( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

Transkriptio

1 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja z muuttujien x ja y suhteen. Saadaan yhtälö z = x+ y+ Sijoitetaan yhtälö (4) yhtälöihin () ja (3), jolloin saadaan yhtälöpari x+ y+ 6= ( 6) x y+ 6= x y+ 3 x+ y+ = 3x 4y+ x+ y+ = Ratkaistaan yhtälöstä (5) muuttuja y muuttujan x suhteen. Saadaan yhtälö ( 7) y = x 6 Sijoitetaan yhtälö (7) yhtälöön (6), jolloin saadaan x ( x 6) + 6= x 4x+ 1+ 6= 3x = 18 x = 6 Muuttujan y arvo saadaan sijoittamalla x = 6 yhtälöön (7). y = x 6 = 6 6 = 6 Muuttujan z arvo saadaan sijoittamalla x = 6 ja y = 6 yhtälöön (4). z = x+ y+ = = Yhtälöryhmän ratkaisu on Tapa x = 6 y = 6. z = Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä yhteenlaskukeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y + z =

2 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 16 Päivitetty Eliminoidaan yhtälöistä (1) ja () muuttuja x. x y+ z = 1 x y + 3z = ( 1) x y + z = + x + y 3z = y z = Eliminoidaan vastaavasti yhtälöistä () ja (3) myös muuttuja x. x y+ 3z = ( 3) 3x 4y+ z = 1 3x+ 6y 9z= + 3x 4y+ z= y 7z = Ratkaistaan yhtälöistä (4) ja (5) muodostettu yhtälöpari. y z = ( ) y 7z = 1 y+ 4z = 4 + y 7z = 3z = 6 z = Sijoitetaan z = yhtälöön (4), jolloin saadaan y = y = 6 Muuttuja x arvo saadaan sijoittamalla y = 6 ja z = yhtälöön (1). x 6+ = x = 6 Yhtälöryhmän ratkaisu on x = 6 y = 6. z =

3 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 17 Päivitetty Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. 6x+ 3y+ z+ 5= x y+ z+ 3= x y+ 3z 8= Ratkaistaan yhtälöstä () muuttuja z muuttujien x ja y suhteen. Saadaan yhtälö z = x+ y 3 Sijoitetaan yhtälö (4) yhtälöihin (1) ja (3), jolloin saadaan yhtälöpari 4x+ 5y 1= ( 6) x + y 17 = 6x+ 3y+ x+ y 3 + 5= x y+ 3 x+ y 3 8= Ratkaistaan yhtälöstä (6) muuttuja y muuttujan x suhteen. Saadaan yhtälö ( 7) y = x+ 17 Sijoitetaan yhtälö (7) yhtälöön (5), jolloin saadaan 4x+ 5( x+ 17) 1= 4x+ 1x+ 85 1= 14x = 84 x = 6 Muuttujan y arvo saadaan sijoittamalla x = 6 yhtälöön (7). y = x+ 17= ( 6) + 17= 5 Muuttujan z arvo saadaan sijoittamalla x = 6 ja y = 5 yhtälöön (4). z = x+ y 3= ( 6) + 5 3= 8 Yhtälöryhmän ratkaisu on Tapa x = 6 y = 5. z = 8 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä yhteenlaskukeinoa. 6x+ 3y+ z+ 5= x y + z + 3 = x y + 3z 8 =

4 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 18 Päivitetty Eliminoidaan yhtälöistä (1) ja () muuttuja z. 6x+ 3y+ z+ 5= 1 x y+ z+ 3= ( ) 6x+ 3y+ z+ 5= + x + y z 6 = 4x+ 5y 1= Eliminoidaan vastaavasti yhtälöistä () ja (3) myös muuttuja x. x y+ z+ 3= ( 3) x y + 3z 8 = 1 3x+ 3y 3z 9= + x y+ 3z 8= x+ y 17= Ratkaistaan yhtälöistä (4) ja (5) muodostettu yhtälöpari. 4x + 5y 1= + 4x + y 34 = 7y 35= y = 5 Sijoitetaan y = 5 yhtälöön (4), jolloin saadaan 4x = 4x = 4 x = 6 Muuttuja z arvo saadaan sijoittamalla x = 6 ja y = 5 yhtälöön () z + 3= z = 8 Yhtälöryhmän ratkaisu on x = 6 y = 5. z = 8 4x+ 5y 1= 1 x + y 17 =

5 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 19 Päivitetty Merkitään lannoitteiden A, B ja C määriä vastaavasti kirjaimilla a, b ja c (yksikkönä kg). Saadaan yhtälöryhmä a+ b+ c= 8 a = 3 b Sijoitetaan yhtälöön () 1. 1 c = b Sijoitetaan yhtälöön () b+ b+ b= b+ 1b+ b= 8 41b = 8 8 b = = ( kg) 41 Muuttujien a ja c arvot saadaan yhtälöistä () ja (3). a = 3b= 3 = 6 kg 1 1 c = b= = 1 1 kg 34 Merkitään kolmion sivuja kirjaimilla x, y ja z. Saadaan yhtälöryhmä x+ y = 1 x + z = 14 y + z = 18 Yhtälöistä (1) ja () saadaan yhtälöt y = 1 x ja z = 14 x Sijoitetaan saadut yhtälöt yhtälöön (3), jolloin saadaan 1 x + 14 x = 18 x = 8 x = 4 Sijoitetaan x = 4 yhtälöihin (4) ja (5), jolloin saadaan muuttujien y ja z arvot. y = 1 x= 1 4 = 8 z = 14 x= 14 4 = 1 Vastaus Ravinnetta A on kylvettävä 6 kg, ravinnetta B kg ja ravinnetta C kg. Vastaus Kolmion sivut ovat 4, 8, ja 1.

6 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 11 Päivitetty x: y: z = 1::5 3x+ y+ z = 4 Merkintä x : y: z = 1: : 5 tarkoittaa sitä, että x : y = 1: ja y: z = :5. Siis yhtälöryhmä saa muodon x 1 = y y = z 5 3x+ y+ z = 4 () 1 y = x Sijoitetaan yhtälöihin ( ) ja ( 3 ). 5y = z 3x+ y+ z = 4 7x + 5x = 4 1x = 4 x = Muuttujien y ja z arvot saadaan yhtälöistä (4) ja (1). z = 5x= 5 = 1 y = x= = 4 x = Yhtälöryhmän ratkaisu on y = 4. z = 1 5 x = z 3x+ x+ z = 4 z = 5 x Sijoitetaan yhtälöön ( 5 ). 7x+ z = 4

7 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 111 Päivitetty Merkintä x : y: z = 1: 3: 4 tarkoittaa sitä, että x : y = 1: 3 ja y: z = 3: 4. Siis yhtälöryhmä saa muodon x 1 = y 3 y 3 = z 4 x+ y 3z = 14 Muuttujien y ja z arvot saadaan yhtälöistä (4) ja (1). z = 4x= 4 = 8 y = 3x= 3 = 6 x = Yhtälöryhmän ratkaisu on y = 6. z = 8 () 1 y = 3 x Sijoitetaan yhtälöihin ( ) ja ( 3 ). 4y = 3z x+ y 3z = x= 3z x+ 3x 3z = 14 z = 4 x Sijoitetaan yhtälöön ( 5 ). 5x 3z = 14 5x 3 4x = 14 7x = 14 x =

8 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 11 Päivitetty x 5y 7= 3x+ y = 9x 6y 1= 3 Yhtälöitä on kolme ja muuttujia vain kaksi, joten muodostetaan uusi yhtälöryhmä valitsemalla siihen esimerkiksi yhtälöt (1) ja (). Ratkaistaan näin saatu yhtälöpari ja tutkitaan, toteuttaako saatu ratkaisu myös yhtälön (3). Kun x = 1 ja y = 1, yhtälön 9x 6y 1= 3 vasen puoli on 91 6 ( 1) 1= 3ja oikea puoli on 3 Saatu ratkaisu toteuttaa yhtälön (3), joten x = 1 yhtälöryhmän ratkaisu on. y = 1 x 5y 7= 1 3x+ y = 5 Vastaus x = 1 y = 1 x 5y 7= + 15x+ 5y 1 = 17x 17 = x = 1 Sijoitetaan yhtälöön ( ) y = y = 1 Tarkistetaan toteuttaako saatu ratkaisu x = 1 ja y = 1 myös yhtälön (3).

9 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 113 Päivitetty x+ 8y = 4 4x+ 7y = 3 7x 9y = 1 Yhtälöitä on kolme ja muuttujia vain kaksi, joten muodostetaan uusi yhtälöryhmä valitsemalla siihen esimerkiksi yhtälöt (1) ja (). Ratkaistaan näin saatu yhtälöpari ja tutkitaan, toteuttaako saatu ratkaisu myös yhtälön (3). Saatu ratkaisu toteuttaa yhtälön (3), joten x = 4 yhtälöryhmän ratkaisu on. y = x = 4 Vastaus. y = () 1 6x+ 8y= 4 7 4x+ 7y= 3 ( 3) ( 8) 1x+ 16y= 8 4x+ 56y= x 1y= 9 3x 56y= 4 5y = 1 1x = 4 y= x= 4 Tarkistetaan toteuttaako saatu ratkaisu x = 4 ja y = myös yhtälön (3). Kun x = 4 ja y =, yhtälön 7x 9y = 1 vasen puoli on = 8 18 = 1 ja oikea puoli on 1

10 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 114 Päivitetty x+ 3y = x + y = 3 x 7y = 13 Yhtälöitä on kolme ja muuttujia vain kaksi, joten muodostetaan uusi yhtälöryhmä valitsemalla siihen esimerkiksi yhtälöt (1) ja (). Ratkaistaan näin saatu yhtälöpari ja tutkitaan, toteuttaako saatu ratkaisu myös yhtälön (3). Kun x = 1 ja y =, niin yhtälön x 7y = 13 vasen puoli on 1 7 ( ) = 15 ja oikea puoli on 13 Saatu ratkaisu ei toteuta yhtälöä (3), joten alkuperäisellä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Vastaus Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. 6x+ 3y= 1 x + y = 3 6 6x+ 3y= + 6x + 6y = 18 9y = 18 y = Sijoitetaan yhtälöön ( ). x = 3 x = 1 Tarkistetaan toteuttaako saatu ratkaisu x = 1 ja y = myös yhtälön (3).

11 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 115 Päivitetty x 3y = 3 x+ y = 8 x + y = 5 Yhtälöitä on kolme ja muuttujia vain kaksi, joten muodostetaan uusi yhtälöryhmä valitsemalla siihen esimerkiksi yhtälöt (1) ja (). Ratkaistaan näin saatu yhtälöpari ja tutkitaan, toteuttaako saatu ratkaisu myös yhtälön (3). Kun x = 3 ja y =, niin yhtälön x+ y = 5 vasen puoli on 3 + = 1 ja oikea puoli on 5. Saatu ratkaisu ei toteuta yhtälöä (3), joten alkuperäisellä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Vastaus Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. x 3y= 3 1 x+ y= 8 3 x 3y= 3 + 6x+ 3y= 4 7x = 1 x = 3 Sijoitetaan yhtälöön ( ). 3 + y = 8 y = Tarkistetaan toteuttaako saatu ratkaisu x = 3 ja y = myös yhtälön (3).

12 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 116 Päivitetty Yhtälöitä on vain kaksi ja muuttujia kolme, joten ratkaistaan kaksi muuttujaa kolmannen muuttujan suhteen. Tapa 1 Ratkaistaan esimerkiksi muuttujat y ja z muuttujan x suhteen yhteenlaskukeinolla. x+ 3y z = 1 1 x y+ z = 3 x+ 3y z = x+ 3y z= + + 3x 3y+ 3z = x y+ z= 5x + z = 4x+ y = z = 5x y= 4x Siis yhtälöryhmän ratkaisu on x R y = 4x z = 5x Jos merkitään muuttujan x arvoa kirjaimella a, saadaan yhtälöryhmän ratkaisu parametrimuodossa. x= a y = 4a a z = 5a Huomautuksia: ( R ) - Jos yhtälöistä olisi ratkaistu muuttujat x ja z muuttujan y suhteen, olisi ratkaisu saatu muodossa 1 1 x= y x a 4 = 4 y R y = a a R 5 5 z = y z = a Jos yhtälöistä olisi ratkaistu muuttujat x ja y muuttujan z suhteen, olisi ratkaisu saatu muodossa 1 1 x= z 5 x= a y z y a ( a = ) 5 = R 5 z R z = a

13 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 117 Päivitetty Tapa Ratkaistaan esimerkiksi muuttujat y ja z muuttujan x suhteen sijoituskeinolla. x+ 3y z = x y + z = Ratkaistaan y. () 1 x+ 3y z = y = x + z Sijoitetaan yhtälöön () 1. x+ 3( x+ z) z = 5x+ z = z = 5 x Sijoitetaan yhtälöön ( 3 ). y = x+ z = x 5x= 4x Siis yhtälöryhmän ratkaisu on x R x= a y = 4x y = 4a ( a R ) z = 5x z = 5a x R Vastaus y = 4x z = 5x 31 Yhtälöitä on vain kaksi ja muuttujia kolme, joten ratkaistaan kaksi muuttujaa kolmannen muuttujan suhteen. Tapa 1 Ratkaistaan esimerkiksi muuttujat y ja z muuttujan x suhteen yhteenlaskukeinolla. 7x 5y 6z = 1 1 x y z = ( 5) ( 3) 7x 5y 6z = 7x 5y 6z = + + 1x+ 5y+ 1z = 6x+ 3y+ 6z= 3x + 4z = x y = 3 1 z = x y= x 4 Siis yhtälöryhmän ratkaisu on x R 1 y = x 3 z = x 4

