1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
|
|
|
- Noora Hämäläinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila noin 250 C. Vastaus: 10 C ja 250 C. 2. Kuvaajasta nähdään, että 10 kilometrin matkalla lämpötila nousee noin = 160, joten sadan kilometrin matkalla lämpötila nousee = 1600 jolloin lämpötila on = Vastaus: 1610 C 1.1 Lineaarinen riippuvuus ALOITA PERUSTEISTA 101. a) Kuvaajasta havaitaan, että 50 kg:n painoa vastaa lääkkeen määrä 150 mg. Vastaus: 150 mg. b) Kuvaajasta havaitaan, että lääkeannosta 90 mg vastaa paino 30 kg. Vastaus: 30 kg. c) Ei. Kuvaajasta havaitaan, että lääkettä olisi pitänyt antaa 120 mg, kun paino on 40 kg. Vastaus: Ei.
2 102. a) Kuvaajasta havaitaan, että, x-koordinaatin arvoa 2 vastaa y- koordinaatin arvo 2. Vastaavasti katsotaan taulukon muut lukuparit. Vastaus: x y ,5 3 0,5 3 b) Suora leikkaa x-akselin pisteessä (1, 0) ja y-akselin pisteessä (0, 2) Vastaus: x-akselin pisteessä (1, 0) ja y-akselin pisteessä (0, 2) a) Lasketaan funktion arvot sijoittamalla muuttujan x arvot funktion lausekkeeseen. Vastaus: x f(x) = x + 2 (x, y) = 2 (0, 2) = 3 (1, 3) = 4 (2, 4) = 5 (3, 5) b)
3 c) Kuvaajasta havaitaan, että piste ( 1, 3) ei ole kuvaajalla. Tarkistetaan laskemalla funktion arvo, kun x = 1. f( 1) = = 1, joka on eri suuri kuin 3. Vastaus: Ei ole. d) Kuvaajasta havaitaan, että funktion kuvaaja leikkaa x-akselin, kun x 2, joten funktion f nollakohta on x 2. Tarkistetaan laskemalla funktion arvo, kun x = 2. f( 2) = = 0, joten 2 on nollakohta. Vastaus: x a) Kun 1 kerrotaan luvulla 3, saadaan 3 ja kun siihen lisätään 2, saadaan 5, joten taulukon ensimmäisen rivin funktion arvo on 5. Vastaavasti saadaan taulukon muut arvot. Vastaus: x f(x) b) Kun valitaan muuttujaksi x ja kirjoitetaan sanalliset toimenpiteet matematiikan symboleilla, saadaan funktion lausekkeeksi f(x) = 3x + 2. Vastaus: f(x) = 3x + 2. c) Lasketaan funktion arvo, kun x = 0,5. f(0,5) = 3 0,5 + 2 = 1,5 + 2 = 0,5. Koska funktion arvoksi ei tullut 0, ei x = 0,5 ole funktion f nollakohta. Vastaus: Ei ole.
4 105. A Kuva 2, koska alussa maksu on 0 ja 2 kk:n eli 60 päivän hinta on 100 ja 60 1,60 = 100. Vastaus: 2 B Kuva 1, koska alussa maksu on noin 60 ja 8 kk:n eli 240 päivän hinta on 300 ja = 300. Vastaus: 1 C Kuva 3, koska maksu on koko ajan 500. Vastaus: a) Koska f(4) = = 2, on väite epätosi. b) Koska f(3) = = 0, on väite tosi. c) Koska funktion f lauseke on suoran yhtälön muotoa kx + b, on väite tosi. d) Koska f(5) = = 4, on väite epätosi. e) Koska f(6) = = 6, on väite tosi. f) Koska f(7) = = 8, on väite epätosi.
