2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa"

Transkriptio

1 Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät ratkaisut. Kysymys voi olla esimerkiksi kustannusten tai haittojen minimoimisesta tai voiton maksimoimisesta. Tällaisen ihannearvon löytämistä kutsutaan optimoimiseksi. Kun etsitään sellaisen lausekkeen ihannearvoa, jossa esiintyy kaksi ensimmäisen asteen muuttujaa, kyseessä on nimenomaan lineaarinen optimoiminen. Tällä kurssilla tutkitaan lineaarista optimointia (englanniksi linear programming). Tavallisesti ratkaisemme tehtäviä, joissa annettujen ehtojen perusteella koordinaatistosta rajataan alue. Tehtävänä on silloin tutkia, missä, jos missään tämän alueen pisteessä, jälleen annettujen ehtojen avulla määritelty lauseke saa etsittävän arvon. Aloitetaan määrittelemällä tasoalue. Sitä varten tarvitaan epäyhtälöryhmä. Olkoon se y y x + 3. Piirretään tästä kuva. Rajataan epäyhtälöryhmän voimassaoloalue vahvalla, keltaisella viivalla. x = 0 y = x + 3 y = 0 1(11)

2 Tarkastellaan, millaisia arvoja lauseke 2x + y saa tässä alueessa. Käytetään tästä lausekkeen saamasta arvosta symbolia r. Jos tarkastellaan jotain kiinteää r:n arvoa, niin koska x:n kerroin on kaksi eli vakio, niin 2x + y = r on suoran yhtälö. Lisäksi jokainen näistä suorista on yhdensuuntainen muiden kanssa. Jokaista r:n arvoa vastaa tarkalleen yksi suora 2x + y = r ja jokaista suoran 2x + y = 0 kanssa yhdensuuntaista suoraa vastaa tarkalleen yksi r:n arvo. Näet tämän helposti ratkaisemasta y:n yhtälöstä 2x + y = r: 2x + y = r jos ja vain jos y = 2x + r. Palauta mieleesi suoran yhtälön yleinen muoto ja vertaa sitä tähän! Piirretään nyt äskeiseen kuvaan muutama suora valitsemalla r:lle arvoja. Tulos on seuraava. r = +3 r = r = 4 r = 6 r = 0 Huomaa, että lausekkeen 2x + y saama arvo kasvaa koko ajan, kun r kasvaa. Suurimmillaan se on, kun r = 3 ja pienimmillään, kun r = 6. Jokaisella r:n määrittelemällä suoralla lausekkeen arvo on tietenkin vakio eli juuri tuo r. Täten lausekkeen 2x + y arvo muuttuu vain, kun suoraa 2x + y = r siirretään vasemmalta oikealle. Huomaa myös, että nämä lausekkeen ääriarvon antavat suorat leikkaavat tarkasteltavan, epäyhtälöillä määritellyn alueen tarkalleen yhdessä pisteessä. Tulos Kaksi 1. asteen muuttujaa sisältävä lauseke, joka ei ole yhdenkään tasomonikulmion sivun suuntainen, saa tasomonikulmiossa pienimmän ja suurimman arvonsa kunkin tarkalleen yhdessä pisteessä. 2(11)

3 Sovelletaan tätä tulosta seuraavissa esimerkeissä. Huomaa tarkistaa, että osaat laskea kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit, kun suorien yhtälöt on annettu! Suoran yleinen yhtälö voidaan esittää muodossa y = kx + c. Yhtälön c on ennestään tuttu suoran yhtälön vakiotermi. Tämä voidaan muuntaa muotoon y kx = c. Jos kulmakerroin k ei a a ole kokonaisluku, vaan esimerkiksi osamäärä, missä b 0, niin y = x + c. Tällöin b b suoran yhtälö annetaan usein muodossa by ax = bc. Tässä luku bc on siis edellä esiintyvä r. Esimerkki 3 Etsi lausekkeen 3y + x suurin ja pienin arvo kuvassa määritellyssä tason alueessa. a) b) Tällaisen tehtävän ratkaiseminen lähtee liikkeelle suorien joukon 3y + x = r tutkimisesta. Tässä kirjain r on jokin reaaliluku. Kukin r:n arvo vastaa suorajoukon yhtä suoraa. Huomautus! Luku r on siis vakio kunkin suoran tapauksessa. Tällä tavalla käytettävää lukua sanotaan parametriksi. Kirjaimen r sijasta olisi voitu käyttää mitä tahansa sellaista kirjainta, joka ei aiheuta väärinkäsityksiä. Esimerkiksi kirjaimet x ja y on jo varattu muuhun käyttöön, joten niitä ei olisi voitu käyttää. Oikeaoppisempi tapa määritellä tämä suorien joukko on { r R 3 y + x = r }. Kaikki tämän suorajoukon suorat ovat yhdensuuntaiset origon kautta kulkevan suoran 1 y = x kanssa. Tämän seikan huomaat, kun ratkaiset y:n yhtälöstä 3y + x = r. Piirretään 3 näistä suorista muutama näkyviin. a) 3(11)

4 Punaiset suorat ovat siis yllä määritellyn suorien joukon suoria. Ylimmäisestä alimmaiseen lueteltuina niitten parametrit r ovat +3, 0, 3, 6 ja 9. Esimerkiksi, jos parametrin arvo on , niin suoran yhtälö on 3y + x = 1 eli y = x b) Myös tämän kuvan punaiset suorat on valittu yllä mainittujen suorien joukon suorista. Ylimmäisestä alimmaiseen lueteltuina niitten parametrin r arvot ovat puolestaan 0, 3, 6, 12 ja 18. Heti esimerkkimme edellä esitellyn tuloksen mukaan lasketaan nyt lausekkeen arvo pisteissä (0;0), (3;0), (3; 3) ja (0; 3). Nämä ovat a) kohdan kuvion kärkipisteet. Tulokset ovat 0, 3, 6 ja 9 eli juuri nuo r:n arvot. Suurin arvo on siis 3, joka on myös tietenkin suurin parametrin r arvo, jota vastaavalla suoralla on vähintään yksi yhteinen piste kuvion kanssa. Piirroksesta, johon lisättiin suoria 3y + x = r eri r:n arvoilla, nähdään, että tällainen tulos oli odotettavissa ja senhän Tuloskin sanoi. Lausekkeen suurin arvo saatiin suurimman parametrin r suoran 3y + x = 1 ja tarkasteltavan alueen sivuamispisteessä, koska tämä suora on ylimpänä. Pienin arvo saadaan vastaavasti pienintä parametrin arvoa r = 18 vastaavan suoran ja alueen leikkauspisteessä: 3y + x = 9, kun x = 0 ja y = 3. a) kohdassa saadaan siis: 4(11)

5 Vastaus: Lausekkeen suurin arvo annetussa alueessa on 3 ja pienin arvo on 9. Vastaavalla tavalla saadaan suurin arvo b) kohdan kuviossa pisteessä (3; 2). Se on 3. Koska kuviolla ei ole alareunaa, lausekkeella 3y + x ei ole myöskään pienintä arvoa. Siis b) kohdassa saadaan: Vastaus: Suurin arvo on 3, pienin arvo ei ole olemassa. Esimerkki 4 Etsi lausekkeen y 2x 2 suurin ja pienin arvo alueessa y y + x 7 4y x 8 Kuva esittää epäyhtälöitten määrittelemää aluetta. Kuvan piirtämistä varten yhtälöt y + x = 7 ja 4y x = 8 kannattaa ratkaista ensin muotoon y = 1 x + 7 ja y = x Suorat y + x = 7 ja 4y x = 8 leikkaavat pisteessä (4;3). Nelikulmion muut kärjet ovat (0;2), (0;0) ja (7;0). Lausekkeen y 2x 2 arvot näissä pisteissä ovat vastaavasti 7, 0, 2 ja 16. Vastaus: Lausekkeen suurin arvo on 0 ja pienin arvo on 16. Huomaa, että tehtävässä ei kysytty, missä pisteissä nuo arvot saavutetaan. Siksi niitä ei myöskään vastauksessa annettu. Vastaa aina kaikkeen siihen, mitä kysytään, mutta vain siihen. Esimerkki 5 Etsi lausekkeen y 2x 2 suurin ja pienin arvo alueessa 1 x 5 y y x 2 Kirjoitetaan jälkimmäistä epäyhtälöä vastaava yhtälö muotoon y = x + 2. Kuvan piirtämistä varten tarvitaan suorien leikkauspisteet eli epäyhtälöiden määrittelemän monikulmion kärjet. Ne ovat (1;3), (5;7), (5;0), ja (1;0). Epäyhtälöryhmän ratkaisualue on jo merkitty oheiseen piirrokseen ja sen kärjetkin jo laskettiin, mutta kerrataan silti lyhyesti, miten se löytyi. 5(11)

6 Epäyhtälöstä y seuraa, että jokaisen ratkaisujoukon pisteen y koordinaatti on nolla tai suurempi. Täten kaikki ratkaisut ovat x akselin yläpuolella. Epäyhtälöistä x 1 ja x 5 seuraa, että ratkaisualueen pisteiden x koordinaatit ovat ykkösen ja viitosen välissä ja että rajat ovat mukana. Viimeisen epäyhtälön tapauksessa asia selviää kokeilemalla. Kokeillaan pistettä (3;2). Sijoitetaan koordinaatit lausekkeeseen y x. Saadaan 2 3, joka on pienempi kuin 2. Kokeillaan vielä varmuuden vuoksi pistettä, joka valitaan suoran y x = 2 yläpuolelta. Otetaan piste (2;5). Nyt lausekkeen arvoksi saadaan 5 2 eli 3, joka on suurempi kuin kaksi. Täten ratkaisualue on suoran y x = 2 alapuolella. Jokaisessa epäyhtälössä on yhtäsuuruus mukana, joten kaikki nelikulmion sivut kuuluvat ratkaisualueeseen. Tarkasteltava alue on nyt selville. Etsitään vastaukset esitettyihin kysymyksiin laskemalla lausekkeen y 2x 2 arvo nelikulmion kussakin kärkipisteessä. Ne ovat: Piste (1;3): y 2x 2 = 1 Piste (5;7): y 2x 2 = 5 Piste (5;0): y 2x 2 = 12 Piste (1;0): y 2x 2 = 4 Suurin arvo on siis 1 ja pienin 12. Vastaus: Lausekkeen suurin arvo kysytyssä alueessa on 1 ja pienin on 12. Esimerkki 6 Biologi voi valmistaa ravintoliuosta X, joka sisältää annosta kohti 40 millilitraa suolaliuosta A ja 30 millilitraa suolaliuosta B ja ravintoliuosta Y, joka puolestaan sisältää annosta kohti 20 millilitraa suolaliuosta A ja 50 millilitraa suolaliuosta B. Laboratoriossa on suolaliuosta A kaikkiaan millilitraa ja suolaliuosta B millilitraa. Yhdestä annoksesta ravintoliuosta X laboratorio saa tuottoa 43 euroa ja yhdestä annoksesta ravintoliuosta Y se saa 35 euroa. Molemmat hinnat ovat nettohintoja. Kuinka monta annosta ravintoliuosta X ja kuinka monta annosta ravintoliuosta Y kannattaa biologin valmistaa, jotta tuotto olisi mahdollisimman suuri? Tämän tehtävän ratkaiseminen kannattaa aloittaa kuten monisanaisen tehtävän ratkaiseminen yleensäkin: etsitään asian ydin kaiken sen sanahelinän keskeltä. Mitä tehtävässä kysytään hallussamme olevan matemaattisen välineistön valossa? Kysymys on tuottoa esittävän lausekkeen maksimoimista annetussa alueessa. Etsitään tuoton lauseke sekä alue, jonka puitteissa toimitaan. Merkitään liuoksen X annosten lukumäärää x:llä ja liuoksen Y annosten lukumäärää y:llä. Tällöin voidaan sanoa heti, että x ja y. Ravintoliuosannosten yhteinen tuotto on 43 x + 35y. Tuoton lausekkeen yksikkönä on euro. Koska liuoksia on käytettävissä vain tietyt määrät, noista määristä saadaan rajoittavia ehtoja. Koska suolaliuosta A on 3480 millilitraa, niin 0 0,040x + 0,020 y 3,480 ja koska liuosta B on millilitraa, niin 0 0,030x + 0,050 y 3,350. 6(11)

7 Näitten epäyhtälöitten yksikkönä on litra. Seuraava epäyhtälöryhmä määrittelee tarkasteltavan alueen. y 0,040x + 0,020 y 3,480 0,030x + 0,050 y 3,350 Piirretään epäyhtälöitä vastaavat suorat samaan koordinaatistoon. Kun kahta jälkimmäistä epäyhtälöä vastaavat suoran yhtälöt ratkaistaan y:n suhteen, saadaan yhtälöt y = 174 2x y = 67 0, 6x Koska yhtälöissä esiintyy noin suuria lukuja, valitaan sellainen mittakaava, että yksi kuvan yksikkö vastaa kymmentä luonnossa. Lasketaan suorien leikkauspisteen koordinaatit sekä ne suorien leikkauspisteet koordinaattiakselien kanssa, jotka kuuluvat epäyhtälöryhmän ratkaisualueeseen. Ne ovat (76,4;21,1), (0;67) ja (87;0). Koska optimoitava lauseke on 43 x + 35y, niin lasketaan sen saamat arvot näissä kolmessa pisteessä. Lauseke saa arvot noin 4024 euroa, 2345 euroa ja 7(11)

8 3741 euroa lueteltuina samassa järjestyksessä. Suurin arvo saatiin pisteessä, joka ei tule kysymykseen sen takia, että sen koordinaatit eli annosmäärät eivät ole kokonaislukuja. Lasketaan tulos sen sijaan lähimmän sellaisen pisteen mukaan, jonka koordinaatit ovat kokonaislukuja. Valitaan piste (76;21), jolloin tuotoksi saadaan 4003 euroa. Edellä todetun Tuloksen mukaan olemme nyt löytäneet ne ravintoliuosten annosmäärät, joilla saatava tuotto on suurimmillaan. Olemme siis maksimoineet tuoton eli optimoineet annosmäärät tuoton suhteen. Optimointitehtävän ratkaiseminen Lineaarisen optimointitehtävän ratkaisumenettely voidaan tiivistää seuraavan punaisen laatikon esittämiin muutamaan askeleeseen. Muunna rajoittavat ehdot epäyhtälöiksi Rajaa tasoon edellisen kohdan epäyhtälöryhmän määrittelemä alue. Tarkista, kuuluvatko rajat mukaan. Muodosta maksimoitavaa tai minimoitavaa suuretta kuvaava lauseke. Tätä lauseketta sanotaan tavoitefunktioksi. Laske edellisen kohdan lausekkeen arvot epäyhtälöryhmän voimassaoloalueen kärkipisteissä Valitse lasketuista arvoista tehtävän vastaus Kirjoita täsmällinen vastaus. Ota vastaukseen mukaan tarkalleen ne tiedot, joita kysytään. Esimerkki 7 Hajuveden valmistajalla on raaka-ainetta A jäljellä 420 millilitraa ja raaka-ainetta B 300 millilitraa. Hajuveteen X tarvitaan raaka-ainetta A 20 millilitraa ja raaka-ainetta B 30 millilitraa. Vastaavasti hajuveteen Y tarvitaan raaka-ainetta A 35 millilitraa ja raaka-ainetta B 15 millilitraa. Pullollinen hajuvettä X tuottaa 420 euroa ja pullollinen hajuvettä Y 370 euroa raaka-ainekustannusten jälkeen. Kuinka monta pulloa hajuvettä X ja hajuvettä Y kannattaa valmistaa jäljellä olevista raaka-aineista, jotta raaka-aineet tulisivat mahdollisimman tarkasti käyttöön ja tuotto olisi mahdollisimman suuri? Merkitään valmistettavien hajuveden X pullojen määrää x:llä ja Y:n pullojen määrää y:llä. Koska hajuvesiä ei voida valmistaa negatiivisia pullomääriä, niin x ja y. Raakaainetta A kuluu 20 millilitraa hajuveteen X ja 35 millilitraa hajuveteen Y, joten 20x + 35y 420. Vastaavasti raaka-aineen B kulutuksesta saadaan epäyhtälö 30x + 15y 300. Kirjoitetaan saadut epäyhtälöt vielä yhteen, epäyhtälöryhmäksi: y 20x + 35y x + 15y 300 8(11)

9 Ratkaistaan kahta viimeistä epäyhtälöä vastaavasta yhtälöstä y, lasketaan epäyhtälöiden määrittelemän nelikulmion kärkipisteet ja piirretään alue koordinaatistoon: 4 y = x + 12 ja y = 2 x Kärkipisteet ovat: (0;0), (0;12), (5,6;8,8) ja (10;0). Tarkista muutaman pisteen avulla, että kuvan vihreän rajaviivan nelikulmio todella on etsitty alue. Tehtävän määrittelyssä pyydetään etsimään mahdollisimman suuri tuotto, kun raaka-aineet käytetään niin tarkoin loppuun kuin mahdollista. Tehtävämme on siis maksimoida tuoton lauseke äsken johdettujen epäyhtälöitten rajoissa. Tavoitefunktiomme on nyt siis lauseke, joka esittää hajuvesistä saatavaa tuottoa. Koska havuvesi X:n pullojen lukumäärää merkittiin x:llä ja Y:n pullojen määrää y:llä ja koska niitten tuotot olivat vastaavasti 420 euroa ja 370 euro, niin hajuvesistä saatava tuotto on yhteensä 420x + 370y. Tämä on nyt tavoitefunktio. Haetaan sen suurin arvo epäyhtälöryhmän määrittelemässä alueessa eli hajuvesien valmistajan nykyisessä tilanteessa. Nelikulmion kärkipisteen (5,6;8,8) koordinaatit eivät ole kokonaislukuja. Hajuvesitehdas valmistaa vain kokonaisia pulloja, joten tällainen piste hylätään. Tutkitaan sen sijaan, mikä tai mitkä lähinnä olevista pisteistä (6;8), (5;9), (5;8) ja (6;9) ovat alueen sisäpuolella. Piste (6;9) selvästi ei ole ja yhtä selvästi piste (5;8) taas on tarkasteltavassa alueessa. Entä pisteet (5;9) ja (6;8)? Asia selviää tutkimalla, toteutuvatko epäyhtälöryhmän epäyhtälöt näissä pisteissä. Sijoittamalla epäyhtälöihin ja toteamalla, että ne toteutuvat, saadaan tietää, että piste (5;9) on alueessa, samoin piste (6;8). Tavoitefunktio 420x + 370y saa: pisteessä (0;0) arvon 0 euroa pisteessä (0;12) arvon 4440 euroa pisteessä (5;8) arvon 5060 euroa (raaka-ainetta A jää 40 ml ja B:tä jää 30 ml) pisteessä (5;9) arvon 5430 euroa (raaka-ainetta A jää 5 ml ja B:tä jää 15 ml) pisteessä (6;8) arvon 5480 euroa (raaka-ainetta A jää 20 ml ja B:tä jää 0 ml) ja pisteessä (10;0) arvon 4200 euroa. Suurin tuotto on pisteessä (6;8) saatava 5480 euroa, jolloin myös kaikki raaka-aineet tulevat käyttöön. Vastaus: Hajuvettä X kannattaa valmistaa 6 pulloa ja Y:tä 8 pulloa. Esimerkki 8 Sisustussuunnittelija valmistaa kahta erilaista sisustustekstiiliä. Malliin Kesäheinä kuluu kangasta A 0,8 metriä ja kangasta B 0,8 metriä. Malliin Suvituuli tarvitaan kangasta A 2,4 metriä ja kangasta B 5,6 metriä. Kangasta A on varastossa jäljellä 86,4 metriä ja kangasta B 134,4 metriä. Kesäheinän hinta kulujen jälkeen on 295 euroa ja Suvituulin 630 euroa. Miten 9(11)

10 sisustussuunnittelijan kannattaa käyttää materiaalinsa, jotta kangas käytettäisiin mahdollisimman tarkkaan hyväksi ja mallien yhteinen tuotto olisi mahdollisimman hyvä? Merkitään Kesäheinän valmistuserien lukumäärää x:llä ja Suvituulin valmistuserien määrää vastaavasti y:llä. Koska malleja ei valmisteta negatiivisia määriä, niin selvästi x ja y. Koska A:ta on varastossa 86,4 metriä, niin 0,8x + 2,4 y 86, 4. Vastaavasti B:n varastotilanteen ja menekin perusteella saadaan, että 0,8x + 5,6 y 134, 4. Koska nyt etsitään mahdollisimman suurta rahallista tulosta, niin tavoitefunktio on 295x + 630y ja se on maksimoitava tasoalueessa y 0,8x + 2,4 y 86,4 0,8x + 5,6 y 134,4 1 1 Tasoalueen rajoina ovat nyt siis suorat x = 0, y = 0, y = x + 36 ja y = x ohessa.. Kuva Väritetyn nelikulmion kärjet ovat pisteissä (0;0), (0;24), (63;15) ja (108;0). Lasketaan nyt tuotot sekä jäljelle jäävän kankaan määrät kussakin kärkipisteessä paitsi origossa. Jäljelle jäävän kankaan määrä Piste Tuotto, A, m B, m (0;24) ,8 0 (63;15) (108;0) (11)

11 Suurin tuotto saataisiin valmistamalla pelkkää Kesäheinää 108 kappaletta, mutta tällöin kangasta B jäisi 48 metriä yli. Kun kaikki kangas halutaan käyttöön, niin paras tuotto saadaan valmistamalla Kesäheinää 63 ja Suvituulta 15. Vastaus: Jos tehtävän kysymys tulkitaan kirjaimellisesti, niin sisustussuunnittelijan kannattaa valmistaa Kesäheinää 63 kappaletta ja Suvituulta 15 kappaletta. Käytännössä hän varmaan harkitsisi kuitenkin tarkkaan, että pitäisikö valmistaa pelkkää Kesäheinää 108 kappaletta, koska silloin rahaa tulisi eniten ja kangasta jäisi ylikin. 11(11)

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja Harjoitustehtävien ratkaisuja Kahden muuttujan lineaarisen epäyhtälön ja epäyhtälöryhmän harjoituksia Ratkaise tehtävien 3 epäyhtälöt. Piirrä kuva jokaisesta epäyhtälöstä ja sen ratkaisusta.. 4 x y < 6

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

6.1 Lineaarinen optimointi

6.1 Lineaarinen optimointi 6.1 Lineaarinen optimointi Suora a + b + c = 0 jakaa -tason kahteen puolitasoon. Tason jokainen piste, joka on suoralla, toteuttaa suoran htälön ja kääntäen. Jos siis tason mielivaltaisen pisteen koordinaatit

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö 2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a

Lisätiedot

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen

Lisätiedot

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset 30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 8: Excel - Optimointi Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4 Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 Risto Silvennoinen Tampereen teknillinen yliopisto, kevät 2004 1. Peruskäsitteet Optimointiteoria on sovelletun matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan funktioiden

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, t Toisen Prosentti 1 Jos b on p% luvusta a, eli niin b = p 100 a a = perusarvo (Mihin verrataan?) (Minkä sadasosista on kysymys.) p = prosenttiluku (Miten monta

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Funktiot ja yhtälöt Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Funktiot ja yhtälöt (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Pikatesti

Lisätiedot

Vastaus: Aikuistenlippuja myytiin 61 kappaletta ja lastenlippuja 117 kappaletta.

Vastaus: Aikuistenlippuja myytiin 61 kappaletta ja lastenlippuja 117 kappaletta. Seuraava esimerkki on yhtälöparin sovellus tyypillisimmillään Lukion ekaluokat suunnittelevat luokkaretkeä Sitä varten tarvitaan tietysti rahaa ja siksi oppilaat järjestävät koko perheen hipat Hippoihin

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite .. Ympäristön ja raja-arvon käsite Matematiikan opintojen tässä vaiheessa aletaan olla kiinnostavimpien sisältöjen laidassa. Tähänastiset pitkän matematiikan opinnot ovat olleet kuin valmistelua, jatkossa

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12 Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 010 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4 kesäkuuta 010 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa olla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

2 arvo muuttujan arvolla

2 arvo muuttujan arvolla Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 9.2.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 9.2.2009 1 / 35 Listat Esimerkki: halutaan kirjoittaa ohjelma, joka lukee käyttäjältä 30 lämpötilaa. Kun lämpötilat

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Taso Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Taso avaruudessa Piste P 0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. n=a i+b j+c k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 7 Taso

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun YTL Hyvän vastauksen piirteitä: Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat

Lisätiedot

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot