4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "4.1 Kaksi pistettä määrää suoran"

Transkriptio

1 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne, jossa tunnetaan vain yksi piste, mutta tiedetään suoran suunta, tavallisimmin kaltevuuskulman avulla. Asetellaanpa aluksi koordinaatistoon viivoitin, niin että sen syrjälle asetettu kynä käy pisteen Q = ( 0, y 0 ) kautta ja piirretään nouseva suora niin, että se muodostaa -akselin kanssa kulman α Suoralta on kuvassa valittu mielivaltainen piste P = (,y) jonka kautta on piirretty y-akselin suuntainen suora, pisteen Q kautta - akselin suuntainen suora, ja näiden apupiirrosten avulla on saatu aikaan suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusan muodostaa pieni pätkä piirrettyä suoraa, ja jonka kateettien pituudet ovat 0 ja y y 0. Näin konstruoidusta kolmiosta saadaan yhtälö: y P = (, y) Q = ( 0, y 0 ) α y y 0 α 0 y y tanα = 0 y y0 = ( 0) tanα y y0 = k( 0), 0 (*) missä on merkitty k = tanα. Tässä tarvittaan geometrista tietoa samankohtaisten kulmien käsitteestä; yllä olevassa kuviossa on kaksi α:n suuruista kulmaa. Koska valittu piste P oli mielivaltainen suoran piste, niin mikä tahansa suoran piste, mutta ei yksikään suoralle kuulumaton piste, toteuttaa yhtälön (*).

2 Jos piirrettäisiin pisteen Q kautta kulkeva laskeva suora, jonka kaltevuuskulma -akselin kanssa on niin ikään α, otettaisiin tältä mielivaltainen piste P = (, y), ja kuvio täydennettäisiin taas suorakulmaiseksi kolmioksi, jonka hypotenuusa olisi y y jana QP, niin tässä tapauksessa suhde 0 olisi negatiivinen, mutta kaikille 0 suoran pisteille vakio. Tätä suhdetta, lukua k sanotaan suoran kulmakertoimeksi, ja se määrää suoran "jyrkkyyden"! Mitä suurempi k on, sitä suurempi on myös suoran kaltevuuskulma α, ja sitä jyrkemmin suora nousee tai laskee. Pisteen ( 0, y 0 ) kautta kulkeva suora voi olla myös y-akselin suuntainen. Sen ja - akselin välinen kulma on suora, eikä sillä kulmalla ole tangenttia. Tämän vuoksi y- akselin suuntainen suora aina vaatii erityshuomiota. Näiden johdattelujen jälkeen voidaan kirjoittaa LAUSE 7: Yhtälön y y0 = k( 0) kuvaaja on aina pisteen ( 0, y 0 ) kautta kulkeva suora viiva, jonka kaltevuuskulma α -akseliin nähden toteuttaa yhtälön tanα = k Suoran pisteen y koordinaatti :n arvojen kasvaessa - kasvaa, jos k > 0 (suora on nouseva) - pienenee, jos k < 0 (suora on laskeva) - pysyy vakiona, jos k = 0 (vaakasuora). Trigonometrian taitajat käyttävät suoran piirtämisessä menetelmää, joka perustuu siihen, että sisäistää kulmakertoimen ja suoran suuntakulman välisen yhteyden. Jos esimerkiksi k =, ja kun k = tanα, niin siirtymällä pisteestä ( 0, y 0 ) yksi (pituusyksikkö) oikealle ja tästä pisteestä kaksi (pituusyksikköä) ylös, tullaan suoran pisteeseen. Jos taas k =, pisteestä ( 0, y 0 ) edetään ensin kolme oikealle, 3 sen jälkeen kaksi alas, ja taas ollaan suoran pisteessä.

3 Sievennetään yhtälöä y y0 = k( 0) poistamalla sulut ja siirtelemällä termejä: y y0 = k( 0) y = k + y0 k0 y = k + b, missä on merkitty b = y0 k0. Siten on oikeutettua sanoa, että ensimmäisen asteen polynomifunktio on yleistä muotoa y = k + b, johon origon kautta kulkeva suora y = k sisältyy erikoistapauksena b = 0. LAUSE 8: Funktion y = k + b kuvaaja on suora viiva, joka leikkaa y-akselin pisteessä (0,b) ja jonka kaltevuuskulma α -akselin suhteen toteuttaa yhtälön tanα = k Suoran pisteen y koordinaatti :n arvojen kasvaessa - kasvaa, jos k > 0 (suora on nouseva) - pienenee, jos k < 0 (suora on laskeva) - pysyy vakiona, jos k = 0 (vaakasuora). Jos erikoistapauksena piste ( 0, y 0 ) on origo, niin origon kautta kulkevan suoran yhtälö on y = k

4 Esim. 1 Suora kulkee pisteen ( 1,3) kautta ja sen kulmakerroin on. Määrää sen yhtälö ja ne pisteet, joissa suora leikkaa a) y-akselin b) -akselin. Sijoitetaan tunnetut luvut yhtälöön y y0 = k( 0) : y 3 = ( ( 1)) y 3 = + y = + 5 Koordinaattiakseleilla oleville pisteille: y-akselin jokaisen pisteen -koordi on nolla -akselin jokaisen pisteen y-koordi on nolla. Suora leikkaa y-akselin: y = = 5. Siis pisteessä (0,5). Suora leikkaa -akselin: 0 = + 5, josta = ½. Siis piste ( ½,0). Esim. Suoran yhtälö on 4y + 4 = 0. Määritä sen kulmakerroin ja suuntakulma (kaltevuuskulma). Kuten oli toisen asteen yhtälössä, ratkaisukaavan käyttö edellyttää yhtälön saattamista normaalimuotoon. Siten ei suoran kulmakerroin suoraan ole muuttujan kerroin, ellei suoran yhtälö ole muodossa y = k + b. Yhtälön normaaleja sievennyssääntöjä käyttäen tähän esitysmuotoon kyllä päästään: 4y + 4 = 0 4y = 4 : ( 4) y = + 6 Suoran kulmakerroin on siis ½, joten suora on lievästi nouseva. Suuntakulmalle on voimassa tanα = α = tan ( ) =

5 Tarkastellaan nyt tapausta, jossa tunnetaan suoran kaksi pistettä. Katsellaan oheista kuvaa ja sen avulla suoran suuntakulman tangentin määräämistä. Kyseessä on siis kahden annetun pisteen, ( 1, y1 ) ja (, y ) kautta kulkeva suora. y y y 1 d P (1, y1) 1 = P = (, y) α 1 k = tanα = y y 1 1 Kun ennestään tunnetaan kaksikin pistettä, joiden kautta suora kulkee, niin saadaan lauseen 4.7 nojalla muodostettua ko. suoran yhtälö, siis nojautumalla tulokseen y y = k( ) o Tunnettuna pisteenä sopii käyttää kumpaa hyvänsä annetuista pisteistä, ei kuitenkaan niin, että valitsee -koordinaatin toisesta ja y-koordinaatin toisesta pisteestä. Mikäli annetuilla pisteillä on sama -koordinaatti, ko. suora on y-akselin suuntainen eikä sillä ole kulmakerrointa. o

6 Lause 9: Pisteiden ( 1, y1 ) ja (, y ) kautta kulkevan suoran yhtälö on tapauksessa y y y y = 1 1 ( 1) 1. Jos =, suora on y-akselin suuntainen = Esim. 3 Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteiden (1,) ja ( 1,4) kautta. Olkoon ( 1, y1) = (1,) ja (, y) = ( 1,4) y y 4 y y 1 1 = ( 1) eli y = ( 1) eli y = ( 1) eli y = ( 1) eli y = + 1 y = + 3 taikka + y 3 = 0. eli Esim. 4 Kuinka suuri on sen kolmion ala, jonka koordinaattiakselit muodostavat pisteiden ( 1, 3) ja ( 5,) kautta kulkevan suoran kanssa. Valitaan ensin mainitun pisteen koordinaattien alaindekseiksi 1 ja jälkimmäisen. Suoran yhtälö tällöin y + 3 = ( + 1) eli y + 3 = ( + 1), josta ( 4):llä kertomalla saadaan 4(y + 3) = 5( + 1) eli 4y 1 = eli 5 + 4y + 17 = 0. Tämä suora leikkaa y-akselin, kun = 0 ts. 4y = 17 eli y = 17/4 ja toisaalta suora leikkaa -akselin, kun y = 0 ts. 5 = 17, josta = 17/5. Kolmion kanta ja korkeus ovat määritettyjen pisteiden nollasta eroavien koordinaattien itseisarvot ja A = ½ =

7 Huom.!! Saattamalla kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön ratkaistuun muotoon näet heti suoran kulmakertoimen ja vakiotermin. Kun tiedät näiden merkityksen ja kun toisaalta voit ko. suoran piirtää annettujen pisteiden avulla, voit suhteellisen vaivattomasti tarkistaa, onko suoran yhtälön määritys mennyt oikein. Tehtävän arvoa ei millään lailla alenna, vaikka tällainen tarkistusmenettely ajatuskuvioineen näkyisi paperillakin. ON syytä todellakin pyrkiä ilmaisemaan ajatuksensa kirjallisesti, jopa kotitehtävien suorituksessa.

1.1 Yhtälön sieventäminen

1.1 Yhtälön sieventäminen 1.1 Yhtälön sieventäminen Lausekkeeksi voidaan kutsua jokaista merkittyä laskutoimitusta. Sellaisia matema-tiikan tehtäviä on vähän, joita suorittaessaan ei joutuisi sieventämään lausekkeita, millä tarkoitetaan

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio 2: Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio 2: Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio : Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY.0 -lisenssillä. 1 Osio : Trigonometriaa ja geometrian

Lisätiedot

Kreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden

Kreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden MAB2: Geometrian lähtökohdat 2 Aluksi Aloitetaan lyhyellä katsauksella geometrian historiaan. Jatketaan sen jälkeen kuvailemalla geometrian atomeja, jotka ovat piste ja kulma. Johdetaan näistä lähtien

Lisätiedot

Y100 kurssimateriaali

Y100 kurssimateriaali Y kurssimateriaali Syksy Jokke Häsä ja Jaakko Kortesharju Sisältö Johdanto 4 Reaaliarvoiset funktiot 5. Funktio.................................... 5. Yhdistetty funktio.............................. 7.3

Lisätiedot

Pitkän matematiikan kertaustehtävät

Pitkän matematiikan kertaustehtävät Pitkän matematiikan kertaustehtävät Kurssit 1-10 Tehtäväpaketti soveltuu erityisen hyvin koko pitkän matematiikan pakollisen oppimäärän kertaamiseen lyhyessä ajassa. Asioiden käsittelyjärjestys ja kappalejako

Lisätiedot

Lukiotason matematiikan tietosanakirja

Lukiotason matematiikan tietosanakirja niinkuin matematiikka Simo K. Kivelä Lukiotason matematiikan tietosanakirja Versio 1.12 / 10.08.2000 Simo K. Kivelä Riikka Nurmiainen TKK 1998 2005 Taustat 1/1 Lukiotason matematiikan tietosanakirja M

Lisätiedot

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015 Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 995 05 Tehtävät 9. Pohjoismainen matematiikkakilpailu, 5.3.995 995.. Olkoon AB O-keskisen ympyrän halkaisija. Valitaan ympyrän kehältä pistec

Lisätiedot

1.Kuvauksen lähtöaineisto

1.Kuvauksen lähtöaineisto 1.Kuvauksen lähtöaineisto 1 Tieteen tehtävänä on uuden tiedon hankkiminen. Käyttäytymistieteet tutkivat elollisten olioiden käyttäytymistä voidakseen ymmärtää sitä tai ainakin löytääkseen siitä säännönmukaisuuksia;

Lisätiedot

Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta

Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta 21.7.2009 Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Kiihdyttäviä autoja, lipsuvia hihnoja, loistavia tehtäviä, loistavaa filosofiaa LAske! Sisältö Alustavia lähtökohtia mekaniikkaan...

Lisätiedot

DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA DISKREETTI MATEMATIIKKA 1 2 DISKREETTI MATEMATIIKKA Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 2. Kombinatoriikkaa 8 2.1. Tulo- ja summaperiaate 9 2.2.

Lisätiedot

WORD- ja EXCEL-opas Office 2010

WORD- ja EXCEL-opas Office 2010 Aalto Yliopiston Teknillinen Korkeakoulu Kemian ja materiaalitieteiden tiedekunta Kemian laitos Fysikaalisen kemian ja sähkökemian tutkimusryhmä WORD- ja EXCEL-opas Office 2010 Annukka Aarnio asantasa@cc.hut.fi

Lisätiedot

Karttojen värittäminen

Karttojen värittäminen Karttojen värittäminen Neliväriongelman värityskombinaatioiden lukumäärän etsiminen graafien avulla Eero Räty & Samuli Thomasson Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka

Lisätiedot

Demo 1: Sisä- ja ulkopistemenetelmät

Demo 1: Sisä- ja ulkopistemenetelmät Mat-2.2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 11 Ehtamo Demo 1: Sisä- ja ulkopistemenetelmät a) Ratkaise tehtävä min (x 1 2) 4 + (x 1 2x 2 ) 2 s.e. x 2 = x 2 1 käyttäen kvadraattista ulkopuolista sakkofunktiota.

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Tommi Syrjänen 1 Yleistä pumppauslemmoista Pumppauslemmalla voidaan todistaa, että kieli ei kuulu johonkin kieliluokkaan.

Lisätiedot

1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa

1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa 1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa (Lähde: Lamon, S. 1999. Teaching fractions and ratios for understanding. New Jersey: Lawrence Erlbaum Publishers.) Murtolukujen alueelle siirryttäessä

Lisätiedot

b) Ampeerin määritelmä perustuu kahden pitkä yhdensuuntaisen virtajohtimien väliseen voimavaikutukseen, joka on magneettinen vuorovaikutus

b) Ampeerin määritelmä perustuu kahden pitkä yhdensuuntaisen virtajohtimien väliseen voimavaikutukseen, joka on magneettinen vuorovaikutus Fotoni 6 6-1 Kertaustehtäviä Luku 1 1. a) Tee lyhyesti selkoa sähkövirran vaikutuksista. b) Mihin sähkövirran vaikutukseen perustuu ampeerin määritelmä? c) Mihin sähkövirran vaikutukseen perustuvat akun

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 3 MAA Todennäköisyys ja tilastot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Montreal Cognitive Assesment (MoCA) Esitys- ja pisteytysohjeet

Montreal Cognitive Assesment (MoCA) Esitys- ja pisteytysohjeet Montreal Cognitive Assesment (MoCA) Esitys- ja pisteytysohjeet Montreal Cognitive Assesment (MoCA) on suuniteltu lievien kognitiivisten vaikeuksien nopeaksi seulontamenetelmäksi. Sillä arvioidaan tiedonkäsittelyn

Lisätiedot

NIKO LANNETTA KINNERIN GEOMETRIAN SUUNNITTELU SEKÄ MATEMAATTI- SEN MALLIN LUONTI. Kandidaatintyö

NIKO LANNETTA KINNERIN GEOMETRIAN SUUNNITTELU SEKÄ MATEMAATTI- SEN MALLIN LUONTI. Kandidaatintyö NIKO LANNETTA KINNERIN GEOMETRIAN SUUNNITTELU SEKÄ MATEMAATTI- SEN MALLIN LUONTI Kandidaatintyö Tarkastaja: lehtori Risto Alanko Tarkastaja ja aihe hyväksytty Konetekniikan tiedekuntaneuvoston kokouksessa

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia...............

Lisätiedot

Laskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti?

Laskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti? Laskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti? Wilhelmiina Hämäläinen Johdatus tietojenkäsittelytieteeseen 1.-2.12. 2003 Tietojenkäsittelytieteen laitos Joensuun yliopisto 1 Johdanto

Lisätiedot

Vuokrakaton vaikutus asuntojen tarjontaan. Vientitukien vaikutus vaihtotaseeseen. Työmarkkirakenteiden vaikutus työttömyysasteeseen

Vuokrakaton vaikutus asuntojen tarjontaan. Vientitukien vaikutus vaihtotaseeseen. Työmarkkirakenteiden vaikutus työttömyysasteeseen TU-91.1001 Kansantaloustieteen perusteet, Syksy 2014 1. www-harjoituksen mallivastaukset Tehtävä 1 Mitkä seuraavista asioista kuuluvat mikro- ja makrotaloustieteen piiriin? Vuokrakaton vaikutus asuntojen

Lisätiedot

Adverbeista. Adverbin määrittely.

Adverbeista. Adverbin määrittely. Adverbeista 137 Adverbeista. Adverbin määrittely. Perinnäisistä sanaluokista adverbit kuuluvat kaikista vaikeimmin määriteltäviin. Samoin kuin muiden sanaluokkien on niidenkin määrittelemiseksi etsitty

Lisätiedot

Kun vauhti ei riitä Elämänkoulu-lehti 2006

Kun vauhti ei riitä Elämänkoulu-lehti 2006 Kun vauhti ei riitä Elämänkoulu-lehti 2006 Eija Voutilainen pedagoginen yhteyshenkilö, Helsingin Matikkamaa Tämän syksyn koulukirjoittelua yleisönosastoissa on hallinnut lahjakkaan oppijan teema: Lahjakas

Lisätiedot

D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I. origo x

D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I. origo x D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I origo f ( x, y ) x y 4 1 Segmentointi...43 1.1 Epäjatkuvuuskohtiin perustuva segmentointi... 43 1.1.1 Pisteentunnistus (point etection)...

Lisätiedot

Myynti, valmistus ja huolto: Mika Jylhä, Lohjantie 1 P, 05840 Hyvinkää Puh. 040-553 9418

Myynti, valmistus ja huolto: Mika Jylhä, Lohjantie 1 P, 05840 Hyvinkää Puh. 040-553 9418 JC-TRIP Myynti, valmistus ja huolto: Mika Jylhä, Lohjantie 1 P, 05840 Hyvinkää Puh. 040-553 9418 SISÄLLYSLUETTELO Laskimen ja tripin asennus autoon... 1 Jännitteen kytkeminen laskimelle...1 Jalkanollauskytkimen

Lisätiedot