5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet"

Marika Halonen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina sijoituskeinolla sikäli kun ratkaisuja on. Ensiasteen yhtälöstä sijoitetaan toinen muuttuja siihen yhtälöön, joka on ainakin toisen muuttujan suhteen toista astetta. Tämän yhtälön ratkaisu antaa toiselle muuttujalle mahdollisesti kaksikin arvoa ja vielä kätkössä oleva toinen tuntematon saadaan sitten sijoituskeinolla. + y = 7 Esim. 1 Ratkaise yhtälöpari + y = Ylemmästä yhtälöstä saadaan sijoitus y = 7 ja työnnetään se alempaan: Jos = 4, niin y = 3 Jos = 3, niin y = 4. + (7 ) = = = 0 7 ± = = 4 tai = 3 = 7 ± 1 = Vastaus: Kaksi ratkaisua = 4 y = 3 tai = 3 y = 4 Geometrisessa mielessä edellistehtävässä oli kysymys erään suoran ja erään origokeskeisen ympyrän leikkauspisteiden määrittäminen. Kun tässä on tutustuttu myös paraabeliin, niin on ilmeistä, että suoralla ja ympyrällä tai suoralla ja paraabelilla voi yhteisiä pisteitä olla kaksi, yksi taikka nolla. Näiden koordinaatit määritetään ratkaisemalla ao. viivojen yhtälöitten muodostama pari (sijoituskeinolla). Ratkaisujen lukumäärä luonnollisesti riippuu diskriminantista D.

2 D > 0, yhteisiä pisteitä on kaksi ja tällöin suora on paraabelin tai ympyrän sekantti, josta leikkauspisteet erottavat janan. D = 0, suora on paraabelin/ympyrän tangentti. Ympyrän tai paraabelin ulkopuolisesta pisteestä voidaan piirtää käyrälle kaksi tangenttia, mutta sisäpuolisesta ei yhtään. Paraabeli jakaa y-tason kahteen osaan ja paraabelin sisäpuoliseksi tason osaksi käsitetään se, joka sisältää polttopisteen. D < 0; suoralla ja käyrällä ei ole yhteisiä pisteitä ollenkaan. Jos erityisesti on kyseessä suoran ja ympyrän yhteisten pisteiden määrittäminen, niin olkoot annettu yleisessä muodossa suoran yhtälö a + by + c = 0 ja ympyrän yhtälö + y + A + By + C = 0. Kyseisten viivojen leikkauspisteet saadaan siis selville ratkaisemalla sijoituskeinoa käyttäen yhtälöpari + y + A + By + C = 0 a + by + c = 0 Tämä on parin algebrallinen ratkaisu, jonka voi tarkistaa graafisesti; piirtämällä sekä suoran, että ympyrän ja arvioimalla sitten kuvaajasta leikkauspisteen koordinaatit. Hyvä on palauttaa mieleen, että graafinen ratkaisu on aina likiarvo. Esim. Missä pisteissä suora + y + 1 = 0 kohtaa ympyrän + y + 4 y + 1 = 0? Ensiasteisesta yhtälöstä kannattaa aina ratkaista se, jonka lauseke on yksinkertaisempi, jotta sijoituksessa toisen asteen yhtälöön päästäisiin mahdollisimman vähällä. Jos tässä ratkaistaan y: y = 1 ja jos : = y 1. Näistä edellinen lienee helpompi käsitellä. Sijoitetaan siis y = 1 toisen asteen yhtälöön: + ( 1) = = 0 1 ± = ( 1) + 1 = 0 = =

3 Vastaavat y:n arvot on ratkaistava nimenomaan suoran yhtälöstä, koska ympyräviivalla samaa :n arvoa vastaa yleensä kaksi y:n arvoa. Ratkaisu ensiasteen yhtälöstä on helpompikin. Jos =, niin y = ( ) 1 = 4 1 = 3 ja jos = 4, niiny = ( ) 1 = 1 = Vastaus: Suora kohtaa ympyrän pisteissä (,3) ja (, ) 1 1 Graafista tarkistusta varten saatetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon, jotta nähdään säde ja keskipiste ja voidaan ympyrä piirtää: y y + 1 = ( + ) + (y 1) = Ympyrän keskipiste on siis (,1) ja säde r =. Kuvio on pääpiirtein hahmoteltu yläpuolella tekstissä. Esim. 3 Kuinka pitkän janan (jänteen) ympyrä + y 4 = 0 erottaa suorasta y = 0? Tehtävä voidaan (mekaanisesti) ratkaista niin, että määritetään ympyrän ja suoran leikkauspisteet, minkä jälkeen lasketaan ao. janan pituus. Jalompana voidaan pitää sitä ratkaisutapaa, missä ensin määritetään ympyrän keskipisteen etäisyys ko. suorasta. Tätä varten tarvitaan ympyrän keskipisteen koordinaatit: y = 4 ( ) + y = Niinpä on ympyrän keskipiste (,0) ja säde. Ympyrän keskipisteen etäisyys annetusta suorasta y = 0 saadaan aiemmin todistamatta ilmoitetun laskukaavan avulla:

4 1 0 d = = + ( 1) Jänteen puolikas AC saadaan sitten Pythagoraan lauseen avulla kolmiosta AOC, jonka hypotenuusa OA = r, ja jossa toisena kateettina on OC = d: (AC) = r d = ( ) = 4 4 = 16, joten AC = 4 ja näin kysytyn jänteen AB pituus on 8 8 =. B A C O Tällä tavoin laskien ei tarvinnut selvittää jänteen päätepisteiden koordinaatteja ensinkään. Pisteen etäisyys suorasta on erinomaisen käyttökelpoinen teorian kohta suoran ja ympyrän keskinäisiä asentoja tutkittaessa, vallankin kun käsitellään ympyrän tangenttia, jolla on täsmälleen yksi yhteinen piste itse käyrän kanssa. Tämä tieto johtaa käytännön laskutehtävissä diskriminanttitarkasteluihin. Kun näet lasketaan suoran ja toisen asteen käyrän pisteitä, asianomaisen yhtälöparin ratkaiseminen (sijoituskeinolla) johtaa toisen asteen yhtälöön, jolla tangentin kyseessä ollen saa olla vain yksi ratkaisu. Diskriminantti on tällöin nolla. Useimmiten tehtävät ovat sellaisia, että diskriminantti on nimenomaan merkittävä nollaksi, jotta voidaan jonkun parametrin kiinnittämiseksi saada yhtälö. Ympyrän tangenttiin liittyvät laskutehtävät ratkeavat jollakin seuraavista ideoista: diskriminanttiehtoa käytetään, mikä siis perustuu siihen, että ympyrällä ja sen tangentilla on yksi yhteinen piste tangentti on suora, josta ympyrän keskipiste on säteen etäisyydellä tai tangentti on sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan kohtisuorassa.

5 Esim. 4 Määritä ympyrän + y + 4 y + 1 = 0 niiden tangenttien yhtälöt, jotka kulkevat pisteen (1,3) kautta. Pisteen (1,3) kautta kulkevan suoraparven yhtälö on y 3 = k( 1) eli k y + 3 k = 0 ja kun on käsiteltävä kaikki pisteen (1,3) kautta kulkevat suorat, on muistettava ottaa tarkasteluihin mukaan myös se suora, jolla ei ole kulmakerrointa eli suora = 1. Nyt voitaisiin saattaa suoran yhtälö ratkaistuun muotoon y = k + 3 k ja sijoittaa tämä ympyrän yhtälöön ja määrätä, että yhtälöllä tulee olla täsmälleen yksi ratkaisu eli merkittäisiin diskriminantti nollaksi. Tämä on kuitenkin hivenen hankala keino, jota käytettäessä jouduttaisiin korottamaan trinomi toiseen potenssiin, mikä puolestaan saattaisi johtaa monimutkaisiin lausekkeisiin. Pyritään käyttämään edellä luetelluista ideoista keskimmäistä ja saatetaan sitä varten ympyrän yhtälö keskipistemuotoon: + y + 4 y + 1 = y ( + ) + (y 1) =. y + 1 = Tämän jo entuudestaan hieman tutun ympyrän keskipiste on siis (,1) ja säde. Jos nyt suora k y + 3 k = 0 on tämän ympyrän tangentti, niin silloinpa piste (,1) on tästä suorasta etäisyydellä : k( ) 1+ 3 k = 3k = k k Viimeksi kirjoitetussa yhtälössä molemmat puolet ovat ei-negatiiviset, onpa k mikä tahansa reaaliluku, joten yhtälön puolet eivät voi olla milloinkaan toistensa vastalukuja. Toisin sanoen yhtälössä on neliöönkorotusehto voimassa, ja kun molemmat puolet korotetaan toiseen potenssiin, niin saadaan 4 1k + 9k = 4(k k = 0 k = + 1) k 1 1k = 0

6 Pisteen (,1) etäisyys (erikoistapaus) suorasta 1 = 0 on 3, joten pisteen (1,3) kautta kulkevista suorista kulmakertoimeton ei nyt tangentiksi kelpaa, eikä ympyrälle toisekseen ympyrän ulkopuolisesta pisteestä kahta useampaa tangenttia voi piirtääkään. Kysytyt tangentit ovat siten y + 3 = 0 eli y 3 = 0 (-akselin suuntainen suora) sekä 1 1 y + 3 = 0 1 y + 3 = 0. Ken tarkistusmielessä piirtää ympyrän ja ko. suorat, huomaa sopusoinnut algebrallisen ratkaisun ja graafisen tarkastelun välillä. Vastaus: Kaksi tangenttia: y = 3 ja 1 y + 3 = 0. Tangenttilaskujen kolmatta ratkaisuideaa ei esimerkissä saattanut lainkaan käyttää. Joskin tangentti on suora, joka on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan, ei tähän nojautuen kuitenkaan voitu yhtälöitä rakennella, koska sivuamispistettä ei lainkaan tiedetty. Esim. Määritä ympyrän + y + 4y + 3 = 0 niiden tangenttien yhtälöt, joiden suuntakulma on 4 o. Kun suoran suuntakulman asteluku on 4, niin tällaisen suoran kulmakerroin k = tan4 o = 1. Tällöin kaikki tällä kaltevuuskulmalla nousevat suorat saadaan parvesta y = + b. Kun tässä nyt suoran yhtälöstä ratkaistu muoto on suhteellisen yksinkertaiset kertoimet omaava binomi, määrätään suoran ja ympyrän yhteisten pisteiden lukumääräksi täsmälleen yksi. Ollaan siis ratkaisevinamme yhtälöpari y = + b + y + 4y 3 = 0 + ( + b) + 4( + b) 3 = 0

7 + + b + b + 4 4b 3 = 0 + (b ) + b 4b 3 = 0 Merkitään viimeksi saadun yhtälön diskriminantti (D = b 4ac) nollaksi. Tässä nyt b = b,a = jac = b 4b 3 : D = (b ) 4 (b 4b 3) = 0 4b 8b + 4 8b + 3b + 4 = 0 4b + 4b + 8 = 0 b 6b 7 = 0, josta b = 7 taikkka b = 1 ja kysytyt tangentit ovat y = + 7 tai y = 1.

Samankaltaiset tiedostot

Tekijä Pitkä matematiikka

K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π