Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Transkriptio

1 Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa arvostelussa käytettävistä kriteereistä päättää tutkintoaineen sensorikunta. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi. Tehtävä 1 a) x 4x+ 4= 4 x 4x= 0 xx ( 4) = 0 x= 0 x = 4. b) x+ 3 = ( x+ 3) x+ 3= x 3 3x = 6 x =. c) ( ) + ( + ) + (1 ) = = 6. Tehtävä a) Leikkauspiste y-akselilla saadaan sijoittamalla x = 0 yhtälöön y= 3x + 1, joten leikkauspiste on (0,1). Leikkauspiste x-akselilla saadaan sijoittamalla y = 0 yhtälöön y= 3x + 1, joten leikkauspiste on (4,0). b) Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä y= 4 x ja sijoitetaan alempaan. Näin saadaan x+ 8 4x= 1 x= 7 x = 7. Tällöin y= 4 x= 4 14 = 6 Ratkaisu on x = y = Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä.9.013

2 c) Uusi kanta on 0,8 11= 8,8 ja uusi korkeus 1, 7= 8,4. Alkuperäisen suorakulmion ala on 11 7 = 77 ja uuden ala on 8,8 8,4 = 73,9. Alojen suhde on 73,9 = 0,96, joten ala pienenee 4 %. 77 Tehtävä 3 a) Olkoon huippukulman puolikas α. Kannan puolikas on 0 m ja 0 sinα = 0, α 1,84, joten huippukulma onα b) Olkoon kolmion korkeus h. Tällöin cos Pinta-ala on 40 h 0 = h 17 m. α = h 90 h = 90cosα 87,7. Tehtävä 4 Rimaa tarvitaan yhteensä 10y+ 0x+ πx+ πx = 10 y+ (0 + 3 π ) x = (0 + 3 π ) 0 = π, siis noin 988 cm. Tehtävä a b+ c= 0 Pisteet ( 1, 0), (1, ) ja (3,0) ovat käyrällä, joten a + b + c = 9a+ 3b+ c= 0 ensimmäistä yhtälöä puolittain saadaan b = b = 1. Sijoittamalla = 1 a+ c= 1. Vähentämällä yhtälöt puolittain saadaan 8a = 4 a = 1. Siis 9a+ c= 3 c= b a = 3.. Vähentämällä kaksi b saadaan Tehtävä 6 Rullan ulkosäde on R = 6, sisäsäde r =,, ja olkoon kysytyn rullan säde ρ. Täyden rullan tilavuus on ( Vt = 1π R r ) ja kysytyn rullan tilavuus Vp = 1 π( ρ r ). Tilavuudesta on jäljellä puolet, kun 1 R + r 1 π( ρ r ) = π( R r ) ρ =. Kysytyn rullan halkaisija on ρ = R + r = 8,1 cm 9,1 cm. Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä.9.013

3 Tehtävä 7 a) Jarrutusmatkan lauseke nopeuden v avulla on k saadaan yhtälöstä on s (80) = 80 m = 44,0 m b) Nopeus saadaan yhtälöstä s() v = kv, jossa oleva vakio s(40) = k 40 = 11 k = Kysytty jarrutusmatka 1,3 = kv 1, v = km/h 6 km/h. 11 Tehtävä 8 Oletetaan, että valkoisia palloja on n ja punaisia p kappaletta, jolloin palloja on yhteensä n+ pkappaletta. Punaisen pallon todennäköisyys on p = 0,4 p= p+ n p= n. p+ n 3 Tehtävä 9 3 f( x) = x 3x 1x +, josta f ( x) = 6x 6x 1. Derivaatan nollakohdat saadaan yhtälöstä x x = 0 x= 1 x =, jotka ovat molemmat välillä [,4]. Koska f( ) = 1, f( 1) = 1, f () = 1 ja f (4) = 37, niin suurin arvo on 37 ja pienin 1. Tehtävä 10 Olkoon vuotuinen kasvukerroin q ja liikevaihto L. Yhtälöstä q L= 10L 0 saadaan q = 10 q = ,1, joten vuotuinen kasvu on ollut noin 1, %. 0 Tehtävä 11 Taulukon perusteella keskiarvo on n 6n arvosana lukumäärä summa 10 n 10n 9 n 18n 8 3n 4n summa 6n n 8,7. Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä.9.013

4 Tehtävä 1 a) Kun a = 19, niin T = klg cm. Kun a = 3, niin T = 00 + klg cm. Kun a = 40, niin T = 17 + klg cm. b) Yhtälöstä a lg a 17 + k lg = 33 saadaan a b = 0,88 =b = 10 a = 10 b 67,93. k Tulos 17 cm olisi hypättävä 68-vuotiaana. Tehtävä 13 Tehtävän tiedoista saadaan taulukko määrä/kpl yhteisarvoarvo/ yhteispaino/g kultarahoja k k 0k hopearahoja h 0h 10h yhteensä k + h k + 0h 0k + 10h k + h 60 Rajoitusehdot ovat 0k + 10h 1000 k 0, h 0. Reunasuorat h= 60 k ja h= 100 k leikkaavat, kun 60 k = 100 k k =40, jolloin h = 0. Kulmapisteet ovat (0,0), (0,60), (40,0) ja (0,0). Pussillisen arvo on Akh (, ) = k + 0 h. Koska A (0,60) = 0 60 = 100, A (40,0) = = 1400 ja A (0,0) = 0 = 10, niin kannattaa kerätä 40 kulta- ja 0 hopearahaa. Tehtävä 14 a) Sijoituksen arvo euroissa on y= 1,0x+ 1,0(1000 x) = 0,0x , kun 0 x b) Kuvaaja on laskevan suoran osa välillä 0 x Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä.9.013

5 Tehtävä 1 a) Koska a = = 9 ja b = 1+ 4=, niin a + b = = 8. b) Koska a + b = i + 3 j, niin niin a b = = 18. Siis + = 1+ 9 = 10. a b Koska a b = i + j + 4 k, a + b + a b =8. Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä.9.013