Laudatur 9. Trigonometriset funktiot ja lukujonot MAA 9. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto

Transkriptio

1 Laudatur 9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot MAA 9 Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava

2 SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...9 Otava asiakaspalvelu Puh Tilaukset Kirjavälitys Oy Puh Faksi kvtilaus@kirjavalitys.fi. paios 008 Tarmo Hautajärvi, Jukka Otteli, Leea Walli-Jaakkola ja Kustausosakeyhtiö Otava Toimitus: Mare Herlevi Taitto: Jukka Otteli Piirrokset: Eeva Lehtoe Kopioitiehdot Tämä teos o opettaja opas. Teos o suojattu tekijäoikeuslailla (0/6). Teokse valokopioimie o kielletty ellei valokopioitii ole hakittu lupaa. Tarkista oko oppilaitoksellae voimassaoleva valokopioitilupa. Lisätietoja luvista ja iide sisällöstä ataa Kopiosto ry Sidota: KEURUSKOPIO Paiopaikka: Otava Kirjapaio Oy, Keuruu 008 ISBN

3 RATKAISUT KIRJAN TEHTÄVIIN Testaa lähtötaitosi. taα = a = a Vastaus:., 0 si,5 = a asi,5 =,0, 0 a = si,5

4 Kolmio ala,0 A= ah =, 0, 0 si,5 Vastaus:,0 cm. Sivut -, ja +, joista pisi eli hypoteuusa o + ( ) + = ( + ) + + = + + = 0 ( ) = 0 = 0 tai = 0 ei käy, > 0 = Jote lyhi sivu o = = Vastaus:. alkuperäie hita a keskimääräie ousukerroi q aq =,5a q =,5 q =,5 q =, ,00...% 00%,0% Vastaus:,0 % 5. Hypoteuusa a o pisi sivu, jote Kolmio ala A= ah 7,5 = a,0 5,0 = a a = 5 Vastaus: Hypoteuusa pituus o 5,0 cm.

5 6. f ( x) = l x gx ( ) = x + 8 hx ( ) = ( f g)( x) = l x + 8 x ( x + 8) '( ) x h x = = = x + 8 x + 8 x + 8 h '() = = x x + 8 Vastaus: ,6,5,6,9,x,8 Jos jooa lukee oikealta vasemmalle, saadaa joo 8, x, 9, 6, 5,6,9 jolloi joossa ovat lukuje 9, 8,7,6,5,, eliöt, jote x o luvu 8 eliö 6 kirjoitettua oikealta vasemmalle eli 6. Vastaus: ,,, 5 x Joo lukuje osoittajat kasvavat kahdella ja imittäjät kolmella, jote x = 8. Vastaus: 8 9. kuukaude korko o r = 0, = 99 koko vuode korosta. Vastaus: siα = 0,76 α = 9, tai α = 80 9, =70,00... ei käy, 90 < α < 80 Kulma α vieruskulma 80 α = 80 70, Vastaus: 0 5

6 . Suuattu kulma. a) Kuljettaessa itää kompassisuuta o 90. b) Kuljettaessa luoteesee kompassisuuta o = 5 c) Etäisyys suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraa lauseella x = x = 00, x > 0 x 6 Kulma α 0 taα = 50 α 65,6 Suora kulkusuuta ,6 = 5,6 d) 6

7 Kulma B = 5 Kosiilauseella kolmiosta ABC x = cos5 x = cos5, x > 0 x = cos5 x Siilauseella kolmiosta ABC 0,9... = siα si5 0si5 siα =,9... α Suora kulkusuuta 00 = 68 Vastaus: a) 90 b) 5 c) Jai o 6 metri etäisyydellä lähtöpisteestä. Suora kulkusuuta olisi ollut 5,6. d) Jai o metri etäisyydellä lähtöpisteestä. Suora kulkusuuta olisi ollut 68.. Etäisyys lähtöpisteestä x = x = 0 000, x > 0 x 58 Kulma α 500 taα = 00 α 59 Suora kulkusuuta = 56 Vastaus: Matti o 58 metri etäisyydellä lähtöpisteestä. Suora kulkusuuta olisi ollut 56.. a) Suora kulmakerroi k = Suora ja x-akseli leikkauskulma o suutakulma itseisarvo ta α = k k = ta α = α = 5 7

8 b) Suora kulmakerroi k = Suora ja x-akseli leikkauskulma o suutakulma itseisarvo ta α = k k = ta α = α 7,6 c) Suora kulmakerroi k = 5 Suora ja x-akseli leikkauskulma o suutakulma itseisarvo ta α = k k = 5 ta α = 5 α 78,7 Vastaus: Suora ja x-akseli leikkauskulma o a) 5 b) 7,6 c) 78,7.. Suora kulmakerroi o a) b) c). Määritä suora suutakulma? a) Suora kulmakerroi k = Suora suutakulma ta α = k k = ta α = α 6,6 b) Suora kulmakerroi k = Suora suutakulma ta α = k k = ta α = α 76,0 c) Suora kulmakerroi k = Suora suutakulma ta α = k k = ta α = α 6,9 Vastaus: Suora suutakulma o a) 6,6 b) 76,0 c) 6,9. 5. Kulma o yksikköympyrässä. a) Kulma 80 Loppukylki kiertää puoli kierrosta vastapäivää, jote loppukylki sijaitsee egatiivisella x- akselilla. b) Kulma 60 8

9 Loppukylki kiertää yhde kierrokse vastapäivää, jote loppukylki sijaitsee positiivisella x-akselilla. c) Kulma 50 = Loppukylki kiertää puolitoista kierrosta vastapäivää, jote loppukylki sijaitsee egatiivisella x-akselilla. d) Kulma 60 = Loppukylki kiertää yhde ja kolme eljäes kierrosta vastapäivää, jote loppukylki sijaitsee egatiivisella y-akselilla. Vastaus: Loppukylki sijaitsee a) egatiivisella x-akselilla b) positiivisella x-akselilla c) egatiivisella x-akselilla d) egatiivisella y-akselilla. 6. Kulma o yksikköympyrässä. a) Kulma 90 Loppukylki kiertää eljäeskierrokse myötäpäivää, jote loppukylki sijaitsee egatiivisella y-akselilla. b) Kulma 70 Loppukylki kiertää kolme eljäes kierrosta myötäpäivää, jote loppukylki sijaitsee positiivisella y-akselilla. c) Kulma 50 = Loppukylki kiertää puolitoista kierrosta myötäpäivää, jote loppukylki sijaitsee egatiivisella x-akselilla. d) Kulma 60 = Loppukylki kiertää yhde ja kolme eljäes kierrosta myötäpäivää, jote loppukylki sijaitsee positiivisella y-akselilla. Vastaus: Loppukylki sijaitsee a) egatiivisella y-akselilla b) positiivisella y-akselilla c) egatiivisella x-akselilla d) positiivisella y-akselilla. 7. Muutetaa kulma yksikkö asteista radiaaeiksi. a) rad = 80 :8 0 = 8 b) rad = 80 :6 0 = 6 c) rad = 80 :80 = = 7 8 d) rad = 80 :80 =

10 50 = 5 e) rad = 80 :80 = = 6 5 Vastaus: Kulma radiaaeia o a) 8 b) 6 c) 7 8 d) 5 e) Muutetaa kulma yksikkö asteista radiaaeiksi. a) rad = 80 :( 9) 0 = 9 b) rad = 80 :80 = ( 0) 80 0 = 9 c) rad = 80 :80 = ( 5) 80 5 = d) rad = 80 ( ) 60 = e) rad = 80 ( ) 70 = Vastaus: Kulma radiaaeia o a) b) c) Muutetaa kulma yksikkö radiaaeista asteiksi. a) rad = 80 = 60 b) rad = 80 = 50 c) rad = 80 = 70 d) rad = = 900 d) e). Vastaus: Kulma asteia o a) 60 b) 50 c) 70 d)

11 0. Muutetaa kulma yksikkö radiaaeista asteiksi. a) rad = 80 : = 90 b) rad = 80 : = 60 c) rad = 80 :6 = 0 6 d) rad = 80 :5 = 5 Vastaus: Kulma asteia o a) 90 b) 60 c) 0 d)..muutetaa kulma yksikkö radiaaeista asteiksi. a) rad = 80 = 70 b) rad = 80 = 5 5 c) rad = 80 5 = 50 7 d) rad = 80 7 = 0 Vastaus: Kulma asteia o a) 70 b) 5 c) 50 d) 0.

