5 Kertaus: Matemaattisia malleja

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "5 Kertaus: Matemaattisia malleja"

Transkriptio

1 5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5. Kurssin keskeiset asiat. a) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin k = ja pisteen (0, 3) avulla. y ( 3) ( x 0) y 3 x y x 3 b) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin k = 3 ja pisteen (, ) avulla. y 3( x ) y 3x 3 y 3x 5

2 . a) Lasketaan ensin suoran kulmakerroin k k 3 3 Muodostetaan sitten suoran yhtälö. y 4 3( x ) y 4 3x 6 y 3x b) Lasketaan ensin suoran kulmakerroin k. ( 3) 3 4 k Muodostetaan sitten suoran yhtälö. y ( x ) y x y x

3 3. a) Lasketaan suoran kulmakerroin k. ( 8) 8 9 k Muodostetaan suoran yhtälö. y 3( x ( )) y 3( x ) y 3x 6 y 3x 5 b) Tutkitaan, onko piste (7, 4) suoralla sijoittamalla pisteen koordinaatit suoran yhtälöön Koska saatu yhtälö ei päde, piste (7, 4) ei ole suoralla y 3x 5.

4 4. a) Geometrisen jonon yleisen jäsenen määrittämiseksi tarvitaan jonon ensimmäinen jäsen a 64 suhdeluku 3 q. 64 Muodostetaan geometrisen jonon yleinen jäsen. a n 64 n b) Lasketaan yleisen jäsenen avulla a 7. a

5 5. a) Aritmeettisen jonon yleisen jäsenen määrittämiseksi tarvitaan jonon ensimmäinen jäsen a 0 differenssi d 7 ( 0) Muodostetaan aritmeettisen jonon yleisen jäsenen lauseke. an 0 ( n ) 3 0 3n 3 3n 3 b) Aritmeettisen jonon yleisen jäsenen määrittämiseksi tarvitaan jonon ensimmäinen jäsen a 0 differenssi d 4. Muodostetaan aritmeettisen jonon yleinen jäsen. an 0 ( n ) ( 4) 0 4n 4 4n 6

6 6. Suora : kulmakerroin on k. piste (0, 0) on suoralla. Suoran yhtälö on y 0 ( x 0) y x Suora : kulmakerroin on k. piste (0, ) on suoralla. Suoran yhtälö on y ( x 0) y x y x

7 Suora 3: kulmakerroin on k 0. piste 0, on suoralla. Suoran yhtälö on y 0( x 0) y 0 y

8 7. a), x b) x x x c) x 8 x 6 x ( ) x 6 3 x d) x x 5

9 x e) x 0 0 x 3 3 x f) 0 0,0 x 0 00 x 0 0 x 0 0 x

10 8. a) x 3 9 x 3 3 x 3 3 x : x b) 4 8 3x x ( ) ( ) 3x 3 x 6x 3x 3 6x 3x 3 3x 3 :3 x

11 c) 7 9 (3 ) (3 ) x 3x 3 x 3x 3x x x 6 ( 6 x) 0 3x 6 ( 6 x) 0 3x 6 6x 0 9x 4 0 9x 4 :9 4 x 9

12 9. a) x 5 4 x log 4 5 b) 3x 3 3x log 3 :3 log 3 x 3 c) e x x ln x ln

13 0. a) x 4 8 x x 4 4 x b) 6 0 : x x 6 5 x 6 5 c) x 5 3 :3 x x 5 4 x 5 4

14 . a) Muodostetaan aritmeettisen jonon 3. ja 7. jäsen jonon ensimmäisen jäsenen ja differenssi avulla. a3 a (3 ) d a d a a (7 ) d a 6d 7 Lasketaan jonon 3. ja 7. jäsenen erotus. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan differenssi. a a a 6 d ( a d) 0 a 6d a d 0 4d 0 :4 d 5 b) Lasketaan ensin jonon ensimmäinen jäsen. a a d 3 a 5 a 0 a Muodostetaan jonon yleinen jäsen. an ( n ) 5 5n 5 5n 3

15 c) Tutkitaan onko luku 57 lukujonon jäsen. a n 57 5n n 60 :5 n Koska ratkaisuksi tuli positiivinen kokonaisluku, luku 57 on lukujonon jäsen.

16 . a) Muodostetaan geometrisen jonon. ja 5. jäsen jonon ensimmäisen jäsenen ja differenssi avulla. a a q a q a a q a q Lasketaan jonon. ja 5. jäsenen osamäärä. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan differenssi. a5 48 a 6 4 a q 8 a q q 4 q 3 q b) Lasketaan ensin jonon ensimmäinen jäsen. a 6 a q 6 a ( ) 6 :( ) a 3 Muodostetaan jonon yleinen jäsen. a n 3( ) n

17 3. a) Muutetaan yhtälön yleinen jäsen ratkaistuun muotoon. 4x y 6 0 y 4x 6 : y x 8 Ratkaistusta muodosta nähdään, että suoran kulmakerroin on k. b) Suora leikkaa y-akselin, kun x = 0. Lasketaan piste sijoittamalla yleiseen jäseneen x = 0. y 0 8 y 8 Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, 8). Suora leikkaa x-akselin, kun y = 0. Lasketaan piste sijoittamalla yleiseen jäseneen y = 0. 0 x 8 x 8 : x 4 Suora leikkaa x-akselin pisteessä ( 4, 0)

18 4. a) Ruokaan joutunut bakteerimäärä saadaan sijoittamalla x = 0 funktioon f. 0 f (0) 0, b) Bakteerien kasvu minuutissa voidaan päätellä funktion suhdeluvusta., , ,53 % c) Bakteereja on aluksi 0 kpl. Kun bakteeri jakaantuu kahtia, niitä on 0 40 kappaletta. Katsotaan kuvaajasta, milloin bakteereja on 40. Kuvaajasta nähdään, että bakteeri jakaantuu kahtia 0 minuutissa.

19 5. Lasketaan aritmeettisen jonon kymmenen ensimmäisen jäsenen summa summakaavalla. Siihen tarvitaan ensimmäinen yhteenlaskettava a viimeinen yhteenlaskettava a yhteenlaskettavien määrä n 0. S 0 a a0 n

20 6. Muodostetaan jonon kuudennen ja seitsemännen jäsenen keskiarvo ja ratkaistaan siitä jonon seitsemäs jäsen. a6 a7 7 5 a7 7 5 a7 54 a 9 7 Muodostetaan aritmeettisen jonon kuudes ja seitsemäs jäsen jonon ensimmäisen ja differenssin avulla. a6 a (6 ) d a 5d a a (7 ) d a 6d 7 Muodostetaan yhtälöpari, ja ratkaistaan siitä jonon ensimmäinen jäsen ja differenssi. a 5d 5 a 6d 9 a 5 5d a 9 6d 5 5d 9 6d d 4 ja a Muodostetaan jonon kuuden ensimmäisen jäsenen summa summakaavalla S

21 7. Geometrisen jonon kuuden ensimmäisen jäsen summa voidaan laskea summakaavalla. Summakaavaan tarvitaan: ensimmäinen yhteenlaskettava a 3 suhdeluku q yhteenlaskettavien määrä n 6 S n q a q

22 8. a) Suoran y x 3 kulmakerroin on. Merkitään normaalin kulmakerrointa kirjaimella k. Suoran ja sen normaalin kulmakertoimien tulo on. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan k. k : k Lasketaan, missä pisteessä suora y x 3 leikkaa y-akselin. Suora leikkaa y-akselin, kun x = 0. y 0 3 y 3 Suora y x 3 leikkaa y-akselin pisteessä (0, 3). Muodostetaan normaalin yhtälö. y 3 ( x 0) y 3 x y x 3

23 b) Suora t on yhdensuuntainen suoran y x 3 kanssa, joten niillä on sama kulmakerroin k. Muodostetaan suoran t yhtälö. y 5 ( x ) y 5 x 4 y x c) Määritetään suorien n ja t leikkauspiste. Lasketaan leikkauspisteen x-koordinaatti. x x x : x 5 x 4 5 Lasketaan leikkauspisteen y-koordinaatti y Suorien n ja t leikkauspiste on, 5 5.

24 9. a) Platinan paino alussa saadaan sijoittamalla x = 0 funktioon f. 0 f (0) 50 0, Platinaa oli alussa 50 g. b) Platinan hajoamisen määrä prosentteina tunnissa voidaan päätellä funktion suhdeluvusta. 0,943 0,057 5,7 % 6 % c) Ainetta on alussa 50 g. Kun ainetta on hajonnut puolet, sitä on jäljellä 50 g 5 g. Tutkitaan kuvaajasta, kuinka monen tunnin päästä isotooppia on jäljellä 5g. Kuvaajasta voidaan nähdä, että isotoopin puoliintumisaika on 0 tuntia.

25 0. a) Muodostetaan riippuvuutta kuvaava suoran yhtälö pisteiden (30, 0) ja (5, 7) avulla. Suoran kulmakerroin on k Muodostetaan suoran yhtälö. y 7 ( x 5) 5 y 7 x 3 5 y x 4 5 b) Sijoittamalla x = 0 suoran yhtälöön saadaan arvosana 0 pisteellä. 0 y c) Sijoittamalla y = 8 suoran yhtälöön, saadaan pistemäärä, jolla saa arvosanan 8. 8 x 4 5 x x 0

26 . a) Korttien määrä eri pinoissa muodostaa aritmeettisen jonon. Aritmeettisen jonon muodostamiseksi tarvitaan jonon ensimmäinen jäsen a jonon differenssi d. Jonon yleinen jäsen on an ( n ) n n b) Kahdeksannen pinon korttimäärä saadaan laskemalla jonon kahdeksas jäsen. a c) Lasketaan kuinka monta korttia pinoihin menee summakaavan avulla. S Kahdessa pakassa on 5 04 korttia. Kahdeksan pinon ulkopuolelle jää korttia.

27 . a) Jonon yleisestä jäsenestä a n 3 huomataan, että jono on aritmeettinen. Lasketaan jonon yleisen jäsenen avulla a n 3 : n n Summan ensimmäinen yhteenlaskettava on a Summan viimeinen yhteenlaskettava on a Summassa yhteenlaskettavia on n Muodostetaan summa summakaavan avulla. S 0 5 ( 3) ( 4) 40 b) Jonon yleisestä jäsenestä geometrinen. a n ( ) n huomataan, että jonon on Jonon yleisen jäsenen avulla nähdään summan ensimmäinen yhteenlaskettava jonon suhdeluku q 3 a ( ) ( ) 4 Yhteenlaskettavien määrä on n 8 6 S 6 6 ( ) ( ) 84 ( ) 3

28 3. a) Kiian television katselun määrä eri kuukausina muodostaa aritmeettisen jonon. Jonon ensimmäinen jäsen on tammikuussa television katselun määrä a 60. Jonon differenssi on d 4. Muodostetaan jonon yleinen jäsen. an 60 ( n ) ( 4) 60 4n 4 4n 64 b) Elokuu on vuoden 8. kuukausi, joten se on jonon 8. jäsen. Lasketaan jonon 8. jäsenen arvo yleisen jäsenen avulla. a Kiia katselee elokuussa 3 tuntia.

29 c) Vuodessa on kuukautta, joten yhteenlaskettavien määrä on n. Lasketaan jonon. jäsenen arvo. a Lasketaan jonon ensimmäisen jäsenen summa summakaavan avulla. S

30 4. a) Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. (a ) x 6y 0 6 y (a ) x :6 ( a ) y x 6 3 a y x 6 3 Suora on x-akselin suuntainen, kun suoran yhtälössä x:n kerroin on 0. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan a. a a 0 a : a

31 b) Suora on laskeva, kun suoran yhtälössä x:n kerroin on pienempää kuin nolla. Muodostetaan epäyhtälö ja ratkaistaan a. a a 0 a :( ) a c) Sijoitetaan piste (, ) suoran yhtälöön ja ratkaistaan a. a 6 3 a a 6 a 5 :( ) 5 a

32 5. Suorista tiedetään: Suorat ovat samansuuntaisia suoria, joten niillä on sama normaali. Suora y x kulkee pisteen (0, ) kautta (y-akselin leikkauspiste). Piirretään kuva suorista. Suorien etäisyys on suorien kohtisuora etäisyys. Piirretään pisteen (0, ) kautta suoralle y x normaali n. Merkitään suoran ja sen normaalin leikkauspistettä kirjaimella A ja suorien etäisyyttä kirjaimella d. y 5 4 n y = x 3 d A 3 (0, ) y = x x

33 Suorien etäisyys d on pisteiden (0, ) ja A välinen etäisyys. Piste A on normaalilla, joten määritetään ensin normaalin yhtälö. Koska suoran y x kulmakerroin on k, niin normaalin n kulmakerroin on kn. Muodostetaan normaalin yhtälö kulmakertoimen avulla. kn ja pisteen (0, ) y ( x 0) y x y x Lasketaan suorien leikkauspisteen A koordinaatit yhtälöparin avulla. Lasketaan x-koordinaatti. y x y x 3 x 3 x 5 5 x 5 : x 5 5

34 Lasketaan y-koordinaatti. y () Leikkauspisteen A koordinaatit ovat (, ). Lasketaan pisteiden (, ) ja (0, ) etäisyys. d (0 ( )) ( ) 4 5

35 5. Matemaattisia malleja 6. a) Muodostetaan vuoden 04 ja 08 asukaslukujen avulla yhtälöpari a( 04 04) b a( 08 04) b b ja a 5 69,5 b) Lasketaan vuoden 030 asukasluku. y 569, 5 (030 04) Asukasluvun kasvu aikavälillä on c) y y = 569,5x , x

36 7. a) Riippuvuutta kuvaava suora kulkee pisteiden (50, 3000) ja (330, 4800) kautta. Lasketaan ensin suoran kulmakerroin k Muodostetaan suoran yhtälö. y ( x 50) y 0x 500 ( ) b) Viikon myyntitulot, kun mainontaan käytetään 80, saadaan sijoittamalla suoran yhtälöön x = 80. y c) Mainontaan käytettävä rahamäärä saadaan sijoittamalla suoran yhtälöön y = x 500 x 650 ( ) d) Kauppiaan on saatava viikossa vähintään 000 euron myyntitulot. Muodostetaan epäyhtälö ja ratkaistaan x x 500 x 50 ( )

37 8. a) y y = 5x (5, 5) 0 5 (0,9; 4,5) (, 0) (0,6; 3) 0,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 x Suoran yhtälö on y 5 x(km) b) Oonan kävelymatka, tunnissa saadaan sijoittamalla x =, suoran yhtälöön. y 5, 6,0km c) Oonan kävelymatka 30 minuutissa saadaan sijoittamalla x = 0,5 suoran yhtälöön. y 50,5,5km

38 d) 9,4 km:n kävelylenkkiin kulunut aika saadaan sijoittamalla y = 9,4 suoran yhtälöön. 9, 4 5x x, 88 h e),8 km:n kävelylenkkiin kulunut aika saadaan sijoittamalla y =,8 suoran yhtälöön.,8 5x x 0,36 h,6 min x min

39 9. a) Lääkärikäynneistä maksetaan 75,00 euron vuosimaksu ja sen lisäksi 0,50 euron kertamaksu. Tutkitaan taulukon avulla vuoden lääkärinmaksujen määrä eri käyntimäärillä. Lääkärikäyntien määrä vuodessa Kokonaiskustannukset ( ) 0 75, , 00 0,50 3 x 75, 00 0,50 x Riippuvuutta kuvaava suoran yhtälö on y 0,5x 75 ( ). b) Ilman kanta-asiakas pakettia lääkärissä käynti maksaa,80 kerralta. Tutkitaan taulukon avulla vuoden lääkärimaksujen määrää eri käyntimäärillä. Lääkärikäyntien määrä vuodessa Kokonaiskustannukset ( ),80 3,80 3 x,80 x Riippuvuutta kuvaava suoran yhtälö on y,8 x.

40 Lasketaan, milloin kanta-asiakaspaketin kokonaiskustannukset ovat pienemmät kuin ilman kanta-asiakaspakettia. 0,5x 75,8 x x 6, y (6,63 ; 44,69 ) y = 0,5 x y =,8 x x Lääkärissä tulee käydä vähintään 7 kertaa, jotta kanta-asiakaspaketti on kannattava.

41 30. a) Koska ilman lämpötila laskee lineaarisesti, se laskee joka kilometri saman verran. Tiedetään, että merenpinnan tasolla lämpötila on +5 C ja km:n korkeudessa lämpötila on 56 C. Lasketaan kuinka monta astetta lämpötila laski joka kilometrillä , ,5 C 0

42 b) Mallin mukaan lämpötila kulkee lineaarisesti pisteiden (0, 5) ja (, 56) kautta. Lasketaan ensin suoran kulmakerroin k 0 Muodostetaan suoran yhtälö. 7 T 5 ( h 0) 7 T h 5 ( C) Piirretään kuvaaja. T T = h + 5 h

43 3. a) Koska tie on joka kohdasta yhtä leveä, tien reunaa kuvaavat suorat ovat yhdensuuntaiset. Tällöin kummankin suoran kulmakerroin on k 5. Muodostetaan Petruksen puoleista valtatien reunaa kuvaavan suoran yhtälö. y 8 5( x 5) y 5x 7 y 8 6 (5, 8) 4 0 y = 5x 7 y = 5x x

44 b) Muodostetaan ensin tien reunoja kuvaavia suoria kohtisuora suora s, joka kulkee pisteen (5, 8) kautta. Koska tien reunoja kuvaavien suorien kulmakerroin k = 5, niin suoran s kulmakerroin on ks. 5 Muodostetaan suoran s yhtälö. y 8 ( x 5) 5 y x 9 5 y 8 6 (5, 8) B s 4 0 y = 5x 7 y = 5x x Lasketaan suoran s ja suoran y 5x 4 leikkauspisteen B koordinaatit. y 5x 4 y x x ja y 6 6

45 Tien leveys saadaan, kun lasketaan pisteiden B ja (5, 8) välinen etäisyys d 5 8, Koordinaatiston yksikkönä on 0 m, joten tien leveys on, m 3,78... m 3,7 m.

46 3. a) Lentokoneet lentävät yhdensuuntaisesti, tällöin kummankin suoran kulmakerroin on k 5,. Muodostetaan lentokoneen B reittiä kuvaava suoran yhtälö. y 8, 5, ( x 4,5) y 5, x 0,3 y y = 5, x + 6, y = 5, x 0, (4,5; 8,) x

47 b) Piirretään kuva tilanteesta. y 0 y = 5, x + 6, x 40 A( 4,5; 5,9) y = 6,3 x 4,8 C y = 5, x 0,3 Lasketaan suoran y 6,3x 4,8 ja suoran y 5,x 0,3 leikkauspiste yhtälöparin avulla. y 5, x 0,3 y 6,3x 4,8 x 5,95... ja y,83... Lasketaan pisteen C(5,95 ;,83 ) ja pisteen A( 4,5; 5,9) etäisyys. d (5,95... ( 4,5)) (,83... ( 5,9)) 60,88... Koordinaatiston yksikkö on kilometri, joten lentokoneiden A ja C etäisyys on 60,88... km 60,88... km 6 km.

48 33. a) Vakion a kaksidesimaalinen likiarvo saadaan muodostetaan annetuilla arvoilla yhtälö. a 40 N(40) N(0) e e a 0, a 0,35 40a b) Lukumäärä noudattaa mallia Nt ( ) N(0) e at. at Tutkitaan, millä t:n arvolla e, eli monentena vuonna transistoreiden lukumäärä kaksinkertaistuu. at ln ln t a t, t at e

49 34. a) Muodostetaan ensin loton päävoittojen suuruuden kasvua kuvaava prosenttikerroin. 00 % 7, % 07, %,07 Loton päävoittojen suuruutta x vuoden kuluttua kuvaa funktio x f( x) ,07 ( ) b) Vuonna 05 on kulunut aikaa vuotta. 44 f (44) ,07 368, c) Keskimääräinen päävoiton suuruus on yli , kun ( ) f x. x , x 4, 008 Suurin kokonaisluku, joka toteuttaa ehdon on 4. Tuolloin vuosi oli

50 d) Merkitään kasvua kuvaavaa prosenttikerrointa kirjaimella a. Vuonna 995 on kulunut vuotta aikaa tarkastelun alusta lukien. Muodostetaan tietojen avulla potenssiyhtälö a a, Potenssikerroin ei voi olla negatiivinen luku, joten a =,0940 Päävoitto suurenee vuosittain, , , % 9, 4 %.

51 35. Vuonna 987 aloitetaan radioaktiivisuuden tarkastelu. Tuolloin Hämeessä ja Keski-Suomessa radioaktiivisuus oli 78 kbq/m. Vuonna 006 tämä oli laskenut arvoon 50 kbq/m. Radioaktiivisuus vähenee eksponentiaalisesti (geometrinen jono). Merkitään radioaktiivisuuden vähenemistä kuvaavaa prosenttikerrointa kirjaimella a. Vuonna 006 aikaa on kulunut vuotta. Jonon ensimmäinen jäsen on a 78. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan a a 50 a 0, Radioaktiivisuus on vähentynyt puoleen, kun radioaktiivisuus on 78 kbq/m 39 kbq/m. Merkitään vuosien määrää kirjaimella t. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä t. t 78 0, t 9,65... Radioaktiivisuus on vähentynyt puoleen vuonna

52 Radioaktiivisuus on vähentynyt neljännekseen, kun radioaktiivisuus on 78 kbq/m 9,5 kbq/m. 4 Merkitään vuosien määrää kirjaimella t. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä t. t 78 0, ,5 t 59,3... Radioaktiivisuus on vähentynyt neljännekseen vuonna Vaasan seudun aktiivisuus on vähentynyt puoleen vuonna 07, koska puoliintumisaika ei riipu lähtötasosta.

53 36. a) Maksuhäiriöiden lukumäärä kasvoi tällä aikavälillä , , % 46 % b) Koska joka vuosi maksuhäiriöisien määrä vähenee yhtä monta prosenttia, tämä voidaan kuvata geometrisena jonona. Merkitään vähenemistä kuvaavaa prosenttikerrointa kirjaimella k. Jonon ensimmäinen jäsen on a ja (neljän vuoden kuluttua) viides jäsen on a Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan k. a k a 5 5 k k 0, Vuotuinen vähenemisprosentti on 0, , ,66... % 6,7 %

54 37. a) Lineaarinen kasvaminen voidaan kuvata aritmeettisena jonona. Puhelimien myynti tammikuun aikana on jonon ensimmäinen jäsen a Merkitään jonon differenssiä kirjaimella d. Huhtikuu on jonon 4. jäsen. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan jonon differenssi. a (4 ) d a d 3 38 d 807 Muodostetaan jonon yleinen jäsen. a 7 87 ( n ) n 6 00 n Joulukuu on jonon. jäsen. Lasketaan joulukuun myynti. a

55 b) Eksponentiaalinen kasvaminen voidaan kuvata geometrisella jonolla. Puhelimien myynti tammikuun aikana on jonon ensimmäinen jäsen a 787. Merkitään myynnin kasvamista kuvaavaa prosenttikerrointa kirjaimella k. Huhtikuu on jonon 4. jäsen. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan jonon differenssi. a k a 4 4 k k,99... Muodostetaan jonon yleinen jäsen. a n 787,99... n Joulukuu on jonon. jäsen. Lasketaan joulukuun myynti. a 787, ,

56 38. a) Peräkkäisten sävelten taajuussuhde on vakio, joten taajuuksien suuruutta voidaan kuvata geometrisen jonon avulla. Jonon ensimmäinen jäsen on a 6,6 ja jonon 3. jäsen on a3 6,6 53,. Merkitään taajuuden kasvamista kuvaavaa prosenttikerrointa kirjaimella k. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan jonon prosenttikerroin k. a k a 3 3 k 6,6 53, k, k,059 Jonon suhdeluku on,059. b) Muodostetaan jonon yleinen jäsen. a n 6,6, n Keski-E on jonon 5. jäsen. Lasketaan jonon 5. jäsen. 5 a 5 6, 6, , Hz 330 Hz

57 39. a) Jonon ensimmäinen jäsen on a 6,. Vuoden 05 keskilämpötila on jonon jäsen eli a 7,8. Aritmeettisen jonon yleisen jäsenen määrittämiseksi tarvitaan ensimmäisen jäsenen lisäksi differenssi d. Muodostetaan yhtälö jonon. jäsenen avulla ja ratkaistaan siitä d. a 7,8 6, ( ) d 7,8 d 5 Jonon yleinen jäsen: 53 an 6, ( n ) n ( C) b) Ratkaistaan geometrisen jonon suhdeluku. jäsenen avulla. q b 7,8 6, 7,8 q,05...,0 Jonon yleinen jäsen: bn n 6,,0 ( C)

58 c) Piirretään lukujonojen kuvaajat samaan koordinaatistoon. y a n = 0,08n + 6, b n = 6,,0 n n

59 40. a) Idan viikoittaiset lenkkien pituudet muodostavat geometrisen jonon. Jonon ensimmäinen jäsen on a,. Lenkkien pituuksien kasvua kuvaava prosenttikerroin on 00 % 5,0 % 5 %,5. Jonon yleinen jäsen on a n n,,5 (km). Kuudessa kuukaudessa on 5 6 viikkoa. Lasketaan lenkin pituus kuuden kuukauden kuluttua lenkkeilyn aloittamisesta, joten lasketaan jonon 7. jäsen. 7 a 7,,5 45,48... km 45 km Tinon viikoittaiset lenkkien pituudet muodostavat aritmeettisen jonon. Jonon ensimmäinen jäsen on a,5. Jonon differenssi d 0,35. Muodostetaan jonon yleinen jäsen. b,5 ( n ) 0,35 0,35n,5 (km). n Lasketaan jonon 7. jäsen. b7 0,35 7,5,6 km km

60 b) Piirretään jonojen kuvaajat samaan koordinaatistoon. y b n = 0,35n +, a n =,,5 n n Kuvaajasta nähdään, että jonon 4. jäsen on Idalla suurempi kuin Tinolla. Ida juoksee pidemmän lenkin 3 viikon kuluttua.

61 4. a) Aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen on a Lasketaan jonon differenssi jonon. jäsenen avulla. a d d 3 Muodostetaan jonon yleinen jäsen an n n Ratkaistaan epäyhtälö an n n 37,40... Pienin kokonaisluku, joka toteuttaa ehdon on 38. Seuraavalla kuulla Elise maksaa lopun velan, joten 39 lyhennyksen jälkeen Elise on maksanut koko lainan.

62 b) Geometrisen jonon ensimmäinen jäsen on a Lasketaan jonon suhdeluku jonon. jäsenen avulla. a q q 0, Muodostetaan jonon yleinen jäsen. a , n n Ratkaistaan epäyhtälö an 000. n , n 04,95... Pienin kokonaisluku, joka toteuttaa ehdon on 05. Seuraavalla kuulla Elise maksaa lopun velan, joten 06 lyhennyksen jälkeen Elise on maksanut koko lainan.

63 4. a) Aritmeettisen summan laskemiseen tarvitaan ensimmäinen yhteenlaskettava a yhteenlaskettavien määrä n viimeinen yhteenlaskettava a Lasketaan summan arvo summakaavalla. S ,

64 b) Geometrisen jonon summan laskemiseen tarvitaan ensimmäinen yhteenlaskettava a yhteenlaskettavien määrä n suhdeluku q. Suhdeluku voidaan selvittää yleisen jäsenen avulla. Geometrisen jonon yleinen jäsen on muotoa Geometrisen jonon. jäsen on a an n q q q 0, Syntyvien määrä ei voi olla negatiivinen, joten q = 0,99360 Lasketaan geometrisen jonon ensimmäisen jäsenen summa. S 0, , ,

65 43. a) Rasmuksen jaettujen mainoslehtien määrä muodostaa aritmeettisen jonon. Lasketaan summakaavan avulla, kuinka monen päivän kuluttua Rasmus on jakanut vähintään 5000 mainoslehteä. Aritmeettisen summan laskemiseen tarvitaan ensimmäinen yhteenlaskettava a 70 yhteenlaskettavien määrä n viimeinen yhteenlaskettava a 70 ( n ) 65 65n 5. n S n (65n 5) n 5000 n,993 tai n, Pienin positiivinen kokonaisluku, joka toteuttaa ehdon, on, joten päivän kuluttua Rasmus saa jaettua mainoslehtiset. b) Lasketaan jonon. jäsen. a Lasketaan, kuinka monta mainoslehtistä Rasmus oli jakanut ensimmäisenä päivänä. S Viimeisenä päivänä Rasmus jakoi mainoslehtistä.

66 44. Pallon kulkemat matkat alaspäin eri ponnahduksilla muodostaa geometrisen jonon. Jonon ensimmäinen jäsen on a. Jonon suhdeluku on q 0,8. Yhteenlaskettavien jäsenien määrä on n 0. Lasketaan 0 ensimmäisen jäsenen summa. S 0 0 0,8 4, (m) 0,8 Pallon kulkemat matkat ylöspäin eri ponnahduksilla muodostaa geometrisen jonon. Jonon ensimmäinen jäsen on a 0,8 0,8. Jonon suhdeluku on q 0,8. Yhteenlaskettavien jäsenien määrä on n 9. Lasketaan 9 ensimmäisen jäsenen summa. S 9 9 0,8 0,8 3, (m) 0,8 Lasketaan pallon kulkema matka yhteensä. 4, , ,96... m 7,9 m

67 45. a) Minkan tädiltään saama syntymäpäivälahjan suuruus vuosittain muodostaa geometrisen jonon. Jonon ensimmäinen jäsen a 500 Jonon suhdeluku 00 % 8,5 % 08,5 %,085 Jonon yleinen jäsen n 500, 085 ( ) a n Lasketaan jonon 8 7 =. jäsen. a 500, , b) Lasketaan 8. ensimmäisen jäsenen summa. S, , ,085 c) Ratkaistaan epäyhtälö Sn n, ,085 n 5, Pienin positiivinen kokonaisluku, joka toteuttaa ehdon on 6. Silloin Minka on vuotias.

68 5.3 Monivalintatehtävät. Riippuvuutta kuvaa yhtälö y x. Sijoittamalla yhtälöön taulukoidut arvot yhtälöt pätevät kaikki. y x y ja x tosi y x y 0 ja x tosi y x y ja x tosi Oikea vastausvaihtoehto on c.

69 . Tarkastelun alussa kaupassa oli 50 asiakasta, joten y = 50, kun t = 0. Kaupan asiakasmäärä kasvaa tunnissa 30 asiakkaalla, joten riippuvuutta kuvaavassa yhtälössä kulmakerroin on 30. Asiakasmäärän y riippuvuutta ajasta t (h) tarkastelun alusta lukien kuvaa yhtälö y 50 30t. Oikea vastausvaihtoehto on b.

70 3. Muodostetaan suoran yhtälö. y ( ) 3 ( x 0) y 3x y 3x Oikea vastausvaihtoehto on c.

71 4. Muutetaan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. y 5x 3 y 5x 3 : 5 3 y x Oikea vastausvaihtoehto on b.

72 5. Lasketaan suoran kulmakerroin. ( ) 3 k Oikea vastausvaihtoehto on c.

73 6. Muodostetaan suoran yhtälö. y ( ) ( x 3) y x 6 y x 5 0 Oikea vastausvaihtoehto on c.

74 7. Suoran y x 5 kulmakerroin on k. Suorat ovat yhdensuuntaisia, kun niiden kulmakertoimet ovat samat. Suoran y x kulmakerroin on k. Oikea vastausvaihtoehto on b.

75 8. Suoran y 3x kulmakerroin on 3. Suoran ja sen normaalin kulmakertoimien tulo on. Merkitään normaalin kulmakerrointa kirjaimella k. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se. k ( 3) :( 3) k 3 3 Suoran y x kulmakerroin on 3 k. 3 Oikea vastausvaihtoehto on c.

76 9. Sijoitetaan t = funktioon m. m() (g) Oikea vastausvaihtoehto on b.

77 0. Korkoprosentti voidaan päätellä funktion f suhdeluvusta,005., 005 0, 005 0,5 % Oikea vastausvaihtoehto on b.

78 . Epäpuhtauksien määrä eri puhdistuskerroilla muodostaa geometrisen jonon. Jonon ensimmäinen jäsen on a 5. Jonon suhdeluku on q 00 % 5% 85 % 0,85. Jonon yleinen jäsen on a 50,85 x. n Oikea vastausvaihtoehto on b.

79 . 4 x 3x ( ) x 3x x 3x x 3x x Oikea vastausvaihtoehto on a.

80 3. x Eksponenttiyhtälön e 3 0 ratkaisu on e x 3 0 e x 3 x ln 3 Oikea vastausvaihtoehto on a.

81 4. x 3 64 x 3 x 4 64 Oikea vastausvaihtoehto on c.

82 5. Kuvaajan mukaan f( x) 80, kun x 3tai x 3. Oikea vastausvaihtoehto on c.

83 6. Jonon ensimmäinen jäsen on a 5. Jonon differenssi on d 7 ( 5) 7 5. Muodostetaan jonon yleinen jäsen. a 5 ( n ) ( ) 5 n n 3 n Oikea vastausvaihtoehto on b.

84 7. Geometrisen jonon a n 53 n suhdeluku on 3 q. Suhdeluku on peräkkäisten jäsenten suhde. Oikea vastausvaihtoehto on a.

85 8. Summassa 5 (0n 5) on yhteenlaskettavia n 5 3. n 3 Oikea vastausvaihtoehto on c.

86 9. Jono -3, -,,, 5 on aritmeettinen jono, jonka differenssi on d ( 3) 3. Jonon yleinen jäsen on a 3 ( n ) n 3 n 5. n Lasketaan, monesko jonon jäsen 5 on. a n 5 n 5 5 n 30 : n 5 Oikea vastausvaihtoehto on b.

87 0. Aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen on a 7. Jonon differenssi on d 0 ( 7) Muodostetaan jonon yleinen jäsen. a 7 ( n ) ( 3) 7 3n 3 3n 4 n Ratkaistaan epäyhtälö an 54. 3n n 50 : ( 3) n 50 Suurin positiivinen kokonaisluku, joka toteuttaa ehdon on 49. Oikea vastausvaihtoehto on c.

88 . Sijoitetaan y = 50 yhtälöön y 5x x 5 5x 365 :5 x 4, x 4,3 Oikea vastausvaihtoehto on a.

89 . Sijoitetaan annetun pisteen koordinaatit suoran yhtälöön ja ratkaistaan vakio a. 4 ( 0) 5a a 0 95a 38 : 95 a 5 Oikea vastausvaihtoehto on b.

90 3. Suoran l ja normaalin kulmakertoimien tulo on. Normaalin y 5x 6 kulmakerroin on k 5. Merkitään suoran l kulmakerrointa kirjaimella k. Lasketaan suoran l kulmakerroin. 5 k :( 5) k 5 5 Muodostetaan yhtälö suoran l kulmakertoimen ja annettujen pisteiden avulla ja ratkaistaan siitä a. 3 ( ) ( a ) 5 3 a 5 a 5 a 0 Oikea vastausvaihtoehto on b.

91 4. Suoran y x 5 kulmakerroin on k. Yhdensuuntaisten suorien kulmakertoimet ovat samat, joten suoran s kulmakerroin on k. Muodostetaan yhtälö suoran s kulmakertoimen ja annettujen pisteiden avulla ja ratkaistaan siitä c. 4 c ( c 3) c 3 ( c 3) c 6 c 4 :( ) c Oikea vastausvaihtoehto on b.

92 5. Suora leikkaa x-akselin, kun y = 0 Sijoitetaan y = 0 suoran yhtälöön. 0 3x 5 0 3x 5 :3 5 x 3 Suora leikkaa x-akselin pisteessä 5,0 3. Oikea vastausvaihtoehto on b.

93 6. Kun mainostukseen käytettyjä varoja vähennettiin puoleen, mainostukseen käytettiin Riippuvuutta kuvaavan suoran yhtälön kulmakerroin on k Muodostetaan suoran yhtälö. y ( x 500) y x 000 y 44x Oikea vastausvaihtoehto on a.

94 7. Vuonna 955 on kulunut vuosia Lasketaan funktion p arvo kohdassa t = 55. p 0, (55) e , Oikea vastausvaihtoehto on a.

95 8. x,9 0, 7 0,5 x 4, x 4 Oikea vastausvaihtoehto on b.

96 9. Sijoitetaan y = 000 yhtälöön y 0,997 x 8043 e e x 0, 439 x 0,44 0,997 x Oikea vastausvaihtoehto on b.

97 30. Merkitään kofeiinin alkuperäistä massaa kirjaimella a. Kofeiinin määrä on a, kun se on puolittunut. Kofeiinin määrä eri tunteina muodostaa geometrisen jonon. Jonon ensimmäinen jäsen on a Jonon yleinen jäsen on an a q a ja kuudes jäsen on a6 a. n Muodostetaan jonon yleisen jäsenen avulla ja jonon 6. jäsenen avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä suhdeluku q. a6 a 6 a q a q 0, Kofeiinin määrä vähenee tunnissa 0, , ,90... % %. Oikea vastausvaihtoehto on b.

98 3. Merkitään lääkeannoksen alkuperäistä massaa kirjaimella a. Lääkeannoksen määrä on a 0,45a 0,55a, 0 tunnin jälkeen. Lääkeannoksen määrä eri tunteina muodostaa geometrisen jonon. Jonon ensimmäinen jäsen on a Jonon yleinen jäsen on an a q a ja 0. jäsen on a0 0,55a. n Muodostetaan jonon yleisen jäsenen avulla ja jonon 0. jäsenen avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä suhdeluku q. a0 0,55a 0 a q 0,55a q 0, Kofeiinin määrä vähenee tunnissa 0, , , %,9 %. Oikea vastausvaihtoehto on c.

99 3. Kunnan asukasluku eri vuosina muodostaa geometrisen jonon. Jonon ensimmäinen jäsen on a 780 ja suhdeluku q 00 %,75 % 97,5 0,975. Jonon yleinen jäsen on a n 780 0,975 n. Ratkaistaan epäyhtälö an n 780 0, n 4, Ensimmäinen positiivinen kokonaisluku, joka toteuttaa ehdon on 5. Tuolloin vuosi on Oikea vastausvaihtoehto on b.

100 33. Tilillä oleva rahamäärä muodostaa geometrisen jonon, jonka ensimmäinen jäsen on a 950 suhdeluku on q,005 yleinen jäsen on 950,005 n a n Lasketaan jonon 5. jäsen. 5 a 5 950, , ,54 Oikea vastausvaihtoehto on a.

101 34. Aritmeettisen summan ratkaisemiseksi tarvitaan ensimmäinen yhteenlaskettava a viimeinen yhteenlaskettava a yhteenlaskettavien määrä n 00. Lasketaan sadan ensimmäisen jäsenen summa summakaavan avulla. S Oikea vastausvaihtoehto on c.

102 35. Summan 4 neljäs jäsen. 5 n n 4 ensimmäinen yhteenlaskettava on jonon a n 4 n Lasketaan jonon a n 4 n neljäs jäsen. a Oikea vastausvaihtoehto on b.

103 36. Jono, 3, 9,..., on geometrinen jono. Jonon ensimmäinen jäsen on a ja suhdeluku on 4 3 q Muodostetaan jonon yleinen jäsen. a n 3 4 n Lasketaan, kuinka mones jonon jäsen 87 4 on. 87 an 4 n n 8 Oikea vastausvaihtoehto on b.

104 37. Maalattujen lautojen määrä eri päivinä muodostaa aritmeettisen jonon. Jonon ensimmäinen jäsen on a 9. Jonon differenssi on d 6. Jonon yleinen jäsen on a 9 ( n ) 6 6n 3. n Lasketaan jonon 7. jäsen. a Oikea vastausvaihtoehto on b.

105 38. Poimittujen marjojen määrä muodostaa aritmeettisen jonon. Jonon ensimmäinen jäsen on a 9. Jonon differenssi on d 6. Jonon yleinen jäsen on a 9 ( n ) 6 6n 3. n Lasketaan jonon 7. jäsen. a Muodostetaan seitsemän ensimmäisen jäsenen summa summakaavan avulla. S Oikea vastausvaihtoehto on c.

4 LUKUJONOT JA SUMMAT

4 LUKUJONOT JA SUMMAT Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAB6. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

Aritmeettinen lukujono

Aritmeettinen lukujono Aritmeettinen lukujono 315. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 1, 4 ja 7. a) Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä? a) d = 7 4 =

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4 Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,

Lisätiedot

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 3 FUNKTIOITA ALOITA PERUSTEISTA 10A. Suoran yhtälössä y = kx + b kulmakerroin on k ja vakiotermi b. Kulmakerroin k ilmoittaa, kuinka monta yksikköä liikutaan y-akselin suunnassa, kun kuljetaan yksi yksikkö

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x. LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

1. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,...

1. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,... Vastaukset:. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,.... a) 0 b) 0 c) ( a 3) 3. 0 5 8 3 4 4 4. a) 7 b) -7 c) d) 5 5. - 8-7 0 6 5 4 6. a) Tbsjub b) Eino c) - 7. a) b) 5

Lisätiedot

Aritmeettinen summa Laske. a) b) 23 + ( 24) + ( 25) + ( 26) + ( 27) + ( 28) Ratkaisu.

Aritmeettinen summa Laske. a) b) 23 + ( 24) + ( 25) + ( 26) + ( 27) + ( 28) Ratkaisu. Aritmeettinen summa 403. Laske. a) 101 + 103 + 105 + 107 + 109 + 111 b) 3 + ( 4) + ( 5) + ( 6) + ( 7) + ( 8) a) 636 b) 153 404. ijoita ensimmäinen yhteenlaskettava a1, viimeinen yhteenlaskettava an sekä

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

LUKUVUODEN E-KURSSI MAB3

LUKUVUODEN E-KURSSI MAB3 1 TYK AIKUISLUKIO LUKUVUODEN 2016 2017 E-KURSSI MAB3 Kurssin tunnus ja nimi Kurssin opettaja MAB3 Matemaattisia malleja I Frans Hartikainen frans.hartikainen@tyk.fi (MAB3-kurssin työtila on nähtävillä

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x

Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

3 Määrätty integraali

3 Määrätty integraali Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

2 arvo muuttujan arvolla

2 arvo muuttujan arvolla Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.

Lisätiedot

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) ( x x) 3( x ) ( x x) (3 x 3 ) x x (3x 6) x x 3x 6 x x 6 b) 9( x 1) 5( x ) 9 x ( 9) 1 5 x 5 9x 9 5x 10 4x 1 c) (3x )(4 5 x) 3x 4 3 x (

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

4 EKSPONENTIAALINEN MALLI

4 EKSPONENTIAALINEN MALLI EKSPONENTIAALINEN MALLI POHDITTAVAA 1. promillea on tuhannesosaa eli 1000 0,00. Maahan sitoutuneen hiilen määrä on 0,00 1500 biljoonaa tonnia = 6 biljoonaa tonnia. Neljä promillea maaperään sitoutuneesta

Lisätiedot

Lyhyt, kevät 2016 Osa A

Lyhyt, kevät 2016 Osa A Lyhyt, kevät 206 Osa A. Muodostettu yhtälö, 2x 2 + x = 5x 2 Kaikki termit samalla puolla, 2x 2 4x + 2 = 0 Vastaus x = x:n derivaatta on x 2 :n derivaatta on 2x f (x) = 4x + derivoitu väärää funktiota,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

LUKUVUODEN E-KURSSI

LUKUVUODEN E-KURSSI 1 TYK AIKUISLUKIO LUKUVUODEN 2016 2017 E-KURSSI Kurssin tunnus ja nimi Kurssin opettaja MAB6 Matemaattisia malleja II Frans Hartikainen frans.hartikainen@tyk.fi MAB6-kurssin työtila on nähtävillä myös

Lisätiedot

Sähköinen koe (esikatselu) MAA A-osio

Sähköinen koe (esikatselu) MAA A-osio MAA2 2018 A-osio Laske molemmat tehtävät! Tee tehtävät huolellisesti. Muodosta vastaukset abitin kaavaeditoriin. Kysy opettajalta tarvittaessa neuvoa teknisissä ja ohjelmien käyttöön liittyvissä ongelmissa.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

Pisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät

Pisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0 Pisteytyssuositus Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 0..0 Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Talousmatematiikan perusteet: Luento 4 Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Viime luennolla Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö- tai määrittelyjoukko

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on

Lisätiedot