Exam III 10 Mar 2014 Solutions

Transkriptio

1 TTY/ Department o Mechanical Engineering and Industrial Systems TE III / EDE_ / S EDE- Finite Ement Method Exam III Mar Solutions. Compute the dection at right end o the y,v / F structure using the potential energy Π U + WP minimum princip. Choose kinematically admissib trial unction rom the compte set EI k x x p( x) α + α + α. Given values: E GPa, I -5 m, k N/mm, F N and m. Essential boundary cond. ɶ v x, xx vɶ, x vɶ x α vɶ α vɶ α Beam strain energy U p EI v x dx EI dx EI ɶ, xx α α Strain energy o the spring 8 U k vɶ k α 8 Work potential o the external orce WP F vɶ Fα Princip o the minimum potential energy du dwp 6 EI k α + α F dα dα 8 EI F k + α 8 α 8F ( 6 k + EI ) Π U + U + WP min p Numerical values E E+ Pa I.E-5 m m k N/m F N α.99 m 9.9 mm

2 TTY/ Department o Mechanical Engineering and Industrial Systems TE III / EDE_ / S EDE- Finite Ement Method Exam III Mar Solutions E A V e E A g m/s ρ kg/m E 7.E+ Pa Ae x Ae x E A EA k. Määritä ementtimenetelmällä kuvan sauvarakenteen solmusiirtymät sekä oikeanpuolisimman sauvan normaalivoimat. Rakenne siirtyy vain vaakasuunnassa a sitä kuormittaa tilavuuskuormitus x ρg(omapaino vaikuttaa oikeal). Sauvoen kimmomoduuli E 7 GPa, pinta-ala: A mm tiheys ρ kg/m, g m/s a pituus m. Al V x e Ementti Jäykkyysmatriisi Ekv. Solmukuormitusvektori A. m k e 5-5 V N m -5 5 N Ementti Jäykkyysmatriisi Ekv. Solmukuormitusvektori A. m k e 7-7 V N m -7 7 N Ementti Jäykkyysmatriisi Ekv. Solmukuormitusvektori A. m k e 5-5 V N m -5 5 N Globaali äykkyysmatriisi Käänteismatriisi Globaali kuormitusvektori K E-7.86E-7 F N E-7.79E-7 N Siirtymä Q Q 8.57E-6 m 8.57E-6 m Ementin solmuvoimat k q V e e e e q e 8.57E-6 m e N m - N Tukireaktio (oikea)

3 TTY/ Department o Mechanical Engineering and Industrial Systems TE III / EDE_ / S EDE- Finite Ement Method Exam III Mar Solutions Ementin solmuvoimat q e m e - N Tukireaktio (vasen) 8.57E-6 m N E Massa Paino kg N Reaktiot yht. kg N -8 N kg N Yht 8 kg 8 N

4 TTY/ Department o Mechanical Engineering and Industrial Systems TE III / EDE_ / S EDE- Finite Ement Method Exam III Mar Solutions. Määritä kuvan palkkirakenteen taivutusmomenttikuvio käyttäen apuna ementtimenetelmää. b) aske siirtymän likiarvo ulkoisen voiman kohdalla. Käytä yhden ementin laskentamallia a kahden solmuvapausasteen palkkiementtiä. Ementin äykkyysmatriisi k a sen ekvivanttinen solmukuormitusvektori p k EI p F F F F Globaali äykkyysmatriisi, globaali kuormitusvektori a globaali siirtymävektori EI F F K K F F EI Q K F F 6EI Ementin solmuvoimavektori F 6 6 F 6 6 p EI F F kq 6 6 6EI F F 8 Alla ovan kuvion taivutusmomentti kohdassa / on saatu ementin puolikkaan vapaakappakuvan avulla F/8 / F F/8 M t

5 TTY/ Department o Mechanical Engineering and Industrial Systems TE III / EDE_ / S EDE- Finite Ement Method Exam III Mar Solutions M / + F F + M t M F t Taivutusmomenttikuvio Mt F Mt /F x/ b) siirtymän likiarvo ulkoisen voiman kohdalla saadaan kaavakokoelman avulla v( ξ ) q + q + q + q q q N q q q ( ξ + ξ ) + ( + ξ ξ ) + + eli ( ξ ) ( ξ ξ ξ ) ( ξ ξ ξ ) F F F v( / ) q ( ξ + ξ + ξ ) 6EI 8 6EI 8EI

6 TTY/ Department o Mechanical Engineering and Industrial Systems TE III / EDE_ / S EDE- Finite Ement Method Exam III Mar Solutions Kuvasta päätellään (tai käytetään kaavaa): a x + y b + ( ξ ) ( η ). aske kuvan nelisolmuisen ementin, onka paksuus t mm, hitausmomentti J numeerisesti Gauss in integroinnilla käyttäen. näytteenottoa. Mitta a mm a b mm a materiaalin tiheys ρ kg/m. Vihe: ρ ( + ) J x y dv V ( ξ, η ) ( ξ, η ) + ( ξ, η ) + ( ξ, η ) + ( ξ, η ) x N x N x N x N x u, ξ x, ξ y, ξ u, x u, x u x y u J u, η, η, η, y, y oten Jacobin matriisi a sen determinantti a / ab J J 6 mm J t ρ ( x + y ) da tρ J ( x + y ) dξ dη b A a mm ρ. kg/mm b mm t mm Piste ξ η x [mm ] y [mm ] J Wi W J Yht 576. TARKASTUS (laatu: kg mm )

7 TTY/ Department o Mechanical Engineering and Industrial Systems TE III / EDE_ / S EDE- Finite Ement Method Exam III Mar Solutions Mallin globaali äykkyysmatriisi on 5. Määritä tehtävän rakenteen ominaistaauus a hahmotte ominaismuoto, ossa solmun derivaatta v,x on piirretty oikeassa suhteessa. Käytä kahden solmuvapausasteen palkkiementtiä a konsistenttia massamatriisia. Suure Arvo Yksikkö ρ 785 kg/m E GPa I -5 m A. m m K EI a globaali massamatriisi ρ A m M 5 ratkaistaan ominaiskulmataauus a ominaisvektori (vektorin pituus on vapaa) det ( K λm) det λ λ λ ω K λm x x α α R käytetään tehtävän numeroarvoa m 57 kg EI m m EI EI 5 EI m m ω Ominaismuoto (taulukkolaskentaohelmalla kun ominaisvektorin pituus on.). Taipuma v [m] x [m]