12 . Muutetaa kulma yksikkö radiaaeista asteiksi. a) rad = 80 : 80 = 50 = 7 b) rad = 80 : 80 = 60 = 688 c) rad = 80 : 80 = ( ) 70 = 9 d) rad = 80 : 80 = ( 5) 00 5 = Vastaus: Kulma asteia o a) 7 b) 688 c) 9 d) Kulma kärki sijaitsee origossa ja alkukylki positiivisella x-akselilla. a) Loppukylki positiivisella y-akselilla, jote yksi kulma o 90 =. Tämä jälkee kulmat toistuvat 60 = : välei Kaikki kulmat asteia , Radiaaeia +, b) Loppukylki positiivisella x-akselilla, jote yksi kulma o 0 = 0. Tämä jälkee kulmat toistuvat 60 = : välei Kaikki kulmat asteia = 60, Radiaaeia 0+ =, Vastaus: Kaikki kulmat saadaa a) asteia , ja radiaaeia +, b) asteia 60, ja radiaaeia,

13 . a) Pyörimisopeus rpm Pyörimiskulma 5 sekuissa = rad rad b) Pyörimisopeus rpm = : s = s s Vastaus: a) Kulma o b) Pyörimisopeus o 88 rad/s. 5. a) Pyörimisopeus 7 00 rpm Pyörimiskulma 6 sekuissa = b) Pyörimisopeus 7 00 rpm = 700 : s = 0 rad 75 rad 60 s s Vastaus: a) Kulma o b) Pyörimisopeus o 75 rad/s. 6. Pyörimisopeus rpm = 5000 : s = 500 rad 57 rad 60 s s Vastaus: Pyörimisopeus o 57 rad/s. 7. Polkupyörä opeus km/h km Kuljettu matka miuutissa h = 0,7 km = 700m h 60 Rekaa kehä p = d = 8 = 8 0,05 m = 0,7 m 700 Kierroksia miuutissa 0, Kierroksia sekuissa :60= = 0, 7 0, 7 60, rad rad Rekaa pyörimisopeus : s, 67 =,6 s s Vastaus: Regas pyörii kierrosta miuutissa. Rekaa pyörimisopeus o rad/s. 8. Auto opeus 00 km/h km 50 Kuljettu matka sekuissa 00 h = km = m h Rekaa kehä p = d = = 0,05 m = 0,0 m

14 50 50 Kierroksia sekuissa 9 = 0, 0, rad Rekaa pyörimisopeus : s 68,978 =,978 s s Vastaus: Rekaa pyörimisopeus o 68 rad/s. 9. Kulma o yksikköympyrässä. a) Kulma 5 = 5 Loppukylki kiertää vastapäivää 5, jote loppukylki sijaitsee pisteessä,. b) Kulma = 5 Loppukylki kiertää myötäpäivää 5, jote loppukylki sijaitsee pisteessä,. a) Kulma 55 = 75 = Loppukylki kiertää vastapäivää, jote loppukylki sijaitsee pisteessä,. Vastaus: Loppukylki sijaitsee pisteessä a),,. b), c) 0. Suora yhtälö o x + y = 5. Mikä o suora suutakulma. Suora x + y = 5 y = x + 5 : 5 y = x+ Suora kulmakerroi k = Suora suutakulma ta α = k k = ta α = α,7 Vastaus: Suora suutakulma o,7.

15 . Suora : y = x + Suora kulmakerroi k = Suora suutakulma ta α = k k = ta α = α = 5 Suora : y = x Suora kulmakerroi k = Suora suutakulma ta α = k k = ta α = α = 7,6 Leikkauskulma α = α α = 7,6 5 = 6,6 Vastaus: Suorat leikkaavat toisesa 6,6 astee kulmassa.. Takapyörä halkaisija x (cm) Etupyörä halkaisija y (cm) Halkaisijoide erotus x y = 8 Kuljettu matka sama 8 x = y Saadaa yhtälöpari x y = 8 8 x = y Ratkaistaa ylemmästä yhtälöstä x = 8 + y ja sijoitetaa se alempaa yhtälöö. 8 (8 + y) = y : y = : y = 8 Muuttuja x = 8 + y = = 66 Vastaus: Takapyörä halkaisija o 66 cm ja etupyörä halkaisija 8 cm.. Etupyörä ympärys o Takapyörä ympärys o m ja se pyörähtää matkalla x kertaa. 5 6 m ja se pyörähtää matkalla y kertaa. Lyhi matka, jolla kumpiki pyörä pyörähtää kokoaise luvu kierroksia 5 x = y 6 x = y 6 6 x = y Jotta x olisi kokoaisluku y: pitää olla, jolloi x = 6. Kuljettu matka 6 m = 6,5 m Vastaus: Lyhi matkao 6,5 m, ja etupyörä pyörähtää 6 ja takapyörä kertaa. 5

16 . Taulukoidaa tiedot. Halkaisija (cm) Kierrosopeus (rpm) x 0 Vauhtipyörä halkaisija ja kierrosopeus ovat käätäe verraolliset = x x = 0 x = 0 Vastaus: Toise pyörä halkaisija o 0 cm. 5. Pyörie halkaisija o 57 cm Kuljettu matka yhdellä kierroksella d = 57 cm = 0,57 m km 000 m 5000 m Auto opeus 00 = 00 = h 60 mi mi 5000 m 5000 Pyörimisopeus miuutissa mi = rpm 9 rpm 0,57 m,7 Vastaus: Pyörät pyörivä 9 kierrosta miuutissa km: matkalla auto regas pyörähtää 07, kierrosta. Mätä kulkee Mää kulkema matka o Vastaus: 8,8 km 0, m, ku regas pyörähtää kerra , , 780 m m. 7. Muutetaa kulma yksikkö asteista radiaaeiksi. a) rad = 80 :80 = = 7 b) rad = 80 :80 = = 7 6

17 c) rad = 80 :80 = ( 0) = Vastaus: Kulma radiaaeia o a) 7 b) 7 c) 7. Trigoometriset fuktiot 8. a) Suorakulmaisesta kolmiosta ta 5 = y y = Leikkauspiste o (,) 7

18 b) Suorakulmaisesta kolmiosta ta 60 = y y = Leikkauspiste o (, ) Vastaus: Leikkauspiste o a) (,) b) (, ). 9. Sii ja kosii välie yhteys si α + cos α = cos α = 5 si α + = 5 6 si α = 5 siα =± 0 < α <90 5 siα = 5 Muut kysytyt arvot siα 5 5 ta α = = = : = = cosα

19 cotα = = = : = = taα Vastaus: si α = 5, ta α = ja cot α = 0. Sii ja kosii välie yhteys si α + cos α = si α = 5 + cos α = 5 cos α = 5 cosα =± 70 < α < cosα = 5 Muut kysytyt arvot siα ) 6 ta α = = = : = = = cosα ) 6 cotα = = = : = = 6 taα 6 6 Vastaus: cos α = 6 5, ta α = 6 ja cot α = 6. ta α = 5 Sivu x x = + 5 x = 9

20 Tällöi 5 siα = ja cosα = koska kulma α loppukylki kuuluu esimmäisee eljäeksee. Kysytyt arvot 5 0 si α = siαcosα = = cos α = cos α si α = = = taα ta α = = = : = = ta α Vastaus: si α = 0 9, cos α = ta α = ja ta α = 0 9 Sivu x x = + x = 5 Tällöi siα = ja cosα =, koska kulma 70 < α < Kysytyt arvot si α = siαcosα = = cos α = cos α si α = = =

21 taα ( ) ta α = = = = ta α ( ) Vastaus: si α =, cos α = 5 ja ta α = 5. Sijoitetaa suorakulmaisee kolmioo kulma α vastaise kateeti pituudeksi si α ja hypoteuusa pituudeksi. Sivu x x + si α = x = si α x = si α, koska kulma α o terävä. si α a) cos α = = si α b) ( ) cos cos si si si si si si α = α α = α α = α α = α siα siα c) ta α = = cosα si α siα taα si si ) si d) ta si α α α α α = = = : ta α siα si α si α si α = siα si α si α siα si α : = si α si α si α si α si α siα si α = si α Vastaus: a) cos α = si α b) cos α = si α c) ta α = siα si α siα si α d) ta α = si α

22 . Sijoitetaa suorakulmaisee kolmioo kulma α viereise kateeti pituudeksi cos α ja hypoteuusa pituudeksi. Sivu x x + cos α = x = cos α x = cos α, koska kulma α o terävä. cos α a) si α = = cos α si α = cos α b) si α = si α cos α = cos α cosα = cosα cos α c) si α = si α (cos α ) = cos α (cos α ) = (cos α ) siα cos α d) ta α = = cosα cosα cos α taα ta α = = cosα ta α cos α cosα cos α cos α ) cos α = : cosα cos α cos α cos α + cos α = : cosα cos α cos α cos α cosα cos α = = α α α cos cos cos cos α cot α = cos = = α α α α α ta cos cos cos cos cos α α

23 Vastaus: a) si α = cos α b) si α = cosα cos α c) si α = (cos α ) cos α d) cot α = cos α cosα cos α 5. a) si α cos α = (si α + cos α) = = 0 b) si α cos α = (cos α si α) = cos α c) (si α + cos α) = si α si α cos α + cos α = si α Vastaus: a) 0 b) cos α c) si α 6. Osoitetaa, että si α cos α = cos α. si α cos α = (si α + cos α)( si α cos α) si α + cos α = = si α cos α = (cos α si α) = cos α 7. Osoitetaa, että cos α si α = si α. cos α si α = (cos α + si α)( cos α si α) si α + cos α = = cos α si α si α + cos α = = si α si α = si α 8. Sieveetää lauseketta. si 6 α + cos 6 α = si α si α + cos α cos α si α + cos α = = si α( cos α) + cos α( si α) = si α si α cos α + cos α cos α si α = si α + cos α si α cos α cos α si α =si α si α + cos α cos α si α cos α (si α + cos α) = si α( cos α) + cos α ( si α) si α cos α = si α cos α si α + cos α cos α si α si α cos α = cos α si α si α = si αcos α = cos α = si α si α siα = cos α = cosα = + cosα = + cos α 8 8 Vastaus: Vakiot ovat A = 5 8 ja B = 8

24 9. a) Kulma 00 Kolmio sivuje suhteet saadaa muistikolmiosta ja merkit merkkikaavioista. si 00 < 0 ja cos 00 > 0 Trigoometriste fuktioide arvot si 00 = cos 00 = ta 00 cot 00 si 00 = = = cos 00 = = = ta 00 b) Kulma α = 5

25 Kolmio sivuje suhteet saadaa muistikolmiosta ja merkit merkkikaavioista. 5 5 si > 0 ja cos < 0 Trigoometriste fuktioide arvot 5 si = 5 cos = 5 si 5 ta = = = 5 cos 5 cot = = = 5 ta Vastaus: Katso tehtävä. 5

26 0. Sii ja kosii välie yhteys si α + cos α = si α = 5 + cos α = 5 6 cos α = 5 cosα =± 90 < x < 60 5 cosα = a) cos α = cos α si α = = = b) si α = si α cos α = = Vastaus: a) cos α = 7 5 b) si α = 5. a) Taulukkokirjasta si(x + y) = si x cos y + cos x si y si(α + 60 ) = si α cos 60 + cos α si 60 = si α + cos α = si α + cos α b) Taulukkokirjasta cos(x y) = cos x cos y + si x si y cos(α 60 ) = cos α cos 60 + si α si 60 = cos α + si α = si α + cos α Vastaus: a) si(α + 60 ) = si α + cos α b) cos(α 60 ) = si α + cos α. Taulukkokirjasta si(x + y) = si x cos y + cos x si y si 75 = si(0 + 5 ) = si 0 cos 5 + cos 0 si 5 ) + 6+ = + = = Taulukkokirjasta cos(x + y) = cos x cos y si x si y cos 75 = cos(0 + 5 ) = cos 0 cos 5 si 0 si 5 ) 6 = = = 6

27 Vastaus: si 75 = 6+, cos 75 = 6. Sii ja kosii välie yhteys si x + cos x = si x = + cos x = 5 cos x = 69 5 cos x =± < x < 5 cos x = Vastaus: cos x = 5. Sii ja kosii välie yhteys Vastaus: cos x = si x + cos x = si x = + cos x = 5 cos x = cos x =± < x < 5 6 cos x = 5 cos x 0, ,

28 5. Sii ja kosii välie yhteys si x + cos 5 x = cos x = 5 si x + = si x = 69 si x =± < x < si x = 5 0 Kysytty arvo si x = si x cos x = = 69 0 Vastaus: si x = Sii ja kosii välie yhteys si x + cos 7 x = si x = cos x = cos x = 65 cos x =± < x < 5 cos x = 5 7 si x 7 Kysytty arvo ta x = 5 cos x = = 5 7 Vastaus: ta x = 7. Kolmio kulmat x, x ja x Kolmio kulmie summa o 80. x + x + x = 80 6x = 80 :6 x = 0 Kolmio kulmat x = 0 x = 0 = 60 x = 0 = 90 8

29 Lausekkee arvo (si x+ si x+ si x) = (si 0 + si 60 + si 90 ) = = = = = Vastaus: Lausekkee arvo o Sii ja kosii välie yhteys si x + cos 8 x = si x = cos x = 7 5 cos x = 89 5 cos x =± < x < 7 5 cos x = 7. Kysytty arvo si x = si x cos x = Vastaus: si x = = ta α =,5 Sivu x Tällöi x =,5 + x = 9

30 siα = = ja 80 < α < 70. cosα = =, koska kulma 80 < α < 60 eli Kysytyt arvot si α = siαcosα = = 9 5 cos α = cos α si α = = = Vastaus: si α = ja cos α = 5. Trigoometriste fuktioide kuvaajat 50. Fuktio f(x) = si x kuvaaja, ku 0 x 60 0

31 5. Fuktioide f(x) = si x ja g(x) = si x kuvaajat 5. Fuktioide f(x) = cos x ja g(x) = cos x kuvaajat. 5. Fuktioide f(x) = ta x ja g(x) = ta x kuvaajat.

32 5. a) Fuktio f(x) = si 5x Fuktio amplitudi A = Perusjakso 5x = :5 x = 5 Perusjakso o. 5 b) Fuktio g(x) = 5cos x Fuktio amplitudi A = 5 x Perusjakso = x = 6 Perusjakso o 6. x c) Fuktio h(x) = ta + x Perusjakso = x = Perusjakso o. Ei amplitudia, koska kyseessä o tagetti. Vastaus: a) Amplitudi o A = ja perusjakso. b) Amplitudi o A = 5ja perusjakso 6. 5 c) Ei amplitudia ja perusjakso o. 55. a) Fuktio f(x) = 5si(x +) Fuktio amplitudi A = 5 Perusjakso x = : x = 6 Perusjakso o 6. b) Fuktio g(x) = cos( x) Fuktio amplitudi A = Perusjakso o. c) Fuktio h(x) = ta (7x 5) Ei amplitudia Perusjakso 7x = :7 x = 7 Perusjakso o 7.

33 Vastaus: a) Amplitudi o A = 5 ja perusjakso 6. b) Amplitudi o A = ja perusjakso. c) Ei amplitudia ja perusjakso a) Fuktio f(x) = cos x cos x Fuktio arvojoukko o y. b) Fuktio g(x) = cos x cos x cos x 7 cos x Fuktio arvojoukko o 7 y. c) Fuktio h(x) = cos x 0 cos x 0 cos x cos x Fuktio arvojoukko o y. Vastaus: Fuktio arvojoukko o a) y b) 7 y c) y. 57. a) Fuktio f(x) = si x si x ( ) si x si x Fuktio arvojoukko o y. b) Fuktio g(x) = six + 5 si x si x +5 si x six + 5 Fuktio arvojoukko o y. 7 6 c) Fuktio h(x) = cos x + 0 cos x 0 cos x + cos x +

34 6 cos x cos x + Fuktio arvojoukko o y 6. Vastaus: Fuktio arvojoukko o a) y b) y c) y a) Fuktio f(x) = si x cos x + cos x = si x + cos x cos x = cos x = cos x cos x ( ) cos x cos x Fuktio arvojoukko o y. b) Fuktio g(x) = si xcos x 5 = si xcos x 5 = si x 5 si x si x 5 7 si x 5 Fuktio arvojoukko o 7 y. c) Fuktio h(x) = si x + 0 si x 0 si x + si x si x + 6 si x + Fuktio arvojoukko o y 6. Vastaus: Fuktio arvojoukko o a) y b) 7 y c) y Oskari jalkoje ympyräliikettä kuvaavat koordiaatit x = 0cos(,5 t) ja y = 0si(,5 t). Juuditi jalkoje ympyräliikettä kuvaavat koordiaatit x = 0 cos( t) ja y = 0si( t), missä t o aika sekuteia

35 Kummaki ympyräliikkee x- ja y-koordiaati piei arvo o -0 ja suuri arvo o 0, jote ympyräliikkee säde o 0 cm ja tämä o pedaali pituus. Koska Juuditi jalkoje liikefuktiossa muuttuja kerroi o suurempi ( >,5 ), o fuktio perusjakso pituus lyhyempi ja site Juudit polkee tiuhempaa tahtii. Vastaus: Pedaali varsi o 0 cm pitkä. Juudit polkee tiuhempaa tahtii. 60. Vuorovede korkeutta kuvaava fuktio f(x) = 5,5si x tuteia ja fuktio arvo vede korkeus. a) Vede korkeude suuri vaihtelu A = 5,5 m = m b) Jakso pituus x = x = Jakso pituus o tutia. + 7, missä x o aika 5

36 c) Piirretää fuktio kuvaaja. Vastaus: a) Vede korkeude suuri vaihtelu o m. b) Jakso pituus o tutia. 6. 6

37 Alpo sydäme yhde lyöi jakso aika o 8 t = 8 t = 6 :(8 ) t = Lyötitiheys miuutissa 60 = 60 = 80 Vastaus: Lyötitiheys miuutissa o a) Korkei lämpötila o 6,5 C heiäkuu puolivälissä ja matali 7,5 C helmikuu puolivälissä. b) Vuode päiväkohtaiste keskilämpötiloje vaihtelu o siiaallo muotoista, jote fuktio o muotoa f(x) = Asi (bx + c) + D 6, 5 C ( 7, 5 C) Amplitudi A = = C Kuvaaja kulkee pistee (7,5; 6,5) kautta, jote f(7,5) = 6,5. Asi (bx + c) + D = 6,5 A =, si(bx + c) = + D = 6,5 D =,5 Katsottaessa korkeudelta y =,5 C, huomataa,että siifuktio o siirtyyt oikealle,5 kuukaude verra, jote c =,5. 7

38 Jakso bx = x = b = :5 b = 6 Päivälämpötiloja kuvaava fuktio f( x) = si[ ( x,5)] +,5 6 Vastaus: a) Korkei lämpötila o 6,5 C heiäkuu puolivälissä ja matali 7,5 C helmikuu puolivälissä. b) Fuktio lauseke o f( x) = si[ ( x,5)] +, Maailmapyörä säde o 5 m = 67,5 m. 8

39 Yksikköympyrä kehäpistee y-koordiaatti o keskuskulma x sii eli y = si x. Maailmapyörä säde o 67,5, jote maailmapyörä kehäpistee y-koordiaatti o y = 67,5si x. Asetetaa pyörä keskipiste origoo ja lähtöpiste pisteesee (67,5;0) sekä pyörimissuuta vastapäivää kute yksikköympyrässä. Maailmapyörä käätyy yhdessä miuutissa 60 =. 0 Yhde miuuti kuluttua y = 67,5si 7 Kahde miuuti kuluttua y = 67,5si( ) t miuuti kuluttua y = 67,5si(t ) Korkeimmillaa matkustaja o, ku pyörä o pyörähtäyt kierrosta eli 0 7,5 = miuuti kuluttua. Korkeimma kohda y-koordiaatti o y = 67,5. Matalimmillaa matkustaja o kierrokse kuluttua, jolloi aikaa o kuluut 0 mi =,5 mi. Matalimma kohda y-koordiaatti o y = 67,5. Taulukoidaa matkustaja paikka miuuti välei ja piirretää kuvaaja. Aika t (mi) y = 67,5si(t ) 67,5si( ) ,5 67,

40 Piirretää kuvaaja a) 5 miuuti kuluttua matkustaja o pisteessä (5,58). Koska x akseli o 67,5 metri korkeudella maapiasta, o matkustaja korkeus 67,5 m + 58 m = 5,5 m. b) Koska x-akseli o 67,5 metri korkeudella maapiasta, o 5 metri korkeudella oleva pistee y-koordiaatti 5 67,5 =,5. Suora y =,5 leikkaa kuvaaja kohdissa x = 6,5 ja x = 8,5. Matkustaja o 5 metri korkeudella, ku aikaa o kuluut 6,5 miuuttia tai 8,5 miuuttia. Vastaus: a) 7,5 metri korkeudella, b) ku aikaa o kuluut 6,5 miuuttia tai 8,5 miuuttia. 6. Käpytika leto o siiaallo muotoista, jote fuktio o muotoa f(x) = Asi (bx) m Amplitudi A = = m Jakso bx = x = 5 5b = :5 b = 5 0

41 Vastaus: Letoa kuvaava fuktio o x f( x) = si a) Fuktio f(x) = cos x si x + = cos x + cos x + cos x + Fuktio piei arvo o. Fuktio suuri arvo o. b) Fuktio f( x) = si x + 5 si x +5 si x six + 5 si x + 5 Fuktio piei arvo o. Fuktio suuri arvo o. Vastaus: a) Fuktio piei arvo o ja suuri. b) Fuktio piei arvo o ja suuri.. Trigoometriset yhtälöt 66. Ratkaistaa graafisesti yhtälöt. a) si x = 0,7 x tai x ,

42 b) cos x = 0, x ±0 + 60, c) ta x =,5 x , Vastaus: a) tai b) ± c) ,

43 67. Ratkaistaa graafisesti yhtälöt. a) si x = 0, x tai x , b) cos x = 0,8 x ±0 + 0,

44 c) ta x =. x , Vastaus: a) tai b) ±0 + 0 c) , 68. Ratkaistaa yhtälöt. a) si x = 0,8 si x si 56 x = tai x = x = + 60, b) cos x = 0,5 cos x cos 99 x = ± , c) ta x =,5 ta x ta 5 x = , Vastaus: a) x = tai x = + 60 b) x = ± c) x = ,

45 69. Ratkaistaa yhtälöt. a) si x = 0,5 si x si,5 x =, : tai x = 80, x 7, + 80 x = 65, : x 8,8 + 80, b) si x = 0,6 si x si ( 9,8 ) x = 9, : tai x = 80 ( 9,8 ) + 60 x, + 0 x = 9, : x 7, + 0, c) si (x 5 ) = 0,6 si (x 5 ) si, x 5 =, + 60 tai x 5 = 80, + 60 x = 66, + 60 : x = 0, : x =, + 80 x = , Vastaus: a) x = 7, + 80 tai x = 8, b) x =, + 0 tai x = 7, + 0 c) x =, + 80 tai x = , 70. Ratkaistaa yhtälöt a) cos x = 0,86 cos x cos 0,7 x = ±0, : x ±0, + 0, b) cos x = 0,8 cos x cos 8,7 x = ±8, x = ±7, + 70, c) cos (x + 60 ) = 0,7 cos (x + 60 ) cos 7, x + 60 = ±7, + 60 x + 60 = 7, + 60 tai x + 60 = 7, + 60 x =, + 60 : x =, + 60 : x,8 + 0 x,8 + 0, Vastaus: a) x = ±0, + 0 b) x = ±7, + 70 c) x =,8 + 0 tai x =,8 + 0, 5

46 7. Ratkaistaa yhtälöt. a) ta 6x =,5 ta 6x ta 55, 6x = 55, + 80 :6 x 9, + 0, b) ta x =,09 ta x ta ( 7,5 ) x = 7, : x 5,8 + 60, c) ta ( x + 0 ) = 0,8 ta ( x + 0 ) ta 5,6 x + 0 = 5, x =, x 8,7 + 60, Vastaus: a) x = 9, + 0 b) x = 5, c) x = 8,7 + 60, 7. Ratkaistaa yhtälöt. a) si x = si x x = x + tai x = x + x = x = + : x = +, b) si x = si (x ) x = x + tai x = (x ) + 0 = + tai x = (x ) + Ei ratkaisua x = + : x = +, Vastaus: a) x = tai x = + b) x = +, 7. Ratkaistaa yhtälöt. a) ta x = ta x x + ja x + eli x + 6 x = x + x = : x =, Juurie pitää olla x +, jote aioastaa juuret x = käyvät 6

47 b) cot x = x eli x = ta x ta x = x = + 6 : x = +, Vastaus: a) x = b) x = +, 7. Ratkaistaa yhtälö. si (x + ) = si x x + = x + tai x + = x + x = + x = + : x = +, 6 Yhdistämällä vastaukset saadaa x = +, 6 Vastaus: x = +, 6 7

48 75. Ratkaistaa yhtälöt a) si x = cos x si x = cos( x) cos( x) = cos x x = ±x + x = x + tai x = x + 5x = + :( 5) x = +, x = x = 0 5 +, 0 5 b) si x = si x si x = si( x) si x = si ( x) x = x + tai x = ( x) + 5x = :5 x = + :( ) x = x = 5 x = +, Vastaus: a) x = + tai x = b) x = tai x = +, Ratkaistaa yhtälöt. a) si x = cos x cos x = cos x si x = cos x 8

49 x =± x + x = x+ tai x = x + x = : x = + x+ x = 6x = + :( 6) x = 6 x = +, 6 b) cos x = si 5x si 5x = si( 5x) cos x = si ( 5x) si( 5x) = cos + 5x cos x = cos + 5x x =± + 5x + x = + 5x+ tai x = + 5x + x = + :( ) x = 5x+ x = 9x = + :9 x = + x = +, 8 9 Vastaus: a) x = tai x = + b) x = + tai x = 6 +, Ratkaistaa yhtälöt. a) si x = si x si x = si x cos x si x cos x = si x si x cos x si x = 0 si x (cos x ) = 0 si x = 0 : tai cos x = 0 si x = 0 cos x = si x = si 0 cos x = cos 0 x = 0 + tai x = 0 + x = ±0 + x = x = 9

50 b) si x = cos x :cos x ta x = ta x = ta x = + : x = +, 8 Vastaus: a) x = b) +, Ratkaistaa yhtälöt. a) si x + cos x = 0 si x = si x cos x si x cos x + cos x = 0 cos x(si x + ) = 0 cos x = 0 tai si x + = 0 cos x = cos si x = x = ± + si x = si x = + x = + tai x = + + x = + missä. b) ta x ta x = 0 ta x = ta x x = x+ x = + : x = +, Vastaus: a) x = + tai x = + tai x = + b) x = +, 50

51 79. Ratkaistaa yhtälöt. a) cos x = cos x x = ±x + x = x + tai x = x + x = x = : x =, Yhdistämällä vastaukset saadaa x =, Koska x [ 0, ], aioastaa ratkaisut x = 0, x =, x = ja x = käyvät. b) si x = cos x : cos x ta x = ta x = ta x = + Koska x [ 0, ], aioastaa ratkaisut x = ja x = käyvät Vastaus: a) x = 0, x =, x = ja x = b) x = tai x = 5

52 80. Ratkaistaa yhtälö. si x = cos x+ si x = cos x cos x = cos x+ x =± x+ + x = x+ + tai x = x+ + x = :( ) x = x + x = x = + :( ) x = x = +, Ratkaisut, jotka kuuluvat välille [0, ] x = : = : x = = Ei käy = 0: x = 0 = 0 = : x = = = : x = = : x = = : x = = = 8 = Ei käy x = + : = : x = = Ei käy = 0: x = + 0 = = : x = + = Ei käy Vastaus: x = 0, x =, x =, x = tai x = 5

53 8. Ratkaistaa yhtälö. cos x+ = cos x x+ = ± x + x+ = x + tai x+ = x + = + x+ = x+ + Ei ratkaisua x = + : x = + 8 Ratkaisut, jotka kuuluvat välille [0, ]. 0 x :, 8 8 Ratkaisut kuuluvat välille [0, ], ku 0. = : 7 x = + = 8 8 = : 5 x = + = 8 8 = : x = + = 8 8 = : x = + = 8 8 Vastaus: x = 7 5 tai x = tai x = tai x = Fuktio f(x) = cos (x + ) o jatkuva, jote se voi vaihtaa merkkisä aioastaa ollakohdissaa. Fuktio ollakohdat cos (x + ) = 0 : cos (x + ) = 0 cos (x + ) = cos x + = ± + 5

54 x + = + tai x + = + x = + x = +, Yhdistämällä yhtälöide vasemmat puolet saadaa x = + : x = +, 6 Koska fuktio f(x) = si (x + ) o jaksollie, perusjaksoa riittää tutkia väliä 0 x. Välille 0 x kuuluvat ollakohdat = 0: x = + 0 = 6 6 Ei käy = : x = + = 6 6 = : x = + = 6 = : 5 x = + = 6 6 Ei käy Merkkikaavio f(x) = cos (x + ) f = cos +, < 0 f = cos + = > f = cos + 0,707 < 0 f(x) > 0, ku + < x< +, missä 6 Vastaus: Fuktio f(x) = cos (x + ) saa positiivisia arvoja, ku + < x< +, missä. 6 5

55 8. Fuktio f( x) = 6, 55si[ ( x 8, 75)] +, 5 kuvaa päivä pituutta vuode aikaa 65 Helsigissä. Muuttuja x o vuorokaude järjestysumero ja fuktio arvo o tuteia. Vuode psii päivä o silloi, ku si[ ( 8,75)] 65 x =. Tällöi päivä pituus o 6,55 h +,5 h = 8,90 h Vuode lyhi päivä o silloi, ku si[ ( 8,75)] 65 x =. Tällöi päivä pituus o 6,55 h +,5 h = 5,80 h Päivä pituus tutia f( x) = 6,55si[ ( x 8,75)] +,5 = 65 6,55si[ ( x 8,75)] =,65 : 6,55 65 si[ ( x 8,75)] = 65 si[ ( x 8, 75)] si 0, ( x 8, 75) = 0, tai ( x 8, 75) = 0, x 8,75, x 8, 75 67, x = 96, x = 9, Päivä pituus Helsigissä o tutia vuode 97. ja 50. päivä. Vastaus: Vuode pisimmä päivä pituus o 8,90 h ja lyhimmä 5,80 h. Päivä pituus o tutia vuode 97. ja 50. päivä. 8. Siilauseella 55

56 a c = a = 8, c = 0, γ = 5 siα si γ 8 0 = siα si 5 0siα = 8si 5 :0 siα = 0,8si 5 siα = 0,58... siα si 7, α = 7, + 60 tai α = 80 7, + 60 α = 5, Koska kolmio kulmat ovat välillä [0, 80 ], ii kulma α = 7, tai α = 5,7. Kolmio kolmas kulma β Jos α = 7,, ii β = , = 7,7 Jos α = 5,7, ii β = ,7 = 7,7 Ei käy, koska β > 0. Vastaus: Kolmio muut kulmat ovat 7, ja 7, Siilauseella a c = a =, c = 8, γ = 0 siα siγ 8 = siα si 0 8siα = si 0 si 0 = 8siα = 6 :8 siα = siα si 8,6 α = 8, tai α = 80 8, α = 8, α =, + 60 Koska kolmio kulmat ovat välillä [0, 80 ], ii kulma α = 8,6 tai α =,. Kolmio kolmas kulma β Jos α = 8,6, ii β = ,6 = 0, 56

57 Jos α =,, ii β = 80 0, = 8,6 Vastaus: Kolmio muut kulmat ovat 8,6 ja 0, tai 8,6 ja,. 86. Siilauseella a b = β = α, a = b siα si β b b = siα si α : b si α = si α si α = si α cos α si α cos α si α = 0 si α( cosα ) = 0 siα = 0 tai cosα = 0 : siα = si 0 cosα = α = 80 cosα cos 8, Ei käy α = ±8, + 60, Koska kolmio kulmat ovat välillä [0, 80 ], ii kulma α = 8,. Vastaus: Kulma A o 8,. 57

58 87. Ratkaistaa yhtälö si x = si x = si 6 x = + : tai x = x = + x = : x = 5 +, 8 Ratkaisut, jotka kuuluvat välille [0, ] x = + : 8 = : x = = 8 8 Ei käy = 0: x = + 0 = 8 8 = : x = + = 8 8 = : 5 x = + = 8 8 Ei käy x = = : x = 5 = Ei käy = 0: x = = = : x = 5 + = = : x = 5 + = Ei käy 5 7 Vastaus: Välille [0, ] kuuluvat ratkaisut ovat,, ja Ratkaistaa yhtälöt. a) (ta x )( + cos x) = 0 ta x = 0 tai + cos x = 0 ta x = cos x = 5 ta x = tai ta x = cos x = cos 6 58

59 x = + x = + x = x = +, 5 ± + 6 b) 5 si x + = si x x+ = x+ tai x+ = x x = + : x = + ( ) 6 5 x = + x = +, 6 Vastaus: a) x = + tai x = x = 5 +, 6 5 ± + b) x = + tai Ratkaistaa yhtälöt. a) cot x = = ta x ta x = ta x = ta x = +, 59

60 b) ta x = cot x ta x = ta x x = ta ta x = tai ta x = ta x = ta tai ta x = ta( ) x = + x = + x = +, c) cot x = = ta x ta x = ta x = ta 6 x = + 6 x = + : x = +, 6 Vastaus: a) x = + b) x = + c) x = +, Ratkaistaa yhtälöt. a) si x = cot x cos x si x = si x si x si x = cos x si x = cos x x+ x = Sijoitetaa cos x = t cos cos 0 60

61 t + t = 0 ( ) ± t = + 5 t = 0, t =,680 Ei käy Sijoitetaa t = cos x + 5 cos x = cos x cos 0,9 x = ±0,9 +, b) cos x ta x = cos x = si x si x si x = cos x cosx si xcos x si x = 0 si x(si xcosx+ ) = 0 si xcosx = six si x = 0 tai si x+ = 0 si x = si 0 si x = x = si x = si x = + : x = +, c) si (x + 5 ) = si x x + 5 = x + 60 tai x + 5 = 80 x + 60 x = :( ) x = : x = x = 5 + 0, Yhdistämällä vastaukset saadaa x = 5 + 0, Vastaus: a) x = ±0,9 + b) x = tai x = + c) x = 5 + 0, 9. Ratkaistaa yhtälöt. a) si x = si x si x = si ( x) si x = si( x) x = x + tai x = + x + x = : x = +, x =, b) cos x = cos x cos x = cos ( x) 6

62 cos x = cos ( x) x = x + tai x = ( x)+ x = + : x = + : x = + x = Yhdistämällä ratkaisut saadaa x = +, Vastaus: a) x = + tai x = b) x = 9. Ratkaistaa yhtälöt. a) ta x = cos x si x = cos x : cos x cos x si = cos cos = si si x+ si x = 0 Sijoitetaa si x = t t + t = 0 ± ( ) t = + 5 t = = 5 t = Ei käy Sijoitetaa t = si x,, x x x x si x = si x = si 6 x = 6 + tai x = 6 + x = 5 +, 6 b) si x = cos x cos x = si x si x = ( si x) si x = si x+ si x x x+ = Sijoitetaa si x = t, t > 0 si 5si 0 6

63 5 + = 0 t t ± t = ( 5) ( 5) 5+ 9 t = = t = = 8 Sijoitetaa t = si x si x = si x = tai si x = si x = si si x = si ( ) x = + x = + x = +, si x = si x = si x = si 6 tai si x = si x = si ( 6 ) x = + tai x = + x = + tai x = x = + x = + x = + x = +,

64 Yhdistämällä vastaukset saadaa x = ± 6 +,. 5 Vastaus: a) x = + tai x = + b) x = + tai x = ± +, Ratkaistaa yhtälöt. a) 6si x 5cos x = 0 si x = cos x 6cos x 5cos x = 0 Sijoitetaa cos x = t, 6t 5t = 0 ± t = 6 (5) (5) 6() 5+ t = = 5 t = = Sijoitetaa t = cos x cos x = cos x = cos x = ± +, Ei käy b) si ( x) = cos x si( x) = si x si x = cos x si x = cos x cos x = cos x cos x = : cos x = Ei ratkaisua, koska cos x < Vastaus: a) x = ± + b) Ei ratkaisua 9. Jouse veymä fuktio f(x) = Asi(kx) Amplitudi A = 6,0 cm Jakso pituus,0 s kx = x = k = Fuktio f(x) = 6si(x) Veymä o,5 cm f(x) =,5 6si(x) =,5 :6 6

65 si(x) = 5 si(x) si 0,978 x = 0,978 + :() tai x = 0,978 + x 0,07 + x,78 + :() x 0, +, Vastaus: Fuktio o f(x) = 6si(x). Veymä o,5 cm ajahetkillä x = 0,07 + ja x = 0, +,. 95. Ratkaistaa yhtälöt. a) si(si x) = 0 si(si x) = si 0 si x = 0 + tai si x = 0 + Yhdistetää kulmat si x =, Jos 0, yhtälöllä ei ole ratkaisua. Jos = 0, ii si x = 0 si x = si 0 x = 0 + tai si x = 0 + x =, b) cos(cos x) = 0 cos(cos x) = cos cos x = ± + Ei ratkaisua, koska ± + > Vastaus: a) x =, b) Ei ratkaisua 96. Suurimma ja pieimmä kulma suhde o : Suurimma ja pieimmä sivu suhde :. 65

66 Siilauseella a b = β = α, a = b siα si β b b = siα si α : b si α = si α si α = si α cos α si α cos α si α = 0 si α( cosα ) = 0 siα = 0 tai cosα = 0 : siα = si 0 cosα = α = 80 cosα cos, Ei käy α = ±, + 60, Koska kolmio kulmat ovat välillä [0, 80 ], ii kulma α =,. Muut kulmat β = α =, = 8,8 Kolmas kulma 80, 8,8 = 55,8 Vastaus: Kulmat ovat,, 55,8 ja 8, Ratkaistaa täydellisesti yhtälö. si x = tg x cot x si x = ta x cot x si x) cos x) si x cos x si x = cos x si x si x cos x si x = si xcos x = si x si xcosx (cos x si x) si x = cos x si x = cos x si x cosx si x = si x si x = cos x si x = cos x cos x cos x = 0 Sijoitetaa cos x = t 66

67 t t = 0 ( ) ( ) ( ) ± t = t = = = +, Ei käy 8 t = = = 0, Sijoitetaa t = cos x cos x = cos x cos,998 x = ±,998 + : x = ±0,9989 +, Vastaus: x = ±0,9989 +, 98. h Kolmiosta AED saadaa siα = b h Kolmiosta ADF saadaa si(60 α) = b Sijoittamalla ylemmästä yhtälöstä h b alempaa saadaa si(60 α) = siα Taulukkokirjasta si(x y) = six cos y cos x si y 67

68 si 60 cosα cos60 siα = siα si 60 =, cos60 = cosα siα = siα 5 cosα = siα 5cosα taα = 5 taα ta9, α = 9, + Vastaus: kulma BAD o 9,. 99. Ratkaistaa yhtälöt. a) si x = si 5x x = 5x + tai x = 5x + x = :( ) 6x = + :6 x = x = +, 6 b) cos x = si 5x si 5x = cos 5x cos x = cos 5x x = 5x + tai x = 5 x + 6x = + :6 x = + 5 x + x = + x = + :( ) x = +, 8 Vastaus: a) x = tai x = + 6 b) x = + tai x = +, 8 68

69 5. Trigoometriste fuktioide derivaatat 00. a) D( si x+ cos x) = cos x+ ( si x) = si x cos x b) D( si x cos x) = cos x ( si x) = si x cos x Vastaus: a) six cosx b) si x cos x 0. a) D( ta x) = ( + ta x) = + ta x b) D( ta x+ cot x) = ( + ta x) cot x = ta x cot x Vastaus: a) + ta x b) ta x cot 0. a) D(si x si x) = cos xsi x+ si xcos x = si xcos x = si x b) D(si x cos x) = cos xcos x+ si x ( si x) = cos x si xcos x = cos x Vastaus: a) si x b) cos x x 0. a) si x D(si x ta x) = cos xta x+ si x( + ta x) = si+ si xta x si x b) D(cos x ta x) = D( cos x cos x Vastaus: a) si+ si x ta x b) cos x 0. a) b) ) = D(si x) = cosx + si x cos x cos x ( + si x) ( si x) si x+ cos x+ si x + si x D( ) = = = cos cos cos cos x x x x cos x si x si x (cos x ) cos (si x+ cos x) + cos x + cos x D( ) = = = si x si x si x si x Vastaus: a) + six cos x b) + cosx si x 05. a) si x D( ) D(six ta x = cos x si x ) = Dcosx = six 69

70 b) si x cos x ta x ( si x) + ta x cos cos cos si ( ) x x x + x D = = = cos x cos x cos x cos x Vastaus: a) si x b) + si x cos x 06. a) D(six+ cos x) = cosx+ ( si x) = six+ cosx b) D( si x cos x) = cos x ( si x) = 9si x+ cos x Vastaus: a) six + cosx b) 9six + cosx 07. a) D(si x+ si x+ x) = cos x+ cos x+ b) D(cos x+ cos x+ x+ ) = ( si x) si x+ = si x si x+ Vastaus: a) cosx + cosx + b) six si x a) D(ta x+ ta x) = ( + ta x) + + ta x = + ta x+ ta x b) D[ ta( + x) + ta ] = [ + ta ( + x)] + 0 = + ta ( + x) 7 Vastaus: a) + ta x + ta x b) ta ( ) + + x 09. a) D( si x cos x) = cos xcos x+ si x ( si x) = si xsi x+ cos xcos x b) D(si x cos x) = D( si x) = cos x = cos x Vastaus: a) si x si x+ cos x cos x b) cosx 0. a) D(si x ta x) = cos xta x+ si x ( + ta x) si x = cosx cos x = si x+ si xta x + si x + si x ta x 70

71 b) x si x x D(ta cos cos cot ) = D( cos x x cos cot ) = cos 7 x 7 cos vakio Vastaus: a) + b) cos x si x si xta x. a) b) si x D( ) D(ta x) ( ta x) ta x cos x == = + = + x x cos cos x cos D( ) D( si x = x x x ) = D[(si ) ] = cos ( )(si ) = x x x si cos si x cos Vastaus: a) + ta x b) x si cos x cos x cot x si x ( ) cos x + si x cos. a) ( ) si x si x si x x+ D = = = cot x cot x cot x si xcot x b) si si cos ( x ) ( x x cos x D = D ) = cos x ( ) (si x) cosx = cosx si x cos x si x cos x si x Vastaus: a) cos x + si x cot x b) cos x cosx si x. a) cos x si x cos x si x cos x D( ) = D = D(tax cos x) si x si x = + ta x ( si x) = + si x+ ta x 0 x cos ta x x x b) D( ) = D( si ) = cos ( )si ( ) = x x si si ( ) 7

72 x cos Vastaus: a) + six + ta x b) x si ( ). a) D(cos x) = ( si x) cos x = si x b) D(si x si x) = cos x si x cos x = si x cos x Vastaus: a) six b) si x cos x 5. a) D(si x) = (cos x) si x = si x b) D( si x) = cos x si x = si xcos x c) D[si(cos x)] = si xcos(cos x) Vastaus: a) six b) si x cos x c) si x cos(cos x) 6. a) D[cos(si x)] = cos x[ si(si x)] = cos xsi(si x) b) D[cos(cos x)] = si x [ si (cos x)] = si xsi (cos x) c) D[si (ta x)] = ( + ta x)cos(ta x) Vastaus: a) cos xsi(si x) b) si xsi (cos x ) c) ( + ta x)cos(ta x) 7. a) D[si( x+ ) ] = ( x+ ) cos( x+ ) = (x+ )cos( x+ ) b) D[si ( x )] = [ cos( x )] si( x ) = si[ ( x )] = si( x ) Vastaus: a) (x+ )cos( x+ ) b) si( x ) 8. x x x D(cos x cos + ) = ( si x) cos x ( si ) = si x+ si x Vastaus: si x + si 9. a) D[(si x+ cos x) ] = D = 0 ta x si x cos x b) D( cot x) D( ) D 0 = si cos x si x = = 6 Vastaus: a) 0 b) 0 7

73 0. Fuktio f ( x) = + cosx+ cos x o jatkuva ja derivoituva, ku x. Haetaa esi kaikki fuktio derivaata ollakohdat. Derivaatta f '( x) = si x+ ( si x) cos x = si x si xcos x Derivaata ollakohdat si x si xcos x = 0 si x( + cos x) = 0 si x = 0 tai cos x = si x = si 0 cos x = cos x = x =± + Haetaa derivaata ollakohdista e, jotka kuuluvat välille ]0, [ sijoittamalla parametrille kokoaislukuarvoja. Taulukoidaa tulokset. x = x = + 0, + ( ) = ]0, [ = ] [ x = ( ) = ]0, [ = ] [ 0, + 0 = ]0, [ + 0 = ]0, [ = ] 0,[ 8 + = ]0, [ + = ]0, [ = ] 0, [ 0 + = ]0, [ Vastaus: Nollakohdat, ja. Fuktio f ( x) = + tax+ ta xo derivoituva, ku x 0,. Derivaatta f '( x) = + ta x+ ( + ta x) ta x = + ta x+ ta x+ ta x 7

74 Koska tax > 0, ku x 0,, ii f '( x) = + ta x+ ta x+ ta x, ku x 0,. Derivaatalla ei ole ollakohtia, ku x 0,. Vastaus: Ei ollakohtia = o derivoituva, ku ] [. Fuktio f ( x) six cos x x 0,. Derivaatta f '( x) = cos x ( si x) cos x = cos x+ si x cos x = cos x+ si x Derivaata ollakohdat cosx+ six = 0 si x = cos x : cos x 0, jos cos x = 0, ii si x 0, ei ratk. ta x = ta x = ta(,07...) x =, x = 0, Välille ] 0, [ kuuluvat ollakohdat = 0 : x = 0, ,55 ] 0, [ = : x = 0, , 0 ] 0, [ = : x = 0, ,59 ] 0, [ = : x = 0, ,6 ] 0, [ = : x = 0, ,7 ] 0, [ = 5 : x = 0, ,0 ] 0, [ Jos < 0, kulma o egatiivie, eikä kuulu välille. Ku kasvaa, ii kulma kasvaa, jote muita arvoja ei tarvitse laskea. Vastaus:,0;,59;,6 ja 5,7. Fuktio f ( x) x six x 0, ja derivoituva, ku x ]0, [. Jatkuvalla fuktiolla o suljetulla välillä sekä suuri että piei arvo. Ne sijaitsevat joko väli päätepisteissä tai vastaavalle avoimelle välille kuuluvissa derivaata ollakohdissa. Derivaatta f '( x) = + cos x = + o jatkuva, ku [ ] 7

75 Derivaata ollakohdat + cosx = 0 Välille ] 0, [ kuuluvat ollakohdat cos x = cos x = cos x =± + : x =± + x = +, x = +, 0< + < 0< + < < < : > 0 < < : > < < < < = 0 tai = = tai = x =, x = + = Lasketaa fuktio f ( x) = x+ sixarvo väli päätepisteissä f (0) = 0+ si( 0) = 0 (piei) f ( ) = + si( ) = 6,8 (suuri) ja derivaata ollakohdissa f ( ) = + si( ) = +, 9 f ( ) = + si( ) = + 5,05 f ( ) = + si( ) =, f ( ) = + si( ) =, 7 Vastaus: Piei arvo o 0 ja suuri 75 5 x = + =, x = + =. Fuktio f ( x) = x+ taxo jatkuva ja derivoituva, ku x ]0, [. Derivaatta f '( x) = + + ta x = + ta x

76 Koska tax > 0, ku x 0,, ii f '( x) = + ta x > 0. Näi olle fuktio f ( x) = x+ taxo aidosti kasvava, ku x 0,. Aidosti kasvava fuktio piei arvo sijaitsee väli alkupisteessä ja suuri väli loppupisteessä. Koska kyseessä o avoi väli, fuktiolla ei suurita eikä pieitä arvoa. Vastaus: Ei suurita eikä pieitä arvoa. 5. Fuktio f ( x) = si xsuuti ja piei arvo voidaa määrätä ilma derivaattaa. Haetaa fuktio f ( x) = si x suuri ja piei arvo ilma derivaattaa. Koska si x saa kaikki arvot väliltä [, ], ii si x = (si x) saa kaikki arvot väliltä [ 0, ]. Saadaa epäyhtälö 0 si x ( ) < 0 0 si x si x si x f( x) = si x 0 f( x) Vastaus: Suuri o arvo ja piei arvo Fuktio f ( x) = x+ six o jatkuva, ku x [, ], jote fuktiolla o tällä 6 6 välillä sekä piei että suuri arvo. Jatkuvaa fuktioa se saa myös kaikki arvot äide väliltä. Fuktio suuri ja piei arvo sijaitsevat joko väli päätepisteissä tai vastaavalle avoimelle välille kuuluvissa derivaata ollakohdissa. Derivaatta f '( x) = + cos x Derivaata ollakohdat + cosx = 0 cos x = cos x = cos 0 x = : x = Välille, 6 6 kuuluvat ollakohdat 76

77 < < : > < < Koska o kokoaisluku, ii = 0, ja välille kuuluva derivaata ollakohta o x = 0 = 0 Lasketaa fuktio f ( x) = x+ six arvo väli päätepisteissä f ( ) = ( ) + si[ ( )] = + si( ) = = 0,8 (suuri) f ( ) = + si( ) = + si( ) = + = 0,8 (piei) ja derivaata ollakohdassa f (0) = 0 + si( 0) = 0 Vastaus: Fuktio arvojoukko, Fuktio f ( x) = x+ tax o jatkuva, ku x [,0], jote fuktiolla o tällä 6 välillä sekä piei että suuri arvo. Jatkuvaa fuktioa se saa myös kaikki arvot äide väliltä. Fuktio suuri ja piei arvo sijaitsevat joko väli päätepisteissä tai vastaavalle avoimelle välille kuuluvissa derivaata ollakohdissa. Derivaatta f '( x) = + ( + ta x) = + ta x 0 Koska fuktio derivaatta o suurempi kui olla ja yhtä suuri kui olla vai yksittäisissä pisteissä, ii fuktio o aidosti kasvava koko välillä. Piei arvo o tällöi väli alkupisteessä ja suuri loppupisteessä. Koska o kokoaisluku, ii = 0, ja välille kuuluva derivaata ollakohta o x = 0 = 0 Lasketaa fuktio f ( x) = x+ taxarvo väli päätepisteissä f ( ) = ( ) + ta[ ( )] = + ta( ) = + ( ) = (piei) f (0) = 0 + ta( 0) = 0 (suuri) Vastaus: Fuktio arvojoukko,0 0 77

78 8. Fuktio f ( x) = cosx Fuktio kohtaa x = piirrety tageti kulmakerroi o sama kui fuktio derivaata arvo tässä kohdassa. Derivaatta f '( x) = si x Tagetti y y0 = kt ( x x0) x0 =, y0 = f( ) = cos =, kt = f '( ) = si( ) = y = ( x ) Tageti ja y-akseli leikkauspiste, x = 0 y = (0 ) y = + Normaali Koska tagetti ja ormaali ovat kohtisuorassa toisiaa vaste, ii kulmakertoimie tulo o. Normaali kulmakerroi k = y y0 = kt ( x x0) y = ( x ) Normaali ja y-akseli leikkauspiste, x = 0 78

79 y = (0 ) y = + Kolmio ABC pita-ala A= ah= + ( + ) = = = 6 Vastaus: 6 9. Fuktio f ( x) = six x Fuktio kohtaa x = piirrety tageti kulmakerroi o sama kui fuktio derivaata arvo tässä kohdassa. Derivaatta f '( x) = cos x Tagetti y y0 = kt ( x x0) x0 =, y0 = f( ) = si( ) =, kt = f '( ) = cos( ) = = y ( ) = ( x ) Tageti ja y-akseli leikkauspiste, x = 0 79

80 y + = (0 ) y = Normaali Koska tagetti ja ormaali ovat kohtisuorassa toisiaa vaste, ii kulmakertoimie tulo o. Normaali kulmakerroi k = y y0 = kt ( x x0) y ( ) = ( x ) Normaali ja y-akseli leikkauspiste, x = 0 y + = (0 ) y = 0 Kolmio ABC pita-ala 0 A= ah = = Vastaus: 0. Fuktio f ( x) = cosx+ six o jatkuva, ku x [0, ], jote fuktiolla o tällä välillä sekä piei että suuri arvo. Fuktio suuri ja piei arvo sijaitsevat joko väli päätepisteissä tai vastaavalle avoimelle välille kuuluvissa derivaata ollakohdissa. Derivaatta f '( x) = si x+ cos x Derivaata ollakohdat si x+ cos x = 0 si x = cos x : cos x 0, jos cosx = 0, si x 0, ei ratkaisua ta x = : ( ) ta x = ta x = ta x = + Välille ]0, [ kuuluu vai x =. Lasketaa fuktio f ( x) = cosx+ six arvo väli päätepisteissä f (0) = cos0+ si0 = = f ( ) = cos + si = = (piei) ja derivaata ollakohdassa 80

81 f ( ) = cos + si = + = (suuri) Vastaus: Piei arvo o ja suuri.. Fuktio f ( x) cosx 5six = + o jatkuva, ku x [, ], jote fuktiolla o tällä välillä sekä piei että suuri arvo. Fuktio suuri ja piei arvo sijaitsevat joko väli päätepisteissä tai vastaavalle avoimelle välille kuuluvissa derivaata ollakohdissa. Derivaatta f '( x) = si x+ 5cos x Derivaata ollakohdat six+ 5cosx = 0 si x = 5cos x : cos x 0, jos cos x = 0, si x 0 ei ratkaisua tax = 5 : 5 ta x = Välille ], [ kuuluu vai kulma x = x0. Lasketaa fuktio f ( x) = cosx+ 5six arvo. Väli päätepisteissä: f ( ) = cos + 5si = ( ) = f ( ) = cos( ) + 5si( ) = = (suuri) 8

82 . Derivaata ollakohdassa: Lasketaa kulmaa x = x0 vastaava terävä kulma sii ja kosii arvot 5 käyttäe suorakulmaista kolmiota, jossa taα = siα = cosα = Koska kulma x 0 loppukylki o eljäessä eljäeksessä, ii sekä sii että kosii ovat egatiivisia. 5 9 f( x0) = cosx0 + 5six0 = ( ) + 5 ( ) = = 9 (piei) Vastaus: Piei arvo o 9 ja suuri.. Määritettäessä pisi metallitako, pitää itse asiassa määrittää kaikkei "kikkisi kohta" eli lyhi mahdollie vio etäisyys AB. Määritetää kuvio merkitöjä käyttäe lyhi jaa AB. Kolmiot ABD ja DCE ovat yhdemuotoiset (kk), sillä E = B = 90 = ja ristikulmia EDC = ADB. 8

83 Valitaa muuttujaksi kulma α Määritetää jaa AC = AD + DC pituus kulma fuktioa. Kolmiosta DCE ED cosα = ED =,70 m CD,7 CD = cosα Kolmiosta ABD AB siα = AB = 6,0 m AD 6, AD = siα 6,,7 Haetaa fuktio f ( α) = siα + cosα piei arvo, ku ]0, α [. 6,,7 Fuktio f ( α) = siα + cosα o jatkuva ja derivoituva, ku ]0, α [. Derivaatta 6,cosα,7siα 6,cos α +,7 f '( α) = 6, cos α ( ) si α +, 7( si α) ( ) cos α = + = si α cos α si α cos Derivaata ollakohdat 6,cos α +,7si α = 0,7si α = 6, cos α : (cos α) 0, koska α ]0, [,7 ta α = 6, :,7 6 ta α =, yksikäsitteie 7 taα = α =± 0, Koska α ]0, [, saadaa aioa ollakohta α 0 = 0, Kulkukaavio 6, cos (0,5) +, 7si (0,5) f '(0,5) = =, 7... < 0 si (0,5) cos (0,5) 6, cos () +,7si () f '() = =,8... > 0 si () cos () 8

84 Fuktio piei arvo sijaitsee aioassa miikohdassa α 0. 6,,7 Fuktio f ( α) = siα + cosα piei arvo Koska kulma α 0 ]0, [ sekä sii että kosii ovat positiivisia. Käytetää apukolmiota tarkkoje arvoje laskemisee. Kaikki sellaiset suorakulmaiset kolmiot, joissa toie teräväkulma α 0, ovat yhdemuotoisia. taα = Kuviosta a siα = = 5a 5 a cosα = = 5a 5 6,,7 6,,7 f( α0 ) = f( α) =,5 siα + 0 cosα = + = Vastaus: Tago pituus o,5 m.. Käyrie f () x = y= six ja g() x = y= tax leikkauskulma o sama kui leikkauspisteesee piirrettyje tagettie välie kulma. Leikkauspiste, ku < x < y = si x y = ta x 8

85 si x = ta x si x si x = cos x 0, koska < x< cos x si x cos x = si x si x(cos x ) = 0 si x = 0 tai cos x = 0 si x = si 0 cos x = x = cos x = cos 0 x = Ehdo < x < täyttää aioastaa x =. Fuktio kohtaa x = piirrety tageti kulmakerroi o sama kui fuktio derivaata arvo tässä kohdassa. Fuktio f () x = y= six ja se derivaatta f '( x) = cos x Kohtaa x = piirrety tageti kulmakerroi f '( ) = cos = Fuktio g() x = tax ja se derivaatta g '( x) = + ta x Kohtaa x = piirrety tageti kulmakerroi g '( ) = + ta = Tagettie välie kulma Koska tagettie kulmakertoimie tulo o =, ii tagetit ovat kohtisuorassa toisiaa vaste. Vastaus: Käyrie leikkauskulma o 90.. Koska pyydysti o suora särmiö, joka korkeus o vakio, ii tilavuus o suuri, ku pohja pita-ala o suuri. Pohja o tasakylkie puolisuuikas, joka pita-ala o a+ b A = h. c,0 dm c h α,0 dm,0 dm Puolisuuikkaa kylki 0 cm =,0 dm Lyhyempi sivu b =,0 dm Pidempi sivu a = c+ (dm) 85

86 c = cosα c = cosα Korkeus h (dm) h = siα h = siα 6cosα + + Pita-alafuktio A( α) = siα = 9siαcosα + siα, α [0,90 ]. Fuktio o jatkuva, jote suuri arvo sijaitsee joko väli päätepisteissä tai avoimelle välille kuuluvissa derivaata ollakohdissa. Derivaatta A'( α) = 9[cos αcosα + si α( si α)] + cosα cos α si α = cos α = cos = 8cos α + cosα 9 Derivaata ollakohdat 8cos α + cosα 9 = 0 cos α = d, d 8d + d 9 = 0 ± 8 ( 9) d = 8 + 8,... d = = 0, , d = =,50... <, ei käy 6 cosα = 0, 8... α =± 6, Välille kuuluu vai α = 6, Väli päätepisteet A (0) = 9si 0 cos 0 + si 0 = 0, A (90 ) = 9si90 cos90 + si90 = Derivaata ollakohta A (6, ) = 9si 6, cos 6, si 6, , suuri Vastaus: Tilavuus o suuri, ku kulma o 6. 86

87 5. Fuktio f ( x) = Asix+ Bcosx, f ( ) = Asi + Bcos = A + B 0= A Derivaatta f '( x) = Acos x Bsi x, f '( ) = Acos Bsi = A 0 B = B Yhtälöpari f ( ) = f '( ) = A = B = A = B = Vastaus: A=, B = x 6. Fuktio f( x) = cos o määritelty ja derivoituva, ku x 0. x x ( x) x x Derivaatta f '( x) = [ si( )] = si( ), x x x x Nollakohdat x si( ) = 0 x x x si( ) = 0 x x si( ) = si 0 x x = x x = x x ( + ) = x = + Ne ollakohdat, jotka kuuluvat välille ], [, ku. Ku > 0 Ku = 0, ii Ku < 0, ii Välille ], [ ovat, ii x > 0 ja x = + < + < x = + = ],[ x = < 0 ja x = > + + x = +, ku ja 0. 87

88 Vastaus: x =, ku ja Koska sekä sii- että kosiifuktiot ovat jaksollisia fuktioita, jaksoa, ii fuktio suuri ja piei arvo löytyvät suljetulta väliltä [0, ]. Fuktio f ( x) = six+ cosx o jatkuva, ku x, jote se saa sekä suurimma että pieimmä arvosa suljetulla välillä. Ne sijaitsevat joko väli päätepisteissä tai vastaavalle avoimelle välille kuuluvissa derivaata ollakohdissa. Fuktio f ( x) = six+ cosx Derivaatta f '( x) = cos x+ ( si x) = cos x si x Derivaata ollakohdat f '( x) = 0 cosx six = 0 six = si xcosx cos sixcosx = 0 cos x( si x) = 0 cos x = 0 tai si x = 0 cos x = cos si x = si 6 x =± + x = + tai x = x = + 6 Välille ]0, [ kuuluvat derivaata ollakohdat. Jos < 0, ii x < 0. x = + x = + x = ]0, [ ]0, [ ]0, [ 6 5 ]0, [ ]0, [ ]0, [ 6 7 ]0, [ 5 x = ]0, [ 6 7 ]0, [ 6 Lasketaa fuktio arvot väli päätepisteissä ja avoimelle välille kuuluvissa derivaata ollakohdissa. Fuktio f ( x) = six+ cosx f (0) = si 0 + cos( 0) = f ( ) = si( ) + cos( ) = f ( ) = si + cos( ) = 88

89 f ( ) = si + cos( ) = suuri f (0) = si + cos( ) = suuri 6 6 f ( ) = si + cos( ) = = piei Vastaus : Fuktio suuri arvo o,5 ja piei 8. Fuktio f ( x) = sixcos( x+ a) o jatkuva ja derivoituva, ku x. Derivaattafuktio f '( x) = cos xcos( x+ a) si xsi( x+ a) o jatkuva, ku x, jote suuri arvo o suuri maksimeista ja piei arvo piei miimeistä. Ääriarvot sijaitsevat derivaata ollakohdissa. Derivaata ollakohdat cosxcos( x+ a) sixsi( x+ a) = 0 cosα cosβ siαsiβ = cos( α + β) cos( x+ x+ a) = 0 cos( x+ a) = cos x+ a = + a x = + a x = + Fuktio f ( x) = sixcos( x+ a) o jaksollie, jaksoa, ja fuktio jaksoo ei vaikuta vakio a. Näi olle riittää ataa :lle arvot 0,, ja. = 0: a a a f ( ) = si( )cos( + ) käytetää kaavoja si( α β) ja cos( α + β ) a a a a = [si cos cos si ] [cos cos si si ] si = cos = a a = ( cos si ) (cos a a a si cos si a ) si cos = + α + α =, si α cos α = si α = si a 89

90 = a f ( ) a a = si( ) cos( + ) käytetää kaavoja si( α β) ja cos( α + β ) a a a a = [si cos cos si ] [cos cos si si ] si =,cos = a a = ( cos + si ) (cos a a a si cos si a ) si = + + α + cos α =, siαcosα = si α = si a = 5 a f ( ) 5 a 5 a = si( ) cos( + ) käytetää kaavoja si( α β) ja cos( α + β ) 5 a 5 a 5 a 5 a 5 5 = [si cos cos si ] [cos cos si si ] si = cos = a a = ( cos + si ) (cos a a a si cos si a ) si cos = + α + α =, siα cosα = si α = si a 90

91 = 7 a f ( ) 7 a 7 a = si( ) cos( + ) käytetää kaavoja si( α β) ja cos( α + β) 7 a 7 a 7 a 7 a 7 7 = [si cos cos si ] [cos cos si si ] si =, cos = a a a a = ( cos si )( cos + si ) a a = ( cos + si ) a a a a = (cos + si cos + si ) si α + cos α =, si α cos α = si α = si a Koska sia, ii si a = (+ si a) 0 ja 0 si a = ( si a), ii suuri arvo o si a ja piei arvo o si a Vastaus: Suuri arvo o si a ja piei arvo o si a. 9. Fuktio f ( x) = si ( x+ ) = si( x+ ) = si xcos + cos xsi = cos x o jatkuva, ku x. Kosiifuktio suuri mahdollie arvo o. cos x = cos x = cos 0 x = x = Vastaus: x =,. 9