala Ominaisuudet Kokonais Lainaosuus Osuus tontin lunastushinnasta

Lisätiedot

RAHA- JA PANKKITEORIA. 1. Hyödykeraha. 2. Raha-aggregaatin M2 muutokset

RAHA- JA PANKKITEORIA. 1. Hyödykeraha. 2. Raha-aggregaatin M2 muutokset RAHA- JA PANKKITEORIA 31C00900 1. Hyödykeraha Miten seuraavat asiat sopisivat hyödykerahaksi? Tarkastele asiaa rahan kolmen perusominaisuuden valossa! (1 piste/hyödyke) Vaihtovirta (230 V) Hyvä arvon mitta,

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

Todellinen prosentti

Todellinen prosentti Todellinen prosentti Kaksi ajankohtaista esimerkkiä talousmatematiikasta ja todellisuudesta Tommi Sottinen Vaasan yliopisto 9. lokakuuta 2010 MAOL ry:n syyspäivät 8.-10.10.2010, Vantaa 1 / 16 Tiivistelmä

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A II KULUTTAJANTEORIA.. Budjettirajoite * Ihmisten kaikkea toimintaa rajoittavat erilaiset rajoitteet. * Mikrotalouden kurssilla tärkein rajoite on raha. * Kuluttaja maksimoi hyötyään, mutta ei kykene toteuttamaan

Lisätiedot

Taloustieteiden tiedekunta Opiskelijavalinta 07.06.2005 1 2 3 4 5 YHT Henkilötunnus

Taloustieteiden tiedekunta Opiskelijavalinta 07.06.2005 1 2 3 4 5 YHT Henkilötunnus 1 2 3 4 5 YHT 1. Selitä lyhyesti, mitä seuraavat käsitteet kohdissa a) e) tarkoittavat ja vastaa kohtaan f) a) Työllisyysaste (2 p) b) Oligopoli (2 p) c) Inferiorinen hyödyke (2 p) d) Kuluttajahintaindeksi

Lisätiedot

Vakiomuotoiset eurooppalaiset kulutusluottotiedot

Vakiomuotoiset eurooppalaiset kulutusluottotiedot Vakiomuotoiset eurooppalaiset kulutusluottotiedot EU:ssa on laadittu vakiomuotoisten kulutusluottotietojen esittämiseen tarkoitettu lomake. Tiedot ilmaisevat oikein nykyisissä markkinaoloissa jättämämme

Lisätiedot

Maatalouden tuotantovälineiden ostohintaindeksi

Maatalouden tuotantovälineiden ostohintaindeksi Hinnat ja kustannukset 2010 Maatalouden tuotantovälineiden ostohintaindeksi 2010, 3. vuosineljännes Maatalouden tuotantovälineiden ostohinnat nousivat 5,1 prosenttia kolmannella vuosineljänneksellä Maatalouden

Lisätiedot

ASUNTO OY TURUN PAAPUURI Eerik Pommerilaisen ranta 20, 20810 Turku

ASUNTO OY TURUN PAAPUURI Eerik Pommerilaisen ranta 20, 20810 Turku ASUNTO OY TURUN PAAPUURI Eerik Pommerilaisen ranta 20, 20810 Turku HINNASTO 29.1.2015/Päivitetty 10.8.2015 MYYNTI HINTA LAINA OSUUS VELATON HINTA TONTTI VELKA VELATON HINTA + TONTTIVELKA HOITO RAHOITUS

Lisätiedot