14 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 118 Päivitetty Jos merkitään muuttujaa x kirjaimella a, saadaan yhtälöryhmän ratkaisu parametrimuodossa. x= a 1 y = a a 3 z = a 4 Huomautuksia: ( R ) - Jos yhtälöistä olisi ratkaistu muuttujat x ja z muuttujan y suhteen olisi ratkaisu saatu muodossa x= y x= a y R y = a ( a R ) 3 3 z = y z = a - Jos yhtälöistä olisi ratkaistu muuttujat x ja y muuttujan z suhteen olisi ratkaisu saatu muodossa 4 4 x= z 3 x= a 3 y z y a ( a = ) 3 = R 3 z R z = a Tapa Ratkaistaan esimerkiksi muuttujat y ja z muuttujan x suhteen sijoituskeinolla. 7x 5y 6z = x y z = Ratkaistaan y. () 1 7x 5y 6z = y = x z Sijoitetaan yhtälöön () 1. 7x 5( x z) 6z = 3x+ 4z = 3 z = x y = x z = x x= x 4 Siis yhtälöryhmän ratkaisu on Sijoitetaan yhtälöön ( 3 ). x R x= a 1 1 y = x y = a ( a R ) 3 3 z = x z = a 4 4

15 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 119 Päivitetty Yhtälöitä on vain kaksi ja muuttujia kolme, joten ratkaistaan kaksi muuttujaa kolmannen muuttujan suhteen. Ratkaistaan esimerkiksi muuttujat x ja y muuttujan z suhteen yhteenlaskukeinolla. x 3y+ z = 5 3 6x + 9y 3z = Yhtälöitä on vain kaksi ja muuttujia kolme, joten ratkaistaan kaksi muuttujaa kolmannen muuttujan suhteen. Ratkaistaan esimerkiksi muuttujat x ja y muuttujan z suhteen yhteenlaskukeinolla. x y+ z = 3 5 5x + 5y 1z 1 = 1 6x 9y+ 3z = x + 9y 3z = 3 = 18 aina epätosi 5x 5y+ 1z = x + 5y 1z 1 = 1 = 15 aina epätosi Yhtälöryhmällä ei siis ole ratkaisua. Yhtälöryhmällä ei siis ole ratkaisua. Vastaus Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Vastaus Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua.

16 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitetty Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. ( 1 ) x: y = 3: 3y = z 4 4x 3z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja x muuttujan y suhteen. x y = x = 3 x = 3 y 3 y 3z = 6y ( 6) z = y Sijoitetaan yhtälöön ( ). 3y = y 4 y = 4 y = 4 Muuttujien x ja z arvot saadaan sijoittamalla y = 4 yhtälöihin (4) ja (6). 3 3 x= y = 4 = 6 z = y = 4= 8 Sijoitetaan yhtälö (4) yhtälöön (3). 3 4 y 3z = 6y 3z = Yhtälöryhmän ratkaisu on x = 6 y = 4. z = 8 Ratkaistaan yhtälöstä (5) muuttuja z muuttujan y suhteen. Vastaus x = 6 y = 4 z = 8

17 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 11 Päivitetty x+ z = y 3 y z = x+ 3 3x+ z = y Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä yhteenlaskukeinoa. Sijoitetaan x = ja y = yhtälöön (1). ( ) + z = 3 z = 3+ 6 z = 3 x y+ z = 3 1 x + y z = 3 1 3x y + z = 1 x y+ z = 3 x+ 4y z = x+ y z = 3 3x y+ z = x+ y = x + 3y = 4 Yhtälöryhmän ratkaisu on x = y =. z = 3 x+ y = ( 1) x + 3y = 4 1 x y= + x+ 3y= 4 y = 4 y = Sijoitetaan yhtälöön ( 4 ). x + = x = Vastaus x = y = z = 3

18 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitetty a) x: y: z = 1:7:4 3x y+ z = 4 Merkintä x : y: z = 1: 7 : 4 tarkoittaa sitä, että x : y = 1:7 ja y: z = 7:4. Siis yhtälöryhmä saa muodon x 1 = y 7 y 7 = z 4 3x y+ z = 4 1x+ ( 4x) = 4 x = 4 x = Muuttujien y ja z arvot saadaan yhtälöistä (4) ja (1). z = 4x= 4 = 8 y = 7x= 7 = 14 x = Yhtälöryhmän ratkaisu on y = 14. z = 8 () 1 y = 7 x Sijoitetaan yhtälöihin ( ) ja ( 3 ). 4y = 7z 3x y+ z = 4 4 ( 7x) = 7z 3x ( 7x) + z = 4 z = 4 x Sijoitetaan yhtälöön ( 5 ). 1x+ z = 4

19 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 13 Päivitetty b) () 1 3x+ y = 5 x 3y = 5 x + y = Kun x = 1 ja y =, yhtälön x+ y = vasen puoli on 1 + = 4 ja oikea puoli on Yhtälöitä on kolme ja muuttujia vain kaksi, joten muodostetaan uusi yhtälöryhmä valitsemalla siihen esimerkiksi yhtälöt (1) ja (). Ratkaistaan näin saatu yhtälöpari ja tutkitaan, toteuttaako saatu ratkaisu myös yhtälön (3). 3 5 Ratkaistaan. x+ y = y x 3y = Sijoitetaan yhtälöön ( ). y = x x 3y = 5 x 35 ( 3x) = 5 1x 15 = 5 x = 1 Sijoitetaan yhtälöön ( 4 ). Saatu ratkaisu ei toteuta yhtälöä (3), joten alkuperäisellä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Vastaus a) x = y = 14 z = 8 b) Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. y = 5 3x= 5 3 1= Tarkistetaan toteuttaako saatu ratkaisu x = 1 ja y = myös yhtälön (3).

20 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 14 Päivitetty a) 6x = 3y 4 4x 9y+ 5= 7 y = 8x + 3 Yhtälöitä on kolme ja muuttujia vain kaksi, joten muodostetaan uusi yhtälöryhmä valitsemalla siihen esimerkiksi yhtälöt (1) ja (). Ratkaistaan näin saatu yhtälöpari ja tutkitaan, toteuttaako saatu ratkaisu myös yhtälön (3). () 1 6x 3y= 4 ( 3) 4x 9y= 5 ( 3) 1 1x 6y= 8 18x+ 9y= x+ 7y= 15 4x 9y= 5 1y = 7 14x = y= x= Tarkistetaan toteuttaako saatu ratkaisu x= ja y = 3 myös yhtälön (3). Kun x= ja y =, yhtälön y = 8x+ 3 3 vasen puoli on 1 7 = 6 = ja oikea puoli on 8 + = 4+ = Saatu ratkaisu toteuttaa yhtälön (3), joten 1 1 yhtälöryhmän ratkaisu on x= ja y =. 3 b) Yhtälöitä on vain kaksi ja muuttujia kolme, joten ratkaistaan kaksi muuttujaa kolmannen muuttujan suhteen. Ratkaistaan esimerkiksi muuttujat x ja y muuttujan z suhteen yhteenlaskukeinolla. 5x y+ 3z = ( ) 1x y+ 6z = 5 1 1x+ y 6z = + 1x y+ 6z = 5 = 5 aina epätosi Yhtälöryhmällä ei siis ole ratkaisua. Vastaus a) 1 x = 1 y = 3 b) Ei ratkaisua.

21 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty a) Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x+ 3y+ 4z = x y + 3z = 3 x 5y z = 7 Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja x muuttujien y ja z suhteen. Saadaan yhtälö x = 3y 4z Sijoitetaan yhtälö (4) yhtälöihin () ja (3), jolloin saadaan yhtälöpari 3y 4z y+ 3z = 3 ( 3y 4z) 5y z = 7 5y z = 3 ( 6) 11y 9z = 7 Ratkaistaan yhtälöstä (5) muuttuja z muuttujan y suhteen. Saadaan yhtälö ( y) 11y = 7 11y y = 7 34y = 34 y = 1 Muuttujan z arvo saadaan sijoittamalla y = 1 yhtälöön (7). z = 3 5y = = Muuttujan x arvo saadaan sijoittamalla y = 1 ja z = yhtälöön (4). x= 3y 4z = ( ) = 5 Yhtälöryhmän ratkaisu on x = 5 y = 1. z = b) Yhtälöitä on vain kaksi ja muuttujia kolme, joten ratkaistaan kaksi muuttujaa kolmannen muuttujan suhteen. Ratkaistaan esimerkiksi muuttujat x ja y muuttujan z suhteen sijoituskeinolla. ( 7) z = 3 5y Sijoitetaan yhtälö (7) yhtälöön (6), jolloin saadaan

22 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 16 Päivitetty x+ y z = 1 Ratkaistaan y. x + y + z = y = x+ z+ 1 Sijoitetaan yhtälöön ( ). x + y + z = x x+ z+ 1+ z = x = 3z+ 1 Sijoitetaan yhtälöön ( 3 ). y = x+ z+ 1= ( 3z+ 1) + z+ 1= 5z 1 Siis yhtälöryhmän ratkaisu on x= 3z+ 1 y = 5z 1. z R Jos merkitään muuttujan z arvoa kirjaimella a, saadaan yhtälöryhmän ratkaisu parametrimuodossa Huomautuksia: Jos yhtälöistä olisi ratkaistu muuttujat x ja z muuttujan y suhteen, ratkaisu olisi saatu muodossa 3 3 x= y+ 5 5 x= a+ 5 5 y R y = a ( a R ) z = y z = a Jos yhtälöistä olisi ratkaistu muuttujat y ja z muuttujan x suhteen, ratkaisu olisi saatu muodossa x R x= a 5 5 y = x+ y = a+ ( a R ) z = x z = a x= 3a+ 1 y = 5a 1 a z = a ( R ) Vastaus a) x = 5 y = 1 z = b) x= 3z+ 1 y = 5z 1 z R

23 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 17 Päivitetty Saadaan yhtälöryhmä a+ b+ c= 4 1 a = ( b c) 5 5 b= ( a+ c) a+ b+ c= a b+ c= 1 a b+ c= 1 a+ b+ c= 4 a+ b + c= a b+ c= a b+ c= 6a + c= 4 3a + 3c= 4 6a+ c= 4 1 3a+ 3c= 4 ( ) 6a+ c= 4 + 6a 6c = 48 4c = 4 c = 6 Sijoitetaan c = 6 yhtälöön (4), jolloin saadaan 6a + 6= 4 6a = 1 a = Sijoitetaan a = ja c= 6 alkuperäiseen yhtälöön b= ( a+ c), jolloin saadaan b = ( + 6) = 16 Vastaus Luvut ovat, 16 ja 6.

24 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 18 Päivitetty a) 3x = 6 Ratkaistaan x. x + y = 1 Ratkaistaan y. 3x+ y+ z = 1 x y+ 5z 5t = x = y = 1 x 3x+ y+ z = 1 x y+ 5z 5t = Muuttujan y arvo saadaan, kun sijoitetaan x = yhtälöön (5). y = 1 x= 1 ( ) = 3 Muuttujan z arvo saadaan, kun sijoitetaan x = ja y = 3 yhtälöön (3). 3 ( ) + 3+ z = 1 z = 1 Muuttujan t arvo saadaan, kun sijoitetaan x =, y = 3 ja z = 1 yhtälöön (4) t = 5t = t = Yhtälöryhmän ratkaisu on b) x = y = 3. z = 1 t = x+ y+ z+ u = x + y z u = Ratkaistaan u. x y + z = 5 u 3y+ x 3u = z+ () 1 x+ y+ z+ u = u = x + y z Sijoitetaan yhtälöihin () 1, ( 3 ) ja ( 4 ). x y + z = 5 u 3y+ x 3u = z+ ( ) x+ y+ z+ x+ y z = x y+ z = 5 x+ y z 3y+ x 3 x+ y z = z+

25 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 19 Päivitetty ( 6) 3x+ 5y z = 7 x+ y+ z = 5 ( 8) x 3y + z = Ratkaistaan x. ( 6) 3x+ 5y z = ( 7) x+ y+ z = 5 ( 9) x = 3y + z Sijoitetaan yhtälöihin ( 6 ) ja ( 7 ). Muuttujan x arvo saadaan, kun sijoitetaan y = 3 ja z = yhtälöön (9). x= 3y+ z = 3 ( 3) = 9 4= 5 Muuttujan u arvo saadaan, kun sijoitetaan muuttujien x, y ja z arvot yhtälöön (5). u = x+ y z = 5+ ( 3) ( ) = 5 6+ = 1 3 3y+ z + 5y z = 3y+ z + y+ z = 5 4y+ z = 8 5y + 3z = 9 Ratkaistaan yhtälöpari yhteenlaskukeinolla. 4y+ z = y 3z 9 y+ 1z = 4 1y 6z = y 1z = 36 1y+ 6z = 18 z = 4 y = 6 z = y= 3 Yhtälöryhmän ratkaisu on x = y = 3 Vastaus a) z = 1 t = x = 5 y = 3. z = u = 1 b) x = 5 y = 3 z = u = 1

26 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 13 Päivitetty a) Muodostetaan yhtälöketjusta yhtälöpari x y 1= x+ 3y 9 x+ 3y 9= 4x+ 3y 15 x y 1 x 3y+ 9= x+ 3y 9 4x 3y+ 15= () x y+ = x + 6 = Ratkaistaan x. x + 6= x = 3 Muuttujan y arvo saadaan, kun sijoitetaan x = 3 yhtälöön (1). 3 5y + 8= 5y = 5 y = 1 Ratkaisu on x = 3. y = 1 b) Muodostetaan yhtälöketjusta yhtälöryhmä. x+ 3y z+ u+ 1= x y+ 3z u x y + 3z u = 3x + y + z u + 6 3x+ y+ z u+ 6= x y+ z+ u 7 x y+ z+ u 7= x+ u () 1 x+ 4y 4z+ u+ 1= x 3y + z + u 6 = 4x+ 3y z 4u+ 13= 3x y+ z+ u 7= Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja x muuttujien y, z ja u suhteen. x = 4y+ 4z u 1 Sijoitetaan yhtälö (5) yhtälöihin (), (3) ja (4). 4y+ 4z u 1 3y+ z+ u 6= 4 4y+ 4z u 1 + 3y z 4u+ 13= 3 4y + 4z u 1 y + z + u 7 =

27 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 131 Päivitetty ( 6) 5y 6z+ 5u 4= 5 ( 7) 13y + 15z 1u + 9 = ( 8) 11y 1z + 7u 4 = 3 5y 3z+ 5u = 6y+ 3z 4u+ 18 = + + 6y+ 3z 4u+ 18 = 33y 3z+ 1u 1 = y + u = 7y 3u + 6= ( 9) y= u Sijoitetaan yhtälö (9) yhtälöön (1). Muuttujan x arvo saadaan sijoittamalla y =, z = 1 ja u = yhtälöön (5). x = 4y+ 4z u 1 = = 1 x = 1 y = Ratkaisu on. z = 1 u = 7( u ) 3u+ 6= 7u 14 3u+ 6= 4u = 8 u = Sijoitetaan yhtälöön ( 9 ). y = u = = Muuttujan z arvo saadaan sijoittamalla u = ja y = yhtälöön (6). Vastaus a) x = 3 y = 1 x = 1 y = b) z = 1 u = 5 6z + 5 4= 6z + 6= z = 1

28 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 13 Päivitetty Muuttujan y arvot saadaan sijoittamalla muuttujan x arvot yhtälöön (). Kun x =, niin y =. Siis leikkauspiste on (, ). Kun 1 x = 1, niin 1 y = 1. Siis leikkauspiste on 1 1 1,1. Leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla yhtälöpari Vastaus Leikkauspisteet ovat 1 1, ja 1,1. () x + y = 3xy ( ) x = y Sijoitetaan yhtälöön () x + x = 3x x 3 x 3x = Otetaan yhteinen tekijä. x x ( x 3) = Tulon nollasääntö. = tai x 3 = 3 1 x = tai x= = 1

29 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 133 Päivitetty Parillisten potenssien summa on nolla, kun jokainen yhteenlaskettava on nolla. Saadaan yhtälöryhmä x+ y z = ( 4) ( ) x+ 3y 4z 1= 1 3x y z 4= 1 () 1 4x 4y+ 4z+ 8= () 1 x y+ z+ 4= + + x+ 3y 4z 1= 3x y z 4= x y + 7= x 3y = x = 3y Sijoitetaan yhtälö (5) yhtälöön (4). 3y y+ 7= 7y = 7 x = 3y = 3 1 = 3 y = 1 Sijoitetaan yhtälöön ( 5 ). Muuttujan z arvo saadaan, kun sijoitetaan x = 3 ja y = 1 yhtälöön (1) z = z = Vastaus Yhtälö on tosi, kun x = 3 y = 1. z = 35 Merkitään sekoitusmääriä seuraavasti: Pullo A: suolaliuosta aluksi 1. kaadon jälkeen. kaadon jälkeen 3. kaadon jälkeen a (dl) 1 a a = a a a+ c+ b+ a ) = a+ c+ b+ a = a+ c+ b = a+ c+ b 4 1 4

30 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 134 Päivitetty Pullo B: Pullo C: suolaliuosta aluksi b (dl) suolaliuosta aluksi c (dl) 1. kaadon jälkeen. kaadon jälkeen 3. kaadon jälkeen 1 b+ a b+ a = b+ a = b+ a b+ a kaadon jälkeen c. kaadon jälkeen 3. kaadon jälkeen 1 1 c + b+ a = c+ b+ a c+ b+ a = c+ b+ a Kaikissa pulloissa on lopuksi suolaliuosta 9 dl, joten saadaan yhtälöryhmä a+ c+ b= b+ a = c+ b+ a =

31 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 135 Päivitetty a+ b+ 4c= 36 a + 3b = 36 Ratkaistaan a 3a + 9b + 36c = 36 :3 () 1 7a+ b+ 4c= 36 a = 36 3b Sijoitetaan yhtälöihin () 1 ja ( 5 ). a + 3b + 1c = 1 36 Merkitään suorakulmaisen särmiön särmiä kirjaimilla a, b ja c. V = abc a, b, c. Tällöin särmiön tilavuus on Veden tilavuus on 1,l = 1, dm = 1 cm 3 3 Piirretään tilanteesta mallikuva. 7( 36 3b) + b+ 4c= b+ 3b+ 1c= 1 8b+ 4c= 61 :4 1c = 84 ( 6) b+ c= 153 c = 7 Sijoitetaan yhtälöön ( 6 ). b + 7 = 153 b = 16 b = 8 Sijoitetaan yhtälöön ( 4 ). a = 36 3b= = 1 Yhtälöryhmän ratkaisu on a = 1, b= 8 ja c= 7. Vastaus Ensimmäisessä pullossa on 1 dl, toisessa 8 dl ja kolmannessa 7 dl.

32 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 136 Päivitetty Saadaan yhtälöryhmä Suorakulmaisen särmiön tilavuus on a b 4 = 1 Ratkaistaan b. b c 5 = 1 :5 a c 6 = 1 :6 V = abc= = = 1 1 = 3794, ( 3 ) 379 cm = 3,79 l 3 () 1 b = a bc = 4 ac = Sijoitetaan yhtälöön ( ). Vastaus Särmiön tilavuus on 3,79 l. 3 3 c = 4 : a a a 4 4 c = 4 = a Sijoitetaan yhtälöön ( 3 ) a a = : 5 5 a = 5 a = ± 5 = 5 1 Sijoitetaan yhtälöihin (4) ja (1). 4 4 c= a = 5 1 = b = = = = 6 1 a 5 1 1

33 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 137 Päivitetty ax + 3y + z = 8 8x 6y az 4 = Yhtälöitä on vain kaksi ja muuttujia kolme, joten ratkaistaan kaksi muuttujaa kolmannen muuttujan suhteen. Ratkaistaan muuttuja y muuttujan z suhteen. ax + 3y + z = 8 8x 6y az 4 = 8 a, a 1) a 8ax + 4y + 16z = ax 6ay a z = 4a ( ) 4 6a y+ 16 a z = a Tapaus a = on tutkittava erikseen. ( ) Jos a 4, on 4 6a y= a 16 a z : 4 6a eli a a 16 a y = z 4 6a 4 6a Ratkaistaan seuraavaksi muuttuja x muuttujan z suhteen. ax + 3y + z = 8 8x 6y az = 4 1 ax + 6y + 4z = x 6y az = 4 ( a 8) x + ( 4 a) z = ( a 8) x= ( 4 a) z :( a 8) eli a 4 Jos a 4, on 4 a x = z a 8 a 8 Jos a = 4, alkuperäinen yhtälöpari on 4x+ 3y+ z = 8 8x 6y 4z 4 = 1 8x+ 6y+ 4z = x 6y 4z 4 = 4 = 16 aina epätosi Yhtälöparilla ei siis ole ratkaisua, kun a = 4.

34 Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 138 Päivitetty Tutkitaan vielä tapaus a =. ) Jos a =, alkuperäinen yhtälöpari on 3y+ z = 8 8x 6y 4 = 3y+ z = 8 8x 6y = 4 1 6y + 4z = x 6y = 4 8x + 4z = :4 x+ z = 5 z = x+ 5 Yhtälöllä z = x+ 5, x R, on äärettömän monta ratkaisua. Kohtien 1) ja ) perusteella yhtälöparilla ei siis ole ratkaisua, kun a = 4. Vastaus a = 4