Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48"

Transkriptio

1 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad a) b) c) d) e) f) Vastaus: a) 1 4 b) 1 6 c) d) 5 4 e) 7 f) d) 7 rad e) 17 rad , f) 60 rad , 48 Vastaus: a) 90 b) 60 c) 16 d) 160 e) 974,0 f) 0 66, Kehäpisteen koordinaatit (cos x, sin x). Laskimella: a) (cos 0, sin 0 ) (0,766; 0,64) b) (cos 70, sin 70 ) = (0, 1) c) (cos 100, sin 100 ) ( 0,5; 0,866) cos 17,sin 17 0,5;0,866 f) (cos 1, sin 1) (0,915; 0,404) d) cos, sin 0, 809; 0, 588 e) Vastaus: a) (0,77; 0,64) b) (0, 1) c) ( 0,5; 0,87) d) (0,81; 0,59) e) (0,5; 0,87) f) (0,91; 0,40) 170. Muutetaan radiaanit asteiksi 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad 180 Tällöin 1rad. a) 1 rad b) 1 rad c) rad KERTOMA 8! MAB8 118

2 17. Piirretään yksikköympyrään kulmaviivaimella kulma ja katsotaan kehäpisteen koordinaatit. c) 00 = a) Vastaus: sin 5 0,6, cos 5 0,8 ja tan 5 0,7. b) Vastaus: sin 00 0,9, cos 00 0,5 ja tan 00 1,7. Vastaus: sin 10 0,5, cos 10 0,9 ja tan 10 0,6. KERTOMA 8! MAB8 119

3 d) rad e) Kulma vastaa asteina = eli radiaaneina 0. Vastaus: sin 1, cos 0 ja tan ei ole määritelty. Vastaus: sin 0,95, cos 0, ja tan, KERTOMA 8! MAB8 10

4 f) 4 rad 406,4 = ,4 sin cos 1 sin 0, 6 1 sin 0, 6 1 sin 10, 6 sin 0, 64 sinx 0,64 0,8 Vastaus: sin α = 0,8 tai sin α = 0, a) y = 4cos x Funktion f(x) = cos tx jakso saadaan kosinin perusjaksosta π jakamalla perusjaksoa muuttujan x kertoimella t. Täten funktion 4cos x jakso on. Tämä on asteina 180. Vastaus: π = 180 Vastaus: sin 4 0,9, cos 4 0,4 ja tan 4,. b) y = tan x Funktion f(x) = tan tx jakso saadaan tangentin perusjaksosta π jakamalla perusjaksoa muuttujan x kertoimella t. Täten funktion 17. (Vrt. teht. 9 s. 48.) cos 0,6 5 Sijoitetaan cos 0,6 yhtälöön sin α. sin cos 1 ja ratkaistaan tan jakso on. Tämä on asteina 90. Vastaus: 90 KERTOMA 8! MAB8 11

5 c) y = 4sin 0,6x Funktion f(x) = sin tx jakso saadaan sinin perusjaksosta π jakamalla perusjaksoa muuttujan x kertoimella t. Täten funktion 4sin 0,6x jakso on 10. Tämä on asteina ,6 c) y = 4sin 0,6x Vastaus: Hahmotellaan edellisen tehtävän kuvaajat välillä 4π x 4π. a) y = 4cos x Trigonometriset yhtälöt 176. Lasketaan ratkaisut eri n:n arvoilla ja katsotaan, mitkä kuuluvat annetulle välille. b) y = tan x a) Ratkaisut saadaan n = alkaen, koska kun n = 0, niin α = = 0 kun n = 1, niin α = = 90 kun n =, niin α = = 750 > 70 kun n = 1, niin α = = 0 kun n =, niin α = 0 60 = 690 kun n =, niin α = 0 60 = 1050 < 70. Vastaus: α = 690, α = 0, α = 0 tai α = 90 KERTOMA 8! MAB8 1

6 b) Ratkaisut saadaan n = alkaen, koska kun n = 0, niin α = = 0 kun n = 1, niin α = = 0 kun n =, niin α = = 90 kun n =, niin α = = 150 kun n = 4, niin α = = 10 > 00 kun n = 1, niin α = = 90 kun n =, niin α = 0 60 = 150 kun n =, niin α = 0 60 = 10 < 00. Vastaus: α = 150, α = 90, α = 0, α = 0, α = 90 tai α = 150 c) Ratkaisut saadaan n = 5 alkaen, koska kun n = 0, niin x = π + 0 π = π kun n = 1, niin x = π + 1 π = π kun n =, niin x = π + π = π kun n =, niin x = π + π = 4π kun n = 4, niin x = π + 4 π = 5π > 4π kun n = 1, niin x = π 1 π = 0 kun n =, niin x = π π = π kun n =, niin x = π π = π kun n = 4, niin x = π 4 π = π kun n = 5, niin x = π 5 π = 4π kun n = 6, niin x = π 6 π = 5π < 4 π. d) Ratkaisut saadaan n = 1 alkaen, koska kun n = 0, niin x kun n = 1, niin x kun n =, niin x kun n = 1, niin x kun n =, niin x 5 15 Vastaus: 7 1 x, x tai x a) Hahmotellaan kuvaaja graafisella laskimella tai tietokoneella. Ratkaisu löytyy käyrien y = tan x ja y = leikkauspisteiden x-koordinaatista. Ratkaisussa voidaan käyttää myös tangentin jaksoa apuna, jolloin riittää löytää vain yksi ratkaisu graafisesti. Tämä on järkevä tapa, jos käytössä ei ole graafista laskinta tai tietokonetta. Ensimmäinen kuvaaja on piirretty x-akselin asteikolla radiaanit, jossa näkyvät piin monikerrat. Siitä voidaan päätellä ratkaisujen lukumäärä annetulla välillä. Vastaus: x = 4π, x = π, x = π, x = π, x = 0, x = π, x = π tai x = 4π KERTOMA 8! MAB8 1

7 Vaihdetaan x-akselin asteikoksi radiaanit ilman piitä. Vaihdetaan x-akselin asteikko. Luetaan kuvaajasta ratkaisut. Vastaus: x 8, tai x 5,0 tai x 1,9 tai x 1,5 (tai 1,) tai x 4,4 tai x 7,5 b) Hahmotellaan kuvaaja graafisella laskimella tai tietokoneella. Ratkaisu löytyy käyrien y = sin x ja y = leikkauspisteiden x-koordinaatista. Ratkaisussa voidaan käyttää myös sinin jaksoa apuna, jolloin riittää löytää vain yksi ratkaisu graafisesti. Tämä on järkevä tapa, jos käytössä ei ole graafista laskinta tai tietokonetta. Ensimmäinen kuvaaja on piirretty radiaaniasteikolla, jossa näkyvät piin monikerrat. Tästä voidaan päätellä ratkaisujen määrä. Luetaan kuvaajasta ratkaisut. Vastaus: x 11,8 tai x 10, tai x 5,6 tai x,9 tai x 0,7 tai x,4 tai x 7,0 tai x 8,7 c) Hahmotellaan kuvaaja graafisella laskimella tai tietokoneella. Ratkaisu löytyy käyrien y = cos x ja y = 0,5 leikkauspisteiden x-koordinaatista. Ratkaisussa voidaan käyttää myös kosinin jaksoa apuna, jolloin riittää löytää vain yksi ratkaisu graafisesti. Tämä on järkevä tapa, jos käytössä ei ole graafista laskinta tai tietokonetta. Ensimmäinen kuvaaja on piirretty radiaaniasteikolla, josta voidaan päätellä ratkaisujen määrä. KERTOMA 8! MAB8 14

8 d) Hahmotellaan kuvaaja graafisella laskimella tai tietokoneella. Ratkaisu löytyy käyrien y = sin x ja y = x 1 leikkauspisteiden x- koordinaatista. Vaihdetaan x-akselin asteikko. Tästä kuvaajasta havaitaan, että ratkaisuja on vain yksi. Ratkaisu on likimain x 1,9. Tarkennetaan kuvaajaa. Luetaan kuvaajasta ratkaisut. Vastaus: x 5,8 tai x,7 tai x,6 tai x 0,5 tai x 0,5 tai x,6 tai x,7 tai x 5,8. Kuvaajan perusteella ratkaisu on yhden desimaalin tarkkuudella x 1,9. Vastaus: x 1,9 KERTOMA 8! MAB8 15

9 178. a) sin α = Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska sini ei voi saada arvoa, joka on suurempi kuin 1. Vastaus: Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) sin α = 1 Sini saa arvon yksi, kun kulma on 90. Huomioidaan vielä sinin jakso 60 astetta. sin 1 sin sin90 90n60 :, n0, 1,, 45n180, n0, 1,, Vastaus: α = 45 + n 180, n = 0, ±1, ±, c) tan α = Määritetään laskimella yksi ratkaisu kulmalle: α = 6,44 6, 4. Tangentin jakso on 180, minkä perusteella saadaan kaikki ratkaisut. tan tan tan6,44! Laskimella 6,44n180, n0, 1,, 6, 4n180, n 0, 1,, Vastaus: α 6,4 + n 180, n = 0, ±1, ±, d) 6cos :6 cos 0,5 Määritetään laskimella yksi ratkaisu kulmalle: α = 60. Kosinin parillisuuden perusteella toinen ratkaisu on: α = 60. Kosinin jakso on 60, minkä perusteella saadaan kaikki ratkaisut. 6cos :6 cos 0,5 cos cos 60! Laskimella 60n60, n0, 1,, Etsitään kakista ratkaisuista annetulle välille kuuluvat. Kun n = 0, niin α = = 60 tai α = = 60. Kun n = 1, niin α = = 40 tai α = = 00. Kun n =, niin α = = 780 tai α = = 660. Kun n = 1, niin α = 60 + ( 1) 60 = 00 tai α = 60 + ( 1) 60 = 40. Vastaus: α = ±60 tai α = ±00 e) cos 1 : cos 0,5 Määritetään laskimella yksi ratkaisu kulmalle α = 60. Kosinin parillisuuden perusteella toinen ratkaisu on α = 60. Kosinin jakso on 60, mistä saadaan kaikki ratkaisut. cos 1 : cos 0,5 cos cos60! Laskimella 60n60 :, n 0, 1,, 0n10, n 0, 1,, Välille 60 α 60. Kun n = 0, niin α = = 0 tai α = = 0. Kun n = 1, niin α = = 100 tai α = = 140. Kun n =, niin α = = 0 tai α = = 60. KERTOMA 8! MAB8 16

10 Kun n =, niin α = = 40 tai α = = 80. Kun n = 4, niin α = = 460 tai α = = 500. Kun n = 1, niin α = = 140 tai α = = 100. Kun n =, niin α = 0 10 = 60 tai α = 0 10 = 0. Kun n =, niin α = 0 10 = 80 tai α = 0 10 = 40. Kun n = 4, niin α = = 500 tai α = = 460. Vastaus: α = 40 tai α = 60 tai α = 0 tai α = 140 tai α = 100 tai α = 0 tai α = 0 tai α = 100 tai α = 140 tai α = 0 tai α = 60 tai α = 40 f) tan 0,7α = 7 Määritetään laskimella yksi ratkaisu kulmalle: 0,7α = 81,86. Tangentin jakso on 180, mistä saadaan kaikki ratkaisut. tan0,7 7 tan0,7 tan81,86! Laskimella 0,7 81,86n 180 : 0,7, n 0, 1,, 116,9569n57,148, n 0, 1,, Vastaus: α 116,96 + n 57,14, n = 0, ±1, ±, 179. a) sinx sinx sin! Taulukkokirjasta x n tai x n, x n : tai x n :, x n tai x n, 6 Vastaus: x n tai x n, n0, 1,, 6 b) cosx : cosx cosx cos 6 x n :, 6 x n, 1 n 0, 1,, n 0, 1,, Vastaus: x n, n0, 1,, 1 n 0, 1,, n 0, 1,, n 0, 1,, KERTOMA 8! MAB8 17

11 c) x tan x tan tan x n, n0, 1,, x n, n0, 1,, Vastaus: x n, n 0, 1,, 180. a) f(x) = 5sin (x + ) Sinifunktio saa suurimman arvonsa yksi, kun kulma x + saa arvokseen. Kun huomioidaan sinin jakso π, niin saadaan kaikki ratkaisut. sin( x ) 1 sin( x ) sin x n, n 0, 1,, x n, n 0, 1,, cos(x ) 1 cos(x ) cos 0 x0n, n 0, 1,, x 0n :, n 0, 1,, x n, n 0, 1,, Vastaus: x n, n0, 1,, c) f(x) = 5cos (x 1) Kosinifunktio saa suurimman arvonsa yksi, kun kulma on 0. Kun huomioidaan kosinin jakso π, niin saadaan kaikki ratkaisut. cos( x 1) 1 cos( x 1) cos 0 x 10n, x 01n n 0, 1,,, n 0, 1,, x 1n, n 0, 1,, Vastaus: x 1n, n0, 1,, Vastaus: x n, n0, 1,, b) f(x) = 5cos (x + ) Kosinifunktio saa suurimman arvonsa yksi, kun kulma on 0. Kun huomioidaan kosinin jakso π, niin saadaan kaikki ratkaisut. KERTOMA 8! MAB8 18

12 181. Tehtävä ei ole kurssin MAB8 keskeistä sisältöä. Vrt. esim. 6 s. 64. s a) sin x sinx x xn tai x xn, n 0, 1,, xx n x n tai tai x x n, x n :, n 0, 1,, n 0, 1,, x n x n x n tai tai tai x n, x n, x n, n 0, 1,, n 0, 1,, n 0, 1,,! Kulmia x = nπ voidaan merkitä muodossa x = nπ, koska n = 0, ±1, ±, Tällöin saadaan kuitenkin kaikki samat ratkaisut. Ks. esim. 6 s. 64. Vastaus: x n tai x n, n0, 1,,. b) cos x cos(x 1) x x1n tai xx 1n tai x 1n tai x 1n tai x 1n tai x (x 1) n, n 0, 1,, x x 1n, xx 1n, n 0, 1,, n 0, 1,, 5x 1n :5, n 0, 1,, 1 x n, 5 5 n 0, 1,, Vektorien peruskäsitteet ja peruslaskutoimitukset 18. a) BC CA BA b) BE EC CD BC CD BD c) ED DA AC EA AC EC d) DA BA BD DA AB BD DD 0 Vastaus: a) BA b) BD c) EC d) Jaetaan puolittain kahdella. a 4 b : a b Koska vektorit saadaan toisistaan kertomalla positiivisella luvulla, ovat ne samansuuntaiset. Koska vektori a b, niin a on kaksi kertaa niin pitkä kuin vektori b. Vastaus: Vektorit ovat samansuuntaiset ja vektorin a pituus on kaksinkertainen a) Vektorin yksikkövektori määritetään a pituus on a, joten 0 a a 1 a a. a Vastaus: a 0 1 a 0 a. Vektorin a Vastaus: 1 x 1n tai x n, n0, 1,, 5 5 KERTOMA 8! MAB8 19

13 b) Vektori on vastakkaissuuntainen ja pituudeltaan 4, joten b 4a 4 a a. 4 Vastaus: b a 185. Uimarin on uitava kohtisuoraan vastarantaa kohti, kun huomioidaan joen virtaus. Toisin sanoen uimarin summanopeusvektorin v on oltava joen vastarantaa kohti kuvan mukaisesti. Uimari ui vektorin x suuntaisesti, ja joki virtaa vektorin v mukaisesti. joki x x 5 9 oltava x 0 x 9 5,85 5, 4 Lasketaan uimarin kulma α suorakulmaisesta kolmiosta. tan 5 1,801 Tapa : luvun 7 tietojen perusteella. Valitaan tavallinen xy-koordinaatisto, jossa kantavektorit ovat i ja j. Tällöin v 5j ja v joki i. Vektori x v v joki 5j i i 5 j. Uimarin nopeus (km/h) on vektorin x pituus x ( ) 5 9 5,85 5, 4. Tapa 1: luvun 6 tietojen perusteella (vrt. teht. 109). Uimarin nopeus x (km/h) saadaan suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseella. Uintikulma on vektoreiden ab kaavalla cos. a b x ja v välinen kulma α, joka saadaan Pistetulo on x v ( ) ja pituudet ovat x 9 ja v 5. x v 5 cos x v 9 5 1,801 Vastaus: Uimarin on uitava nopeudella 5,4 km/h kulmassa astetta poikkisuuntaan vastavirtaan. KERTOMA 8! MAB8 10

14 186. Piirretään kolmio ABC. Koska piste D puolittaa kannan BC, on janan CD pituus puolet kannan CB pituudesta. c) Merkitään janan AB keskipistettä kirjaimella C. Pisteen C paikkavektori on 1 1 OC OA AB 5i 4j 8i 6j 5i 4j 4i j i j. Pisteen C koordinaatit ovat (1, 1). Vastaus: (1, 1) Tällöin 1 1 AD AC CB CA BC. 1 Vastaus: AD CA BC Vektorit koordinaatistossa 187. A = (5, 4) ja B = (, ) a) AB ( 5) i ( ( 4)) j 8i 6j Vastaus: AB 8i 6j 188. (Vrt. esim. 8 s. 114.) Esitetään vektori c i 6j vektoreiden a i j ja b i j avulla käyttämällä vakioita x ja y. c xayb i 6 j x( i j) y( i j) i 6j xi xj yi yj i 6 j ( x y) i ( x y) j Komponenttiesitys on yksikäsitteinen. Yhtäsuuruus toteutuu, kun komponenttien i ja j kertoimet ovat samat. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan siitä vakioiden x ja y arvot. x y x y 6 x y 4 : x b) Vektorin pituus on Vastaus: 10 AB ( 8) Sijoitetaan ylempään yhtälöön ja saadaan + y =, josta y = 4. Tällöin pyydetty komponenttiesitys on c xayb a 4 b. Tarkistetaan saatu tulos laskemalla ja piirtämällä. Lasketaan vektori a4b i j 4 i j i j 4i 4j i 6 j, joka on sama kuin pyydetty vektori c. Piirretään vektorit. KERTOMA 8! MAB8 11

15 Vastaus: c a 4b 189. A = (, 4), B = (, 4) ja B = (4, 4) Pisteen paikkavektorin komponenttien kertoimet ovat pisteiden x ja y koordinaatit. OA i 4 j, OB i 4j ja OC 4i 4j Näiden summa OA OB OC i 4j i 4j 4i 4 j ( 4) i ( 444) j i 4 j. Tämän vektorin pituus on ( 4) 5 5. Tarkistetaan vielä piirtämällä. Summavektori on piirretty vihreällä. Vastaus: Summavektori on i 4j ja sen pituus on Lasketaan vektori c. c 4a5b 4(5i j) 5(i 4 j) 0i 8j 15i 0j 5i 1j Vektorin pituus on c 5 ( 1) Vektorit a ja c ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden pistetulo on nolla. ac (5i j) (5i 1 j) 55 ( 1) 1 Pistetulo ei ole nolla, joten vektorit eivät ole kohtisuorassa. Vastaus: Vektorin c pituus on 1. Vektorit a ja c eivät ole kohtisuorassa. KERTOMA 8! MAB8 1

16 191. 1) Vektorit u ja v ovat samansuuntaiset, jos u tv, missä t > 0. ( ai ) 4 jt(5 i( a5) j) ( ai ) 4 j5 tita ( 5) j ( ai ) 4 j5 ti( ta5 t) j Komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöpari. a5t 4 ta 5t Ratkaistaan ylemmästä t ja sijoitetaan se alempaan yhtälöön. a5t 5t a :( 5) t 0,6a0, 4 Sijoitus alempaan 4 (0,6a0, 4) a5(0,6a0, 4) 40,6a 0,4aa 0,6a,6a 0 Ratkaistaan toisen asteen yhtälö. 0, 6a,6a 0,6 (, 6) 40,6,6 1,96,6 1, 4 a 0,6 1, 1, 10 a1 tai a Tämä toteuttaa myös ylemmän yhtälön + 1 = 5, joten vektorit ovat samat, kun a = 1. Vastaus: a = Vektorit a ja c ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan pistetulo. uv (( a) i 4 j) (5 i ( a5) j) ( a) 5 ( 4) ( a5) 10 15a4a0 11a0 Pistetulon on oltava nolla, joten saadaan yhtälö, josta ratkaistaan vakion a arvo. 11a a 0 :11 0 a 11 Vastaus: 0 a Vastaus: a1 tai a ) Jos vektorit ovat samoja, niin ( ai ) 4 j5 i( a 5) j. Komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten a 5 4 a 5. Alemmasta saadaan 4 = a 5, josta a = 1. KERTOMA 8! MAB8 1

17 19. Piirretään tilanne alussa. OA (i 4 j ) (4i j ) 6i j OB 8 i ( i j ) 7i j (Vektorit i 4j ja 8i ovat lähtöpisteiden paikkavektorit.) a) Purjeveneiden etäisyys on pisteiden (, 4) ja (8, 0) välinen etäisyys. 1 1 d ( x x ) ( y y ) (8 ) (0 4) 5 7,1110 7, Vastaus: Veneiden etäisyys on 7, km. b) Veneiden nopeus (km/h) kulkusuuntaan saadaan nopeusvektoreiden pituudesta. Ensimmäisen veneen nopeusvektori on v1 4i j, jonka pituus on v 1 4 ( ) 5. Toisen veneen nopeusvektori on v i j, jonka pituus on v ( 1) 10,16,. Vastaus: Ensimmäisen veneen nopeus on 5 km/h ja toisen, km/h c) Määritetään veneiden paikka tunnin kuluttua paikkavektoreiden avulla. Tunnin aikana molemmat etenevät nopeusvektorinsa verran. Merkitään ensimmäisen veneen paikkaa tunnin kuluttua pisteellä A ja toisen veneen paikkaa pisteellä B. Lasketaan näiden pisteiden paikkavektorit. Pisteiden koordinaatit ovat tällöin A=(6, 1) ja B=(7, ). Pisteiden etäisyys on 1 1 d ( x x ) ( y y ) (7 6) ( 1) 5,,. Vastaus: Veneet ovat, km:n päässä toisistaan. d) Kolmessa tunnissa veneet etenevät kolme kertaa nopeusvektorinsa pituisen matkan. Veneet ovat nyt pisteissä A ja B. Täten kolmen tunnin päästä veneet ovat pisteissä X ja Y, joiden paikkavektorit ovat OX OA v1 (6 i j ) (4i j ) 6i j 1i 9j 18i 8j OY OA v (7i j ) ( i j ) 7i j i 9j 4i 1 j. Ensimmäinen vene on pisteessä (18, 8) ja toinen vene pisteessä (4, 1). Hahmotellaan reitti. KERTOMA 8! MAB8 14

18 Vektorit avaruudessa 194. a) AB (4) i ( ( )) j (1) k i j k b) Vektorin pituus on AB 1 ( 1) 1. c) Merkitään janan AB keskipistettä kirjaimella C. Pisteen C paikkavektori 1 1 OC OA AB i j k i j k i j k i j k i j k. 7 5 Pisteen C koordinaatit ovat,,. Vastaus: a) AB i j k b) c) 7 5,, 195. a) Lasketaan lävistäjävektorin i j 6k pituus: ( ) Vastaus: 7 Vastaus: Ensimmäinen vene on pisteessä (18, 8) ja toinen vene pisteessä (4, 1). b) Lävistäjävektorin komponentit antavat särmiön sivujen pituudet. Pituus: i. Leveys: j. Korkeus: 6k 6. Tällöin särmiön tilavuus on 6 = 6. Vastaus: 6 tilavuusyksikköä KERTOMA 8! MAB8 15

19 c) Särmiöllä on kahdeksan kärkipistettä, joista yksi on annetun lävistäjän loppupiste G(1, 1, 1). Kuvassa AB i AD j AF 6 k. Vastaavasti takatahkolle ADEF: OA OG GA i j k i 6k i j 5k OD OG GD i j k i j 6k i 4j 5k OE OG GE i j k i j i 4j k OF OG GF i j k i i j k Pisteet: A( 1, 1, 5), D( 1, 4, 5), E( 1, 4, 1) ja F( 1, 1, 1). Vastaus: A( 1, 1, 5), B(1, 1, 5), C(1, 4, 5), D( 1, 4, 5), E( 1, 4, 1), F( 1, 1, 1), G(1, 1, 1) ja H(1, 4, 1) Sanotaan muut pisteet pisteen G paikkavektorin OG i j k avulla. Määritetään ensin kuvan etutahkon BCHG kärkipisteet. OB OG GB i j k 6k i j 5k OC OG GC i j k j 6k i 4j 5k OH OG GH i j k j i 4j k Pisteet: B(1, 1, 5) C(1, 4, 5) ja H(1, 4, 1) Määritetään yksikkövektori, joka on lentokoneen etenemissuunnan suuntainen. 0 a Vektorin yksikkövektori määritetään a. a a i j 6k 0 a i j 6k i j 6k i j 6k a a ( ) Tällöin koneen nopeusvektori on 0 i j 6k v 800a i j 6 k. 7 7 Lentokone etenee maan suhteen vektorin b i j suuntaisesti. Lentokoneen nousukulma on tämän ja lentokoneen suuntavektorin välinen kulma. Nousukulma on vektoreiden a ja b välinen kulma α, joka saadaan ab kaavalla cos. a b Määritetään vektorien pistetulo ja pituudet. ab ( )( ) 60 1 a 7 b ( ) 1 KERTOMA 8! MAB8 16

20 Lasketaan vektorien välinen kulma. 1 cos , A sin(15,5 ) 7,48 7,. Vastaus: Kolmion pinta-ala on 7, pinta-alayksikköä , ja kone nousee 59 7 Vastaus: Nopeusvektori v i j k asteen kulmassa Kysytty kulma on vektoreiden a AB ja b AC välinen kulma. Määritetään vektorit. a AB (4 1) i (5 ) j (6 ) k i j k b AC (9 1) i (8 ) j (7 ) k 8i 6 j 4k ab Vektoreiden välinen kulma α määritetään kaavalla cos. a b Määritetään pistetulo ja vektoreiden pituudet. ab a 7 b cos ,515 Vastaus: Kolmion ABC pinta-ala voidaan laskea kaavalla A acsin. Tässä a AB ja c AC kulma on vektoreiden AB ja AC välinen kulma. Molemmat on laskettu edellisessä tehtävässä, joten Sijoitetaan särmiö kuvan mukaisesti koordinaatistoon. Tällöin a OA, i b AD OC 5 j ja c OF 4 k. Kysytty särmiön kulma ABC on vektoreiden BA ja BC välinen kulma α. Määritetään vektorit. BA a b c i 5j 4k 1 1 BC a c i 4k i 4k BA BC Kulma määritetään kaavalla cos. BA BC Määritetään pistetulo ja vektoreiden pituudet. KERTOMA 8! MAB8 17

21 41 BA BC ( 5) 0 ( 4) ( 4) BA ( 5) ( 4) 50 BC 7 0 ( 4) 4 41 cos ,67 47, Vastaus: 47, KERTOMA 8! MAB8 18

22 PIKAOSIO rad 0,9948 0, Vastaus: 0, , 6 rad 1, 6 91, 67 91, 67 Vastaus: 91,67. Laskimella sin 0,5 = 0, ,009 Vastaus: 0, Olkoon a 5i 6 j. Tällöin vektorin pituus on a ( 7,810 ). Vastaus: Olkoon a i 6j ja b i j. Tällöin pistetulo on ab11 6( ) Vastaus: Olkoon a i 6j ja b i j. Tällöin pistetulo on 11 (ks. edellinen tehtävä). Vektorien pituudet ovat a ja b 1 ( ) Vektorien välinen kulma α saadaan ab 11 cos 0,8087 a b , Vastaus: Vektorit a xi j ja b 4i j ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun niiden pistetulo on nolla. Pistetulo on abx4 ( ) 4x 6. 4x 60 4x x 1 1,5 4 Vastaus: x = 1,5 8. Olkoon a i j 5 k. Tällöin vektorin pituus on a 1 ( 5) ( 5,477 ). Vastaus: 0 9. Ratkaistaan yhtälö radiaaneina taulukkokirjan avulla. sin x 1 sin x sin x n, n0, 1,, Vastaus: x n, n0, 1,, KERTOMA 8! MAB8 19 PIKAOSIO

23 10. A = (0,, 1) ja B = (,, 1), joten AB ( 0) i ( ) j (1 1) k i 1j 0k i j. Kuvaaja tehtäviin Vastaus: AB i j. 11. Ratkaistaan yhtälö asteina laskimen avulla. cos 0,7 cos cos 45,57 45,57n60, n0, 1,, 45,6n60, n0, 1,, Vastaus: 45,6n60, n 0, 1,, 1. Ratkaistaan yhtälö asteina laskimen avulla. sin 0, 5 sin sin0 0n60 tai 1800n60, n 0, 1,, 0n60 : tai 150n 60 :, n 0, 1,, 15n180 tai 75n180, n 0, 1,, Etsitään, mitkä arvoista ovat välillä [400, 600 ] Kun n = 0, niin α = 15 (ei kelpaa) tai α = 75 (ei kelpaa) Kun n = 1, niin α = 195 (ei kelpaa) tai α = 55 (ei kelpaa) Kun n =, niin α = 75 (ei kelpaa) tai α = 45 (kelpaa) Kun n =, niin α = 555 (kelpaa) tai α = 615 (ei kelpaa) Kun n = 4, niin α = 75 (ei kelpaa) tai α = 795 (ei kelpaa) Kun n = 1, niin α = 165 (ei kelpaa) tai α = 105 (ei kelpaa) Ratkaisuista välillä 400 α 600 ovat arvot α = 45 ja α = 555. Vastaus: α = 45 tai α = 555. Punainen käyrä on funktion f(x) = 4cos x kuvaaja. Vihreä suora on vakiofunktion g(x) = kuvaaja. Sininen suora on funktion h(x) = 0,5x kuvaaja. 1. Luetaan kuvasta punaiselta käyrältä: kun x = 0, niin y = 4, joten f(0) = 4. Vastaus: f(0) = Luetaan kuvasta punaiselta käyrältä: kun x =, niin y 1,7, joten f( ) 1,7. Vastaus: f( ) 1,7 15. Luetaan kuvasta punaiselta käyrältä funktion nollakohdat: kun y = 0, niin x 4,7 tai x 1,6 tai x 1,6 tai x 4,7. Vastaus: f(x) = 0, kun x 4,7 tai x 1,6 tai x 1,6 tai x 4,7 16. Luetaan kuvasta punaiselta käyrältä: kun y =, niin x 1,1 tai x 1,1 (punaisen ja vihreän leikkauspisteet). Vastaus: f(x) =, kun x 1,1 tai x 1,1 KERTOMA 8! MAB8 140 PIKAOSIO

24 17. Luetaan kuvasta punaisen ja sinisen käyrän leikkauspisteiden x-koordinaatit: x 4, tai x 1,8 tai x 1,4. Vastaus: f(x) = h(x), kun x 4, tai x 1,8 tai x 1,4 18. Luetaan kuvasta vihreän ja sinisen käyrän leikkauspisteen x-koordinaatti: x 4,0. Vastaus: g(x) = h(x), kun x 4,0 KERTOMA 8! MAB8 141 PIKAOSIO

25 HARJOITUSKOE 1 1. a i j jab i j b) tan 1 : tan 0,5 Laskimella yksi kulma α = 6,565. Kaikki ratkaisut: α = 6,565 + n 180 α 6,57 + n 180. Vastaus: α 6,57 + n 180, n = 0, ±1, ±, Pituudet: a ( 1) 5,4 b ( ) ( ) 1, 61. Vektoreiden välinen kulma α: ab ( ) ( 1)( ) 1 cos a b ,1597. c) cosx 1 cosx cos0 x 0 n60 : x n180 Vastaus: x = n 180, n = 0, ±1, ±,. Piirretään mallikuva. Vastaus: a 5,4, b 1,61 ja 97. a) sin α = 0,7 Laskimella yksi ratkaisu α = 44,47. Kaikki ratkaisut: α = 44,47 + n 60 tai α = (180 ( 44,47 )) + n 60 α 44,4 + n 60 tai α 4,4 + n 60. Vastaus: α 44,4 + n 60 tai α 4,4 + n 60, n = 0, ±1, ±, Kolmion kulma A on vektoreiden 6 AB i j ja AC i j välinen kulma. Merkitään kulmaa α:lla. KERTOMA 8! MAB8 14 HARJOITUSKOE 1

26 ab cos a b ,5656,6 Kulma C on vektoreiden CA AC i j ja CB ( 1) i (6 1) j i 5 j välinen kulma. Merkitään kulmaa β:lla. 11 ( 1)5 6 cos ( 1) ( 1) ,09146, Kolmion kulmien summa on 180 astetta, joten kolmas kulma γ = 180 (α + β) = 7,15 7,1. Vastaus: 7,1, 6,6 ja 146, 4. Populaation koko (tuhansina) on Pt () 5sin t, missä t on aika kuukausina. a) Alussa t = 0, joten koko on P(0) 5 sin 0 5. Tulos on tuhansia, joten populaation koko alussa on Lopussa t = 10, joten koko on P(10) 5 sin 10 7,598 7,6. Tulos on tuhansia, joten populaation koko lopussa on Kuva malliksi. Vastaus: Alussa 5000 ja lopussa 7600 yksilöä. b) Populaatio on pienimmillään, kun sin 1, t koska sinin pienin arvo on 1. Populaation koko on tällöin tuhansissa 5 + ( 1) =, eli pienin koko on 000. Ajankohta saadaan selville ratkaisemalla yhtälö. sin t 1 t n 1 t n Lasketaan, kuinka moni ratkaisu sopii tarkasteluvälille. n = 0, t = 0, (ei käy) n = 1, t = 0, + 1 =,666 n =, t = 0, + = 5,666 n =, t = 0, + = 8,666 n = 4, t = 0, + 4 = 11,666 (ei käy) Vastaus: Populaatio on 000 yksilöä kolmannella, kuudennella ja yhdeksännellä kuukaudella. KERTOMA 8! MAB8 14 HARJOITUSKOE 1

27 c) Yhtälöstä 5sin t 6 sin t 1 : 1 sin t Laskimella yksi arvo ja sinin ominaisuuksista kaikki ratkaisut. t 0,98... n tai t ( 0,98...) n t 0,98... n tai t, n t 0,16... n tai t 1,7... n Lasketaan, kuinka moni ratkaisu sopii tarkasteluvälille. n = 0, t = 0,16 n = 1, t = 0, =,16 n =, t = 0,16 + = 6,16 n =, t = 0,16 + = 9.16 n = 4, t = 0, = 1,16 (ei käy) n = 0, t = 1,7 n = 1, t = 1,7 + 1 = 4,7 n =, t = 1,7 + = 7,7 n =, t = 1,7 + = 10,7 (ei käy) Vastaus: Populaatio on 6000 yksilöä ensimmäisellä, toisella, neljännellä, viidennellä, seitsemännellä kahdeksannella ja kymmenennellä kuukaudella. 5. a) Vektorit ovat samansuuntaisia, jos löytyy reaaliluku r > 0 siten, että u rv, r 0. ( ai ) 4 jk r 5 i( a5) jk ( ai ) 4 jk 5 rira ( 5) jrk () ai4jk5 ri( ra5) r jrk Vektoriesitys on yksikäsitteinen. Saadaan yhtälöryhmä. a5r 4 ra 5r r Alimmasta yhtälöstä saadaan r =. Koska luvun r piti olla positiivinen, eivät vektorit voi olla samansuuntaisia. Vastaus: Ei millään vakion a arvolla. b) Vektorit ovat kohtisuorassa, jos niiden pistetulo on nolla. uv ( a) i 4 j k5 i ( a5) j k 5( a) 4( a5) ( 1) 10 15a4a0 11a 8 Tämä saa arvon nolla, kun 11a a 8 :11 8 a. 11 Vastaus: 8 a 11 KERTOMA 8! MAB8 144 HARJOITUSKOE 1

28 6. Suunnikkaan yhtenä sivuna on origosta lähtevä vektori i j ja yksi 1 1 kärki on pisteessä, 1. 4 Määritä muut kärjet. Suunnikkaita on kaksi, joko tai Molemmilla suunnikkailla on kolme yhteistä pistettä: (0, 0), (1, ) ja 1 1, 1. 4 Neljännen pisteen paikkavektori on ensimmäisessä tilanteessa OX OB ( i j ) i j i j i j Joten piste on 4,1. 4 Toisessa OY OB ( i j ) i j i j i j, joten piste on, Vastaus: Muut kärjet ovat joko (0, 0), (1, ) ja, 4 4 tai 1 (0, 0), (1, ) ja 4, a) 1 cosx x n :, 4 x n, 8 n 0, 1,, n 0, 1,, Ensimmäisessä suunnikaan määräävät sivuvektorit i j ja 10 5 i j Toisessa vektorit i j ja 1 i j i j. 4 4 Vastaus: x n, n0, 1,, 8 KERTOMA 8! MAB8 145 HARJOITUSKOE 1

29 b) 1 sinx 0 1 sinx sinx sin 6 x n 6 x n 6 x n tai tai tai x n, 6 n 0, 1,, 5 x n, n 0, 1,, 6 x n, n 0, 1,, 6 Kun n 0, niin x 0 tai x Kun n1, niin 1 x 1 tai x Kun n, niin 7 5 x tai x 6 6 Kun n1, niin 5 11 x 1 tai x Kun n, niin 9 x tai x 6 6 Vastaus: x tai x tai x tai x tai x tai x KERTOMA 8! MAB8 146 HARJOITUSKOE 1

30 HARJOITUSKOE 1. a) Sini on yksikköympyrän y-koordinaatti, joten sin α = 0,5. b) Kosini on yksikköympyrän x-koordinaatti, joten cos α = 0,87. sin 0, 5 c) tan 0,5747 0,57 cos 0,87 Vastaus: a) 0,5 b) 0,87 c) 0,57. Esitetään vektori c vektoreiden a b ja a b komponenttina. c x( ab) y( ab) a6 b x( ab) y( ab) Selvitetään luvut x ja y. Komponenttiesitys on yksikäsitteinen. a6 b x( ab) y( ab) a6b xaxb yayb a6 b ( xy) a( xy) b Komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten x y x y 6. Lasketaan yhtälöt puolittain yhteen, jolloin saadaan x 4 : x. Sijoitetaan ylempään yhtälöön. y y 4 Tällöin pyydetty komponenttiesitys on c ( ab) 4( a b). ab xx6 6 x 6. Pistetulo on oltava 11, joten saadaan yhtälö x 6 11 x 5 x 5.. Muodostetaan pistetulo Vastaus: x = ±5. 4. a) xcos x = x Yhtälöllä on ratkaisu, kun x = 0. xcos x x : x cos x 1 cos x 1, kun x 0 Kun huomioidaan kosinin jakso π, niin kaikki ratkaisut ovat x = nπ, n = 0, ±1, ±, Vastaus: x = nπ, n = 0, ±1, ±, b) sin 0,5x = 1 Sini saa arvon 1, kun kulma on. Kun huomioidaan sinin jakso π, niin kaikki ratkaisut kulmalle 0,5x ovat 0,5x n : 0,5 x n4. Vastaus: x = π + n4π, n = 0, ±1, ±, Vastaus: c ( ab) 4( a b) KERTOMA 8! MAB8 147 HARJOITUSKOE

31 5. a) tan x = Määritetään laskimella yksi ratkaisu kulmalle radiaaneina (asteet käyvät yhtä hyvin). x = 1,107 1,11 (x = 6,4 6,4 ) Tangentin jakso on π (180 ), joten saadaan kaikki ratkaisut kahden desimaalin tarkkuudella:. x 1,11 +nπ, n = 0, ±1, ±, (x 6,4 + n 180 ) Vastaus: x 1,11 +nπ, n = 0, ±1, ±, b) Tässä on käytettävä radiaaneja. a-kohdan perusteella: x 1, 1,107 n x 0,098 n. Vastaus: x 0,09 + nπ, n = 0, ±1, ±, c) cos x 1 cos x 1 cos x 1 tai cos x 1 Ratkaistaan molemmat yhtälöt erikseen: cos x = 1 cos x = 1, kun x = π. Kun huomioidaan kosinin jakso π, niin kaikki ratkaisut ovat x = π + nπ, n = 0, ±1, ±, cos x = 1 cos x = 1, kun x = 0. Kun huomioidaan kosinin jakso π, niin kaikki ratkaisut ovat x = nπ, n = 0, ±1, ±, Koko ratkaisu on täten x = π + nπ, n = 0, ±1, ±, tai x = nπ, n = 0, ±1, ±, Nämä voidaan yhdistää, jolloin saadaan x = nπ, n = 0, ±1, ±, Vastaus: x = nπ, n = 0, ±1, ±, 6. Määritetään vektorit komponenttimuodossa. p AB ( ( 1)) i ( 11) j i j q BC ( ) i ( ( 1)) j i 4 j r CA ( 1) i (1 ) j 4i j Lasketaan summat. p q r i j i 4j 4i j i j i 4j 4i j ( 14) i ( 4 ) j 0 p q r i j i 4j 4i j 9i 6j i 4j 8i 4j (918) i ( 644) j 14 j Vastaus: p i j, q i 4 j, r 4i j, pq r 0 ja p q r 14 j. KERTOMA 8! MAB8 148 HARJOITUSKOE

32 7. a) Päätellään kuvaajasta jakso, joka on π. Kun x = 0, saa funktio suurimman arvon, joka on 4. Myös kosinifunktion jakso on π, ja se saa suurimman arvon yksi kohdassa x = 0. Tästä voidaan päätellä, että funktion lauseke on f(x) = 4cos x. Vastaus: f(x) = 4cos x b) Päätellään kuvaajasta jakso, joka on π. Kun x = 0, saa funktio pienimmän arvon, joka on 1. Myös kosinifunktion jakso on π, ja se saa suurimman arvon yksi kohdassa x = 0 ja pienimmän kohdassa x = π. Funktion suurin arvo on kolme, joka saadaan kohdassa x = π. Funktiolle cos (π x) pätee funktion ehdot, jos ei huomioida arvoja. Kun lisätään luku kaksi, niin saadaan pienin ja suurin arvo oikein. Kysytty funktio on täten f(x) = cos (π x) +. Toinen vaihtoehto on kääntää funktio muotoon cos x. Vastaus: f(x) = cos (π x) + KERTOMA 8! MAB8 149 HARJOITUSKOE

33 HARJOITUSKOE 1. a) Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät, joten AB DC a ja AD BC b a AB (0 4) i (5 ) j 16i j b AD (7 4) i (1 ) j i 9 j. Määritetään pisteen C paikkavektori, josta voidaan lukea pisteen C koordinaatit. OC OA AB BC OA a b 4i j 16i j i 9j (4 16 ) i ( 9) j i 14 j Piste C = (, 14). Vastaus: (, 14) b) Vektoreiden välinen kulma on kysytty kulma α ab cos. a b Määritetään pistetulo ja vektoreiden pituudet. ab a b 9 90 ab 66 cos a b ,440064,4 c) Lävistäjävektorit AC a + b 16i j i 9j 19i 11j BD a + b 16i j i 9j 1i 7 j Vastaukseksi käy luonnollisesti myös näiden vastavektorit. Vastaus: AC 19i 11 j, BD 1i 7 j. a) cos α = cos 10 Kosinin parillisuuden ja jaksollisuuden nojalla α = 10 + n 60 tai α = 10 + n 60. Vastaus: α = 10 + n 60 tai α = 10 + n 60, n = 0, ±1, ±, b) sin α = sin 70 Saman kulman ja suplementtikulmien sini on sama. Huomioidaan lisäksi sinin jakso. 70n 60 : tai (18070 ) n 60 : 15n180 tai 45n180 Toinen ratkaisu sisältyy ensimmäiseen, sillä α = = 15. Vastaus: α = 15 + n 180, n = 0, ±1, ±, Vastaus: 64,4 KERTOMA 8! MAB8 150 HARJOITUSKOE

34 c) tan sin0 tan 0,5 Määritetään laskimella yksi ratkaisu kulmalle. α = 6,565 6,6 Tangentin jakso on 180, joten kaikki ratkaisut yhden desimaalin tarkkuudella ovat α 6,6 + n 180, n = 0, ±1, ±, Vastaus: α 6,6 + n 180, n = 0, ±1, ±, c) i j 10i 15j a b i j i j Vastaus: a) Vektorin yksikkövektori määritetään a lasketaan kaavalla d a b. 0 a i j i j a a ( ) 1 0 a. Vektorin pituus a Vastaus: 0 i j a 1 b) Vektori b on vastakkaissuuntainen ja pituudeltaan viisi kertaa vektorin a yksikkövektori, joten 0 i j 5(i j) 10i 15j b 5a 5. ( ) 1 1 Vastaus: b 10i 15j 1 KERTOMA 8! MAB8 151 HARJOITUSKOE

35 4. Lasketaan funktion arvoja taulukkoon. Aloitetaan π:stä ja lopetetaan π:hin. Jos funktion jakso ei ole löytynyt, niin laajennetaan aluetta. x y = + sin x x y = + sin x 15 8, ,9 1 1, , ,9 8,707 a) Kuvaajasta voidaan päätellä, että funktion jakso on π. Vastaus: Funktion jakso on π. b) Suurin arvo saadaan kuvaajan huipussa, ja arvo on kolme. Pienin arvo saadaan alimmassa paikassa, ja se on yksi. Vastaus: Suurin arvo on kolme ja pienin arvo yksi. Hahmotellaan pisteiden avulla kuvaaja. Taulukosta voi päätellä, että jakso saadaan määritettyä, koska samat arvot toistuvat. KERTOMA 8! MAB8 15 HARJOITUSKOE

36 c) Piirretään suora y = 1,5 samaan koordinaatistoon funktion kuvaajan kanssa ja saadaan yhtälön + sin x = 1,5 ratkaisut leikkauspisteistä. Kaikki ratkaisut saadaan huomioimalla jo määritetty funktion jakso π. 7 Lasketaan likiarvot x 1,8 1 ja x 0,61, jolloin 1 ratkaisu saadaan likiarvona muotoon x 1,8 + nπ tai x 0, + nπ, n = 0, ±1, ±,, mikä on sama kuin kuvasta määritettynä. Ensimmäinen ratkaisu on likimain x 0, ja seuraava x 1,8. Kaikki ratkaisut toistuvat jakson mukaisesti. x 0, + nπ tai x 1,8 + nπ, n = 0, ±1, ±, Tarkistetaan ratkaisemalla yhtälö algebrallisesti. sinx 1,5 sinx 0,5 7 x sin sin 6 7 x n 6 7 x n : 6 7 x n 1 7 ( x n 1 tai tai tai tai 7 x, 6 n n 0, 1,, x n 6 :, n 0, 1,, x n, 1 n 0, 1,, 11 x n, 1 n 0, 1,, ) KERTOMA 8! MAB8 15 HARJOITUSKOE

37 (Tai ratkaistaan suoraan laskimen arvoilla ilman piitä. Määritetään yksi ratkaisu laskimella. x = 0, Toinen ratkaisu on tämän kulman suplementtikulma. x = π ( 0, ) =, Huomioidaan sinin jakso ja saadaan kaikki ratkaisut. x 0, n : tai x, n :, x 0,61799n tai x 1,85957 n, Pyöristetään vastaus yhden desimaalin tarkkuuteen. x 0, + nπ tai x 1,8 + nπ, n = 0, ±1, ±, ) n 0, 1,, n 0, 1,, Vastaus: 7 x n tai 1 1, 8 n tai x n, 1 n0, 1,, 0, n, n 0, 1,, KERTOMA 8! MAB8 154 HARJOITUSKOE

38 5. Merkitään pisteet A(, 5, 7), B(4, 1, 6) ja C(1, 1, 0). a) b) Kolmion pienin kulma on lyhyimmän sivun vastainen kulma. Lasketaan kolmion sivuvektorit. AB (4 ) i ( 15) j ( 6 7) k i 6j 1k AC (1) i (15) j (0 7) k i 4 j 7k BC (14) i (1 ( 1)) j (0 ( 6)) k i j 6k Lasketaan vektoreiden pituudet: AB 1 ( 6) ( 1 ) 06 AC BC ( ) ( 4) ( 7) 69 ( ) lyhyin. Kysytty pienin kulma on vektoreiden AB ja AC välinen kulma. Vektorien välinen kulma lasketaan ab cos. a b Määritetään pistetulo. AB AC 1 ( ) ( 6) ( 4) ( 1) ( 7) cos ,59918,6 Vastaus: Kolmion pienin kulma on 18,6 ja lyhyin sivu on 7. 1 c) Kolmion pinta-ala A acsin. 1 A sin18,59919, ,0 Vastaus: 19,0 KERTOMA 8! MAB8 155 HARJOITUSKOE

39 6. Vektorit ovat kohtisuorassa, jos ab 0. ab xi j ( x1) i j x( x1) ( 1) x x Ratkaistaan yhtälö. x x ( ) x x x tai x 1 Vastaus: x = tai x = 1 7. ht () cos t A b) Yhden kierroksen aika on sama kuin funktion ht () cos t 4 jakso. Funktion jakso on 4. Vastaus: Yksi kierros kestää neljä sekuntia. c) Lasketaan funktion arvo, kun t = 1,5. h(1,5) cos 1,5 4 1,878 1,9 Vastaus: 1,9 m a) Pyörän säde on kolme metriä, ja pisteen etäisyys pohjasta on pienimmillään 1 m. Funktion h(t) pienin arvo on oltava täten yksi. Kosinin arvojoukko on [ 1, 1]. Funktion h pienin arvo on tällöin ( 1) + A = + A. Yhtälöstä A 1 A 4. Vastaus: A = 4 KERTOMA 8! MAB8 156 HARJOITUSKOE

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Sanna Hassinen. Katariina Hemmo. Timo Taskinen SIGMA. Matemaattisia malleja III. Opettajan opas. Kustannusosakeyhtiö TAMMI

Sanna Hassinen. Katariina Hemmo. Timo Taskinen SIGMA. Matemaattisia malleja III. Opettajan opas. Kustannusosakeyhtiö TAMMI L u k i o n l y h y t m a t e m a t i i k k a Sanna Hassinen Katariina Hemmo Timo Taskinen SIGMA 8 Matemaattisia malleja III Opettajan opas Kustannusosakeyhtiö TAMMI Helsinki 1. 2. painos Tekijät ja Kustannusosakeyhtiö

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat? 2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt Tämän asian otsake on takavuosina ollut Trigonometriset yhtälöt ja sen käsittely tuolloin ollut huomattavasti laajempi. Perusyhtälöillä tarkoitetaan muotoa sin x = a tan x = c cos x = b (cot x = d) olevia

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat Yhteen- ja vähennyslaskukaavoiksi sanotaan trigonometriassa niitä kaavoja, jotka sisältävät kehitelmät kahden reaaliluvun summan tai erotuksen trigonometriselle funktiolle, kuten sin( + y) sin cos y +

Lisätiedot

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö. TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts.

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts. 49 3 VEKTORIT 3.1 VEKTORIN KÄSITE Vektori on suure, jolla suuruuden lisäksi on myös suunta (esim. kiihtyvyys). Skalaari puolestaan on suure, jolla on vain suuruus (esim. tiheys). Vektori graafisesti: Vektorin

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

1.4 Suhteellinen liike

1.4 Suhteellinen liike Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla 3 Vektorin kertominen reaaliluvulla Summalla a + a + a tarkoitetaan lausekkeessa esiintyvän vektorin a kanssa samansuuntaista, mutta pituudeltaan tähän nähden kolminkertaista vektoria. Tätä summaa on tarkoituksenmukaista

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot