Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset. Seppo Hassi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset. Seppo Hassi"

Transkriptio

1 Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset Seppo Hassi Syksy 6

2

3 iii Esipuhe Tämä on Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset -kurssille laadittu opetusmoniste, jonka sisältö perustuu Vaasan yliopistossa luennoimiini integraalimuunnosten ja kompleksianalyysin kursseihin. Moniste sisältää myös aikaisempien Integraalimuunnokset I & II-kurssien luentomateriaalin. Sisältö on jaettu kahteen osaalueeseen niin, että monisteen alkuosa käsittelee integraalimuunnosten tarvitsemia kompleksianalyysin apuvälineitä ja loppuosa varsinaisia integraalimuunnoksia. Esitän kiitokseni H.L. Wietsma:lle (Vaasan yliopisto, matemaattisten tieteiden yksikkö), joka on suorittanut tekstin puhtaaksikirjoituksen LaTeX-muotoon ja piirtänyt eräisiin esimerkkeihin liittyvät kuvat. Vaasassa 3. elokuuta 6 Seppo Hassi

4

5 v Sisällysluettelo Esipuhe Sisällysluettelo iii v Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista. Peruskäsitteitä trigonometrisista funktioista kertausta Kompleksiluvut Eräitä kompleksifunktioita Jatkuvuus ja derivoituvuus Kompleksinen integrointi 9. Käyräintegraali kompleksitasossa Cauchy n integraalilause ja integraalikaava Sarjakehitelmistä kompleksialueessa 5 3. Potenssisarjat kompleksialueessa Laurentin sarja Residy lause Residyn laskeminen m-kertaisessa navassa Residy-lauseen sovelluksia Rationaalifunktion epäoleellinen integraali Laplace-muunnos Laplace-muunnoksen määritelmä Laplace-muunnoksen ominaisuuksia Derivaatan Laplace-muunnos Integraalin Laplace-muunnos Laplace-muunnoksen derivaatta ja integraali Jaksollisen funktion Laplace-muunnos Konvoluution Laplace-muunnos Raja-arvo-ominaisuuksia Laplace-käänteismuunnos ja yhteys Fourier-muunnokseen Laplace-käänteismuunnoksen laskeminen Residy-menetelmä Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen Laplace-muunnoksella Integraaliyhtälöiden ratkaiseminen Laplace-muunnoksella Siirtofunktio Vektori- ja sisätuloavaruudet Sisätuloavaruus

6 6 Fourier-sarjat Fourier-kertoimet Fourier-sarjan suppeneminen Kompleksiset Fourier-sarjat Fourier-muunnos Fourier-muunnoksen määritelmä ja käänteismuunnos Laplace- ja Fourier-muunnoksen välinen yhteys Fourier-muunnoksen ominaisuuksia Derivaatan Fourier-muunnos Konvoluutio Eräiden funktioiden Fourier-muunnoksia Sovellus differentiaaliyhtälöihin Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) Z-muunnos 9 8. Z-muunnos ja sen käänteismuunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Differenssiyhtälöiden ratkaiseminen Z-muunnoksella A Fourier-Muunnoskaavoja 99 A. Fourier-sarja A. Fourier-muunnos A.3 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) B Laplace-Muunnoskaavoja 3 C Z-Muunnoskaavoja 5 D Kompleksi analyysi 7 Kirjallisuus 9

7 Luku : Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista. Peruskäsitteitä trigonometrisista funktioista kertausta Seuraavat sini- ja kosini-funktioiden laskukaavat tulevat usein käyttöön: Sinin yhteen- ja vähennyslaskukaavat Kosinin yhteen- ja vähennyslaskukaavat sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) sin(x y) = sin(x) cos(y) cos(x) sin(y) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) cos(x y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) yhteys: sin( π x) = cos(x) ja cos( π x) = sin(x). Sinien summaa ja erotusta koskevat kaavat sin(x) + sin(y) = sin( x + y sin(x) sin(y) = cos( x + y Kosinien summaa ja erotusta koskevat kaavat Peruskaava: sin (x) + cos (x) =. cos(x) + cos(y) = cos( x + y cos(x) cos(y) = sin( x + y Määritelmä... Funktio f on parillinen, jos ) cos( x y ) ) sin( x y ) ) cos( x y ) ) sin( x y ) f( x) = f(x), x M f ja funktio f on pariton, jos f( x) = f(x), x M f. Parillisen reaalifunktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen, parittoman reaalifunktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

8 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista Esimerkki... cos(x) on parillinen funktio. Vastaavasti sin(x), tan(x) ja cot(x) ovat parittomia funktioita. Funktiota f sanotaan jaksolliseksi, jos a s.e. x M f pätee f(x + a) = f(x). Vakiota a sanotaan tällöin f:n jaksoksi. Pienintä positiivista jaksoa kutsutaan funktion perusjaksoksi; usein jaksona ilmoitetaan juuri funktion perusjakso. Esimerkki..3. Funktiot sin(x) ja cos(x) ovat π-jaksollisia, kun taas funktiot tan(x) ja cot(x) ovat π-jaksollisia.. Kompleksiluvut Kompleksilukujen joukko C muodostuu luvuista z = x + iy, missä x, y R ja i on imaginaariyksikkö, jolle pätee i =. Kompleksiluvut voidaan ajatella reaalilukupareina (x, y) ja havainnollistaa vektoreina kompleksitasossa, jolloin erityisesti i = (, ). Luvun z = x + iy C reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. iy 4i z = 6 + 4i y = IM(z) i 6 x = RE(z) x Kuva.: Piste z = 6 + 4i kompleksitason vektorina. Laskutoimitukset. Kompleksiluvuille voidaan määritellä yhteen- ja kertolasku. Kompleksilukujen z = x + iy ja z = x + iy summa on ja tulo on z + z = (x + x ) + i(y + y ) z z = (x x y y ) + i(x y + x y ). Yhteenlaskulla on seuraavat ominaisuudet: (i) (liitännäisyys) (z + z ) + z 3 = z + (z + z 3 ); (ii) (vaihdannaisuus) z + z = z + z ; (iii) on olemassa nolla-alkio = + i C, jolle pätee: z + = z, z C; (iv) jokaisella z = x + iy C on olemassa vasta-alkio z = x + i( y) = x iy ts. z + ( z) =. Kertolaskulla on ominaisuudet:

9 .. Kompleksiluvut 3 (i) (liitännäisyys) (z z ) z 3 = z (z z 3 ); (ii) (vaihdannaisuus) z z = z z ; (iii) (osittelulaki) z (z + z 3 ) = z z + z z 3 ; (iv) on olemassa ykkösalkio = + i C, jolle pätee: z = z, z C; (v) jokaiselle z on olemassa käänteisluku z = z, jolle pätee z z =. Itse asiassa, jos z = x + iy C, niin z = x x + y i y x + y. iy z3 = zz 3 ) =( +( ) + 3 i iy 6i z + z = + 6i z = + i 4i z = 6 + 4i z = 4 + i i i z = 3 + i i x z = 3 4 i 4 x z = 6 4i 4i i (a) Yhteenlasku (b) Kertolasku Kuva.: Yhteen- ja kertolasku. Kompleksiluvun z = x + iy liittoluku eli kompleksikonjugaatti on z = x iy. Liittoluvulla on ominaisuudet (i) (z) = z; (ii) z + z = z + z ; (iii) z z = z z ; (iv) ( z z ) = z z.

10 4 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista iy z = + 3i 3i i z = 3 + i i 3 x i i z = 3 i 3i z = 3i Kuva.3: Liittoluku. Liittoluvun avulla z = x + iy:n reaali- ja imaginaariosa saadaan seuraavasti x = Re z = (z + z) ja y = Im z = (z z). i Kompleksiluku voidaan esittää napakoorinaattien avulla muodossa z = x + iy = r(cos φ + i sin φ). Pituutta r = z sanotaan kompleksiluvun z moduliksi ja kulmaa φ = arg z sen argumentiksi. Näille pätee z = x + y = zz ; { arctan y φ = arg z = x, Re x ; ±π + arctan y x, Re x <. Vaihtoehtoisesti cos φ = x x + y, sin φ = y x + y. Moduli on ei-negatiivinen reaaliluku ja argumentti puolestaan on π:n monikerran tarkkuudella määritelty reaaliluku, kun z. Usein argumentti rajataan välille arg z < π tai välille π < arg z π.

11 .. Kompleksiluvut 5 iy iy z z r = z = zz y = IM(z) ϕ = arg(z) x x x = RE(z) (a) Karteesiset koordinaatit (x, y) (b) Napakoordinaatit (r, φ) Kuva.4: Karteesinen- ja napakoordinaattiesitys. Esimerkki... Liittoluku napakoordinaateissa: z = x iy = r cos φ ir sin φ = r (cos( φ) + i sin( φ)). Erityisesti z = r = z ja arg(z) = φ = arg(z). Kompleksilukujen summaa z +z vastaa kompleksitasossa vektoriyhteenlaskua, vrt. Kuva.(a). Kompleksilukujen tuloa z z voi puolestaan havainnollistaa kompleksitasossa napakoordinaattiesityksen avulla. Asian selvittämiseksi tarkastellaan tulon z z napakoordinaattiesitystä. Tulo ja osamäärä napakoordinaateissa: Esitetään kompleksiluvut z ja z napakoordinaateissa: z = r (cos φ + i sin φ ) z = r (cos φ + i sin φ ). Tällöin tulolle z z saadaan napakoordinaattiesitys z z = r (cos φ + i sin φ ) r (cos φ + i sin φ ) = r r ( cos(φ ) cos(φ ) sin(φ ) sin(φ ) + i (cos(φ ) sin(φ ) + sin(φ ) cos(φ )) ) = r r ( cos(φ + φ ) + i sin(φ + φ ) ), missä viimeinen yhtälö seuraa sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoista (kts. Luku.). Niinpä z z = r r = z z arg(z z ) = φ + φ = arg z + arg z.

12 6 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista iy z z r r r z i r z ϕ ϕ ϕ + ϕ x Kuva.5: Tulo z z napakoordinaateissa. Osamäärän napakoordinaattiesitys: Kun z, niin z = z z = r (cos(φ ) + i sin(φ )) r (cos( φ ) + i sin( φ )) z z z r = r (cos(φ φ ) + i sin(φ φ )), r joten z z = r = z r z ja arg ( z z ) = arg(z ) arg(z ). Esimerkki... Lasketaan luvun z = ja argumentti. i +i reaali- ja imaginaariosa sekä moduli 3 i i + i 3 = i( i 3) ( + i 3)( i 3) = i = i. Siten Re z = 3/4 ja Im z = /4. Toisaalta z :n moduli on z = i + i 3 = i + i 3 = + ( = 3) ja argumentti on ( ) i arg z = arg + i = arg(i) arg( + i 3) = π 3 arctan 3 = π π 3 = π 6. Siis z = i = ( cos π 6 + i sin π ). 6

13 .. Kompleksiluvut 7 iy z = + i 3 z = i z = z = 3 z i π 6 x Kuva.6: Osamäärä z = z z napakoordinaateissa. Modulilla on tärkeä geometrinen ominaisuus. Moduli määrää normin (vrt. Mat.Menet. II) kompleksilukujen joukossa, ts. sillä on seuraavat kolme ominaisuutta: (i) z, z C ja z = z = ; (ii) az = a z, a R ja z C; (iii) (Kolmioepäyhtälö) z + z z + z, z, z C. Esimerkki..3. Olkoot z = + i ja z = 3i. Tällöin z z = ( + i)(3i) = 6 6i, z + i ( + i)( 3i) = = = + i = z 3i 3i ( 3i) i 3, z z = ( 6) + ( 6) = 6 = 8 3 = ( ) + ( 3) = z z, arg(z ) = 3π 4, arg(z ) = π, arg(z z ) = 3π 4 = 5π 4 π = arg(z ) + arg(z ) π, ( ) z arg = π 4 = arg(z ) arg(z ). z Tulon modulin ja argumentin kaavat yleistyvät n:n luvun tulolle. Jos z = z z... z n, niin z = z z z n ja arg(z) = n arg(z i ). i= Jos tässä valitaan z = z =... = z n, saadaan ns. de Moivre n kaava: z n = z n (cos(nφ) + i sin(nφ)).

14 8 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista Jos erityisesti z =, niin z n = cos(nφ) + i sin(nφ). Napakoordinaattiesitys on hyödyllinen myös ratkaistaessa polynomiyhtälöitä. Tarkastellaan erikoistapausta z n = w, jolloin z = n w; ts. on etsittävä luvun w C kaikki n-juuret kompleksitasossa. Olkoot r, ρ. Tällöin joten w = r(cos(φ) + i sin(φ)) ja z = ρ(cos(θ) + i sin(θ)), z n = ρ n (cos(nθ) + i sin(nθ)) = r(cos(φ + i sin(φ)) = w, ρ = n r ja nθ = φ + kπ, (k Z) eli ρ = n r ja θ = φ n + kπ n, (k Z). Erisuuret juuret saadaan arvoilla k =,,..., n ja ratkaisuksi saadaan n kappaletta luvun w n-juuria: ( ( ) ( )) z = n φ + kπ φ + kπ r cos + i sin, k =,,..., n. n n Kun w =, nähdään, että juuret n w sijaitsevat kompleksitason yksikköympyrän kehällä ja määräävät tasasivuisen n-monikulmion, jonka kärjet ovat pisteissä ( ) ( ) n kπ kπ = cos + i sin, k =,,..., n. n n iy iy iy x x x (a) juuret 3 (b) juuret 4 (c) juuret 5 Kuva.7: Luvun z = n erisuurta n-juurta n arvoilla n = 3, 4, 5. Kompleksilukujen eräänä tärkeänä ominaisuutena on, että jokaisella (reaali- tai kompleksikertoimisella) n:n asteen (n > ) polynomilla on täsmälleen n kappaletta juuria kompleksilukujen joukossa monikerrat huomioiden. [Algebran peruslause.]

15 .3. Eräitä kompleksifunktioita 9.3 Eräitä kompleksifunktioita Eksponenttifunktio kompleksitasossa määritellään kaavalla (.) e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y), z = x + iy C. Kuva.8(b) havainnollistaa funktion z e z määritelmää kompleksitason kuvauksena. Kun z = Re z = x, saadaan tavallinen reaaliakselilla määritelty eksponenttifunktio. Kun z = iy, saadaan e iy = cos y + i sin y. (Eulerin kaava) Kun z esitetään napakoordinaateissa z = z (cos φ + i sin φ), saadaan jokaiselle kompleksiluvulle z seuraava esitys eksponenttifunktion avulla (.) z = z e iφ = e ln z e iφ = e ln z +iφ, z >. Esimerkkejä: e πi = e =, e ±πi =, e πi = i ja e πi = i. Sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoista seuraa e iy e iy = (cos(y ) + i sin(y )) (cos(y ) + i sin(y )) = (cos(y ) cos(y ) sin(y ) sin(y )) + i (sin(y ) cos(y ) + cos(y ) sin(y )) = cos(y + y ) + i sin(y + y ) = e i(y +y ). Tämän nojalla e z toteuttaa myös kompleksitasossa kaavan e z +z = e (x +x )+i(y +y ) = e (x +x ) e i(y +y ) = e x e x e iy e iy = e x +iy e x +iy = e z e z. Sini- ja kosinifunktion jaksollisuudesta seuraa, että e z on πi-jaksollinen funktio, e z+πi = e z, z C. Siten e z saavuttaa kaikki arvonsa jo jaksovyössä π < y π, x R; kts. Kuva.8(c). Huom. Selvästi e z z C, sillä e z = e Re z = e x > x R. Toisaalta kaavan (.) nojalla kaikki arvot z C \ {} kuuluvat e z :n arvojoukkoon. Huom. Eksponenttifunktion määritelmästä (.) nähdään, että e z = e x e iy kompleksitason pisteessä z = x + iy määräytyy olennaisesti sen arvoista imaginaariakselilla z = iy eli Eulerin kaavasta. Palautetaan mieleen reaaliakselilla määriteltyjen funktioiden e x, sin x ja cos x Taylor-sarjakehitelmät: e x x n = n!, sin x = ( ) k x k+ (k + )!, cos x = ( ) k xk (k)!. n= k= Korvaamalla e x :n Taylor-sarjakehitelmässä luku x imaginaariluvulla iy ja huomioimalla, että y n, n = 4k (iy) n iy = n, n = 4k + y n, n = 4k + iy n, n = 4k + 3 k=

16 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista todetaan, että e iy (iy) n = n! n= = k= ( ) k xk (k)! + i( ( ) k x k+ ) = cos y + i sin y, (k + )! k= mikä osaltaan selittää e z :n määritelmän (.) ja Eulerin kaavan sisällön. Trigonometriset funktiot kompleksitasossa. Eulerin kaavoista saadaan e iy = cos y + i sin y ja e iy = cos y i sin y, y R cos y = eiy + e iy ja sin y = eiy e iy, y R. i Sini- ja kosinifunktiot määritellään koko kompleksitasossa eksponenttifunktion avulla vastaavasti: (.3) cos z = eiz + e iz Samalla Eulerin kaava yleistyy koko kompleksitasoon ja sin z = eiz e iz, z C. i e iz = cos z + i sin z, z C. Tangentti- ja kotangenttifunktiot voidaan nyt määritellä kaavoilla tan z = sin z cos z ja cot z = cos z sin z, kun cos z ja vastaavasti sin z. Logaritmifunktio kompleksitasossa: Kun eksponenttifunktio rajoitetaan jaksovyöhön π < y π, x R, niin se on injektiivinen ja arvojoukkona on C \ {}. Luonnollisen logaritmin ln z ns. päähaara kompleksitasossa (z ) määritellään e z :n yo. rajoittuman käänteisfunktiona. Olkoon ln z = w = u + iv ja z = re iφ. Tällöin joten e u = r = z ja v = φ = arg z. Siten z = e w = e u e iv, ln z = ln z + i arg(z), π < arg z π eli Re (ln z) = ln z ja Im (ln z) = arg z. Muut ln z:n haarat saadaan sen päähaarasta πi-monikertoina: Lnz = ln z + kπi, k Z. Määritelmästä ja eksponenttifunktion ominaisuuksista seuraa ( ) z ln(z z ) = ln z + ln z ja ln = ln z ln z. z

17 .3. Eräitä kompleksifunktioita Huom. Funktio ln z on epäjatkuva negatiivisella reaaliakselilla (, ]. Yleinen potenssi- ja eksponenttifunktio kompleksitasossa: Yleinen pontenssifunktio z c, missä myös potenssi c voi olla kompleksiluku voidaan määritellä logaritmifunktion avulla: Esimerkki: z c = e c ln z z c = e clnz (päähaara), (muut haarat). i i = e i ln i = e i(ln i +i arg i) = e i(ln +i π ) = e π R. Vaihtamalla määritelmässä z:n ja c:n roolit saadaan määriteltyä myös eksponenttifunktio kantalukuna a C: a z = e z ln a. Huom. sin z ja cos z ovat myös kompleksitasossa π-jaksollisia, koska e z on πijaksollinen: sin(z + πk) = (e i(z+πk) e i(z+πk)) i = ( e iz e iz) = sin z, (k Z). i Vastaavasti cos(z + πk) = cos z, z C. Sen sijaan ne eivät ole rajoitettuja kuvauksia C:ssä. Valitsemalla z = iy todetaan, että cos iy = ( ) e iy + e i y = ( e y + e y), joten imaginaariakselilla kosinifunktio kasvaa rajatta: lim y ± cos iy = +. Esimerkki.3.. Etsitään yhtälön cos z = 5 kaikki ratkaisut. Määritelmän nojalla yhtälö saa muodon ( e iz + e iz) = 5 ( e iz) + e iz e iz = e iz ( e iz) e iz + = e iz = ± 4 = 5 ± 4. Toisaalta e iz = e i(x+iy) = e y+ix, joten { y = ln(5 ± 4) x = arg ( e iz) = arg(5 ± 4) = πk, k Z. Niinpä yhtälöllä on äärettömän monta eri ratkaisua kompleksitasossa: z = πk i ln(5 ± 4), k Z.

18 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista Hyperboliset funktiot. Hyperboliset funktiot sinh x ja cosh x määritellään reaalialueessa seuraavilla kaavoilla sinh x = (ex e x ), x R, cosh x = (ex + e x ), x R, ja edelleen hyperboliset funktiot tanh x ja coth x reaalialueessa vastaavasti kaavoilla tanh x = sinh x cosh x = ex e x e x, x R, + e x coth x = cosh x sinh x = ex + e x e x, x R \ {}. e x Suoralla laskulla todetaan, että sinh( x) = sinh x ja cosh( x) = cosh x. Niinpä sinh x on pariton ja cosh x parillinen funktio, ja siten funktiot tanh x ja coth x ovat parittomia. [Hahmottele niiden kuvaajat.] Seuraava kaava antaa erään yhteyden funktioiden sinh x ja cosh x välillä: (.4) cosh x sinh x =. Hyperbolisten funktioiden määritelmät yleistyvät sellaisenaan myös kompleksimuuttujalle z C: sinh z = (ez e z ), cosh z = (ez + e z ), tanh z = sinh z cosh z, cosh z coth z = sinh z. Huomioimalla kompleksisten trigonometristen funktioiden sin z ja cos z määritelmät kaavoissa (.3) todetaan, että kompleksialueessa hyperbolisilla funktioilla on yhteys trigonometrisiin funktioihin: cosh iz = cos z, sinh iz = i sin z tai yhtäpitävästi cos iz = cosh z, sin iz = i sinh z.

19 .3. Eräitä kompleksifunktioita 3 iy f(z) = z iy ϕ x ϕ x (a) neliöön korotus iy d π f(z) = e z iy c a x b d c e a e b x (b) suorakaiteen kuva kuvauksessa z e z iy π f(z) = e z iy i x x π i (c) jaksovyön osien kuvautuminen kuvauksessa z e z Kuva.8: Alueiden kuvautuminen neliöinnin ja eksponenttifunktion tapauksissa.

20 4 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista.4 Jatkuvuus ja derivoituvuus Koska kompleksiluvun moduli z määrää normin, joka yhtyy kompleksitasoon piirretyn vektorin z = x + iy pituuteen, yhtyy kompleksitason topologia R :n topologiaan. Siten, esim. pisteen z C ε-säteinen (avoin) palloympäristö on joukko B ε (z ) = {z C : z z < ε}. Kompleksitasossa funktion raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät ja niiden sisältö on sama kuin kahden muutujan vektorifunktioilla R R. Niinpä funktio f : M f C on jatkuva pisteessä z M f C, jos lim z z f(z) = f(z ), z M f, ts. ε > δ ε > : z z < δ ε (z M f ) f(z) f(z ) < ε. Derivaatta: Toisin kuin tavallisessa xy-tasossa R kompleksiluvuille on määritelty kertolasku ja siten myös osamäärä. Tämä mahdollistaa derivaatan määritelmän kompleksifunktioille yhden muuttujan reaalifunktioiden tapaan, suoraan erotusosamäärän raja-arvona. Jos raja-arvo f (z ) := lim z z f(z) f(z ) z z on olemassa sanotaan, että f on derivoituva (differentioituva) pisteessä z ja että raja-arvo f (z ) on f:n derivaatta pisteessä z C. Huomaa, että määritelmässä z z kompleksitasossa. Ko. raja-arvo ei saa siten riippua suunnasta tai tavasta, jolla z z. Esimerkki.4.. Olkoon f(z) = z. Tällöin Siis f (z ) = z, z C. f(z) f(z ) z z lim = lim z z z z z z z z Derivaatalla on seuraavat tavanomaiset ominaisuudet: (i) (cf) (z) = cf (z), c C; (ii) (f + g) (z) = f (z) + g (z); (iii) (fg) (z) = f (z)g(z) + f(z)g (z); = lim z z z + z = z. (iv) ( ) f(z) g(z) = f (z)g(z) f(z)g (z). g(z) Kompleksifunktion derivoituvuus muistuttaa vektorifunktioiden differentioituvuutta (vrt. funktion f : R R approksimointi tangenttitasolla), joka on luonteeltaan voimakkaampi vaatimus kuin osittaisderivaattojen olemassaolo. Useat yksinkertaisetkaan kompleksimuuttujan funktiot eivät välttämättä ole derivoituvia.

21 .4. Jatkuvuus ja derivoituvuus 5 Esimerkki.4.. (Kompleksikonjugaatti) Olkoon f(z) = z = x iy, z = x + iy C. Funktio f ei ole derivoituva millään z C. Tarkastellaan funktion f erotusosamäärää pisteessä z C: f(z) f(z ) z z = z z z z = (x x ) i(y y ) (x x ) + i(y y ). Jos y = y, niin ja jos x = x, niin f(z) f(z ) x x lim = lim =, z z z z z z x x f(z) f(z ) lim = lim y y =. z z z z z z y y Niinpä f:n erotusosamäärällä ei ole raja-arvoa missään pisteessä z C, ts. f (z ) ei ole olemassa. Kompleksifunktiota f(z) sanotaan analyyttiseksi alueessa A C (tässä alue = avoin yhtenäinen joukko C:ssä ), jos se on derivoituva z A. Funktiota f(z) sanotaan analyyttiseksi pisteessä z C, jos se on analyyttinen jossakin pisteen z ε-ympäristössä. Esim. Polynomit P (z) = c n z n +c n z n +... c z +c, c i C, ovat analyyttisiä koko kompleksitasossa C. Samoin rationaalifunktiot P (z)/q(z), missä P (z) ja Q(z) ovat polynomeja, ovat analyyttisiä nimittäjän nollakohtia (q(z) = ) lukuunottamatta. Cauchy-Riemannin yhtälöt. Olkoon f kompleksifunktio ja merkitään z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), missä u = Re f ja v = Im f. Jos f on derivoituva, niin se on myös jatkuva (vektorifunktiona) ja tällöin myös reaaliarvoiset komponenttikuvaukset u(x, y) ja v(x, y) ovat jatkuvia kahden muuttujan x ja y funktioina. Voimme myös tutkia u:n ja v:n osittaisderivaattojen u x = x u, u y = y u, v x = x v ja v y = y v olemassaoloa. Osoittautuu, että f:n analyyttisyys voidaan karakterisoida u:n ja v:n osittaisderivaattoihin liittyvien Cauchy-Riemannin yhtälöiden avulla. Olkoon f = u + iv määritelty pisteen z ympäristössä ja oletetaan, että f on derivoituva pisteessä z = x + iy. Tarkastellaan erotusosamäärän raja-arvoa, kun z z : f(z) f(z ) = u(x, y) u(x, y ) + i v(x, y) v(x, y ). z z z z z z

22 6 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista Kun valitaan y = y, nähdään (pitämällä f:ää vektorifunktiona), että seuraavat raja-arvot ovat olemassa ja että (.5) ( u(x, y) f u(x, y ) (z ) = lim + i v(x, y) v(x ), y ) = u x (x, y )+iv x (x, y ). z z,y=y x x x x Vastaavasti, kun x = x päädytään raja-arvoyhtälöön (.6) ( u(x, y) f u(x, y ) (z ) = lim + i v(x, y) v(x ), y ) = iu y (x, y )+v y (x, y ). z z,x=x i(y y ) i(y y ) Kohdista (.5) ja (.6) nähdään, että { ux (x, y ) = v y (x, y ), u y (x, y ) = v x (x, y ). Siis f toteuttaa z :ssa ns. Cauchy-Riemannin yhtälöt: { ux = v y, u y = v x. Funktion derivoituvuus kompleksimuuttujan suhteen on yhtäpitävää differentioituvuuden kanssa, mikä nähdään seuraavasta differentiaalikehitelmästä: (.7) f(z + λ) f(z ) = cλ + λ ε(λ), missä ε(λ), kun λ. Tällöin c = f (z )( C). Perustelu on sama kuin yhden muuttujan reaalifunktioiden tapauksessa (vrt. Mat. menet. I). Nyt seuraukset ovat kuitenkin voimakkaampia, nimittäin funktiot u(x, y) ja v(x, y) ovat myös differentioituvia kahden muuttujan funktioina (vrt. Mat. menet. II). Huomioimalla lisäksi Cauchy-Riemannin yhtälöt saadaan funktion derivoituvuudelle kompleksimuuttujan suhteen seuraava karakterisaatio. Lause.4.3. Funktio f(z) = u(x, y) + iv(x, y) on derivoituva pisteessä z = x + iy C, jos ja vain jos komponenttikuvaukset u(x, y) ja v(x, y) ovat differentioituvia pisteessä (x, y ) ja ne toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt { ux = v y, u y = v x. Todistus. Oletetaan ensin, että f on derivoituva pisteessä z. Merkitään λ = h + ik ja f (z ) = a + ib( C). Differentiaalikehitelmästä (.7) nähdään, että kun λ, niin u(x + h, y + k) u(x, y ) = Re ( f (z )λ + λε(λ) ) = ah bk + Re (λε(λ)) = ah bk + λ ε (λ),

23 .4. Jatkuvuus ja derivoituvuus 7 missä Vastaavasti, kun λ, lim ε Re (λε(λ)) (λ) = lim =. λ λ λ missä v(x + h, y + k) v(x, y ) = Im ( f (z )λ + λε(λ) ) = bh + ak + λ ε (λ), lim ε Im (λε(λ)) (λ) = lim =. λ λ λ Siten u ja v ovat differentioituvia pisteessä (x, y ) ja { ux (x, y ) = a, u y (x, y ) = b; v x (x, y ) = b, v y (x, y ) = a. Oletetaan kääntäen, että u ja v ovat differentioituvia (x, y ):ssä ja toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt. Tällöin { u(x + h, y + k) u(x, y ) = u x (x, y )h + u y (x, y )k + λ ε (λ); v(x + h, y + k) v(x, y ) = v x (x, y )h + u v (x, y )k + λ ε (λ), missä ε (λ) and ε (λ) kun λ. Siten f(z + λ) f(z ) = (u x (x, y ) + iv x (x, y )) h + (u y (x, y ) + iv y (x, y )) k + λ (ε (λ) + iε (λ)). Tässä λ (ε (λ) + iε (λ)) = λε(λ), missä ε(λ), kun λ. Cauchy-Riemannin yhtälöt nähdään, että Huomioimalla f(z + λ) f(z ) = u x (x, y )(h + ik) + iv x (x, y )(h + ik) + λε(λ) = (u x (x, y ) + iv x (x, y )) λ + λε(λ). Siis f on derivoituva pisteessä z ja f (z ) = u x (x, y ) + iv x (x, y ) = v y (x, y ) iu y (x, y ). C. Seuraava tulos antaa riittävän ehdon funktion f derivoituvuudelle pisteessä z Lause.4.4. Jos reaaliarvoisilla funktioilla u(x, y) ja v(x, y) on jatkuvat. kertaluvun osittaisderivaatat pisteessä (x, y ) ja ne toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt pisteessä (x, y ), niin funktio f(z) = u(x, y) + iv(x, y) on derivoituva pisteessä z = x + iy. Lisäksi f (z ) = u x (x, y ) + iv x (x, y ) = v y (x, y ) iu y (x, y ).

24 8 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista Todistus. Osittaisderivaattojen jatkuvuus takaa funktioiden u ja v differentioituvuuden (x, y ):ssä (vrt. Mat. menet. II-kurssi). Tämän perusteella väite saadaan Lauseesta.4.3. Esimerkki.4.5. f(z) = z = x iy. Nyt u(x, y) = x, v(x, y) = y ja edelleen u x =, u y =, v x =, v y =. Siten u x v y. Lause.4.6. Jos f = u + iv on analyyttinen alueessa A C, niin u = Re f ja v = Im f toteuttavat Laplace-yhtälön: u = u xx + u yy =, v = v xx + v yy =. Todistus. (IDEA) Funktion f analyyttisyydestä seuraa, että myös sen derivaatta f on analyyttinen f (n) on analyyttinen (tämä perustellaan myöhemmin). Derivoimalla Cauchy-Riemannin yhtälöt saadaan (.8) { uxx = v yx, u xy = v yy ; u yx = v xx, u yy = v xy. Koska f (n) on analyyttinen, komponenttikuvauksilla u ja v on kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat. Tämän nojalla u xy = u yx ja v xy = v yx (vrt. Mat. menet. II-kurssi). Niinpä yhtälöistä (.8) nähdään, että u xx +u yy = ja v xx +v yy =. Esimerkki.4.7. (i) f(z) = e z, f (z) = e z ; (ii) f(z) = sin z, f (z) = cos z; (iii) f(z) = cos z, f (z) = sin z; (iv) f(z) = tan z, f (z) = / cos z; (v) f(z) = cot z, f (z) = / sin z; (vi) f(z) = ln z, f (z) = z, kun z C \ (, ]. Esimerkki.4.8. Myös hyperbolisten funktioiden derivaatat on helppo johtaa normaalien derivointisääntöjen avulla huomioimalla kaava (.4) sekä peruskaava D(e z ) = e z : (i) f(z) = sinh z, f (z) = cosh z; (ii) f(z) = cosh z, f (z) = sinh z; (iii) f(z) = tanh z, f (z) = / cosh z; (iv) f(z) = coth z, f (z) = / sinh z.

25 9 Luku : Kompleksinen integrointi. Käyräintegraali kompleksitasossa Kompleksifunktioille voidaan määritellä käyräintegraali samaan tapaan kuin usean muuttujan reaalifunktioille. Olkoon C paloittain sileä käyrä kompleksitasossa, t.s. sillä on parametriesitys [a, b] C, t z(t), joka on paloittain jatkuvasti derivoituva parametrin t suhteen. Ositetaan väli [a, b] R jakopisteillä a = t,t,..., t n = b, jolloin pisteet z k = z(t k ) jakavat C:n osakäyriin. Valitaan kultakin C:n osakäyrältä z k :n ja z k :n välistä piste ξ k (= z(η k ), t k η k t k ). Jos summalla S d := n f(ξ k )(z k z k ) i= on raja-arvo, kun D := max k z k z k, joka ei muutoin riipu jaosta D eikä pisteiden ξ k valinnasta, sanotaan ko. raja-arvoa f:n käyräintegraaliksi pitkin (suunnistettua) käyrää C. Raja-arvon olemassaolo ilmaistaan usein sanomalla, että funktio f on integroituva yli käyrän C ja ko. raja-arvolle käytetään merkintää f(z) dz. C Kirjoittamalla f = u+iv ja z k z k = x k +i y k saadaan C f(z)dz palautettua reaalifunktioiden käyräintegraaleiksi ( n n n ) n S d = u k x k v k y k + i u k y k + v k x k k= f(z)dz = C C i= u(x, y)dx C i= ( v(x, y)dy + i i= C u(x, y)dy + C ) v(x, y)dx. Kirjoittamalla { f(z) = u(x, y) + iv(x, y); dz = dx + idy voidaan tämä yhteys nähdä myös laskemalla symbolisesti: f(z)dz = (u(x, y) + iv(x, y)) (dx + idy) C C ( ) = u(x, y)dx v(x, y)dy + iu(x, y)dy + iv(x, y)dx C = (u(x, y)dx v(x, y)dy) + i (u(x, y)dy + v(x, y)dx). C C

26 Chapter. Kompleksinen integrointi Jos f on jatkuva, niin f on integroituva yli käyrän C ja käyräintegraali voidaan laskea määrättynä integraalina käyttämällä apuna C:n parametriesitystä t z(t) (vrt. Mat. menet. I ja II-kurssit): b f(z) dz = f(z(t))z (t) dt. C a Integraalifunktio ja yhteys käyräintegraaliin. Kuten reaalifunktioiden tapauksessa funktiota F, jolla on ominaisuus F (z) = f(z) sanotaan funktion f integraalifunktioksi. Integraalifunktio on kompleksista vakiota vaille yksikäsitteisesti määrätty. Todettakoon, että integraalifunktion olemassaolo muistuttaa vektorifunktion potentiaalin olemassa ja sen ominaisuudetkin ovat samankaltaiset (vrt. Usean muuttujan analyysin kurssi). Lause... Jos f:llä on integraalifunktio F, niin f(z) dz = F (z ) F (z ), missä z on käyrän C alkupiste ja z C:n päätepiste. Todistus. C f(z)dz = b a C f(z(t))z (t)dt = b a (F z) (t)dt = [F z] b a = (F z)(b) (F z)(a) = F (z ) F (z ). Tämä osoittaa, että jos f:llä on integraalifunktio, niin sen käyräintegraalit eivät riipu pisteitä z ja z yhdistävän polun valinnasta. Myös käänteinen väite pätee: Lause... Olkoon f : A C jatkuva alueessa A C. Tällöin funktiolla f on integraalifunktio alueessa A, jos ja vain jos kaikille umpinaisille paloittain säännöllisille käyrille C A on voimassa f(z) dz =. C Tämän lauseen käänteinen väite voidaan todistaa samalla tavalla kuin Mat. menet. II-kurssilla vastaava tulos. Esimerkki..3. Lasketaan C z z dz pitkin ympyrän, jonka keskipisteenä on z ja säteenä, kehää suunnistettuna vastapäivään. Valitaan C:lle parametriesitys z(t) = z + cos t + i sin t = z + e it, t π. Tällöin z (t) = ie it ja C z z dz = π π e it ieit dt = i dt = πi. Huomaa, että (ln(z z )) = z z, kun z z / (, ], mutta ln(z z ) on epäjatkuva arvoilla z z (, ]. Erityisesti funktiolla f(z) = z (z = ) ei ole integraalifunkiota alueessa, joka sisältää origon.

27 .. Cauchy n integraalilause ja integraalikaava. Cauchy n integraalilause ja integraalikaava Integraalifunktion olemassaoloa on helpointa tarkastella alueessa A, joka on yhdesti yhtenäinen: jokaisen A:n umpinaisen käyrän C rajoittaman C:n osajoukon pisteet kuuluvat joukkoon A. Tämä tarkoittaa, että A:ssa ei voi olla reikiä. (Piirrä kuva.) Käyrää C sanotaan säännölliseksi (ja sileäksi), jos se ei leikkaa itseään eikä siinä ole kulmia (ts. käyrällä on tangentti kaikissa pisteissä). Tällaisen käyrän parametriesitys z(t) : [a, b] C on säännöllinen, jos z(t) on injektiivinen ja sen derivaatta z (t) on olemassa ja jatkuva, sekä lisäksi z (z). Käyrä C on paloittain säännöllinen, jos se voidaan jakaa äärellisen moneksi osakäyräksi, jotka ovat säännöllisiä. (Piirrä kuva.) Lause... (Cauchy n integraalilause) Jos f on analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa A, niin jokaiselle A:n umpinaiselle paloittain säännölliselle käyrälle C pätee C f(z)dz =. Todistus. Näytämme vain kuinka väitetty tulos voidaan johtaa, kun f (z) on jatkuva. Määritelmän nojalla C f(z)dz = = (u(x, y)dx v(x, y)dy) + i R ( v(x, y) x u(x, y) y (u(x, y)dy + v(x, y)dx) ( u(x, y) x ) dxdy + i R ) v(x, y) dxdy, dy missä jälkimmäinen yhtälö seuraa ns. Greenin lauseesta, joka todistetaan Matemaattiset menetelmät II-kurssilla (tässä R on käyrän C sisäpuolelle rajattu tasoalue). Huomioimalla nyt Cauchy-Riemannin yhtälöt todetaan, että molemmissa tasointegraaleissa integroitava funktio on nollafunktio, jolloin ko. tasointegraalien arvot ovat myös nollia. Seuraus... Jos f on analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa A, niin f:llä on A:ssa integraalifunktio. Cauchy n integraalilauseen tulos pätee myös yleisemmille kompleksitason alueille seuraavassa muodossa. Jos f on analyyttinen alueessa, joka sisältää alueen A ja sen (paloittain säännölliset äärellisen pituiset) reunakäyrät, niin A f(z)dz =, kun alueen reuna A (aluetta rajoittavat reunakäyrät) on positiivisesti suunnistettu: kuljettaessa reunakäyrää pitkin positiiviseen suuntaan alue A jää vasemmalle. Esimerkki..3. (Vrt. Esimerkki..3.) Suoraan havaitaan, että jos C r = B r (z ) on r-säteisen ympyrän kehä keskipisteenä

28 Chapter. Kompleksinen integrointi z ja valitaan parametriesitykseksi z(t) = r(cos t + i sin t) + z = z + re it ( t π), jolloin z (t) = r ie it, niin saadaan C r z z dz = π π re it rieit dt = i dt = πi. Integraalin arvo ei siis riipu säteestä r, vaikka eri r:n arvoja vastaa eri integrointipolku C r. Soveltamalla ennen esimerkkiä mainittua tulosta, sama johtopäätös voidaan yleistää monimutkaisemmille integrointipoluille C: Olkoon C säännöllinen umpinainen käyrä, joka kulkee kerran pisteen z C ympäri suunnistettuna vastapäivään ja olkoon B r (z ) sellaisen r-säteisen ympyrän kehä keskipisteenä z, myös suunnistettuna vastapäivään, joka sijaitsee käyrän C sisäpuolella. Tällöin C ja B r (z ) rajaavat kompleksitasossa alueen A, jonka reunakäyrinä ne ovat. (Piirrä kuva.) Vaihtamalla käyrän B r (z ) suunnistus vastakkaiseksi (eli kulku myötäpäivään), tulevat molemmat A:n reunakäyrät positiivisesti suunnistetuiksi. Tämän nojalla = A f(z)dz = C f(z)dz + f(z)dz = f(z)dz f(z)dz, B r(z ) C B r(z ) kun f on analyyttinen joukon A sisältävässä alueessa. Erityisesti, kun f(z) = z z, pätee C dz = z z B r(z ) dz z z = πi. Niinpä integraalin arvo ei edelleenkään riipu yo. integrointikäyrästä C. Esimerkin tulos voidaan yleistää seuraavasti. Lause..4. (Cauchy n integraalikaava) Olkoot f analyyttinen alueessa A, z mielivaltainen A:n piste sekä C säännöllinen umpinainen kerran z :n ympäri kulkeva vastapäivään suunnistettu käyrä, jonka rajaama alue kuuluu A:han. Tällöin f(z ) = πi C f(z) z z dz. Todistus. Kirjoitetaan f(z) = f(z ) + (f(z) f(z )). Tällöin C f(z) dz = f(z ) z z dz C z z }{{ } =πi + C f(z) f(z ) dz. z z Toisaalta C voidaan korvata z -keskisellä r-säteisellä ympyrällä; valitaan z(t) = re it + z, t π. Funktio f on derivoituvana jatkuva pisteessä z, joten ɛ > r > s.e. f(z) f(z ) < ɛ, kun z z r.

