2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa"

Transkriptio

1 Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät ratkaisut. Kysymys voi olla esimerkiksi kustannusten tai haittojen minimoimisesta tai voiton maksimoimisesta. Tällaisen ihannearvon löytämistä kutsutaan optimoimiseksi. Kun etsitään sellaisen lausekkeen ihannearvoa, jossa esiintyy kaksi ensimmäisen asteen muuttujaa, kyseessä on nimenomaan lineaarinen optimoiminen. Tällä kurssilla tutkitaan lineaarista optimointia (englanniksi linear programming). Tavallisesti ratkaisemme tehtäviä, joissa annettujen ehtojen perusteella koordinaatistosta rajataan alue. Tehtävänä on silloin tutkia, missä, jos missään tämän alueen pisteessä, jälleen annettujen ehtojen avulla määritelty lauseke saa etsittävän arvon. Aloitetaan määrittelemällä tasoalue. Sitä varten tarvitaan epäyhtälöryhmä. Olkoon se y y x + 3. Piirretään tästä kuva. Rajataan epäyhtälöryhmän voimassaoloalue vahvalla, keltaisella viivalla. x = 0 y = x + 3 y = 0 1(11)

2 Tarkastellaan, millaisia arvoja lauseke 2x + y saa tässä alueessa. Käytetään tästä lausekkeen saamasta arvosta symbolia r. Jos tarkastellaan jotain kiinteää r:n arvoa, niin koska x:n kerroin on kaksi eli vakio, niin 2x + y = r on suoran yhtälö. Lisäksi jokainen näistä suorista on yhdensuuntainen muiden kanssa. Jokaista r:n arvoa vastaa tarkalleen yksi suora 2x + y = r ja jokaista suoran 2x + y = 0 kanssa yhdensuuntaista suoraa vastaa tarkalleen yksi r:n arvo. Näet tämän helposti ratkaisemasta y:n yhtälöstä 2x + y = r: 2x + y = r jos ja vain jos y = 2x + r. Palauta mieleesi suoran yhtälön yleinen muoto ja vertaa sitä tähän! Piirretään nyt äskeiseen kuvaan muutama suora valitsemalla r:lle arvoja. Tulos on seuraava. r = +3 r = r = 4 r = 6 r = 0 Huomaa, että lausekkeen 2x + y saama arvo kasvaa koko ajan, kun r kasvaa. Suurimmillaan se on, kun r = 3 ja pienimmillään, kun r = 6. Jokaisella r:n määrittelemällä suoralla lausekkeen arvo on tietenkin vakio eli juuri tuo r. Täten lausekkeen 2x + y arvo muuttuu vain, kun suoraa 2x + y = r siirretään vasemmalta oikealle. Huomaa myös, että nämä lausekkeen ääriarvon antavat suorat leikkaavat tarkasteltavan, epäyhtälöillä määritellyn alueen tarkalleen yhdessä pisteessä. Tulos Kaksi 1. asteen muuttujaa sisältävä lauseke, joka ei ole yhdenkään tasomonikulmion sivun suuntainen, saa tasomonikulmiossa pienimmän ja suurimman arvonsa kunkin tarkalleen yhdessä pisteessä. 2(11)

3 Sovelletaan tätä tulosta seuraavissa esimerkeissä. Huomaa tarkistaa, että osaat laskea kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit, kun suorien yhtälöt on annettu! Suoran yleinen yhtälö voidaan esittää muodossa y = kx + c. Yhtälön c on ennestään tuttu suoran yhtälön vakiotermi. Tämä voidaan muuntaa muotoon y kx = c. Jos kulmakerroin k ei a a ole kokonaisluku, vaan esimerkiksi osamäärä, missä b 0, niin y = x + c. Tällöin b b suoran yhtälö annetaan usein muodossa by ax = bc. Tässä luku bc on siis edellä esiintyvä r. Esimerkki 3 Etsi lausekkeen 3y + x suurin ja pienin arvo kuvassa määritellyssä tason alueessa. a) b) Tällaisen tehtävän ratkaiseminen lähtee liikkeelle suorien joukon 3y + x = r tutkimisesta. Tässä kirjain r on jokin reaaliluku. Kukin r:n arvo vastaa suorajoukon yhtä suoraa. Huomautus! Luku r on siis vakio kunkin suoran tapauksessa. Tällä tavalla käytettävää lukua sanotaan parametriksi. Kirjaimen r sijasta olisi voitu käyttää mitä tahansa sellaista kirjainta, joka ei aiheuta väärinkäsityksiä. Esimerkiksi kirjaimet x ja y on jo varattu muuhun käyttöön, joten niitä ei olisi voitu käyttää. Oikeaoppisempi tapa määritellä tämä suorien joukko on { r R 3 y + x = r }. Kaikki tämän suorajoukon suorat ovat yhdensuuntaiset origon kautta kulkevan suoran 1 y = x kanssa. Tämän seikan huomaat, kun ratkaiset y:n yhtälöstä 3y + x = r. Piirretään 3 näistä suorista muutama näkyviin. a) 3(11)

4 Punaiset suorat ovat siis yllä määritellyn suorien joukon suoria. Ylimmäisestä alimmaiseen lueteltuina niitten parametrit r ovat +3, 0, 3, 6 ja 9. Esimerkiksi, jos parametrin arvo on , niin suoran yhtälö on 3y + x = 1 eli y = x b) Myös tämän kuvan punaiset suorat on valittu yllä mainittujen suorien joukon suorista. Ylimmäisestä alimmaiseen lueteltuina niitten parametrin r arvot ovat puolestaan 0, 3, 6, 12 ja 18. Heti esimerkkimme edellä esitellyn tuloksen mukaan lasketaan nyt lausekkeen arvo pisteissä (0;0), (3;0), (3; 3) ja (0; 3). Nämä ovat a) kohdan kuvion kärkipisteet. Tulokset ovat 0, 3, 6 ja 9 eli juuri nuo r:n arvot. Suurin arvo on siis 3, joka on myös tietenkin suurin parametrin r arvo, jota vastaavalla suoralla on vähintään yksi yhteinen piste kuvion kanssa. Piirroksesta, johon lisättiin suoria 3y + x = r eri r:n arvoilla, nähdään, että tällainen tulos oli odotettavissa ja senhän Tuloskin sanoi. Lausekkeen suurin arvo saatiin suurimman parametrin r suoran 3y + x = 1 ja tarkasteltavan alueen sivuamispisteessä, koska tämä suora on ylimpänä. Pienin arvo saadaan vastaavasti pienintä parametrin arvoa r = 18 vastaavan suoran ja alueen leikkauspisteessä: 3y + x = 9, kun x = 0 ja y = 3. a) kohdassa saadaan siis: 4(11)

5 Vastaus: Lausekkeen suurin arvo annetussa alueessa on 3 ja pienin arvo on 9. Vastaavalla tavalla saadaan suurin arvo b) kohdan kuviossa pisteessä (3; 2). Se on 3. Koska kuviolla ei ole alareunaa, lausekkeella 3y + x ei ole myöskään pienintä arvoa. Siis b) kohdassa saadaan: Vastaus: Suurin arvo on 3, pienin arvo ei ole olemassa. Esimerkki 4 Etsi lausekkeen y 2x 2 suurin ja pienin arvo alueessa y y + x 7 4y x 8 Kuva esittää epäyhtälöitten määrittelemää aluetta. Kuvan piirtämistä varten yhtälöt y + x = 7 ja 4y x = 8 kannattaa ratkaista ensin muotoon y = 1 x + 7 ja y = x Suorat y + x = 7 ja 4y x = 8 leikkaavat pisteessä (4;3). Nelikulmion muut kärjet ovat (0;2), (0;0) ja (7;0). Lausekkeen y 2x 2 arvot näissä pisteissä ovat vastaavasti 7, 0, 2 ja 16. Vastaus: Lausekkeen suurin arvo on 0 ja pienin arvo on 16. Huomaa, että tehtävässä ei kysytty, missä pisteissä nuo arvot saavutetaan. Siksi niitä ei myöskään vastauksessa annettu. Vastaa aina kaikkeen siihen, mitä kysytään, mutta vain siihen. Esimerkki 5 Etsi lausekkeen y 2x 2 suurin ja pienin arvo alueessa 1 x 5 y y x 2 Kirjoitetaan jälkimmäistä epäyhtälöä vastaava yhtälö muotoon y = x + 2. Kuvan piirtämistä varten tarvitaan suorien leikkauspisteet eli epäyhtälöiden määrittelemän monikulmion kärjet. Ne ovat (1;3), (5;7), (5;0), ja (1;0). Epäyhtälöryhmän ratkaisualue on jo merkitty oheiseen piirrokseen ja sen kärjetkin jo laskettiin, mutta kerrataan silti lyhyesti, miten se löytyi. 5(11)

6 Epäyhtälöstä y seuraa, että jokaisen ratkaisujoukon pisteen y koordinaatti on nolla tai suurempi. Täten kaikki ratkaisut ovat x akselin yläpuolella. Epäyhtälöistä x 1 ja x 5 seuraa, että ratkaisualueen pisteiden x koordinaatit ovat ykkösen ja viitosen välissä ja että rajat ovat mukana. Viimeisen epäyhtälön tapauksessa asia selviää kokeilemalla. Kokeillaan pistettä (3;2). Sijoitetaan koordinaatit lausekkeeseen y x. Saadaan 2 3, joka on pienempi kuin 2. Kokeillaan vielä varmuuden vuoksi pistettä, joka valitaan suoran y x = 2 yläpuolelta. Otetaan piste (2;5). Nyt lausekkeen arvoksi saadaan 5 2 eli 3, joka on suurempi kuin kaksi. Täten ratkaisualue on suoran y x = 2 alapuolella. Jokaisessa epäyhtälössä on yhtäsuuruus mukana, joten kaikki nelikulmion sivut kuuluvat ratkaisualueeseen. Tarkasteltava alue on nyt selville. Etsitään vastaukset esitettyihin kysymyksiin laskemalla lausekkeen y 2x 2 arvo nelikulmion kussakin kärkipisteessä. Ne ovat: Piste (1;3): y 2x 2 = 1 Piste (5;7): y 2x 2 = 5 Piste (5;0): y 2x 2 = 12 Piste (1;0): y 2x 2 = 4 Suurin arvo on siis 1 ja pienin 12. Vastaus: Lausekkeen suurin arvo kysytyssä alueessa on 1 ja pienin on 12. Esimerkki 6 Biologi voi valmistaa ravintoliuosta X, joka sisältää annosta kohti 40 millilitraa suolaliuosta A ja 30 millilitraa suolaliuosta B ja ravintoliuosta Y, joka puolestaan sisältää annosta kohti 20 millilitraa suolaliuosta A ja 50 millilitraa suolaliuosta B. Laboratoriossa on suolaliuosta A kaikkiaan millilitraa ja suolaliuosta B millilitraa. Yhdestä annoksesta ravintoliuosta X laboratorio saa tuottoa 43 euroa ja yhdestä annoksesta ravintoliuosta Y se saa 35 euroa. Molemmat hinnat ovat nettohintoja. Kuinka monta annosta ravintoliuosta X ja kuinka monta annosta ravintoliuosta Y kannattaa biologin valmistaa, jotta tuotto olisi mahdollisimman suuri? Tämän tehtävän ratkaiseminen kannattaa aloittaa kuten monisanaisen tehtävän ratkaiseminen yleensäkin: etsitään asian ydin kaiken sen sanahelinän keskeltä. Mitä tehtävässä kysytään hallussamme olevan matemaattisen välineistön valossa? Kysymys on tuottoa esittävän lausekkeen maksimoimista annetussa alueessa. Etsitään tuoton lauseke sekä alue, jonka puitteissa toimitaan. Merkitään liuoksen X annosten lukumäärää x:llä ja liuoksen Y annosten lukumäärää y:llä. Tällöin voidaan sanoa heti, että x ja y. Ravintoliuosannosten yhteinen tuotto on 43 x + 35y. Tuoton lausekkeen yksikkönä on euro. Koska liuoksia on käytettävissä vain tietyt määrät, noista määristä saadaan rajoittavia ehtoja. Koska suolaliuosta A on 3480 millilitraa, niin 0 0,040x + 0,020 y 3,480 ja koska liuosta B on millilitraa, niin 0 0,030x + 0,050 y 3,350. 6(11)

7 Näitten epäyhtälöitten yksikkönä on litra. Seuraava epäyhtälöryhmä määrittelee tarkasteltavan alueen. y 0,040x + 0,020 y 3,480 0,030x + 0,050 y 3,350 Piirretään epäyhtälöitä vastaavat suorat samaan koordinaatistoon. Kun kahta jälkimmäistä epäyhtälöä vastaavat suoran yhtälöt ratkaistaan y:n suhteen, saadaan yhtälöt y = 174 2x y = 67 0, 6x Koska yhtälöissä esiintyy noin suuria lukuja, valitaan sellainen mittakaava, että yksi kuvan yksikkö vastaa kymmentä luonnossa. Lasketaan suorien leikkauspisteen koordinaatit sekä ne suorien leikkauspisteet koordinaattiakselien kanssa, jotka kuuluvat epäyhtälöryhmän ratkaisualueeseen. Ne ovat (76,4;21,1), (0;67) ja (87;0). Koska optimoitava lauseke on 43 x + 35y, niin lasketaan sen saamat arvot näissä kolmessa pisteessä. Lauseke saa arvot noin 4024 euroa, 2345 euroa ja 7(11)

8 3741 euroa lueteltuina samassa järjestyksessä. Suurin arvo saatiin pisteessä, joka ei tule kysymykseen sen takia, että sen koordinaatit eli annosmäärät eivät ole kokonaislukuja. Lasketaan tulos sen sijaan lähimmän sellaisen pisteen mukaan, jonka koordinaatit ovat kokonaislukuja. Valitaan piste (76;21), jolloin tuotoksi saadaan 4003 euroa. Edellä todetun Tuloksen mukaan olemme nyt löytäneet ne ravintoliuosten annosmäärät, joilla saatava tuotto on suurimmillaan. Olemme siis maksimoineet tuoton eli optimoineet annosmäärät tuoton suhteen. Optimointitehtävän ratkaiseminen Lineaarisen optimointitehtävän ratkaisumenettely voidaan tiivistää seuraavan punaisen laatikon esittämiin muutamaan askeleeseen. Muunna rajoittavat ehdot epäyhtälöiksi Rajaa tasoon edellisen kohdan epäyhtälöryhmän määrittelemä alue. Tarkista, kuuluvatko rajat mukaan. Muodosta maksimoitavaa tai minimoitavaa suuretta kuvaava lauseke. Tätä lauseketta sanotaan tavoitefunktioksi. Laske edellisen kohdan lausekkeen arvot epäyhtälöryhmän voimassaoloalueen kärkipisteissä Valitse lasketuista arvoista tehtävän vastaus Kirjoita täsmällinen vastaus. Ota vastaukseen mukaan tarkalleen ne tiedot, joita kysytään. Esimerkki 7 Hajuveden valmistajalla on raaka-ainetta A jäljellä 420 millilitraa ja raaka-ainetta B 300 millilitraa. Hajuveteen X tarvitaan raaka-ainetta A 20 millilitraa ja raaka-ainetta B 30 millilitraa. Vastaavasti hajuveteen Y tarvitaan raaka-ainetta A 35 millilitraa ja raaka-ainetta B 15 millilitraa. Pullollinen hajuvettä X tuottaa 420 euroa ja pullollinen hajuvettä Y 370 euroa raaka-ainekustannusten jälkeen. Kuinka monta pulloa hajuvettä X ja hajuvettä Y kannattaa valmistaa jäljellä olevista raaka-aineista, jotta raaka-aineet tulisivat mahdollisimman tarkasti käyttöön ja tuotto olisi mahdollisimman suuri? Merkitään valmistettavien hajuveden X pullojen määrää x:llä ja Y:n pullojen määrää y:llä. Koska hajuvesiä ei voida valmistaa negatiivisia pullomääriä, niin x ja y. Raakaainetta A kuluu 20 millilitraa hajuveteen X ja 35 millilitraa hajuveteen Y, joten 20x + 35y 420. Vastaavasti raaka-aineen B kulutuksesta saadaan epäyhtälö 30x + 15y 300. Kirjoitetaan saadut epäyhtälöt vielä yhteen, epäyhtälöryhmäksi: y 20x + 35y x + 15y 300 8(11)

9 Ratkaistaan kahta viimeistä epäyhtälöä vastaavasta yhtälöstä y, lasketaan epäyhtälöiden määrittelemän nelikulmion kärkipisteet ja piirretään alue koordinaatistoon: 4 y = x + 12 ja y = 2 x Kärkipisteet ovat: (0;0), (0;12), (5,6;8,8) ja (10;0). Tarkista muutaman pisteen avulla, että kuvan vihreän rajaviivan nelikulmio todella on etsitty alue. Tehtävän määrittelyssä pyydetään etsimään mahdollisimman suuri tuotto, kun raaka-aineet käytetään niin tarkoin loppuun kuin mahdollista. Tehtävämme on siis maksimoida tuoton lauseke äsken johdettujen epäyhtälöitten rajoissa. Tavoitefunktiomme on nyt siis lauseke, joka esittää hajuvesistä saatavaa tuottoa. Koska havuvesi X:n pullojen lukumäärää merkittiin x:llä ja Y:n pullojen määrää y:llä ja koska niitten tuotot olivat vastaavasti 420 euroa ja 370 euro, niin hajuvesistä saatava tuotto on yhteensä 420x + 370y. Tämä on nyt tavoitefunktio. Haetaan sen suurin arvo epäyhtälöryhmän määrittelemässä alueessa eli hajuvesien valmistajan nykyisessä tilanteessa. Nelikulmion kärkipisteen (5,6;8,8) koordinaatit eivät ole kokonaislukuja. Hajuvesitehdas valmistaa vain kokonaisia pulloja, joten tällainen piste hylätään. Tutkitaan sen sijaan, mikä tai mitkä lähinnä olevista pisteistä (6;8), (5;9), (5;8) ja (6;9) ovat alueen sisäpuolella. Piste (6;9) selvästi ei ole ja yhtä selvästi piste (5;8) taas on tarkasteltavassa alueessa. Entä pisteet (5;9) ja (6;8)? Asia selviää tutkimalla, toteutuvatko epäyhtälöryhmän epäyhtälöt näissä pisteissä. Sijoittamalla epäyhtälöihin ja toteamalla, että ne toteutuvat, saadaan tietää, että piste (5;9) on alueessa, samoin piste (6;8). Tavoitefunktio 420x + 370y saa: pisteessä (0;0) arvon 0 euroa pisteessä (0;12) arvon 4440 euroa pisteessä (5;8) arvon 5060 euroa (raaka-ainetta A jää 40 ml ja B:tä jää 30 ml) pisteessä (5;9) arvon 5430 euroa (raaka-ainetta A jää 5 ml ja B:tä jää 15 ml) pisteessä (6;8) arvon 5480 euroa (raaka-ainetta A jää 20 ml ja B:tä jää 0 ml) ja pisteessä (10;0) arvon 4200 euroa. Suurin tuotto on pisteessä (6;8) saatava 5480 euroa, jolloin myös kaikki raaka-aineet tulevat käyttöön. Vastaus: Hajuvettä X kannattaa valmistaa 6 pulloa ja Y:tä 8 pulloa. Esimerkki 8 Sisustussuunnittelija valmistaa kahta erilaista sisustustekstiiliä. Malliin Kesäheinä kuluu kangasta A 0,8 metriä ja kangasta B 0,8 metriä. Malliin Suvituuli tarvitaan kangasta A 2,4 metriä ja kangasta B 5,6 metriä. Kangasta A on varastossa jäljellä 86,4 metriä ja kangasta B 134,4 metriä. Kesäheinän hinta kulujen jälkeen on 295 euroa ja Suvituulin 630 euroa. Miten 9(11)

10 sisustussuunnittelijan kannattaa käyttää materiaalinsa, jotta kangas käytettäisiin mahdollisimman tarkkaan hyväksi ja mallien yhteinen tuotto olisi mahdollisimman hyvä? Merkitään Kesäheinän valmistuserien lukumäärää x:llä ja Suvituulin valmistuserien määrää vastaavasti y:llä. Koska malleja ei valmisteta negatiivisia määriä, niin selvästi x ja y. Koska A:ta on varastossa 86,4 metriä, niin 0,8x + 2,4 y 86, 4. Vastaavasti B:n varastotilanteen ja menekin perusteella saadaan, että 0,8x + 5,6 y 134, 4. Koska nyt etsitään mahdollisimman suurta rahallista tulosta, niin tavoitefunktio on 295x + 630y ja se on maksimoitava tasoalueessa y 0,8x + 2,4 y 86,4 0,8x + 5,6 y 134,4 1 1 Tasoalueen rajoina ovat nyt siis suorat x = 0, y = 0, y = x + 36 ja y = x ohessa.. Kuva Väritetyn nelikulmion kärjet ovat pisteissä (0;0), (0;24), (63;15) ja (108;0). Lasketaan nyt tuotot sekä jäljelle jäävän kankaan määrät kussakin kärkipisteessä paitsi origossa. Jäljelle jäävän kankaan määrä Piste Tuotto, A, m B, m (0;24) ,8 0 (63;15) (108;0) (11)

11 Suurin tuotto saataisiin valmistamalla pelkkää Kesäheinää 108 kappaletta, mutta tällöin kangasta B jäisi 48 metriä yli. Kun kaikki kangas halutaan käyttöön, niin paras tuotto saadaan valmistamalla Kesäheinää 63 ja Suvituulta 15. Vastaus: Jos tehtävän kysymys tulkitaan kirjaimellisesti, niin sisustussuunnittelijan kannattaa valmistaa Kesäheinää 63 kappaletta ja Suvituulta 15 kappaletta. Käytännössä hän varmaan harkitsisi kuitenkin tarkkaan, että pitäisikö valmistaa pelkkää Kesäheinää 108 kappaletta, koska silloin rahaa tulisi eniten ja kangasta jäisi ylikin. 11(11)

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja Harjoitustehtävien ratkaisuja Kahden muuttujan lineaarisen epäyhtälön ja epäyhtälöryhmän harjoituksia Ratkaise tehtävien 3 epäyhtälöt. Piirrä kuva jokaisesta epäyhtälöstä ja sen ratkaisusta.. 4 x y < 6

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

6.1 Lineaarinen optimointi

6.1 Lineaarinen optimointi 6.1 Lineaarinen optimointi Suora a + b + c = 0 jakaa -tason kahteen puolitasoon. Tason jokainen piste, joka on suoralla, toteuttaa suoran htälön ja kääntäen. Jos siis tason mielivaltaisen pisteen koordinaatit

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö 2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen

Lisätiedot

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset 30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty

Lisätiedot

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x. LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 8: Excel - Optimointi Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

ja nyt tässä tapauksessa a = 1, b=4 ja c= -5, ja x:n paikalle ajattelemme P:n.

ja nyt tässä tapauksessa a = 1, b=4 ja c= -5, ja x:n paikalle ajattelemme P:n. Harjoitukset 2, vastauksia. Ilmoittakaa virheistä ja epäselvyyksistä! 1. b (kysyntäkäyrä siirtyy vasemmalle) 2. c (kysyntäkäyrä siirtyy oikealle) 3. ei mikään edellisistä; oikea vastaus olisi p 2

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

LUKUVUODEN E-KURSSI

LUKUVUODEN E-KURSSI 1 TYK AIKUISLUKIO LUKUVUODEN 2016 2017 E-KURSSI Kurssin tunnus ja nimi Kurssin opettaja MAB6 Matemaattisia malleja II Frans Hartikainen frans.hartikainen@tyk.fi MAB6-kurssin työtila on nähtävillä myös

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f

Lisätiedot