1. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,...

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,..."

Transkriptio

1 Vastaukset:. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,.... a) 0 b) 0 c) ( a 3) a) 7 b) -7 c) d) a) Tbsjub b) Eino c) - 7. a) b) 5 c) a 3 d) 8. 06

2 9. {5, 3,, -} 0. syöte tuloste {, 6,, 0, 0,, 6}. kyllä 3. a) 9.00 b).00 c).00 d) x x 7 6. x x 8 7. a) 3 F b) 73,4 F c) 5 F 8. a) 7,8 C b) 37,8 C c) 7,8 C , C 0. 07

3 syöte -5 tuloste x x 0. A =, B = 6, C = 5, D = a) x x b) x x c) x x 4. a) x x b) x x c) x x 5 5. {-,, 3, 8} 6. ei 7. a) X b) E c) a ja b d) y 8. a) 3 b) 4 c) - 9. muuttujan arvo funktion arvo merkintä 3 0 f(3) = f(8) = f(7) = 9-34 f(-) = f() = f(-9) = f(3) = -5 08

4 30. a) f(3) = b) g(0) = a) b) c) 3. a) Funktio lisää lukuun kolme. b) Funktio ilmoittaa luvussa olevien numeroiden määrän. 33. a) 6 b) 4 c) 0 d) 4 e) a) b) 3 c) 7 d) kyllä a) 0 b) 3a 4 c) 3b + 5 d) f ( x), 80x 39. a) b) c) ei voi laskea 40. {-6, -, -6, -} 09

5 4. a) 3 b) 8 c) ei voi laskea 4. a) 85 b) a) 99 mm b) 38 cm c) 3 m 44. f ( x) x 45. {, 4, 6} 46. a) 4 b) 5 c) 3 d) f ( x) 48. a) kaikki reaaliluvut b) oltava x 0 c) oltava x a) f ( x) x b) g( x) 3x 50. a) x b) x 0 c) x 5. x

6 a) {, 5, 8} b) {-7, -4, -} f ( ) f (3) f ( x) ( x ( x ( x x x 7x 7x 3x 5 3x )( x 4) ( x 4x 8) ( x 4x 8 x x x 8) ( x 3 3 7x 7x 5x 4)( x ) 4x 8) 4x 8 x 5x 0x 4x 8) 0 Funktio on vakiofunktio 0, joten sen kaikki arvot ovat nollia. Vastaus: f ( x) 0 ja arvot kohdissa 0, ja 4 ovat nollia. 55. x f ( x) 56. a) b) c) 5 d) 4 e) a) 9 b) c) a) 0 b) c) 0 d) 3 e) B 60. a) m/s b) 5 s kuluttua lähdöstä c) noin 6 m/s 3

7 6. a) 4 b) 6 cm 6. c) koska siinä jokaista x:n arvoa vastaa täsmälleen yksi y:n arvo 63. a) A ja E, B ja F, C ja D A( r) r 4 ja 4 V ( r) r f ( x) ja f ( 50) 5000 x 68. 3

8 a) D b) A c) F d) C e) B f) E 69. a) F b) D c) A p( d) d y-akselin suuntaiset suorat eivät ole minkään funktion kuvaajia, koska funktiolla saa olla jokaisessa pisteessä ainoastaan yksi arvo 74. 3

9 a) 5 b) c) x = 0 4

10 78. a) x = b) x = 79. a) vähenevä d) kasvava e) vähenevä f) kasvava 80. f(x) = - 8. a) 0 C b) laskee 3 m/s c) 330 m/s 8. f(x) =

11 84. s 0,7r 5, f ( r) 0,7r k 67n 40, f ( n) 67n f ( x) x 88. a) t b) t c) t 89. a) x = 3 b) x = 0 c) ei nollakohtaa 90. a) 9, b) 45 km 9. 6

12 palkka [ ] a) x b) 3 x 9. a) x 9 b) t = - c) y = 93. nollakohta 4 x, x = ei yhtään tai yksi 95. x = a) x = a b) x a 3 c) x a ei yhtään, yksi tai kaksi aika [h] 7

13 kuukausipalkka [ ] myynti [ ] 00. Yhdellä eurolla saa 0,8 dollaria, 0,6 frangia ja 0, rialia. 0. f ( x) 0, 007x 0. Valuuttakurssien välillä vallitsee lineaarinen riippuvuus ja myös, jos tapahtumasta peritään prosentuaalinen osuus. Jos vaihtopiste ottaa aina tietyn vakiosumman välityspalkkiota, on silloinkin kyseessä lineaarinen riippuvuus. 03. f ( x) 0x 30 a) 50 kpl b) 0 kpl 04. a) 6+ b) 8- c) 7 pistettä ,3, -3,3, 0, 3,3 ja 4,3 06. Lineaarisen funktion malli on y ax, missä x on päivämäärän lisäys ja y nousuajan muutos minuutteina. Kun x 7, on y 3, jolloin a Nousuajan muutosta kuvaa siten yhtälö f ( x) y x. 7 3 f ( ) 39 7 Vastaus: Aurinko nousee 4.4. kello

14 Piirretään alkuperäisen - ja uuden palkkafunktion kuvat samaan koordinaatistoon. Funktio leikkaavat toisensa pisteessä x 6. Jos Minna aikoo työskennellä alle kuusi tuntia päivässä, kannattaa hänen suostua uuteen järjestelyyn, muussa tapauksessa ei. 09. Bensiinikäyttöisen auton polttoaineen kulutus on 0,079 litraa kilometrillä ja dieselkäyttöisen auton 0,054 litraa kilometrillä. Merkitään x:llä ajettavien kilometrien määrää, jolloin vuotuiset kustannusfunktiot ovat: f bensiini ( x) 0,079,05 x 0, 0895x f disel ( x) 0,054 0,70 x 450 0,0378x 450 Vuodessa on vähintään ajettava 0000 km, jotta dieselauto tulisi edullisemmaksi. 9

15 0. a) Ei b) kyllä.. a) f ( x) b) 4 f ( x) 3 4 c) f ( x), kun, kun, kun, kun - x x x,kun x, kun, kun x x x 3 3. a) 4.30 b) 4.00 c) noin 5.0, 70 km Porista, Lauri oli menossa Poriin päin d) noin 34 km e) Turusta Poriin f) ei 4. a) - x f ( x) x 3 b) 3x 3 f ( x) x, for, for, for x, for x x 0 x 5. x a) f ( x) x, kun, kun x 0 x 0 0

16 b) x 3 f ( x) x 4, kun, kun x 0 x 0 6. a-kohdassa on jatkuva, b-kohdassa funktio on epäjatkuva 7. on jatkuva 8. a) noin 7.6 ja 8.34 b) 5 km c) aikaväleillä ja d) Esimerkiksi auto käydään tankkaamassa. 9. Esimerkiksi automatkaa kotoa mummolaan. A: Lähtö kotoa. AB: Ajetaan ensimmäiselle pysähdyspaikalle. BC: Syödään lounas. CD: Jatketaan autoilua, kunnes saavutaan huoltoasemalle. DE: Täytetään bensatankki. EF: Pidetään kahvitauko. FG: Jatketaan ajamista kohti mummolaa. G: Saavutaan perille. 0.. a) 3.07 b) 3.45 c) d) e) 0 km/h. 7 funktiosta

17 3. 4. Sijoitetaan arvo, jossa funktio vaihtuu toiseksi, molempiin funktioihin. Jos funktion arvoksi saadaan molemmista sama tulos, on funktio jatkuva kyseisessä kohdassa. 5. on jatkuva 6. ei ole jatkuva 7. on jatkuva 8. 9.

18 AB: Lentokoneesta hypättyä saavutetaan suurin kiihtyvyys noin 0 m/s. BC: Ilmanvastus pienentää kiihtyvyyttä. CD: Ilmanvastus vastustaa pudotusta samalla voimalla kuin maa vetää hyppääjää alaspäin, tällöin nopeus säilyy vakiona. DE: Laskuvarjo aukeaa, jolloin ilmanvastuksesta tulee erittäin suuri ja vauhti hidastuu nopeasti. EF: Laskuvarjoon kohdistuva ilmanvastus on lopulta yhtä suuri kuin hyppääjän ja laskuvarjon yhteispaino, jolloin hidastuvuus lakkaa, ja laskuvarjohyppääjä liitää vakionopeudella kunnes koskettaa maata. 30. aika matka nopeus Kun s 45(km), on nopeus 4 km/h, joten aika s t Kun s 45 (km), on kuljettu jo 45 km:n matka nopeudella 4 km/h, mihin on kulunut aikaa (h). 4 Loppumatkalla s 45 nopeus on 8 km/h, jolloin loppumatkaan kuluu aikaa s 45 (h). Koko mat kaan kuluva aika (tunteina) on s. 4 8 Funktioksi t(s) siten saadaan: s, kun s 45 4 t ( s) 45 s 45, kun 45 s

19 3. 3. Havaintopisteikköön voidaan sovittaa suora ja suoran yhtälöksi saadaan y 0,6x 6, 4. Havaintoarvot poikkeavat suorasta aika paljon, joten suoran antaman tuloksen suhteen täytyy olla kriittinen

20 pituus [cm] a) e) y 0,5x 37 f) Ei minkäänlaista. Korkeudella toki lienee vaikutusta lämpötilaan, mutta enemmän siihen näyttää vaikuttavan jokin muu tekijä, koska arvot heittelevät niin suuresti Havaintopisteisiin liittyvän suoran yhtälö on y 8,55x 9, 48. -vuotiaana hauki on 7 cm ja -vuotiaana cm. 4. a) 4, 7, 0, 3, 5 b), 4, 8, 6, 3 c) 3, -7, -, -5, -9 d),,,, ikä [vuosi] 5

21 4. a) 3, 38, 45 b) 36, 30, 4 c) 5, 048, 89 d) 9, 3, 43. a) 8, 0,, 4 b) 3, 34, 36, 38 c) 80, 8, 84, a) 5, 7, 9, b) 69, 7, 73, 75 c) 0, 03, 05, a) 0 000, , b) 3,,9 c) 56, 04, 4096 d) 3, 64, a) 80, 40, 0 b) 8, 54, 6 c) 5, 7, 65 d) 6, 8, 47. a) 5 b) 48. 3, 8, 3, 8, , 5, 9 ja a) 7, 0, 3, lisätään edelliseen termiin kolme b) , , , kerrotaan edellinen termi kymmenellä c) 00, 00, 50, jaetaan edellinen termi kahdella d) 3, 64, 8, kerrotaan edellinen termi kahdella n n+ 5. 6

22 a), 4, 6, 8 b) 30, 3, 34, 36 c) 00, 0, a), 3, 5, 7 b) 57, 59, 6, 63 c) 03, 05, 07, a) 5 b) 00 c) n 55. a) 0, 4 b) 8, 3 c) 3, 8 d) 6, ,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, 377, 60, 987, 597, 584, 48, , 7, a) 0004 b) a n = n ,, 4,, 5 lukujonon 60. termi on a) 9 b) 499 c) a n = 5n 6. a) 6 b) 3 c) 5 d) 3n + 6. a) b) c) 0 d) n + 7

23 63. a) 6 b) , a n = n 65. a) 4n 3 b) a) b) 4 c) 8 d) n n n a) b) c) a) b) 0 04 n c) d) - 7. a) 4 b) 6 c) n n n (n+) 8

24 73. a) 5 b) 8 c) 3 d) 6765 vaihtoehtojen lukumäärä saadaan Fibonaccin lukujonosta. 74. n Omenapuiden lukumäärä Havupuiden lukumäärä Omenapuiden määrä saadaan lasketuksi potenssilla n ja havupuiden määrä kaavalla 8n. Suurilla n:n arvoilla potenssi antaa suurempia tuloksia kuin kahdeksalla kertominen. Esimerkiksi 00 riviä antaa omenapuiden määräksi 0000 ja havupuita tarvitaan vain a) ei b) ei c) on d) on 76. a) 3, 5, 7, 9, b),, 7, 4, 3 77.,,, 3, 5, 8, 3,, Fibonaccin lukujono kyllä, esimerkiksi,,, a) 4 b) 44 c) a) 4 b) 0 4n 8. 9

25 a) 6, 8, 0, b), -, -5, -7 c) 4, 5, 5, a) vähenevä b) vähenevä c) kasvava 84. a) b) 5 c) a) a n n b) 5n 5 a n c) n a n 86. a) Ei b) kasvava x a) ( x y), ( x 3y), ( x 4y) b) ( x 3y), ( x 5y), ( x 7y) hyppyä ja 36, jono on kasvava

26 95. 0, 3, 6, 9,, keskiviikko Seitsemällä jaolliset luvut muodostavat aritmeettisen lukujonon 7, 4,,..., 994. Ratkaistaan termin 994 järjestysluku aritmeettisen jonon yleisen termin lauseketta hyväksi käyttäen, jossa a 7 d 7 a n a n 994 a ( n ) 7 7n n 7 n 4 ( n ) d Vastaus: Lukuja on Lausutaan erotus d kahdella tavalla, eli a n+ - a n = d ja a n - a n- = d. Nämä ovat yhtä suuria, joten a saadaan yhtälö a n - a n- = a n+ - a n, ratkaistaan tästä a n, eli n an a n. 00. a) 5050 b) ,5 % km 03. a) 4, 96, 384, 536 b), 4, -48, c) 3,,, 4 8 3

27 d),,, a) 3 b) c) 05. a) a 3 n n b) c) a n a n ja n 07. a) geometrinen b) geometrinen c) aritmeettinen d) aritmeettinen e) geometrinen n 08. kyllä, esimerkiksi, -,, -,, kyllä 0. a) 4 b) 3 c) a. x 9 kun x 0. 3 ja

28 6 ja ja a) 6,48 b) 66, ,5 9. a) Aritmeettisessa lukujonossa peräkkäisten termien erotus on vakio. a a a a 3 x 8 x x 4 ( x 8) x 30 b) Geometrisessa lukujonossa peräkkäisten termien suhde on vakio. a a3 a a x 8 x 4 x x 8 ( x 8) x(x 4) x 30x x 30 ( ) x tai x 3 0. a) 03 b) 555. a) 5 b) 3. 8 miljoonaa 3. a),, 4, 6, 8 4 ( ) 64 33

29 b), 3, 9, 7, 8 4. voi 5. a) 790 b) Sijoitetaan leikkauspisteen arvot molempiin yhtälöihin ja tutkitaan pitävätkö ne paikkaansa. 8. y 5x 9 y 4x 9. a) kulmakerroin, leikkauspiste (0, 4) b) kulmakerroin, leikkauspiste (0, -4) c) kulmakerroin -5, leikkauspiste (0, 6) d) kulmakerroin 8, leikkauspiste (0, 0) a) y x 3 b) y x 3. 34

30 33. (-, -4) 34. Yhtälöpari toteutuu, kun x ja y = a) b) x = 3 ja y = Koska yhdensuuntaiset suorat eivät leikkaa missään pisteessä x = ja y =

31 4. x = ja y = ratkaisuja on äärettömän monta 43. x a) on b) ei c) on 45. y 3 3x y 5 Ratkaisu: x = 3, y = y x x y 5 Ratkaisu: x =, y = (, -) 49. a) esim. b) x = 3 ja y = 5. a) ei b) on 5. a) x = 4 b) x 9 c) x =

32 a) x =, y = 6 b) x = 3, y = a) x =, y = b) x =, y = c) x = 0, y = 55. x = 3, y = x = 3, y = a) x =, y = b) x = -, y = 3 c) x = 6, y = a) a = 0, b = - b) a =, b = 59. kyllä 60. a) x = 8, y = b) x =, y = c) x = -, y = y 5x, y 5x, 5x y 6, 5x y 6 4y 0x 8 y 0x 4 4y 0x 8 y 0x x ja y, x ja y, x ja y, x ja y a) x = ja y = b) a = 3 ja b = a) ei ratkaisua b) yhtälöparilla on ääretön määrä ratkaisuja 65. a, y 6 37

33 66. a) x =, y = 8 b) x = 0, y = c) x =, y = 67. a) m =, n = 0 b) p = 6, q = a) x = 4, y = 7 b) x = 4, y = c) x = 0, y = a) e = 3, f = b) a = 6, b = x, y 7. t 6, v 4 7. a = 9, b = x = 4, y = x, y 75. x = 4, y = x, y x, y a =, b = - 38

34 Naisia on 80 ja miehiä ja 9 8. Jenni on 4 vuotta ja Siiri 9 vuotta ja kengät 54 ja sukat,8 85. Merilohta 7 kg ja kuhaa 0 kg ,0 m ja 9,0 m 87. nautaa 643 g ja sikaa 357 g cm ja cm senttisiä 3 kpl ja 0-senttisiä 4 kpl 90. Äiti käyttää 50 ja tyttäret 00 kumpikin. 9. Antti 4, Jarkko 0 ja Miika 7 9. molempia on 0,5 kg 93. Tina on ja veljekset ovat 0 ja kanta on cm ja kyljet 8 cm 39

35 95. osien pituudet ovat 6 cm ja 80 cm 96. α = 7 ja β = a) 0,8 l vettä ja 0, l mehutiivistettä b) 9,6 l vettä ja,4 l mehutiivistettä kg 99. tiivistettä,5 litraa ja vettä 4,5 litraa 300. Merkitään kirjoittimien tulostusnopeuksia seuraavasti: A: a kpl/min ja B: b kpl/min. Kummatkin vaihtoehdot tulostavat 00 mainoslehtistä, jolloin saadaan yhtälöpari: 5a 90b 00 30a 80b 00 Alemmasta yhtälöstä saadaan ratkaistuksi a 8 0 5( b ) 90b b 3 3 b 7, Sijoitetaan saatu ratkaisu ylempään yhtälöön. 5a 90 7, 00 5a a 4, b, joka sijoitetaan ylempään yhtälöön. 3 Kirjoitin B on nopeampi ja sillä kuluisi aikaa koko mainosmäärään 00 kpl 66,7 min h 47 min. 7, kpl/min Vastaus: kirjoittimen A nopeus on 4,8 kpl/min ja kirjoittimen B 7, kpl/min. Jos kaikki tulostettaisiin B:llä, kuluisi aikaa h 47 min. 30. a) < tarkoittaa aidosti pienempää ja merkinnällä sallitaan joko pienempi tai yhtä suuri luku. b) > tarkoittaa aidosti suurempaa ja merkinnällä sallitaan joko suurempi tai yhtä suuri luku. 30. a) x 5 b) x 4 40

36 c) x a) x 0 b) x 0 c) x

37 307. a) 0 x 5 b) x 4 c) x 4 tai 5 x d) x e) y a) x b) x 3 c) x 3 d) x x 34. kun x < -4 4

38 a) x y 0 b) x y

39 39. a) x 0 b) x c) x a) < 5 b) 7 > (-) c) 3 > 0 d) 3 < 0 e) 0 f) hinta 50 g) matka 0 km h) lämpötila -5 o C, tai pakkasta 5 o C i) 0 o C lämpötila 5 o C a) 0,,, 3 b) 0,,, 3 c) 0,,, 3, 4 d) ei mikään 33. 3, 4, 5 44

40 x tai x 37. kyllä 38. a) x 7 b) mahdoton x 5, x 3, y 4 ja y a) 3 y 3 b) 3 x 334. x 4, x 3, y 3, y 45

41 x 4 ja y 339. a) x 4 b) 5 x 7 c) 5 x 3 d) 0 x a) 4, -3 b), -, 0,,, 3, 4, 5 c), d) ei mikään 34. Alue on suoran x vasemmalla puolella, joten alueen pisteet toteuttavat epäyhtälön x. Alue on suoran y x alapuolella, joten alueen pisteet toteuttavat epäyhtälön y x. Alue on suoran y 3 0 eli y 3 yläpuolella, joten alueen pisteet toteuttavat epäyhtälön y 3. Vastaus: Alueen määräävät epäyhtälöt x, y x ja y

42 Suorat leikkaavat y-akselin kohdissa y = 4 ja y = -. Suorien leikkauspisteen x-koordinaatti on oltava sama kummallekin suoralle, jolloin saadaan x 4 x x 8 x 4 3x x 3 x 4 Kolmion kannan pituus (y-akselilla) on 4 + = 6 ja kolmion korkeus on leikkauspisteen x- koordinaatti 4, jolloin ala on 6 4. Vastaus: Kolmion pinta-ala on Epäyhtälö x 3 toteutuu, kun x 3 tai ( x ) 3 eli x 4 tai x. Epäyhtälö x x toteutuu, kun x 4 4. Jos x on esimerkiksi, toteuttaa se edellisen epäyhtälön, muttei jälkimmäistä. Vastaus: ei 344. {-5, -4, -3} 345. a) f() = b) g(5) = a) C b) A 347. a) kasvava b) vähenevä c) vakiofunktio 348. a) B b) C c) D d) A

43 350. a) x = 6 b) x = a) x = ja x = 8 b) x = 3 c) kun x a) b) a + 4 c) x = - d) x a) x 3 b) t = 3 9 c) y x = 3 48

44 355. a) b) a n =0n , a n = 3n 357. a) b) -5 c) ja x = 4, y = a) x = 4, y = - 9 b) x, y a) x =, y = - b) x = -3, y = -4 c) x = 8, y = ja Oskari 4 v ja Iina 7 v 366. Lasse on 0 vuotta ja Liisa 5 vuotta a) x > b) x c) x 49

45

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x

Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

4 LUKUJONOT JA SUMMAT

4 LUKUJONOT JA SUMMAT Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

3 Määrätty integraali

3 Määrätty integraali Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue

Lisätiedot

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) ( x x) 3( x ) ( x x) (3 x 3 ) x x (3x 6) x x 3x 6 x x 6 b) 9( x 1) 5( x ) 9 x ( 9) 1 5 x 5 9x 9 5x 10 4x 1 c) (3x )(4 5 x) 3x 4 3 x (

Lisätiedot

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan

Lisätiedot

Vastaukset. 8.7 Polynomilaskennan kertausta. 1. 2k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. 2. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x 2 x x x = x 3

Vastaukset. 8.7 Polynomilaskennan kertausta. 1. 2k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. 2. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x 2 x x x = x 3 Vastaukset 8.7 Polynomilaskennan kertausta 1. k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x x x x = x 3 3. a) 4x + (+6x) = 4x + 6x = 10x b) 4x + ( 6x) = 4x 6x = x c) 4x (+6x) = 4x 6x = x d)

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

Funktio Laske lausekkeen 5x 4 arvo, kun a) x = 3 b) x = 0. Ratkaisu. a) = 15 4 = 11 b) = 0 4 = 4

Funktio Laske lausekkeen 5x 4 arvo, kun a) x = 3 b) x = 0. Ratkaisu. a) = 15 4 = 11 b) = 0 4 = 4 Funktio 138. Laske lausekkeen 5x 4 arvo, kun a) x = 3 b) x = 0. a) 5 3 4 = 15 4 = 11 b) 5 0 4 = 0 4 = 4 139. Banaanit maksavat 2 /kg. Kuinka paljon maksaa a) 4 kg b) 10 kg c) x kg banaaneja? a) 2 /kg 4

Lisätiedot

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. MAB2 koe Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Muista, että välivaiheet perustelevat vastauksesi. Muista kirjoittaa konseptille nimesi ja tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan. A-osio. Ei laskinta!

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet?

Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? 1 Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? Tapa 1 Merkitään toista osaa x:llä, toista y:llä ja piirretään asiaa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x. LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

5 Kertaus: Matemaattisia malleja

5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5. Kurssin keskeiset asiat. a) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin k = ja pisteen (0, 3) avulla. y ( 3) ( x 0) y 3 x y x 3 b) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin

Lisätiedot

Algebran ja Geometrian laskukokoelma

Algebran ja Geometrian laskukokoelma Algebran ja Geometrian laskukokoelma A. Potenssien laskusäännöt Sievennä 1. (r 3 ) 4 2. (2a 3 ) 3 3. x 3 x 5 4. k11 k 5 5. 2a2 a 7 5a 3 6. (-3x 2 y 3 ) 3 7. ( 1 4 ) 3 8. (2 a2 Lisätehtäviä b 3)3 9. (a

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a, Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana

Lisätiedot

Aritmeettinen lukujono

Aritmeettinen lukujono Aritmeettinen lukujono 315. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 1, 4 ja 7. a) Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä? a) d = 7 4 =

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta.

Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta. KOE Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta. B-OSA, ht. 0p. Ksmksen maksimipistemäärä on 7 pistettä.

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Ma4 Yhtälöt ja lukujonot

Ma4 Yhtälöt ja lukujonot Ma4 Yhtälöt ja lukujonot H4 Lukujonot 4.1 Kirjoita lukujonon seuraavat viisi termiä, kun ensimmäinen termi on 1 ja muut muodostuvat seuraavien sääntöjen mukaan. a) Lisää edelliseen termiin 3. b) Kerro

Lisätiedot