5 VAHVISTA OSAAMISTA 107. Oheisessa kuvakaappauksessa on näytetty kuinka b-kohdan vastaus luetaan. Vastaavasti saadaan muut vastaukset. a) 30 pistettä b) 26 pisteellä c) Arvosana 5- vastaa desimaalilukua 4,75 ja kuvaajasta nähdään, että arvosanan saa 9 pisteellä. d) arvosanaa 6,5 e) Esimerkiksi, jos 30 pisteestä pisteet putoavat 26 pisteeseen, arvosana muuttuu 10:sta 9:ään. Arvosana laskee yhden numeron verran. Sama tapahtuu muillakin pistemäärillä eli arvosana laskee aina yhden numeron verran.
6 108. a) Sijoitetaan pisteen (2,3) x-koordinaatti x = 2 suoran yhtälöön ja tutkitaan saadaanko y-koordinaatiksi luku 3. y = = 3 Koska y:n arvoksi saatiin 3, on piste (2, 3) suoralla y = 4x 5. Vastaus: On. b) Sijoittamalla funktion lausekkeeseen x = 2 saadaan f(2) = = = 4. Koska funktion arvoksi ei saatu lukua 3, piste (2, 3) ei ole funktion f(x) = 5x + 6 kuvaajalla. Vastaus: Ei ole Taulukoidaan funktioiden arvoja ja piirretään kuvaajat. x f(x) = 4x = = 0 x 0 3 g(x) = 1 x g ( 0) = 0 2 = g ( 3) = 3 2 = 1 3 Kuvaajan perusteella funktion f nollakohta on x = 2. Tarkistus: f(2) = = 0 Kuvaajan perusteella funktion g nollakohta on x = 6. 1 Tarkistus: g ( 6) = 6 2= 0. 3 Vastaus: x = 2 ja x = 6.
7 110. A II, koska f(3) = 3 2 = 9 III, koska f(0) = 0 2 = 0 V, koska f(2) = 2 2 = 4 B I, koska funktion asteluku on 1 III, koska f(0) = 2 0 = 0 V, koska f(2) = 2 2 = 4 C I, koska funktion asteluku on 1 IV, koska f(1) = = 3 V, koska f(2) = = 4 D I, koska funktion asteluku on 1 E I, koska funktion asteluku on 1
8 111. a) Valmistuksen aloittaminen maksaa noin , koska kustannukset ovat kuvaajan mukaan noin , kun tuotteita on 0 kpl. Vastaus: noin b) tuotteen valmistuskustannukset ovat noin Vastaus: noin
9 c) Voitolle päästään, kun myyntitulot ylittävät valmistuskustannukset. Tuotteita pitää tällöin myydä noin kappaletta. Vastaus: noin tuotetta. d) Voitto saadaan, kun myyntitulosta vähennetään valmistuskustannukset. Myyntitulot tuotteen myynnistä ovat noin ja valmistuskustannukset ovat tällöin noin Voittoa saadaan siis = Vastaus: noin a) Jäsen maksaa jäsenmaksun, vaikkei kävisi yhdelläkään tunnilla. Kuvasta nähdään, että jäsenmaksu on 30, koska hinta on 30, kun tuntien määrä on 0 kpl. Vastaus: Noin 30. b) Jos ei-jäsen käy esimerkiksi viidellä tunnilla, niin hinta on 30. Yhden tunnin hinnaksi tulee 30 5 = 6. Vastaus: Noin 6. c) Jos jäsen käy esimerkiksi viidellä tanssitunnilla, niin hinta on 50. Hintaan sisältyvät jäsenmaksu 30 ja tanssituntien maksut. Yhden tunnin hinta on tällöin = = 4. Vastaus: Noin 4. d) Kuvasta nähdään, että jäsenmaksun maksaminen kannattaa, jos käy vähintään 16 tanssitunnilla, koska sen jälkeen jäsenen (sininen suora) maksut ovat pienemmät kuin ei-jäsenen (punainen suora). Vastaus: Vähintään 16 tunnilla.
10 113. Koska 0 celsiusastetta vastaa 273 kelvinastetta, saadaan piste (0,273). Sataa celsiusastetta vastaa = 373 kelvinastetta, joten saadaan toinen suoran piste (100,273). Piirretään niiden kautta suora Merkitään kirjaimella x puheaikaa minuutteina ja kirjaimella y kuukausittaisen puhelinlaskun suuruutta. Liittymä A x y=0,10x 0 0,10 0 = , = 10 Liittymä B x y=8 + 0,05x ,05 0 = , =13
11 Liittymä C x y = a) Kuvaajista nähdään, että liittymä A on edullisin (n. 10 ), kun puhuu alle 100 minuuttia. Vastaus: Liittymä A. b) Kuvaajista havaitaan, että liittymän B kuvaaja kulkee alimpana, kun puheaika on yli 160 minuuttia, mutta alle 240 minuuttia. Tällöin liittymä B on edullisin. Vastaus: Kun puheaika on yli 160 minuuttia, mutta alle 240 minuuttia.
12 115. a) Jos riippuvuutta voi kuvata suoralla, on kyseessä lineaarinen riippuvuus. Esim. ostettaessa kilohinnalla ostosten paino ja kokonaishinta riippuvat toisistaan lineaarisesti. b) Funktio, jonka lausekkeena on 1. asteen polynomi. Esim. f(x) = 3x +12. c) Nollakohta on se muuttujan arvo, jolla funktion arvo on nolla. Esim. x = 4 on funktion f(x) = 3x +12 nollakohta, koska f( 4) = 3 ( = 0. SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 116. Koska valokiila laskee 5 metrin matkalla 5 cm, niin 1 metrin matkalla se laskee 1 cm. Jotta valokiila laskisi 60 cm, on matkan oltava 60 m. Vastaus: 60 metrin päähän Alussa A:n ja B:n etäisyys on 5 km. A ja B polkevat vastakkaisiin suuntiin ja kohtaavat toisensa kun aikaa on kulunut 0,2 h = 0,2 60 min = 12 min. Tällöin A on polkenut 2 km ja B 3 km.
13 118. a) Merkitään vaaka-akselille varjon pituus ja pystyakselille kohteen korkeus. Jos varjon pituus on 0 cm, on pylvään korkeuskin 0 cm, joten suora kulkee origon (0,0) kautta. Jos varjon pituus on 140 cm, on pylvään korkeus 210 cm, joten suora kulkee pisteen (140,210) kautta. b) Kuvan perusteella puun korkeus on noin 8,1 m.
14 119. a) Elokuvalipun hintaa kuvaava suora kulkee pisteiden (2005; 8,5) ja (2015, 11) kautta. Keskituntipalkkaa kuvaava suora kulkee pisteiden (2005; 15) ja (2015, 19,5) kautta. b) Vuonna 2025 mallin mukaan elokuvalipun hinta on 13,50 ja keskituntipalkka on 24. Vastaus: Elokuvalippu maksaa n. 13,50 ja keskituntipalkka on n. 24.
15 c) Kymmenessä vuodessa keskituntipalkka nousi 15 eurosta 19,5 euroon, joten keskituntipalkka nousi vuodessa 19, = 4,5 10 = 0,45 Kymmenessä vuodessa elokuvalipun hinta nousi 8,5 eurosta 11 euroon, joten elokuvalipun hinta nousi vuodessa 11 8,5 10 = 2,5 10 = 0,25. Vastaus: Elokuvalipun hinta nousee n. 0,25 vuodessa ja keskituntipalkka nousee n. 0,45 vuodessa, d) Tämän mallin mukaan elokuvalippu ja keskituntipalkka ovat olleet yhtä suuria noin vuoden 1973 aikoihin, koska suorat näyttävät leikkaavan noin vuoden 1973 kohdalla. Vastaus: On olemassa, noin vuonna Piirretään mallikuva Tie A kulkee pisteiden (0,0) ja (8,6) kautta. Tie B kulkee pitkin x-akselia. Tie C x f(x) = 7 x = = 0
16 a) Tiet B ja C risteävät kuvan perusteella pisteessä (7, 0). Vastaus: Pisteessä (7, 0). b) 7 km, koska tie A alkaa origosta ja risteys on pisteessä (7,0). Vastaus: 7 km:n päässä. c) Tiet A ja C risteävät pisteessä (4, 3). Vastaus: Pisteessä (4,3). d) Pisteen (4, 3) etäisyys x-akselista on y-koordinaatin 3 suuruinen, joten lyhin etäisyys tielle B on 3 km. Vastaus: 3 km:n päässä. e) Lasketaan pisteen (4, 3) etäisyys tien A alkupisteestä Pythagoraan lauseen avulla. Merkitään etäisyyttä muuttujalla x. Tällöin x 2 = x 2 = x 2 = 25 x =± 25 =± 5 Negatiivinen ratkaisu voidaan hylätä, joten kysytty etäisyys on 5 km. Vastaus: 5 km:n päässä.
17 121. Valitaan vaaka-akseliksi aika (min) ja pystyakseliksi matka (km). Aseman etäisyyttä lähtöpaikasta ei ole annettu eikä sillä ole tuloksen kannalta merkitystä. Valitaan aseman etäisyydeksi 2,4 km lähtöpaikalta. Pauliina lähtee ajanhetkellä 0 min ja on perillä 30 min kuluttua. Piirretään Pauliinan kulkua kuvaava suora pisteiden (0,0) ja (30;2.4) kautta. Eveliinan kulkua kuvaava suora kulkee silloin pisteiden (4,0) ja (4+24;2,4) eli ((28;2,4) kautta. Kohtaaminen tapahtuu, kun Eveliina on kävellyt 16 min.
18 1.2 Suoran yhtälö ALOITA PERUSTEISTA 122. a) Laskevia ovat suorat b, c ja f. b) Suora a on nouseva. c) Yhdensuuntaisia suoria ovat suorat b ja c A kuva 2, koska kuvan suoran ja y-akselin leikkauspiste on (0, 3) ja suoran kulmakerroin on 2. B kuva 4, koska kuvan suoran ja y-akselin leikkauspiste on (0; 1,5) ja suoran kulmakerroin on 0,5. C kuva 3, koska kuvan suoran ja y-akselin leikkauspiste on (0, 3) ja suoran kulmakerroin on 0. D kuva 1, koska kuvan suoran kaikkien pisteiden x-koordinaatti on a) Kulmakerroin on 4 ja vakiotermi on 1, joten suora kulkee pisteen (0, 1) kautta. Toinen piste saadaan liikkumalla 1 ruutu oikealle ja 4 ruutua ylös pisteeseen (1,3). Vastaus: k = 4, b = 1.
19 b) Kulmakerroin on 3 ja vakiotermi on 6, joten suora kulkee pisteen (0,6) kautta. Toinen piste saadaan liikkumalla 1 ruutu oikealle ja 3 ruutua alas pisteeseen (1,3). Vastaus: k = 3, b = 6. c) Kulmakerroin on 1 ja vakiotermi on 0, joten suora kulkee pisteen (0,0) kautta. Toinen piste saadaan liikkumalla 1 ruutu oikealle ja 1 ruutu alas pisteeseen (1, 1). Vastaus: k = 1, b = 0.
20 d) Kulmakerroin on 0 ja vakiotermi on 2, joten suora kulkee pisteen (0,2) kautta ja on x-akselin suuntainen. Vastaus: k = 0, b = a) Suora kulkee pisteen (0,4) kautta, joten sen vakiotermi b on 4. Suoran kulmakerroin k on 2, joten suoran yhtälö on y = kx + b = 2x + 4. Vastaus: y = 2x + 4. b) Suora kulkee pisteen (0, 5) kautta, joten suoran vakiotermi on 5. Suoran kulmakerroin on 3, joten suoran yhtälö on y = 3x 5. Vastaus: y = 3x 5. c) Suora saa kahdessa pisteessä saman y-koordinaatin arvon 1, joten sen täytyy olla x-akselin suuntainen suora. Suoran yhtälö on y = 1. Vastaus: y = 1. d) Suora saa kahdessa pisteessä saman x-koordinaatin arvon 3, joten sen täytyy olla y-akselin suuntainen suora. Suoran yhtälö on x = 3. Vastaus: x = 3.
21 126. a) Nollakohta on x 2. b) y = 2x + 4 VAHVISTA OSAAMISTA 127. a) Kulmakerroin lasketaan jakamalla y-koordinaattien erotus x- koordinaattien erotuksella. b) Laskevan suoran kulmakerroin negatiivinen. c) Yhdensuuntaisten suorien kulmakertoimet ovat yhtä suuret a) Nousevia suoria (kulmakerroin positiivinen) ovat 1, 4, 6, 7 ja 8. b) Laskevia suoria (kulmakerroin negatiivinen) ovat 2, 3, 5 ja 9. c) Keskenään yhdensuuntaisia suoria (sama kulmakerroin) ovat 1 ja 4; 2 ja 3; 5 ja 9; 7 ja 8.
22 129. a) x-akseli on suora, jonka kulmakerroin ja vakiotermi ovat 0, joten x- akselin yhtälö on y = 0. b) y-akseli on pystysuora suora, jonka kaikkien pisteiden x-koordinaatti on 0, joten y-akselin yhtälö on x = Suora a leikkaa y-akselin pisteessä (0,3) ja sen kulmakerroin 1, joten vakiotermi b = 3 ja kulmakerroin k = 1. Suoran a yhtälö on y = x + 3. Suora b leikkaa y-akselin pisteessä (0,0) ja sen kulmakerroin 3, joten b = 0 ja k = 3. Suoran b yhtälö on y = 3x. Suora on pystysuora ja kaikkien pisteiden x-koordinaatti on 3. Suoran c yhtälö on x = 3. Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, 3) ja sen kulmakerroin 1, joten b = 3 ja k = 1. Suoran d yhtälö on y = x 3. Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, 3) ja sen kulmakerroin on 0, joten b = 3 ja k = 0. Suoran e yhtälö on y = 3. Vastaus: a: y = x + 3, b: y = 3x, c: x = 3 d: y = x 3, e: y = Piirretään suorat sopivalla ohjelmalla.
23 132. Piirretään pisteet (1,1) ja (4,7) koordinaatistoon ja piirretään niiden kautta kulkeva suora. a) Lasketaan x-koordinaattien erotus 4 1 = 3. b) Lasketaan y-koordinaattien erotus 7 1 = 6. c) Jaetaan y-koordinaattien erotus x-koordinaattien erotuksella 6/3 = 2. d) Suoran kulmakerroin laskettiin c-kohdassa, joten k = 2. e) Suoran kulmakerroin on 2 ja vakiotermi on 1, koska suora leikkaa y- akselin pisteessä (0, 1), joten suoran yhtälö on y = 2x a) Täydennetään taulukko, kun tiedetään, että lämpötila on aluksi 20 C ja se nousi 15 astetta minuutissa. aikaa kulunut lämpötila ( C) (min)
24 b) Valitaan vaaka-akseliksi aika minuutteina. Valitaan taulukosta kaksi pistettä ja piirretään suora sopivalla ohjelmalla. c) Kun vettä oli lämmitetty 4 minuuttia, niin veden lämpötila oli 80 C. d) Vesi kiehui, kun aikaa oli kulunut noin 5,3 minuuttia. e) Suora leikkaa y-akselin noin pisteessä (0,20), joten suoran vakiotermi on 20. Minuutissa veden lämpötila nousee 15 astetta, joten suoran kulmakerroin on 15. Suoran yhtälö on y = 15x f) Tarkistetaan suoran yhtälön avulla lämpötila, kun aikaa on kulunut 4 minuuttia. Sijoitetaan suoran yhtälöön x = 4. y = = 80 eli sama tulos kuin kuvaajalta luettu. Tarkistetaan suoran yhtälön avulla kuinka paljon aikaa on kulunut, kun lämpötila on 100. Sijoitetaan suoran yhtälöön y = = 15 x = 15 x :15 x = 5,333 5,3 eli sama tulos kuin kuvaajalta luettu.
