Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun.
|
|
- Sami Manninen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 17. lokakuuta 2016
2 Kompleksiluvut
3 Kompleksiluku Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari missä x ja y ovat reaalilukuja. z = (x, y), Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Reaali- ja imaginaariosia merkitään seuraavasti Re z = x, Im z = y. Kompleksiluvut z ja u ovat yhtäsuuret, jos ja vain jos Re z = Re u ja Im z = Im u
4 Laskutoimitukset Kompleksiluvuille z 1 = (x 1, y 1 ) ja z 2 = (x 2, y 2 ) voidaan määritellä yhteen- ja vähennyslasku kaavoilla z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), z 1 z 2 = (x 1 x 2, y 1 y 2 ), kertolasku kaavalla z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ), ja jakolasku kaavalla ( z 1 x1 x 2 + y 1 y 2 = z 2 x2 2 + y 2 2, x ) 1y 2 + x 2 y 1 x2 2 + y 2 2.
5 Tavanomainen esitys Yhteen- ja kertolaskun määritelmien perusteella (x 1, 0) + (x 2, 0) = (x 1 + x 2, 0), (x 1, 0)(x 2, 0) = (x 1 x 2, 0). Täten kompleksilukujen voidaan ajatella laajentavan reaalilukujen joukkoa ja merkitsemme (x, 0) = x. Ottamalla nyt käyttöön imaginaariyksikön merkintä i = (0, 1) päästään tavanomaiseen kompleksilukujen esitykseen z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy Erityisesti i 2 = (0, 1)(0, 1) = (0 1, 0 + 0) = ( 1, 0) = 1
6 Laskutoimitukset Tavanomaista esitykselle yhteenlaskuksi saadaan z 1 + z 2 = (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) ja vähennyslaskuksi z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 ) + i(y 1 y 2 )
7 Laskutoimitukset Tavanomaista esitykselle kertolaskuksi saadaan z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + iy 1 x 2 + i 2 y 1 y 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) ja jakolaskuksi z 1 z 2 = x 1 + iy 1 x 2 + iy 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 iy 2 ) (x 2 + iy 2 )(x 2 iy 2 ) = x 1x 2 ix 1 y 2 + iy 1 x 2 i 2 y 1 y 2 x 2 2 i2 y 2 2 = x 1x 2 + y 1 y 2 x y i x 2y 1 x 1 y 2 x y 2 2
8 Esimerkki laskutoimituksista ESIMERKKI. Kerto- ja jakolasku Olkoot z 1 = 3 + 7i ja z 2 = 5 6i. Tällöin ja z 1 z 2 = (3 + 7i)(5 6i) = 15 18i + 35i 42i 2 = i z 1 z 2 = 3 + 7i 5 6i = (3 + 7i)(5 + 6i) (5 6i)(5 + 6i) i + 35i + 42i2 = i 30i 36i 2 = i 53 61
9 Yhteenlaskun ominaisuudet Yhteenlaskulla on seuraavat ominaisuudet: (1) z 1 + z 2 = z 2 + z 1 (2) (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) (3) on olemassa kompleksiluku ω, jolle pätee z + ω = z kaikilla kompleksiluvuilla z. Kyseessä on selvästi kompleksiluku nolla 0 = (0, 0). (4) jokaisella kompleksiluvulla z on olemassa vastaluku η, siten että z + η = 0. Selvästi jos z = (x, y) niin η = ( x, y).
10 Esimerkki yhteenlaskun ominaisuuksista ESIMERKKI. Vaihdannaisuuden todistaminen Olkoot z 1 = (x 1, y 1 ) ja z 2 = (x 2, y 2 ). Tällöin z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) yhteenlaskun määritelmä = (x 2 + x 1, y 2 + y 1 ) reaalilukujen vaihdannaisuus = (x 2, y 2 ) + (x 1, y 1 ) yhteenlaskun määritelmä = z 2 + z 1
11 Kertolaskun ominaisuudet Kertolaskulla on seuraavat ominaisuudet: (1) z 1 z 2 = z 2 z 1 (2) z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 )z 3 (3) on olemassa kompleksiluku ψ, jolle pätee zψ = z kaikilla kompleksiluvuilla z. Kyseessä on kompleksiluku yksi 1 = (1, 0). (4) jokaisella z 0 on olemassa luku z 1 (, jolle pätee z 1 ) z = 1. Kyseessä on käänteisluku z 1 = 1 z = x x 2 +y, y 2 x 2 +y 2 (5) z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3
12 Liittoluku Kompleksiluvun z = (x, y) = x + iy liittoluku eli kompleksikonjugaatti on z = (x, y) = x iy. Liittoluvulla on seuraavat ominaisuudet: o z = z o z 1 + z 2 = z 1 + z 2 o z ( 1 z 2 ) = z 1 z 2 z o 1 z 2 = z1 z 2 Kompleksiluvun z reaali- ja imaginaariosa voidaan esittää liittoluvun avulla seuraavasti Re z = 1 2 (z + z) ja Im z = 1 (z z) 2i
13 Esimerkki laskutoimituksista ESIMERKKI. Liittoluku Lasketaan kompleksiluvun (5 + i)(2 + i) imaginaariosa. Im((5 + i)(2 + i)) = Im((5 + i) (2 + i)) = Im((5 i)(2 i)) = Im(10 7i + i 2 ) = Im(9 7i) = 7
14 Kompleksitaso
15 Kompleksitaso Koska kompleksiluku on järjestetty reaalilukupari voidaan kompleksiluvun ajatella vastaavan pistettä tasossa Kompleksiluku z = (x, y) voidaan havainnollistaa vektorina xy-tasossa. Vektorin alkupiste sijaitsee origossa ja päätepiste kohdassa (x, y). Tätä xy-tasoa kutsutaan kompleksitasoksi tai z-tasoksi Matemaattisesti kompleksitaso määritetään joukoksi ja sille käytetään merkintää C R R = {(x, y) x, y R}
16 Tason akselit Kompleksiluvun reaaliosa x = Re z on pisteen (x, y) projektio x-akselille Kompleksiluvun imaginaariosa z = Im z on pisteen (x, y) projektio y-akselille Täten x-akselia kutsutaan reaaliakseliksi ja y-akselia imaginaariakseliksi Imaginaariakseli y (x1,y1) y1 x1 x Reaaliakseli
17 Kompleksilukujen yhteenlasku Kompleksilukujen summa vastaa kompleksitasossa vektoriyhteenlaskua y z 1 z 1 +z 2 z 2 x
18 Kompleksilukujen erotus Kompleksilukujen erotus vastaa kompleksitasossa vektorivähennyslaskua y z 1 z 2 z 1 z 2 x z 2
19 Moduuli Kompleksiluvun z = (x, y) moduuli eli itseisarvo on z = x 2 + y 2 = zz Moduuli on pisteen (x, y) etäisyys origosta Moduuli on ei-negatiivinen reaaliluku, joka saa arvon nolla vain kun z = 0 z 1 z 2 on pisteiden z 1 ja z 2 etäisyys Moduulilla on seuraavat ominaisuudet z 1 z 2 = z 1 z 2 ja z 1 = z 1 z 2 z 2 (z 2 0)
20 Esimerkki moduulista ESIMERKKI. Moduuli Lasketaan kompleksilukujen z 1 = 1 + 2i ja z 2 = 3 + 2i moduulit sekä tulon z 1 z 2 moduuli. z 1 = = 5 ja z 2 = = 13 Moduulin ominaisuuden perusteella z 1 z 2 = z 1 z 2 = 5 13 = 65 tai z 1 z 2 = 1 + 8i = ( 1) = 65
21 Esimerkki moduulista ESIMERKKI. Etäisyys Yhtälö z 3 = 2 kuvaa ympyrää jonka keskipiste on kohdassa z = 3 ja jonka säde on 2. Tarkastellaan sijaitsevatko pisteet 1 + i ja 2 i ympyrän sisäpuolella. Pisteet sijaitsevat sisäpuolella jos pisteelle z 0 pätee ehto z 0 3 < 2. Laskemalla saadaan pisteelle 1 + i 1 + i 3 = 2 + i = ja pisteelle 2 i 2 i 3 = 1 i = ( 2) = 5 > 2 Ei ( 1) 2 + ( 1) 2 = 2 < 2 Kyllä
22 Napakoordinaatisto Tason piste (x, y) voidaan esittää napakoordinaattien (r, φ) avulla muodossa x = r cos φ ja y = r sin φ missä r on pisteen etäisyys origosta ja φ kiertokulma x-akselista (positiivinen kiertosuunta vastapäivään) Täten kompleksiluku voidaan esittää polaarimuodossa z = x + iy = r(cos φ + i sin φ), missä r = z ja napakulmaa φ sanotaan kompleksiluvun argumentiksi, josta käytetään merkintää arg z φ = arg z = arctan y x, z 0
23 Napakoordinaatisto y z = (x,y) z φ x
24 Argumentti Kompleksiluvun z argumentti arg z on 2π:n monikerran tarkkuudella määritelty reaaliluku. Argumentille sovitaan päähaara, jota merkitään Arg. Päähaaraksi sovimme π < Arg z π Täten arg z = Arg z + 2πk, k Z
25 Argumentin määrittäminen Sinin ja kosinin jakso on 2π kun taas tangentin jakso on π Määritettäessä kompleksiluvun päähaaraa täytyy ottaa huomioon missä koordinaattineljänneksellä luku sijaitsee Yleisesti arg z = { arctan y/x Re x > 0 ±π + arctan y/x Re x < 0.
26 Esimerkki polaarimuodosta ESIMERKKI. Kompleksilukujen polaarimuoto Olkoot z 1 = 1 + i ja z 2 = 1 i. Määritetään lukujen moduulit ja päähaarat. Täten ja z 1 = = 2, z 2 = φ 1 = arctan 1 1 = 1 4 π, ( 1) 2 + ( 1) 2 = 2 φ 2 = π + arctan 1 1 = 3 4 π z 1 = 2(cos π/4 + i sin π/4) z 2 = 2(cos( 3π/4) + i sin( 3π/4)) = 2(cos 3π/4 i sin 3π/4)
27 Kolmioepäyhtälö Kolmioepäyhtälö kompleksiluvuille z 1 + z 2 z 1 + z 2 Kolmion sivun pituus on aina korkeintaan kahden muun sivun pituuksien summa Yleistettynä z 1 + z z n = z 1 + z z n y z1 +z2 z2 z1 +z2 z2 z1 z1 x
28 Kompleksilukujen tulo Esittämällä kompleksiluvut z 1 ja z 2 napakoordinaateissa: z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ), z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) tulolle z 1 z 2 saadaan z 1 z 2 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 )r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) Täten tulolle pätee = r 1 r 2 (cos φ 1 cos φ 2 sin φ 1 sin φ 2 +i(cos φ 1 sin φ 2 + sin φ 1 cos φ 2 )) = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 )) 1 z 1 z 2 = z 1 z 2 ja arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 1 sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x, cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y
29 Tulo napakoordinaatistossa z 1 z 2 y z 2 φ 1 +φ 2 z 1 z 2 z 1 φ 2 φ 1 x
30 Kompleksilukujen osamäärä Käyttämällä napakoordinaattiesitystä osamäärälle saadaan z 1 z 2 = z 1z 2 z 2 z 2 = r 1(cos φ 1 + i sin φ 1 )r 2 (cos( φ 2 ) + i sin( φ 2 )) r2 2 = r 1 (cos(φ 1 φ 2 ) + i sin(φ 1 φ 2 )) r 2 Osamäärälle pätee täten z 1 z = z 1 ja 2 z 2 arg ( ) z1 z 2 = arg z 1 arg z 2
31 Osamäärä napakoordinaatistossa y z 2 z 1 φ 1 φ 2 z 1 z 2 φ 1 φ 2 x
32 De Moivre n kaava Tulon ja osamäärän ominaisuuksien avulla voimme johtaa de Moivren kaavan (cos φ + i sin φ) n = cos nφ + i sin nφ, n Z Voimme hyödyntää kaavaa kompleksiluvun juurten laskemisessa
33 Kompleksilukujen juuret Etsitään annetun kompleksiluvun z n:s juuri Käyttämällä polaarimuotoa w = n z z = r(cos φ + i sin φ), w = R(cos ψ + i sin ψ) ja de Moivren kaavaa, saamme kirjoitettua yhtälön w n = z muotoon R n (cos nψ + i sin nψ) = r(cos φ + i sin φ) Täten ja R n = r R = n r nψ = φ + 2kπ ψ = φ n + 2kπ n, k Z
34 Kompleksilukujen juuret Täten saadaan n z = n r ( cos φ + 2kπ n + i sin φ + 2kπ ) n Erisuuret juuret saadaan kun k = 0, 1,..., n 1. Saadaan siis n kappaletta juuria. Juuret sijaitsevat n r-säteisen ympyrän kehällä tasaisesti jakautuneina ja muodostavat säännöllisen n-monikulmion. Erityisesti jos z = 1 niin r = 1, φ = 0 ja juuret sijaitsevat yksikköympyrän kehällä ja monikulmion kärjet pisteissä ( ) 2kπ cos + i sin n ( 2kπ n ), k = 0, 1,..., n 1
35 Esimerkki juurista ESIMERKKI. Kompleksilukujen juuret Ratkaistaan yhtälö z 8 = 1 eli muodostetaan juuret 8 1. Aiemman perusteella ( ) 2kπ z k = cos + i sin 8 ( 2kπ 8 ), k = 0, 1,..., 7 Sijoittamalla arvot yhtälöön ratkaisuksi saadaan ±1, ±i, ±( 2 + i 2)/2 ja ±( 2 i 2)/2. i 1 1 i
36 Kompleksifunktiot ja kuvaukset
37 Kompleksifunktio Kompleksimuuttujan (yksiarvoinen) funktio f : D C C on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon D pisteeseen z yksikäsitteisen kompleksiluvun w. Kirjoitamme w = f (z) Joukkoa D kutsutaan funktion f määrittelyjoukoksi Joukkoa R = {w = f (z) : z D} kutsutaan funktion f arvojoukoksi
38 Kompleksifunktio Merkitsemällä z = x + iy ja w = u + iv saamme esityksen f (x + iy) = u + iv Koska u ja v riippuvat muuttujista x ja y voimme kirjoittaa f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) Jos u(x, y) ja v(x, y) ovat annettu niin voimme käyttää kaavoja Re z = x = 1 2 (z + z) ja Im z = y = 1 (z z) 2i ilmaistaksemme funktion f muuttujien z ja z avulla
39 Esimerkki kompleksifunktiosta ESIMERKKI. Kompleksifunktio Esitetään funktio f (z) = z 2 muodossa f (z) = u(x, y) + iv(x, y). f (z) = (x + iy) 2 = x 2 + 2ixy + i 2 y 2 = (x y 2 ) + i2xy Nyt siis u(x, y) = x y 2 ja v(x, y) = 2xy
40 Esimerkki kompleksifunktiosta ESIMERKKI. Kompleksifunktio Esitetään funktio f (z) = 4x 2 + i4y 2 muuttujien z ja z avulla. ( ) 1 2 ( ) 1 2 f (z) = 4 2 (z + z) + i4 2i (z z) = z 2 + 2zz + z 2 i(z 2 2zz + z 2 ) = (1 i)z 2 + (2 + 2i)zz + (1 i)z 2
41 Kompleksifunktion geometrinen tulkinta Kompleksifunktio w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) kuvaa joukon D transformaatiota z-tasosta (tai xy-tasosta) w-tasoon (tai uv-tasoon) y v w = f(z) D R x u
42 Translaatio (siirto) Olkoon B = a + ib annettu kompleksiluku. Kuvausta w = T(z) = z + B = x + a + i(y + b) kutsutaan translaatioksi. Se siirtää pisteen z vektorin a + ib verran pisteeseen w = T(z). y v B w = z +B x u
43 Skaalaus (mittakaavan muutos) Olkoon K > 0 annettu reaaliluku. Kuvausta w = S(z) = Kz = Kx + iky kutsutaan skaalaukseksi. Jos K < 1 kuvaus kutistaa pisteiden välistä etäisyyttä. Jos K > 1 kuvaus venyttää pisteiden välistä etäisyyttä. y v w = Kz x u
44 Rotaatio (kierto) Olkoon φ 0 annettu reaaliluku ja z 0 = cos φ 0 + i sin φ 0. Kuvausta w = R(z) = z 0 z kutsutaan rotaatioksi. Rotaatiossa pistettä z kierretään kulman φ 0 verran (origoon nähden). y v φ 0 w = R(z) x u
45 Lineaarinen kuvaus Olkoon A ja B annettuja kompleksilukuja. Kuvausta w = W (z) = Az + B kutsutaan lineaariseksi kuvaukseksi. Sen voidaan ajatella koostuvan rotaatiosta, skaalauksesta ja translaatiosta: missä K = A ja φ 0 = Arg A w = K(cos φ 0 + i sin φ 0 )z + B,
46 Esimerkki lineaarikuvauksesta ESIMERKKI. Lineaarinen kuvaus Osoitetaan että lineaarinen kuvaus w = f (z) = iz + i muuntaa tason Re z > 1 tasoksi Im w > 2. Merkitään z = x + iy, jolloin u + iv = w = i(x + iy) + i = y + i(x + 1) joten u = y ja v = x + 1. Täten Re z = x = v 1 > 1 v > 2 Kyseessä siis taso Im w = v > 2. Kuvaus voidaan kirjoittaa muotoon ( w = cos π 2 + i sin π ) z + i 2 Kuvauksessa siis tasoa Re z > 2 kierretään kulman π/2 verran vastapäivään ja siirretään yhden yksikön verran ylöspäin.
47 Esimerkki lineaarikuvauksesta ESIMERKKI. Jatkoa y v w = iz +i x u
48 Esimerkki lineaarikuvauksesta ESIMERKKI. Lineaarinen kuvaus Etsitään lineaarikuvaus, joka kuvaa pisteet z 1 = 2 ja z 2 = 3i pisteiksi w 1 = 1 + i ja w 2 = 1. Sijoittamalla pisteet yhtälöön w = Az + B saadaan yhtälöryhmä 1 + i = 2A + B 1 = 3iA + B Ratkaisuksi saadaan A = (3 + 2i)/13 ja B = ( 2 + 3i)/13, joten w = 1 1 (3 + 2i)z + ( 2 + 3i) 13 13
49 Esimerkki lineaarikuvauksesta ESIMERKKI. Lineaarinen kuvaus Muodostetaan lineaarinen kuvaus, jossa tasoa kierretään ja skaalataan pisteen z 1 = 1 + i suhteen. Valitaan rotaation arvoksi π/2 ja skaalauksen arvoksi 3. Tehdään ensiksi translaation avulla piste z 1 tason w a origoksi w a = z z 1 Suoritetaan seuraavaksi rotaatio ja skaalaus w b = 3(cos π/2 + i sin π/2)w a = 3iw a Siirrytään sitten translaation avulla w-tasoon w = w b + z 1 = 3i(z z 1 ) + z 1 = 3iz 2i + 4
50 Epälineaariset kuvaukset. Kuvaus w = z 2 Käyttämällä polaariesitystä w = R(cos θ + i sin θ), z = r(cos φ + i sin φ) kuvaukselle w = z 2 saadaan w = R(cos θ + i sin θ) = r 2 (cos 2φ + i sin 2φ) josta seuraa, että R = r 2 ja θ = 2φ. w = z 2 kuvauksessa siis ympyrät r = r 0 kuvautuvat ympyröiksi R = r 2 0 ja puolisuorat φ = φ 0 kuvautuvat puolisuoriksi θ = 2φ 0 y v w = z 2 x u
51 Epälineaariset kuvaukset. Kuvaus w = z 2 Merkitsemällä z = x + iy saadaan w = z 2 = x 2 y 2 + i2xy eli u = x 2 y 2 ja v = 2xy Kun x = a niin u = a 2 y 2 ja v = 2ay, josta saadaan u = a 2 v 2 4a 2 Suora x = a kuvautuu siis paraabeliksi. Samoin suora y = b kuvautuu paraabeliksi u = b 2 + v 2 4b 2
52 Epälineaariset kuvaukset. Kuvaus w = z 2 y v y = b x = a w = z 2 x u
53 Epälineaariset kuvaukset. Kuvaus w = 1/z Merkitsemällä z = x + iy saadaan kuvaukselle w = 1/z w = 1 x + iy = x iy x 2 + y 2 u = x x 2 + y 2, v = Kun x = a ratkaisemalla saadaan ( u 2 + v 2 = u/a u 1 ) 2 + v 2 = 2a y x 2 + y 2 ( ) 1 2 2a Suora kuvautuu siis ympyräksi, jonka keskipiste on kohdassa u = 1/(2a) ja v = 0 ja jonka säde on 1/(2a). Samoin voidaan osoittaa, että suora y = b muuntuu kuvauksessa ympyräksi, jonka keskipiste on kohdassa u = 0 ja v = 1/(2b) ja jonka säde on 1/(2b).
54 Epälineaariset kuvaukset. Kuvaus w = 1 z y v x = a w = 1 z y = b x u
55 Konformikuvaus Konformikuvaus on kulmien suuruuden ja suunnan säilyttävä kuvaus α w = f(z) α
56 Esimerkki konformikuvauksesta ESIMERKKI. Konformikuvaus f (z) = z 2 on konformikuvaus muualla paitsi pisteessä z = 0 y v w = z 2 x u
57 Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta
58 Kompleksifunktion raja-arvo Olkoon f (z) kompleksifunktio, joka on määritelty jossain pisteen z 0 ympäristössä 2, mutta ei välttämättä pisteessä z 0. Funktiolla f on raja-arvo w 0 kun z lähestyy pistettä z 0 edellyttäen, että f (z) lähestyy arvoa w 0 kun z lähestyy pistettä z 0. Merkitsemme lim z z 0 f (z) = w 0 Määritelmä Funktiolla f on raja-arvo w 0 pisteessä z 0, jos jokaisella luvulla ǫ > 0 on olemassa δ > 0 siten, että f (z) w 0 < ǫ kun z z 0 < δ 2 Joukko D C on pisteen z 0 ympäristö, jos z 0 D ja D on avoin
59 Esimerkki raja-arvosta ESIMERKKI. Raja-arvo Osoitetaan, että funktion f (z) = z 2 raja-arvo on -1 kun z i. Kun ǫ 3 valitaan δ = 1 eli z i < 1. Nyt kaikille pisteille z jotka toteuttavat ehdot z i < 1 pätee z 2 ( 1) = (z i)(z + i) = (z i)(z i + 2i) = z i ( z i + 2i ) z i ( z i + 2) < z i + 2 < 3 < ǫ Kun ǫ < 3 valitaan δ = ǫ/3 eli z i < ǫ 3. Nyt z 2 ( 1) z i ( z i + 2) < ǫ 3 ( ǫ ( ) ǫ ) = ǫ < ǫ 9
60 Kompleksifunktion raja-arvo Lause Jos raja-arvo on olemassa, niin se on yksikäsitteinen. Raja-arvo voidaan palauttaa reaalifunktioiden raja-arvoon. Olkoon f (z) = u(x, y) + iv(x, y) kompleksifunktio, joka on määritelty jossain pisteen z 0 = x 0 + iy 0 ympäristössä. Silloin lim z z 0 f (z) = w 0 = u 0 + iv 0 jos ja vain jos lim u(x, y) = u 0 ja lim v(x, y) = v 0 (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 )
61 Kompleksifunktion raja-arvo Lause Raja-arvosäännöt summalle, tulolle ja osamäärälle ovat samat kuin reaalifunktiolle. Olkoon lim z z0 f (z) = A ja lim z z0 g(z) = B. Tällöin lim [f (z) ± g(z)] = A ± B z z 0 lim f (z)g(z) = AB z z 0 f (z) lim z z 0 g(z) = A B, B 0
62 Esimerkki raja-arvosta ESIMERKKI. Raja-arvo Lasketaan Koska Saadaan z i z = lim z i z i z 2 + i lim z i z i z z i (z i)(z + i) = 1 z + i 1 = lim z i z + i = 1 2i = 1 2 i
63 Esimerkki raja-arvosta ESIMERKKI. Raja-arvo Etsitään funktion f (z) = z 2 2z + 1 raja-arvo kun z 1 + i. Nyt f (z) = z 2 2z + 1 = x 2 y 2 2xy i(2xy 2y) Täten u = x 2 y 2 2xy + 1 ja v = 2xy 2y. Laskemalla raja-arvot u 0 = lim u(x, y) = = 1 (x,y) (1,1) ja saadaan v 0 = lim v(x, y) = 2 2 = 0 (x,y) (1,1) lim f (z) = u 0 + iv 0 = 1 z 1+i
64 Kompleksifunktion jatkuvuus Määritelmä Funktio f on jatkuva pisteessä z 0, jos se on määritelty jossain pisteen z 0 ympäristössä, erityisesti pisteessä z 0, ja f (z 0 ) = lim z z0 f (z) Funktio on siis jatkuva pisteessä z 0 jos raja-arvo lim z z0 f (z) on olemassa, funktio on määritelty pisteessä z 0 ja jos raja-arvo yhtyy funktion arvoon pisteessä z 0
65 Kompleksifunktion jatkuvuus Lause Olkoon funktiot f ja g jatkuvia pisteessä z 0. Tällöin seuraavat funktiot ovat jatkuvia pisteessä z 0 : f (z) ± g(z) f (z)g(z) f (z) g(z), g(z 0) 0
66 Esimerkki jatkuvuudesta ESIMERKKI. Funktion jatkuvuus Tutkitaan funktion f (x) = { 0 kun z = 0 Im z z kun z 0 jatkuvutta kohdassa z = 0. Lähestytään pistettä suoraa x = ky (y>0) pitkin. Tällöin Im z lim z 0 z = lim z 0 y x 2 + y 2 = lim y 0+ y = lim y 0+ y k = 1 k y k 2 y 2 + y 2 Koska raja-arvo riippuu valitusta vakiosta k, niin funktiolla ei ole raja-arvoa origossa. Täten funktio ei ole jatkuva kohdassa z = 0.
67 Esimerkki jatkuvuudesta ESIMERKKI. Funktion jatkuvuus Tutkitaan funktion jatkuvutta kohdassa z = 0. Nyt lim z 0 Im z 1 + z = lim (x,y) (0,0) f (x) = Im z 1 + z Täten funktio on jatkuva pisteessä z = 0. y 1 + x 2 + y 2 = 0 = f (0)
68 Kompleksinen derivointi Määritelmä Olkoon f kompleksifunktio, joka on määritelty pisteen z 0 jossain ympäristössä. Funktio on derivoituva pisteessä z 0, jos raja-arvo f (z) f (z 0 ) lim z z 0 z z 0 on olemassa. Funktion f derivaattaa pisteessä z 0 merkitään f (z 0 ) = df dz (z 0) Merkitsemällä h = z z 0 derivaatan määritelmä voidaan esittää muodossa f (z 0 ) = lim h 0 f (z 0 + h) f (z 0 ) h
69 Esimerkki derivoinnista ESIMERKKI. Vakiofunktion derivaatta Vakiofunktion f (z) = C derivaatta on f (z) = 0, koska f (z 0 ) = f (z) f (z 0 ) C C lim = lim z z0 z z 0 z z0 z z 0 = 0 lim = 0 z z0 z z 0
70 Esimerkki derivoinnista ESIMERKKI. Funktion derivaatta Osoitetaan, että funktion f (z) = z 2 derivaatta on f (z) = 2z. f (z 0 ) = f (z) f (z 0 ) z 2 z0 2 lim = lim z z0 z z 0 z z0 z z 0 = (z z 0 )(z + z 0 ) lim = lim (z + z 0 ) z z0 z z 0 z z0 = 2z 0 Yleisemmin voidaan osoittaa, että d dz zn = nz n 1 missä n on positiivinen kokonaisluku
71 Esimerkki derivoinnista ESIMERKKI. Funktion derivaatta Osoitetaan, että funktion f (z) = z ei ole derivoituva. Nyt f (z) f (z 0 ) = (x x 0) i(y y 0 ) z z 0 (x x 0 ) + i(y y 0 ) Jos lähestymme pistettä z 0 = x 0 + iy 0 suoraa y = y 0 pitkin, niin f (z) f (z 0 ) x x 0 lim = lim = 1 z z 0 z z 0 z z0 x x 0 Toisaalta jos lähestymme pistettä z 0 suoraa x = x 0 pitkin, niin f (z) f (z 0 ) lim = lim y y 0 = 1 z z 0 z z 0 z z0 y y 0 Koska raja-arvo ei ole yksikäsitteinen ja piste z 0 valittiin mielivaltaisesti, niin f (z) ei ole missään derivoituva.
72 Derivoimiskaavat Lause Olkoon funktiot f ja g derivoituvia pisteessä z 0. Tällöin funktioiden summa, erotus, tulo ja osamäärä (mikäli z 0 ei ole nimittäjän nollakohta) ovat derivoituvia pisteessä z 0. Lisäksi yhdistetty funktio f g on derivoituva pisteessä z 0, jos funktio f on derivoituva pisteessä g(z 0 ). Derivaatoille pätee (f + g) (z) = f (z) + g (z) (fg) (z) = f (z)g(z) + f (z)g (z) ( ) f (z) = f (z)g(z) f (z)g (z) g g(z) 2 (f g) (z) = f (g(z))g (z)
73 Derivaatta ja jatkuvuus Lause Jos funktio on derivoituva pisteessä z 0, niin se on myös jatkuva pisteessä z 0 Todistus. f (z) f (z 0 ) lim [f (z) f (z 0 )] = lim (z z 0 ) z z 0 z z0 z z 0 f (z) f (z 0 ) = lim lim (z z 0 ) z z0 z z 0 z z0 = f (z 0 ) 0 = 0 Täten lim z z0 f (z) = f (z 0 ) ja siten f on jatkuva pisteessä z 0
74 Analyyttinen funktio Määritelmä Olkoon D C avoin joukko. Funktion f : D C sanotaan olevan analyyttinen joukossa D, jos f on derivoituva kaikissa pisteissä z D. Funktio f on analyyttinen pisteessä z, jos se on analyyttinen jossakin tämän pisteen ympäristössä
75 Analyyttinen funktio Derivaatan olemassaolo pisteessä z 0 ei takaa, että funktio on analyyttinen pisteessä z 0. Tähän vaaditaan, että funktio on myös derivoituva jossain pisteen z 0 kokonaisessa ympäristössä Koska jokainen z 0 :n ympäristö sisältää aina jonkin z 0 :n avoimen kiekon B ǫ (z 0 ) = {z C : z z 0 < ǫ}, niin f : D C on analyyttinen pisteessä z 0, jos on olemassa kiekko B ǫ (z 0 ) D siten että f on derivoituva kaikissa pisteissä z B ǫ (z 0 ) Polynomit P(z) = c n z n + c n 1 z n c 1 z + c 0, c i C, ovat analyyttisiä koko kompleksitasossa Rationaalifunktiot (kahden polynomin osamäärä) ovat analyyttisiä lukuun ottamatta pisteitä joissa nimittäjällä on nollakohtia Jos f (z) on analyyttinen, niin f on konforminen kuvaus lukuun ottamatta pisteitä joissa f (z) = 0
76 Cauchy-Riemannin yhtälöt Lause Olkoon funktio f (z) = u(x, y) + iv(x, y) derivoituva pisteessä z 0 = x 0 + iy 0. Tällöin funktioilla u(x, y) ja v(x, y) on osittaisderivaatat pisteessä z 0 ja ne toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt: u(x 0, y 0 ) x = v(x 0, y 0 ) y ja u(x 0, y 0 ) y = v(x 0, y 0 ) x
77 Cauchy-Riemannin yhtälöt Todistus Derivaatan määritelmän perusteella f (z 0 ) = lim z z0 f (z) f (z 0 ) z z 0 Lähestymällä pistettä z 0 suoraa z = x + iy 0 pitkin, saamme f u(x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) + i(v(x, y 0 ) v(x 0, y 0 )) (z 0 ) = lim x x 0 x x 0 u(x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) v(x, y 0 ) v(x 0, y 0 ) = lim + i lim x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 Täten f (z 0 ) = u(x 0, y 0 ) x + i v(x 0, y 0 ) x
78 Cauchy-Riemannin yhtälöt (Jatkoa). Toisaalta lähestymällä pistettä z 0 suoraa z = x 0 + iy pitkin, saamme f u(x 0, y) u(x 0, y 0 ) + i(v(x 0, y) v(x 0, y 0 )) (z 0 ) = lim y y 0 i(y y 0 ) v(x 0, y) v(x 0, y 0 ) u(x 0, y) u(x 0, y 0 ) = lim i lim y y 0 y y 0 y y 0 y y 0 Täten f (z 0 ) = v(x 0, y 0 ) y i u(x 0, y 0 ) y Koska funktio f on derivoituva pisteessä z 0, niin u(x 0, y 0 ) x = v(x 0, y 0 ) y ja u(x 0, y 0 ) y = v(x 0, y 0 ) x
79 Derivaatta ja Cauchy-Riemannin yhtälöt Jos funktio on derivoituva pisteessä z 0, niin silloin derivaatta voidaan laskea kaavojen ja avulla f (z 0 ) = u(x 0, y 0 ) x f (z 0 ) = v(x 0, y 0 ) y + i v(x 0, y 0 ) x i u(x 0, y 0 ) y Cauchy-Riemannin yhtälöt ovat välttämätön, mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle. Derivoituva funktio toteuttaa aina Cauchy-Riemannin yhtälöt, mutta Cauchy-Riemannin yhtälöt toteuttava funktio ei ole aina derivoituva. Riittävä ehto saadaan, kun osittaisderivaatat ovat jatkuvia.
80 Cauchy-Riemannin yhtälöt Lause Olkoon f (z) = u(x, y) + iv(x, y) jatkuva funktio, joka on määritelty jossain pisteen z 0 = x 0 + iy 0 ympäristössä. Jos funktioiden u ja v osittaisderivaatat ovat jatkuvia pisteessä z 0 ja toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt, niin funktio f on derivoituva pisteessä z 0
81 Esimerkki Cauchy-Riemannin yhtälöistä ESIMERKKI. Funktion analyyttisyys Tutkitaan funktiota f (z) = z 3. Nyt f (z) = z 3 = (x 3 3xy 2 ) + i(3x 2 y y 3 ) joten u = x 3 3xy 2 ja v = 3x 2 y y 3. Osittaisderivaatoiksi saadaan u x = 3x 2 3y 2 u y = 6xy ja v x = 6xy v y = 3x 2 3y 2 Koska osittaisderivaatat ovat jatkuvia ja toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt kaikilla z C, niin funktio f (z) = z 3 on derivoituva kaikilla z C ja siten analyyttinen koko kompleksitasossa
82 Esimerkki Cauchy-Riemannin yhtälöistä ESIMERKKI. Funktion analyyttisyys Tutkitaan funktiota f (z) = x 2 + y 2 + i2xy. Nyt u = x 2 + y 2 ja v = 2xy. Osittaisderivaatoiksi saadaan u x = 2x, u y = 2y, v x = 2y, v y = 2x joten yhtälö u x = v y toteutuu kaikilla x, y R ja yhtälö u y = v x totetuu jos y = 0. Täten f (z) on derivoituva vain x-akselilla. Kuitenkaan f (z) ei ole derivoituva missään pisteen z 0 = x 0 + i0 kokonaisessa ympäristössä z z 0 < ǫ ja siten funktio ei ole missään analyyttinen
83 Eräitä kompleksifunktioita
84 Eksponenttifunktio Määritelmä Olkoon z = x + iy C. Määrittelemme eksponenttifunktion kompleksitasossa kaavalla e z = e x (cos y + i sin y) Täten kun y = Im z = 0, saadaan tavallinen eksponenttifunktio e x Kun taas x = Re z = 0, saadaan Eulerin kaava e iy = cos y + i sin y
85 Eksponenttifunktio ja polaariesitys Koska kompleksiluku voidaan esittää polaarimuodossa z = r(cos φ + i sin φ), niin voimme esittää kompleksiluvun eksponenttifunktion avulla muodossa Nyt saamme erityisesti z = re iφ e ±iπ = 1, e 2iπ = 1, e ±iπ/2 = ±i
86 Eksponenttifunktion ominaisuuksia Lause Kompleksinen eksponenttifunktio on analyyttinen koko kompleksitasossa ja (i) (ii) d dz ez = e z e z 1+z 2 = e z 1 e z 2
87 Eksponenttifunktion ominaisuuksia Todistus Eksponenttifunktion määritelmä perusteella u(x, y) = e x cos y ja v(x, y) = e x sin y. Osittaisderivaatioille pätee u x = ex cos y = v y, u y = ex sin y = v x Osittaisderivaatat ovat jatkuvia ja toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt kaikilla x, y R ja siten eksponenttifunktio on analyyttinen koko kompleksitasossa. Lisäksi d dz ez = u x + i v x = ez
88 Eksponenttifunktion ominaisuuksia (Jatkoa). Osoitetaan seuraavaksi, että e z 1 e z 2 = e z 1+z 2 : e z 1 e z 2 = e x 1 (cos y 1 + i sin y 1 )e x 2 (cos y 2 + i sin y 2 ) = e x 1 e x 2 ([cos y 1 cos y 2 sin y 1 sin y 2 ] +i[sin y 1 cos y 2 + sin y 2 cos y 1 ] = e x 1+x 2 (cos(y 1 + y 2 ) + i sin(y 1 + y 2 )) = e z 1+z 2
89 Eksponenttikuvaus Kuvauksen w = e z moduulille pätee w = e z = e x 0, joten e z 0. Kuvauksen argumentti arg w = y + 2kπ. Täten, eksponenttikuvauksessa kompleksitaso muuntuu joukoksi {w C : w 0}, ts. funktio f (z) = e z kuvaa joukon C joukoksi C \ {0} Kuvauksessa suorat x = x 0 kuvautuvat ympyröiksi joiden säde on e x 0 ja suorat y = y 0 kuvautuvat puolisuoriksi joiden kulma on y 0 y v w = e z x u
90 Eksponenttifunktion jaksollisuus Eksponenttifunktion määritelmästä ja sinin ja kosinin jaksollisuudesta seuraa, että e z+2πi = e z Kompleksinen eksponenttifunktio on siis jaksollinen ja jakson pituus on 2πi Jaksollisuudesta seuraa, että mitkä tahansa kaksi pistettä, jotka sijaitsevat samalla pystysuoraan kulkevalla suoralla ja joiden välinen etäisyys vastaa 2π:n monikertaa kuvautuvat samalle pisteelle Täten, eksponenttifunktio saavuttaa kaikki arvonsa jo jaksovyössä S = {z C : π < Im z π} ja siten joukko S kuvautuu joukoksi C \ {0}
91 Eksponenttikuvaus f (z) = e z on bijektiivinen kuvaus joukolta S joukkoon C \ {0} y w = e z v iπ x u iπ
92 Esimerkki eksponenttifunktiosta ESIMERKKI. Yhtälön ratkaiseminen Etsitään kaikki kompleksilukut z, jotka toteuttavat yhtälön e z = 3. Nyt 3 = 3(cos π + i sin π) ja toisaalta joten missä k Z. Täten, e z = e x (cos y + i sin y) e x = 3, ja y = π + 2kπ z = ln 3 + i(π + 2kπ)
93 Logaritmi Määrittelemme logaritmin eksponenttifunktion käänteisfunktiona ln z = w z = e w Merkitsemällä z = re iφ ja w = u + iv, saamme re iφ = e w = e u+iv = e u e iv joten r = e u ja φ = v, josta saamme u = ln r = ln z, v = φ = arg z Saamme siis logaritmille määritelmän ln z = ln z + iarg z Koska kompleksiluvun z argumentti on 2π:n monikerran tarkkuudella määritelty, niin kompleksinen logaritmi on moniarvoinen. Yksiarvoisuuteen päästään valitsemalla sopiva haara.
94 Logaritmin päähaara Määritelmä Olkoon z C \ {0}. Määrittelemme logaritmifunktion päähaaran olevan Ln z = ln z + iarg z Kuvauksen w = f (z) = Ln z määrittelyjoukko koostuu nollasta eriävistä kompleksiluvuista ja kuvauksen arvojoukko on suikale π < Im w π. Logaritmin päähaara on eksponenttifunktion käänteiskuvaus, kun rajoitutaan mainittuun suikaleeseen. Logaritmin muut haarat ovat w = ln k z = ln z + iarg z + 2kπi, k Z ja haaran arvojoukko on suikale π + 2kπ < Im w π + 2kπ
95 Logaritmin päähaara y w = Log z v iπ x u z = e w iπ
96 Logaritmin ominaisuuksia Jokainen logaritmin haara on epäjatkuva negatiivisella reaaliakselilla (johtuen funktion Arg z epäjatkuvuudesta) Jokaisen logaritmin haaran derivaatta on 1/z ja haara on analyyttinen alueessa C \ {z C : Re z 0, Im z = 0}. Moniarvoisella logaritmilla on tutut ominaisuudet ln(z 1 z 2 ) = ln z 1 + ln z 2 ja ln(z 1 /z 2 ) = ln z 1 ln z 2 Kaavat eivät päde yleisesti logaritmin haaroille
97 Esimerkki logaritmista ESIMERKKI. Logaritmin laskeminen Lasketaan Ln (i 2 2). Nyt i 2 2 = 2, Arg (i 2 2) = 3 4 π joten Ln (i 2 2) = ln 2 + i 3 4 π
98 Esimerkki logaritmista ESIMERKKI. Tulon logaritmin Osoitetaan, että ln(z 1 z 2 ) = ln z 1 + ln z 2. Nyt ln(z 1 z 2 ) = ln z 1 z 2 + iarg(z 1 z 2 ) = ln z 1 z 2 + i(arg(z 1 ) + arg(z 2 )) = ln z 1 + iarg(z 1 ) + ln z 2 + iarg(z 2 ) = ln z 1 + ln z 2
99 Yleinen potenssi Määritelmä Olkoot z (z 0) ja c kompleksilukuja. Määritellään tällöin z c = e c ln z Yleisessä tapauksessa saadaan moniarvoinen funktio. Potenssifunktion päähaara saadaan käyttämällä logaritmin päähaaraa z c = e c Ln z
100 Esimerkki potenssista ESIMERKKI. Kompleksiluvun potenssin laskeminen Lasketaan i i. Määritelmän perusteella i i = e i ln i Nyt Täten ( ) π ln i = ln 1 + i 2 + 2kπ = i i i = e π/2+2kπ = e π/2 e 2kπ ( π 2 + 2kπ ), k Z
101 Trigonometriset funktiot Reaaliset trigonometriset funktiot sin x ja cos x voidaan määritellä Eulerin kaavan avulla. Koska e ix = cos x + i sin x, e ix = cos x i sin x saamme cos x = 1 2 (eix + e ix ), sin x = 1 2i (eix e ix ) Määrittelemme kompleksisen sinin ja kosinin samojen kaavojen avulla Määritelmä Olkoon z C. Määrittelemme cos z = 1 2 (eiz + e iz ), sin z = 1 2i (eiz e iz )
102 Trigonometriset funktioiden ominaisuuksia Sinin ja kosinin määritelmän perusteella Eulerin kaava pätee myös kompleksiluvuille e iz = cos z + i sin z, z C Derivaatat (sin z) = cos z, (cos z) = sin z Kompleksisille trigonometrisille funktioille pätee tutut ominaisuudet sin(z 1 ± z 2 ) = sin z 1 cos z 2 ± sin z 2 cos z 1 cos(z 1 ± z 2 ) = cos z 1 cos z 2 sin z 1 sin z 2 ja sin 2 z + cos 2 z = 1
103 Trigonometriset funktioiden ominaisuuksia Määritelmien perusteella on helppo osoittaa, että kompleksiset sini ja kosini ovat myös 2π-jaksollisia Funktiot ovat analyyttisiä koko kompleksitasossa Ne eivät ole rajoitettuja kuvauksia. Esim cos iy = 1 2 (eyi2 + e yi2 ) = 1 2 (e y + e y ) Täten cos iy kun y Kompleksiset sini ja kosini voidaan ilmaista trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden avulla cos z = cos x cosh y i sin x sinh y sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y
104 Tangentti ja kotangentti Tangentti ja kotangentti määritellään sinin ja kosinin avulla tan z = sin z cos z, cos z cot z = sin z Tangenttifunktio on analyyttinen lukuun ottamatta nimittäjän nollakohtia: ( cos z = 0 z = k + 1 ) π 2 missä k Z Kotangenttifunktio on analyyttinen lukuun ottamatta nimittäjän nollakohtia: missä k Z sin z = 0 z = kπ
105 Esimerkki trigonometrisistä funktioista ESIMERKKI. Kompleksisen kosinin laskeminen Lasketaan cos(1 + i). Määritelmän perusteella cos(1 + i) = 1 2 (ei(1+i) + e i(1+i) ) = 1 2 (e 1+i + e 1 i ) = 1 2 ([e 1 + e 1 ] cos 1 + i[e 1 e 1 ] sin 1) = cosh 1 cos 1 i sinh 1 sin 1
106 Hyperboliset funktiot Hyperbolisten funktioiden määritelmät yleistyvät sellaisenaan kompleksimuuttujalle Määritelmä Olkoon z C. Määrittelemme cosh z = 1 2 (ez + e z ), sinh z = 1 2 (ez e z )
107 Hyperboliset funktiot Kompleksisilla hyperbolisilla ja trigonometrisilla funktioilla on yhteys cosh iz = cos z, sinh iz = i sin z tai cos iz = cosh z, sin iz = i sinh z Derivaatat (cosh z) = sinh z, (sinh z) = cosh z Funktiot sinh z ja cosh z ovat analyyttisiä koko kompleksitasossa
108 Esimerkki hyperbolisista funktioista ESIMERKKI. Yhtälön ratkaiseminen Ratkaistaan yhtälö cosh z = 1 2. Määritelmän perusteella (e z + e z )/2 = 1/2 Kerrotaan tekijällä 2e z, jolloin saadaan (e z ) 2 e z + 1 = 0 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan mukaan e z = 1 ± 3 2 Ratkaisemalla saadaan z = i = 1 ± i 3 2 = cos(±π/3) + i sin(±π/3) (± π 3 + 2kπ ), k Z
109 Kompleksinen integrointi
110 Polku ja käyrä Polku on jatkuva kuvaus z : I = [a, b] R C Käyrä on polun kuvajoukko z(i) Polku on siten jatkuvasti parametrisoitu käyrä Parametrisoinnin seuraksena käyrällä on suunta Eri polkujen määräämät käyrät voivat olla samat Käyrää sanotaan suljetuksi, jos z(a) = z(b) z(b) z z(a) a b
111 Esimerkki polusta ESIMERKKI. Ympyrän parametrisointi Tarkastellaan yksikköympyrää z = 1. Ympyrä voidaan parametrisoida muodoissa z(t) = e i2πt = cos(2πt) + i sin(2πt), t [0, 1] z(t) = e i2πt2 = cos(2πt 2 ) + i sin(2πt 2 ), t [0, 1] z(t) = e it = cos(t) + i sin(t), t [0, 2π] y x
112 Sileä käyrä Olkoon z(t) käyrän C parametrisointi: C : z(t) = x(t) + iy(t), t [a, b] missä x on polun reaaliosa ja y imaginaariosa. Käyrä C on sileä, jos derivaatta z (t) = x (t) + iy (t) on jatkuva ja nollasta poikkeava kaikkialla Epäsileä Sileä
113 Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Olkoon f (t) = u(t) + iv(t) funktio suljetulla välillä [a, b]. Jos u ja v ovat jatkuvia muuttujan t funktioita niin u ja v ovat integroituvia. Tällöin on luonnollista määritellä funktion integraali seuraavasti Määritelmä Olkoon f (t) = u(t) + iv(t) jatkuva funktio välillä [a, b]. Tällöin b a f (t)dt = b a u(t)dt + i b a v(t)dt
114 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Lasketaan funktion f (t) = (3t i) 2 integraali välillä [0, 1]. 1 0 (3t i) 2 dt = 1 0 / 1 (9t 2 1)dt + i = 0 (3t3 t) + i = 2 3i / ( 3t2 ) ( 6t)dt
115 Käyräintegraali Määritelmä Olkoon C sileä käyrä kompleksitasossa ja olkoon z(t) käyrän parametriesitys, missä a t b. Jos funktio f on jatkuva käyrällä C, niin funktion integraali pitkin käyrää on C f (z)dz = b a f (z(t))z (t)dt Jos käyrä on paloittain sileä niin integraali määritellään summana integraaleista yli sileävien osien.
116 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Käyräintegraali Lasketaan C dz z 2 missä C on ylempi puoliympyrä, jonka säde on 1 ja keskipiste kohdassa x = 2. Interoidaan vastapäivään. y i x
117 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Jatkoa Käytetään käyrälle ensin parametriesitystä z(t) = 2 + e it, t [0, π]. Nyt z (t) = ie it. Integraaliksi saadaan C 1 π z 2 dz = 1 π 0 (2 + e it ) 2 ieit dt = idt = iπ 0 Käytetään käyrälle sitten parametriesitystä z(t) = 2 + e iπt2, t [0, 1]. Nyt z (t) = i2πte iπt2. Integraaliksi saadaan C 1 1 z 2 dz = 1 1 (2 + e iπt2 ) 2 i2πteiπt2 dt = iπ 2tdt = iπ 0 0 Valittu parametrisoini ei vaikuttanut lopputulokseen.
118 Käyräintegraalin ominaisuuksia Lineaarisuus [af (z) + bg(z)]dz = a C C f (z)dz + b g(z)dz, C Suunnan vaihtaminen. f (z)dz = f (z)dz C C a, b C missä C on käyrä, jonka suunta on vastakkainen käyrän C suunnalle. Jos kaksi käyrää C 1 ja C 2 yhdistetään siten, että käyrän C 1 loppupiste yhtyy käyrän C 2 alkupisteeseen ja jos yhdistetyn käyrän C = C 1 + C 2 integraali on olemassa, niin f (z)dz = C f (z)dz + C 1 f (z)dz C 2
119 Esimerkki integraalista ESIMERKKI 1a Lasketaan C Re z dz missä C on jana pisteestä 0 pisteeseen 1 + 2i. Pisteiden kautta kulkeva suora on y = 2x. Valitaan x = t [0, 1], jolloin Saadaan Re z dz = C z(t) = t + i2t ja z (t) = 1 + 2i 1 0 t(1 + 2i)dt = 1 0 tdt + i 1 0 2tdt = i
120 Esimerkki integraalista ESIMERKKI 1b Lasketaan C Re z dz missä C kulkee ensin vaakasuoraan pisteestä 0 pisteeseen 1 ja sitten pystysuoraan pisteestä 1 pisteeseen 1 + 2i. Vaakasuoraan kulkevalle janalle saadaan parametrisointi: ja pystysuoraan kulkevalle z(t) = t ja z (t) = 1, 0 t 1 z(t) = 1 + i2t ja z (t) = 2i, 0 t 1
121 Esimerkki integraalista ESIMERKKI 1b. jatkoa Saadaan C Re z dz = 1 0 = i Esimerkit osoittavat, että integraalin Re z dz C 1 tdt + 2idt 0 arvo riippuu siis käyrästä C eikä vain käyrän alku- ja loppupisteistä
122 Esimerkki integraalista ESIMERKKI 2a Lasketaan C zdz missä C on jana pisteestä 1 i pisteeseen 3 + i. Pisteiden kautta kulkeva suora on y = (x 1)/2 tai x = 2y + 1. Valitaan y = t, joten x = 2t + 1. Täten saadaan janalle parametrisointi: z(t) = 2t it ja z (t) = 2 + i missä 1 t 1. Nyt saadaan C zdz = = (2t it)(2 + i)dt (3t + 2)dt + i 1 1 (4t + 1)dt = 4 + 2i
123 Esimerkki integraalista ESIMERKKI 2b Lasketaan C zdz missä C on parabolinen käyrä x = y 2 + 2y pisteestä 1 i pisteeseen 3 + i. Valitaan y = t, joten x = t 2 + 2t. Saadaan parametrisointi: z(t) = t 2 + 2t + it ja z (t) = 2t i missä 1 t 1. Nyt saadaan C zdz = 1 1 (t 2 + 2t + it)(2t i)dt = 4 + 2i Tulos on siis sama kuin edellisessä esimerkissä
124 Integraalifunktio Lause Olkoon D alue a ja f : D C jatkuva funktio. Jos funktiolla f on integraalifunktio F, ts. funktio F(z), jolle pätee F (z) = f (z) kaikilla z D (täten F on analyyttinen D:ssä), niin tällöin kaikille alueen D paloittain säännöllisille käyrille C f (z)dz = F(z 1 ) F(z 0 ) C missä z 0 on käyrän alkupiste ja z 1 päätepiste a avoin ja yhtenäinen joukko Seuraus Jos jatkuvalla funktiolla f on integraalifunktio, niin käyräintegraalin arvo riippuu vain alku- ja loppupisteistä. Erityisesti, jos C on suljettu käyrä, niin C f (z)dz = 0
125 Integraalifunktio Todistus. Todistetaan lause kun C on sileä käyrä. Olkoon z(t) käyrän parametriesitys, missä a t b. C f (z)dz = b a b f (z(t))z (t)dt = b a F (z(t))z (t)dt F(z(t)) = dt = F(z(b)) F(z(a)) a dt = F(z 1 ) F(z 0 )
126 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Integraalifunktio Lasketaan C zdz missä C on käyrä pisteestä 1 i pisteeseen 3 + i. Funktio f (z) = z jatkuva koko kompleksitasossa ja funktiolla on integraalifunktio on F(z) = 1 2 z2. Täten C zdz = 1 2 (3 + i)2 1 2 ( 1 i)2 = (4 + 3i) i = 4 + 2i
127 Integraalifunktio ja käyräintegraali Jos siis jatkuvalla funktiolla on integraalifunktio, niin käyräintegraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä ja lisäksi käyräintegraali häviää yli suljettujen käyrien. Voimme osoittaa enemmänkin Lause Olkoon f : D C jatkuva funktio alueessa D ja C säännöllinen käyrä alueessa D. Tällöin seuraavat väittämät ovat ekvivalenttejä: (a) Funktiolla f on integraalifunktio D:ssä (b) f (z)dz = 0 kaikille suljetuille käyrille C (c) Käyräintegraalin f (z)dz arvo riippuu vain käyrän päätepisteistä C
128 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Integraalifunktio Lasketaan C 1 z dz pitkin origokeskistä yksikköympyrää. Integroidaan vastapäivään. Parametrisointi: z(t) = e it, missä t [0, 2π]. Saamme C 1 2π z dz = 1 0 e it ieit dt = 2πi Funktio f (z) = 1/z on jatkuva funktio alueessa D = C \ {0}. Käyrä C on suljettu käyrä alueessa D. Koska C 1 z dz 0 niin funktiolla ei ole integraalifunktiota alueessa D
129 ML-epäyhtälö Lause Olkoon funktio f (z) jatkuva käyrällä C. Oletetaan lisäksi, että f (z) M kaikilla z C. Tällöin missä L on käyrän C pituus f (z)dz ML C
130 ML-epäyhtälö Todistus. Olkoon z(t), t [a, b], käyrän C parametrisointi. Tällöin a b f (z)dz = f (z(t))z (t)dt C a b f (z(t)) z (t) dt a b b M z (t) dt = M z (t) dt = ML a a a Oletetaan tunnetuksia, että f (t)dt f (t) dt, missä f on reaalimuuttujan kompleksiarvoinen funktio
131 Esimerkki ML-epäyhtälöstä ESIMERKKI. Integraalin yläraja Etsitään yläraja integraalin C z 2 dz itseisarvolle, missä C on jana pisteestä 0 pisteeseen 1 + i. Janan pituus L = = 2 ja Täten f (z) = z 2 2 C z 2 dz 2 2
132 Yksinkertainen käyrä Käyrää sanotaan yksinkertaiseksi, jos se ei leikkaa tai kosketa itseään muualla kuin päätepisteissä Suljettu käyrä on positiivisesti suunnistettu, kun parametrisointi on valittu siten, että kuljettaessa käyrää pitkin positiiviseen suuntaan niin käyrän rajaama alue jää vasemmalle Yksinkertainen Ei yksinkertainen
133 Yhdesti yhtenäinen alue Aluetta D sanotaan yhdesti yhtenäiseksi, jos jokainen yksinkertainen käyrä alueessa sulkee sisäänsä vain alueen D pisteitä Yhdesti yhtenäinen Kahdesti yhtenäinen Kolmesti yhtenäinen
134 Cauchyn integraalilause Lause Jos funktio f (z) on analyytinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D, niin jokaiselle alueen D yksinkertaiselle suljetulle käyrälle C pätee f (z)dz = 0 Seuraus C Jos funktio f (z) on analyytinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D, niin funktiolla on alueessa D integraalifunktio, joka on analyyttinen
135 Cauchyn integraalilause Todistus Oletetaan lisäksi, että f (z) on jatkuva (mikä on totta, mutta sitä ei ole todistettu). Todistuksessa käytetään Greenin lausetta: Olkoon C yksinkertainen positiivisesti suunnistettu paloittain sileä suljettu käyrä ja R käyrän rajaama alue. Jos funktiot P(x, y) ja Q(x, y) ovat jatkuvia ja funktioiden osittaisderivaatat ovat jatkuvia avoimessa joukossa, johon alue R kuuluu, niin C (P(x, y)dx + Q(x, y)dy) = R ( Q x P ) dxdy y
136 Cauchyn integraalilause (Jatkoa) Nyt C f (z)dz = = C C (u + iv)(dx + idy) (udx vdy) + i (udy + vdx) Koska f (z) on analyyttinen alueessa D, niin funktio on derivoituva D:ssä. Lisäksi f (z) on jatkuva. Täten funktioilla u ja v on jatkuvat osittaisderivaatat alueessa D. Greenin lauseen perusteella C C (udx vdy) = (udy + vdx) = R R C ( v x u y ( u x v y ) dxdy ) dxdy
137 Cauchyn integraalilause (Jatkoa). Koska funktio on analyyttinen alueessa D, se toteuttaa Cauchy-Riemannin yhtälöt. Täten C f (z)dz = = 0 R ( v x u ) ( u dxdy + i y R x v ) dxdy y
138 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Analyyttinen funktiot kompleksitasossa Funktiot e z ja z n (missä n on positiivinen kokonaisluku) ovat analyyttisiä koko kompleksitasossa, siten e z dz = 0, z n dz = 0 C kaikille yksinkertaisille suljetuille käyrille C. C
139 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Singulariteetti alueen ulkopuolella Lasketaan C 1 z dz missä C on yksikköympyrä z = 1. Funktio on analyyttinen paitsi pisteissä z = ±2i. Nämä pisteet sijaitsevat kuitenkin ympyrän ulkopuolella. Täten Cauchyn integraalilauseen perusteella C 1 z dz = 0
140 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Analyyttinen funktio z 2 ja cos z ovat analyyttisiä funktioita kompleksitasossa. Täten 1+i z 2 dz = 1 1+i 0 3 z3 0 iπ iπ cos zdz = sin z iπ = 1 3 (1 + i)3 = i iπ = 2 sin πi = 2i sinh π
141 Cauchyn integraalilause kahdesti yhtenäiselle alueelle Lause Olkoon C ja C 1 yksinkertaisia positiivisesti suunnistettuja suljettuja käyriä ja olkoon käyrä C 1 käyrän C sisäpuolella. Jos f (z) on analyyttinen alueessa D, joka pitää sisällään käyrät C ja C 1 ja alueen niiden välissä, niin tällöin f (z)dz = f (z)dz C C 1 D C C 1
142 Cauchyn integraalilause kahdesti yhtenäiselle alueelle Todistus Muodostetaan kaksi suljettua käyrää yhdesti yhtenäisellä alueella: K 1 = A 1 + Γ + B 1 + Ω ja K 2 = A 2 Ω + B 2 Γ Cauchyn lauseen perusteella f (z)dz = 0 K 1 ja f (z)dz = 0 K 2 A 1 Γ B 1 Ω B 2 A 2
143 Cauchyn integraalilause kahdesti yhtenäiselle alueelle (Jatkoa). Toisaalta Täten K 1 + K 2 = (A 1 + Γ + B 1 + Ω) + (A 2 Ω + B 2 Γ) C = A 1 + A 2 + B 1 + B 2 = C C 1 f (z)dz f (z)dz = C 1 f (z)dz + K 1 f (z)dz = 0 K 2
144 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Kahdesti yhtenäinen alue Osoitetaan, että C dz z z 0 = 2πi missä C on yksinkertainen positiivisesti suunnistettu suljettu käyrä, joka pitää sisällään pisteen z 0. Olkoon nyt C R R-säteinen ympyrä, joka on käyrän C sisäpuolella ja jonka keskipiste on kohdassa z 0. Parametrisointi: z(t) = z 0 + Re it, z (t) = ire, 0 t 2π (z z 0 ) 1 on analyyttinen kaikkialla muualla paitsi pisteessä z 0. Täten C dz = z z 0 C R dz 2π ire it 2π = z z 0 0 Re it dt = i dt = 2πi 0
145 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Osoitetaan, että kun C on positiivisesti suunnistettu ympyrä z i = 1, niin 2z z 2 dz = 2πi + 2 Integraali voidaan kirjoittaa muodossa C C 2z z C dz = 1 z + i 2 dz }{{} =0 (Cauchyn lause) = 2πi + 1 C z i 2 dz }{{} =2πi (Edellinen esim.)
146 Cauchyn integraalikaava Lause Olkoon f (z) analyyttinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D. Tällöin alueen D yksinkertaiselle positiivisesti suunnistetulle suljetulle käyrälle C, joka sulkee sisälleen pisteen z 0 D pätee f (z 0 ) = 1 2πi C f (z) z z 0 dz z0 C D
147 Cauchyn integraalikaava Todistus Koska f (z) on analyyttinen niin se on jatkuva pisteessä z 0, joten ǫ > 0 δ > 0 s.e. f (z) f (z 0 ) < ǫ kun z z 0 < δ Määritetään ympyrä C r : z z 0 = δ/2, joka sijaitsee käyrän C sisäpuolella. Ympyrän kehän pituus on πδ. Nyt f (z 0 ) = f (z 0) 2πi 2πi = f (z 0) 2πi C r 1 z z 0 dz = 1 2πi f (z 0 ) dz C r z z 0 Toisaalta 1 2πi C f (z) dz = 1 z z 0 2πi C r f (z) z z 0 dz
148 Cauchyn integraalikaava (Jatkoa). Nyt saamme ML-epäyhtälön avulla 1 f (z) dz f (z 0 ) 2πi C z z = 1 f (z) dz 1 f (z 0 ) dz 0 2πi C r z z 0 2πi C r z z 0 = 1 f (z) f (z 0 ) 2π dz C r z z 0 1 2π ǫ δ/2 πδ = ǫ Tämä todistaa integraalikaavan, koska ǫ voidaan valita mielivaltaisen pieneksi
149 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Cauchyn integraalikaava Lasketaan C sin z 4z + π dz missä C on positiivisesti suunnistettu ympyrä z = 2. Koska sin z on analyyttinen koko kompleksitasossa ja piste π/4 sijaitsee ympyrän sisäpuolella, niin C sin z 4z + π dz = 1 sin z 4 C z ( π/4) dz = 1 2πi sin( π/4) 4 2πi = 4
150 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Cauchyn integraalikaava Lasketaan C tan z z 2 1 dz missä C on positiivisesti suunnistettu ympyrä z = 3/2. tan z = sin z/ cos z on analyyttinen lukuun ottamatta nimittäjän nollakohtia: z = (k )π, k Z Pisteet sijaitsevat ympyrän ulkopuolella. Täten C tan z z 2 1 dz = 1 2 C tan z z 1 dz 1 2 C tan z z + 1 dz = 2πi (tan 1 tan( 1)) = 2πi tan 1 2
151 Cauchyn integraalikaava derivaatoille Lause Olkoon f (z) analyyttinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D. Tällöin alueen D yksinkertaiselle positiivisesti suunnistetulle suljetulle käyrälle C, joka sulkee sisälleen pisteen z 0 D pätee Seuraus f (n) (z 0 ) = n! 2πi C f (z) dz (z z 0 ) n+1 Jos f (z) on analyyttinen funktio alueessa D, niin funktion kaikkien kertalukujen derivaatat ovat analyyttisiä alueessa D
152 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Cauchyn integraalikaava derivaatoille Lasketaan C e z2 (z i) 4 dz missä C on positiivisesti suunnistettu ympyrä z = 2. f (z) = e z2 on analyyttinen ja piste z 0 = i on ympyrän sisäpuolella, joten voimme käyttää Cauchyn integraalikaavaa derivaatoille. Nyt f (3) (z) = (12z + 8z 3 )e z2, joten saamme C e z2 (z i) 4 dz = f (3) (z 0 ) 2πi 3! = 4π 3e
153 Morera n lause Lause Olkoon f (z) jatkuva funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D. Jos C f (z)dz = 0 kaikilla alueen D suljetuilla käyrillä C, niin f on analyyttinen alueessa D. Todistus. Koska C f (z)dz = 0 kaikilla alueen D suljetuilla käyrillä C, on jatkuvalla funktiolla f integraalifunktio F aluessa D. Koska integraalifunktio on analyyttinen, funktio F (z) = f (z) on myös analyyttinen alueessa D
154 Sarjakehitelmät
155 Kompleksinen lukujono Kompleksinen (päättymätön) lukujono on funktio, jonka määrittelyjoukko koostuu (positiivisista) kokonaisluvuista ja arvojoukko kompleksiluvuista Lukujonon termeille käytetään merkintää z n = z(n) Lukujonolle käytetään yleensä merkintää {z 1, z 2,...} tai lyhyemmin {z n } 1 tai {z n} ESIMERKKI. Lukujono z(n) = (2 n) + (5 + n)i, n = 1, 2,... z(1) = 1 + 6i, z(2) = 7i,...
156 Kompleksiset sarjat Olkoon {z n } jono kompleksilukuja. Lukujonon termien yhteenlaskua kutsutaan sarjaksi ja sille käytetään merkintää Summaa s n = z n = z 1 + z n=1 n z k = z 1 + z z n k=1 kutsutaan sarjan osasummaksi
157 Sarjan suppeneminen Jos osasummien jonolla {s n } on äärellinen raja-arvo s = lim n s n, niin tällöin merkitään s = z n n=1 ja sarjaa sanotaan suppenevaksi. Muussa tapauksessa sarjaa sanotaan hajaantuvaksi Sarjaa sanotaan itsenäisesti suppenevaksi, jos moduulien z n muodostama sarja z n n=1 suppenee. Itsenäisesti suppeneva sarja on suppeneva.
158 Sarjan suppeneminen. Välttämätön ehto Lause Jos sarja n=1 z n suppenee niin tällöin lim n z n = 0. Toisin sanoen sarja hajaantuu jos ehto ei päde Todistus. z n = (z 1 + z z n ) (z 1 + z z n 1 ) = s n s n 1 Joten lim z n = lim (s n s n 1 ) = lim s n lim s n 1 = s s = 0 n n n n
159 Geometrinen sarja Sarjaa, jonka peräkkäisten termien suhde on sama luku q, kutsutaan geometriseksi sarjaksi. Geometrinen sarja q n, n=0 q C suppenee kun q < 1 ja sarjan summa on tällöin 1 1 q, ts. 1 1 q = q n, q < 1 n=0 Jos q 1, niin sarja hajaantuu
160 Esimerkki sarjasta ESIMERKKI. Geometrinen sarja Todistetaan geometrisen sarjan suppeneminen ja hajaantuminen. Muodostetaan osasumma s n = 1 + q + q q n 1 Kerrotaan yhtälö molemmilta puolilta termillä q. Saadaan qs n = q + q 2 + q q n Vähentämällä yhtälöt toisistaan saadaan (1 q)s n = 1 q n s n = 1 1 q qn 1 q
161 Esimerkki sarjasta ESIMERKKI. jatkoa Täten kun q < 1 Toisaalta kun q 1 lim s n = 1 n 1 q lim n qn 0 ja siten lim n q n 0 ja siksi sarja hajaantuu.
162 Suhdetesti ja juuritesti Suhdetesti. Jos kompleksiselle sarjan z 1 + z termeille on olemassa raja-arvo lim z n+1 n z = L n niin sarja suppenee itsenäisesti jos L < 1 ja hajaantuu jos L > 1 Juuritesti. Jos kompleksiselle sarjan z 1 + z termeille on olemassa raja-arvo lim z n 1/n = L n niin sarja suppenee itsenäisesti jos L < 1 ja hajaantuu jos L > 1
163 Esimerkki sarjasta ESIMERKKI. Suppeneva sarja Osoitetaan, että sarja n=1 [(1 i) n /n!] suppenee. Suhdetesti: (1 i) n+1 /(n + 1)! lim n (1 i) n /n! = lim n Koska L = 0 < 1 niin sarja suppenee. 1 i (n + 1) = lim n 2 n + 1 = 0
164 Potenssisarjat Kompleksiset potenssisarjat ovat muotoa a n (z z 0 ) n n=0 missä a n C on sarjan kerroin ja z 0 C on sarjan kehityskeskus Ne ovat funktiosarjoja, koska sarjan termit ovat muuttujan z funktioita Kuitenkin jos ajattelemme muuttujan z kiinnitetyksi, niin aiemmin johdettuja tuloksia voidaan soveltaa myös funktiosarjoille. Funktiosarjat yleensä suppenevat joillain muuttujan z arvoilla ja hajaantuvat toisilla.
165 Esimerkki potenssisarjasta ESIMERKKI. Potenssisarjan suppeneminen Tutkitaan sarjan n=0 z n n! = 1 + z z suppenemista. Nyt kun z on kiinnitetty, niin z n+1 /(n + 1)! z n /n! = n! z z = (n + 1)! n kun n Suhdetestin perusteella sarja siis suppenee itsenäisesti kaikilla z C
166 Esimerkki potenssisarjasta ESIMERKKI. Potenssisarjan suppeneminen Tutkitaan sarjan n!z n = 1 + z + 2z n=0 suppenemista. Nyt z n+1 (n + 1)! z n = (n + 1) z n! kun n ja z 0. Suhdetestin perusteella sarja siis hajaantuu kun z 0
167 Potenssisarjat Lause Potenssisarjalle a 0 + a 1 (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) on voimassa jokin seuraavista mahdollisuuksista: (a) Sarja suppenee vain arvolla z = z 0 (b) On olemassa positiivinen luku R siten, että sarja suppenee kiekossa z z 0 < R, mutta hajaantuu kun z z 0 > R (c) Sarja suppenee koko kompleksitasossa Lukua R sanotaan suppenemissäteeksi. Jos sarja suppenee vain arvolla z = z 0 niin R = 0 ja jos taas sarja suppenee koko kompleksitasossa niin R =. y Hajaantuu R z0 Suppenee x
1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa
1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso
Kompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
VII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset
VII. KOMPLEKSILUVUT Kompleksilukujen joukko on VII.1. Laskutoimitukset C = {(x, y x R ja y R} ; siis joukkona C = taso R 2. Kun z = (x, y C, niin x R on z:n reaaliosa ja y R imaginaariosa, merkitään x
Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia
Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i A.Rasila J.v.Pfaler TKK27 19. lokakuuta 27 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on
Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
Kompleksianalyysi viikko 3
Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /
2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division
2. Funktiot Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi f(z) = e z f(z) =
Kompleksianalyysi Funktiot
Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon
Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus
Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali
1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
1 Analyyttiset funktiot
Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.
Kompleksiluvut Kompleksitaso
. Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen
KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
Kompleksitermiset jonot ja sarjat
Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä
1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec
Kompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
Kompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa
Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun
Matemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.
Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien
Sini- ja kosinifunktio
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99
Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004
Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut
(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa
1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen.
Derivaatta Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Määritelmä Funktio f : A C on derivoituva pisteessä z 0 A jos raja-arvo (riippumatta
Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Äärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y
4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x,
Fysiikan matematiikka P
Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.
z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
Funktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset. Seppo Hassi
Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset Seppo Hassi Syksy 6 iii Esipuhe Tämä on Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset -kurssille laadittu opetusmoniste, jonka sisältö perustuu Vaasan yliopistossa
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali
Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Määritelmä 1 Olkoon f(t) = u(t) + jv(t) jatkuva funktio välillä [a, b]. Tällöin (1) b b b f(t)dt = u(t)dt + j v(t)dt. a a a Jatkossa oletetaan, että
PERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Möbius-kuvauksista 13. Konformikuvauksista 13.1. Johdantoa. Seuraavassa α ja β ovat annettuja kompleksilukuja ja k ja t 0 ovat reaalisia vakioita.
u = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 3. Kompleksinen derivointi 3.1. Määritelmä. Olkoon G kompleksitason C epätyjä osajoukko. Olkoon z 0 joukon G sisäpiste. Funktio f : G C on kompleksisesti
Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012
Simo K. Kivelä Kompleksiluvut 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 c Simo K. Kivelä Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-JaaSamoin 3.0 Muokkaamaton -lisenssi (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fi)
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
OLLI HUOPIO JOHDANTO KOMPLEKSISIIN MONIARVOISIIN FUNKTIOI- HIN. Kandidaatintyö
OLLI HUOPIO JOHDANTO KOMPLEKSISIIN MONIARVOISIIN FUNKTIOI- HIN Kandidaatintyö Tarkastaja: Petteri Laakkonen 1.12.2017 i TIIVISTELMÄ OLLI HUOPIO: Johdanto kompleksisiin moniarvoisiin funktioihin Tampereen
Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause
Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Pro Gradu-tutkielma Urho Erkkilä Matemaattisten tieteiden laitos Oulun Yliopisto Kevät 03 Sisältö
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
Kompleksianalyysi. Tero Kilpeläinen
Kompleksianalyysi Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja keväälle 2005 26. huhtikuuta 2006 Alkusanat Seuraavilla sivuilla on luentomuistiinpanoja kompleksianalyysin laudatur-kurssille. Toivoakseni kirjoitus
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Kompleksilukujen alkeet
Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.
BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i
(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.
Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =
8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Sarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
Kompleksilukujen historia alkoi yhtälönratkaisusta. Lineaarisella yhtälöllä on aina yksi ratkaisu, mutta jo toisen asteen yhtälön
Kompleksiluvut Aalto MS-C1300, 2015, v1.1, Kari Eloranta Kompleksilukujen historia alkoi yhtälönratkaisusta. Lineaarisella yhtälöllä on aina yksi ratkaisu, mutta jo toisen asteen yhtälön ax 2 +bx +c =
Täydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Tenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b,
Kompleksiluvut c Pekka Alestalo 013 Tämä moniste sisältää perusasiat kompleksiluvuista. Tähdellä merkityt kohdat ovat lähinnä oheislukemistoksi tarkoitettua materiaalia. 1 Lukujoukot Uuden tyyppisten lukujen
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista
Solmu 1 Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista Matti Lehtinen Maanpuolustuskorkeakoulu Kompleksiluvut ovat poistumassa lukion matematiikan opetussunnitelmista Ne ovat kuitenkin keskeinen osa matematiikan
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
Reaaliset sin ja cos voidaan palauttaa eksponenttifunktioon Eulerin kaavan avulla: Jos x on reaaliluku, niin e ix = cos x i sin x
2 1. Trigonometriset ja hyperboliset funktiot Reaaliset sin ja cos voidaan palauttaa eksponenttifunktioon Eulerin kaavan avulla: Jos x on reaaliluku, niin e ix = cos x + i sin x, e ix = cos x i sin x Jos
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Kompleksiluvuista Kaksiulotteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja, eli R 2
6 Eksponentti- ja logaritmifunktio
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 019 6 Eksponentti- ja logaritmifunktio 6.1 Eksponenttifunktio 1. Määritä (a) e 3 e + 5, (b) e, (c) + 3e e cos.. Tutki, onko funktiolla f() = 1 e tan + 1 ( π + nπ, n
RIEMANNIN KUVAUSLAUSE. Sirpa Patteri
RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Sirpa Patteri 2 RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Johdanto Georg Bernhard Riemann (826-866) esitti kuvauslauseen väitöskirjassaan vuonna 85. Hän käytti todistuksessaan Dirichlet n periaatetta,
(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)
. Kompleksiluvut Kompleksiluvut C saadaan varustamalla taso R komponenteittaisella yhteenlaskulla (Esimerkki.3 (b)) ja kertolaskulla, joka määritellään asettamalla Huomaa, että ja (a, b)(c, d) =(ac bd,