Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset. Seppo Hassi

Transkriptio

1 Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset Seppo Hassi Syksy 6

2

3 iii Esipuhe Tämä on Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset -kurssille laadittu opetusmoniste, jonka sisältö perustuu Vaasan yliopistossa luennoimiini integraalimuunnosten ja kompleksianalyysin kursseihin. Moniste sisältää myös aikaisempien Integraalimuunnokset I & II-kurssien luentomateriaalin. Sisältö on jaettu kahteen osaalueeseen niin, että monisteen alkuosa käsittelee integraalimuunnosten tarvitsemia kompleksianalyysin apuvälineitä ja loppuosa varsinaisia integraalimuunnoksia. Esitän kiitokseni H.L. Wietsma:lle (Vaasan yliopisto, matemaattisten tieteiden yksikkö), joka on suorittanut tekstin puhtaaksikirjoituksen LaTeX-muotoon ja piirtänyt eräisiin esimerkkeihin liittyvät kuvat. Vaasassa 3. elokuuta 6 Seppo Hassi

4

5 v Sisällysluettelo Esipuhe Sisällysluettelo iii v Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista. Peruskäsitteitä trigonometrisista funktioista kertausta Kompleksiluvut Eräitä kompleksifunktioita Jatkuvuus ja derivoituvuus Kompleksinen integrointi 9. Käyräintegraali kompleksitasossa Cauchy n integraalilause ja integraalikaava Sarjakehitelmistä kompleksialueessa 5 3. Potenssisarjat kompleksialueessa Laurentin sarja Residy lause Residyn laskeminen m-kertaisessa navassa Residy-lauseen sovelluksia Rationaalifunktion epäoleellinen integraali Laplace-muunnos Laplace-muunnoksen määritelmä Laplace-muunnoksen ominaisuuksia Derivaatan Laplace-muunnos Integraalin Laplace-muunnos Laplace-muunnoksen derivaatta ja integraali Jaksollisen funktion Laplace-muunnos Konvoluution Laplace-muunnos Raja-arvo-ominaisuuksia Laplace-käänteismuunnos ja yhteys Fourier-muunnokseen Laplace-käänteismuunnoksen laskeminen Residy-menetelmä Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen Laplace-muunnoksella Integraaliyhtälöiden ratkaiseminen Laplace-muunnoksella Siirtofunktio Vektori- ja sisätuloavaruudet Sisätuloavaruus

6 6 Fourier-sarjat Fourier-kertoimet Fourier-sarjan suppeneminen Kompleksiset Fourier-sarjat Fourier-muunnos Fourier-muunnoksen määritelmä ja käänteismuunnos Laplace- ja Fourier-muunnoksen välinen yhteys Fourier-muunnoksen ominaisuuksia Derivaatan Fourier-muunnos Konvoluutio Eräiden funktioiden Fourier-muunnoksia Sovellus differentiaaliyhtälöihin Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) Z-muunnos 9 8. Z-muunnos ja sen käänteismuunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Differenssiyhtälöiden ratkaiseminen Z-muunnoksella A Fourier-Muunnoskaavoja 99 A. Fourier-sarja A. Fourier-muunnos A.3 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) B Laplace-Muunnoskaavoja 3 C Z-Muunnoskaavoja 5 D Kompleksi analyysi 7 Kirjallisuus 9

7 Luku : Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista. Peruskäsitteitä trigonometrisista funktioista kertausta Seuraavat sini- ja kosini-funktioiden laskukaavat tulevat usein käyttöön: Sinin yhteen- ja vähennyslaskukaavat Kosinin yhteen- ja vähennyslaskukaavat sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) sin(x y) = sin(x) cos(y) cos(x) sin(y) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) cos(x y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) yhteys: sin( π x) = cos(x) ja cos( π x) = sin(x). Sinien summaa ja erotusta koskevat kaavat sin(x) + sin(y) = sin( x + y sin(x) sin(y) = cos( x + y Kosinien summaa ja erotusta koskevat kaavat Peruskaava: sin (x) + cos (x) =. cos(x) + cos(y) = cos( x + y cos(x) cos(y) = sin( x + y Määritelmä... Funktio f on parillinen, jos ) cos( x y ) ) sin( x y ) ) cos( x y ) ) sin( x y ) f( x) = f(x), x M f ja funktio f on pariton, jos f( x) = f(x), x M f. Parillisen reaalifunktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen, parittoman reaalifunktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

8 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista Esimerkki... cos(x) on parillinen funktio. Vastaavasti sin(x), tan(x) ja cot(x) ovat parittomia funktioita. Funktiota f sanotaan jaksolliseksi, jos a s.e. x M f pätee f(x + a) = f(x). Vakiota a sanotaan tällöin f:n jaksoksi. Pienintä positiivista jaksoa kutsutaan funktion perusjaksoksi; usein jaksona ilmoitetaan juuri funktion perusjakso. Esimerkki..3. Funktiot sin(x) ja cos(x) ovat π-jaksollisia, kun taas funktiot tan(x) ja cot(x) ovat π-jaksollisia.. Kompleksiluvut Kompleksilukujen joukko C muodostuu luvuista z = x + iy, missä x, y R ja i on imaginaariyksikkö, jolle pätee i =. Kompleksiluvut voidaan ajatella reaalilukupareina (x, y) ja havainnollistaa vektoreina kompleksitasossa, jolloin erityisesti i = (, ). Luvun z = x + iy C reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. iy 4i z = 6 + 4i y = IM(z) i 6 x = RE(z) x Kuva.: Piste z = 6 + 4i kompleksitason vektorina. Laskutoimitukset. Kompleksiluvuille voidaan määritellä yhteen- ja kertolasku. Kompleksilukujen z = x + iy ja z = x + iy summa on ja tulo on z + z = (x + x ) + i(y + y ) z z = (x x y y ) + i(x y + x y ). Yhteenlaskulla on seuraavat ominaisuudet: (i) (liitännäisyys) (z + z ) + z 3 = z + (z + z 3 ); (ii) (vaihdannaisuus) z + z = z + z ; (iii) on olemassa nolla-alkio = + i C, jolle pätee: z + = z, z C; (iv) jokaisella z = x + iy C on olemassa vasta-alkio z = x + i( y) = x iy ts. z + ( z) =. Kertolaskulla on ominaisuudet:

9 .. Kompleksiluvut 3 (i) (liitännäisyys) (z z ) z 3 = z (z z 3 ); (ii) (vaihdannaisuus) z z = z z ; (iii) (osittelulaki) z (z + z 3 ) = z z + z z 3 ; (iv) on olemassa ykkösalkio = + i C, jolle pätee: z = z, z C; (v) jokaiselle z on olemassa käänteisluku z = z, jolle pätee z z =. Itse asiassa, jos z = x + iy C, niin z = x x + y i y x + y. iy z3 = zz 3 ) =( +( ) + 3 i iy 6i z + z = + 6i z = + i 4i z = 6 + 4i z = 4 + i i i z = 3 + i i x z = 3 4 i 4 x z = 6 4i 4i i (a) Yhteenlasku (b) Kertolasku Kuva.: Yhteen- ja kertolasku. Kompleksiluvun z = x + iy liittoluku eli kompleksikonjugaatti on z = x iy. Liittoluvulla on ominaisuudet (i) (z) = z; (ii) z + z = z + z ; (iii) z z = z z ; (iv) ( z z ) = z z.

10 4 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista iy z = + 3i 3i i z = 3 + i i 3 x i i z = 3 i 3i z = 3i Kuva.3: Liittoluku. Liittoluvun avulla z = x + iy:n reaali- ja imaginaariosa saadaan seuraavasti x = Re z = (z + z) ja y = Im z = (z z). i Kompleksiluku voidaan esittää napakoorinaattien avulla muodossa z = x + iy = r(cos φ + i sin φ). Pituutta r = z sanotaan kompleksiluvun z moduliksi ja kulmaa φ = arg z sen argumentiksi. Näille pätee z = x + y = zz ; { arctan y φ = arg z = x, Re x ; ±π + arctan y x, Re x <. Vaihtoehtoisesti cos φ = x x + y, sin φ = y x + y. Moduli on ei-negatiivinen reaaliluku ja argumentti puolestaan on π:n monikerran tarkkuudella määritelty reaaliluku, kun z. Usein argumentti rajataan välille arg z < π tai välille π < arg z π.

11 .. Kompleksiluvut 5 iy iy z z r = z = zz y = IM(z) ϕ = arg(z) x x x = RE(z) (a) Karteesiset koordinaatit (x, y) (b) Napakoordinaatit (r, φ) Kuva.4: Karteesinen- ja napakoordinaattiesitys. Esimerkki... Liittoluku napakoordinaateissa: z = x iy = r cos φ ir sin φ = r (cos( φ) + i sin( φ)). Erityisesti z = r = z ja arg(z) = φ = arg(z). Kompleksilukujen summaa z +z vastaa kompleksitasossa vektoriyhteenlaskua, vrt. Kuva.(a). Kompleksilukujen tuloa z z voi puolestaan havainnollistaa kompleksitasossa napakoordinaattiesityksen avulla. Asian selvittämiseksi tarkastellaan tulon z z napakoordinaattiesitystä. Tulo ja osamäärä napakoordinaateissa: Esitetään kompleksiluvut z ja z napakoordinaateissa: z = r (cos φ + i sin φ ) z = r (cos φ + i sin φ ). Tällöin tulolle z z saadaan napakoordinaattiesitys z z = r (cos φ + i sin φ ) r (cos φ + i sin φ ) = r r ( cos(φ ) cos(φ ) sin(φ ) sin(φ ) + i (cos(φ ) sin(φ ) + sin(φ ) cos(φ )) ) = r r ( cos(φ + φ ) + i sin(φ + φ ) ), missä viimeinen yhtälö seuraa sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoista (kts. Luku.). Niinpä z z = r r = z z arg(z z ) = φ + φ = arg z + arg z.

12 6 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista iy z z r r r z i r z ϕ ϕ ϕ + ϕ x Kuva.5: Tulo z z napakoordinaateissa. Osamäärän napakoordinaattiesitys: Kun z, niin z = z z = r (cos(φ ) + i sin(φ )) r (cos( φ ) + i sin( φ )) z z z r = r (cos(φ φ ) + i sin(φ φ )), r joten z z = r = z r z ja arg ( z z ) = arg(z ) arg(z ). Esimerkki... Lasketaan luvun z = ja argumentti. i +i reaali- ja imaginaariosa sekä moduli 3 i i + i 3 = i( i 3) ( + i 3)( i 3) = i = i. Siten Re z = 3/4 ja Im z = /4. Toisaalta z :n moduli on z = i + i 3 = i + i 3 = + ( = 3) ja argumentti on ( ) i arg z = arg + i = arg(i) arg( + i 3) = π 3 arctan 3 = π π 3 = π 6. Siis z = i = ( cos π 6 + i sin π ). 6

13 .. Kompleksiluvut 7 iy z = + i 3 z = i z = z = 3 z i π 6 x Kuva.6: Osamäärä z = z z napakoordinaateissa. Modulilla on tärkeä geometrinen ominaisuus. Moduli määrää normin (vrt. Mat.Menet. II) kompleksilukujen joukossa, ts. sillä on seuraavat kolme ominaisuutta: (i) z, z C ja z = z = ; (ii) az = a z, a R ja z C; (iii) (Kolmioepäyhtälö) z + z z + z, z, z C. Esimerkki..3. Olkoot z = + i ja z = 3i. Tällöin z z = ( + i)(3i) = 6 6i, z + i ( + i)( 3i) = = = + i = z 3i 3i ( 3i) i 3, z z = ( 6) + ( 6) = 6 = 8 3 = ( ) + ( 3) = z z, arg(z ) = 3π 4, arg(z ) = π, arg(z z ) = 3π 4 = 5π 4 π = arg(z ) + arg(z ) π, ( ) z arg = π 4 = arg(z ) arg(z ). z Tulon modulin ja argumentin kaavat yleistyvät n:n luvun tulolle. Jos z = z z... z n, niin z = z z z n ja arg(z) = n arg(z i ). i= Jos tässä valitaan z = z =... = z n, saadaan ns. de Moivre n kaava: z n = z n (cos(nφ) + i sin(nφ)).

14 8 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista Jos erityisesti z =, niin z n = cos(nφ) + i sin(nφ). Napakoordinaattiesitys on hyödyllinen myös ratkaistaessa polynomiyhtälöitä. Tarkastellaan erikoistapausta z n = w, jolloin z = n w; ts. on etsittävä luvun w C kaikki n-juuret kompleksitasossa. Olkoot r, ρ. Tällöin joten w = r(cos(φ) + i sin(φ)) ja z = ρ(cos(θ) + i sin(θ)), z n = ρ n (cos(nθ) + i sin(nθ)) = r(cos(φ + i sin(φ)) = w, ρ = n r ja nθ = φ + kπ, (k Z) eli ρ = n r ja θ = φ n + kπ n, (k Z). Erisuuret juuret saadaan arvoilla k =,,..., n ja ratkaisuksi saadaan n kappaletta luvun w n-juuria: ( ( ) ( )) z = n φ + kπ φ + kπ r cos + i sin, k =,,..., n. n n Kun w =, nähdään, että juuret n w sijaitsevat kompleksitason yksikköympyrän kehällä ja määräävät tasasivuisen n-monikulmion, jonka kärjet ovat pisteissä ( ) ( ) n kπ kπ = cos + i sin, k =,,..., n. n n iy iy iy x x x (a) juuret 3 (b) juuret 4 (c) juuret 5 Kuva.7: Luvun z = n erisuurta n-juurta n arvoilla n = 3, 4, 5. Kompleksilukujen eräänä tärkeänä ominaisuutena on, että jokaisella (reaali- tai kompleksikertoimisella) n:n asteen (n > ) polynomilla on täsmälleen n kappaletta juuria kompleksilukujen joukossa monikerrat huomioiden. [Algebran peruslause.]

15 .3. Eräitä kompleksifunktioita 9.3 Eräitä kompleksifunktioita Eksponenttifunktio kompleksitasossa määritellään kaavalla (.) e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y), z = x + iy C. Kuva.8(b) havainnollistaa funktion z e z määritelmää kompleksitason kuvauksena. Kun z = Re z = x, saadaan tavallinen reaaliakselilla määritelty eksponenttifunktio. Kun z = iy, saadaan e iy = cos y + i sin y. (Eulerin kaava) Kun z esitetään napakoordinaateissa z = z (cos φ + i sin φ), saadaan jokaiselle kompleksiluvulle z seuraava esitys eksponenttifunktion avulla (.) z = z e iφ = e ln z e iφ = e ln z +iφ, z >. Esimerkkejä: e πi = e =, e ±πi =, e πi = i ja e πi = i. Sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoista seuraa e iy e iy = (cos(y ) + i sin(y )) (cos(y ) + i sin(y )) = (cos(y ) cos(y ) sin(y ) sin(y )) + i (sin(y ) cos(y ) + cos(y ) sin(y )) = cos(y + y ) + i sin(y + y ) = e i(y +y ). Tämän nojalla e z toteuttaa myös kompleksitasossa kaavan e z +z = e (x +x )+i(y +y ) = e (x +x ) e i(y +y ) = e x e x e iy e iy = e x +iy e x +iy = e z e z. Sini- ja kosinifunktion jaksollisuudesta seuraa, että e z on πi-jaksollinen funktio, e z+πi = e z, z C. Siten e z saavuttaa kaikki arvonsa jo jaksovyössä π < y π, x R; kts. Kuva.8(c). Huom. Selvästi e z z C, sillä e z = e Re z = e x > x R. Toisaalta kaavan (.) nojalla kaikki arvot z C \ {} kuuluvat e z :n arvojoukkoon. Huom. Eksponenttifunktion määritelmästä (.) nähdään, että e z = e x e iy kompleksitason pisteessä z = x + iy määräytyy olennaisesti sen arvoista imaginaariakselilla z = iy eli Eulerin kaavasta. Palautetaan mieleen reaaliakselilla määriteltyjen funktioiden e x, sin x ja cos x Taylor-sarjakehitelmät: e x x n = n!, sin x = ( ) k x k+ (k + )!, cos x = ( ) k xk (k)!. n= k= Korvaamalla e x :n Taylor-sarjakehitelmässä luku x imaginaariluvulla iy ja huomioimalla, että y n, n = 4k (iy) n iy = n, n = 4k + y n, n = 4k + iy n, n = 4k + 3 k=

16 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista todetaan, että e iy (iy) n = n! n= = k= ( ) k xk (k)! + i( ( ) k x k+ ) = cos y + i sin y, (k + )! k= mikä osaltaan selittää e z :n määritelmän (.) ja Eulerin kaavan sisällön. Trigonometriset funktiot kompleksitasossa. Eulerin kaavoista saadaan e iy = cos y + i sin y ja e iy = cos y i sin y, y R cos y = eiy + e iy ja sin y = eiy e iy, y R. i Sini- ja kosinifunktiot määritellään koko kompleksitasossa eksponenttifunktion avulla vastaavasti: (.3) cos z = eiz + e iz Samalla Eulerin kaava yleistyy koko kompleksitasoon ja sin z = eiz e iz, z C. i e iz = cos z + i sin z, z C. Tangentti- ja kotangenttifunktiot voidaan nyt määritellä kaavoilla tan z = sin z cos z ja cot z = cos z sin z, kun cos z ja vastaavasti sin z. Logaritmifunktio kompleksitasossa: Kun eksponenttifunktio rajoitetaan jaksovyöhön π < y π, x R, niin se on injektiivinen ja arvojoukkona on C \ {}. Luonnollisen logaritmin ln z ns. päähaara kompleksitasossa (z ) määritellään e z :n yo. rajoittuman käänteisfunktiona. Olkoon ln z = w = u + iv ja z = re iφ. Tällöin joten e u = r = z ja v = φ = arg z. Siten z = e w = e u e iv, ln z = ln z + i arg(z), π < arg z π eli Re (ln z) = ln z ja Im (ln z) = arg z. Muut ln z:n haarat saadaan sen päähaarasta πi-monikertoina: Lnz = ln z + kπi, k Z. Määritelmästä ja eksponenttifunktion ominaisuuksista seuraa ( ) z ln(z z ) = ln z + ln z ja ln = ln z ln z. z

17 .3. Eräitä kompleksifunktioita Huom. Funktio ln z on epäjatkuva negatiivisella reaaliakselilla (, ]. Yleinen potenssi- ja eksponenttifunktio kompleksitasossa: Yleinen pontenssifunktio z c, missä myös potenssi c voi olla kompleksiluku voidaan määritellä logaritmifunktion avulla: Esimerkki: z c = e c ln z z c = e clnz (päähaara), (muut haarat). i i = e i ln i = e i(ln i +i arg i) = e i(ln +i π ) = e π R. Vaihtamalla määritelmässä z:n ja c:n roolit saadaan määriteltyä myös eksponenttifunktio kantalukuna a C: a z = e z ln a. Huom. sin z ja cos z ovat myös kompleksitasossa π-jaksollisia, koska e z on πijaksollinen: sin(z + πk) = (e i(z+πk) e i(z+πk)) i = ( e iz e iz) = sin z, (k Z). i Vastaavasti cos(z + πk) = cos z, z C. Sen sijaan ne eivät ole rajoitettuja kuvauksia C:ssä. Valitsemalla z = iy todetaan, että cos iy = ( ) e iy + e i y = ( e y + e y), joten imaginaariakselilla kosinifunktio kasvaa rajatta: lim y ± cos iy = +. Esimerkki.3.. Etsitään yhtälön cos z = 5 kaikki ratkaisut. Määritelmän nojalla yhtälö saa muodon ( e iz + e iz) = 5 ( e iz) + e iz e iz = e iz ( e iz) e iz + = e iz = ± 4 = 5 ± 4. Toisaalta e iz = e i(x+iy) = e y+ix, joten { y = ln(5 ± 4) x = arg ( e iz) = arg(5 ± 4) = πk, k Z. Niinpä yhtälöllä on äärettömän monta eri ratkaisua kompleksitasossa: z = πk i ln(5 ± 4), k Z.

18 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista Hyperboliset funktiot. Hyperboliset funktiot sinh x ja cosh x määritellään reaalialueessa seuraavilla kaavoilla sinh x = (ex e x ), x R, cosh x = (ex + e x ), x R, ja edelleen hyperboliset funktiot tanh x ja coth x reaalialueessa vastaavasti kaavoilla tanh x = sinh x cosh x = ex e x e x, x R, + e x coth x = cosh x sinh x = ex + e x e x, x R \ {}. e x Suoralla laskulla todetaan, että sinh( x) = sinh x ja cosh( x) = cosh x. Niinpä sinh x on pariton ja cosh x parillinen funktio, ja siten funktiot tanh x ja coth x ovat parittomia. [Hahmottele niiden kuvaajat.] Seuraava kaava antaa erään yhteyden funktioiden sinh x ja cosh x välillä: (.4) cosh x sinh x =. Hyperbolisten funktioiden määritelmät yleistyvät sellaisenaan myös kompleksimuuttujalle z C: sinh z = (ez e z ), cosh z = (ez + e z ), tanh z = sinh z cosh z, cosh z coth z = sinh z. Huomioimalla kompleksisten trigonometristen funktioiden sin z ja cos z määritelmät kaavoissa (.3) todetaan, että kompleksialueessa hyperbolisilla funktioilla on yhteys trigonometrisiin funktioihin: cosh iz = cos z, sinh iz = i sin z tai yhtäpitävästi cos iz = cosh z, sin iz = i sinh z.

19 .3. Eräitä kompleksifunktioita 3 iy f(z) = z iy ϕ x ϕ x (a) neliöön korotus iy d π f(z) = e z iy c a x b d c e a e b x (b) suorakaiteen kuva kuvauksessa z e z iy π f(z) = e z iy i x x π i (c) jaksovyön osien kuvautuminen kuvauksessa z e z Kuva.8: Alueiden kuvautuminen neliöinnin ja eksponenttifunktion tapauksissa.

20 4 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista.4 Jatkuvuus ja derivoituvuus Koska kompleksiluvun moduli z määrää normin, joka yhtyy kompleksitasoon piirretyn vektorin z = x + iy pituuteen, yhtyy kompleksitason topologia R :n topologiaan. Siten, esim. pisteen z C ε-säteinen (avoin) palloympäristö on joukko B ε (z ) = {z C : z z < ε}. Kompleksitasossa funktion raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät ja niiden sisältö on sama kuin kahden muutujan vektorifunktioilla R R. Niinpä funktio f : M f C on jatkuva pisteessä z M f C, jos lim z z f(z) = f(z ), z M f, ts. ε > δ ε > : z z < δ ε (z M f ) f(z) f(z ) < ε. Derivaatta: Toisin kuin tavallisessa xy-tasossa R kompleksiluvuille on määritelty kertolasku ja siten myös osamäärä. Tämä mahdollistaa derivaatan määritelmän kompleksifunktioille yhden muuttujan reaalifunktioiden tapaan, suoraan erotusosamäärän raja-arvona. Jos raja-arvo f (z ) := lim z z f(z) f(z ) z z on olemassa sanotaan, että f on derivoituva (differentioituva) pisteessä z ja että raja-arvo f (z ) on f:n derivaatta pisteessä z C. Huomaa, että määritelmässä z z kompleksitasossa. Ko. raja-arvo ei saa siten riippua suunnasta tai tavasta, jolla z z. Esimerkki.4.. Olkoon f(z) = z. Tällöin Siis f (z ) = z, z C. f(z) f(z ) z z lim = lim z z z z z z z z Derivaatalla on seuraavat tavanomaiset ominaisuudet: (i) (cf) (z) = cf (z), c C; (ii) (f + g) (z) = f (z) + g (z); (iii) (fg) (z) = f (z)g(z) + f(z)g (z); = lim z z z + z = z. (iv) ( ) f(z) g(z) = f (z)g(z) f(z)g (z). g(z) Kompleksifunktion derivoituvuus muistuttaa vektorifunktioiden differentioituvuutta (vrt. funktion f : R R approksimointi tangenttitasolla), joka on luonteeltaan voimakkaampi vaatimus kuin osittaisderivaattojen olemassaolo. Useat yksinkertaisetkaan kompleksimuuttujan funktiot eivät välttämättä ole derivoituvia.

21 .4. Jatkuvuus ja derivoituvuus 5 Esimerkki.4.. (Kompleksikonjugaatti) Olkoon f(z) = z = x iy, z = x + iy C. Funktio f ei ole derivoituva millään z C. Tarkastellaan funktion f erotusosamäärää pisteessä z C: f(z) f(z ) z z = z z z z = (x x ) i(y y ) (x x ) + i(y y ). Jos y = y, niin ja jos x = x, niin f(z) f(z ) x x lim = lim =, z z z z z z x x f(z) f(z ) lim = lim y y =. z z z z z z y y Niinpä f:n erotusosamäärällä ei ole raja-arvoa missään pisteessä z C, ts. f (z ) ei ole olemassa. Kompleksifunktiota f(z) sanotaan analyyttiseksi alueessa A C (tässä alue = avoin yhtenäinen joukko C:ssä ), jos se on derivoituva z A. Funktiota f(z) sanotaan analyyttiseksi pisteessä z C, jos se on analyyttinen jossakin pisteen z ε-ympäristössä. Esim. Polynomit P (z) = c n z n +c n z n +... c z +c, c i C, ovat analyyttisiä koko kompleksitasossa C. Samoin rationaalifunktiot P (z)/q(z), missä P (z) ja Q(z) ovat polynomeja, ovat analyyttisiä nimittäjän nollakohtia (q(z) = ) lukuunottamatta. Cauchy-Riemannin yhtälöt. Olkoon f kompleksifunktio ja merkitään z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), missä u = Re f ja v = Im f. Jos f on derivoituva, niin se on myös jatkuva (vektorifunktiona) ja tällöin myös reaaliarvoiset komponenttikuvaukset u(x, y) ja v(x, y) ovat jatkuvia kahden muuttujan x ja y funktioina. Voimme myös tutkia u:n ja v:n osittaisderivaattojen u x = x u, u y = y u, v x = x v ja v y = y v olemassaoloa. Osoittautuu, että f:n analyyttisyys voidaan karakterisoida u:n ja v:n osittaisderivaattoihin liittyvien Cauchy-Riemannin yhtälöiden avulla. Olkoon f = u + iv määritelty pisteen z ympäristössä ja oletetaan, että f on derivoituva pisteessä z = x + iy. Tarkastellaan erotusosamäärän raja-arvoa, kun z z : f(z) f(z ) = u(x, y) u(x, y ) + i v(x, y) v(x, y ). z z z z z z

22 6 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista Kun valitaan y = y, nähdään (pitämällä f:ää vektorifunktiona), että seuraavat raja-arvot ovat olemassa ja että (.5) ( u(x, y) f u(x, y ) (z ) = lim + i v(x, y) v(x ), y ) = u x (x, y )+iv x (x, y ). z z,y=y x x x x Vastaavasti, kun x = x päädytään raja-arvoyhtälöön (.6) ( u(x, y) f u(x, y ) (z ) = lim + i v(x, y) v(x ), y ) = iu y (x, y )+v y (x, y ). z z,x=x i(y y ) i(y y ) Kohdista (.5) ja (.6) nähdään, että { ux (x, y ) = v y (x, y ), u y (x, y ) = v x (x, y ). Siis f toteuttaa z :ssa ns. Cauchy-Riemannin yhtälöt: { ux = v y, u y = v x. Funktion derivoituvuus kompleksimuuttujan suhteen on yhtäpitävää differentioituvuuden kanssa, mikä nähdään seuraavasta differentiaalikehitelmästä: (.7) f(z + λ) f(z ) = cλ + λ ε(λ), missä ε(λ), kun λ. Tällöin c = f (z )( C). Perustelu on sama kuin yhden muuttujan reaalifunktioiden tapauksessa (vrt. Mat. menet. I). Nyt seuraukset ovat kuitenkin voimakkaampia, nimittäin funktiot u(x, y) ja v(x, y) ovat myös differentioituvia kahden muuttujan funktioina (vrt. Mat. menet. II). Huomioimalla lisäksi Cauchy-Riemannin yhtälöt saadaan funktion derivoituvuudelle kompleksimuuttujan suhteen seuraava karakterisaatio. Lause.4.3. Funktio f(z) = u(x, y) + iv(x, y) on derivoituva pisteessä z = x + iy C, jos ja vain jos komponenttikuvaukset u(x, y) ja v(x, y) ovat differentioituvia pisteessä (x, y ) ja ne toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt { ux = v y, u y = v x. Todistus. Oletetaan ensin, että f on derivoituva pisteessä z. Merkitään λ = h + ik ja f (z ) = a + ib( C). Differentiaalikehitelmästä (.7) nähdään, että kun λ, niin u(x + h, y + k) u(x, y ) = Re ( f (z )λ + λε(λ) ) = ah bk + Re (λε(λ)) = ah bk + λ ε (λ),

23 .4. Jatkuvuus ja derivoituvuus 7 missä Vastaavasti, kun λ, lim ε Re (λε(λ)) (λ) = lim =. λ λ λ missä v(x + h, y + k) v(x, y ) = Im ( f (z )λ + λε(λ) ) = bh + ak + λ ε (λ), lim ε Im (λε(λ)) (λ) = lim =. λ λ λ Siten u ja v ovat differentioituvia pisteessä (x, y ) ja { ux (x, y ) = a, u y (x, y ) = b; v x (x, y ) = b, v y (x, y ) = a. Oletetaan kääntäen, että u ja v ovat differentioituvia (x, y ):ssä ja toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt. Tällöin { u(x + h, y + k) u(x, y ) = u x (x, y )h + u y (x, y )k + λ ε (λ); v(x + h, y + k) v(x, y ) = v x (x, y )h + u v (x, y )k + λ ε (λ), missä ε (λ) and ε (λ) kun λ. Siten f(z + λ) f(z ) = (u x (x, y ) + iv x (x, y )) h + (u y (x, y ) + iv y (x, y )) k + λ (ε (λ) + iε (λ)). Tässä λ (ε (λ) + iε (λ)) = λε(λ), missä ε(λ), kun λ. Cauchy-Riemannin yhtälöt nähdään, että Huomioimalla f(z + λ) f(z ) = u x (x, y )(h + ik) + iv x (x, y )(h + ik) + λε(λ) = (u x (x, y ) + iv x (x, y )) λ + λε(λ). Siis f on derivoituva pisteessä z ja f (z ) = u x (x, y ) + iv x (x, y ) = v y (x, y ) iu y (x, y ). C. Seuraava tulos antaa riittävän ehdon funktion f derivoituvuudelle pisteessä z Lause.4.4. Jos reaaliarvoisilla funktioilla u(x, y) ja v(x, y) on jatkuvat. kertaluvun osittaisderivaatat pisteessä (x, y ) ja ne toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt pisteessä (x, y ), niin funktio f(z) = u(x, y) + iv(x, y) on derivoituva pisteessä z = x + iy. Lisäksi f (z ) = u x (x, y ) + iv x (x, y ) = v y (x, y ) iu y (x, y ).

24 8 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista Todistus. Osittaisderivaattojen jatkuvuus takaa funktioiden u ja v differentioituvuuden (x, y ):ssä (vrt. Mat. menet. II-kurssi). Tämän perusteella väite saadaan Lauseesta.4.3. Esimerkki.4.5. f(z) = z = x iy. Nyt u(x, y) = x, v(x, y) = y ja edelleen u x =, u y =, v x =, v y =. Siten u x v y. Lause.4.6. Jos f = u + iv on analyyttinen alueessa A C, niin u = Re f ja v = Im f toteuttavat Laplace-yhtälön: u = u xx + u yy =, v = v xx + v yy =. Todistus. (IDEA) Funktion f analyyttisyydestä seuraa, että myös sen derivaatta f on analyyttinen f (n) on analyyttinen (tämä perustellaan myöhemmin). Derivoimalla Cauchy-Riemannin yhtälöt saadaan (.8) { uxx = v yx, u xy = v yy ; u yx = v xx, u yy = v xy. Koska f (n) on analyyttinen, komponenttikuvauksilla u ja v on kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat. Tämän nojalla u xy = u yx ja v xy = v yx (vrt. Mat. menet. II-kurssi). Niinpä yhtälöistä (.8) nähdään, että u xx +u yy = ja v xx +v yy =. Esimerkki.4.7. (i) f(z) = e z, f (z) = e z ; (ii) f(z) = sin z, f (z) = cos z; (iii) f(z) = cos z, f (z) = sin z; (iv) f(z) = tan z, f (z) = / cos z; (v) f(z) = cot z, f (z) = / sin z; (vi) f(z) = ln z, f (z) = z, kun z C \ (, ]. Esimerkki.4.8. Myös hyperbolisten funktioiden derivaatat on helppo johtaa normaalien derivointisääntöjen avulla huomioimalla kaava (.4) sekä peruskaava D(e z ) = e z : (i) f(z) = sinh z, f (z) = cosh z; (ii) f(z) = cosh z, f (z) = sinh z; (iii) f(z) = tanh z, f (z) = / cosh z; (iv) f(z) = coth z, f (z) = / sinh z.

25 9 Luku : Kompleksinen integrointi. Käyräintegraali kompleksitasossa Kompleksifunktioille voidaan määritellä käyräintegraali samaan tapaan kuin usean muuttujan reaalifunktioille. Olkoon C paloittain sileä käyrä kompleksitasossa, t.s. sillä on parametriesitys [a, b] C, t z(t), joka on paloittain jatkuvasti derivoituva parametrin t suhteen. Ositetaan väli [a, b] R jakopisteillä a = t,t,..., t n = b, jolloin pisteet z k = z(t k ) jakavat C:n osakäyriin. Valitaan kultakin C:n osakäyrältä z k :n ja z k :n välistä piste ξ k (= z(η k ), t k η k t k ). Jos summalla S d := n f(ξ k )(z k z k ) i= on raja-arvo, kun D := max k z k z k, joka ei muutoin riipu jaosta D eikä pisteiden ξ k valinnasta, sanotaan ko. raja-arvoa f:n käyräintegraaliksi pitkin (suunnistettua) käyrää C. Raja-arvon olemassaolo ilmaistaan usein sanomalla, että funktio f on integroituva yli käyrän C ja ko. raja-arvolle käytetään merkintää f(z) dz. C Kirjoittamalla f = u+iv ja z k z k = x k +i y k saadaan C f(z)dz palautettua reaalifunktioiden käyräintegraaleiksi ( n n n ) n S d = u k x k v k y k + i u k y k + v k x k k= f(z)dz = C C i= u(x, y)dx C i= ( v(x, y)dy + i i= C u(x, y)dy + C ) v(x, y)dx. Kirjoittamalla { f(z) = u(x, y) + iv(x, y); dz = dx + idy voidaan tämä yhteys nähdä myös laskemalla symbolisesti: f(z)dz = (u(x, y) + iv(x, y)) (dx + idy) C C ( ) = u(x, y)dx v(x, y)dy + iu(x, y)dy + iv(x, y)dx C = (u(x, y)dx v(x, y)dy) + i (u(x, y)dy + v(x, y)dx). C C

26 Chapter. Kompleksinen integrointi Jos f on jatkuva, niin f on integroituva yli käyrän C ja käyräintegraali voidaan laskea määrättynä integraalina käyttämällä apuna C:n parametriesitystä t z(t) (vrt. Mat. menet. I ja II-kurssit): b f(z) dz = f(z(t))z (t) dt. C a Integraalifunktio ja yhteys käyräintegraaliin. Kuten reaalifunktioiden tapauksessa funktiota F, jolla on ominaisuus F (z) = f(z) sanotaan funktion f integraalifunktioksi. Integraalifunktio on kompleksista vakiota vaille yksikäsitteisesti määrätty. Todettakoon, että integraalifunktion olemassaolo muistuttaa vektorifunktion potentiaalin olemassa ja sen ominaisuudetkin ovat samankaltaiset (vrt. Usean muuttujan analyysin kurssi). Lause... Jos f:llä on integraalifunktio F, niin f(z) dz = F (z ) F (z ), missä z on käyrän C alkupiste ja z C:n päätepiste. Todistus. C f(z)dz = b a C f(z(t))z (t)dt = b a (F z) (t)dt = [F z] b a = (F z)(b) (F z)(a) = F (z ) F (z ). Tämä osoittaa, että jos f:llä on integraalifunktio, niin sen käyräintegraalit eivät riipu pisteitä z ja z yhdistävän polun valinnasta. Myös käänteinen väite pätee: Lause... Olkoon f : A C jatkuva alueessa A C. Tällöin funktiolla f on integraalifunktio alueessa A, jos ja vain jos kaikille umpinaisille paloittain säännöllisille käyrille C A on voimassa f(z) dz =. C Tämän lauseen käänteinen väite voidaan todistaa samalla tavalla kuin Mat. menet. II-kurssilla vastaava tulos. Esimerkki..3. Lasketaan C z z dz pitkin ympyrän, jonka keskipisteenä on z ja säteenä, kehää suunnistettuna vastapäivään. Valitaan C:lle parametriesitys z(t) = z + cos t + i sin t = z + e it, t π. Tällöin z (t) = ie it ja C z z dz = π π e it ieit dt = i dt = πi. Huomaa, että (ln(z z )) = z z, kun z z / (, ], mutta ln(z z ) on epäjatkuva arvoilla z z (, ]. Erityisesti funktiolla f(z) = z (z = ) ei ole integraalifunkiota alueessa, joka sisältää origon.

27 .. Cauchy n integraalilause ja integraalikaava. Cauchy n integraalilause ja integraalikaava Integraalifunktion olemassaoloa on helpointa tarkastella alueessa A, joka on yhdesti yhtenäinen: jokaisen A:n umpinaisen käyrän C rajoittaman C:n osajoukon pisteet kuuluvat joukkoon A. Tämä tarkoittaa, että A:ssa ei voi olla reikiä. (Piirrä kuva.) Käyrää C sanotaan säännölliseksi (ja sileäksi), jos se ei leikkaa itseään eikä siinä ole kulmia (ts. käyrällä on tangentti kaikissa pisteissä). Tällaisen käyrän parametriesitys z(t) : [a, b] C on säännöllinen, jos z(t) on injektiivinen ja sen derivaatta z (t) on olemassa ja jatkuva, sekä lisäksi z (z). Käyrä C on paloittain säännöllinen, jos se voidaan jakaa äärellisen moneksi osakäyräksi, jotka ovat säännöllisiä. (Piirrä kuva.) Lause... (Cauchy n integraalilause) Jos f on analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa A, niin jokaiselle A:n umpinaiselle paloittain säännölliselle käyrälle C pätee C f(z)dz =. Todistus. Näytämme vain kuinka väitetty tulos voidaan johtaa, kun f (z) on jatkuva. Määritelmän nojalla C f(z)dz = = (u(x, y)dx v(x, y)dy) + i R ( v(x, y) x u(x, y) y (u(x, y)dy + v(x, y)dx) ( u(x, y) x ) dxdy + i R ) v(x, y) dxdy, dy missä jälkimmäinen yhtälö seuraa ns. Greenin lauseesta, joka todistetaan Matemaattiset menetelmät II-kurssilla (tässä R on käyrän C sisäpuolelle rajattu tasoalue). Huomioimalla nyt Cauchy-Riemannin yhtälöt todetaan, että molemmissa tasointegraaleissa integroitava funktio on nollafunktio, jolloin ko. tasointegraalien arvot ovat myös nollia. Seuraus... Jos f on analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa A, niin f:llä on A:ssa integraalifunktio. Cauchy n integraalilauseen tulos pätee myös yleisemmille kompleksitason alueille seuraavassa muodossa. Jos f on analyyttinen alueessa, joka sisältää alueen A ja sen (paloittain säännölliset äärellisen pituiset) reunakäyrät, niin A f(z)dz =, kun alueen reuna A (aluetta rajoittavat reunakäyrät) on positiivisesti suunnistettu: kuljettaessa reunakäyrää pitkin positiiviseen suuntaan alue A jää vasemmalle. Esimerkki..3. (Vrt. Esimerkki..3.) Suoraan havaitaan, että jos C r = B r (z ) on r-säteisen ympyrän kehä keskipisteenä

28 Chapter. Kompleksinen integrointi z ja valitaan parametriesitykseksi z(t) = r(cos t + i sin t) + z = z + re it ( t π), jolloin z (t) = r ie it, niin saadaan C r z z dz = π π re it rieit dt = i dt = πi. Integraalin arvo ei siis riipu säteestä r, vaikka eri r:n arvoja vastaa eri integrointipolku C r. Soveltamalla ennen esimerkkiä mainittua tulosta, sama johtopäätös voidaan yleistää monimutkaisemmille integrointipoluille C: Olkoon C säännöllinen umpinainen käyrä, joka kulkee kerran pisteen z C ympäri suunnistettuna vastapäivään ja olkoon B r (z ) sellaisen r-säteisen ympyrän kehä keskipisteenä z, myös suunnistettuna vastapäivään, joka sijaitsee käyrän C sisäpuolella. Tällöin C ja B r (z ) rajaavat kompleksitasossa alueen A, jonka reunakäyrinä ne ovat. (Piirrä kuva.) Vaihtamalla käyrän B r (z ) suunnistus vastakkaiseksi (eli kulku myötäpäivään), tulevat molemmat A:n reunakäyrät positiivisesti suunnistetuiksi. Tämän nojalla = A f(z)dz = C f(z)dz + f(z)dz = f(z)dz f(z)dz, B r(z ) C B r(z ) kun f on analyyttinen joukon A sisältävässä alueessa. Erityisesti, kun f(z) = z z, pätee C dz = z z B r(z ) dz z z = πi. Niinpä integraalin arvo ei edelleenkään riipu yo. integrointikäyrästä C. Esimerkin tulos voidaan yleistää seuraavasti. Lause..4. (Cauchy n integraalikaava) Olkoot f analyyttinen alueessa A, z mielivaltainen A:n piste sekä C säännöllinen umpinainen kerran z :n ympäri kulkeva vastapäivään suunnistettu käyrä, jonka rajaama alue kuuluu A:han. Tällöin f(z ) = πi C f(z) z z dz. Todistus. Kirjoitetaan f(z) = f(z ) + (f(z) f(z )). Tällöin C f(z) dz = f(z ) z z dz C z z }{{ } =πi + C f(z) f(z ) dz. z z Toisaalta C voidaan korvata z -keskisellä r-säteisellä ympyrällä; valitaan z(t) = re it + z, t π. Funktio f on derivoituvana jatkuva pisteessä z, joten ɛ > r > s.e. f(z) f(z ) < ɛ, kun z z r.

29 .. Cauchy n integraalilause ja integraalikaava 3 Koska z (t) = ire it ja z (t) = r, saadaan nyt arvio f(z) f(z ) dz z z = f(z) f(z ) dz z z = C B r (z ) π f(z(t)) f(z ) z(t) z }{{} =r Tässä ɛ > oli mielivaltainen. Niinpä C Esimerkki..5. C π z (t) dt = }{{} =r f(z(t)) f(z ) z (t)dt z(t) z π f(z) f(z ) z z dz =. e z z dz = πiez z= = πie ( 46, 4i). Cauchy n integraalikaava antaa myös esityksen derivaatalla f (z ). Seuraus..6. (Derivaatan esitys) Lauseen..4 oletuksin pätee f (z ) = πi C f(z) (z z ) dz. f(z(t)) f(z ) < πɛ. }{{} <ɛ Todistus. Soveltamalla Cauchy n integraalikaava pisteissä z ja z + λ saadaan f(z ) = f(z) dz πi z z ja f(z + λ) = πi C C f(z) z (z + λ) dz. Vähentämällä nämä esitykset puolittain nähdään, että f(z + λ) f(z ) (.) = f(z) λ πi (z z λ)(z z ) dz. C Siten f (z ) = lim λ πi C f(z) (z z λ)(z z ) dz = πi C f(z) (z z ) dz. Tässä raja-arvon λ ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa (perustelu sivuutetaan), mistä väite seuraa. Saatu esitys f (z ):lle osoittaa, että f (z ) on jatkuva. Itse asiassa vastaava päättely käyttämällä f (z ):n esitystä osoittaa, että f (z) on derivoituva ja f (z ) = πi C f(z) (z z ) 3 dz.

30 4 Chapter. Kompleksinen integrointi Niinpä f:llä on kaikkien kertalukujen derivaatat ja f (n) (z ) = n! f(z) dz. πi (z z ) n+ C Huom. f (n) (z ):n esitys saadaan derivoimalla Cauchy n integraalikaava n kertaa z :n suhteen (tässä z :n ja :n järjestyksen saa vaihtaa). Analyyttisen funktion kaikkien kertalukujen derivaatat ovat siis analyyttisiä. Tästä seuraa, että Cauchy n integraalilause voidaan kääntää. Seuraus..7. (Moreran lause) Olkoon A ja C kuten Cauchy n integraalilauseessa (Lause..). Jos f on jatkuva ja kaikille C pätee f(z)dz =, niin f on analyyttinen A:ssa. C Todistus. C f(z)dz =, C f:llä on integraalifunktio F (z). analyyttinen f(z) on analyytinen. F (z) on tällöin

31 5 Luku 3: Sarjakehitelmistä kompleksialueessa Kompleksialueessa sarjakehitelmillä on keskeinen merkitys. Kompleksilukujen z, z,... muodostama sarja k= z k suppenee, jos osasummien jonolla n S n = k= on äärellinen raja-arvo S (= k= z k) C. Sarja k= z k on suppeneva, jos ja vain jos reaalilukusarjat ja y k, (z k = x k + iy k ) k= x k k= kumpikin ovat suppenevia. Tällöin S = z k = k= k= z k x k + i y k. Sarjaa k= z k sanotaan itseisesti suppenevaksi, jos modulien z k muodostama reaalilukusarja k= z k suppenee. Jos sarja suppenee itseisesti, suppenevat myös reaalilukusarjat k= x k ja k= y k (itseisesti) majoranttiperiaatteen nojalla ja siten sarja k= z k suppenee myös tavallisessa mielessä. 3. Potenssisarjat kompleksialueessa Potenssisarjat ovat muotoa a n (z z ) n, n= missä a n C ovat sarjan kertoimia, z C on sarjan kehityskeskus ja z C on muuttuja. Seuraava lause todistetaan kuten reaalilukusarjoille. Lause 3... (Abelin lause) Jos potenssisarja n= a n(z z ) n suppenee pisteessä z z, niin se suppenee itseisesti jokaisella arvolla z, jolle z z < z z. Jos ko. potenssisarja hajaantuu pisteessä z, niin se hajaantuu jokaisella arvolla z, jolle z z > z z. Tämän nojalla potenssisarjaan voidaan liittää suppenemissäde R (R tai R = ), jolle pätee z z < R a n (z z ) n suppenee, z z > R n= k= a n (z z ) n n= hajaantuu.

32 6 Chapter 3. Sarjakehitelmistä kompleksialueessa Kuten reaalialueessa potenssisarja määrittelee konvergenssikiekossa funktion f(z) = n= z n(z z ) n, jolla on kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat z:n suhteen ja ne voidaan laskea derivoimalla sarja termeittäin: f (k) (z) = n(n )(n )... (n k + )a n (z z ) n k. n=k Näin saaduilla potenssisarjoilla on sama suppenemissäde R kuin alkuperäisellä sarjalla, eli ne suppenevat arvoilla z z < R. Erityisesti f (k) (z ) = k!a k, joten alkuperäinen sarja voidaan suppenemiskiekossaan kirjoittaa muodossa f(z) = n= f (n) (z ) (z z ) n, z z < R. n! Tätä sanotaan f:n Taylorin sarjaksi pisteessä z. Esimerkki 3... Muodostetaan Taylorin sarja fuktiolle kehityskeskuksena origo. Selvästi f(z) = z f (z) = d dz ( z) = ( ) ( z) ( ) = ( z). Vastaavasti ja yleisesti f (z) = d dz ( z) = f (n) (z) = ( z) 3 n!, n =,, 3,... ( z) n+ Siten f (n) () = n! ( ) n+ = n!(= n(n ) ) ja f(z):lle saadaan Taylor sarjaksi f(z) = n= f (n) () z n = n! Ko. Taylor-sarja yhtyy geometriseen sarjaan z <. z n. n= n= zn = z, joka suppenee arvoilla Esimerkki Funktio f(x) = on jatkuva x R ja jopa äärettömän +x monta kertaa derivoituva funktio voidaan muodostaa Taylor-sarja. Mutta: Ko. Taylor-sarja suppenee pisteessä x R x ], [. Syy: funktiolla f(z) = +z (z C) on navat pisteissä z = ±i.

33 3.. Laurentin sarja 7 Potenssisarjan summa f(z) on derivoituvana funktiona analyyttinen kiekossa z z < R. Osoittautuu, että myös käänteinen tulos on voimassa: pisteessä z analyyttinen funktio voidaan kehittää potenssisarjaksi (Taylorin sarjaksi) pisteessä z, joka suppenee kohti alkuperäistä funktiota. Potenssisarjan suppenemissäteeseen liittyy sama tulos kuin reaalialueessa: Jos raja-arvo lim n an = R n tai lim n a n a n+ = R on olemassa, niin se on sarjan n= a n(z z ) n suppenemissäde. Esimerkki Geometrisen sarjan n= zn suppenemissäde on R = ja sen summa f(z) = n= zn = z on analyyttinen kiekossa z <. Itse asiassa rationaalifunktiona z on analyyttinen, kun z. 3. Laurentin sarja Esitämme analyyttiselle funktiolle sarjakehitelmän, jonka kehityskeskukseksi voidaan valita myös piste, jossa ko. funktion ei tarvitse olla edes määritelty. Kehitelmällä on paljon käyttöä muun muassa residy-laskennassa, jonka avulla esimerkiksi hankalien käyräintegraalien laskeminen saattaa helpottua olennaisesti. Erikoistapauksena saamme analyyttisen funktion Taylor-sarjan. muodostettiin Taylor-sarja kehityskeskuk- Esimerkki 3... Funktiolle f(z) = sena origo Esimerkissä 3..: z f(z) = z = z n. Tämä sarja suppenee arvoilla z <, z C. Funktiolle f(z) voidaan muodostaa myös z:n negatiivisiin kokonaislukupotensseihin perustuva sarjakehitelmä seuraavasti: z = z = ( ) n ( ) n = (z, ). z z z z n= n= Kyseinen sarja suppenee, kun z <, tai yhtäpitävästi, kun z >. Niinpä funktiolla f(z) = z on seuraavat sarjakehitelmät: n= z = z n, kun z < ; n= z = ( ) n, kun z >. z n= Lause 3... Rengasalueessa r z z R analyyttinen funktio voidaan esittää Laurent-sarjana f(z) = a n (z z ) n, n=

34 8 Chapter 3. Sarjakehitelmistä kompleksialueessa missä a n = πi C f(ξ) dξ, n Z (ξ z ) n+ ja integrointi suoritetaan vastapäivään pitkin renkaassa r < z z < R olevaa säännöllistä umpinaista käyrää C (kiertäen kerran z :n ympäri). Ko. sarja suppenee kohti funktiota f ainakin rengasalueessa r < z z < R. Todistus. Yhdistetään reunakäyrät B r (z ) ja B R (z ) janalla, jolloin muodostuu umpinainen käyrä γ, joka kiertää kerran renkaassa < z z < R olevan pisteen z ja jonka rajaamassa alueessa f on analyyttinen (piirrä kuva). Cauchy n integraalikaavan (Lause..4) nojalla f(z) = πi Kirjoitetaan γ f(ξ) ξ z dξ = πi B R (z ) ξ z = ( ) = (ξ z ) z z ξ z f(ξ) ξ z dξ πi B r (z ) k n= f(ξ) ξ z dξ =: f (z)+f (z). (z z ) n (ξ z ) n + (z z ) k (ξ z)(ξ z ) k. Sijoittamalla tämä f (z):n lausekkeeseen ja integroimalla termeittäin saadaan ( k ) f(ξ)dξ f (z) = πi n= B R (z ) (ξ z ) n+ (z z ) n + (z z ) k f(ξ)dξ πi B R (z ) (ξ z)(ξ z ) k. }{{}}{{} =a n (korvataan B R (z ) polulla C) =:R k (z) Tässä f(ξ) M < ξ B R (z ) (jatkuvana rajoitettu funktio), joten R. ξ z lim R k(z) πrm k π lim k ( ) z z k =. R }{{} < Siis f (z) = n= a n(z z ) n ja tämä sarja suppenee ainakin arvoilla z z < Toisaalta lähtemällä esityksestä ξ z = ( (z z ) ξ z z z ) saadaan f (z) = ( k ) f(ξ)(ξ z ) n dξ (z z ) n + (z z ) k (ξ z ) k f(ξ)dξ πi n= B r(z ) πi B r(z ) (z ξ) }{{}}{{} =a n (korvataan B r (z ) polulla C) =: R k (z) ja tässä f(ξ) M <, ξ B r (z ), joten z ξ lim R πr M k (z) k π lim k ( ) r k =. z z }{{} <

35 3.. Laurentin sarja 9 Niinpä f (z) = n= a n(z z ) n ja tämä sarja suppenee ainakin arvoilla z z > r. Koska f(z) = f (z) + f (z), väite on todistettu. Huom. Lauseessa 3.. esitetyt Laurent-sarjan kertoimien a n lausekkeet voidaan johtaa myös seuraavasti. Integroidaan sarja f(z) = n= a n(z z ) n termeittäin ja sovelletaan Cauchy n integraalilausetta ja derivaattojen lauseketta: C eli f(z)dz = Vastaavasti antaa eli C n= = a a n C (z z ) n dz }{{} = + a C Lause.. dz C z z }{{ } =πi,esim...3 f(z) (z z ) k+ dz = }{{} derivaattojen esitys a = f(z)dz. πi C f(z) (z z ) k+ = n= a n C a k = πi C n= a n (z z ) n k, (z z ) n k dz = a k f(z) dz. (z z ) k+ dz + a z z C C dz z z = a k πi dz (z z ) +... Laurent-sarjan alkuperäistä suppenemisrengasta voi laajentaa: r ja R kunnes ao. ympyrän kehä saavuttaa pisteen, jossa funktio f ei ole enää analyyttinen. Erityisesti, jos f on analyyttinen z -keskisessä R-säteisessä pallossa z z < R, niin Laurent-sarjan negatiivisia indeksejä vastaavat kertoimet a, a,... ovat kaikki nollia Cauchy n integraalilauseen (Lause..4) nojalla. Laurent-sarja antaa siten erikoistapauksena pisteessä z analyyttiselle funktiolle sen Taylor-sarjakehitelmän. Kiinteässä suppenemisrenkaassa funktion Laurent-sarjakehitelmä on yksikäsitteisesti määrätty: jos sarjakehitelmät f(z) = n= a n (z z ) n ja f(z) = n= b n (z z ) n suppenevat samassa rengasalueessa r < z z < R, niin a n = b n, n Z. Mikäli funktiolle f saadaan muodostettua ko. tyyppiä oleva suppeneva sarjakehitelmä, niin se on välttämättä ao. rengasalueessa funktion f Laurent-sarja, ts. a n = f(ξ) dξ, n Z. πi (ξ z ) n+ C

36 3 Chapter 3. Sarjakehitelmistä kompleksialueessa Esimerkki Sarjakehitelmä z = n= zn suppenee arvoilla z <. Kyseessä on funktion f(z) = Taylor-sarjakehitelmä eli Laurent-sarja, joka z suppenee rengasalueessa, jossa r = ja R =. Toisaalta sarjakehitelmä ) k+ = z z z 3 = z = z( /z) = ( k= z n= zn suppenee arvoilla z >. Kyseessä on funktion f(z) = z Laurent- sarja, joka suppenee rengasalueessa, jossa r = ja R =. Esimerkkejä Taylor-sarjoista: Eksponenttifunktio e z = n= z n n! = + z + z! + z3 3! +... ja sarja suppenee z C. Trigonometriset funktiot sin z = cos z = ( ) n zn+ (n + )! = z z3 3! + z5 5!... n= n= ( ) n zn (n)! = z! + z4 4!... ja molemmat sarjat suppenevat z C. Geometrinensarja suppenee arvoilla z < (z C). Logaritmi ln( + z) = z = z n = + z + z +... n= n= ( ) n zn+ n + = z z + z suppenee arvoilla z <. Huom! Taylor-sarjan tapauksessa kertoimet a n (n =,,,... ) voidaan laskea myös kaavalla a n = f (n) (z ) n!. Taylor-sarjoja voi käyttää apuna muodostettaessa funktioiden Laurent-sarjakehitelmiä. Esimerkki f(z) = z e /z = z ( n= n! ( ) ) n = z + z + z z + 3!z Laurent-sarja pisteessä z =, joka suppenee arvoilla z >.

37 3.3. Residy lause Residy lause Usein Laurent-sarja muodostetaan rengasalueessa < z z < R, missä kehityskeskus z on aina R-säteisen palloympäristön piste, jossa f(z) ei ole analyyttinen. Tarkastelun kohteena on tällöin erityisesti sellaiset funktiot, joiden Laurentin sarjoissa negatiivisia indeksejä vastaavista kertoimista vain äärellinen määrä on nollasta eroavia, ts. f(z):n Laurent-sarja on muotoa missä f(z) = f (z) = n= m n= a n (z z ) n = f (z) + f (z), = a m = a m =..., a n (z z ) n ja f (z) = a + a z z (z z ) + + a m (z z ) m. Kun tässä a m, sanotaan että f:llä on m-kertainen napa pisteessä z. Jos z on f:n napa, niin lim z z f(z) =. Funktion Laurent-sarjakehitelmän kerroin a on erityisasemassa ja sitä sanotaan funktion residyksi pisteessä z, merk. (3.) Res z f(z) = a = πi C f(ξ)dξ. Tätä voi hyödyntää mm. käyräintegraalien laskemisessa, jos funktion Laurent-sarja tunnetaan. sin z Esimerkki Laske C dz, missä C on yksikköympyrän kehä. Funktion z 4 sin z Taylor-sarjakehitelmä antaa Laurent-sarjan joka suppenee kun z >. Siten Tässä z = on f(z):n 3-kertainen napa. C sin z z 4 = z 3 3!z + z 5!..., ( sin z dz = πi ) = πi z4 3! 3. Usein funktion residy voidaan kuitenkin laskea muodostamatta sen Laurentsarjaa. Tarkastellaan tilannetta, jossa funktiolla on -kertainen napa pisteessä z. Tällöin m = ja f(z) = a z z + a + a (z z ) + a (z z ) + ( < z z < R). Nyt (z z )f(z) = a + a (z z ) + a (z z ) + a (z z ) 3 + ( < z z < R),

38 3 Chapter 3. Sarjakehitelmistä kompleksialueessa joten Res z f(z) = a = lim z z (z z )f(z), kun m =. Jos p(z) ja q(z) ovat analyyttisiä pisteessä z ja piste z = z on q:n -kertainen nollakohta (eli q(z ) = ja q (z ) ) ja p(z ), niin (3.) Res z p(z) q(z) = p(z ) q (z ). Nimittäin lim (z z ) p(z) z z q(z) = lim z z Esimerkki Res z =i p(z) q(z) z z = lim z z p(z) q(z) q(z ) z z [ ] [ ] 9z + i 9z + i z(z = + ) 3z = i + z=i = 5i. = p(z ) q (z ). Lause (Residy lause) Olkoon C paloittain säännöllinen umpinainen käyrä, jonka rajaamassa kompleksitason alueessa funktio f on analyyttinen lukuunottamatta pisteitä z, z,..., z k, jotka ovat C:n sisäpuolella. Tällöin C f(z)dz = πi k Res zj f(z). Todistus. Lisätään jokaiseen pisteeseen z j niitä ympäröivät ympyräkehät, jotka eivät leikkaa toisiaan ja sijaitsevat käyrän C rajaaman alueen sisäpuolella. Olkoon A se alue, joka on C:n sisäpuolella poislukien pisteitä z, z,..., z k ympäröivät ympyräalueet (ts. alueessa A on k ympyränmuotoista reikää: piirrä kuva). Tällöin f on analyyttinen A:ssa, joten A f(z)dz =, missä alueen A reuna A (ts. kaikki sen reunakäyrät) on positiivisesti suunnistettu (vrt. s. 7). Toisin sanoen f(z)dz + C f(z)dz + C f(z)dz + + C f(z)dz = C k eli C j= f(z)dz = f(z)dz + C f(z)dz + + C f(z)dz, C k missä käyrät C,..., C k on suunnistettu vastapäivään. Käyrän C j (j =,..., k) sisäpuolella piste z j on ainoa piste, jossa f ei ole analyyttinen, joten (katso (3.)) f(z)dz = Res zj f(z), j =,..., k. πi C j Niinpä f(z)dz = Res z f(z) + Res z f(z) + + Res zk f(z). πi C

39 3.3. Residy lause 33 Esimerkki Lasketaan 4 3z C z z dz yli käyrän C, joka ympäröi pisteet z = ja z = eli integroitavan funktion navat. Napojen kertaluku on yksi, joten vastaavat residyt ovat Res z 4 3z z z = Res z 4 3z z z = katso (3.). Lauseen nojalla saamme C [ ] 4 3z z [ ] 4 3z z z= z= = 4, =, 4 3z z dz = πi [ 4 + ] = 6πi. z 3.3. Residyn laskeminen m-kertaisessa navassa Jos funktiolla f(z) on m-kertainen napa pisteessä z, niin sen Laurent-sarja z :ssa on muotoa f(z) = a m (z z ) m + + a (z z ) + a n (z z ) n, missä a m. Funktion f(z) residy Res z f(z) = a voidaan tällöin laskea pisteessä z seuraavasti. Merkitään g(z) := (z z ) m f(z) = a m +a m+ (z z )+ +a (z z ) m + a n (z z ) n+. Tällöin a = (m )! g(m ) (z ) = n= n= [ d m ] (m )! lim z z dz m ((z z ) m f(z)). Esimerkki Lasketaan Esim tulos yo. kaavalla, kun m = : [ ] [ ] 9z + i 9z + i Res z =i z(z = lim (z i) + ) z i z(z + ) [ ] 9z + i = lim = i z i z(z + i) i = 5i. z Esimerkki Olkoot f(z) =. Funktiolla f on navat pisteissä z (z+)(z ) =, jonka kertalukuna on, ja z =, jonka kertalukuna on. Siten Res z f(z) = lim z Res z f(z) = z (z ) = 4 9 [ d dz ( )! lim z ( z z + )] [ ] (z + ) z = lim z (z + ) = 4 9.

40 34 Chapter 3. Sarjakehitelmistä kompleksialueessa 3.3. Residy-lauseen sovelluksia Olkoon F (x, y) rationaalifunktio. Tällöin integraali π F (cos x, sin x)dx voidaan muuttujanvaihdolla palauttaa käyräintegraaliksi yli yksikköympyrän kehän. Merkitään e ix = z, jolloin dz dx = ieix = iz dx = dz iz. Koska { ( cos x = e ix + e ix) = ( ) z + z sin x = ( i e ix e ix) = ( ) i z z saamme muuttujanvaihdolla missä π f(z) = F F (cos x, sin x)dx = C f(z) dz iz, ( ( z + ), ( z )) z i z on rationaalifunktio ja C on yksikköympyrän kehä suunnistettuna vastapäivään. Esimerkki Lasketaan π Sijoitus: cos x = ( z + z π dx cos x. ) ja dx = dz iz : dx dz = cos x C (z + /z) iz = dz C i (z z + ) dz = i (z )(z + ). C Tässä z = + on C:n ulkopuolella ja z = on C:n sisäpuolella. Nyt Res z=z [ ] i (z )(z + ) = i z z= = i, joten π dx cos x = πi( i) = π Rationaalifunktion epäoleellinen integraali Olkoon f(x) = p(x)/q(x) reaalinen rationaalifunktio. Oletetaan lisäksi, että (3.3) { deg p deg q ; q(x) x R.

41 3.3. Residy lause 35 Tällöin integraali f(x)dx suppenee ja R f(x)dx = lim f(x)dx. R R Ko. epäoleellisen integraalin arvo voidaan laskea kompleksisen käyräintegraalin avulla Residy-lausetta käyttäen: Yhdistetään reaaliakselin pisteet R ja R puoliympyrän kaarella S R, ympyrän keskipisteenä origo. Yhdessä reaaliakselilla sijaitsevan janan [ R, R] kanssa muodostuu suljettu paloittain säännöllinen umpinainen käyrä, jonka rajaama alue on C:n ylemmässä puolitasossa C + sijaitseva R-säteinen puoliympyrä. (Piirrä kuva.) Koska f on rationaalifunktio ja q(x), x R, saadaan kompleksitason ylemmässä puolitasossa sijaitsevat q:n nollakohdat (ts. f:n kaikki C + :ssa sijaitsevat navat) z j käyrän C = [ R, R] S R sisäpuolelle, kun R on riittävän suuri. Tällöin: C f(z) = f(z)dz + S R R R f(x)dx }{{} = πi Lause z j C +, z j f:n napa Res zj f(z). Osoitetaan, että lim R S R f(z)dz = : Valitaan S R :lle parametriesitys z(t) = Re it, t [, π], jolloin z (t) = Rie it ja S R f(z)dz = π f ( Re it) Rie it dt. Tässä f ( Re it) Rie it = R f ( Re it) R k z, kun säde R ja vakio k > ovat riittävän suuria (syy: deg p deg q ). Siten lim R f(z)dz lim S R π R R k kπ dt = lim z R R =. Johtopäätös: (3.4) f(x)dx = πi Res zj f(z). z j C +,z j f:n napa Vastaavasti voidaan todistaa, että kun f(x) = p(x)/q(x) toteuttaa annetut ehtoa ((3.3)), niin kaikilla s > pätee (3.5) f(x)e isx dx = πi z j C +,z j f:n napa Res zj [ f(z)e isz ].