( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty"

Transkriptio

1 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja z muuttujien x ja y suhteen. Saadaan yhtälö z = x+ y+ Sijoitetaan yhtälö (4) yhtälöihin () ja (3), jolloin saadaan yhtälöpari x+ y+ 6= ( 6) x y+ 6= x y+ 3 x+ y+ = 3x 4y+ x+ y+ = Ratkaistaan yhtälöstä (5) muuttuja y muuttujan x suhteen. Saadaan yhtälö ( 7) y = x 6 Sijoitetaan yhtälö (7) yhtälöön (6), jolloin saadaan x ( x 6) + 6= x 4x+ 1+ 6= 3x = 18 x = 6 Muuttujan y arvo saadaan sijoittamalla x = 6 yhtälöön (7). y = x 6 = 6 6 = 6 Muuttujan z arvo saadaan sijoittamalla x = 6 ja y = 6 yhtälöön (4). z = x+ y+ = = Yhtälöryhmän ratkaisu on Tapa x = 6 y = 6. z = Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä yhteenlaskukeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y + z =

2 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 16 Päivitetty Eliminoidaan yhtälöistä (1) ja () muuttuja x. x y+ z = 1 x y + 3z = ( 1) x y + z = + x + y 3z = y z = Eliminoidaan vastaavasti yhtälöistä () ja (3) myös muuttuja x. x y+ 3z = ( 3) 3x 4y+ z = 1 3x+ 6y 9z= + 3x 4y+ z= y 7z = Ratkaistaan yhtälöistä (4) ja (5) muodostettu yhtälöpari. y z = ( ) y 7z = 1 y+ 4z = 4 + y 7z = 3z = 6 z = Sijoitetaan z = yhtälöön (4), jolloin saadaan y = y = 6 Muuttuja x arvo saadaan sijoittamalla y = 6 ja z = yhtälöön (1). x 6+ = x = 6 Yhtälöryhmän ratkaisu on x = 6 y = 6. z =

3 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 17 Päivitetty Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. 6x+ 3y+ z+ 5= x y+ z+ 3= x y+ 3z 8= Ratkaistaan yhtälöstä () muuttuja z muuttujien x ja y suhteen. Saadaan yhtälö z = x+ y 3 Sijoitetaan yhtälö (4) yhtälöihin (1) ja (3), jolloin saadaan yhtälöpari 4x+ 5y 1= ( 6) x + y 17 = 6x+ 3y+ x+ y 3 + 5= x y+ 3 x+ y 3 8= Ratkaistaan yhtälöstä (6) muuttuja y muuttujan x suhteen. Saadaan yhtälö ( 7) y = x+ 17 Sijoitetaan yhtälö (7) yhtälöön (5), jolloin saadaan 4x+ 5( x+ 17) 1= 4x+ 1x+ 85 1= 14x = 84 x = 6 Muuttujan y arvo saadaan sijoittamalla x = 6 yhtälöön (7). y = x+ 17= ( 6) + 17= 5 Muuttujan z arvo saadaan sijoittamalla x = 6 ja y = 5 yhtälöön (4). z = x+ y 3= ( 6) + 5 3= 8 Yhtälöryhmän ratkaisu on Tapa x = 6 y = 5. z = 8 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä yhteenlaskukeinoa. 6x+ 3y+ z+ 5= x y + z + 3 = x y + 3z 8 =

4 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 18 Päivitetty Eliminoidaan yhtälöistä (1) ja () muuttuja z. 6x+ 3y+ z+ 5= 1 x y+ z+ 3= ( ) 6x+ 3y+ z+ 5= + x + y z 6 = 4x+ 5y 1= Eliminoidaan vastaavasti yhtälöistä () ja (3) myös muuttuja x. x y+ z+ 3= ( 3) x y + 3z 8 = 1 3x+ 3y 3z 9= + x y+ 3z 8= x+ y 17= Ratkaistaan yhtälöistä (4) ja (5) muodostettu yhtälöpari. 4x + 5y 1= + 4x + y 34 = 7y 35= y = 5 Sijoitetaan y = 5 yhtälöön (4), jolloin saadaan 4x = 4x = 4 x = 6 Muuttuja z arvo saadaan sijoittamalla x = 6 ja y = 5 yhtälöön () z + 3= z = 8 Yhtälöryhmän ratkaisu on x = 6 y = 5. z = 8 4x+ 5y 1= 1 x + y 17 =

5 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 19 Päivitetty Merkitään lannoitteiden A, B ja C määriä vastaavasti kirjaimilla a, b ja c (yksikkönä kg). Saadaan yhtälöryhmä a+ b+ c= 8 a = 3 b Sijoitetaan yhtälöön () 1. 1 c = b Sijoitetaan yhtälöön () b+ b+ b= b+ 1b+ b= 8 41b = 8 8 b = = ( kg) 41 Muuttujien a ja c arvot saadaan yhtälöistä () ja (3). a = 3b= 3 = 6 kg 1 1 c = b= = 1 1 kg 34 Merkitään kolmion sivuja kirjaimilla x, y ja z. Saadaan yhtälöryhmä x+ y = 1 x + z = 14 y + z = 18 Yhtälöistä (1) ja () saadaan yhtälöt y = 1 x ja z = 14 x Sijoitetaan saadut yhtälöt yhtälöön (3), jolloin saadaan 1 x + 14 x = 18 x = 8 x = 4 Sijoitetaan x = 4 yhtälöihin (4) ja (5), jolloin saadaan muuttujien y ja z arvot. y = 1 x= 1 4 = 8 z = 14 x= 14 4 = 1 Vastaus Ravinnetta A on kylvettävä 6 kg, ravinnetta B kg ja ravinnetta C kg. Vastaus Kolmion sivut ovat 4, 8, ja 1.

6 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 11 Päivitetty x: y: z = 1::5 3x+ y+ z = 4 Merkintä x : y: z = 1: : 5 tarkoittaa sitä, että x : y = 1: ja y: z = :5. Siis yhtälöryhmä saa muodon x 1 = y y = z 5 3x+ y+ z = 4 () 1 y = x Sijoitetaan yhtälöihin ( ) ja ( 3 ). 5y = z 3x+ y+ z = 4 7x + 5x = 4 1x = 4 x = Muuttujien y ja z arvot saadaan yhtälöistä (4) ja (1). z = 5x= 5 = 1 y = x= = 4 x = Yhtälöryhmän ratkaisu on y = 4. z = 1 5 x = z 3x+ x+ z = 4 z = 5 x Sijoitetaan yhtälöön ( 5 ). 7x+ z = 4

7 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 111 Päivitetty Merkintä x : y: z = 1: 3: 4 tarkoittaa sitä, että x : y = 1: 3 ja y: z = 3: 4. Siis yhtälöryhmä saa muodon x 1 = y 3 y 3 = z 4 x+ y 3z = 14 Muuttujien y ja z arvot saadaan yhtälöistä (4) ja (1). z = 4x= 4 = 8 y = 3x= 3 = 6 x = Yhtälöryhmän ratkaisu on y = 6. z = 8 () 1 y = 3 x Sijoitetaan yhtälöihin ( ) ja ( 3 ). 4y = 3z x+ y 3z = x= 3z x+ 3x 3z = 14 z = 4 x Sijoitetaan yhtälöön ( 5 ). 5x 3z = 14 5x 3 4x = 14 7x = 14 x =

8 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 11 Päivitetty x 5y 7= 3x+ y = 9x 6y 1= 3 Yhtälöitä on kolme ja muuttujia vain kaksi, joten muodostetaan uusi yhtälöryhmä valitsemalla siihen esimerkiksi yhtälöt (1) ja (). Ratkaistaan näin saatu yhtälöpari ja tutkitaan, toteuttaako saatu ratkaisu myös yhtälön (3). Kun x = 1 ja y = 1, yhtälön 9x 6y 1= 3 vasen puoli on 91 6 ( 1) 1= 3ja oikea puoli on 3 Saatu ratkaisu toteuttaa yhtälön (3), joten x = 1 yhtälöryhmän ratkaisu on. y = 1 x 5y 7= 1 3x+ y = 5 Vastaus x = 1 y = 1 x 5y 7= + 15x+ 5y 1 = 17x 17 = x = 1 Sijoitetaan yhtälöön ( ) y = y = 1 Tarkistetaan toteuttaako saatu ratkaisu x = 1 ja y = 1 myös yhtälön (3).

9 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 113 Päivitetty x+ 8y = 4 4x+ 7y = 3 7x 9y = 1 Yhtälöitä on kolme ja muuttujia vain kaksi, joten muodostetaan uusi yhtälöryhmä valitsemalla siihen esimerkiksi yhtälöt (1) ja (). Ratkaistaan näin saatu yhtälöpari ja tutkitaan, toteuttaako saatu ratkaisu myös yhtälön (3). Saatu ratkaisu toteuttaa yhtälön (3), joten x = 4 yhtälöryhmän ratkaisu on. y = x = 4 Vastaus. y = () 1 6x+ 8y= 4 7 4x+ 7y= 3 ( 3) ( 8) 1x+ 16y= 8 4x+ 56y= x 1y= 9 3x 56y= 4 5y = 1 1x = 4 y= x= 4 Tarkistetaan toteuttaako saatu ratkaisu x = 4 ja y = myös yhtälön (3). Kun x = 4 ja y =, yhtälön 7x 9y = 1 vasen puoli on = 8 18 = 1 ja oikea puoli on 1

10 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 114 Päivitetty x+ 3y = x + y = 3 x 7y = 13 Yhtälöitä on kolme ja muuttujia vain kaksi, joten muodostetaan uusi yhtälöryhmä valitsemalla siihen esimerkiksi yhtälöt (1) ja (). Ratkaistaan näin saatu yhtälöpari ja tutkitaan, toteuttaako saatu ratkaisu myös yhtälön (3). Kun x = 1 ja y =, niin yhtälön x 7y = 13 vasen puoli on 1 7 ( ) = 15 ja oikea puoli on 13 Saatu ratkaisu ei toteuta yhtälöä (3), joten alkuperäisellä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Vastaus Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. 6x+ 3y= 1 x + y = 3 6 6x+ 3y= + 6x + 6y = 18 9y = 18 y = Sijoitetaan yhtälöön ( ). x = 3 x = 1 Tarkistetaan toteuttaako saatu ratkaisu x = 1 ja y = myös yhtälön (3).

11 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 115 Päivitetty x 3y = 3 x+ y = 8 x + y = 5 Yhtälöitä on kolme ja muuttujia vain kaksi, joten muodostetaan uusi yhtälöryhmä valitsemalla siihen esimerkiksi yhtälöt (1) ja (). Ratkaistaan näin saatu yhtälöpari ja tutkitaan, toteuttaako saatu ratkaisu myös yhtälön (3). Kun x = 3 ja y =, niin yhtälön x+ y = 5 vasen puoli on 3 + = 1 ja oikea puoli on 5. Saatu ratkaisu ei toteuta yhtälöä (3), joten alkuperäisellä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Vastaus Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. x 3y= 3 1 x+ y= 8 3 x 3y= 3 + 6x+ 3y= 4 7x = 1 x = 3 Sijoitetaan yhtälöön ( ). 3 + y = 8 y = Tarkistetaan toteuttaako saatu ratkaisu x = 3 ja y = myös yhtälön (3).

12 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 116 Päivitetty Yhtälöitä on vain kaksi ja muuttujia kolme, joten ratkaistaan kaksi muuttujaa kolmannen muuttujan suhteen. Tapa 1 Ratkaistaan esimerkiksi muuttujat y ja z muuttujan x suhteen yhteenlaskukeinolla. x+ 3y z = 1 1 x y+ z = 3 x+ 3y z = x+ 3y z= + + 3x 3y+ 3z = x y+ z= 5x + z = 4x+ y = z = 5x y= 4x Siis yhtälöryhmän ratkaisu on x R y = 4x z = 5x Jos merkitään muuttujan x arvoa kirjaimella a, saadaan yhtälöryhmän ratkaisu parametrimuodossa. x= a y = 4a a z = 5a Huomautuksia: ( R ) - Jos yhtälöistä olisi ratkaistu muuttujat x ja z muuttujan y suhteen, olisi ratkaisu saatu muodossa 1 1 x= y x a 4 = 4 y R y = a a R 5 5 z = y z = a Jos yhtälöistä olisi ratkaistu muuttujat x ja y muuttujan z suhteen, olisi ratkaisu saatu muodossa 1 1 x= z 5 x= a y z y a ( a = ) 5 = R 5 z R z = a

13 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 117 Päivitetty Tapa Ratkaistaan esimerkiksi muuttujat y ja z muuttujan x suhteen sijoituskeinolla. x+ 3y z = x y + z = Ratkaistaan y. () 1 x+ 3y z = y = x + z Sijoitetaan yhtälöön () 1. x+ 3( x+ z) z = 5x+ z = z = 5 x Sijoitetaan yhtälöön ( 3 ). y = x+ z = x 5x= 4x Siis yhtälöryhmän ratkaisu on x R x= a y = 4x y = 4a ( a R ) z = 5x z = 5a x R Vastaus y = 4x z = 5x 31 Yhtälöitä on vain kaksi ja muuttujia kolme, joten ratkaistaan kaksi muuttujaa kolmannen muuttujan suhteen. Tapa 1 Ratkaistaan esimerkiksi muuttujat y ja z muuttujan x suhteen yhteenlaskukeinolla. 7x 5y 6z = 1 1 x y z = ( 5) ( 3) 7x 5y 6z = 7x 5y 6z = + + 1x+ 5y+ 1z = 6x+ 3y+ 6z= 3x + 4z = x y = 3 1 z = x y= x 4 Siis yhtälöryhmän ratkaisu on x R 1 y = x 3 z = x 4

14 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 118 Päivitetty Jos merkitään muuttujaa x kirjaimella a, saadaan yhtälöryhmän ratkaisu parametrimuodossa. x= a 1 y = a a 3 z = a 4 Huomautuksia: ( R ) - Jos yhtälöistä olisi ratkaistu muuttujat x ja z muuttujan y suhteen olisi ratkaisu saatu muodossa x= y x= a y R y = a ( a R ) 3 3 z = y z = a - Jos yhtälöistä olisi ratkaistu muuttujat x ja y muuttujan z suhteen olisi ratkaisu saatu muodossa 4 4 x= z 3 x= a 3 y z y a ( a = ) 3 = R 3 z R z = a Tapa Ratkaistaan esimerkiksi muuttujat y ja z muuttujan x suhteen sijoituskeinolla. 7x 5y 6z = x y z = Ratkaistaan y. () 1 7x 5y 6z = y = x z Sijoitetaan yhtälöön () 1. 7x 5( x z) 6z = 3x+ 4z = 3 z = x y = x z = x x= x 4 Siis yhtälöryhmän ratkaisu on Sijoitetaan yhtälöön ( 3 ). x R x= a 1 1 y = x y = a ( a R ) 3 3 z = x z = a 4 4

15 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 119 Päivitetty Yhtälöitä on vain kaksi ja muuttujia kolme, joten ratkaistaan kaksi muuttujaa kolmannen muuttujan suhteen. Ratkaistaan esimerkiksi muuttujat x ja y muuttujan z suhteen yhteenlaskukeinolla. x 3y+ z = 5 3 6x + 9y 3z = Yhtälöitä on vain kaksi ja muuttujia kolme, joten ratkaistaan kaksi muuttujaa kolmannen muuttujan suhteen. Ratkaistaan esimerkiksi muuttujat x ja y muuttujan z suhteen yhteenlaskukeinolla. x y+ z = 3 5 5x + 5y 1z 1 = 1 6x 9y+ 3z = x + 9y 3z = 3 = 18 aina epätosi 5x 5y+ 1z = x + 5y 1z 1 = 1 = 15 aina epätosi Yhtälöryhmällä ei siis ole ratkaisua. Yhtälöryhmällä ei siis ole ratkaisua. Vastaus Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Vastaus Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua.

16 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitetty Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. ( 1 ) x: y = 3: 3y = z 4 4x 3z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja x muuttujan y suhteen. x y = x = 3 x = 3 y 3 y 3z = 6y ( 6) z = y Sijoitetaan yhtälöön ( ). 3y = y 4 y = 4 y = 4 Muuttujien x ja z arvot saadaan sijoittamalla y = 4 yhtälöihin (4) ja (6). 3 3 x= y = 4 = 6 z = y = 4= 8 Sijoitetaan yhtälö (4) yhtälöön (3). 3 4 y 3z = 6y 3z = Yhtälöryhmän ratkaisu on x = 6 y = 4. z = 8 Ratkaistaan yhtälöstä (5) muuttuja z muuttujan y suhteen. Vastaus x = 6 y = 4 z = 8

17 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 11 Päivitetty x+ z = y 3 y z = x+ 3 3x+ z = y Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä yhteenlaskukeinoa. Sijoitetaan x = ja y = yhtälöön (1). ( ) + z = 3 z = 3+ 6 z = 3 x y+ z = 3 1 x + y z = 3 1 3x y + z = 1 x y+ z = 3 x+ 4y z = x+ y z = 3 3x y+ z = x+ y = x + 3y = 4 Yhtälöryhmän ratkaisu on x = y =. z = 3 x+ y = ( 1) x + 3y = 4 1 x y= + x+ 3y= 4 y = 4 y = Sijoitetaan yhtälöön ( 4 ). x + = x = Vastaus x = y = z = 3

18 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitetty a) x: y: z = 1:7:4 3x y+ z = 4 Merkintä x : y: z = 1: 7 : 4 tarkoittaa sitä, että x : y = 1:7 ja y: z = 7:4. Siis yhtälöryhmä saa muodon x 1 = y 7 y 7 = z 4 3x y+ z = 4 1x+ ( 4x) = 4 x = 4 x = Muuttujien y ja z arvot saadaan yhtälöistä (4) ja (1). z = 4x= 4 = 8 y = 7x= 7 = 14 x = Yhtälöryhmän ratkaisu on y = 14. z = 8 () 1 y = 7 x Sijoitetaan yhtälöihin ( ) ja ( 3 ). 4y = 7z 3x y+ z = 4 4 ( 7x) = 7z 3x ( 7x) + z = 4 z = 4 x Sijoitetaan yhtälöön ( 5 ). 1x+ z = 4

19 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 13 Päivitetty b) () 1 3x+ y = 5 x 3y = 5 x + y = Kun x = 1 ja y =, yhtälön x+ y = vasen puoli on 1 + = 4 ja oikea puoli on Yhtälöitä on kolme ja muuttujia vain kaksi, joten muodostetaan uusi yhtälöryhmä valitsemalla siihen esimerkiksi yhtälöt (1) ja (). Ratkaistaan näin saatu yhtälöpari ja tutkitaan, toteuttaako saatu ratkaisu myös yhtälön (3). 3 5 Ratkaistaan. x+ y = y x 3y = Sijoitetaan yhtälöön ( ). y = x x 3y = 5 x 35 ( 3x) = 5 1x 15 = 5 x = 1 Sijoitetaan yhtälöön ( 4 ). Saatu ratkaisu ei toteuta yhtälöä (3), joten alkuperäisellä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Vastaus a) x = y = 14 z = 8 b) Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. y = 5 3x= 5 3 1= Tarkistetaan toteuttaako saatu ratkaisu x = 1 ja y = myös yhtälön (3).

20 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 14 Päivitetty a) 6x = 3y 4 4x 9y+ 5= 7 y = 8x + 3 Yhtälöitä on kolme ja muuttujia vain kaksi, joten muodostetaan uusi yhtälöryhmä valitsemalla siihen esimerkiksi yhtälöt (1) ja (). Ratkaistaan näin saatu yhtälöpari ja tutkitaan, toteuttaako saatu ratkaisu myös yhtälön (3). () 1 6x 3y= 4 ( 3) 4x 9y= 5 ( 3) 1 1x 6y= 8 18x+ 9y= x+ 7y= 15 4x 9y= 5 1y = 7 14x = y= x= Tarkistetaan toteuttaako saatu ratkaisu x= ja y = 3 myös yhtälön (3). Kun x= ja y =, yhtälön y = 8x+ 3 3 vasen puoli on 1 7 = 6 = ja oikea puoli on 8 + = 4+ = Saatu ratkaisu toteuttaa yhtälön (3), joten 1 1 yhtälöryhmän ratkaisu on x= ja y =. 3 b) Yhtälöitä on vain kaksi ja muuttujia kolme, joten ratkaistaan kaksi muuttujaa kolmannen muuttujan suhteen. Ratkaistaan esimerkiksi muuttujat x ja y muuttujan z suhteen yhteenlaskukeinolla. 5x y+ 3z = ( ) 1x y+ 6z = 5 1 1x+ y 6z = + 1x y+ 6z = 5 = 5 aina epätosi Yhtälöryhmällä ei siis ole ratkaisua. Vastaus a) 1 x = 1 y = 3 b) Ei ratkaisua.

21 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty a) Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x+ 3y+ 4z = x y + 3z = 3 x 5y z = 7 Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja x muuttujien y ja z suhteen. Saadaan yhtälö x = 3y 4z Sijoitetaan yhtälö (4) yhtälöihin () ja (3), jolloin saadaan yhtälöpari 3y 4z y+ 3z = 3 ( 3y 4z) 5y z = 7 5y z = 3 ( 6) 11y 9z = 7 Ratkaistaan yhtälöstä (5) muuttuja z muuttujan y suhteen. Saadaan yhtälö ( y) 11y = 7 11y y = 7 34y = 34 y = 1 Muuttujan z arvo saadaan sijoittamalla y = 1 yhtälöön (7). z = 3 5y = = Muuttujan x arvo saadaan sijoittamalla y = 1 ja z = yhtälöön (4). x= 3y 4z = ( ) = 5 Yhtälöryhmän ratkaisu on x = 5 y = 1. z = b) Yhtälöitä on vain kaksi ja muuttujia kolme, joten ratkaistaan kaksi muuttujaa kolmannen muuttujan suhteen. Ratkaistaan esimerkiksi muuttujat x ja y muuttujan z suhteen sijoituskeinolla. ( 7) z = 3 5y Sijoitetaan yhtälö (7) yhtälöön (6), jolloin saadaan

22 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 16 Päivitetty x+ y z = 1 Ratkaistaan y. x + y + z = y = x+ z+ 1 Sijoitetaan yhtälöön ( ). x + y + z = x x+ z+ 1+ z = x = 3z+ 1 Sijoitetaan yhtälöön ( 3 ). y = x+ z+ 1= ( 3z+ 1) + z+ 1= 5z 1 Siis yhtälöryhmän ratkaisu on x= 3z+ 1 y = 5z 1. z R Jos merkitään muuttujan z arvoa kirjaimella a, saadaan yhtälöryhmän ratkaisu parametrimuodossa Huomautuksia: Jos yhtälöistä olisi ratkaistu muuttujat x ja z muuttujan y suhteen, ratkaisu olisi saatu muodossa 3 3 x= y+ 5 5 x= a+ 5 5 y R y = a ( a R ) z = y z = a Jos yhtälöistä olisi ratkaistu muuttujat y ja z muuttujan x suhteen, ratkaisu olisi saatu muodossa x R x= a 5 5 y = x+ y = a+ ( a R ) z = x z = a x= 3a+ 1 y = 5a 1 a z = a ( R ) Vastaus a) x = 5 y = 1 z = b) x= 3z+ 1 y = 5z 1 z R

23 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 17 Päivitetty Saadaan yhtälöryhmä a+ b+ c= 4 1 a = ( b c) 5 5 b= ( a+ c) a+ b+ c= a b+ c= 1 a b+ c= 1 a+ b+ c= 4 a+ b + c= a b+ c= a b+ c= 6a + c= 4 3a + 3c= 4 6a+ c= 4 1 3a+ 3c= 4 ( ) 6a+ c= 4 + 6a 6c = 48 4c = 4 c = 6 Sijoitetaan c = 6 yhtälöön (4), jolloin saadaan 6a + 6= 4 6a = 1 a = Sijoitetaan a = ja c= 6 alkuperäiseen yhtälöön b= ( a+ c), jolloin saadaan b = ( + 6) = 16 Vastaus Luvut ovat, 16 ja 6.

24 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 18 Päivitetty a) 3x = 6 Ratkaistaan x. x + y = 1 Ratkaistaan y. 3x+ y+ z = 1 x y+ 5z 5t = x = y = 1 x 3x+ y+ z = 1 x y+ 5z 5t = Muuttujan y arvo saadaan, kun sijoitetaan x = yhtälöön (5). y = 1 x= 1 ( ) = 3 Muuttujan z arvo saadaan, kun sijoitetaan x = ja y = 3 yhtälöön (3). 3 ( ) + 3+ z = 1 z = 1 Muuttujan t arvo saadaan, kun sijoitetaan x =, y = 3 ja z = 1 yhtälöön (4) t = 5t = t = Yhtälöryhmän ratkaisu on b) x = y = 3. z = 1 t = x+ y+ z+ u = x + y z u = Ratkaistaan u. x y + z = 5 u 3y+ x 3u = z+ () 1 x+ y+ z+ u = u = x + y z Sijoitetaan yhtälöihin () 1, ( 3 ) ja ( 4 ). x y + z = 5 u 3y+ x 3u = z+ ( ) x+ y+ z+ x+ y z = x y+ z = 5 x+ y z 3y+ x 3 x+ y z = z+

25 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 19 Päivitetty ( 6) 3x+ 5y z = 7 x+ y+ z = 5 ( 8) x 3y + z = Ratkaistaan x. ( 6) 3x+ 5y z = ( 7) x+ y+ z = 5 ( 9) x = 3y + z Sijoitetaan yhtälöihin ( 6 ) ja ( 7 ). Muuttujan x arvo saadaan, kun sijoitetaan y = 3 ja z = yhtälöön (9). x= 3y+ z = 3 ( 3) = 9 4= 5 Muuttujan u arvo saadaan, kun sijoitetaan muuttujien x, y ja z arvot yhtälöön (5). u = x+ y z = 5+ ( 3) ( ) = 5 6+ = 1 3 3y+ z + 5y z = 3y+ z + y+ z = 5 4y+ z = 8 5y + 3z = 9 Ratkaistaan yhtälöpari yhteenlaskukeinolla. 4y+ z = y 3z 9 y+ 1z = 4 1y 6z = y 1z = 36 1y+ 6z = 18 z = 4 y = 6 z = y= 3 Yhtälöryhmän ratkaisu on x = y = 3 Vastaus a) z = 1 t = x = 5 y = 3. z = u = 1 b) x = 5 y = 3 z = u = 1

26 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 13 Päivitetty a) Muodostetaan yhtälöketjusta yhtälöpari x y 1= x+ 3y 9 x+ 3y 9= 4x+ 3y 15 x y 1 x 3y+ 9= x+ 3y 9 4x 3y+ 15= () x y+ = x + 6 = Ratkaistaan x. x + 6= x = 3 Muuttujan y arvo saadaan, kun sijoitetaan x = 3 yhtälöön (1). 3 5y + 8= 5y = 5 y = 1 Ratkaisu on x = 3. y = 1 b) Muodostetaan yhtälöketjusta yhtälöryhmä. x+ 3y z+ u+ 1= x y+ 3z u x y + 3z u = 3x + y + z u + 6 3x+ y+ z u+ 6= x y+ z+ u 7 x y+ z+ u 7= x+ u () 1 x+ 4y 4z+ u+ 1= x 3y + z + u 6 = 4x+ 3y z 4u+ 13= 3x y+ z+ u 7= Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja x muuttujien y, z ja u suhteen. x = 4y+ 4z u 1 Sijoitetaan yhtälö (5) yhtälöihin (), (3) ja (4). 4y+ 4z u 1 3y+ z+ u 6= 4 4y+ 4z u 1 + 3y z 4u+ 13= 3 4y + 4z u 1 y + z + u 7 =

27 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 131 Päivitetty ( 6) 5y 6z+ 5u 4= 5 ( 7) 13y + 15z 1u + 9 = ( 8) 11y 1z + 7u 4 = 3 5y 3z+ 5u = 6y+ 3z 4u+ 18 = + + 6y+ 3z 4u+ 18 = 33y 3z+ 1u 1 = y + u = 7y 3u + 6= ( 9) y= u Sijoitetaan yhtälö (9) yhtälöön (1). Muuttujan x arvo saadaan sijoittamalla y =, z = 1 ja u = yhtälöön (5). x = 4y+ 4z u 1 = = 1 x = 1 y = Ratkaisu on. z = 1 u = 7( u ) 3u+ 6= 7u 14 3u+ 6= 4u = 8 u = Sijoitetaan yhtälöön ( 9 ). y = u = = Muuttujan z arvo saadaan sijoittamalla u = ja y = yhtälöön (6). Vastaus a) x = 3 y = 1 x = 1 y = b) z = 1 u = 5 6z + 5 4= 6z + 6= z = 1

28 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 13 Päivitetty Muuttujan y arvot saadaan sijoittamalla muuttujan x arvot yhtälöön (). Kun x =, niin y =. Siis leikkauspiste on (, ). Kun 1 x = 1, niin 1 y = 1. Siis leikkauspiste on 1 1 1,1. Leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla yhtälöpari Vastaus Leikkauspisteet ovat 1 1, ja 1,1. () x + y = 3xy ( ) x = y Sijoitetaan yhtälöön () x + x = 3x x 3 x 3x = Otetaan yhteinen tekijä. x x ( x 3) = Tulon nollasääntö. = tai x 3 = 3 1 x = tai x= = 1

29 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 133 Päivitetty Parillisten potenssien summa on nolla, kun jokainen yhteenlaskettava on nolla. Saadaan yhtälöryhmä x+ y z = ( 4) ( ) x+ 3y 4z 1= 1 3x y z 4= 1 () 1 4x 4y+ 4z+ 8= () 1 x y+ z+ 4= + + x+ 3y 4z 1= 3x y z 4= x y + 7= x 3y = x = 3y Sijoitetaan yhtälö (5) yhtälöön (4). 3y y+ 7= 7y = 7 x = 3y = 3 1 = 3 y = 1 Sijoitetaan yhtälöön ( 5 ). Muuttujan z arvo saadaan, kun sijoitetaan x = 3 ja y = 1 yhtälöön (1) z = z = Vastaus Yhtälö on tosi, kun x = 3 y = 1. z = 35 Merkitään sekoitusmääriä seuraavasti: Pullo A: suolaliuosta aluksi 1. kaadon jälkeen. kaadon jälkeen 3. kaadon jälkeen a (dl) 1 a a = a a a+ c+ b+ a ) = a+ c+ b+ a = a+ c+ b = a+ c+ b 4 1 4

30 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 134 Päivitetty Pullo B: Pullo C: suolaliuosta aluksi b (dl) suolaliuosta aluksi c (dl) 1. kaadon jälkeen. kaadon jälkeen 3. kaadon jälkeen 1 b+ a b+ a = b+ a = b+ a b+ a kaadon jälkeen c. kaadon jälkeen 3. kaadon jälkeen 1 1 c + b+ a = c+ b+ a c+ b+ a = c+ b+ a Kaikissa pulloissa on lopuksi suolaliuosta 9 dl, joten saadaan yhtälöryhmä a+ c+ b= b+ a = c+ b+ a =

31 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 135 Päivitetty a+ b+ 4c= 36 a + 3b = 36 Ratkaistaan a 3a + 9b + 36c = 36 :3 () 1 7a+ b+ 4c= 36 a = 36 3b Sijoitetaan yhtälöihin () 1 ja ( 5 ). a + 3b + 1c = 1 36 Merkitään suorakulmaisen särmiön särmiä kirjaimilla a, b ja c. V = abc a, b, c. Tällöin särmiön tilavuus on Veden tilavuus on 1,l = 1, dm = 1 cm 3 3 Piirretään tilanteesta mallikuva. 7( 36 3b) + b+ 4c= b+ 3b+ 1c= 1 8b+ 4c= 61 :4 1c = 84 ( 6) b+ c= 153 c = 7 Sijoitetaan yhtälöön ( 6 ). b + 7 = 153 b = 16 b = 8 Sijoitetaan yhtälöön ( 4 ). a = 36 3b= = 1 Yhtälöryhmän ratkaisu on a = 1, b= 8 ja c= 7. Vastaus Ensimmäisessä pullossa on 1 dl, toisessa 8 dl ja kolmannessa 7 dl.

32 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 136 Päivitetty Saadaan yhtälöryhmä Suorakulmaisen särmiön tilavuus on a b 4 = 1 Ratkaistaan b. b c 5 = 1 :5 a c 6 = 1 :6 V = abc= = = 1 1 = 3794, ( 3 ) 379 cm = 3,79 l 3 () 1 b = a bc = 4 ac = Sijoitetaan yhtälöön ( ). Vastaus Särmiön tilavuus on 3,79 l. 3 3 c = 4 : a a a 4 4 c = 4 = a Sijoitetaan yhtälöön ( 3 ) a a = : 5 5 a = 5 a = ± 5 = 5 1 Sijoitetaan yhtälöihin (4) ja (1). 4 4 c= a = 5 1 = b = = = = 6 1 a 5 1 1

33 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 137 Päivitetty ax + 3y + z = 8 8x 6y az 4 = Yhtälöitä on vain kaksi ja muuttujia kolme, joten ratkaistaan kaksi muuttujaa kolmannen muuttujan suhteen. Ratkaistaan muuttuja y muuttujan z suhteen. ax + 3y + z = 8 8x 6y az 4 = 8 a, a 1) a 8ax + 4y + 16z = ax 6ay a z = 4a ( ) 4 6a y+ 16 a z = a Tapaus a = on tutkittava erikseen. ( ) Jos a 4, on 4 6a y= a 16 a z : 4 6a eli a a 16 a y = z 4 6a 4 6a Ratkaistaan seuraavaksi muuttuja x muuttujan z suhteen. ax + 3y + z = 8 8x 6y az = 4 1 ax + 6y + 4z = x 6y az = 4 ( a 8) x + ( 4 a) z = ( a 8) x= ( 4 a) z :( a 8) eli a 4 Jos a 4, on 4 a x = z a 8 a 8 Jos a = 4, alkuperäinen yhtälöpari on 4x+ 3y+ z = 8 8x 6y 4z 4 = 1 8x+ 6y+ 4z = x 6y 4z 4 = 4 = 16 aina epätosi Yhtälöparilla ei siis ole ratkaisua, kun a = 4.

34 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 138 Päivitetty Tutkitaan vielä tapaus a =. ) Jos a =, alkuperäinen yhtälöpari on 3y+ z = 8 8x 6y 4 = 3y+ z = 8 8x 6y = 4 1 6y + 4z = x 6y = 4 8x + 4z = :4 x+ z = 5 z = x+ 5 Yhtälöllä z = x+ 5, x R, on äärettömän monta ratkaisua. Kohtien 1) ja ) perusteella yhtälöparilla ei siis ole ratkaisua, kun a = 4. Vastaus a = 4

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Vastaukset. 8.7 Polynomilaskennan kertausta. 1. 2k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. 2. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x 2 x x x = x 3

Vastaukset. 8.7 Polynomilaskennan kertausta. 1. 2k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. 2. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x 2 x x x = x 3 Vastaukset 8.7 Polynomilaskennan kertausta 1. k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x x x x = x 3 3. a) 4x + (+6x) = 4x + 6x = 10x b) 4x + ( 6x) = 4x 6x = x c) 4x (+6x) = 4x 6x = x d)

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Piste ja jana koordinaatistossa

Piste ja jana koordinaatistossa 607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

KORJAUSMATIIKKA 3, TEHTÄVÄT

KORJAUSMATIIKKA 3, TEHTÄVÄT 1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, TEHTÄVÄT 1) Potenssi 2) Juuri ) Polynomit ) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa ja toisen asteen yhtälön ratkaisukaava TEHTÄVÄT: Käythän

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti Determinantit 1 2 2-matriisin ( A = on det(a) = a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 ) = a 11a 22 a 12 a 21. 1 2 2-matriisin on det(a) = Esim. Jos A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 A = a 11 a 12 a 21 a 22 )

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm.

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm. Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 149 901 a on lieriö b ei ole, ojat eivät ole ytenevät c on d ei ole, lieriön määritelmän eto suora liikkuu suuntansa säilyttäen ja alaa louksi lätöaikkaansa käymättä

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkien avulla yhtälöryhmän ratkaisemista käyttäen Gaussin eliminointimenetelmää.

Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkien avulla yhtälöryhmän ratkaisemista käyttäen Gaussin eliminointimenetelmää. Yhtälörhmä Lineaarisen htälörhmän alkeisoperaatiot ovat ) kahden htälön järjestksen vaihto ) htälön kertominen puolittain nollasta eroavalla luvulla ja ) luvulla puolittain kerrotun htälön lisääminen johonkin

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40 Alkuviikolla harjoitustehtäviä lasketaan harjoitustilaisuudessa. Loppuviikolla näiden harjoitustehtävien tulee olla ratkaistuina harjoituksiin

Lisätiedot

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 2 LINEAARINEN MALLI POHDITTAVAA 1. Piirretään jääpeitteen pinta-alan kehitystä kuvaava suora appletin avulla. Suoran yhtälö on y = 0,05x + 120,95. Vuonna 2030 muuttujan x arvo on 2030. Vastaava muuttujan

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot