Jos nyt ǫ > 0 on annettu, niin on olemassa δ > 0 siten, että kun J < δ, niin I = f(t)did.

Transkriptio

1 . Olkoo f välillä [a, b] määritelty rajoitettu fuktio. Oletetaa esi, että f o Riema-itegroituva huomautukse.3 mielessä. Tällöi o olemassa raja-arvo S Jt,...,t,f,id =: R. J 0 Jos yt ǫ > 0 o aettu, ii o olemassa δ > 0 site, että ku J < δ, ii S J t,...,t,f,id R < ǫ. Tällöi o selvää, että mikä tahasa ehdo J < δ toteuttava jako J kelpaa määritelmässä.5 kaivatuksi jaoksi J ǫ. Toie suuta tästä todistuksesta o vaikeampi. Oletetaa siis, että f o Riema itegroituva määritelmä.5 mielessä. Merkitää Pitää osoittaa, että I = b a ftdid. S Jt,...,t,f,id = I. J 0 Olkoo ǫ > 0 mielivaltaie. Lausee.35 ojalla riittää löytää δ > 0 site, että I ǫ < AJ,f,id YJ,f,id < I +ǫ aia ku J < δ. Oletukse sekä lauseide.43 ja.35 ojalla o olemassa jako J ǫ = x i i=0 site, että I ǫ < AJ ǫ,f,id YJ ǫ,f,id < I + ǫ. Koskaf orajoitettu,oolemassam Rsite,ettäM sup{ ft t [a,b]}. Valitaa δ := ǫ M. Olkoo sitte J = y i m i=0 jako, jolle pätee J < δ. Jaetaa ideksit i =,...,m kahtee luokkaa: A = {i x j ]y i,y i [ kaikille j =,...,} ja B = {,...,m}\a. Jokaiselle i A väli [y i,y i ] sisältyy kokoaa johoki välii [x j,x j ]. Jouko A ideksit voidaa vielä ryhmitellä se mukaa, mihi välii [x j,x j ] kyseie väli [y i,y i ] sattuu sisältymää. Tällöi saadaa pistevieras jaottelu A = A A... A, missä A j = {i A [y i,y i ] [x j,x j ]}. Tässä voi tietysti olla A j = jolleki j.

2 Jouko B alkioille i pätee x j ]y i,y i [ jolleki j =,...,. Koska sama jakopiste x j ei voi sisältyä useampaa kui yhtee osavälii ]y i,y i [, ii ilmeisesti #B. 3 Tällöi saadaa m YJ,f,id = M i J,fy i y i = i= i J,fy i y i i AM + M i J,fy i y i = i B M i J,fy i y i + M i J,fy i y i i j= i A j i B M j J ǫ,f y i y i + M i J,fy i y i ii j= i A j i B j J ǫ,fx j x j j=m + M i J,fy i y i = i B YJ ǫ,f,t+ i B I + ǫ + i B M i J,fy i y i iii < I + ǫ + i BM i J,fy i y i M i J,f y i y i I + ǫ + i B M J iv I + ǫ +M J < I + ǫ +Mδ = I + ǫ + ǫ = I +ǫ, jote väittee yläarvio seuraa. Ala-arvio I ǫ < AJ,f,id todistetaa vastaavasti samalle luvulle δ. Yllä epäyhtälö i seuraa siitä, että kaikille i A j pätee ehdo [y i,y i ] [x j,x j ] ojalla M i J,f = sup{ft t [y i,y i ]} sup{ft t [x j,x j ]} = M j J ǫ,f. Epäyhtälö ii seuraa siitä, että välit ]y i,y i [, i A j ovat pistevieraita välejä, jotka sisältyvät välii ]x j,x j [, jote iide yhteelaskettu pituus o korkeitaa väli ]x j,x j [ pituus. Epäyhtälö iii tulee ehdosta ja iv ehdosta 3.. Tehdää atiteesi: f Sg. Tällöi o olemassa vakio I ja väli [, ] jako J = x i i= site, että St,...,t,f,g I < kaikille t i [x i,x i ]. Koska g o vakio väleillä [0,] ja ],], ii summassa St,...,t,f,g o korkeitaa yksi ollasta eroava termi, joka o ft i gx i gx i, t i [x i,x i ], x i < x i,

3 ja tämä tulee g: määritelmä mukaa muotoo ft i. Silloi ehdo mukaa ft i I < kaikille t i [x i,x i ]. Ku ehdossa valitaa t i = x i, jolloi siis t i, ii saadaa f: määritelmä mukaa ehto I < eli 3 < I <. 3 Vastaavasti, jos ehdossa valitaa t i = x i, jolloi siis t i >, ii saadaa f: määritelmä mukaa ehto 0 I < eli < I <. 4 Ehdot 3 ja 4 ovat ristiriidassa keskeää, jote atiteesi o uri ja väite pätee. Tässä f ei voi olla Stieltjes-itegroituva g: suhtee myöskää huomautukse.3 mielessä, sillä tällaisessa tapauksessa tehtävä.4 ojalla f Sg, ja äi ei ole, kute edellä ähtii..3 Osoitetaa esi, että f ei ole Stieltjes-itegroituva g: suhtee määritelmä.3 mielessä. Tehdää atiteesi, että äi olisi. Silloi o olemassa δ > 0 site, että kaikille väli [,] jaoille J = x i i=, joille J < δ, pätee St,...,t,f,g I < kaikille t i [x i,x i ]. Ilmeisesti tällaie jako J voidaa valita ii, että ei ole mikää jakopisteistä x i. Tällöi samalla tavalla kui tehtävässä. summassa St,...,t,f,g o korkeitaa yksi ollasta eroava termi, joka o ft i gx i gx i, t i [x i,x i ], x i < x i, ja tämä tulee g: määritelmä mukaa muotoo ft i. Silloi ehdo mukaa ft i I < kaikille t i [x i,x i ]. Ku ehdossa valitaa t i = x i, jolloi siis t i <, ii saadaa f: määritelmä mukaa ehto I < eli 3 < I <. 3 Koska siis ei ole jakopiste, ii x i >, ja jos ehdossa valitaa t i = x i, ii t i >, ja saadaa f: määritelmä mukaa ehto 0 I < eli < I <. 4 3

4 Ehdot 3 ja 4 ovat ristiriidassa keskeää, jote atiteesi o uri ja väite pätee. Osoitetaa sitte, että f Sg määritelmä.5 mielessä. 5 Valitaa väli [0,] jaoksi J 0 = 0,,. Jos J = x i i=0 o tätä tiheämpi jako, ii o joki jakopisteistä x k, k =,...,. Voidaa olettaa, että x k <. Silloi St,...,t,f,g = ft i gx i gx i = i= k ft i gx i gx i +ft k gx k gx k + i= k i= i=k =. Tämä merkitsee sitä, että väite 5 pätee ja 0 fdg =. i=k+ ft i gx i gx i =.4 Tämä yt oikeastaa jo todistettii tehtävässä., tosi erikoistapauksea, jote tässä vähä yleisempi versio. Olkoot f ja g välillä [a, b] määriteltyjä rajoitettuja fuktioita. Oletetaa, että f o Stieltjes-itegroituva g: suhtee huomautukse.3 mielessä. Tällöi o olemassa raja-arvo S Jt,...,t,f,g =: I. J 0 Jos yt ǫ > 0 o aettu, ii o olemassa δ > 0 site, että ku J < δ, ii S J t,...,t,f,g I < ǫ. Tällöi o selvää, että mikä tahasa ehdo J < δ toteuttava jako J kelpaa määritelmässä.5 kaivatuksi jaoksi J ǫ..5 Todistetaa esimerkiksi lause.3. Siiähä oletetaa, että f, g Sh ja α,β R sekä väitetää, että αf + βg Sh ja että b αf + βgdh = a α b a fdh+β b a gdh. 4

5 Ilmeisesti riittää osoittaa, että αf Sh, b a αfdh = α b a fdh, f +g Sh ja 3 b a f +gdh = b a fdh+ b a gdh. 4 Ku α = 0, väitteet ja seuraavat lauseesta.9. Voidaa siis olettaa, että α 0. Olkoo ǫ > 0 mielivaltaie. Oletukse f Sh ojalla o olemassa väli [a,b] jako J ǫ site, että kaikille tätä tiheämmille jaoille J = x i i=0 pätee Koska S J t,...,t,f,h S J t,...,t,αf,h = α b a fdh < ǫ α. αft i hx i hx i = i= ft i hx i hx i = αs J t,...,t,f,h, i= ii kaikille jakoa J ǫ tiheämmille jaoille J = x i i=0 pätee b S Jt,...,t,αf,h α fdh a = b α S Jt,...,t,f,h fdh < α ǫ α = ǫ, jolloi väitteet ja seuraavat. Väitteitä 3 ja 4 varte voidaa oletuste f,g Sh ojalla valita jaot J f ǫ ja J g ǫ site, että äitä tiheämmille jaoille J = x i i=0 pätee a Olkoo S J t,...,t,f,h S J t,...,t,g,h b a b a J ǫ = J f ǫ J g ǫ. fdh < ǫ fdh < ǫ. ja 5

6 Koska kaikille jaoille J = x i i=0 pätee S J t,...,t,f +g,h = f +gt i gx i gx i = i= ft i gx i gx i + i= gt i gx i gx i = i= S J t,...,t,f,h+s J t,...,t,g,h, ii jakoa J ǫ tiheämmille jaoille J = x i i=0 saadaa b b S J t,...,t,f +g,h fdh+ gdh = S J t,...,t,f,h S J t,...,t,f,h b a b a a fdh+s J t,...,t,g,h a fdh + S J t,...,t,g,h b a b a gdh gdh i < ǫ + ǫ = ǫ, jote väitteet 3 ja 4 seuraavat. Tässä epäyhtälö i saadaa siitä, että J o tiheämpi kui J ǫ ja site tiheämpi kui J g ǫ ja J h ǫ..6 a Merkitää I = c a fdg ja I = b c fdg. Olkoo ǫ > 0. Oletukse ojalla o olemassa väli [a,c] jako J site, että tätä tiheämmille jaoille J = x i i=0 pätee S J t,...,t,f,g I < ǫ. Vastaavasti o olemassa väli [c,b] jako J site, että tätä tiheämmille jaoille J = x i i=0 pätee S J t,...,t,f,g I < ǫ. Nyt J J = y i m i=0 o väli [a,b] jako, ja jolleki k =,...,m pätee y k = c. Jos J = x i i=0 o väli [a,b] jako, joka o tiheämpi kui J J, ii jolleki j =,..., pätee x j = y k = c. Merkitää J = x i j i=0 ja J = x i i=j. Tällöi J o väli [a,c] jako, joka o tiheämpi kui J ja vastaavasti J o väli [c,b] jako, joka o tiheämpi kui J. Silloi saadaa S J t,...,t,f,g I +I = S J t,...,t j,f,g+s J t j+,...,t,f,g I +I S J t,...,t j,f,g I + S J t j+,...,t,f,g I < ǫ + ǫ = ǫ, 6

7 ja väite seuraa..6 b Ei tällaista esimerkkiä ole. Olkoo f Sg välillä [a,b] ja ˆf fuktio, joka o saatu f:stä muuttamalla se arvoa yhdessä pisteessä c [a,b]. Oletetaa, että ˆf Sg. Tällöi pätee b a fdg = b Todistus. Lausee.3 ojalla ˆf f Sg ja b a ˆf fdg = b Tällöi väite seuraa, jos osoitetaa, että b a a a ˆfdg. ˆfdg b a fdg. ˆf fdg = 0. Olkoo ǫ > 0 mielivaltaie. Väite seuraa, jos osoitetaa, että b ˆf fdg < ǫ. 3 a Fuktio ˆf f eroaa ollasta vai pisteessä c. Ehdo ˆf f Sg ojalla kaikille ǫ > 0 o olemassa väli [a,b] jako J ǫ = x i i=0 site, että b S J ǫ t,...,t, ˆf f,g ˆf fdg < ǫ 4 a kaikille t i [x i,x i ], i =,...,. 4 Voidaa olettaa, että jaossa J ǫ o x i < x i kaikille i. Tässähä sallitaa periaatteessamahdollisuusx i = x i joillekii,muttatällaiset ollavälit eivät tuota summaa S Jǫ t,...,t,f,g mitää, jote e voidaa uohtaa. Silloi arviossa 4 voidaa pisteet t i valita ii, että mikää iistä ei ole c. Tämä merkitsee sitä, että ˆf ft i = 0 kaikille i, jolloi Väite 3 seuraa ehdoista 5 ja 4. S Jǫ t,...,t, ˆf f,g = ψ: rajoittuma välille [, x] o määritelmäsä mukaa porrasfuktio, joka o oikealta jatkuva kaikissa pisteissä t [,x[. Kiiteälle x kuvaus t x t o väheevä ja jatkuva, jolloi kuvaus t ψ x t o porrasfuktio, joka o vasemmalta jatkuva kaikissa pisteissä t ], x]. Tällöi huomautukse.5 ojalla ψ x t o Stieltjes-itegroituva fuktio ψt suhtee välillä [,x]. Tämä itegraali x ψ x t dψt 7

8 arvosta o aika paha tässä vaiheessa saoa mitää; asiaa palataa Selbergi epäyhtälö todistukse yhteydessä..8 Tässä käytetää hyväksi tuettuja kaavoja, joista jälkimmäie laskettii luetomoistee sivulla 5: i= i = + ja i= i = Ku määritellää ft = t 3, ii lausee.9 ojalla saadaa osittaisitegroimalla i 3 = i= ftd t = / t 3t dt = 4 i 0 i= ft t i+ i 0 t dft = 4 3t dt = 4 i i= 4 ii+ 3 i 3 = 4 i3i +3i+ = i= i= i= i 3 3 i= i i= i= i= 0 / i+ i t f tdt = t 3 = i = 4 3 i i +3 i= i = i , i= missä yhtälö i seuraa ehdosta i. Tästä saadaa edellee 4 i 3 = , i= i+ = i i= josta i 3 = i= 8

9 . a Jos A = {a,...,a m } ja ǫ > 0 o mielivaltaie, ii valitaa { I ǫ ]a ǫ = m+,a + ǫ m+ [ ku =,...,m ku m. Nämä avoimet välit! toteuttavat ollamittaisuude määritelmä vaatimukset, sillä selvästi A N Iǫ ja mi ǫ = N m = ǫ m+ = mǫ m+ < ǫ.. b Jos A = {a i i N} ja ǫ > 0 o mielivaltaie, ii valitaa I ǫ = ]a ǫ +,a + ǫ +[ kaikille N. Nämäki avoimet välit toteuttavat ollamittaisuude määritelmä vaatimukset, sillä selvästi tässäki A N Iǫ ja yt mi ǫ ǫ = = ǫ + < ǫ. N =. c Olkoot joukot A i, i N ollamittaisia ja ǫ > 0 mielivaltaie. Jokaiselle i o olemassa avoimet välit I i, N site, että A i NI i ja N mi i < ǫ i+. Koska umeroituvie joukkoje umeroituva yhdiste o umeroituva, ii avoimia välejä I, i i, N o vai umeroituva määrä, ja ehdo ojalla i i NA I. i i N N Silloi riittää osoittaa, että mi i < ǫ. i N N Tämä saadaa ehdosta : i N NmI i < i N ǫ = ǫ i+ < ǫ.. d Koska Q o umeroituva, ii väite seuraa c-kohdasta, jos yksiöt ovat ollamittaisia. Tämä taas seuraa a-kohdasta. 9

10 . e Joukko R \ Q ei ole ollamittaie. Jos se olisi, ii d- ja c-kohtie ojalla myös R olisi ollamittaie. Koska ollamittaise jouko osajoukko o ollamittaie, ii tällöi myös väli [0, ] olisi ollamittaie. Site väli [0, ] voitaisii peittää umeroituvalla määrällä avoimia välejä, joide yhteelaskettu pituus o korkeitaa. Koska [0,] o kompakti joukko, ii tästä peitteestä voitaisii valita äärellie osapeite, joka välie yhteelaskettu pituus olisi myös korkeitaa. Site riittää osoittaa, että tällaista äärellistä osapeitettä ei ole. Tämä todistetaa iduktiolla peitteessä käytettävie välie lukumäärä suhtee. Jos peitteessä o vai yksi väli ]a,b[, ii a < 0 < < b, jolloi m]a,b[ >, ja väite pätee. Oletetaa sitte iduktiivisesti, että ja että väliä [0,] ei voida peittää :llä avoimella välillä, joide yhteelaskettu pituus o korkeitaa. Oletetaa, että tällaie peittämie oistuisi :llä välillä. Olkoot e I,...,I. Merkitöjä tarvittaessa vaihtamalla voidaa olettaa, että I ; olkoo I = ]a,b [. Tällöi a < < b. Väli I pituus o korkeitaa, jolloi o oltava 0 < a ja site a [0,]\I. Koska kyseessä o peite, ii a peittyy myös;voidaaolettaa,ettäa I =]a,b [.Tällöia < a < b, jote ]a,b [ o avoi väli, joka peittää väli ]a,]. Silloi ilmeisesti P = {I,...,I, ]a,b [} o väli [0,] peite, jossa o kappaletta avoimia välejä. Koska m]a,b [ = b a = b a +a a < b a +b a = mi +mi, ii peittee P välie yhteelaskettu pituus o mi +...+mi +m]a,b [ < mi +...+mi +mi +mi. Tämä o iduktio-oletukse ojalla mahdotota, jote iduktioväite pätee.. Oletetaa esi, että f o jatkuva pisteessä x. Koska oskillaatio o aia positiivie, voidaa tehdä atiteesi muodossa ω f x > 0. AT Jatkuvuude ja atiteesi ojalla o olemassa δ > 0 site, että fx fy < ω fx, ku y [a,b], x y < δ. 3 0

11 Tällöi ω f x = sup{fy fy y,y [a,b], x y < δ, x y < δ} sup{ fy fx + fy fx y,y [a,b], x y < δ, x y < δ} sup{ fy fx y [a,b], x y < δ}+ sup{ fy fx y [a,b], x y < δ} ω fx 3 + ω fx 3 = ω fx, 3 mikä o atiteesi AT ojalla mahdotota. Tämä todistaa väittee. Oletetaa sitte käätäe, että ω f x = 0. Olkoo y joo site, että y [a,b] ja y x. Riittää osoittaa, että fy fx. Koska y x, ii oletukse ojalla ilmeisesti fy o Cauchy-joo, jote se suppeee. Vastaavi perustei myös joo fy,fx,fy,fx,fy 3,fx,... o Cauchy-joo, jote seki suppeee, ja välttämättä kohti samaa raja-arvoa. Koska luku fx esiityy jälkimmäisessä joossa äärettömä mota kertaa, kyseie raja-arvo o välttämättä fx, jote väite seuraa..3 Koska ω f x < ǫ, ii α := ǫ ω f x > 0. Oskillaatio ja raja-arvo määritelmä mukaa o olemassa r α > 0 site, että sup{ fz fz z,z [a,b], x z < r α, x z < r α } < ω f x+α = ǫ. Valitaa tehtävässä perääkuulutetuksi luvuksi δ > 0 δ := r α, jaosoitetaa,ettätämävalitatoimii.olkoosiisy [a,b]site,että x y < δ; pitää osoittaa, että ω f y < ǫ. Merkitää β := δ x y > 0. Oskillaatio määritelmä mukaa väite seuraa, jos osoitetaa, että pätee sup{ fz fz z,z [a,b], y z < β, y z < β} < ǫ. 3

12 Ku y z < β ja y z < β, ii x z x y + y z < x y +β = x y +δ x y = δ = r α, ja vastaavasti jote x z < r α, josta edellee { fz fz z,z [a,b], x z < β, x z < β} { fz fz z,z [a,b], x z < r α, x z < r α }, sup{ fz fz z,z [a,b], x z < β, x z < β} sup{ fz fz z,z [a,b], x z < r α, x z < r α }. Tällöi väite 3 seuraa ehdosta..4 Samalla tavalla kui tehtävä.3 ratkaisu ehdossa ähdää, että jokaiselle x [a,b] o olemassa r x > 0 site, että sup{ fy fy y,y [a,b], x y < r x, x y < r x } < ǫ. Merkitää kaikille x [a,b] I x = ]x r x,x+ r x [ [a,b]. Relatiivitopologiassa avoimet joukot I x peittävät väli [a,b], ja koska [a,b] o kompakti, voidaa valita äärellie osapeite eli o olemassa pisteet x,...,x k [a,b] site, että k [a,b] = I xi. Määritellää yt tehtävä asettelussa kaipailtu luku δ > 0 asettamalla i= δ = mi{r x,...,r xk }. Nyt pitää vai osoittaa, että tämä valita o kelvollie. Olkoo siis I [a,b] epätyhjä osaväli, jolle pätee mi < δ. 3 Pitää siis osoittaa, että Ω f I < ǫ. 4 Koska I, ii ehdo ojalla voidaa valita x I I xj jolleki j =,...,k. Tällöi ehdo 3 ja väli I xj määritelmä sekä δ: valia ojalla kaikille y I pätee y x j y x + x x j < δ + r x j r x j + r x j = r x j.

13 Silloi väite 4 seuraa suoraa ehdosta..5 Koska väli [a,b] o kompakti, ii riittää osoittaa, että H ǫ o suljettu. Tähä taas riittää osoittaa, että se sisältää kasautumispisteesä. Olkoo siis x [a,b] jouko H ǫ kasautumispiste. Tehdää atiteesi: x H ǫ. AT Atiteesi ja jouko H ǫ määritelmä mukaa pätee ω f x < ǫ. Tällöi tehtävä.3 ojalla o olemassa δ > 0 site, että Tämä merkitsee sitä, että ω f y < ǫ kaikille y [a,b], joille x y < δ. Bx,δ H ǫ =, jolloi x ei ole jouko H ǫ kasautumispiste. Tämä ristiriita kaataa atiteesi ja todistaa väittee..6 Oletetaa siis, että f o Riema-itegroituva. Pitää osoittaa, että se epäjatkuvuuspisteide joukko E o ollamittaie. Tehdää atiteesi: E ei ole ollamittaie. Tehtävä. ojalla Määritellää kaikille N joukko E = {x [a,b] ω f x > 0}. E = {x [a,b] ω f x }, jolloi ilmeisesti E = NE. Atiteesi, ehdo ja tehtävä. c ojalla joki E 0 ei ole ollamittaie. Tällöi ollamittaisuude määritelmä mukaa o olemassa ǫ > 0 site, että jos avoimet välit I k, k N peittävät jouko E 0, ii välttämättä mi k ǫ. k N Olkoo yt J = x i m i=0 väli [a,b] mielivaltaie jako. Merkitää symbolilla K iitä ideksejä i {,...,m}, joille ]x i,x i [ E 0. Tällöi E 0 ]x i,x i [ {x 0,...,x }. 3 i K 3

14 Äärelliseä joukkoa {x 0,...,x } o tehtävä. a mukaa ollamittaie, jote ehtoje ja 3 ojalla o ilmeistä, että o oltava i x i = i Kx m]x i,x i [ ǫ. 4 i K Olkoot M i J,f sekä m i J,f kute määritelmässä.34. Ku i K, ii o olemassa x E 0 ]x i,x i [, jolloi oskillaatio ja jouko E 0 määritelmie perusteella M i J,f m i J,f ω f x 0. 5 Jos AJ,f,t ja YJ,f,t ovat myös kute määritelmässä.34, ii ehtoje 5 ja 4 perusteella YJ,f,t AJ,f,t = M i J,f m i J,fx i x i i= M i J,f m i J,fx i x i x i x i ǫ. 0 0 i K Tämä pätee siis kaikille jaoille J jolleki kiiteälle eli jaosta riippumattomalle 0, jote Riemai ehto määritelmä.4 ei toteudu. Silloi lausee.43 ojalla f ei ole Riema-itegroiva, mikä o vastoi oletusta. Tämä ristiriita kaataa atiteesi ja todistaa väittee..7 Oletetaa, että f: epäjatkuvuuspisteide joukko E o ollamittaie. Pitää osoittaa, että f o Riema-itegroituva. Lausee.43 mukaa riittää osoittaa, että Riemai ehto toteutuu. Merkitää i K M = sup{fx x [a,b]} ja m = if{fx x [a,b]}. Riittää osoittaa, että kaikille tai aiaki suurille N o olemassa väli [a, b] jako J site, että tätä tiheämmille jaoille J pätee YJ,f AJ,f < M m+b a. Olkoot joukot E kute tehtävä.6 ratkaisussa, jolloi kyseise ratkaisu ehto toteutuu. Koska E E kaikille ja E o oletukse mukaa ollamittaie, ii triviaalisti jokaie E o ollamittaie. Kiiitetää yt. Nollamittaisuude ojalla joukko E voidaa peittää umeroituvalla määrällä avoimia välejä I k, joide yhteelaskettu pituus o korkeitaa. Tehtävä.5 mukaa joukko E o kompakti, jote jo äärellie 4

15 määrä äitä avoimia välejä I k riittää peittämää jouko E. O siis olemassa avoimet välit I,...,I s site, että E s I k ja k= s mi k <. 3 k= Voidaa olettaa, että o ii suuri, että < b a, jolloi ehdo 3 ojalla joukko [a,b]\ s k= I k o epätyhjä. O ilmeistä, että tämä joukko o äärellise moe suljetu väli yhdiste ku yksiöt sovitaa myös suljetuiksi väleiksi, ts. [a,b]\ s I k = k= t B i, missä jokaie B i [a,b] o suljettu väli. 4 i= Näillä väleillä B i pätee ehtoje ja 4 sekä jouko E määritelmä ojalla ω f x < kaikille x B i. 5 Suljetulle välille B i voidaa soveltaa tehtävää.4, joka mukaa ehdo 5 ojalla jokaiselle i =,...,t o olemassa δ i > 0 site, että väli B i osavälille C pätee Valitaa Ω f C < ku mc < δ i. 6 δ = mi{δ,...,δ t }, ja jaetaa kuki väli B i osaväleihi Ci k site, että mci k < δ kaikille i,k. Näide osavälie Ci k päätepisteet sekä tarvittaessa a ja b muodostavat väli [a,b] jao J = x i l i=0. Tämä jako J o yt ehdossa tavoiteltu jako. Olkoo siis J = y i r i=0 tätä tiheämpi jako; riittää osoittaa, että ehto pätee. Jaetaa jao J jakopisteide y i ideksit i =,...,r kahtee luokkaa: K = {i [y i,y i ] E } ja K = {i [y i,y i ] E = }. Olkoot M i J,f sekä m i J,f kute määritelmässä.34. Tällöi YJ,f AJ,f = r M i J,f m i J,fy i y i = 7 i= M i J,f m i J,fy i y i + M i J,f m i J,fy i y i. i K i K 5

16 Ku i K, ii [y i,y i ] o joki väli B j osaväli, ja se pituus alle raja δ koska J o tiheämpi kui J, jolloi ehdo 6 ojalla Silloi Ω f : määritelmä perusteella Tämä pätee kaikille i K, jolloi Ω f [y i,y i ] <. M i J,f m i J,f <. M i J,f m i J,fy i y i y i y i b a. 8 i K i K JaoJ määritelmämukaajokaiej :avoivälisisältääpelkästääjoki B i : pisteitä tai sitte ehdo 4 perusteella pelkästää jouko s k= I k pisteitä. Sama pätee silloi tätä tiheämmälle jaolle J. Koska välit I k ovat avoimia, ii tällöi o ideksijoukkoje K ja K määritelmie ojalla ilmeistä, että i K ]y i,y i [ s I k. k= Silloi ilmeisesti koska välit ]y i,y i [ ovat pistevieraita pätee i K m]y i,y i [ s mi k, josta edellee lukuje M ja m määritelmä perusteella M i J,f m i J,fy i y i M my i y i = 9 i K i K M m k= i K m]y i y i [ M m missä epäyhtälö i seuraa ehdosta 3. Väite seuraa yt ehdoista 7, 8 ja 9. s k= mi k < i M m,.8 Koska Q [0,] o umeroituva joukko, ii o olemassa bijektio ϕ : N Q [0,]. Määritellää kuvaukset f : [0,] R asettamalla kaikille N { ku x ϕ{,...,} f x = 0 muute. Tällöi jokaie f o Riema-itegroituva välillä [0,], koska selvästi f o jatkuva joukossa [0,]\{ϕ,...,ϕ}, jote f : epäjatkuvuuspisteidejoukko äärellie ja site ollamittaie. 6

17 Toisaalta ilmeisesti f χ Q [0,] missä χ Q [0,], o jouko Q [0,] karakteristie fuktio ja tämä rajafuktio o selvästi epäjatkuva koko välillä [0, ], joka ei ole ollamittaie, vrt. tehtävä. e ratkaisu. Site rajafuktio ei ole Riema-itegroituva. 7

18 3. a Määritellää f ii, että esi asetetaa f0 = 0 ja f = kaikille N. Tämä jälkee jatketaa f muihi väli [0, ] pisteisii affiiilieaarisesti kullaki välillä ] +, [; esimerkiksi välillä ],[ asetetaa fx = 3x+ ja muilla väleillä vastaavasti. O ilmeistä, että äi määritelty f o jatkuva aiaki välillä ]0,]. f o jatkuva myös pisteessä 0, koska ilmeisesti fx f0 x 0 kaikille x. Tämä o helppo uskoa, ku piirtää tilateesta kuva. Tämä f ei kuitekaa ole rajoitetusti heilahteleva. Tämä johtuu siitä, että kaikille N voidaa valita väli [0,] jako J = x i i=0 site, että x 0 = 0 ja x i = + i kaikille i =,...,. Tätä jakoa vastaava f: heilahtelu o fx i fx i = + f + i f + i = i= i= + + i + i + i + i = + + i + > + i i= i= ja koska i= i, ku, ii V f0, =. 3. b c-kohda ojalla esimerkiksi kelpaa vaikkapa fuktio { x ku 0 < x fx = ku x = 0. Tämä o rajoitetusti heilahteleva, koska jokaiselle jaolle J = x i i=0 pätee fx i fx i = x + x i x i = x + x = x. i= i= 3. c Jos f o rajoitetusti heilahteleva, ii se o huomautukse.5 ojalla rajoitettu, ts. o olemassa M > 0 site, että fz M kaikille z [0,]. Tällöi fz M kaikille z [0,], jote δ := M kelpaa väitteessä haetuksi luvuksi. Jos käätäe oletetaa, että fz δ kaikille z [0, ], ii kaikille väli [0,] jaoille J = x i i=0 pätee f x i f x i = i= jote fx i fx i fx i fx i i= δ V f 0, δ V f0,, 8 i= i, fx i fx i δ V f0,, i=

19 ja site f o rajoitetusti heilahteleva. 3. a Selvästi f V 0 kaikille f BV ja 0 V =0. Jos f V = 0, ii f0 = 0 ja V f 0, = 0. O ilmeistä, että ehto V f 0, = 0 voi päteä vai vakiofuktioille, jolloi ehdo f0 = 0 takia o oltava f = 0. Jos f BV ja λ R, ii ilmeisesti V λf 0, = sup{ sup{ λfx i λfx i x i i=0 o väli [0,] jako} = i= λ fx i fx i x i i=0 o väli [0,] jako} = i= λ sup{ fx i fx i x i i=0 o väli [0,] jako} = λ V f 0,, i= ja koska lisäksi triviaalisti ii λf0 = λ f0, λf V = λ f V. Vielä pitää todistaa kolmioepäyhtälö paikkasapitävyys. Ku f, g BV, ii f +g V = f +g0 +V f+g 0, = f0+g0 +sup{ f +gx i f +gx i x i i=0 o väli [0,] jako} f0 + g0 +sup{ i= fx i fx i +gx i gx i } i i= f0 + g0 +sup{ fx i fx i }+sup{ gx i gx i } = f V + g V, i= missä epäyhtälö i perustuu siihe, että fx i fx i + gx i gx i fx i fx i + gx i gx i kaikille i, jolloi i= fx i fx i +gx i gx i i= fx i fx i + i= i= gx i gx i i= sup{ fx i fx i }+sup{ gx i gx i }. i= 9

20 3. b Riittää osoittaa, että kaikille x [0,] pätee fx f V. Ku x [0,], ii valitaa väli [0,] jako x 0,x,x = 0,x,, jolle saadaa fx = f0+fx f0 f0 + fx f0 + f fx = f0 + fx i fx i 3. c i= f0 +sup{ fx i fx i x i i= o väli [0,] jako} = f V. i= fg V = fg0 +V fg 0, = f0 g0 +sup{ fgx i fgx i x i i=0 o väli [0,] jako} f0 g0 +sup{ i= i= fx i gx i fx i gx i +fx i gx i fx i gx i } i= f sup g0 + g sup f0 + sup{ fx i gx i fx i gx i }+sup{ fx i gx i fx i gx i } f sup g0 + g sup f0 + sup{ f sup gx i gx i }+sup{ g sup fx i fx i } = i= f sup g0 + g sup f0 + f sup sup{ gx i gx i }+ g sup sup{ fx i fx i } = i= f sup g0 + g sup f0 + f sup V g 0,+ g sup V f 0, = f sup g V + f V g sup. 3.3 a Jos f o M-Lipschitz eli fx fy M x y kaikille x,y, ii jokaiselle ǫ > 0 vakio δ = ǫ M o kelvollie: fb i fa i i= i= i= Mb i a i = M i= i= b i a i < Mδ = ǫ. 3.3 b Tämä väite seuraa suoraa tasaise jatkuvuude määritelmästä, sillä absoluuttise jatkuvuude määrittelevä ehto toimii myös ku =. i= 0

21 3.3 c Kuvaus fx = x ei ole Lipschitz-jatkuva, kute tehtävä asettelussaki todetaa. Tämä voidaa perustellaki. Jos f olisi M-Lipschitz, ii olisi f f0 M 0 kaikille N eli mikä o mahdotota, ku > M. M, Tämä kuvaus f o kuiteki absoluuttisesti jatkuva. Tämä todistamiseksi olkoo ǫ > 0 mielivaltaie. Voidaa olettaa, että ǫ < ja valitaa α = ǫ 4. Välillä [ α,] f: derivaatta o rajoitettu, jote differetiaalilaskea väliarvolausee ojalla f o tällä välillä M-Lipschitz jolleki M > 0. Valitaa sitte δ = mi{ α, ǫ M }. Tämä o hyvä valita, sillä ku ]a i,b i [ i= ovat pistevieraita avoimia välejä ]a i,b i [ [0,], site että b i a i < δ, i= ii pistevieraude ojalla äide umeroiti voidaa esiäki valita ii, että 0 a < b a < b a 3 < < b. Jos b α, ii a α, koska b a < δ α. Silloi kaikki välit [a i,b i ] ovat välillä [ α,], jolloi M-Lipschitz-omiaisuude ojalla saadaa fb i fa i M i= i= b i a i = Mδ M ǫ M = ǫ < ǫ, ja haluttu ehto pätee. Voidaa siis olettaa, että b < α, jolloi voidaa valita m = max{i b i < α}. Kute edellä a m+ α tai m =, ja saadaa ku merkitää b 0 = 0 m fb i fa i = fb i fa i + i= m fb i fa i + ǫ i= i= ii = i=m+ m fb i fa i + ǫ i= fb m f0+ ǫ = b m + ǫ < α+ ǫ = ǫ + ǫ = ǫ, fb i fa i i iii m fb i fb i + ǫ = jote väite pätee. Tässä epäyhtälö i saadaa samalla tavalla kui yllä tapauksessa b α, yhtälö ii seuraa f: kasvavuudesta ja epäyhtälö iii kasvavuude i=

22 lisäksi ehdosta. 3.3 d Tehtävä 3. a esimerkkifuktio toimii tässä, koska tehtävä 3.4 perusteella absoluuttisesti jatkuva fuktio o rajoitetusti heilahteleva. 3.4 Olkoo f absoluuttisesti jatkuva. Tällöi o olemassa δ > 0 site, että pistevieraille avoimille väleille ]a i,b i [ [0,] pätee jos b i a i < δ, ii i= fb i fa i <. i= Kiiitetää N site, että > δ. Väite seuraa, jos osoitetaa, että V f 0,. Tähä riittää osoittaa, että jokaiselle jaolle x i m i=0 pätee m fx i fx i. 3 i= OlkoosiisJ = x i m i=0 väli[0,]mielivaltaiejako.kolmioepäyhtälöojalla o selvää, että summa 3 kasvaa jakoa tiheettäessä, jote voidaa olettaa, että J sisältää pisteet k, k = 0,...,. Olkoo x i k = k sekä erityisesti i 0 = 0 ja i = m. Tällöi saadaa m fx i fx i = i= i i= fx i fx i + i k+ k=0 i=i k + i i=i + fx i fx i < i =, fx i fx i k=0 m i=i + fx i fx i = jote väite 3 pätee. Tässä epäyhtälö i saadaa ehdoista ja, sillä välit ]x i,x i [, missä i = i k +,...,i k+ ovat pistevieraita, ja iide yhteelaskettu pituus o i k+ i=i k + x i x i = x ik+ x ik = k + k = < δ. 3.5 O selvää, että skalaarilla kertomie säilyttää absoluuttise jatkuvuude ja kolmioepäyhtälö ojalla kahde absoluuttisesti jatkuva fuktio summa o

23 ilmeisesti abasoluuttisesti jatkuva. Site A o vektoriavaruude BV aliavaruus, jote riittää osoittaa, että se o suljettu eli sisältää kasautumispisteesä. Olkoo tätä varte f jouko A joo ja f BV site, että f f ormi V mielessä. Riittää osoittaa, että f A. Olkoo ǫ > 0 mielivaltaie. Pitää löytää δ > 0 site, että pistevieraille ]a i,b i [ pätee ehto jos b i a i < δ, ii i= fb i fa i < ǫ. i= Koska f f avaruudessa BV, V, ii o olemassa m site, että f m f V < ǫ. Koska f m A, ii voidaa valita δ > 0 site, että pistevieraille ]a i,b i [ pätee ehto jos b i a i < δ, ii f m b i f m a i < ǫ. 3 i= Ehdo 3 δ toimii myös ehdossa, sillä jos pistevieraille ]a i,b i [ pätee i= b i a i < δ, ii i= fb i fa i i= f f m b j f f m a j + i= V f fm 0,+ f f m V + f m b j f m a j i i= f m b j f m a j i= i= f m b j f m a j ii < ǫ + ǫ = ǫ. Tässä epäyhtälö i seuraa siitä, että välit ]a i,b i [ [0,] ovat pistevieraita, jolloi voidaa olettaa, että 0 a < b a < b a 3 < a < b, ja äi saadaa väli [0, ] jako. Epäyhtälö ii seuraa ehdoista ja a Olkoo f Cauchy-joo avaruudessa BV, V. Pitää osoittaa, että o olemassa f BV site, että f f ormi V suhtee. Kaikille x [0,] saadaa tehtävä 3. b ojalla f x f m x f f m sup f f m V, 3

24 jote reaalilukujoo f x o Cauchy-joo, joka R: täydellisyyde ojalla suppeee kohti jotaki reaalilukua f x R. Tällöi määritelmä ataa kuvaukse f : [0,] R. fx = f x kaikille x [0,] Osoitetaa ohjetta oudatelle, että f f tasaisesti välillä [0,]. Olkoo tätä varte ǫ > 0 mielivaltaie. Pitää osoittaa, että o olemassa 0 site, että fx f x < ǫ kaikille x [0,] ja kaikille 0. Tehdää atiteesi: väite ei päde. Tällöi äärettömä moelle o olemassa x [0,] site, että fx f x ǫ. Siirtymällä tarvittaessa osajooo joka o myös Cauchy-joo voidaa olettaa, että ehto pätee kaikille. Koska f o Cauchy-joo ormi V suhtee, ii o olemassa site, että f f m V < ǫ kaikille,m. 3 Tällöi pätee f x fx ǫ kaikille, 4 sillä jos olisi site, että ii saataisii f x fx < ǫ, 5 fx f x f x fx + f x f x i ǫ + f f V ii < ǫ + ǫ = ǫ, mikä o vastoi ehtoa. Tässä epäyhtälö i seuraa ehdosta5 sekä tehtävästä 3. b. Epäyhtälö ii seuraa ehdosta3. Sytyyt ristiriita todistaa väittee4. Tämä o kuiteki mahdotota, koska f f pisteittäi välillä [0,]. Tämä ristiriita todistaa väittee. Seuraavaksi osoitetaa, että f BV. Koska f o Cauchy-joo, ii se o rajoitettu, ts. o olemassa M > 0 site, että f V M kaikille. 6 4

25 Riittää osoittaa, että kaikille väli [0,] jaoille x i m i=0 pätee m fx i fx i M +. 7 i= Kiiitetääjokijakox i m i=0.koskaf f tasaisestikuteedellätodettii, ii o olemassa 0 site, että Nyt saadaa arvio m fx i fx i i= i= fx f x < m kaikille x [0,]. 8 m m f f x i f f x i + f x i f x i m i m f f x i + f f x i + f V < +M = M +, m i= jote väite 7 pätee ja site f BV. Tässä epäyhtälö i seuraa ehdoista 6 ja 8. Lopuksi osoitetaa, että f f ormi V suhtee eli että i= i= f f V 0. 9 Tehdää atiteesi: väite 9 ei päde. Tällöi o olemassa ǫ > 0 site, että f f V > ǫ 0 äärettömä moelle. Siirtymällä osajooo voidaa olettaa, että ehto 0 pätee kaikille. Ehto 3 pätee tässäki olkoo kute ehdossa 3. Ehtoje 3 ja 0 ojalla o olemassa väli [0,] jako x i m i=0 site, että m f f x i f f x i > ǫ. i= Ehdo 3 ojalla kaikille pätee m f f x i f f x i < ǫ. i= Silloi o kaikille oltava m f fx i f fx i ǫ, 3 i= 5

26 sillä muussa tapauksessa olisi kolmioepäyhtälö ja ehdo ojalla m f f x i f f x i i= m m f fx i f f x i + f f x i f f x i < i= ǫ + ǫ = ǫ, i= mikä olisi vastoi ehtoa. Siispä ehto 3 pätee kaikille. Koska f f tasaisesti välillä [0,], ii voidaa valita site, että Tällöi saadaa i= f x fx < ǫ 4m kaikille x [0,]. m m f f x i f f x i f f x i + f f x i < m i= ǫ 4m = ǫ, mikä o vastoi ehtoa 3. Sytyyt ristiriita kaataa atiteesi, jote väite 9 pätee, ja site koko tehtävä väite o todistettu. 3.6 b Tämä väite seuraa suoraa tehtävistä 3.5 ja 3.6 a, sillä täydellise avaruude suljettu osajoukko o täydellie. 3.6 c Merkitää symbolilla T kaikkie välillä [0, ] tasaisesti jatkuvie futioide vektoriavaruutta. Ilmeisesti sup ataa ormi myös avaruutee T. Olkoo f kute esimerkissä 3. a. Määritellää kaikille fuktio f site, että { fx ku f x = x 0 ku 0 < x. Ilmeisesti f BV kaikille, sillä f o paloittai derivoituva ja derivaatta o rajoitettu. Selvästi f f ormi sup suhtee. Koska f T \BV, ii BV ei ole suljettu avaruudessa T, eikä siksi voi olla täydellie. 3.7 a Toisee suutaa tämä väite o selvä: jos g o jatkuva pisteessä x, ii myös f: o oltava jatkuva x:ssä. Muussa tapauksessa olisiesimerkiksi kasvava joo x x site, että fx fx > ǫ, jolloi gx gx = V f x,x > ǫ, jote g olisi epäjatkuva pisteessä x. i= 6

27 Toie suuta vaatii vähä todistamista. Oletetaa, että f o jatkuva pisteessä x ja osoitetaa, että g o jatkuva pisteessä x. Merkitöje selkeyttämiseksi todistetaa vai oikealta jatkuvuus; vasemmalta jatkuvuus todistetaa aalogisesti. Yksikertaistetaa merkitöjä vieläki eemmä ja oletetaa, että x = 0 ja että f0 = 0 yleie tapaus palautuu helposti äihi. Tehdää atiteesi: g ei ole jatkuva pisteessä 0. Fuktio g o kasvava, jote o olemassa g0 + = a > g0 = 0. Valitaa väli [0,] jako J = x i i=0 site, että fx i fx i > V f 0, a. i= Koska f o jatkuva pisteessä 0 ja f0 = 0, ii o olemassa δ > 0 site, että fx < a ku x < δ. Koska ehdo summa kasvaa, ku jakoa tiheetää, ii voidaa olettaa, että 0 < x < δ, jolloi siis fx < a. Koska x 0 = 0, ii ehtoje ja ojalla fx i fx i > V f 0, a. 3 i= Koska V f 0,x = gx g0 + = a, ii o olemassa väli [0,x ] jako J = y i m i=0 site, että m fy i fy i > a. 4 i= Merkitää J 3 = J J, jolloi J 3 = y 0,...,y m = x,...,x o väli [0,] jako, jolle saadaa ehtoje 3 ja 4 ojalla m fy i fy i + i= fx i fx i > a+v f 0, a = V f 0,, i= mikä o mahdotota. Tämä kaataa atiteesi, jote väite pätee. 3.7 b Lausee.60 tai.59 mukaa eräs f: esitys kasvavie fuktioide erotuksea o fx = V f 0,x V f 0,x fx. Jos f o jatkuva pisteessä x, ii a-kohda ojalla myös V f 0,x o jatkuva x:ssä. Koska jatkuvie fuktioide erotus o jatkuva, ii myös V f 0,x fx o jatkuva. 3.7 c Kute b-kohda ratkaisusta äkyy, väite seuraa, jos osoitetaa, että 7

28 absoluuttisesti jatkuvalle f myös V f 0,x o absoluuttisesti jatkuva. Oletetaa siis, että f o absoluuttisesti jatkuva. Olkoo ǫ > 0 mielivaltaie. Pitää löytää δ > 0 site, että pistevieraille väleille ]a i,b i [ pätee ku b i a i < δ ii i= V f 0,b i V f 0,a i < ǫ. i= Koska f o absoluuttisesti jatkuva, ii o olemassa δ > 0 site, että pistevieraille väleille ]c i,d i [ pätee ku d i c i < δ ii i= fd i fc i < ǫ. i= Osoitetaa, että tämä ehdo luku δ toimii myös ehdossa. Olkoot siis ]a i,b i [ pistevieraita välejä site, että i= b i a i < δ. Valitaa jokaiselle välille [a i,b i ] eriksee mielivaltaie jako J i = x ij mi j=0. Näille jakopisteille pätee m i x ij x ij = b i a i < δ, i= j= jote ehdo ojalla i= m i fx ij fx ij < ǫ. 3 i= j= Ehto 3 pätee siis kaikille välie [a i,b i ] jaoille J i. Silloi supremumi määritelmä perusteella o ilmeistä, että o oltava V f a i,b i < ǫ. i= Tämä ojalla saadaa väite : V f 0,b i V f 0,a i = i= V f a i,b i < ǫ. i= 8

29 4. Lemma 3. ojalla saadaa yhtälöt f f Jos yt olisi d i ϕ i = f f ϕ i + i=0 i=0 f ϕ i ϕ i = f i=0 ii äistä yhtälöistä saataisii f jolloi olisi i=0 f ϕ i d i ja i=0 f ϕ i. i=0 f d i ϕ i = f f ϕ i ϕ i, i=0 i=0 f ϕ i + f ϕ i d i = f i=0 i=0 f ϕ i d i = 0, i=0 ja tästä edellee f ϕ i = d i kaikille i = 0,...,. 4. a Jos määritellää kaikille N f ϕ i, d = { π ku = 0 muute, ii kaikille pätee f = d i ϕ i. i=0 Tällöi tehtävä 4. ojalla d i = f ϕ i kaikille i = 0,...,. Koska tämä pätee kaikille, ii d i = f ϕ i kaikille i N. Site f: Fourier-sarja o eräässä muodossaa d i ϕ i, i=0 missä kertoimet d i määräytyvät ehdosta. Huomautukse 3.7 perusteella kyseie sarja voidaa esittää myös muodossa a 0 + a k coskx+b k sikx, k= missä a 0 = f ϕ 0ϕ 0 = d 0 ϕ 0 = 0, 9

30 ja ku k, ii a k coskx = d k ϕ k x 0, jote a k = 0 kaikille k. 3 Kertoimille b k saadaa vastaavasti { 0 ku k b k sikx = f ϕ k ϕ k x = d k ϕ k x = π six π = six ku k =, jote b k = { ku k = 0 muute. Site esitykse kertoimet saadaa ehdoista 3 ja 4. 4 Fourier-sarja esityksessä k= c k e ikz kertoimet c k saadaa huomautukse 3.7 mukaa kaavasta c k = a k ib k, ku egatiivisille k määritellää a k = a k ja b k = b k ja b 0 = 0, jolloi ehtoje 3 ja 4 mukaa 0 ku k ± c k = i ku k = i ku k =. 4. b Samalla tavalla kui a-kohdassa saadaa fuktio fx = six Fourier-sarjaksi a 0 + a k coskx+b k sikx, missä k= a k = 0 kaikille k ja { ku k = b k = 0 muute. 4. c Koska si x = cosx, ii samalla tavalla kui edellä fuktio fx = si x Fourier-sarjaksi saadaa a 0 + a k coskx+b k sikx, k= 30

31 missä b k = 0 kaikille k ja ku k = 0 a k = ku k = 0 muute. 4. d Samoi perustei tässä kysytty Fourier-sarja o missä c k = k= c k e ikx, { d k ku k 0 muute. 4.3 a Koska π = π, ii fuktio f : [ π,π] R, fx = x voidaa ilmeisellä tavalla jatkaa koko R:ssä määritellyksi jatkuvaksi π-periodiseksi fuktioksi. f: Fourier-sarja muodossa a 0 + a k coskx+b k sikx, k= saadaa vaikkapa lauseesta 3.6, joka mukaa a k = π b k = π π π π π Nämä kertoimet osataa laskea. Esi ja ku k, ii π a 0 = π π π π t dt = π ft cosktdt ja ft siktdt. π 0 t dt = π π = π, a k = tcosktdt = tdsikt = / π π 0 kπ 0 kπ tsikt 0 kπ { / π 4 k coskt = k π ku k o parito π 0 0 ku k o parillie. Koska t sik t = t sikt, ii symmetriasyistä b k = π π π ftsiktdt = 0 kaikille k. 3 π 0 siktdt =

32 Site f: Fourier-sarja o π + a k coskx = π + a cos x = k= π 4 π = = cos x. Lausee 3.6 ojalla tämä Fourier-sarja suppeee kohti fuktiota f kaikissa väli [ π, π] pisteissä, jote väite seuraa. 4.3 b Koska si π = siπ, ii samalla tavalla kui a-kohdassa riittää laskea kuvaukse fx = six Fourier-sarja muodossa a 0 + a k coskx+b k sikx. k= Tässä a 0 = π sit dt = π sit dt = π π π 0 π Ku k, ii tehtävä ohjee mukaisesti π π / π 0 cost = π. a k = sitcosktdt = si+kt+si ktdt = π 0 π 0 / π π 0 +k cos+kt k cos kt = { { 0 ku k o parito ku k o parillie = 0 ku k o parito ku k o parillie. π +k + k Kute a-kohdassa saadaa symmetriasyistä b k = π Site f: Fourier-sarja o a 0 π π 4 π k sit siktdt = 0 kaikille k. + a k coskx+b k sikx = π + a k coskx = k= π = 4 π ja väite seuraa lauseesta cosx, k= 4.4 a Esimerkissä 3.7 todettii, että kaikille x [ π,π] pätee x = π 3 +4 = 3 cosx.

33 Ku x = 0, ii tästä saadaa josta väite seuraa. 0 = π 3 +4 = =, = π 4.4 b Tämä väite seuraa soveltamalla tehtävää 4.3 a pisteessä x = c Tämä väite saadaa vastaavasti soveltamalla tehtävää 4.3 b pisteessä x = d Ku sovelletaa tehtävää 4.3 b pisteessä x = π, ii saadaa yhtälö = π 4 π 4, josta saadaa 4.4 e = = 4 = π 4 π = π 4 = π. 4 = 3+6 = = 4 + = = 4 = 4 missä yhtälö i seuraa kohdista c ja d. = i = 4 + π 8 4 = π 8, + 4 = 4.5 Esimerki 3.7 mukaisesti fuktio fx = x Fourier-sarja o Tässä siis π 3 + = 4 cosx. a 0 = π 3, a k = 4 k k b k = 0 kaikille k. ku k ja 33

34 Silloi huomautukse 3.7 mukaa c 0 = π 3 ja c k = k k ku k 0, ja f: Fourier-sarja voidaa kirjoittaa muodossa k= c k e ikx, missä kertoimet c k ovat kute yllä. Jos ja ku tämä tosiaa suppeee ormi mielessä kohti fuktiota f, ii lauseesta 3. saadaa yhtälö π k= c k = π π t 4 dt = 5 π5, josta Koska toisaalta k= k= c k = c 0 + c k = 5 π4. k= c k = π k 4, k= ii ζ4 = k= k 4 = 8 5 π4 9 π4 = π 4 = π Kute tehtävässä 4.3 lasketaa jatkuva ja π-periodise fuktio fx = cosax Fourier-sarja muodossa a 0 + a k coskx+b k sikx. k= Tässä a 0 = π cosatdt = π π πa / π π siat = πa siπa. 34

35 Ku k, ii π π a k = cosatcosktdt = cosa ktdt+ π π π π π / π / π sia kt+ sia+kt = πa k π πa+k π πa k sia kπ+ πa+k sia+kπ = πa k siaπcoskπ cosaπsikπ+ πa+k siaπcoskπ+cosaπsikπ = πa k siaπ k + Kertoimille b k saadaa symmetriasyistä b k = π Site f: Fourier-sarja o a 0 + k= π π πa+k siaπ k = siaπ k πa k. π π ja väite seuraa lauseesta.36. cosat siktdt = 0 kaikille k. a k coskx = πa siπa+ k= siaπ k πa k 4.7 a Ku tehtävä 4.6 esityksessä valitaa x = π, saadaa cosπa = siπa πa + asiπa π = a, cosa+ktdt = coskx, josta väite seuraa. πcotπa a = = a a 4.7 b Kiiitetää x ]0,[. Helposti ähdää, että πcotπa = 0, a 0 + a jote a-kohda yhtälö vase puoli voidaa itegroida a: suhtee, ja saadaa x πcotπa / x siπa siπx da = a log = log. 0 πa πx 0 35

36 Myös a-kohda yhtälö oikea puoli voidaa itegroida, ja lausee.6 ojalla voidaa vaihtaa itegroii ja summaukse järjestys, jolloi saadaa x a x a 0 a da = = = 0 a da = / x log a = log x. 0 = = Väite seuraa yhdistämällä a-kohda tulos sekä yhtälöt ja. 4.7 c Tehtävä 4.7 b ojalla saadaa siπx siπx = exp log = exp log x πx πx = = exp log x = x. = = 4.8 a Neliössä A saadaa urkkapistettä, lukuuottamatta geometrise sarja summakaavasta esitys Silloi ζ = =0 = 0 0 = =0 xy dxdy i = + xy = xy. =0 + = 0 0 =0 0 xy dxdy = =0 x dx y dy = dxdy = I. xy Tässä itegroii ja summaukse järjestyksevaihto i voidaa perustella vaikkapa mootoise kovergessi lausetta käyttäe. 4.8 b Ehdotettu muuttujavaihto voidaa kirjoittaa lieaarikuvauksea f : B A, fu,v = u v, u + v, joka Jacobi determiatille ilmeisesti pätee J f. Lisäksi u,v-koordiaateissa fuktio / xy tulee muotoo xy = u v u+v = u +v. 36

37 Silloi I = B u +v J f dvdu = u u +v dv du u u 0 u +v dv du+4 u +u u +v dv du = u u +v dv Koska dx a +x = a arcta x a +C, ii u / u 0 u +v dv = arcta v = 0 u u arcta u u u ja vastaavasti u / u +vdv = 0 0 u arcta u u. u 0 arcta v = u u Itegraalit I ja I tulevat tällöi muotoo I = 4 arcta u 0 u u u I = 4 arcta du. u u 0 du ja du =: I +I. Itegraalissa I tehdää muuttujavaihto u = sit, jossa t käy läpi väli 0 t π du 6. Lisäksi dt = cost ja u = si t = cost, jolloi saadaa π 6 sit cost π 6 I = 4 arcta dt = 4 t dt = 4 π π = cost cost 6 8. Itegraalissa I tehdää muuttujavaihto u = cost, jossa t käy taas läpi väli 0 t π du 6, tosi suuta muuttuu. Lisäksi dt = sit ja u = cos t = sit = costsit sekä u = cost = si t, jolloi saadaa 0 I = 4 arcta sit π 6 π 6 4 t dt = 4 0 π 6 = π 9. si t costsit 0 sitdt = 37

38 4.8 c Kohtie a ja b ojalla saadaa ζ = I = I +I = π 8 + π 9 = π 6. 38

39 5. a Olkoot m, N site, että sytm, =. Merkitää M = {d d m}, M = {d d } ja MN = {d d m}. Tällöi ilmeisesti oletukse sytm, = ojalla kuvaus M N M N, d,d dd o bijektio. Lisäksi sytd,d = kaikille d,d M N. Tällöi saadaa gm = fd = fdd = fdfd = d M d MN d Nfdfd = d M jote väite pätee. d,d M N d,d M N fd fd = d Mfdg = gmg, d N 5. b Olkootm,,M,N jamn kutea-kohdassa.tällöioletuksesytm, = ojalla kaikille d,d M N pätee syt m d, d =, ja µ: tuetu multiplikatiivisuude ojalla saadaa hm = d MN µ m d fd = d,d M N d,d M Nµ m d µ d fdfd = d M jote väite pätee. µ m d d fdd = µ m d fd µ d fd = hmh, d N 5. a Alkulukupotesseissa = p a saadaa µ: määritelmästä d µd d = a i=0 µp i p i = i=0 µp i p i = p = pa p p a i = ϕpa p a, missä yhtälö i perustuu Lt-kurssi esimerkkii 7.3. Site väite d µd d = ϕ pätee alkulukupotesseissa. Koska väittee molemmat puolet ovat multiplikatiivisia, väite pätee kaikille. 5. b Koska µ ja ϕ ovat multiplikatiivisia, ii triviaalisti myös tulo µϕ o multiplikatiivie. Silloi tehtävä 5. a mukaa tehtävä summa o multiplikatiivie fuktio. Alkulukupotesseissa = p a saadaa µdϕd = d a µp i ϕp i = i=0 µp i ϕp i = p = p. i=0 39

40 Jos luvu alkulukuesitys o ii multiplikatiivisuude ojalla = k i= µdϕd = d p ai i, k p i. 5. c Tässä vastaavalla tavalla kui b-kohdassa saadaa esi alkulukupotessille = p a µd ϕd = d a µp i ϕp i = i=0 Jos luvu alkulukuesitys o ii multiplikatiivisuude ojalla = i= µp i ϕp i = +p = p p+. i=0 µd ϕd = d k i= p ai i, k p i p i d Kute edellä saadaa esi alkulukupotessille = p a d µd ϕd = µp i ϕp i i=0 = Jos luvu alkulukuesitys o ii multiplikatiivisuude ojalla i=0 = i= µp i ϕp i = p = p p. k i= µd ϕd = d 5.3 Jos sytm, =, ii σ k mσ k = d md k d d k p ai i, k i= = d,d N d m, d p i p i. dd k i = e me k = σm, 40

41 jote σ k o multiplikatiivie. Tässä yhtälö i perustuu siihe, että oletukse sytm, = ojalla kuvaus {d,d N d m, d } {e N e m}, d,d dd o ilmeisesti bijektio. Jos o alkulukupotessi, = p a, ii geometrise sarja summakaavasta saadaa σ k = a p j k = j=0 a p k j = pk a+ p k j=0 Jos luvu alkulukuesitys o = l ehdo ojalla saadaa σ k = l i= σ k p ai i = l i= pai i i= = pa+ k p k., ii multiplikatiivisuude ja p ai+ i k p k i. 5.4 a Alkuluvut ovat defisiettejä, sillä kaikille p P pätee σp = d p d = +p < p. Koska alkulukuja o äärettömä mota, ii myös defisiettejä lukuja o äärettömä mota. 5.4 b Olkoo abudatti tai täydellie, jolloi Oletetaa esi, että o parito. Tällöi ilmeisesti σ. {d d } = {d d } {d d }. Lisäksi yhdiste o : parittomuude ojalla pistevieras, jolloi saadaa σ = d = d + d = 3 d d d d d = 3σ i 6 >, jote o abudatti. Tässä epäyhtälö i tulee oletuksesta. Oletetaa sitte, että o parillie, jolloi se o muotoa = a m, missä a ja m o parito. Tällöi saadaa σ i = σ a σm ii = a+ σm, 3 4

42 missä yhtälö i saadaa σ: multiplikatiivisuudesta ja m: parittomuudesta. Yhtälö ii seuraa tehtävästä 5.3, jossa k =. Vastaavasti saadaa Tällöi σ = σ a+ m = a+ σm. 4 σ i = a+ σm+σm ii = σ+σm iii +σm >, jote o abudatti. Tässä yhtälö i tulee ehdosta 4, yhtälö ii ehdosta 3 ja epäyhtälö iii oletuksesta. 5.4 c b-kohda ojalla väite seuraa, jos löytyy yksiki abudatti tai täydellie luku. Esimerkiksi 6 o täydellie. Tällöi b-kohda ojalla kaikki luvut k 6 ovat abudatteja ja esimerkiksi o kokreettie abudatti luku. Myös parittomia abudatteja lukuja tuetaa ämä eivät kuitekaa ole täydellisiä. 5.5 a Jos luvu alkulukuesitys o = k i= pai i, ii lausee Lt, 7.4 mukaa k ν = a i +. Tällöi ν o parito i= a i + o parito kaikille i =,...,k a i o parillie kaikille i =,...,k a i = b i kaikille i =,...,k k = = i= k i= p bi i o eliö. p bi i 5.5 b Koska jokaie muotoa k oleva luku voidaa esittää muodossa s l, missä l o parito, ii väite voidaa esittää muodossa σ o parito jos ja vai jos o parito eliö tai muotoa s k, missä s ja k o parito. Olkoo luvu alkulukuesitys = k i= pai i. Oletetaa esi, että o pa- 4

43 rito. Tällöi i σ o parito k p ai+ i o parito p i i= k a i i= j=0 a i p j i j=0 p j i ii summassa o parito o parito kaikille i =,...,k a i p j i j=0 a i o parillie kaikille i =,...,k a i = b i kaikille i =,...,k k = = i= k i= p bi i o eliö. p bi i o parito määrä termejä kaikille i =,...,k Tässä ekvivalessi i seuraa tehtävästä 5.3 ja ii saadaa siitä, että : parittomuude ojalla kaikki p i :t ovat parittomia, jolloi summassa a i j=0 pj i o vai parittomia termejä. Olkoo sitte parillie, jolloi se o muotoa = a m, missä a ja m o parito. Kute yllä saadaa esi σ o parito a i p j i j=0 o parito kaikille i =,...,k. Olkoo p =, jolloi a p j = a j=0 j=0 o aia parito. Silloi ehdosta saadaa j σ o parito a i p j i j=0 o parito kaikille i =,...,k. 43

44 Koska m = k i= pai i a i p j i j=0, ii kute yllä Väite seuraa ehdoista ja 3. o parito kaikille i =,...,k m o eliö c Koska ν o multiplikatiivie, ii tehtävä 5. ojalla myös kuvaus d µ d νd o multiplikatiivie. Alkulukupotesseissa pa saadaa d p a µ pa a d νd = µp a k νp k = k=0 νp a +νp a = a+a+ =. a k=a Multiplikatiivisuude ojalla pätee tällöi µ νd = kaikille. d d µp a k νp k = 5.5 d Tehtävä 5. ojalla myös kuvaus d µ d σd o multiplikatiivie. Alkulukupotesseissa p a saadaa d p a µ pa a d σd = µp a k σp k = k=0 a k=a µp a k σp k = σp a +σp a = pa p + pa+ = pa+ p a = p a. p p Multiplikatiivisuude ojalla pätee tällöi µ νd = kaikille. d d 5.6 a = d d d d = d d d = = d d d ν, ja väite seuraa. 5.6 b k= sytk,= k = k= sytk,= k + k = k= sytk,= k + k = k= sytk,= k= sytk,= = ϕ, 44

45 ja väite seuraa. 5.7 a ζs = m= d m s s = = = m s = m s = m= d m =k+l= m= νm m s, k s l s = = k= k k s i = missä summeerausjärjestykse vaihto eli yhtälö i perustuu siihe, että kuvaus {d,m Z d m} {k, Z k }, d,m d,d+ m d o bijektio ja se kääteiskuvaus o = k, k,k k. 5.7 b a-kohda bijektiivistä kuvausta käyttäe saadaa vastaavasti ζs ζs = s s = k s l s = = k= k k k s = m= d m = d m s = m= =k+l= m s d = d m m= σm m s. 5.8 a Tehdää atiteesi: sarja A suppeee; olkoo S se summa. Tarkastellaa summaa i= Jokaie luku i =,..., voidaa esittää yksikäsitteisellä tavalla muodossa i = s i a i, missä s i N ja a i A. Jaetaa luvut i =,..., pistevieraisii luokkii B,...,B m, missä samassa luokassa B k oleville i,j pätee s i = s j =: b k. Lisäksi oletetaa, että eri luokissa oleville i,j pätee s i s j, jolloi siis b k b l ku k l. Silloi saadaa arvio i= m i = s i B k i a i k= = m b k= k i. i B k a i i S m b k= k ii S k= k. Tässä epäyhtälö i seuraa siitä, että samassa luokassa B k oleville i j pätee välttämättä a i a j, jolloi i B k a i a A a = S. Epäyhtälö ii seuraa siitä, että b k b l, ku k l, jolloi summassa o m kappaletta eri lukuja b k {,...,}. 45

46 Koska sarja k= k suppeee, ii arvio ojalla myös harmoie sarja i= i suppeee, mikä ei pidä paikkaasa. Tämä kaataa atiteesi, jote väite pätee. 5.8 b Luetellaa alkuluvut periteisee tapaa suuruusjärjestyksessä: P = {p,p,p 3,...}. Tehdää tässäki atiteesi: tulo p P + p suppeee; olkoo T kyseie tulo. Tarkastellaa a-kohda epäyhtälöä ja siiä olevia lukuja a i A. Näille pätee a i i. Nämä ovat siis eliötekijättömiä, jote e ovat ykkösiä tai muotoa a i = p j p ji joilleki eri alkuluvuille p jk. Iduktiolla ähdää helposti, että summaksi avatussa tulossa + = p j p p p p p p p p j= esiityy jokaie tällaie a i. Koska lisäksi a-kohda ratkaisu samassa luokassa B k oleville i j pätee välttämättä a i a j, ii i B k a i + T. p j j= Tällöi ehdo sijasta saadaa arvio i= i T k, k= joka yhtälailla johtaa atiteesi kaalta turmioo. 5.8 c Tämä väite seuraa b-kohdasta lemma 4. ojalla. 46

47 6. Kaikille s > kuvaus x x s o väheevä välillä [, [, jolloi saadaa arviot Silloi jote + s t dt s kaikille ja t sdt Tästä saadaa itegroimalla / = tsdt kaikille. s = + = s tsdt ζs + t sdt. s t s ζs + / ζs + s s = s s. 6. b a-kohda perusteella kaikille s > pätee s ζs s, jolloi väite s +s ζs = seuraa. 6. Lausee 5.6 ojalla kaikille s > pätee ζs = s s s jote väite voidaa kirjoittaa muotoo s s + s s s s + s +s t t dt = γ eli ts+ t t dt = γ. ts+ t sdt, s t s eli t t dt, ts+ t t dt = γ eli ts+ Tässä saadaa vaikkapa lausetta.7 eli käytäössä Lebesgue kovergessilausetta käyttäe vaihdettua itegroii ja rajakäyi järjestys, jolloi s + t t dt = ts+ t t dt = s + ts+ t t t dt = γ, 47

48 kute esimerkistä 4.7 äkyy. 6.3 a Huomataa esi, että sarja Fs = = log s suppeee lokaalisti tasaisesti välillä ], [. Tämä johtuu siitä, että aetulle s 0 > voidaa valita < u < v < s 0, ja äille pätee log v suurille, u jolloi kaikille w > v saadaa w:stä riippumato arvio log w suurille. u Silloi sarja Fs suppeee tasaisesti pistee s 0 ympäristössä ]v, [, jos majorattisarja i= suppeee. Mutta tämä o yliharmoie sarja, jote asia u o selvä. Aalyysi alkeiskursseilla o mahdollisesti todistettu lause, joka saoo seuraavaa: jos fuktiosarja suppeee ja vastaava derivaattasarja suppeee lokaalisti tasaisesti, ii fuktiosarja summa o derivoituva ja se derivaatta o derivaattasarja summa. Tässä ei siis tarvitse tietää edes fuktiosarja tasaista suppeemista. Tämä tulos löytyy esimerkiksi lähteestä Stromberg: A itroductio to classical aalysis, Thm Todistus o alkeellie ja helppo; väite seuraa erotusosamäärää tarkastelemalla ja syvällisi tarvittava tulos o kolmioepäyhtälö. Koska d ds s = d ds e slog = log s, ii yllä saotu ojalla fuktiosarja = summa eli ζs o derivoituva s ja se derivaatta o derivaattasarja summa eli pätee ζ s = Fs = 6.3 b Kaikille s > kuvaus x logx Silloi saadaa arvio log s = = log s =4 log s + 3 = x s = log s. o väheevä välillä [e, [, jolloi logt dt kaikille 4. ts log logt 3 s 3 t s dt+ log = logt t s dt+c, 48

49 missä vakio C ei riipu luvusta s. Toisaalta väheevyyde perusteella myös jolloi saadaa arvio = logt t s dt = + 3 logt log dt ts s kaikille 3, logt 3 t s dt+ logt t s dt log 3 s + =3 logt dt t log s +C, missä vakio C ei riipu luvusta s. Yhdistämällä arviot ja saadaa ehto log logt s t s dt C, missä vakio C ei riipu luvusta s. 3 Silloi = = = log s log s = logt dt = O eli ts logt t s dt+o. 6.3 c Tehdää itegraalissa logt t dt muuttujavaihto u = s logt eli s e u = t s, jolloi du dt = s, t ja saadaa logt u t s dt = s t 0 te u s du = u s 0 eudu = 4 s ude u / = 0 s ue u + 0 s e u du = 0 / 0 s e u = 0 s. Tällöi c-kohda väite seuraa a- ja b-kohdista. 6.3 d a-kohda sekä ehtoje 3 ja 4 ojalla ζ s+ s C, missä vakio C ei riipu luvusta s. 5 Ehdo 5 perusteella s ζ s = s s + s + ζ s+ s = 0 =. 49

50 6.4 Merkitää ohjee mukaisesti fs = ζ s ζs l = if x ψx x, L = sup ψx x x, kaikille s > ja l = if s + s fs ja L = sup s + s fs. Triviaalisti pätee l L. Osoitetaa, että L L. Väite pätee, jos L =, jote voidaa olettaa, että L o reaalie. Olkoo a > L mielivaltaie. Riittää osoittaa, että L a. Koska a > L, ii luvu L määritelmä ojalla o olemassa x 0 > site, että Kaikille s > pätee fs = ζ s ζs x0 s s s x0 x0 ψt t s+dt+s i = s x 0 ψt / t s+dt+as ψt as dt+ t s, ψx x < a kaikille x x 0. 3 ψt t s+dt = s a t sdt s x0 s t s = s x0 ψt t s+dt+s ψt t s+dt+s x0 x 0 a t sdt = ψt as ts+dt+ s ψt ii ts+dt 4 missä esitys i saadaa lauseesta 5.5 ja epäyhtälö ii ehdosta 3. Merkitää C = x0 ψt t dt, jolloi C o vakio, joka erityisesti ei riipu luvusta s. Ehdo 4 ojalla saadaa kaikille s > arvio s fs Css +as. Tällöi L = sup s + s fs sup s + Css +as = s + Css +as = a, jote väite pätee, ja silloi pätee myös väite. Vastaavalla tavalla ähdää, että l l. 5 50