. Veden entropiamuutos lasketaan isobaariselle prosessille yhtälöstä

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download ". Veden entropiamuutos lasketaan isobaariselle prosessille yhtälöstä"

Pasi Karvonen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 LH- Kilo vettä, jonka lämpötila on 0 0 asetetaan kosketukseen suuren 00 0 asteisen kappaleen kanssa Kun veden lämpötila on noussut 00 0, mitkä ovat veden, kappaleen ja universumin entropian muutokset? Oletetetaan seuraavaksi, että veden kuumentaminen 00 0 tapahtuu saattamalle se ensin kosketukseen suuren 50 0 asteisen kappaleen kanssa ja sitten 00 0 asteisen kappaleen kanssa Mikä ovat nyt veden ja universumin entropian muutokset? Selitä miten vesi voidaan kuumentaa 0 0 asteesta 00 0 asteeseen ilman, että universumin entropia kasvaa Veden moolimassa on 8g ja ominaislämpö vakiopaineessa - - c p 8, 0cal K mol (a) Lasketaan lämpömäärät ominaislämpöjen avulla asoittuminen tapahtuu vakiopaineessa, (ilmakehän paine), joten vesi saa lämpömäärän Q nc kcal vesi p 6, Kappale luovuttaa vastaavan lämpömäärän Qbody - Qvesi Veden entropiamuutos lasketaan isobaariselle prosessille yhtälöstä DS vesi n cp ln - 3, calk Kappaleen entropiamuutos voidaan laskea isotermiselle prosessille, sillä kappaleen lämpötilan muutos on suuresta massasta johtuen hyvin pieni Qbody - S - S DS body -68, calk Entropian kokonaismuutos on siis DSO DS + DS + 44, calk (b) Oletetaan, että prosessi tapahtuu nyt kahdessa vaiheessa Vedelle saadaan ( i 50 0 ) vesi body - DS c i vesi n p ln cp cp + n ln n ln i, ts veden entropian lisäys on sama kuin edellä Kappaleelle saadaan entropian muutos Q DS vesi / Qvesi / - body , 9calK i - ja entropian kokonaismuutos DS O 3, 3calK Entropian lisäys on siis pienempi kuin edellä (c) Rajatapauksena voidaan ajatella veden saattamista kontaktiin äärettömän monen kappaleen kanssa, joista kunkin lämpötila on vain hieman veden lämpötilaa korkeampi Entropian muutos lähenee tällöin nollaa ts kyseessä on reversiibeli prosessi

2 LH- 00 g 363 K asteista vettä kaadetaan 300 g alumiiniastiaan, jonka lämpötila on 98 K Laske veden ja kannun ja kokonaisentropian muutokset Vedelle c p 75,35 J/(Kmol) ja alumiinille c p 3,7 J/(Kmol) Vettä on 5,56 moolia ja alumiinia, moolia Olkoon veden lämpötila alussa ja kannun lämpötila Lasketaan yhteinen lämpötila Vesi luovuttaa astialle lämpömäärän QH O-n cp ( -), jonka kannu ottaa vastaan QAl n cp ( - ) -QH O ästä saadaan loppulämpötilaksi n c + n c n c + n c p p p p 337, 8 K Lämpötilojen tasoittuminen tapahtuu normaali-ilmanpaineessa Lasketaan entropiamuutos isobaariselle prosessille, jolle pätee yleisesti S - S n c p ln, joten alumiinille DS Al 33, J/K ja vedelle DS HO -30, 0 J/K Kokonaisentropian muutos on näiden summa DS O 3, J/K Entropia siis kasvaa lämpötilojen tasoittumisen yhteydessä

3 LH-3 Kaksi astiaa V ja V sisältää samaa ideaalikaasua lämpötilassa moolimäärien ollessa n ja n vastaavasti Osoita, että kun astiat yhdistetään lämpöeristetysti, niin entropian kasvu on ( V+ V) ν ( V+ V) ν S νrln + νrln ( ν+ ν) V ( ν+ ν) V Alkutilassa entropiat ovat S V n Rln n f / f / V + nc ja S nrln n Yhdistämisen jälkeen (huomaa, että lämpötila ei muutu, koska systeemi on lämpöeristetty) V V S R f ( + + ) ln / n n c! n + n $# + ( n + n ) " Entropian muutos on siis näiden erotus Vakioon c verrannolliset termit kumoutuvat, samoin ne termit, jotka tulevat lämpötilan logaritmeista + n c ln V + V ln V S S S ν R νr ln V + V ln V + ν+ ν ν ν+ ν ν Yhdistämällä logaritmit V+ V ν V + V ν S νrln + νrln ν+ ν V ν+ ν V

4 LH-4 Kahdessa astiassa on kummassakin n moolia nestettä oisessa lämpötila on ja toisessa Nesteet sekoitetaan keskenään Osoita, että entropia kasvaa tällöin määrän S - S n p ln + 0 > Oleta, että astiat on lämpöeristetty ympäristöstä, ja että sekoittuminen tapahtuu vakiopaineessa Sekoittuessaan nesteet vaihtavat lämpöä keskenään Isobaariselle prosesessille DQ D DS cp n () Nesteiden sekoittumiseen ei liity työtä, joten nesteen luovuttama lämpö nesteen saama lämpö (oletetaan > ): ncp- ncp ncp - ncp ; loppulämpötilaksi saadaan siis + 6/ Entropian muutokseksi saadaan integroimalla yhtälöstä () nesteelle DS I d ncp ncp ln, nesteelle vastaavasti DS ncp ln Lasketaan entropian muutokset yhteen ja sijoitetaan : ( + ) + S+ S νc ln νc ln νc ln Osoitetaan, että logaritmin argumentti on suurempi kuin : p p p 4 + > À + + > 4 À + - > 0À - > 0 6

5 LH-5 Kappale (), jossa on n moolia ainetta lämpötilassa saatetaan kontaktiin kappaleen () kanssa jossa on n moolia ainetta lämpötilassa asapainon muodostuminen tapahtuu vakiopaineessa lämpökapasiteettien ollessa ja vastaavasti Laske (a) p p asapainolämpötila, (b) entropian muutos ja (c) osoita, että entropian muutos on positiivinen (a) Kaksiosainen systeemi on lämpöeristetty muusta ympäristöstä ja prosessiin ei liity työtä oisen kappaleen luovuttama lämpö toisen saama lämpö: ncp( - ) ncp( -) Ã ncp + ncp ncp+ ncp Koska tasapainon muodostuminen on kvasistaattinen prosessi, saadaan entropian muutokset yhtälöstä δ ; δ ν p ν p δq Q d ds Q c d S c (b) Lasketaan entropian muutokset erikseen molemmille kappaleille (käytetään lyhyyden vuoksi kokonaislämpökapasiteetteja n c ; n c ) d S ln d S ln Entropian kokonaismuutos on siis () () p p (3) S S + S ln + ln ln c) Osoitetaan lopuksi, että DS > 0 Oletetaan < < ja merkitään x / > Lisätään ja vähennetään termi ln DS ln + ln + ln - ln Ryhmittelemällä DS ( + )ln + ln ¼ (4) Yhtälöstä () saadaan + + x x sijoittamalla yhtälöön (4) saadaan

6 + S + ln x ln x x Jotta DS > 0 vaaditaan, että + + x + x > x x (5) a Koska x >, a > pätee x > + a ( x -)(aylorin sarja potenssifunktiolle - tämä yhtälö kertoo sen, että funktion x a kuvaaja on aina sille pisteeseen x piirretyn tangentin yläpuolella) Joten x + x x x > + ( - ), siis DS > 0 ja DS > 0 + -

Samankaltaiset tiedostot

Vauhti = nopeuden itseisarvo. Nopeuden itseisarvon keskiarvo N:lle hiukkaselle määritellään yhtälöllä

Vauhti = nopeuden itseisarvo. Nopeuden itseisarvon keskiarvo N:lle hiukkaselle määritellään yhtälöllä S-4.35, Fysiikka III (ES) entti 8.3.006. Laske nopeuden itseisarvon keskiarvo v ave ja nopeuden neliöllinen keskiarvo v rms seuraaville 6 molekyylien nopeusjakaumille: a) kaikkien vauhti 0 m/s, b) kolmen