5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Transkriptio

1 Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi; toisin sanoen, yleisessä tapauksessa ensimmäisen asteen polynomifunktio on muotoa ( x) ax b S = +. Tässä a ja b ovat vakioita ja a 0. Ensimmäisen asteen polynomi on siis ensimmäisen asteen polynomifunktio, kun polynomi tulkitaan oliona, jonka arvo riippuu muuttujan arvosta eli oliona, jonka arvo on muuttujan funktio. Äskeisen merkinnän sijasta usein merkitään, että y = ax + b tai y ( x) = ax + b. Tämä merkintä on luonnollinen, kun ajatellaan polynomifunktion esitystä koordinaatistossa eli sen kuvaajaa. Silloinhan juuri y koordinaatti on x:n funktio. Koska ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on suora, sanotaan myös, että y:n riippuvuus x:stä on lineaarista. Lineaarisuushan tarkoittaa juuri suoraviivaisuutta. Ensimmäisen asteen polynomifunktiolle on ominaista se, että siinä on vain muuttujan ensimmäistä astetta oleva termi, muuttujan vakiokerroin ( 0 ) sekä vakiotermi, joka voi olla myös nolla. Luonnossa ja yhteiskunnassa on paljon asioita, joita voidaan kuvata suoralla. Yksi kaikkein ilmeisimpiä on esineen liike, jos sen nopeus on vakio. Tästähän me aloitimme polynomien tutkimisen. Lasketaan nyt lisää esimerkkejä näistä. Esimerkki Ison vesisäiliön tilavuus on litraa. Siinä on kaksi erilaista, toisistaan riippumatonta hanaa, joista vettä voidaan juoksuttaa. Toinen hanoista sanokaamme hana A päästää vettä nopeudella 0,5 litraa sekunnissa sekä toinen hana B nopeudella kaksi litra sekunnissa. a) Muodosta polynomit, jotka kuvaavat säiliön vesimäärää, kun se tyhjenee pelkästään hanan A kautta, pelkästään hanan B kautta ja kun molemmat hanat ovat auki. b) Kuinka kauan tyhjeneminen kestää kussakin kolmessa tapauksessa? Ratkaisu a) Merkitään aikaa sekunneissa kirjaimella x, toisin sanoen, valitaan aika muuttujaksi, jota merkitään x:llä. Usein tilavuutta merkitään kirjaimella V ja kun V on x:n funktio, meidän merkintämme olisi V(x). Käytetään nyt kuitenkin tilavuudelle merkintää y, koska olemme puhuneet y:stä x:n funktiona. Lähtökohtana on siis litraa vettä oletamme tietenkin, että säiliö on täynnä, koska mitään muuta ei sanota. Hanan A tapauksessa tämä vähenee 0,5 litraa joka sekunti eli x:ssä sekunnissa vesimäärä vähenee 0, litraa. Täten x:n sekunnin kuluttua vettä on litraa miinus 0, litraa. Tätä kuvaa ensimmäisen asteen polynomifunktio y = ,, kun yksikköinä ovat litra ja sekunti. Hanan B tapauksessa saamme y = x. 1(5)

2 Kun molemmat hanat ovat auki, vesi virtaa nopeudella 0, + 2x ja x sekunnin kuluttua jäljellä on siis , 2x, joten saamme funktion y = ,. Seuraavassa kuvassa on kaikkien kolmen suoran kuvaajat. Huomaa, että ilmeisistä käytännön syistä mittakaava y akselilla on 1000 litraa yksikköä kohti ja x akselilla 1000 sekuntia yksikköä kohti. Lähtötilanteessa eli ajanhetkellä nolla = 0 = x vettä on litraa. x = 7,5 x = 30 b) Vesisäiliö on tyhjä, kun siinä on vettä nolla litraa, toisin sanoen, kun y = 0. Punaisen suoran eli suoran y = , kuvaaja leikkaa x akselin, kun sen y koordinaatti on nolla. Kuvasta luemme, että tämä tapahtuu x:n arvolla 30, mikä tarkoittaa siis sekuntia sekuntia = 8 tuntia 20 minuuttia. Tämä on siis aika, joka kuluu, kun säiliö tyhjenee pelkästään hanan A kautta. Hanan B kautta tyhjeneminen kestää kuvan mukaan 7500 sekuntia, joka on 2 tuntia 5 minuuttia. Molemmista hanoista yhtä aikaa tyhjennettäessä aikaa kuluu 6000 sekuntia eli yksi tunti 40 minuuttia. Vastaus: a) Polynomit ovat, hana A : y = ,, hana B : y = x ja molemmat hanat auki: y = ,. b) Säiliö tyhjenee hanan A kautta ajassa 8 tuntia 20 minuuttia, hanan B kautta ajassa 2 tuntia 5 minuuttia ja molempien kautta yhtä aikaa yksi tunti 40 minuuttia. Esimerkki Otetaan uudestaan esiin esimerkki polynomitarkastelujen ihan alusta. Siinä siis henkilö lähtee kaupalta, joka on yhden kilometrin päässä kotoa. Koska hän lähtee kaupasta kotia kohti km nopeudella 2 km/h, niin hänen etäisyytensä kotiin on 1 km 2 x, missä siis x on aika. h 2(5)

3 Tarkastellaan nyt siis funktiota y = 1 2x. Seuraavassa on tietokoneen piirtämä kuva tästä suorasta aikavälillä lähdöstä siihen, kun aikaa on kulunut kaksi tuntia. Kun nopeudella kaksi kilometriä tunnissa kuljetaan kaksi tuntia, ehditään neljän kilometrin päähän lähtöpisteestä. Jos kotiin oli yksi kilometri, ehditään kotoakin vielä kolmen kilometrin päähän. Kuvassa tämä merkitsee y koordinaatin arvoa 3. Henkilömme pitää kotia pisteenä, josta käsin hän mittaa kaikkia etäisyyksiä, myös aikavälejä. Koti on hänen koordinaatistonsa kotipesä eli origo. Esimerkissämme hän tosin poikkesi periaatteestaan ajan kohdalla: hänhän mittasi aikaa siitä lukien, kun hän lähti kaupalta. Siksi hän oli kaupalla ajanhetkellä nolla. Niin seuraavassakin esimerkissä. Piste (0;1) Piste ( 2 1 ;0) Kotiin ehtiminen merkitsee sitä, että y koordinaatti saa arvon nolla. Se on piste, jossa suora leikkaa x akselin. Tämä tapahtuu x:n arvolla 2 1 eli, kun lähdöstä on kulunut 2 1 tuntia. Tässä kuvassa lähtö tapahtuu pisteessä (0;1) eli ollaan kilometrin päässä kotoa (ykoordinaatti) ja aikaa on kulunut nolla tuntia (x-koordinaatti). Kotiin ehtimisen kuvaaja esittää pisteellä ( 2 1 ;0). Aikaa on kulunut 2 1 tuntia ja ollaan kotona, joka valittiin nollapisteeksi sillä, että kauppa, joka on kilometrin päässä, saa y:n arvon yksi. 3(5)

4 Esimerkki Muutetaan äskeistä esimerkkiä ihan vähän. Henkilömme lähtee tällä kertaa kaupasta vastakkaiseen suuntaan kuin missä koti on. Tämä vaikuttaa yhtälöömme niin, että kakkosen merkki muuttuu. Polynomifunktion yhtälömme on nyt siis y = 2 x + 1. Oheisesta kuvasta näemme, että hetkellä x = 0 ollaan kaupalla ja y on siis yksi. Saman tuloksen saat sijoittamalla x :n arvo 0 yhtälöön ja laskemalla y :n arvo: y = = 1. Jos oletamme, että henkilömme on ollut kävelyllä ja ainoastaan nollannut kellonsa kaupan 1 kohdalla, näemme, että ajanhetkellä tuntia hänen y -koordinaattinsa oli nolla eli hän oli 2 kotona. Hän siis lähti kotona 2 1 tuntia ennen kuin sivuutti kaupan. Kuvamme näyttää vielä senkin, että ajanhetkellä 1 tuntia hän oli kilometrin päässä kotoa, vastakkaisella puolella kotoa kuin missä kauppa on. Koska tai mistä hän sinne joutui, ei näy kuvassamme. Vain se näkyy, milloin hän lähti sieltä kohti kotia tai kauppaa. 4(5)

5 Ensimmäisen asteen polynomifunktion eli suoran yhtälön vakiot Esitetään tiivistetysti vielä ensimmäisen asteen polynomifunktion vakioitten merkitykset, siis a:n ja b:n merkitykset, kuten me merkitsemme. y = ax + b Kulmakerroin Vakiotermi Kulmakerroin (k) ilmaisee suoran jyrkkyyden ja sen, onko kyseessä laskeva vai nouseva suora: Jos k < 0, on suora laskeva, jos k > 0 suora on nouseva ja jos k = 0, suora on vaakasuora. Vakiotermi (b) ilmaisee y:n arvon, jossa x saa arvon nolla eli kohdan, jossa suora leikkaa y akselin. 5(5)