Numeerinen integrointi

Transkriptio

1 Numeerinen integrointi hum 8.0. Numeerinen integrointi Numeerisia integrointimenetelmiä on useita. Käsitellään tässä yhteydessä kuitenkin vain Gauss in integrointia, joka on elementtimenetelmän yhteydessä osoittautunut tehokkaimmaksi. Yksiulotteinen Gauss-Legendren integrointikaava Tarkastellaan ensin integraalia b = a ( ) I f x dx Lausutaan x emokoordinaatin avulla ( ) = ( ) + ( ) x N a N b () () missä muotofunktiot ovat N = ( ) N = ( + ) () Differentioimalla x:n lauseke b a dx = d (4) joten integraali voidaan lausua normeerattuna symmetrisesti origon suhteen b b a I = f ( x) dx = f x( ) d a (5) jossa integroimisvälin pituus on. Koitetaan löytää integraalille likiarvo kaavasta b a I I n = w f x( ) + w f x( ) + wn f x( n ) (6) missä f x( i ) on kohdassa = i otettu näyte integroitavasta funktiosta ja w i on vastaava painoluku (weight). Määritetään emokoordinaattien i arvot ja painokertoimet w i siten, että integrointimenetelmällä

2 Numeerinen integrointi hum 8.0. voidaan integroida mahdollisimman korkeasteinen polynomi tarkasti. Aloitetaan yhdestä integrointipisteestä, jolloin kaavalla voidaan integroida tarkasti ensimmäisen asteen polynomi A + B d = A (7) Ehdosta ( ) w A + B = A (8) saadaan w = = 0 (9) - Otetaan sitten käsittelyyn kaksi pistettä ja koitetaan kolmannen asteen polynomia A + B + C + D d = A + C (0) Ehdosta w ( A + B + C + D ) + w ( A + B + C + D ) = A + C () saadaan, ottamalla huomioon symmetria w = w = () joten w = w ( A + C ) = A + C = ()

3 Numeerinen integrointi hum Koitetaan vielä kolmea pistettä ja viidennen asteen polynomia 4 5 A + B + C + D + E + F d = A + C + E (4) 5 Ehdosta ja symmetriasta saadaan 4 w ( A + C + E ) + w A = A + C + E (5) 5 josta seuraa ehdot w + w = w = 4 w = 5 (6) sijoittamalla toinen yhtälö kolmanteen saadaan = / 5 ja w = 5 / 9 (7) - Jos integrointipisteiden lukumäärä kasvaa, tulee edellä esitetty menetelmä työlääksi. Laskenta helpottuu, jos johdossa käytetään hyväksi Legendren polynomeja, mistä johtuu menetelmän nimi. Tavallisimmin käytetään kuitenkin lyhyempää nimeä Gaussin integrointi. Integrointipisteitä ja painokertoimia löytyy valmiiksi taulukoituna kirjallisuudesta. Alla on vielä taulukko, jossa on tiedot integrointiasteeseen n = 5 saakka. Elementtimenetelmässä integrointiaste on tavallisimmin, tai.

4 Numeerinen integrointi hum 8.0. Taulukko. Gauss-Legendre integrointipisteet ja painokertoimet n i w i 0 ± ± ± ± ± ± Kaksiulotteinen Gaussin integrointi Tarkastellaan sitten kaksiulotteista integraalia, jossa integrointialue A on siten määrätty, että muuttujien vaihto onnistuu mukavasti ( ) ( ) ( η ) I = f x, y da = f x dxdy = f x, det J d (8) A A kun vaihdetaan uusiin muuttujiin (,η) saadaan ketjuderivoinnin avulla x x y y dx = d + dy = d + η η tai matriisimuodossa (9) dx x, x, η d T d dy = y, y =, η J (0) Jos ajattelemme differentiaaleja d ja vektoreina x x d η d = = () y y d η niin kuvassa näkyvän pintadifferentiaalin pinta-ala da 4

5 Numeerinen integrointi hum 8.0. y da d x voidaan laskea ristitulon avulla i j k x y da = d = d d 0 = x, y, η x, η y, d = det J d () x y 0 η η Gaussin integroinnissa integraalia approksimoidaan summalla n n i= j= (, ) det (, ) I wi wjf x i η j J i η j Integrointipisteet i,η j ja painokertoimet saadaan edellä esitetystä taulukosta. Seuraavassa kuvassa on vielä havainnollistettu integrointipisteet kaksiulotteisessa tapauksessa. η /5 x x x 5

6 Numeerinen integrointi hum 8.0. Kolmeulotteinen Gaussin integrointi Kolmeulotteisessa tapauksessa integraali on muotoa ( ) ( ) ( η ) I = f x, y, z dv = f x dxdydz = f x,, det J d d () V V kun vaihdetaan uusiin muuttujiin (,η,) saadaan ketjuderivoinnin avulla x x x dx = d + + d η y y y dy = d + + d η z z z dz = d + + d η (4) tai matriisimuodossa dx x, x, η x, d d T dy y, y, η y, = = J (5) dz z, z, η z, d d Jos ajattelemme taas differentiaaleja d, ja d vektoreina x x x d d η y y y d = d = d = d (6) η z z z d d η niin vastaavalla tavalla kuin tasotapauksessa saadaan tilavuusdifferentiaalin tilavuus dv vektorikolmitulosta eli dv = det J d d = J d d Integraalia approksimoidaan summalla 6

7 Numeerinen integrointi hum 8.0. n n n i= j= k= (,, ) det (,, ) I wi wjwkf x i η j k J i η j k (7) Integrointipisteet i, η j, k ja painokertoimet saadaan taas edellä esitetystä taulukosta. Integrointipisteitä on nyt yleensä,8 tai 7 kappaletta. 7