1. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,...
|
|
- Esa Kokkonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Vastaukset:. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,.... a) 0 b) 0 c) ( a 3) a) 7 b) -7 c) d) a) Tbsjub b) Eino c) - 7. a) b) 5 c) a 3 d) 8. 06
2 9. {5, 3,, -} 0. syöte tuloste {, 6,, 0, 0,, 6}. kyllä 3. a) 9.00 b).00 c).00 d) x x 7 6. x x 8 7. a) 3 F b) 73,4 F c) 5 F 8. a) 7,8 C b) 37,8 C c) 7,8 C , C 0. 07
3 syöte -5 tuloste x x 0. A =, B = 6, C = 5, D = a) x x b) x x c) x x 4. a) x x b) x x c) x x 5 5. {-,, 3, 8} 6. ei 7. a) X b) E c) a ja b d) y 8. a) 3 b) 4 c) - 9. muuttujan arvo funktion arvo merkintä 3 0 f(3) = f(8) = f(7) = 9-34 f(-) = f() = f(-9) = f(3) = -5 08
4 30. a) f(3) = b) g(0) = a) b) c) 3. a) Funktio lisää lukuun kolme. b) Funktio ilmoittaa luvussa olevien numeroiden määrän. 33. a) 6 b) 4 c) 0 d) 4 e) a) b) 3 c) 7 d) kyllä a) 0 b) 3a 4 c) 3b + 5 d) f ( x), 80x 39. a) b) c) ei voi laskea 40. {-6, -, -6, -} 09
5 4. a) 3 b) 8 c) ei voi laskea 4. a) 85 b) a) 99 mm b) 38 cm c) 3 m 44. f ( x) x 45. {, 4, 6} 46. a) 4 b) 5 c) 3 d) f ( x) 48. a) kaikki reaaliluvut b) oltava x 0 c) oltava x a) f ( x) x b) g( x) 3x 50. a) x b) x 0 c) x 5. x
6 a) {, 5, 8} b) {-7, -4, -} f ( ) f (3) f ( x) ( x ( x ( x x x 7x 7x 3x 5 3x )( x 4) ( x 4x 8) ( x 4x 8 x x x 8) ( x 3 3 7x 7x 5x 4)( x ) 4x 8) 4x 8 x 5x 0x 4x 8) 0 Funktio on vakiofunktio 0, joten sen kaikki arvot ovat nollia. Vastaus: f ( x) 0 ja arvot kohdissa 0, ja 4 ovat nollia. 55. x f ( x) 56. a) b) c) 5 d) 4 e) a) 9 b) c) a) 0 b) c) 0 d) 3 e) B 60. a) m/s b) 5 s kuluttua lähdöstä c) noin 6 m/s 3
7 6. a) 4 b) 6 cm 6. c) koska siinä jokaista x:n arvoa vastaa täsmälleen yksi y:n arvo 63. a) A ja E, B ja F, C ja D A( r) r 4 ja 4 V ( r) r f ( x) ja f ( 50) 5000 x 68. 3
8 a) D b) A c) F d) C e) B f) E 69. a) F b) D c) A p( d) d y-akselin suuntaiset suorat eivät ole minkään funktion kuvaajia, koska funktiolla saa olla jokaisessa pisteessä ainoastaan yksi arvo 74. 3
9 a) 5 b) c) x = 0 4
10 78. a) x = b) x = 79. a) vähenevä d) kasvava e) vähenevä f) kasvava 80. f(x) = - 8. a) 0 C b) laskee 3 m/s c) 330 m/s 8. f(x) =
11 84. s 0,7r 5, f ( r) 0,7r k 67n 40, f ( n) 67n f ( x) x 88. a) t b) t c) t 89. a) x = 3 b) x = 0 c) ei nollakohtaa 90. a) 9, b) 45 km 9. 6
12 palkka [ ] a) x b) 3 x 9. a) x 9 b) t = - c) y = 93. nollakohta 4 x, x = ei yhtään tai yksi 95. x = a) x = a b) x a 3 c) x a ei yhtään, yksi tai kaksi aika [h] 7
13 kuukausipalkka [ ] myynti [ ] 00. Yhdellä eurolla saa 0,8 dollaria, 0,6 frangia ja 0, rialia. 0. f ( x) 0, 007x 0. Valuuttakurssien välillä vallitsee lineaarinen riippuvuus ja myös, jos tapahtumasta peritään prosentuaalinen osuus. Jos vaihtopiste ottaa aina tietyn vakiosumman välityspalkkiota, on silloinkin kyseessä lineaarinen riippuvuus. 03. f ( x) 0x 30 a) 50 kpl b) 0 kpl 04. a) 6+ b) 8- c) 7 pistettä ,3, -3,3, 0, 3,3 ja 4,3 06. Lineaarisen funktion malli on y ax, missä x on päivämäärän lisäys ja y nousuajan muutos minuutteina. Kun x 7, on y 3, jolloin a Nousuajan muutosta kuvaa siten yhtälö f ( x) y x. 7 3 f ( ) 39 7 Vastaus: Aurinko nousee 4.4. kello
14 Piirretään alkuperäisen - ja uuden palkkafunktion kuvat samaan koordinaatistoon. Funktio leikkaavat toisensa pisteessä x 6. Jos Minna aikoo työskennellä alle kuusi tuntia päivässä, kannattaa hänen suostua uuteen järjestelyyn, muussa tapauksessa ei. 09. Bensiinikäyttöisen auton polttoaineen kulutus on 0,079 litraa kilometrillä ja dieselkäyttöisen auton 0,054 litraa kilometrillä. Merkitään x:llä ajettavien kilometrien määrää, jolloin vuotuiset kustannusfunktiot ovat: f bensiini ( x) 0,079,05 x 0, 0895x f disel ( x) 0,054 0,70 x 450 0,0378x 450 Vuodessa on vähintään ajettava 0000 km, jotta dieselauto tulisi edullisemmaksi. 9
15 0. a) Ei b) kyllä.. a) f ( x) b) 4 f ( x) 3 4 c) f ( x), kun, kun, kun, kun - x x x,kun x, kun, kun x x x 3 3. a) 4.30 b) 4.00 c) noin 5.0, 70 km Porista, Lauri oli menossa Poriin päin d) noin 34 km e) Turusta Poriin f) ei 4. a) - x f ( x) x 3 b) 3x 3 f ( x) x, for, for, for x, for x x 0 x 5. x a) f ( x) x, kun, kun x 0 x 0 0
16 b) x 3 f ( x) x 4, kun, kun x 0 x 0 6. a-kohdassa on jatkuva, b-kohdassa funktio on epäjatkuva 7. on jatkuva 8. a) noin 7.6 ja 8.34 b) 5 km c) aikaväleillä ja d) Esimerkiksi auto käydään tankkaamassa. 9. Esimerkiksi automatkaa kotoa mummolaan. A: Lähtö kotoa. AB: Ajetaan ensimmäiselle pysähdyspaikalle. BC: Syödään lounas. CD: Jatketaan autoilua, kunnes saavutaan huoltoasemalle. DE: Täytetään bensatankki. EF: Pidetään kahvitauko. FG: Jatketaan ajamista kohti mummolaa. G: Saavutaan perille. 0.. a) 3.07 b) 3.45 c) d) e) 0 km/h. 7 funktiosta
17 3. 4. Sijoitetaan arvo, jossa funktio vaihtuu toiseksi, molempiin funktioihin. Jos funktion arvoksi saadaan molemmista sama tulos, on funktio jatkuva kyseisessä kohdassa. 5. on jatkuva 6. ei ole jatkuva 7. on jatkuva 8. 9.
18 AB: Lentokoneesta hypättyä saavutetaan suurin kiihtyvyys noin 0 m/s. BC: Ilmanvastus pienentää kiihtyvyyttä. CD: Ilmanvastus vastustaa pudotusta samalla voimalla kuin maa vetää hyppääjää alaspäin, tällöin nopeus säilyy vakiona. DE: Laskuvarjo aukeaa, jolloin ilmanvastuksesta tulee erittäin suuri ja vauhti hidastuu nopeasti. EF: Laskuvarjoon kohdistuva ilmanvastus on lopulta yhtä suuri kuin hyppääjän ja laskuvarjon yhteispaino, jolloin hidastuvuus lakkaa, ja laskuvarjohyppääjä liitää vakionopeudella kunnes koskettaa maata. 30. aika matka nopeus Kun s 45(km), on nopeus 4 km/h, joten aika s t Kun s 45 (km), on kuljettu jo 45 km:n matka nopeudella 4 km/h, mihin on kulunut aikaa (h). 4 Loppumatkalla s 45 nopeus on 8 km/h, jolloin loppumatkaan kuluu aikaa s 45 (h). Koko mat kaan kuluva aika (tunteina) on s. 4 8 Funktioksi t(s) siten saadaan: s, kun s 45 4 t ( s) 45 s 45, kun 45 s
19 3. 3. Havaintopisteikköön voidaan sovittaa suora ja suoran yhtälöksi saadaan y 0,6x 6, 4. Havaintoarvot poikkeavat suorasta aika paljon, joten suoran antaman tuloksen suhteen täytyy olla kriittinen
20 pituus [cm] a) e) y 0,5x 37 f) Ei minkäänlaista. Korkeudella toki lienee vaikutusta lämpötilaan, mutta enemmän siihen näyttää vaikuttavan jokin muu tekijä, koska arvot heittelevät niin suuresti Havaintopisteisiin liittyvän suoran yhtälö on y 8,55x 9, 48. -vuotiaana hauki on 7 cm ja -vuotiaana cm. 4. a) 4, 7, 0, 3, 5 b), 4, 8, 6, 3 c) 3, -7, -, -5, -9 d),,,, ikä [vuosi] 5
21 4. a) 3, 38, 45 b) 36, 30, 4 c) 5, 048, 89 d) 9, 3, 43. a) 8, 0,, 4 b) 3, 34, 36, 38 c) 80, 8, 84, a) 5, 7, 9, b) 69, 7, 73, 75 c) 0, 03, 05, a) 0 000, , b) 3,,9 c) 56, 04, 4096 d) 3, 64, a) 80, 40, 0 b) 8, 54, 6 c) 5, 7, 65 d) 6, 8, 47. a) 5 b) 48. 3, 8, 3, 8, , 5, 9 ja a) 7, 0, 3, lisätään edelliseen termiin kolme b) , , , kerrotaan edellinen termi kymmenellä c) 00, 00, 50, jaetaan edellinen termi kahdella d) 3, 64, 8, kerrotaan edellinen termi kahdella n n+ 5. 6
22 a), 4, 6, 8 b) 30, 3, 34, 36 c) 00, 0, a), 3, 5, 7 b) 57, 59, 6, 63 c) 03, 05, 07, a) 5 b) 00 c) n 55. a) 0, 4 b) 8, 3 c) 3, 8 d) 6, ,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, 377, 60, 987, 597, 584, 48, , 7, a) 0004 b) a n = n ,, 4,, 5 lukujonon 60. termi on a) 9 b) 499 c) a n = 5n 6. a) 6 b) 3 c) 5 d) 3n + 6. a) b) c) 0 d) n + 7
23 63. a) 6 b) , a n = n 65. a) 4n 3 b) a) b) 4 c) 8 d) n n n a) b) c) a) b) 0 04 n c) d) - 7. a) 4 b) 6 c) n n n (n+) 8
24 73. a) 5 b) 8 c) 3 d) 6765 vaihtoehtojen lukumäärä saadaan Fibonaccin lukujonosta. 74. n Omenapuiden lukumäärä Havupuiden lukumäärä Omenapuiden määrä saadaan lasketuksi potenssilla n ja havupuiden määrä kaavalla 8n. Suurilla n:n arvoilla potenssi antaa suurempia tuloksia kuin kahdeksalla kertominen. Esimerkiksi 00 riviä antaa omenapuiden määräksi 0000 ja havupuita tarvitaan vain a) ei b) ei c) on d) on 76. a) 3, 5, 7, 9, b),, 7, 4, 3 77.,,, 3, 5, 8, 3,, Fibonaccin lukujono kyllä, esimerkiksi,,, a) 4 b) 44 c) a) 4 b) 0 4n 8. 9
25 a) 6, 8, 0, b), -, -5, -7 c) 4, 5, 5, a) vähenevä b) vähenevä c) kasvava 84. a) b) 5 c) a) a n n b) 5n 5 a n c) n a n 86. a) Ei b) kasvava x a) ( x y), ( x 3y), ( x 4y) b) ( x 3y), ( x 5y), ( x 7y) hyppyä ja 36, jono on kasvava
26 95. 0, 3, 6, 9,, keskiviikko Seitsemällä jaolliset luvut muodostavat aritmeettisen lukujonon 7, 4,,..., 994. Ratkaistaan termin 994 järjestysluku aritmeettisen jonon yleisen termin lauseketta hyväksi käyttäen, jossa a 7 d 7 a n a n 994 a ( n ) 7 7n n 7 n 4 ( n ) d Vastaus: Lukuja on Lausutaan erotus d kahdella tavalla, eli a n+ - a n = d ja a n - a n- = d. Nämä ovat yhtä suuria, joten a saadaan yhtälö a n - a n- = a n+ - a n, ratkaistaan tästä a n, eli n an a n. 00. a) 5050 b) ,5 % km 03. a) 4, 96, 384, 536 b), 4, -48, c) 3,,, 4 8 3
27 d),,, a) 3 b) c) 05. a) a 3 n n b) c) a n a n ja n 07. a) geometrinen b) geometrinen c) aritmeettinen d) aritmeettinen e) geometrinen n 08. kyllä, esimerkiksi, -,, -,, kyllä 0. a) 4 b) 3 c) a. x 9 kun x 0. 3 ja
28 6 ja ja a) 6,48 b) 66, ,5 9. a) Aritmeettisessa lukujonossa peräkkäisten termien erotus on vakio. a a a a 3 x 8 x x 4 ( x 8) x 30 b) Geometrisessa lukujonossa peräkkäisten termien suhde on vakio. a a3 a a x 8 x 4 x x 8 ( x 8) x(x 4) x 30x x 30 ( ) x tai x 3 0. a) 03 b) 555. a) 5 b) 3. 8 miljoonaa 3. a),, 4, 6, 8 4 ( ) 64 33
29 b), 3, 9, 7, 8 4. voi 5. a) 790 b) Sijoitetaan leikkauspisteen arvot molempiin yhtälöihin ja tutkitaan pitävätkö ne paikkaansa. 8. y 5x 9 y 4x 9. a) kulmakerroin, leikkauspiste (0, 4) b) kulmakerroin, leikkauspiste (0, -4) c) kulmakerroin -5, leikkauspiste (0, 6) d) kulmakerroin 8, leikkauspiste (0, 0) a) y x 3 b) y x 3. 34
30 33. (-, -4) 34. Yhtälöpari toteutuu, kun x ja y = a) b) x = 3 ja y = Koska yhdensuuntaiset suorat eivät leikkaa missään pisteessä x = ja y =
31 4. x = ja y = ratkaisuja on äärettömän monta 43. x a) on b) ei c) on 45. y 3 3x y 5 Ratkaisu: x = 3, y = y x x y 5 Ratkaisu: x =, y = (, -) 49. a) esim. b) x = 3 ja y = 5. a) ei b) on 5. a) x = 4 b) x 9 c) x =
32 a) x =, y = 6 b) x = 3, y = a) x =, y = b) x =, y = c) x = 0, y = 55. x = 3, y = x = 3, y = a) x =, y = b) x = -, y = 3 c) x = 6, y = a) a = 0, b = - b) a =, b = 59. kyllä 60. a) x = 8, y = b) x =, y = c) x = -, y = y 5x, y 5x, 5x y 6, 5x y 6 4y 0x 8 y 0x 4 4y 0x 8 y 0x x ja y, x ja y, x ja y, x ja y a) x = ja y = b) a = 3 ja b = a) ei ratkaisua b) yhtälöparilla on ääretön määrä ratkaisuja 65. a, y 6 37
33 66. a) x =, y = 8 b) x = 0, y = c) x =, y = 67. a) m =, n = 0 b) p = 6, q = a) x = 4, y = 7 b) x = 4, y = c) x = 0, y = a) e = 3, f = b) a = 6, b = x, y 7. t 6, v 4 7. a = 9, b = x = 4, y = x, y 75. x = 4, y = x, y x, y a =, b = - 38
34 Naisia on 80 ja miehiä ja 9 8. Jenni on 4 vuotta ja Siiri 9 vuotta ja kengät 54 ja sukat,8 85. Merilohta 7 kg ja kuhaa 0 kg ,0 m ja 9,0 m 87. nautaa 643 g ja sikaa 357 g cm ja cm senttisiä 3 kpl ja 0-senttisiä 4 kpl 90. Äiti käyttää 50 ja tyttäret 00 kumpikin. 9. Antti 4, Jarkko 0 ja Miika 7 9. molempia on 0,5 kg 93. Tina on ja veljekset ovat 0 ja kanta on cm ja kyljet 8 cm 39
35 95. osien pituudet ovat 6 cm ja 80 cm 96. α = 7 ja β = a) 0,8 l vettä ja 0, l mehutiivistettä b) 9,6 l vettä ja,4 l mehutiivistettä kg 99. tiivistettä,5 litraa ja vettä 4,5 litraa 300. Merkitään kirjoittimien tulostusnopeuksia seuraavasti: A: a kpl/min ja B: b kpl/min. Kummatkin vaihtoehdot tulostavat 00 mainoslehtistä, jolloin saadaan yhtälöpari: 5a 90b 00 30a 80b 00 Alemmasta yhtälöstä saadaan ratkaistuksi a 8 0 5( b ) 90b b 3 3 b 7, Sijoitetaan saatu ratkaisu ylempään yhtälöön. 5a 90 7, 00 5a a 4, b, joka sijoitetaan ylempään yhtälöön. 3 Kirjoitin B on nopeampi ja sillä kuluisi aikaa koko mainosmäärään 00 kpl 66,7 min h 47 min. 7, kpl/min Vastaus: kirjoittimen A nopeus on 4,8 kpl/min ja kirjoittimen B 7, kpl/min. Jos kaikki tulostettaisiin B:llä, kuluisi aikaa h 47 min. 30. a) < tarkoittaa aidosti pienempää ja merkinnällä sallitaan joko pienempi tai yhtä suuri luku. b) > tarkoittaa aidosti suurempaa ja merkinnällä sallitaan joko suurempi tai yhtä suuri luku. 30. a) x 5 b) x 4 40
36 c) x a) x 0 b) x 0 c) x
37 307. a) 0 x 5 b) x 4 c) x 4 tai 5 x d) x e) y a) x b) x 3 c) x 3 d) x x 34. kun x < -4 4
38 a) x y 0 b) x y
39 39. a) x 0 b) x c) x a) < 5 b) 7 > (-) c) 3 > 0 d) 3 < 0 e) 0 f) hinta 50 g) matka 0 km h) lämpötila -5 o C, tai pakkasta 5 o C i) 0 o C lämpötila 5 o C a) 0,,, 3 b) 0,,, 3 c) 0,,, 3, 4 d) ei mikään 33. 3, 4, 5 44
40 x tai x 37. kyllä 38. a) x 7 b) mahdoton x 5, x 3, y 4 ja y a) 3 y 3 b) 3 x 334. x 4, x 3, y 3, y 45
41 x 4 ja y 339. a) x 4 b) 5 x 7 c) 5 x 3 d) 0 x a) 4, -3 b), -, 0,,, 3, 4, 5 c), d) ei mikään 34. Alue on suoran x vasemmalla puolella, joten alueen pisteet toteuttavat epäyhtälön x. Alue on suoran y x alapuolella, joten alueen pisteet toteuttavat epäyhtälön y x. Alue on suoran y 3 0 eli y 3 yläpuolella, joten alueen pisteet toteuttavat epäyhtälön y 3. Vastaus: Alueen määräävät epäyhtälöt x, y x ja y
42 Suorat leikkaavat y-akselin kohdissa y = 4 ja y = -. Suorien leikkauspisteen x-koordinaatti on oltava sama kummallekin suoralle, jolloin saadaan x 4 x x 8 x 4 3x x 3 x 4 Kolmion kannan pituus (y-akselilla) on 4 + = 6 ja kolmion korkeus on leikkauspisteen x- koordinaatti 4, jolloin ala on 6 4. Vastaus: Kolmion pinta-ala on Epäyhtälö x 3 toteutuu, kun x 3 tai ( x ) 3 eli x 4 tai x. Epäyhtälö x x toteutuu, kun x 4 4. Jos x on esimerkiksi, toteuttaa se edellisen epäyhtälön, muttei jälkimmäistä. Vastaus: ei 344. {-5, -4, -3} 345. a) f() = b) g(5) = a) C b) A 347. a) kasvava b) vähenevä c) vakiofunktio 348. a) B b) C c) D d) A
43 350. a) x = 6 b) x = a) x = ja x = 8 b) x = 3 c) kun x a) b) a + 4 c) x = - d) x a) x 3 b) t = 3 9 c) y x = 3 48
44 355. a) b) a n =0n , a n = 3n 357. a) b) -5 c) ja x = 4, y = a) x = 4, y = - 9 b) x, y a) x =, y = - b) x = -3, y = -4 c) x = 8, y = ja Oskari 4 v ja Iina 7 v 366. Lasse on 0 vuotta ja Liisa 5 vuotta a) x > b) x c) x 49
45
1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
LisätiedotVastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x
Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
Lisätiedot5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Lisätiedot4 LUKUJONOT JA SUMMAT
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla
LisätiedotLukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]
Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotKäy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.
Lisätiedot1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotHuippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedotorigo III neljännes D
Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Lisätiedotmatematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus
Lisätiedot4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
LisätiedotKertaustehtävien ratkaisut
Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Lisätiedot3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
Lisätiedot6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt
6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) ( x x) 3( x ) ( x x) (3 x 3 ) x x (3x 6) x x 3x 6 x x 6 b) 9( x 1) 5( x ) 9 x ( 9) 1 5 x 5 9x 9 5x 10 4x 1 c) (3x )(4 5 x) 3x 4 3 x (
LisätiedotHuippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan
LisätiedotVastaukset. 8.7 Polynomilaskennan kertausta. 1. 2k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. 2. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x 2 x x x = x 3
Vastaukset 8.7 Polynomilaskennan kertausta 1. k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x x x x = x 3 3. a) 4x + (+6x) = 4x + 6x = 10x b) 4x + ( 6x) = 4x 6x = x c) 4x (+6x) = 4x 6x = x d)
LisätiedotMaatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset
Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja funktioita
Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)
Lisätiedotmäärittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.
Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotFunktio Laske lausekkeen 5x 4 arvo, kun a) x = 3 b) x = 0. Ratkaisu. a) = 15 4 = 11 b) = 0 4 = 4
Funktio 138. Laske lausekkeen 5x 4 arvo, kun a) x = 3 b) x = 0. a) 5 3 4 = 15 4 = 11 b) 5 0 4 = 0 4 = 4 139. Banaanit maksavat 2 /kg. Kuinka paljon maksaa a) 4 kg b) 10 kg c) x kg banaaneja? a) 2 /kg 4
LisätiedotA-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.
MAB2 koe Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Muista, että välivaiheet perustelevat vastauksesi. Muista kirjoittaa konseptille nimesi ja tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan. A-osio. Ei laskinta!
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
LisätiedotMetallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet?
1 Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? Tapa 1 Merkitään toista osaa x:llä, toista y:llä ja piirretään asiaa
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotLISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.
LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotMAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
Lisätiedotx = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )
Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
Lisätiedot5 Kertaus: Matemaattisia malleja
5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5. Kurssin keskeiset asiat. a) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin k = ja pisteen (0, 3) avulla. y ( 3) ( x 0) y 3 x y x 3 b) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin
LisätiedotAlgebran ja Geometrian laskukokoelma
Algebran ja Geometrian laskukokoelma A. Potenssien laskusäännöt Sievennä 1. (r 3 ) 4 2. (2a 3 ) 3 3. x 3 x 5 4. k11 k 5 5. 2a2 a 7 5a 3 6. (-3x 2 y 3 ) 3 7. ( 1 4 ) 3 8. (2 a2 Lisätehtäviä b 3)3 9. (a
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Lisätiedotc) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,
Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana
LisätiedotAritmeettinen lukujono
Aritmeettinen lukujono 315. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 1, 4 ja 7. a) Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä? a) d = 7 4 =
LisätiedotParaabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
LisätiedotSekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta.
KOE Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta. B-OSA, ht. 0p. Ksmksen maksimipistemäärä on 7 pistettä.
LisätiedotMAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut
MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
LisätiedotMAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
LisätiedotMAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotKaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
LisätiedotMa4 Yhtälöt ja lukujonot
Ma4 Yhtälöt ja lukujonot H4 Lukujonot 4.1 Kirjoita lukujonon seuraavat viisi termiä, kun ensimmäinen termi on 1 ja muut muodostuvat seuraavien sääntöjen mukaan. a) Lisää edelliseen termiin 3. b) Kerro
Lisätiedot