25 134. a) Suorat ovat sama suora, jos niillä on sama kulmakerroin ja sama vakiotermi. Tässä tapauksessa suorat ovat yksi ja sama suora, kun k = 5 ja b = b) Suorat eivät leikkaa, kun niillä on yhtä suuret kulmakertoimet ja erisuuret vakiotermit. Tehtävän suorat eivät leikkaa, kun k = 5 ja b 4. a) Kuvaajalta nähdään, että 10 km taksimatka maksaa noin 21,40. b) Kuvaajalta nähdään, että 50 eurolla pääsee noin 28 km. c) Koska taksimatkan hinta on 5,90, vaikkei matkustettaisi yhtään kilometriä, on taksin lähtömaksu 5,90. Koska lausekkeen muuttujan kerroin on 1,55, kasvaa maksu jokaista kilometriä x kohden 1,55, joten luku 1,55 tarkoittaa kilometrimaksua 1,55 /km.
26 136. a) Paine merenpinnan tasolla on 1 bar ja 11 km syvyydessä 1086 bar. Paine kasvaa kilometrin matkalla siis = 1085 = 98, ,6 baaria Vastaus: 98,6 bar. b) a-kohdassa saatu paineen muutos kilometriä kohden on painetta kuvaavan suoran kulmakerroin. Suoran vakiotermi on 1, koska paine on 1, kun h = 0. Paineen lauseke on siten P(h) = 98,6h + 1. Vastaus: P(h) = 98,6h + 1.
27 137. a) Lämpötila merenpinnan tasolla on +15 astetta ja 11 km korkeudella 56 astetta. Lämpötilan muutos kilometrin matkalla on siis = = 6, ,5 astetta, joten ilma jäähtyy 6, astetta, kun noustaan 5,0 kilometrin korkeudelta 1,0 kilometriä ylöspäin. Vastaus: 6,5 astetta. b) a-kohdassa saatu lämpötilan muutos kilometriä kohden on lämpötilaa kuvaavan suoran kulmakerroin. Suoran vakiotermi on 15, koska lämpötila on 15, kun h = 0. Lämpötilan lauseke on siten T(h) = 6,5h Vastaus: T(h) = 6,5h + 15.
28 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 138. Piirretään funktion f(x) = 50 27x kuvaaja. a) Muutetaan aika desimaaliluvuksi 1 h 15 min = 75 min = 75/60 h = 1,25 h. Kuvaajalta havaitaan, että polttoainetta on jäljellä noin 16 l. Vastaus: n. 16 l. b) Muutetaan a-kohdan aika minuuteiksi 1 h 15 min = 75 min. Koska 75 minuutissa polttoainetta kului = 34 litraa, minuutissa polttoainetta kului 34 0, ,45 75 = litraa. Vastaus: n. 0,45 l c) Kuvan perusteella polttoainetta on jäljellä 13 litraa noin 1,4 h = 1 h + 0,4 h = 1 h + 0,4 60 min = 1 h 24 min 1 h 25 min jälkeen. Vastaus: n. 1 h 25 min
29 d) Koska varatankissa on polttoainetta 8,8 l, katsotaan ajoaika kohdasta, jossa polttoaineen määrä on 8,8 l. Havaitaan, että vesiskootterilla voi enintään ajaa noin 2,2 h 2 h 10 min. Vastaus: n. 2 h 10 min e) c-kohta: f(1,4) = ,4 = 12,2 d-kohta: f(2,2) = ,2 = 9, a) 2x + 3y = 12 3y = 2x + 12 :3 2 y = x+ 4 3 Saatu yhtälö on suoran yhtälö, joten kyseessä on lineaarinen riippuvuus. Vastaus: On.
30 x y b) = y = x + 20 ( 4) 4 3 y= 4 x 80 3 Saatu yhtälö on suoran yhtälö, joten kyseessä on lineaarinen riippuvuus. Vastaus: On.
31 c) 2 y 10 x 6 = y = ( 6) 6 x y = x Saatu yhtälö ei ole suoran yhtälö, koska muuttuja x on nimittäjässä, joten ei ole lineaarinen riippuvuus. Vastaus: Ei ole.
32 d) 8 4 = 7 y x x y 8y 4x= 7xy 8y 7xy= 4x (8 7 xy ) = 4x y = 4x 8 7x Saatu yhtälö ei ole suoran yhtälö, koska muuttuja x on nimittäjässä, joten ei ole lineaarinen riippuvuus. Vastaus: Ei ole.
33 140. a) Valitaan vaaka-akseliksi aika minuutteina ja pystyakseliksi energiankulutus (kcal). Kaikki suorat kulkevat origon kautta, koska 0 minuutin liikunta kuluttaa energiaa 0 kcal. Suoran toisen pisteen saa tehtävän tiedoista. Eri liikuntamuotojen suorien pisteet: Juoksu (54,540) Uinti (81,540) Kävely (130,540) b) Valitaan vaaka-akseliksi aika minuutteina ja pystyakseliksi energiankulutus (kcal). Kaikki suorat kulkevat pisteen (0,540) kautta, koska alussa kukutettavaan energiaa on 540 kcal. Suoran toisen pisteen saa tehtävän tiedoista. Eri liikuntamuotojen suorien pisteet: Juoksu (54,0) Uinti (81,0) Kävely (130,0)
34 141. Suorilla ei ole leikkauspisteitä, kun ne ovat yhdensuuntaiset eivätkä ole sama suora. Jos k ja b ovat toistensa vastalukuja ja b on erisuuri kuin 1, suorilla on sama kulmakerroin, mutta eri vakiotermi. Tällaisia lukupareja ovat esimerkiksi (0, 0), (2, 2) ja (3, 3). Vastaus: (0, 0), (2, 2) ja (3, 3) 142. Lentokone kuluttaa tunnissa polttoainetta 2,39l km 900 km = 6388,47 litraa. h Lentokoneen paino vähenee tunnissa 0,8 kg 6388 l = 5110,78 kg tämä on suoran kulmakerroin. l kg Suoran yhtälön vakiotermi saadaan, kun tiedetään, että paino on alussa kg. Lentokoneen paino ajan suhteen on y = x, missä y on paino ja x on aika tunteina. Vastaus: y = x 143. Lasketaan x- ja y-koordinaattien arvoja antamalla t:lle eri arvoja. t x = t +1 y = t Havaitaan, että pisteet ovat samalla suoralla. Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0,1), joten suoran vakiotermi on 1. Suoran kulmakerroin on 1, joten pisteet muodostavat suoran y = x + 1.
35 ALOITUSAUKEAMAAN LIITTYVIÄ TEHTÄVIÄ 1. Kuvaajalta nähdään, että lämpötilan pitäisi 2,5 km syvyydellä olla noin 50, joten mitattu arvo ei ole kuvaajalla. Vastaus: Ei ole. 2. Lasketaan ensin suoran kulmakerroin, joka kertoo kuinka monta astetta lämpötila nousee kilometrin matkalla k = = 15,71... / km 16 / km 7 km Suoran yhtälön vakiotermi b = 10, joten suoran yhtälö on y = 16x + 10, jossa y on lämpötila ja x on syvyys kilometreinä. Vastaus: y = 16x + 10.
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
origo III neljännes D
Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]
![Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]](/thumbs/47/23676089.jpg "Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]")
Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )
Tekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
2 Yhtälöitä ja funktioita
Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)
5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;
Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit
2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x
Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -
1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan
Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
4 FUNKTION ANALYSOINTIA
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 1.1.018 4 FUNKTION ANALYSOINTIA POHDITTAVAA 1. Appletin avulla huomataan, että suorakulmion pinta-ala on mahdollisimman suuri, kun kaikki
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
3 FUNKTIOITA ALOITA PERUSTEISTA 10A. Suoran yhtälössä y = kx + b kulmakerroin on k ja vakiotermi b. Kulmakerroin k ilmoittaa, kuinka monta yksikköä liikutaan y-akselin suunnassa, kun kuljetaan yksi yksikkö
matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt
6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) ( x x) 3( x ) ( x x) (3 x 3 ) x x (3x 6) x x 3x 6 x x 6 b) 9( x 1) 5( x ) 9 x ( 9) 1 5 x 5 9x 9 5x 10 4x 1 c) (3x )(4 5 x) 3x 4 3 x (
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =
Funktio Laske lausekkeen 5x 4 arvo, kun a) x = 3 b) x = 0. Ratkaisu. a) = 15 4 = 11 b) = 0 4 = 4
Funktio 138. Laske lausekkeen 5x 4 arvo, kun a) x = 3 b) x = 0. a) 5 3 4 = 15 4 = 11 b) 5 0 4 = 0 4 = 4 139. Banaanit maksavat 2 /kg. Kuinka paljon maksaa a) 4 kg b) 10 kg c) x kg banaaneja? a) 2 /kg 4
5 Kertaus: Matemaattisia malleja
5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5. Kurssin keskeiset asiat. a) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin k = ja pisteen (0, 3) avulla. y ( 3) ( x 0) y 3 x y x 3 b) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin
Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö
Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
3 Eksponentiaalinen malli
Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,
3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat
MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut
MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x
3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?
Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,
Kertaustehtävien ratkaisut
Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0
määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä
KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet?
1 Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? Tapa 1 Merkitään toista osaa x:llä, toista y:llä ja piirretään asiaa
MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise
Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö
Ratkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p)
Matematiikan TESTI 3, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/07 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)
KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01
KOKEITA KURSSI kurssi (A). Laske. Kirjoita ainakin yksi vдlivaihe. 9 a) :. Merkitse ja laske. a) Lukujen ja tulosta vдhennetддn. Luvusta vдhennetддn lukujen ja erotus. Lukujen ja summan kolmasosa kerrotaan
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Vastaukset. 8.7 Polynomilaskennan kertausta. 1. 2k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. 2. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x 2 x x x = x 3
Vastaukset 8.7 Polynomilaskennan kertausta 1. k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x x x x = x 3 3. a) 4x + (+6x) = 4x + 6x = 10x b) 4x + ( 6x) = 4x 6x = x c) 4x (+6x) = 4x 6x = x d)
Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
1. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,...
Vastaukset:. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,.... a) 0 b) 0 c) ( a 3) 3. 0 5 8 3 4 4 4. a) 7 b) -7 c) d) 5 5. - 8-7 0 6 5 4 6. a) Tbsjub b) Eino c) - 7. a) b) 5
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi
Sarake 1 Sarake 2 Sarake 3 Sarake 4. Vahvistumisen jälkeen tavaran hinta on 70. Uusi tilavuus on
AMMATTIKORKEAKOULUJEN TEKNIIKAN VALINTAKOE 1/5 TEHTÄVÄOSA / Ongelmanratkaisu 1.6. 2017 TEHTÄVÄOSA ONGELMANRATKAISU Vastaa kullekin tehtävälle varatulle ratkaisusivulle. Vastauksista tulee selvitä tehtävien
Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()
Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman