Tarkastelemme sitten epähomogeenista toisen kertaluvun yhtälöä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tarkastelemme sitten epähomogeenista toisen kertaluvun yhtälöä"

Transkriptio

1 45. Epähomogeeiset yhtälöt Tarkastelemme sitte epähomogeeista toise kertaluvu yhtälöä (8) Ly= y + ay + ay= b. Kute edellä olevasta teoriasta o selviyt, riittää yleise ratkaisu löytämiseksi tutea vastaava homogeeise yhtälö yleie ratkaisu y h ja epähomogeeise yhtälö joki yksityisratkaisu y p, jolloi yhtälö (8) yleie ratkaisu o iide summa y= y + y. h p Yksityisratkaisu voidaa kostruoida (periaatteessa) aia homogeeise yhtälö ratkaisusta vakioide varioiilla: Lause 6 Jos fuktiot y, y ovat homogeeise yhtälö Ly = lieaarisesti riippumattomia ratkaisuja, ii epähomogeeise yhtälö (8) eräs yksityisratkaisu o yp( x) = c ( x) y ( x) + c ( x) y ( x), (9) missä y () ( xbx ) ( ) y( xbx ) ( ) c( x) = dx, c( x) = dx W( x) W( x), W( x) = W( y, y )( x). Todistus: Asetetaa y= y yhtälö (9) mukaiseksi ja derivoidaa: p y = c y + c y + c y + c y. Vaatimalla () c y+ c y = ja derivoimalla y uudestaa saadaa

2 46 y = c y + c y + c y + c y, josta sijoittamalla yhtälöö Ly= b ja ottamalla huomioo Ly= Ly = tullaa yhtälöö () cy + cy =. Yhtälöparista (), () voidaa yt ratkaista c, c, koska yhtälöpari kerroimatriisi determiatti o W( y, y)( x), x I. Crameri säätö ja itegroiti ataa sitte tulokse (). Esim. 7 Yhtälöä y + y = ta x, x ( π /, π / ) vastaava homogeeise yhtälö perusjärjestelmä o aiemmi todetu mukaa y( x) = cos x, y( x) = six, jolloi W( y, y)( x ) =. Siis kerroifuktiot () ovat c( x) = sixtaxdx = six l( + ta x), cos x c ( x) = cosxtaxdx = sixdx = cosx. Yhtälö yleie ratkaisu o siis y( x) = αcos x+ βsi x cos xl( + ta x), α, β. cos x Toie tapa löytää yksityisratkaisuja o määräämättömie kertoimie meetelmä. Yksityisratkaisu o usei pääteltävissä oikea puole fuktio bx ( ) tyypistä. Seuraavassa o lueteltu, mikä tyyppisiä yritteitä kaattaa tavallisimmissa tapauksissa koettaa. Ajatuksea o, että yrite sijoitetaa yhtälöö ja määritetää siiä olevat parametrit tai tutemattomat fuktiot ii, että yhtälö saadaa toteutumaa.. Olkoo bx ( ) astetta oleva polyomi. Jos a, ii yrite o samaasteie polyomi, jos a =, a yrite o ( + ) -asteie polyomi.

3 47. Jos bx ( ) = pxe ( ) ax, ii yrite o muotoa yx ( ) = uxe ( ) ax. ax ax. Jos bx ( ) = ce, missä c o vakio, ii yx ( ) = Ke, mikäli a ei ole j ax karakteristise yhtälö (4) juuri, ja muute yx ( ) = Kxe ( j=,) se mukaa, oko a karakteristise yhtälö yksi- vai kaksikertaie juuri. 4. Olkoo bx ( ) = pcosω x+ qsiω x. Jos ± iω eivät ole karakteristise yhtälö juuria, ii yritteeksi käy yx ( ) = Acosω x+ Bsiωx, muute yx ( ) = Axcosω x+ Bxsiω x. Esim. 8 y + y + y = e x. x x Homogeeise yhtälö yleie ratkaisu o yh = ce + cxe, sillä r = o karakteristise yhtälö kaksikertaie juuri. Tällöi yritteeksi voi tarjota fuktiota y( x) = Kx e x. Derivoimalla saadaa ( ) ( ) x x y x = K x x e, y ( x) = K( x x+ x ) e, josta tulee sijoittamalla x K = ja yksityisratkaisu o siis y p( x) = x e. Todettakoo lopuksi, että jos oikea puoli o summa kahdesta eri tyyppisestä fuktiosta: Ly= b+ b, ii yksityisratkaisuksi saadaa yp = yp + yp, missä Ly = b, Ly = b. p p Silloi imittäi Ly = L( y + y ) = Ly + Ly = b + b. p p p

4 48. Differetiaaliyhtälösysteemit, johdatoa Siirrymme käsittelemää esimmäise kertaluvu differetiaaliyhtälösysteemeitä, jotka ovat muotoa () x '(t) = f(t, x(t)), x(t). Tässä f o jatkuva fuktio:. Vektori x(t) voidaa saoa esittävä systeemi tilaa ajahetkellä t. Geometrisesti x muodostaa ratakäyrä -ulotteisessa avaruudessa. Systeemi ratkaisu avoimella välillä I o tällä välillä määritelty jatkuvasti derivoituva vektoriarvoie fuktio x, joka toteuttaa yllä maiitu yhtälö tämä väli jokaisessa pisteessä. Ratkaisuja o yleesä ääretö määrä. Alkuarvotehtävässä () x '(t) = f(x(t),t), x(t )=c ratkaisu määrätää kulkeva ajahetkellä t pistee c kautta. Esimmäise kertaluvu derivaattaa keskittymie edellä ei ole kovi yleisyyttä rajoittavaa: Korkeampaa kertalukua olevat eksplisiittiset differetiaaliyhtälöt voidaa palauttaa esimmäise kertaluvu systeemiksi. Meettelytapa selviää oheisista esimerkeistä: Esim. Jokaie lieaarie toise kertaluvu differetiaaliyhtälö y () t + a () t y () t + a () t y() t = b() t voidaa esittää taso systeemiä: Valitaa x = y, x = y, jolloi saadaa systeemi x = x. x = ax ax + b

5 49 Esim. Muutetaa oheie differetiaaliyhtälö esimmäise kertaluvu systeemiksi: y'''( t) - y''( t) + 4 y'( t) - y( t) =. Valitaa x( t) = y( t), x( t) = y'( t), x( t) = y''( t), jolloi äide derivaatoille saadaa x '( t) = x ( t) x '( t) = x ( t) x '( t) = / x ( t)- x ( t) + / x ( t). Differetiaaliyhtälösysteemie tasapaiotilat ja stabiilius. Differetiaaliyhtälö x'(t) = f(x(t),t), x(t) määrittelemä systeemi saotaa oleva autoomie, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu ajasta t: x'(t) = f(x(t)). Jos vakiotila x(t) x toteuttaa yhtälö, ii silloi vakioa se derivaatta x'(t) ja saomme, että systeemi o tasapaiotilassa ja x o systeemi tasapaiopiste. Tasapaiopistettä karakterisoi siis yhtälö f(x ) =, josta systeemi tasapaiopisteet voidaa ratkaista. Esim. Systeemi tasapaiopisteet ovat (, π). f(x) = [si(x +x ) exp(x )-] T

6 5 Taso grafiikkaa Moia autoomiste systeemie käsitteitä ja tilateita, erityisesti taso differetiaalisysteemeillä, voidaa havaiollistaa erilaisilla kuvilla. Vektorikettä Kuvaa piirretää x, x-tasoo pisteesee x vektori x = f( x ). Usei tämä kuvio o sotkuie, koska eri pituiset vektorit voivat peittää toisiaa. Suutakettä o kuva, jossa vektoriketä vektoreista piirretää vai suuat, ei pituuksia. Joskus kuvassa o vai lyhyitä jaoja, joide kulmakertoimet ovat dy x () t f( x, x) = =, dx x () t f( x, x) tai sitte lyhyitä vektoreita uolia. Ratakäyrät ovat x, x-tasossa olevia ratkaisukäyriä x ( t), t I. Faasikuva sisältää kokoelma valikoituja ratakäyriä ja usei tasapaiopisteet. Käyrii voidaa merkitä suuat uolella, jolloi systeemi tila eteee aja mukaa merkittyy suutaa. Faasikuva voi olla suutaketä kassa samassa. Kompoettifuktioide kuvaajat ovat (, tx) - ja (, tx ) tasoihi (usei samaa kuvaa) piirrettyjä fuktioide x () t ja x () t kuvaajia. Seuraavissa kuudessa kuvassa esimmäiseä o vektorikettä, sitte vastaava suutakettä. Kolmaessa kuvassa o yksi ratakäyrä, ja sitä vastaavat kompoettifuktioide kuvaajat eljäteä. Viides ja kuudes ovat faasikuvia.

7

8

9

10 54. Omiaisarvoteoria kertausta Matriisie omiaisarvot ovat keskeisessä roolissa lieaariste differetiaalisysteemie teoriassa. Kertaamme matriisilasketaa siltä osi. Jokaisee matriisii liittyy joukko sille omiaisia lukuja, s. omiaisarvoja, joista koostuu matriisi "spektri". Tämä vaatii kuiteki lukualuee laajetamista kompleksilukuihi. Jatkossa matriisit ja vektorit voivat olla (ellei toisi maiita) kompleksikertoimisia. Matriisialgebra säilyy samalaisea kui reaalitapauksessaki, paitsi että uutea operaatioa tulee mukaa kompleksilukuje kojugoiti. Avaruus x = koostuu -kompleksivektoreista x x x, missä kertoimet xi. Vektori x kojugaatti o x = x x x. (Kompleksiluvu a + bi kojugaatti eli liittoluku o z = a bi.) T Sisätulo o yt muotoa xy i = x y= xy+ + xy. Silloi vektori pituus eli ormi o T =+ =+ x + + x x x x. i = + + = = 7 + i. Esim. i i ( ) ( ) Skalaarit, esimerkiksi lieaarikombiaatioide kertoimet, ovat tapauksessa kompleksilukuja, ja siitä syystä esimerkiksi : luoollie kata käy myös : kaaksi. :

11 55 Pääasiassa tarkastelemme tässä kurssissa reaalimatriiseja, mutta kompleksivektoreihi joudutaa kompleksiste omiaisarvoje takia. Skalaari λ o eliömatriisi A omiaisarvo, jos o olemassa joki sellaie x, että Ax= λx. Silloi vektori x o omiaisarvoa λ vastaava omiaisvektori. Eglaikieliset termit ovat eigevalue ja eigevector. Omiaisarvo määrittely-yhtälö saadaa siirtämällä kaikki termit vasemmalle puolelle muotoo Ax λx= eli ( A λi) x=. Kyseessä o siis homogeeie lieaarie yhtälöryhmä, joka kerroimatriisi o A λi. Koska kyseessä o eliömatriisi, sillä o eitriviaaleja ratkaisuja (x= ei kelpaa omiaisvektoriksi) täsmällee silloi, ku kerroimatriisi determiatti =. Yhtälöä p( λ) = det( A λi) = saotaa matriisi A karakteristiseksi yhtälöksi ja polyomia p( λ ) se karakteristiseksi polyomiksi. Matriisi omiaisarvot ovat siis se karakteristise polyomi juuret. Näitä o algebra peruslausee ojalla kertaluvut mukaa lukie kappaletta (jotka voivat olla kompleksisia). (Tässä o syy siihe, että reaaliseki matriisi omiaisarvot voivat olla kompleksisia, ja sitä kautta myös omiaisvektorit.) Omiaisarvoja o -matriisilla siis kertaluvut mukaa lukie kappaletta. Omiaisarvo λ algebrallie kertaluku o k, jos λ o karakteristise polyomi k-kertaie juuri. Algebrallisesta kertaluvusta käytetää merkitää alg(λ ).

12 56 Kuhuki omiaisarvoo λ liittyvät omiaisvektorit ja ollavektori muodostavat aliavaruude, omiaisarvo λ omiaisavaruude E λ : E λ { A λ } = x R x= x = N( A λi). Omiaisavaruus todella o aliavaruus, sillä: E λ ja x, y Eλ, a, b R A( ax+ by) = aax + bay = aλx + bλy = λ( ax + by ) ax+ by E λ. Omiaisavaruude dimesio o omiaisarvo λ geometrie kertaluku geom(λ ) = dim E = dim N( A λi). λ Voidaa osoittaa (Lay), että geometrie kertaluku o aia korkeitaa algebrallise kertaluvu suuruie: geom(λ ) alg(λ ). Matriisi A omiaisarvotehtävä käsittää matriisi kaikkie omiaisarvoje ja vastaavie omiaisvektorie muodostamista. Omiaisvektoreista haetaa silloi jotki omiaisavaruude katavektorit. Meettely koostuu seuraavista vaiheista:. Muodostetaa karakteristie polyomi p( λ) = det( A λi).. Haetaa karakteristise polyomi juuret λ,, λ.

13 57. Ratkaistaa kulleki omiaisarvolle λ i homogeeie yhtälöryhmä ( A λ i ) x=, joka ratkaisusta poimitaa "lieaarisesti riippumattomat omiaisvektorit" eli olla-avaruude N( A λi) katavektorit. Esim. 6 A = det( A λi ) = 6 λ = λ 7λ+ = λ = 4& λ = λ ovat omiaisarvot. Omiaisarvolle λ =4: / [ A 4 I ] = x /x =, x = t, t x = x = t, valitaa esim. t=/: omiaisvektori v = /. Vastaavasti omiaisarvolle λ = : v =. Kummaki omiaisarvo algebrallie ja geometrie kertaluku ovat =. Esim.. A= λ 6 5 λ = (5 λ)(( 7 λ)( λ) 6) = 6 λ λ = 5, λ =, Omiaisvektorit omiaisarvolle λ, = 5 :

14 58 6 ½ [ A 5 I ] = x ½x =, 6 ½ x = ½, tx = sx, = t, x = t+ s, omi. vektorit esim. (valit. t=,s=; t=, s=): v =, v =. Vastaavasti omiaisarvolle λ =-: v =. alg(5)= geom(5)=, alg(-)=geom(-)=. Esim A = 5 4 Omiaisarvot: 4 λ 5 = (4 λ)( 4 λ) + 5 = λ + 9 = λ, =± i 5 4 λ Omiaisvektorit omiaisarvolle λ = i : 4 i 4 i i x x 5 4 i + =, 5 4+ i x = t 5 5, valitaa esim. t = 4 i: v = 4 i. x = t 5 Omiaisarvo λ = i = λomiaisvektori o v = v = 4+ i. Kummaki omiaisarvo algebrallie ja geometrie kertaluku ovat =. Esim A = 5

15 59 Omiaisarvot: 5 λ 4 λ λ λ λ λ λ λ λ = (5 )( (5 ) 4) ( 4)(5 ) = (5 )( 5 ) = 5 λ λ = 5, λ =, Omiaisvektorit omiaisarvolle λ, = 5 : x + x =, x =, x = t x = x = t x = t, valitaa esim. t=: v = Omiaisarvo λ = omiaisvektoriksi saadaa vastaavasti Nyt alg(5)=, geom(5)=, alg()=geom()=. 4 u = 5. Kute esimerkissä 4 ähtii, reaaliselle matriisille kompleksiset omiaisvektorit esiityvät kojugaattipareia: Jos reaalisella matriisilla A o kompleksie omiaisarvo λ ja vastaava omiaisvektori v, ii λ o myös omiaisarvo ja v o sitä vastaava omiaisvektori: Av= λv Av= Av= ( Av) = ( λv) = λv.

16 6 Koska matriisi omiaisarvo λ o karakteristise polyomi p( λ) = det( A λi) juuri, sille ähdää seuraavat omiaisuudet: Matriisi A o käätyvä, jos ja vai jos ei ole se omiaisarvo. Jos λ o käätyvä matriisi A omiaisarvo, ii λ o kääteismatriisi A omiaisarvo. Kolmiomatriisi omiaisarvot ovat se lävistäjäalkiot. Matriisi determiatti o yhtä kui se omiaisarvoje tulo: det A = λ λ λ Matriisi A = ( a ij ) lävistäjäalkioide summa eli jälki o yhtä kui se omiaisarvoje summa: a + a + + a = λ + λ + λ. a b a Esim. 6 A=, a, b a a Yläkolmiomatriisi, jote omiaisarvot ovat λ = λ = λ = λ4 = a eli a o aioa omiaisarvo, alg(a)=4. b =, joka vastaa yhtälöä x =. [ A ai ] Siis muut muuttujat saavat olla vapaasti mitä tahasa, jote

17 6 x x x x 4 = r = = = s t eli x = r + s + t, r, s, t R. Omiaisvektoreita löytyy siis kolme lieaarisesti riippumatota, eli v =, v =, v =. Nyt siis geometrie kertaluku geom(a)=. Osoitetaa seuraavaksi hyödyllie omiaisuus eri omiaisavaruuksie keskiäisestä suhteesta: Erisuuria omiaisarvoja vastaavat omiaisvektorit ovat lieaarisesti riippumattomia. Todistus: Olkoot λ,, λr matriisi A erisuuria omiaisarvoja ja v,, vr iihi vastaavasti liittyviä omiaisvektoreita. Osoitetaa, että jos v,,, vk k < r ovat lieaarisesti riippumattomia, ii äi ovat myös v,, vk, vk+. Ellei olisi, ii v k+ olisi muide lieaarikombiaatio: v = c v. k k+ i i i= Tässä kaikki kertoimet c i eivät voi olla =, koska v. k+ Silloi kertomalla matriisilla A puolittai: k A v = Ac v λ v = cλ v. k+ i i k+ k+ i i i i= i= k k Toisaalta kertomalla vk+ = civ i luvulla λ k + saadaa myös esitys λ v = λ c v. k+ k+ k+ i i i= k i= Vähetämällä ämä toisistaa saadaa k = ci( λi λ k + ) v i, josta vektorie v,, vk i= lieaarise riippumattomuude takia ci( λi λ k + ) =, i. Koska omiaisarvot ovat erisuuria, ovat c i = kaikilla i, mikä o ristiriita.

18 6 Nyt siis aloittamalla vektorista v, joka ollasta eroavaa o yksiää lieaarisesti riippumato, ähdää että v, v ovat lieaarisesti riippumattomia, je. Matriisit A ja B ovat similaariset, jos o olemassa sellaie käätyvä matriisi S, että S AS = B. Similaarisilla matriiseilla o imesä mukaisesti jotai yhteistä: Similaariste matriisie A ja B karakteristiset polyomit ovat samat, ja iillä o siis samat omiaisarvot. Tämä ähdää suoralla laskulla: p B I S AS I S AS S IS B ( λ) = det( λ ) = det( λ ) = det( λ ) = det( S ( AS λis)) = det( S ( A λi) S) = det( S ( A λi) S) = det( S ) det( A λi) det S = det( A λi) det( S ) det S = det( A λi) det( S S) = det( A λi) = p A ( λ). Matriisi A o diagoalisoituva, jos se o similaarie joki lävistäjämatriisi D kassa. Diagoalisoituvuus merkitsee siis sitä, että löytyy käätyvä matriisi S, joka diagoalisoi matriisi A: S AS = D. Lävistäjämatriisi D lävistäjäalkiot ovat silloi A: omiaisarvot. Kokoa oleva matriisi o diagoalisoituva täsmällee silloi, ku A:lla o täysi määrä eli kappaletta lieaarisesti riippumattomia omiaisvektoreita. Silloi diagoalisoiva matriisi S pystyrivit ovat tällaiset A: lieaarisesti riippumattomat omiaisvektorit.

19 6 Vektorit v, v ovat A: lieaarisesti riippumattomia omiaisvektoreita, jos ja vai jos iistä rakeettu matriisi S = [ v v ],, o käätyvä (raks=) ja Av = λ v, i =,...,. Siis A o diagoalisoituva lävistäjämatriisiksi i i i D λ λ = diag(,, ) λ λ D S AS SD AS = = [ v,, v ] = A[ v,, v ] = [ Av,, Av ] λ [ ] [ ] λ v,, λ v = Av,, Av Av = λv, i =,...,. i i i Ehto lieaarisesti riippumattomie omiaisvektorie täydelle määrälle o kertalukuje avulla ilmaistua: Jokaisella omiaisarvolla o oltava algebrallie kertaluku yhtä kui geometrie kertaluku: alg(λ)=geom(λ). Erityisesti matriisi o silloi diagoalisoituva, ku se kaikki omiaisarvoa ovat erisuuria. Ku A o diagoalisoituva, ii yhtälö S AS = D tulee pääasiassa käyttöö muodossa A = SDS. Silloi esimerkiksi A = ( SDS )( SDS ) = SDDS = SD S ja yleisemmi k A k = SD S. Lävistäjämatriisi potessit ovat helppoja muodostaa: D k = λ k k λ λ k.

20 64 Potessie kautta päästää Taylori sarjoihi, ja äi voidaa diagoalisoituville matriiseille määritellä aalyyttiste fuktioide f(x) vastieet matriisifuktioia: f ( λ ) f ( ) f ( A) Sf( D) S S λ = = S f ( λ ). Esim. 7 A= Aikaisemmi käsitelly esimerkki : mukaa omiaisarvot ovat λ, = 5, λ =. Omiaisvektorit omiaisarvolle λ, = 5 : v =, v =. Vastaavasti omiaisarvolle λ =-: v =. Lieaarisesti riippumattomia omiaisvektoreita o yt täysi kappaletta. Siis saamme esitykse A SDS 5 5 = = = 5 /5 /5 5. /5 /5

21 65 Symmetrise reaalise matriisi tapaus o kaikkei selkei omiaisarvoje ja diagoalisoii kaalta. Symmetrise reaalimatriisi A omiaisarvot ovat reaaliset ja vastaavat omiaisvektorit voidaa valita reaalisiksi. Jos x o symmetrise reaalimatriisi A omiaisarvoa λ vastaava yksikkövektoriksi ormeerattu omiaisvektori, ii T T T λ A λ λ λ λ Ax = x x x = x x = x x = x =, josta saadaa kojugoimalla T T ( ) T T T T λ = λ = x Ax = x A x = x Ax = λ, jote λ o reaalie. Silloi reaalisella yhtälöllä ( A λi) x = o reaalisia ei-triviaaleja ratkaisuja, eli omiaisvektoritki voidaa valita reaalisiksi. Symmetrise reaalimatriisi erisuuria omiaisarvoja vastaavat omiaisvektorit ovat ortogoaaliset. Jos A = λ & A = λ, λ λ x x x x, ii λx = x A = x A λx x = x Ax = x λ x = λ x x, jote T T T T T T T T T ( λ λ ) x x = ja siis x x =. T Neliömatriisi Q o ortogoaalie, jos se sarakkeet muodostavat ortoormaali jouko. Silloi se o käätyvä, ja kääteismatriisi o laskettavissa yksikertaisesti traspooimalla:

22 66 T, i= j Q = [ q,, q], qi qj = δij =, i j q T QQ= [ q,, q ] [ q,, q ] = [ q,, q ] T T T q q q q q = = I T T q q q q T T = T Q Q =. Ortogoaalise eliömatriisi omiaisuudet ovat siis Q ortogoaalie Q : sarakkeet ortoormaaleja T T QQ= QQ = I T Q = Q. Esim. 8 / / / Q = / / / / / / o ortogoaalie, kute tarkistamalla mikä hyväsä yllä olevista yhtäpitävistä ehdoista osoittaa. Jos matriisi A o symmetrie ja se omiaisarvot ovat kaikki erisuuria, o silloi edellise ojalla se omiaisvektoreista muodostettavissa ortogoaalie matriisi. Tällöi matriisi diagoalisoituu siis ortogoaalisella matriisilla. Tämä pätee myös yleisesti symmetriselle reaalimatriisille (tulos o syvällie):

23 67 Symmetrie reaalimatriisi A voidaa aia diagoalisoida ortogoaalisella matriisilla Q: A = QDQ T. Matriisi Q koostuu A: ortogoaalisista omiaisvektoreista. Esim. 9 A= Esimerkissä 7 tämä diagoalisoitii. Omiaisvektorit olivat omiaisarvolle λ, = 5 : v =, v = ja omiaisarvolle λ =-: v =. Nyt vektorit v ja v sattuvat olemaa / 5 v ortogoaaliset, jote riittää ormeerata e: q = =, q = v =. v / 5 Omiaisarvoo λ liittyvä omiaisvektori tuleeki olla ortogoaalie äide kassa, jote ormeeraamalla se saadaa kolmas tarvittava omiaisvektori q v / 5 / 5 = = v. Silloi diagoalisoiva matriisi o Q / 5 / 5 [ q, q, q ] ja A: "spektraaliesitys" o / 5 / 5 = = / 5 / 5 5 / 5 / 5 T A = QDQ = 5. / 5 / 5 / 5 / 5

1. Ominaisarvot. Diagonalisointi

1. Ominaisarvot. Diagonalisointi MA-45 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 8 Kertaamme Lama :ssa esitettyä omiaisarvoteoriaa, erityisesti - ulotteisissa avaruusissa ulemme tarvitsemaa äitä Lama 5:ssa differetiaaliyhtälöitä

Lisätiedot

9. Ominaisarvot. Diagonalisointi

9. Ominaisarvot. Diagonalisointi 55 9 Omiaisarvot Diagoalisoiti Joaisee matriisii liittyy jouo sille omiaisia luuja, s omiaisarvoja, joista oostuu matriisi "spetri" ämä vaatii uitei luualuee laajetamista omplesiluuihi Jatossa matriisit

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.340 Lieaarie ohjelmoiti 20.9.2007 Lueto 2 Lieaarialgebraa ja geometriaa (kirja.5, 2.) S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / Lieaarialgebraa Notaatiota Kääteismatriisi

Lisätiedot

Laaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005

Laaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005 7303045 Laaja matematiikka Kertaustehtäviä Viikko 7/ 005 Tehtävät ovat Laaja matematiikka : ja : alueelta olevia etisiä välikoe- ja tettitehtäviä. Alkupää tehtävät liittyvät yleesä kurssii ja loppupää

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3 LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit

Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu

Lisätiedot

5.3 Matriisin kääntäminen adjungaatilla

5.3 Matriisin kääntäminen adjungaatilla Vaasa yliopisto julkaisuja 08 Sec:MatIvAdj 53 Matriisi käätämie adjugaatilla Määritelmä 3 -matriisi A adjugaatti o -matriisi adj(a) (α i j ), missä α i j ( ) i+ j det(a ji ) (, joka o siis alkioo a ji

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

8. Ortogonaaliprojektiot

8. Ortogonaaliprojektiot 44 8 Ortogoaaliprojetiot Avaruus R o eemmäi ui pelä vetoriavaruus, osa siiä o mahdollisuus määritellä vetoreide pituus, välie ulma ja erityisesti ohtisuoruus ähä päästää ottamalla äyttöö vetoreide välie

Lisätiedot

Ortogonaalisuus ja projektiot

Ortogonaalisuus ja projektiot MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

7. Aliavaruudet. Lineaariset yhtälöryhmät

7. Aliavaruudet. Lineaariset yhtälöryhmät 7 7 Aliavaruudet Lieaariset yhtälöryhmät Tässäki luvussa kerrataa ja täydeetää jo kurssilla Laaja matematiikka esiityeitä asioita Erityisesti yhtälöryhmie teoriaa ja ratkaisemisee paeudutaa perusteellisesti

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

1 Eksponenttifunktion määritelmä

1 Eksponenttifunktion määritelmä Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( ) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Harjoituste 3 ratkaisut MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Topologiset vektoriavaruudet 3.1. Jokaie kompakti joukko K R määrää fuktioavaruudessa E = C(R ) = {f : R R f o jatkuva}

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen

Lisätiedot

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit 68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018

Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018 Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan

Lisätiedot

5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat

5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat 2 5. Lieaarise optimoii perusprobleemat Optimoitiprobleema o lieaarise optimoii tehtävä, jos kohdefuktio o lieaarie fuktio ja rajoitusehdot ovat lieaarisia yhtälöitä tai lieaarisia epäyhtälöitä. Yleisessä

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP) 10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ,, x1 x. Matriiseihin perehtyminen voidaan perustella useilla järkisyillä.

Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ,, x1 x. Matriiseihin perehtyminen voidaan perustella useilla järkisyillä. Vaasa yliopisto julkaisuja 71 4 MATRIISIT JA MATRIISILASKUT Ch:Matrix Sec:MatLaskut 4.1 Matriisi ja matriisilaskut Matriisi o suorakulmaie lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: 2 0.4 8 0 a b,, x1 x

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia. HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var

Lisätiedot

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x

Lisätiedot

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x = TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

EX1 EX 2 EX =

EX1 EX 2 EX = HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä

Lisätiedot

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6 Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude

Lisätiedot

C = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti

C = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti Vaasan yliopiston julkaisuja 189 9 OMINAISARVOTEHTÄVÄ Ch:EigSystem Sec:CMatrix 9.1 Kompleksinen lineaariavaruus 9.1.1 Kompleksiluvut Pian tulemme tarvitsemaan kompleksisen lineaariavaruuden alkeita. Tätä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Seuraavat peruslauseet 1-8 voidaan helposti todistaa integraalin määritelmästä. Integroimisjoukko R oletetaan rajoitetuksi Jordanmitalliseksi

Seuraavat peruslauseet 1-8 voidaan helposti todistaa integraalin määritelmästä. Integroimisjoukko R oletetaan rajoitetuksi Jordanmitalliseksi Laaja matematiikka 5 Kevät 200 2. Itegraali omiaisuuksia Seuraavat peruslauseet -8 voidaa helposti todistaa itegraali määritelmästä. Itegroimisjoukko oletetaa rajoitetuksi Jordamitalliseksi joukoksi. Lause

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...

Lisätiedot

BM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8

BM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8 (b)...(d) eve + eve = eve eve eve = eve BM2A57 - Itegraalimuuokset Harjoitus 8. Vastaa jokaisessa kohdassa seuraavii kysymyksii: Oko fuktio parillie? Oko fuktio parito? Huomaatko polyomie kohdalla hyvi

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut 91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

Käänteismatriisi 1 / 14

Käänteismatriisi 1 / 14 1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa

Lisätiedot