Rakenteiden mekaniikan menetelmiä metallirakentajille OSA 1 Elementtimenetelmän alkeet

Transkriptio

1 Rakenteiden mekaniikan menetelmiä metallirakentajille OSA Elementtimenetelmän alkeet Reijo Kouhia TKK Rakenteiden mekaniikka..25 Metallirakentamisen tutkimuskeskus, Seinäjoki

2 MEKANIIKAN ONGELMIEN RAKENNE σ B σ = f f σ = Cε B CBu = f ε ε = Bu u Reijo Kouhia, 25 2/44

3 VIRTUAALINEN TYÖ σ B σ = f f σ = Cε δε δε = Bδu δu δw int = V δw int = δw ext = δufdv V δεσdv = (Bδu)σdV = V V δub σdv Reijo Kouhia, 25 3/44

4 ONGELMATYYPIT tasapainotehtävät (elliptinen) esim. (EAu ) = f, (EIv ) = f etenemistehtävät diffuusioprobleema (parabolinen) esim. liikeyhtälö (hyperbolinen) esim. ρc u t k u = f ρa 2 v t 2 + EI 4 v x 4 = Reijo Kouhia, 25 4/44

5 ESIMERKKIONGELMA Vahva muoto (differentiaaliyhtälömuoto) { (EAu ) = f kun x (, L) u() = ja N(L) = EAu (L) = N L Heikko muoto (variaatiomuoto) L w[ (EAu ) f] dx + w(l)[eau (L) N L ] = Reijo Kouhia, 25 5/44

6 LIKIRATKAISU n n u u likir = φ i (x)α i w = ψ i (x)ˆα i i= i= Heikko muoto [ n ] L ˆα k ψ k ( (EAu likir) f)dx + ψ k (L)(EAu likir(l) N L ) k= = eli L ψ k R(u likir )dx + ψ k (L)(EAu likir(l) N L ) =, k =,..., n, () missä R on jäännös eli residuaali Yhtälö () määrittelee painotettujen jäännösten menetelmän Reijo Kouhia, 25 6/44

7 HEIKKOJA MUOTOJA L w( (EAu likir) f)dx + w(l)(eau likir(l) N L ) = Mikäli painofunktio w riittävän säännöllinen, voidaan osittaisintegroida L weau likir + L w EAu likirdx L wfdx + w(l)(eau likir(l) N L ) = Jos w() = niin L w EAu likirdx = L wfdx + w(l)n L Reijo Kouhia, 25 7/44

8 GALERKININ MENETELMÄ Galerkinin menetelmässä valitaan ψ i = φ i. Osittaisintegroimaton heikko muoto n ˆα i i= L n φ i ( (EA φ j) α j f)dx + φ i (L)( j= j= n (EAφ j (L)α j ) N L ) = Osittaisintegroitu muoto n ˆα i i= L (φ iea n φ jα j φ i f)dx φ i (L)N L = j= Reijo Kouhia, 25 8/44

9 GALERKININ MENETELMÄ (jatkoa) Lyhyesti n i= n ˆα i K ij α j f i = j= matriisimerkinnöin ˆα T (Kα f) = Kα = f missä K ij = L φ ieaφ j dx, f i = L φ i f dx Reijo Kouhia, 25 9/44

10 FYSIKAALINEN TULKINTA VIRTUAALINEN TYÖ Osittaisintegroitu muoto L w EAu dx = L wfdx + w(l)n L Kirjoitetaan mekaniikassa usein käytetyllä tavalla (w = δu) L δɛndx = L δuf + δu(l)n L missä virtuaalinen venymä δɛ = δu Reijo Kouhia, 25 /44

11 HEIKKOJEN MUOTOJEN VERTAILUA Painotettu differentiaaliyhtälömuoto L Osittaisintegroitu muoto w( (EAu ) f)dx + w(l)(eau (L) N L ) = L w EAu dx = L wfdx + w(l)n L MITÄ EROA?? Reijo Kouhia, 25 /44

12 ELEMENTTIMENETELMÄ Sovellus painotettujen jäännösten menetelmästä u(x) = n+ i= φ i (x)α i nyt α i = u i φ φ 2 φ 3 φ i φ n+ 2 () 2 (2) 2 (3) 2 2 (i ) 2 (i) (n) x = i i i + n n + x = L L w EAu dx = L wfdx + w(l)n L Reijo Kouhia, 25 2/44

13 φ i û = φ i x i x i x i+ ũ φ i φ i φ i x i 2 x i x i x i+ x i+2 xi x i dφ i dx EAdφ i dx dxu i + xi+ x i dφ xi+ i dx EAdφ i dx dxu i + x i dφ i dx EAdφ i+ dx dxu i+ = xi+ x i φ i fdx. Reijo Kouhia, 25 3/44

14 Elementtimenetelmän perusosat Elementtityypin määrittely vaatiin. elementin muodon eli geometrian (jana, kolmio, nelikulmio, tetraedri, särmiö, jne.), 2. interpoloivien funktioiden ja 3. elementin vapaiden parametrien eli vapausasteiden määrittelyn. Reijo Kouhia, 25 4/44

15 Interpolaatiofunktiot Ratkaistavia suureita kuvataan interpolaatiofunktioilla (kutsutaan usein myös muotofunktioiksi). Näitä on ainakin kahta perustyyppiä:. tavanomaisiin, eli solmuihin sidottuihin ja 2. hierarkisiin interpolaatiofunktioihin. Reijo Kouhia, 25 5/44

16 Paikallinen koordinaatti ξ = 2 x x c, ξ (, ) h 3 h (e) + x x c x 2 3 ξ x Reijo Kouhia, 25 6/44

17 Lagrangen solmuihin sidottu interpolaatio l p k (ξ) = (ξ ξ )(ξ ξ ) (ξ ξ k )(ξ ξ k+ ) (ξ ξ p ) (ξ k ξ )(ξ k ξ ) (ξ k ξ k )(ξ k ξ k+ ) (ξ k ξ p ), l p k (ξ) toteuttaa l p k (ξ k) =, ja l p k (ξ i) =, i k Reijo Kouhia, 25 7/44

18 Lineaarinen interpolaatio N (ξ) = l(ξ) = 2 ( ξ), N 2 (ξ) = l(ξ) = 2 ( + ξ)..5 N N ξ Reijo Kouhia, 25 8/44

19 Kvadraattinen interpolaatio N (ξ) = l(ξ) 2 = 2ξ(ξ ), N 2 (ξ) = l 2 (ξ) = ξ 2, N 3 (ξ) = l2(ξ) 2 = 2ξ( + ξ),.5 N N 2 N ξ Reijo Kouhia, 25 9/44

20 Kuubinen interpolaatio N (ξ) = l(ξ) 3 = 9 6 (ξ + 3 )(ξ 3 )(ξ ), N 2 (ξ) = l(ξ) 3 = 27 6 (ξ + )(ξ 3 )(ξ ), N 3 (ξ) = l2(ξ) 3 = 27 6 (ξ + )(ξ + 3 )(ξ ), N 4 (ξ) = l3(ξ) 3 = 9 6 (ξ + )(ξ + 3 )(ξ 3 )..5 N N 2 N 3 N ξ Reijo Kouhia, 25 2/44

21 Hierarkinen kantapolynomijärjestelmä Hyöty: mahdollisimman hyvä numeerinen stabiilius N (ξ) = 2 ( ξ), N 2(ξ) = 2 ( + ξ), N i(ξ) = ψ i (ξ), i = 3, 4,..., p +, jossa ψ j määritellään Legendren polynomien P j avulla: ψ j (ξ) = 2j 2 ξ P j (t)dt, j = 2, 3,... Legendren polynomit P n (ξ) ovat Legendren differentiaaliyhtälön ( ξ 2 )y 2ξy + n(n + )y =, < ξ < ratkaisuja, kun n =,, 2,... ja y = dy/dξ, Reijo Kouhia, 25 2/44

22 Kaksi ensimmäistä ovat: P (ξ) = ja P (ξ) = ξ Korkeamman asteen polynomit voidaan generoida Bonnetin rekursiokaavalla (n + )P n+ (ξ) = (2n + )ξp n (ξ) np n (ξ), n =, 2,... Kuplamuodot N 3,..., N N 4 N N 6 N ξ ξ Reijo Kouhia, 25 22/44

23 Ortogonaalisuus Legendren polynomeille P i (ξ)p j (ξ)dξ = 2 2i +, jos i = j, jos i j. Interpolaatiofunktioille N i = ψ i : seuraa ψ j (ξ) = 2j 2 dψ i dξ ξ dψ j dξ dξ = P j (t)dt j = 2, 3,... {, jos i = j,, jos i j. Reijo Kouhia, 25 23/44

24 Elementtimatriisit L w EAu dx = Interpolaatio elementin alueella L wf dx + w(l)n L ũ(x) (e) = ũ(ξ(x)) (e) = 2 N i (ξ(x))u i = N (ξ)u +N 2 (ξ)u 2 = 2 ( ξ)u + 2 (+ξ)u 2 i= Diskreetti heikko muoto N e= 2 j= x (e) 2 x (e) EA dn i dx dn j dx dx u j = N e= x (e) 2 x (e) N i f dx, i =, 2 Integrointi ξ-koordinaatistossa x ξ, rajat x (e) ja x (e) 2 + Reijo Kouhia, 25 24/44

25 x (e) 2 x (e) EA dn i dx x (e) 2 x (e) dn j dx dx = N i f dx = EA dn i dξ N i fj dξ, dn j dξ J dξ, missä J = dx/dξ = 2 h(e) = 2 (x(e) 2 x (e) ). Derivaatoille pätee d dx = dξ dx d dξ = J d dξ = 2 d h (e) dξ. K (e) = [ K (e) K (e) 2 K (e) 2 K (e) 22 ], u (e) = { u (e) u (e) 2 }, f (e) = { f (e) f (e) 2 } Reijo Kouhia, 25 25/44

26 Elementtimatriisin ja kuormavektorin alkiot K (e) ij = 2 h (e) EA dn i dξ dn j dξ dξ, f i = 2 h(e) fn i dξ. Matriisimerkinnöin K (e) = Ω (e) B T DB dv, f (e) = Ω (e) N T f dv. HUOMAA: matriisi B on kinemaattisen operaattorin B diskreetti vastina ja matriisi B T on tasapaino-operaattorin B diskreetti vastine. Matriisi D on materiaalin jäykkyysmatriisi. (Katso kalvoa 2.) Lineaarinen interpolaatio tuottaa (EA = vakio) K (e) = EA h (e) [ ]. Reijo Kouhia, 25 26/44

27 Kvadraattinen interpolaatio K (e) = EA 3h (e) (2) Hierarkinen kantajärjestelmä K (e) = EA h (e) Reijo Kouhia, 25 27/44

28 2-D ELEMENTTITYYPPEJÄ Kolmioelementit Pascalin kolmio polynomin aste p n kolmioelementtien solmukonfiguraatiot x y x 2 xy y 2 x 3 x 2 y xy 2 y 3 x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y Reijo Kouhia, 25 28/44

29 Nelikulmioelementit Lagrange Supistettu Lagrange eli Serendipity elementit Reijo Kouhia, 25 29/44

30 Lagrangen kantapolynomit (2-D) ξ η ξ 2 ξη η 2 ξ 3 ξ 2 η ξη 2 η 3 ξ 4 ξ 3 η ξ 2 η 2 ξη 3 η 4 ξ 4 η ξ 3 η 2 ξ 2 η 3 ξη 4 ξ 4 η 2 ξ 3 η 3 ξ 2 η 4 ξ 4 η 3 ξ 3 η 4 ξ 4 η 4 Reijo Kouhia, 25 3/44

31 Supistettu Lagrangen kanta (2-D) ξ η ξ 2 ξη η 2 ξ 3 ξ 2 η ξη 2 η 3 ξ 4 ξ 3 η ξ 2 η 2 ξη 3 η 4 ξ 4 η ξη 4 Reijo Kouhia, 25 3/44

32 PARAMETRINEN KUVAUS Interpolaatio määritellään perusjanalla, perusneliössä, peruskolmiossa, peruskuutiossa jne. Esim. siirtymät 2-D:ssa u = m N i (ξ, η)u i, v = i= m N i (ξ, η)v i, i= geometria interpoloidaan vastaavasti x = m Ni (ξ, η)x i, y = i= m Ni (ξ, η)y i, i= x i ja y i elementin solmujen koordinaatit ja N i ovat muotofunktioita. Mikäli N i = N i elementtiä sanotaan isoparametriseksi Reijo Kouhia, 25 32/44

33 Peruskolmio ja perusneliö 2 η (, ) 3 (, ) (, ) ξ η ξ Kolmiolle N = ξ, N 2 = η, N 3 = ξ η Nelikulmiolle N i (ξ, η) = 2 ( + ξ iξ) 2 ( + η iη) = 4 ( + ξ iξ)( + η i η), Reijo Kouhia, 25 33/44

34 η ξ N (ξ, η) = 4 ( ξ)( η), N 2 (ξ, η) = 4 ( + ξ)( η), N 3 (ξ, η) = 4 ( + ξ)( + η), N 4 (ξ, η) = 4 ( ξ)( + η), Reijo Kouhia, 25 34/44

35 Derivaatat parametrisissa elementeissä Kuvauksen muunnosmatriisi saadaan kun lasketaan funktion u(x, y) = u(x(ξ, η), y(ξ, η)) derivaattojen lausekkeet peruselementin koordinaattien ξ ja η suhteen: u ξ u η = u x x ξ + u y y ξ, = u x x η + u y y η, Reijo Kouhia, 25 35/44

36 Matriisimuodossa kirjoitettuna { u,ξ u,η } = [ x,ξ y,ξ x,η y,η ] { u,x u,y } eli u,ξ = J T u,x, missä J on geometriakuvauksen Jacobin matriisi. Monissa elementimenetelmää käsittelevissä kirjoissa kutsutaan J:n transpoosia parametrisen kuvauksen Jacobin matriisiksi. Tässä esityksessä noudatetaan kuitenkin yleisempää käytäntöä, missä kuvauksen x i = f i (y j ) Jacobin matriisi määritellään J ij = f i / y j. Jotta kuvaus olisi yksikäsitteinen, on Jacobin matriisin determinantin oltava nollasta eroava ja jotta kuvaus säilyttäisi suuntaisuutensa on sen oltava positiivinen, eli vaaditaan det J >. Reijo Kouhia, 25 36/44

37 3-D ELEMENTTITYYPPEJÄ tetraedri heksaedri pyramidi pentaedri taltta alasin Reijo Kouhia, 25 37/44

38 Lagrange ja Serendipity 8-solmuinen 27-solmuinen 64-solmuinen 8-solmuinen 2-solmuinen 32-solmuinen Reijo Kouhia, 25 38/44

39 Globaali tasapainoyhtälö Koko diskretoidun rakenteen tasapainoyhtälö voidaan kirjoittaa r = f missä sisäiset reaktiovoimat kootaan elementtisouuksista r (e) = B T σdv. Ω (e) Mikäli tehtävä on lineaarinen niin σ = Dɛ = DBq saadaan diskreeteiksi tasapainoyhtälöiksi lineaarinen algebrallinen yhtälösysteemi Kq = f missä K on koko rakenteen jäykkyysmatriisi ja q on ratkaistava siirtymävektori. Reijo Kouhia, 25 39/44

40 Epälineaarinen ongelma Geometrinen epälineaarisuus: B riippuu siirtymistä q Fysikaalinen eli materiaalin epälineaarisuus σ = D(q) Tasapainoyhtälön f(q) r(q) f ext (q) =. missä f on epätasapainovoima, r sisäiset voimat ja f ext ulkoiset kuormat, ratkaisu suoritetaan askeleittain iteratiivisesti Newtonin menetelmällä. Reijo Kouhia, 25 4/44

41 Newtonin menetelmä Linearisoidaan f(q i+ n ) f(q i n) + f (q i n)δq i n = missä f on Jacobiaanimatriisi f = f q = r q f ext q = K r K ext = K joka on tangenttijäykkyys tasapainotilassa. Newtonin iteraatiokaava on siten q i+ n = q i n [f (q i n)] f(q i n) = q i n + δq i n = q n + q i n + δq i n = q n + q i+ n, yläindeksi viittaa iteraatioon ja alaindeksi askeleeseen. Reijo Kouhia, 25 4/44

42 Kriittiset pisteet Tasapainopolun kriittisen pisteen määritys on epälineaarinen ominaisarvotehtävä, joka voidaan lausua seuraavasti: etsi siirtymätila q kr, kriittinen kuorma λ kr ja sitä vastaava ominaisvektori φ siten, että f (q kr, λ kr )φ = ja f(q kr, λ kr ) = (3) Reijo Kouhia, 25 42/44

43 Ratkaisun ongelmia Reijo Kouhia, 25 43/44

44 Kirjallisuutta K.-J. Bathe, E.L. Wilson, Numerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice-Hall, 976 K.-J. Bathe, Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, 982 I. Fried, Numerical Solution of Differential Equations, Academic Press, 979 T.J.R. Hughes, The Finite Element Method, Prentice-Hall, 987 O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, The Finite Element Method jne. jne... Suomenkielistä M.K. Hakala, Lujuusopin elementtimenetelmä, Otatieto 457, 99 R. Kouhia, M. Tuomala, Rakenteiden mekaniikan numeeriset menetelmät, luentomoniste osoite verkossa Reijo Kouhia, 25 44/44