Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali
|
|
- Pia Härkönen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Määritelmä 1 Olkoon f(t) = u(t) + jv(t) jatkuva funktio välillä [a, b]. Tällöin (1) b b b f(t)dt = u(t)dt + j v(t)dt. a a a Jatkossa oletetaan, että käyrä on paloittain säännöllinen : z(t) = x(t)+jy(t), a t b. z on jatkuva välillä [a, b] ja derivaatta z (t) = x (t)+jy (t) on olemassa, jatkuva ja 0 väleillä (t k 1,t k ), a = t 0 < t 1 < < t n = b.
2 Käyräintegraali Määritelmä 2 Olkoon f jatkuva pisteissä z(t), a t b. Tällöin (2) f(z)dz = b f(z(t))z (t)dt merk = f a (f :n integraali pitkin käyrää ) Esim. 1 Laske f(z)dz, kun f(z) = z ja on paraabelin y = x 2 kaari pisteestä z = 0 pisteeseen z = 1 + j. Laske "vastaava"reaalinen käyräintegraali f(z) dz. Esim. 2 1 z dz = j2π, kun : z = 1.
3 Ominaisuuksia Huom. Integraali (2) riippuu :n pisteiden lisäksi suunnasta. Voidaan osoittaa: f = f 1 kun 1 on :n vastakäyrä: z(b + a t), a t b. 1. [f(z)+g(z)]dz = f(z)dz + g(z)dz. 2. αf(z)dz = α f(z)dz, α. b b 3. G(t)dt G(t) dt, jos G : [a,b] jatkuva. a a 4. L = :n pituus, f(z) M, z, f jatkuva R f(z)dz ML.
4 Kompleksinen vs. reaalinen käyräintegraali Olkoon f = u + jv. = eli b a f(z)dz = b a f(z(t))z (t)dt = b [u(z(t))x (t) v(z(t))y (t)]dt + j a [u(z(t))+jv(z(t))][x (t)+jy (t)]dt b a [u(z(t))y (t)+v(z(t))x (t)]dt f(z)dz = udx vdy + j udy + vdx. Integrointi kaaren pituuden suhteen määritellään: f(z) dz = b Esim. 4 f(t) = u(t)+jv(t), a t b a f(z(t)) z (t) dt. b f (t)dt = f(b) f(a). a
5 Integraalifunktio Olkoon G avoin ja : z(t) = x(t)+jy(t), a t b, G:n paloittain säännöllinen käyrä. F on funktion f : G integraalifunktio, jos F (z) = f(z), z G. Lause 1 Olkoon f : G jatkuva ja F f :n integraalifunktio. Tällöin f(z)dz = F(z(b)) F(z(a)). Esim. 5 Laske z 3 dz, kun on ellipsin x 2 + 4y 2 = 1 kaari pisteestä z = 1 pisteeseen z = 1 2 j.
6 Käyräintergraalin arvo Seuraus 1. Jos jatkuvalla funktiolla f on integraalifunktio, niin käyräintegraalin arvo riippuu vain päätepisteistä 2. f(z)dz = 0, kun on sulkeutuva (umpinainen). Esim. 6 a) Funktion f(z) = (z z 0 ) n, n 1, integraalifunktio alueessa G = {z 0 } on F(z) = 1 n+1 (z z 0) n+1, joten f(z)dz = 0. b) Funktiolla f(z) = 1 z z 0 ei ole integraalifunktiota joukossa G = {z 0 }, sillä z z 0 =r dz 2π 1 = z z 0 re jϕ rjejϕ dϕ = 2πj 0 0
7 1 z z 0 :n integraalifunktio Funktiolla 1 z z 0 on integraalifunktio pienemmässä joukossa G = {z = z 0 + re jϕ : r > 0, 0 < ϕ < 2π}, F(z) = log(z z 0 ) = ln z z 0 +j arg (z z 0 ) = ln r + jϕ tai joukossa G = {z = z 0 + re jϕ : r > 0, π < ϕ < π}.
8 Esimerkki 7 a) Pitkin tietä 1 : z(ϕ) = e jϕ, π 2 < ϕ < π 2, 1 dz = F(j) F( j) = log j log ( j) z 1 = ln j +j π 2 [ln j +j( π )] = jπ, 2 koska nyt argumentti ϕ on välillä ( π,π). Negatiivinen reaaliakseli, jota 1 ei leikkaa, on poistettu.
9 Esimerkki 7 b) Pitkin tietä 2 = yksikköympyrän kehä pisteestä j pisteeseen j, 1 dz = F(j) F( j) = log j log ( j) z 2 = ln j +j π 2 [ln j +j3π 2 ] = jπ, koska nyt argumentti ϕ on välillä (0,2π). Positiivinen reaaliakseli, jota 2 ei leikkaa, on poistettu.
10 Jordan-käyrä Sulkeutuva Jordan-käyrä : t z(t), on sulkeutuva käyrä, joka ei leikkaa itseään eli z(t) z(t ) paitsi päätepisteissä t = a,t = b. Jordan käyrä Ei Jordan
11 Greenin lause on paloittain säännöllinen sulkeutuva Jordan-käyrä avoimessa joukossa G. Käyrän suunnistus siten, että kiertää sisäalueen positiiviseen suuntaan eli vastapäivään ja oletetaan, että :n sisäalue A myös sisältyy G:hen ts G:llä ei ole reikiä :n sisällä Lemma (Green) Jos g 1 ja g 2 ovat jatkuvasti derivoituvia niin g 1 dx + g 2 dy = missä A on :n määräämä sisäalue. A ( g2 x g 1 y ) dx dy
12 auchy n lause Lause 1 Jos f = u + jv on analyyttinen alueessa G ja kuten edellä, niin f(z)dz = 0. Todistus: Oletetaan, että osittaisderivaatat u x,u y,v x,v y ovat jatkuvia. f(z)dz = udx vdy + j udy + vdx = }{{} Green A ( v x u y )dx dy + j (u x v y )dx dy = 0 A
13 Johdattelua auchy n kaavaan auchyn kaavan (ks. Lause 2) avulla voidaan analyyttisen funktion arvo pisteessä z A lausua käyräintegraalin avulla. Johdattelua siihen: Merkitään S r = {u : u z = r} A auchyn lause f(w) w z dw = f(w) w z dw S r
14 Edellisen perustelu 2 6 * w S r *Z = 1 2 = = + = = S r
15 auchy n kaava Lause 2 Olkoot,G,A ja f kuten edellä. Tällöin (auchyn kaava) z * f(z 0 ) = 1 2πj f(z) z z 0 dz, z 0 A. S r A u * z o *
16 auchy n kaavan todistus Edellä olevan mukaan (ks. kuva) f(z) f(u) dz = lim du. z z 0 r 0 u z 0 =j S r 2π 0 f(u) u z 0 du = 2π 0 S r f(z 0 + re jϕ )dϕ j f(z 0 + re jϕ ) re jϕ jre jϕ dϕ 2π 0 f(z 0 )dϕ = j2πf(z 0 ), r 0. f(z) z z 0 dz = 2πjf(z 0 ).
17 Esimerkkejä Esim. 1 Laske Esim. 2 Laske I = I = z =3 z =2 sinz z j dz e z (z 1)(z 2) dz Huom. Ulkopuolisille pisteille z 0 A, z 0 on f(z) dz = 0 z z 0 koska integroitava on analyyttinen ko. pisteissä.
18 Keskiarvokaava Seuraus 1 (Keskiarvokaava) Jos f on analyyttinen kiekossa U(z 0,ρ) = {z : z z 0 < ρ} ja r < ρ, niin Seuraus 2 f(z 0 ) = 1 2π 2π 0 f(z 0 + re jϕ )dϕ. Jos u(x, y) on harmoninen alueessa, joka sisältää ympyrän z z 0 = r, z 0 = x 0 + jy 0, ja sen sisäalueen, niin u(x 0, y 0 ) = 1 2π 0 2π u(z 0 +re jϕ )dϕ = 1 2π 2π 0 u(x 0 +r cosϕ, y 0 +r sinϕ)dϕ.
19 Keskiarvokaavan todistus f(z 0 ) = 1 2πj = 1 2πj = 1 2π z z 0 =r 2π 0 2π 0 f(z) z z 0 dz f(z 0 + re jϕ ) re jϕ jre jϕ dϕ f(z 0 + re jϕ )dϕ. Lause 3 (auchyn kaava derivaatalle) f (n) (z 0 ) = n! f(z) 2πj (z z 0 ) n+1dz, z 0 A.
20 auchy n seurauksia Lause 4 Olkoon f analyyttinen z 0 -keskisillä ympyröillä S r1 ja S r2 ja niiden määräämässä avoimessa renkaassa R (ks. kuva). Tällöin f(z) = 1 2πj S r2 f(w) w z dw 1 2πj = f 2 (z)+ f 1 (z), z R. f 2 on analyyttinen kiekossa U(z 0,r 2 ) ja f 1 alueessa {z : z z 0 > r 1 }. Todistuksessa käytetään auchyn kaavaa. S r1 f(w) w z dw
21 Taylorin kehitelmä Lause 1 Olkoon G avoin ja z 0 G. Analyyttisellä funktiolla f : G on potenssisarjakehitelmä f(z) = a n (z z 0 ) n = n=0 n=0 joka suppenee jokaisessa kiekossa U(z 0,ρ) G. f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n n!
22 Taylorin kehitelmän todistus Olkoot z U(z 0,ρ) ja ρ < r niin, että U(z 0, r) G. Kehitelmä 1 w z = 1 (w z 0 )(1 z z0 w z 0 ) = n=0 (z z 0 ) n (w z 0 ) n+1 suppenee tasaisesti muuttujan w S r = {w : w z 0 = r} suhteen, koska z z 0 w z 0 ρ r < 1. Tällöin auchyn kaavan nojalla f(z) = 1 2πj = w z 0 =r 1 2πj n=0 f(w) w z dw = 1 2πj w z 0 =r w z 0 =r [ n=0 f(w) (w z 0 ) n+1dw (z z 0 ) n = ] f(w) (w z 0 ) n+1(z z 0) n dw n=0 f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n. n!
23 Liouville n lause Seuraus 1 Analyyttinen funktio on äärettömän monesti derivoituva. Seuraus 2 (Liouvillen lause) Jos f on analyyttinen koko tasossa ja rajoitettu, f(z) M, z, niin f on vakiofunktio.
24 Todistus Olkoot z 0,z 1 ja r 2 > z 0 z 1. 1 f(z) f(z 1 ) f(z 0 ) = dz 1 2πj z z 1 2πj = z 1 z 0 f(z) 2πj (z z 1 )(z z 0 ) dz = z 1 z 0 f(z) 2π (z z 1 )(z z 0 ) dz z 1 z 0 2π M r 2 r 2πr = 2 z 1 z 0 M 0, kun r. r f(z 1 ) = f(z 0 ). f(z) z z 0 dz
25 Algebran peruslause Seuraus 3 Polynomiyhtälöllä P(z) = a n z n + +a 1 z + a 0 = 0, n 1, a n 0, on ainakin yksi juuri. Todistus: Jos P(z) 0 kaikilla z, niin f(z) = 1 P(z) on analyyttinen koko tasossa. Koska tällöin f(z) = 1 P(z) on rajoitettu ( P(z), z ), niin Seuraus 2:n nojalla f(z) ja siten P(z) on vakio P(z) = 0 ainakin yhdellä z.
26 Maksimiperiaate Seuraus 4 (Maksimiperiaate) Jos f on analyyttinen :llä ja :n sisäalueessa niin f(z) saavuttaa maksimiarvonsa reunalla, ellei f(z) vakio. Jos lisäksi f(z) 0 :n sisäalueessa niin f(z) saavuttaa miniminsä reunalla. Todistuksessa käytetään hyväksi keskiarvokaavaa. Esim. Totea, että funktio e z suljetussa kiekossa z 1 saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa reunalla z = 1. Huom! Potenssisarjan kertoimet ovat 1-käsitteiset, joten alkeisfunktioille (kuten esim. sinz) saadaan samat kehitelmät kuin reaalitapauksessa.
27 Laurentin kehitelmä Lause 1 Olkoon R = {z : r 1 < z z 0 < r 2 } ja f analyyttinen R:ssä. Tällöin f :llä on suppeneva Laurentin kehitelmä f(z) = n= a n = 1 2πj a n (z z 0 ) n, z R, missä S r f(z) (z z 0 ) n+1dz, kun S r = {z : z z 0 = r},r 1 < r < r 2. S r2 S r1 * z * z 0 S r R
28 Esimerkkejä Huom. Edellä voi olla r 1 = 0 ja/tai r 2 =. Kehitelmä suppenee laajimmassa renkaassa, joka sisältyy analyyttisyysalueeseen. Kehitelmän kertoimet ovat 1-käsitteiset. Esimerkki 1 Määrää funktion 1 (z+1)(z+3) a) alueessa 1 < z < 3, b) alueessa z > 3. Laurentin kehitelmä 1 Esimerkki 2 Mikä on funktion z(z 1) Laurentin kehitelmä a) alueessa z > 1, b) alueessa 0 < z < 1. Esimerkki 3 Määrää diskreetin LTI-systeemin impulssivaste h(n), kun systeemin siirtofunktio on H(z) = z 2 (z )(z ) määritysalueenaan a) z > 1 2, b) 0 < z < 1 3.
29 Erikoispisteet Jos f on analyyttinen alueessa 0 < z z 0 < r, niin sanotaan että z = z 0 on f :n eristetty erikoispiste. Jos f :n Laurentin kehitelmässä f(z) = n= a n (z z 0 ) n =...+a n (z z 0 ) n +a 1 (z z 0 ) 1 + a 0 + a 1 (z z 0 ) poistuva erikoispiste, jos a n = 0, kun n < 0 2. n:nnen kertaluvun napa, jos a n 0, a n 1 = a n 2 = = 0 3. oleellinen erikoispiste, jos a n 0 äärettömän monella n > 0.
30 Esimerkkejä Esimerkki 4 Määrää funktion f(z) = e z, 1 z 0, erikoispisteen z = 0 laatu ja Laurentin kehitelmä origossa. 1 Esimerkki 5 Funktion f(z) = erikoispisteet ja niiden z 2 +4z+3 laatu? e Esimerkki 6 Määrää funktion 2z erikoispisteet ja niiden laatu (z 1) 3 sekä Laurentin sarja pisteen z = 1 suhteen. Lause 2 Jos g(z) on analyyttinen pisteen z 0 ympäristössä ja g(z 0 ) 0, niin funktiolla f(z) = g(z) (z z 0 ) n, n N, on n:nnen kertaluvun napa pisteessä z 0. Esimerkki 7 Tutki funktion f(z) = ez z 2 +z 4 napoja
31 Residy Olkoon z 0 funktion f eristetty erikoispiste ja f(z) = n= a n (z z 0 ) n. Termin (z z 0 ) 1 kerroin a 1 on funktion f residy pisteessä z 0, merkitään Res z=z 0 f(z) = a 1. 1 z 2 +4z+3 =? Esim. 1 Res z= 1 Esim. 2 f(z) = ze 1 z+2. Laske Res f(z). z= 2
32 Residyn laskeminen Jos piste z 0 on poistuva erikoispiste, niin Res z=z 0 f(z) = 0. Jos z 0 f :n yksinkertainen napa, niin joten f(z) = a 1 z z 0 + g(z) ja g(z) = a n (z z 0 ) n, n=0 (z z 0 )f(z) = a 1 +(z z 0 )g(z) a 1, z z 0, eli Res z=z 0 f(z) = lim z z0 (z z 0 )f(z),
33 Yleisemmin Olkoon f :llä n:nnen kertaluvun napa, f(z) = a n (z z 0 ) n + a n+1 (z z 0 ) n a 1 + g(z) z z 0 missä a n 0. Tällöin (z z 0 ) n f(z) = a n + a n+1 (z z 0 )+ + a 1 (z z 0 ) n 1 +(z z 0 ) n g(z) merk = s(z). (1) Potenssisarjan s(z) termin (z z 0 ) n 1 kerroin on joten (1):n nojalla a 1 = s(n 1) (z 0 ) (n 1)! 1 (n 1)! s(n 1) (z 0 ) = 1 (n 1)! [ d n 1 dz n 1(z z 0) n f(z) ] z=z 0
34 Käyräintegraali ja residy e2z Esim. 3 Laske Resf(z), kun f(z) =. z=0 z 3 Olkoon sulkeutuva Jordan-käyrä ja f analyyttinen alueessa G, joka sisältää :n ja sen sisäalueen, paitsi z 0 :ssa. Olkoon positiivisesti suunnistettu (ks. kuva). auchyn lauseesta seuraa, että Siis f(z)dz = f(z)dz = a n (z z 0 ) n dz S r S r = a n (z z 0 ) n dz = 2πja 1. S r f(z)dz = 2πj Res z=z0 f(z).
35 Käyräintegraali ja residy Lause 1 Olkoon sulkeutuva (posit.suunn.) Jordan-käyrä ja f analyyttinen alueessa G, joka sisältää :n ja sen sisäalueen A, paitsi äärellisessä määrässä erikoispisteitä z 1,...,z n A. Tällöin f(z)dz = 2πj n Res f(z). z=z k k=1 Tod.: Kierretään kaikki navat (ks. kuva) N f(z)dz = f(z)dz = 2πj k=1 S rk N Res f(z). z=z k k=1 1 * z 1 z * 3 * z 2 3 2
36 Esimerkkejä Esim. 4 Laske 1 dz, missä on positiivisesti suunnistettu z 2 +4 origokeskinen ympyrä, jonka säde on 3. L Hospitalin säännön käyttö Residyn laskemisessa: Jos f(z) ja g(z) ovat analyyttisiä alueessa, joka sisältää z 0 :n ja f(z 0 ) = g(z 0 ) = 0 sekä g (z 0 ) 0, niin lim z z 0 f(z) g(z) = lim z z 0 f (z) g (z) = f (z 0 ) g (z 0 ).
37 Eräitä integraaleja Esim. 5 Osoita, että 1 z 6 +1 dz = 2π 3, kun on alla olevan (ks. Lause 2) kuvan käyrä, kun R > 1. Γ R R
38 f(x)dx f(z):llä ei napoja reaaliakselilla Lause 2 Jos f(z) M, z = R jϕ, missä k > 1, ja f jatkuva Γ:lla, R k Γ : z(ϕ) = Re jϕ, 0 ϕ π, niin lim f(z)dz = 0. R Γ Todistus: f(z)dz M πm πr = 0, R Rk Rk 1 Γ lim f(z)dz = 0. R Γ
39 Esimerkkejä Esim. 6 Laske residylaskun avulla Esim. 7 Laske residylaskun avulla Esim. 8 Laske 0 1 x 6 +1 dx. x 2 x 4 +13x dx. 1 x 4 +8x dx. Esim. 9 Laske 2. kertaluvun Butterworth-suodattimen H(f), H(f) 2 = 1 1+f 4, ekvivalentti kaistanleveys W eq = H(f) 2 2 H(0) 2 df.
40 B. 2π 0 R(sin t, cos t)dt Integraali 2π 0 R(sin t, cos t)dt, kun R( ) on rationaalifunktio, jolla ei napoja kehällä z = 1. Tehdään sijoitus { { z = e jt sin t = e jt e jt 2j = 1 2j (z 1 z ) dz = jzdt cos t = ejt +e jt 2 = 1 2 (z + 1 z ) 2π 0 R(sin t,cost)dt = z =1 1 jz R( 1 2j (z 1 z ), 1 2 (z + 1 z ))dz = 2πj [ 1 Res z <1 jz R( 1 2j (z 1 z ), 1 2 (z + 1 ] z ))
41 Esimerkkejä Esim. 10 Laske integraali I = 2π 1 I = 2+sint dt = = 0 z =1 z =1 2π 1 2+sint dt jz (z2 1) dz = 2 1 jz(2+ 1 2j (z 1 z ))dz z =1 1 z 2 + 4jz 1 dz Navat z 0 = ( 2+ 3)j, z 1 = ( 2 3)j, 1 1 I = 2 dz = 4πj Res (z z 0 )(z z 1 ) z=z 0 (z z 0 )(z z 1 ) z =1 1 = 4πj = 2π z 0 z 1 3
42 Oletukset Olkoon G avoin ja sulkeutuva Jordan-käyrä G:ssä, jonka sisäalue A G. Oletetaan, että f on analyyttinen G:ssä paitsi äärellisessä määrässä napoja q 1,...,q r A joiden kertaluvut ovat vastaavasti n 1,...,n r. Olkoon f :llä nollakohdat vain pisteissä z k, k = 1,...,p, z k A ja niiden kertaluvut m k. o x z q 1 x 1 q o 3 o z z 3 2 x oz q 4 2
43 Res z=z0 f (z) f(z) Jos z 0 on funktion f n:nnen kertaluvun napa, niin f(z) = a n (z z 0 ) n + a n+1 (z z 0 ) n a 1 + g(z) z z 0 = h(z) (z z 0 ) n, missä h(z) = a n + a n+1 (z z 0 )+ on analyyttinen ja h(z 0 ) = a n 0. Tällöin f (z) = h (z)(z z 0 ) n h(z) n (z z 0 ) n 1 (z z 0 ) 2n = h (z) (z z 0 ) n n h(z) (z z 0 ) n+1 f (z) f(z) = h (z) h(z) n 1 z z 0, Res z=z 0 f (z) f(z) = n.
44 Res z=z0 f (z) f(z) Vastaavasti, jos kyseessä on m:nnen kertaluvun nollakohta eli jos f(z) = (z z 0 ) m h(z), h(z 0 ) 0, jolloin Res z=z0 f (z) f(z) = m f (z) = (z z 0 ) m h (z)+m(z z 0 ) m 1 h(z), Toisaalta residylauseen mukaan (Lause 1) joten saadaan f (z) f(z) dz = 2πj Res f (z) f(z)
45 Argumentin periaate Lause 1 Yo. oletuksin 1 2πj f (z) p f(z) dz = m k k=1 r n k = M N. k=1 M on nollakohtien kertalukujen summa ja N on napojen kertalukujen summa.
46 Argumentin periaate Lauseen 1 geometrinen tulkinta: Olkoon : z = z(t),a t b suljettu Jordan-käyrä. Silloin M N = 1 2πj f (z) f(z) dz = 1 [log f(z(b)) log f(z(a))] 2πj = 1 [ln f(z(b)) +j arg f(z(b)) 2πj ln f(z(a)) j arg f(z(a))] = 1 1 [arg f(z(b)) arg f(z(a))] merk 2π 2π arg f(z) Argumentin periaate: Integraalin arvo saadaan tarkastelemalla kuvapisteen f(z) argumentin muutosta, kun z kiertää suljetun käyrän.
47 Nollakohtien lukumäärä Lause 2 Olkoon f analyyttinen avoimessa joukossa G ja sulkeutuva Jordan-käyrä G:ssä niin, että :n sisäalue A G. Jos f(z) 0 kun z, niin f :n nollakohtien lkm A:ssa on Lause 3 M = 1 2π arg f(z) (Rouchen lause) Ed. lauseen oletuksin, olkoot f ja g analyyttisiä ja g(z) < f(z) käyrällä. Tällöin funktioilla f + g ja f on yhtä monta nollakohtaa alueessa A (nollakohdat lasketaan kertaluvun mukaan).
48 Todistus (f + g):n nollien lkm = 1 2πj = 1 2πj f f + 1 2πj (1+ g f ) 1+ g f = f :n nollien lkm + 1 2πj = f :n nollien lkm (f + g) (z) (f + g)(z) dz (1+ g f ) 1+ g f sillä 1+ g(z) f(z) pysyy z 0 = 1 -keskisen 1-säteisen ympyrän sisällä kun z. z Esim. 1 Osoita, että rationaalifunktion 2 +5z+4 14z 5 +9z 4 +2z 2 +1 kaikki navat ovat yksikköympyrän sisällä eli alueessa {z z < 1}.
49 Hurwitzin lause Lause 4 Olkoon G avoin joukko ja G sulkeutuva Jordan-käyrä. Oletetaan, että 1. Jono {f n } n N analyyttisia funktioita suppenee tasaisesti kohti analyyttista funktiota f(z); 2. f(z) 0, kun z. Tällöin jostain n lähtien funktioilla f n ja f on sama määrä nollakohtia käyrän rajoittamassa alueessa.
50 Möbius-muunnos Kuvausta (1) T(z) = az + b cz + d, missä a,b,c,d, ad bc 0, sanotaan Möbius-muunnokseksi. Seuraavassa c 0.
51 Konformisuus Lause 1 Möbius-muunnos T : A = {z : z d c } B = {w : w a c } on konforminen ja (2) T 1 (w) = dw + b cw a. Todistus: T (z) = a(cz + d) c(az + b) (cz + d) 2 konformisuus. Käänteiskuvaus T 1 : w = T(z) = az+b cz+d = z = dw + b cw a = T 1 (w). ad bc (cz + d) 2 0
52 Esitystapa Möbius-muunnos voidaan esittää muodossa A,B,. Lause 2 w = A z + B z +, Jokainen konformikuvaus S : D = {z : z < 1} D on Möbius-muunnos ja muotoa eräillä z 0 D, θ [0,2π). S(z) = e jθ z z 0 1 z 0 z Ainoa tapa kuvata kiekko itselleen konformisesti on Möbius-muunnos!
53 Ominaisuuksia Lause 3 Möbius-muunnos kuvaa suoran ympyräksi tai suoraksi ja ympyrän ympyräksi tai suoraksi. Todistus: Kun c 0, niin missä T(z) = az + b cz + d = T 4 T 3 T 2 T 1 (z), T 1 (z) = z + d c, T 2(z) = 1 z, T 3(z) = T 4 (z) = z + a c, bc ad c 2 z ja sillä az + b cz + d (Jos c = 0, niin T(z) = a b z + b d.) = bc ad c 2 1 z + d c + a c.
54 Todistuksen jatko Selvästi T 1,T 3 ja T 4 kuvaavat suorat ja ympyrät suoriksi ja ympyröiksi. Riittää siis tutkia inversion T 2 (z) = 1 z kuvia: Suoran tai ympyrän yhtälö on ( ) Ax + By + (x 2 + y 2 ) = D. Kun z = x + jy 0 ja merkitään 1 z = u + jv, niin sekä ( ) u = joka myös on suora tai ympyrä. x y x 2 ja v = + y2 x 2 + y 2 Au Bv D(u 2 + v 2 ) =,
55 Alkeismuunnokset Huom. Jos suora tulkitaan -säteiseksi ympyräksi, niin Lause 3 Möbius-muunnos kuvaa ympyrän ympyräksi. Edellä huomattiin, että Möbius-muunnos saadaan seuraavien alkeistyyppien avulla: A. w = z + b yhdensuuntaissiirto B. w = az = a e jθ z kierto ja homotetia. w = 1 z inversio.
56 Laajennettu kompleksitaso Merkitään = {z } ja määritellään Möbius-muunnos T : : az+b cz+d, z z, z d c, T(z) = a c, z = z z, z = d c. T on (edelleen) kääntäen yksikäsitteinen, T(z) = w z = T 1 (w) = dw b cw + a.
57 Kaksoissuhde Lause 4 Olkoot z 1,z 2,z 3 kolme eri pistettä ja w 1,w 2,w 3 myös kolme eri pistettä. Tällöin on olemassa täsmälleen yksi Möbius-muunnos T, jolle T(z i ) = w i, i = 1,2,3. T määräytyy ehdosta ( ) w w 1 w w 2 w3 w 2 w 3 w 1 = z z 1 z z 2 z3 z 2 z 3 z 1. Jos jokin z i tai w i on z käytetään sääntöä z + a z + b = 1.
58 Alueiden kuvia Huom! Voidaan osoittaa: Jos A ja B ovat yhdesti yhtenäisiä alueita :ssä (ei reikiä) ja jos f : A f(a) konforminen f(a) : n reuna = B : n reuna jollakin z 0 A, f(z 0 ) B } niin f(a) = B. * z 0 A f * f(z ) 0
59 Käyrän suunnistus Lause 5 Möbius-muunnos säilyttää reunan suunnistuksen. Esim 1 Määrää Möbius-muunnos, joka kuvaa yksikkökiekon A = {z : z 1} vasemmanpuoleiseksi puolitasoksi B = {z : Re z 0}. Esim 2 Määrää Möbius-muunnos, joka kuvaa puolitason A = {z Im z 0} kiekoksi B = {z z j 1} eli ympyrän x 2 +(y 1) 2 = 1 kehäksi ja sisäalueeksi. Esim 3 Miksi alueeksi kuvautuu ympyröiden z = 1 ja z 0.3 = 0.3 rajoittama rengas Möbius-muunnoksella w = z 3 3z 1?
Kompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
Kompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
Kompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus
Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali
2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division
2. Funktiot Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi f(z) = e z f(z) =
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on
Kompleksianalyysi viikko 3
Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Möbius-kuvauksista 13. Konformikuvauksista 13.1. Johdantoa. Seuraavassa α ja β ovat annettuja kompleksilukuja ja k ja t 0 ovat reaalisia vakioita.
Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.
Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset
Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen.
Derivaatta Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Määritelmä Funktio f : A C on derivoituva pisteessä z 0 A jos raja-arvo (riippumatta
1 Analyyttiset funktiot
Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.
Kompleksitermiset jonot ja sarjat
Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä
Residylause ja sen sovelluksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Henry Joutsijoki Residylause ja sen sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 7 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen
3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z
5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon
Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus
Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus LuK-tutkielma Johannes Ylitalo 2372956 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 Merkintöjä 2 1 Kompleksifunktiot 3 2 Signaalianalyysi
(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi
MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi Harjoitustehtäviä, syksy 00. Määrää kompleksiluvun a) = 3 j + 3j, b) = j, + j c) = ( 3 3 3 j)( j) itseisarvo ja argumentti.. Määrää sellaiset reaaliluvut x ja y, että
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun.
17. lokakuuta 2016 Kompleksiluvut Kompleksiluku Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari missä x ja y ovat reaalilukuja. z = (x, y), Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Lukuparin reaaliosa
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mervi Paavola Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Kaavoja: Aalto-yliopisto. Hyperboliset ja trigonometriset funktiot: coshz = ez +e z. , sinhz = ez e z. 1. (a) Esitä polaarimuodossa kompleksiluku
Aalto-yliopisto Rasila/Murtola Mat-1.130 peruskurssi S3 Syksy 011 1. välikoe Ti 11.10.011 klo 16.00-19.00 Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksessa sallittua laskinta mutta ei taulukkokirjaa. 1. (a)
u = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
Kompleksianalyysi Funktiot
Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause
Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Pro Gradu-tutkielma Urho Erkkilä Matemaattisten tieteiden laitos Oulun Yliopisto Kevät 03 Sisältö
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa
1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
HYPERBOLINEN JA KVASIHYPERBOLINEN GEOMETRIA
HYPERBOLINEN JA KVASIHYPERBOLINEN GEOMETRIA Markus Glader Pro gradu -tutkielma Syyskuu 2011 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Matematiikan laitos GLADER, MARKUS: Hyperbolinen ja kvasihyperbolinen
Pro gradu -tutkielma
Pro gradu -tutkielma Kolmen pisteen Schwarzin-Pickin lemma Ahmed Khalif Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Joulukuu 2012 Tiivistelmä Tässä opinnäytetyössä
LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
Kompleksiluvut Kompleksitaso
. Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
RIEMANNIN KUVAUSLAUSE. Sirpa Patteri
RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Sirpa Patteri 2 RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Johdanto Georg Bernhard Riemann (826-866) esitti kuvauslauseen väitöskirjassaan vuonna 85. Hän käytti todistuksessaan Dirichlet n periaatetta,
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (
Kompleksinen Laplace-muunnos
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Päivikki Mäki Kompleksinen Laplace-muunnos Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö MÄKI, PÄIVIKKI:
B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +
LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Sarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia
Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i A.Rasila J.v.Pfaler TKK27 19. lokakuuta 27 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Kompleksianalyysi. Tero Kilpeläinen
Kompleksianalyysi Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja keväälle 2005 26. huhtikuuta 2006 Alkusanat Seuraavilla sivuilla on luentomuistiinpanoja kompleksianalyysin laudatur-kurssille. Toivoakseni kirjoitus
Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, 1858-1936, anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide,
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Harjoitus 1. Tehtävä 1. Malliratkaisut. f(t) = e (t α) cos(ω 0 t + β) L[f(t)] = f(t)e st dt = e st t+α cos(ω 0 t + β)dt.
Harjoitus Malliratkaisut Tehtävä L[f(t)] ˆ f(t) e (t α) cos(ω t + β) f(t)e st dt ˆ e st t+α cos(ω t + β)dt cos(ω t + β) 2 (ej(ωt+β) + e j(ωt+β) ) L[f(t)] 2 eα 2 ˆ ˆ e st t+α (e j(ω t+β) + e j(ω t+β) )
DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30
DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia
Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.
13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
Differentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =