MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 4 Maanantai

Transkriptio

1 MATP53 Approbatur B Harjoitus 4 Maanantai Halutaan määritellä funktio f siten, että f() =. Missä pisteissä + funktio voidaan määritellä tällä lausekkeella? Missä pisteissä funktio on näin määriteltynä tkuva? Voidaanko funktio lisämäärittelyillä laajentaa kaikkialla tkuvaksi funktioksi? Ratkaisu. Funktio voidaan määritellä tällä tavoin, jos nimittäjä on erisuuri kuin nolla. Edoksi saadaan siis = 0. Tällöin funktio f määriteltynä joukossa R\0} on tkuva kaikkialla määrittelyjoukossaan (itseisarvofunktio on tkuva (ks. myös tetävä 3) kuten on niiden erotus sekä tkuvien funktioiden osamäärä, kunan nimittäjä ei saa arvoa nolla määrittelyalueessa). Lasketaan toispuoleiset ra-arvot nollassa. lim f() 0 0 lim f() Näin ollen lim 0 f() = eli määrittelemällä + f() =, 0, = 0, ( ) ( + ) 0 ( ) ( + ) 0+ = =. saadaan funktio f laajennettua tkuvaksi funktioksi f koko reaaliakselilla.. Funktiosta f tiedetään, että f() cos kaikilla R. Osoita, että funktio f on tkuva nollassa. Ratkaisu. Selvästi joten voileipälauseen nolla lim 0 = cos, 0 lim f() =. 0 Koska lisäksi pisteessä = 0 oletuksen epäytälöstä 0 f(0) cos 0 saadaan f(0) =, on siis lim 0 f() = = f(0) eli f on tkuva nollassa. 3. (Tet. 4 s. 63.) Onko totta? (Jos on, perustele; jos ei, anna vastaesimerkki.) (a) Jos f on tkuva pisteessä 0, niin myös f on tkuva pisteessä 0.

2 (b) Jos f on tkuva pisteessä 0, niin myös f on tkuva pisteessä 0. Vinkki: Merkintä f tarkoittaa funktion f itseisarvofunktiota, siis f () = f() (eli ydistetyn kuvauksen ulkofunktiona itseisarvo). Ratkaisu. (a) Itseisarvofunktio on tkuva kaikkialla: koska, kun 0, =, kun < 0, on tkuvuus selvää muualla, paitsi nollassa, missä tkuvuus selviää laskemalla lim = 0 lim 0 0 = 0 0 = Koska f on oletuksen mukaan tkuva tkuva pisteessä 0 itseisarvofunktio on tkuva kaikkialla, on ydistetty funktio f tkuva pisteessä 0. [Toinen tapa ( toista määritelmää käyttäen): Koska f on tkuva, on jokaista ε > 0 koti olemassa δ > 0 siten, että Nyt kolmioepäytälön nolla 0 < δ = f() f( 0 ) < ε. f() f( 0 ) f() f( 0 ), joten ylläolevalla δ:lla, pätee myös, että 0 < δ = f() f( 0 ) < ε. Siispä funktio f on tkuva pisteessä = 0 ]. (b) Vastaesimerkki: f() =, > 0, 0. Nyt f ei ole tkuva pisteessä = 0, mutta f(), joka on tkuva. 4. Käyttäen lausekkeita ( ) 4 muodosta kaikkialla tkuva funktio, jonka määrittelylauseke vaituu kadessa kodassa. Vinkki: Kuvasta lienee apua. Ratkaisu. Lasketaan aluksi ( ) = = 4 ( ) = 0 = 0 tai =.

3 Määritellään ( ), f() = 4, 0 < < ( ), 0. Koska funktiot 4 ( ) ovat tkuvia ne ytyvät pisteissä = 0 =, on myös funktio f tkuva, erityisesti pisteissä = 0 =. Huom. Jatkuvuuden pisteissä = 0 = voi toki todeta myös tutkimalla toispuoleisia ra-arvo lim f() ( 0 0 ) = 4, lim f() 4 = 0, lim f() = 4, lim f() ( + + ) = 0 sekä funktion arvo f(0) = (0 ) = 4 f() = ( ) = (Tet. s. 66.) Tutki, onko ytälöllä olemassa reaalisia ratkaisu. = 4 Vinkki: Sovella Bolzanon lausetta sopivaan funktioon sopivalla välillä. Ratkaisu. Nyt = 4 4 kun merkitään f() = 4. Koska esim. f() = 4 = < 0 f() = 4 = > 0, = 0 f() = 0, löytyy Bolzanon lauseen nolla piste c ], [, jolle f(c) = 0. Siis ytälöllä on ainakin yksi ratkaisu, = c. 6. (Opiskelutet. 6 s. 66.) Olkoot a, b R. Osoita, että funktio f : R R, f() = ( a) ( b) + saa arvon a+b jossain pisteessä. Ratkaisu. Oletetaan, että a < b. Nyt f(a) = 0 (a b) + a = a f(b) = (b a) 0 + b = b. Koska f on polynomina tkuva a+b ]a, b[ (so. a:n b:n keskiarvo on välillä (a, b)), niin tkuvien funktioiden väliarvolauseen nolla on olemassa piste 0 ]a, b[ siten, että f( 0 ) = a + b. Jos onkin a = b, on f(a) = a = a+b. Jos taas a > b, merkitään â = b ˆb = a, jolloin väite seuraa kuten edellä.

4 7. Tarkastellaan funktiota f : R R, f() = +. (a) Määrää funktiolle f derivaatta pisteessä erotusosamäärän ra-arvona. (b) Arvioi differentiaalin avulla, kuinka paljon funktion f arvo muuttuu siirryttäessä pisteestä pisteeseen,0. Vertaa saamaasi arviota tarkkaan arvoon. Ratkaisu. (a) Lasketaan f () 0 f( + ) f() 0 0 (+) + + (+) + [(+) +] [(+) +] 0 ( ) [( + ) + ] 0 [( + ) + ] 0 [( + ) + ] = 4 =. (b) Käytetään ensimmäisen asteen approksimaatiota (eli differentiaalikeitelmää). Saadaan Tarkka arvo on f(, 0) = f( + 0,0) f(,0) = f() + 0,0 f () = 0,0 = = = 0,495 ( 0 00 ) = , (Tarkan arvon desimaaliesitys on päättymätön, ksollinen, kson pituus yli 0000 desimaalia.) 8. (Muunn. tet. s. 7.) Määrää funktiolle f : R R, f() = derivaatat f (0) f () erotusosamäärän ra-arvoina. Onko f kaikkialla derivoituva? Ratkaisu. f (0) 0 f(0 + ) f(0) = 0

5 f () 0 f( + ) f() 0 ( + ) + ( ) ( + ) =. 0 ( ): Koska tarkastellaan ra-arvoa 0, riittää tutkia ], [, jolloin + > 0 siis + = +. Funktio f voidaan kirjoittaa f() =, < 0, 0. Funktiot f () = f () = ovat derivoituvia, koska funktio f on yllä lasketun nolla derivoituva myös nollassa, on f kaikkialla derivoituva. 9. (Tet. 5 s. 7.) Jatkuvasta funktiosta f tiedetään, että 4 < f() <, kun 0 < <, < f() < 4, kun < <. Onko f välttämättä derivoituva nollassa? Entä pisteessä? Perustele vastauksesi. Ratkaisu. Koska f on tkuva lim = 0 4 < f() < kaikille 0 < <, niin voileipälauseen nolla f(0) = 0. Nyt f(0 + ) f(0) = f() 0, kun 0, f(0 + ) f(0) = f() 4 0, kun 0. Voileipälauseen nolla saadaan lim 0 f(0+) f(0) = 0 siis f (0) 0 f(0 + ) f(0) Funktio f on siis derivoituva nollassa. = 0. Sen sian f ei välttämättä ole derivoituva pisteessä. Tämä olisi elpointa nädä funktiosta, 0 <, f() = 4,.

6 Tämän funktion kuvaassa on kulma kodassa =. Valitettavasti tämä funktio ei toteuta oletuksia (epäytälössä 4 < f() < vaaditaan aidot erisuuruudet, samoin toisessa ey:ssä), joten täytyy käyttää iukan mielikuvitusta; idea on kuitenkin sama. Vastaesimerkki, joka näyttää, että f ei välttämättä ole derivoituva pisteessä = : Määritellään funktio 3, 0 < f() = 5/,. Funktio f toteuttaa tetävänannon edot, mutta oikean- vasemmanpuoleiset erotusosamäärän ra-arvot eroavat: f( + ) f() lim 0 f( + ) f() lim 0+ ( + ) 3 0 ( + ) 5/ ( + ) 3 ( + ) / ( + ) / = 3 ( + ) / lim 0+ ( + ) / 0+ ( + ) / ( + ) 0+ ( + ) / ( + ( + ) / ) + lim ( + ) / 0+ ( + ) / ( + ( + ) / ) + lim 0+ = + 3 = ( + ) / Tetävänannon edoista ei seuraa derivoituvuutta pisteessä =, vaikka funktio onkin välttämättä tkuva ko. pisteessä. 0. (Muunn. tet. 6 s. 7.) Tarkastellaan funktiota f : R R, sin f() = +, kun 0 0 0, kun = 0. Osoita, että f on derivoituva nollassa määrää f (0). Ratkaisu. Koska sin kaikilla :n arvoilla ( 0), niin sin kaikilla 0. Voileipälauseen nolla saamme lim 0 sin = 0. Nyt voimme laskea f(0 + ) f(0) lim 0 0 sin + 0 Siis f on derivoituva nollassa f (0) = 0. = 0 + lim 0 sin = = 0.