29 .. Cauchy n integraalilause ja integraalikaava 3 Koska z (t) = ire it ja z (t) = r, saadaan nyt arvio f(z) f(z ) dz z z = f(z) f(z ) dz z z = C B r (z ) π f(z(t)) f(z ) z(t) z }{{} =r Tässä ɛ > oli mielivaltainen. Niinpä C Esimerkki..5. C π z (t) dt = }{{} =r f(z(t)) f(z ) z (t)dt z(t) z π f(z) f(z ) z z dz =. e z z dz = πiez z= = πie ( 46, 4i). Cauchy n integraalikaava antaa myös esityksen derivaatalla f (z ). Seuraus..6. (Derivaatan esitys) Lauseen..4 oletuksin pätee f (z ) = πi C f(z) (z z ) dz. f(z(t)) f(z ) < πɛ. }{{} <ɛ Todistus. Soveltamalla Cauchy n integraalikaava pisteissä z ja z + λ saadaan f(z ) = f(z) dz πi z z ja f(z + λ) = πi C C f(z) z (z + λ) dz. Vähentämällä nämä esitykset puolittain nähdään, että f(z + λ) f(z ) (.) = f(z) λ πi (z z λ)(z z ) dz. C Siten f (z ) = lim λ πi C f(z) (z z λ)(z z ) dz = πi C f(z) (z z ) dz. Tässä raja-arvon λ ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa (perustelu sivuutetaan), mistä väite seuraa. Saatu esitys f (z ):lle osoittaa, että f (z ) on jatkuva. Itse asiassa vastaava päättely käyttämällä f (z ):n esitystä osoittaa, että f (z) on derivoituva ja f (z ) = πi C f(z) (z z ) 3 dz.

30 4 Chapter. Kompleksinen integrointi Niinpä f:llä on kaikkien kertalukujen derivaatat ja f (n) (z ) = n! f(z) dz. πi (z z ) n+ C Huom. f (n) (z ):n esitys saadaan derivoimalla Cauchy n integraalikaava n kertaa z :n suhteen (tässä z :n ja :n järjestyksen saa vaihtaa). Analyyttisen funktion kaikkien kertalukujen derivaatat ovat siis analyyttisiä. Tästä seuraa, että Cauchy n integraalilause voidaan kääntää. Seuraus..7. (Moreran lause) Olkoon A ja C kuten Cauchy n integraalilauseessa (Lause..). Jos f on jatkuva ja kaikille C pätee f(z)dz =, niin f on analyyttinen A:ssa. C Todistus. C f(z)dz =, C f:llä on integraalifunktio F (z). analyyttinen f(z) on analyytinen. F (z) on tällöin

31 5 Luku 3: Sarjakehitelmistä kompleksialueessa Kompleksialueessa sarjakehitelmillä on keskeinen merkitys. Kompleksilukujen z, z,... muodostama sarja k= z k suppenee, jos osasummien jonolla n S n = k= on äärellinen raja-arvo S (= k= z k) C. Sarja k= z k on suppeneva, jos ja vain jos reaalilukusarjat ja y k, (z k = x k + iy k ) k= x k k= kumpikin ovat suppenevia. Tällöin S = z k = k= k= z k x k + i y k. Sarjaa k= z k sanotaan itseisesti suppenevaksi, jos modulien z k muodostama reaalilukusarja k= z k suppenee. Jos sarja suppenee itseisesti, suppenevat myös reaalilukusarjat k= x k ja k= y k (itseisesti) majoranttiperiaatteen nojalla ja siten sarja k= z k suppenee myös tavallisessa mielessä. 3. Potenssisarjat kompleksialueessa Potenssisarjat ovat muotoa a n (z z ) n, n= missä a n C ovat sarjan kertoimia, z C on sarjan kehityskeskus ja z C on muuttuja. Seuraava lause todistetaan kuten reaalilukusarjoille. Lause 3... (Abelin lause) Jos potenssisarja n= a n(z z ) n suppenee pisteessä z z, niin se suppenee itseisesti jokaisella arvolla z, jolle z z < z z. Jos ko. potenssisarja hajaantuu pisteessä z, niin se hajaantuu jokaisella arvolla z, jolle z z > z z. Tämän nojalla potenssisarjaan voidaan liittää suppenemissäde R (R tai R = ), jolle pätee z z < R a n (z z ) n suppenee, z z > R n= k= a n (z z ) n n= hajaantuu.

32 6 Chapter 3. Sarjakehitelmistä kompleksialueessa Kuten reaalialueessa potenssisarja määrittelee konvergenssikiekossa funktion f(z) = n= z n(z z ) n, jolla on kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat z:n suhteen ja ne voidaan laskea derivoimalla sarja termeittäin: f (k) (z) = n(n )(n )... (n k + )a n (z z ) n k. n=k Näin saaduilla potenssisarjoilla on sama suppenemissäde R kuin alkuperäisellä sarjalla, eli ne suppenevat arvoilla z z < R. Erityisesti f (k) (z ) = k!a k, joten alkuperäinen sarja voidaan suppenemiskiekossaan kirjoittaa muodossa f(z) = n= f (n) (z ) (z z ) n, z z < R. n! Tätä sanotaan f:n Taylorin sarjaksi pisteessä z. Esimerkki 3... Muodostetaan Taylorin sarja fuktiolle kehityskeskuksena origo. Selvästi f(z) = z f (z) = d dz ( z) = ( ) ( z) ( ) = ( z). Vastaavasti ja yleisesti f (z) = d dz ( z) = f (n) (z) = ( z) 3 n!, n =,, 3,... ( z) n+ Siten f (n) () = n! ( ) n+ = n!(= n(n ) ) ja f(z):lle saadaan Taylor sarjaksi f(z) = n= f (n) () z n = n! Ko. Taylor-sarja yhtyy geometriseen sarjaan z <. z n. n= n= zn = z, joka suppenee arvoilla Esimerkki Funktio f(x) = on jatkuva x R ja jopa äärettömän +x monta kertaa derivoituva funktio voidaan muodostaa Taylor-sarja. Mutta: Ko. Taylor-sarja suppenee pisteessä x R x ], [. Syy: funktiolla f(z) = +z (z C) on navat pisteissä z = ±i.

33 3.. Laurentin sarja 7 Potenssisarjan summa f(z) on derivoituvana funktiona analyyttinen kiekossa z z < R. Osoittautuu, että myös käänteinen tulos on voimassa: pisteessä z analyyttinen funktio voidaan kehittää potenssisarjaksi (Taylorin sarjaksi) pisteessä z, joka suppenee kohti alkuperäistä funktiota. Potenssisarjan suppenemissäteeseen liittyy sama tulos kuin reaalialueessa: Jos raja-arvo lim n an = R n tai lim n a n a n+ = R on olemassa, niin se on sarjan n= a n(z z ) n suppenemissäde. Esimerkki Geometrisen sarjan n= zn suppenemissäde on R = ja sen summa f(z) = n= zn = z on analyyttinen kiekossa z <. Itse asiassa rationaalifunktiona z on analyyttinen, kun z. 3. Laurentin sarja Esitämme analyyttiselle funktiolle sarjakehitelmän, jonka kehityskeskukseksi voidaan valita myös piste, jossa ko. funktion ei tarvitse olla edes määritelty. Kehitelmällä on paljon käyttöä muun muassa residy-laskennassa, jonka avulla esimerkiksi hankalien käyräintegraalien laskeminen saattaa helpottua olennaisesti. Erikoistapauksena saamme analyyttisen funktion Taylor-sarjan. muodostettiin Taylor-sarja kehityskeskuk- Esimerkki 3... Funktiolle f(z) = sena origo Esimerkissä 3..: z f(z) = z = z n. Tämä sarja suppenee arvoilla z <, z C. Funktiolle f(z) voidaan muodostaa myös z:n negatiivisiin kokonaislukupotensseihin perustuva sarjakehitelmä seuraavasti: z = z = ( ) n ( ) n = (z, ). z z z z n= n= Kyseinen sarja suppenee, kun z <, tai yhtäpitävästi, kun z >. Niinpä funktiolla f(z) = z on seuraavat sarjakehitelmät: n= z = z n, kun z < ; n= z = ( ) n, kun z >. z n= Lause 3... Rengasalueessa r z z R analyyttinen funktio voidaan esittää Laurent-sarjana f(z) = a n (z z ) n, n=

34 8 Chapter 3. Sarjakehitelmistä kompleksialueessa missä a n = πi C f(ξ) dξ, n Z (ξ z ) n+ ja integrointi suoritetaan vastapäivään pitkin renkaassa r < z z < R olevaa säännöllistä umpinaista käyrää C (kiertäen kerran z :n ympäri). Ko. sarja suppenee kohti funktiota f ainakin rengasalueessa r < z z < R. Todistus. Yhdistetään reunakäyrät B r (z ) ja B R (z ) janalla, jolloin muodostuu umpinainen käyrä γ, joka kiertää kerran renkaassa < z z < R olevan pisteen z ja jonka rajaamassa alueessa f on analyyttinen (piirrä kuva). Cauchy n integraalikaavan (Lause..4) nojalla f(z) = πi Kirjoitetaan γ f(ξ) ξ z dξ = πi B R (z ) ξ z = ( ) = (ξ z ) z z ξ z f(ξ) ξ z dξ πi B r (z ) k n= f(ξ) ξ z dξ =: f (z)+f (z). (z z ) n (ξ z ) n + (z z ) k (ξ z)(ξ z ) k. Sijoittamalla tämä f (z):n lausekkeeseen ja integroimalla termeittäin saadaan ( k ) f(ξ)dξ f (z) = πi n= B R (z ) (ξ z ) n+ (z z ) n + (z z ) k f(ξ)dξ πi B R (z ) (ξ z)(ξ z ) k. }{{}}{{} =a n (korvataan B R (z ) polulla C) =:R k (z) Tässä f(ξ) M < ξ B R (z ) (jatkuvana rajoitettu funktio), joten R. ξ z lim R k(z) πrm k π lim k ( ) z z k =. R }{{} < Siis f (z) = n= a n(z z ) n ja tämä sarja suppenee ainakin arvoilla z z < Toisaalta lähtemällä esityksestä ξ z = ( (z z ) ξ z z z ) saadaan f (z) = ( k ) f(ξ)(ξ z ) n dξ (z z ) n + (z z ) k (ξ z ) k f(ξ)dξ πi n= B r(z ) πi B r(z ) (z ξ) }{{}}{{} =a n (korvataan B r (z ) polulla C) =: R k (z) ja tässä f(ξ) M <, ξ B r (z ), joten z ξ lim R πr M k (z) k π lim k ( ) r k =. z z }{{} <

35 3.. Laurentin sarja 9 Niinpä f (z) = n= a n(z z ) n ja tämä sarja suppenee ainakin arvoilla z z > r. Koska f(z) = f (z) + f (z), väite on todistettu. Huom. Lauseessa 3.. esitetyt Laurent-sarjan kertoimien a n lausekkeet voidaan johtaa myös seuraavasti. Integroidaan sarja f(z) = n= a n(z z ) n termeittäin ja sovelletaan Cauchy n integraalilausetta ja derivaattojen lauseketta: C eli f(z)dz = Vastaavasti antaa eli C n= = a a n C (z z ) n dz }{{} = + a C Lause.. dz C z z }{{ } =πi,esim...3 f(z) (z z ) k+ dz = }{{} derivaattojen esitys a = f(z)dz. πi C f(z) (z z ) k+ = n= a n C a k = πi C n= a n (z z ) n k, (z z ) n k dz = a k f(z) dz. (z z ) k+ dz + a z z C C dz z z = a k πi dz (z z ) +... Laurent-sarjan alkuperäistä suppenemisrengasta voi laajentaa: r ja R kunnes ao. ympyrän kehä saavuttaa pisteen, jossa funktio f ei ole enää analyyttinen. Erityisesti, jos f on analyyttinen z -keskisessä R-säteisessä pallossa z z < R, niin Laurent-sarjan negatiivisia indeksejä vastaavat kertoimet a, a,... ovat kaikki nollia Cauchy n integraalilauseen (Lause..4) nojalla. Laurent-sarja antaa siten erikoistapauksena pisteessä z analyyttiselle funktiolle sen Taylor-sarjakehitelmän. Kiinteässä suppenemisrenkaassa funktion Laurent-sarjakehitelmä on yksikäsitteisesti määrätty: jos sarjakehitelmät f(z) = n= a n (z z ) n ja f(z) = n= b n (z z ) n suppenevat samassa rengasalueessa r < z z < R, niin a n = b n, n Z. Mikäli funktiolle f saadaan muodostettua ko. tyyppiä oleva suppeneva sarjakehitelmä, niin se on välttämättä ao. rengasalueessa funktion f Laurent-sarja, ts. a n = f(ξ) dξ, n Z. πi (ξ z ) n+ C

36 3 Chapter 3. Sarjakehitelmistä kompleksialueessa Esimerkki Sarjakehitelmä z = n= zn suppenee arvoilla z <. Kyseessä on funktion f(z) = Taylor-sarjakehitelmä eli Laurent-sarja, joka z suppenee rengasalueessa, jossa r = ja R =. Toisaalta sarjakehitelmä ) k+ = z z z 3 = z = z( /z) = ( k= z n= zn suppenee arvoilla z >. Kyseessä on funktion f(z) = z Laurent- sarja, joka suppenee rengasalueessa, jossa r = ja R =. Esimerkkejä Taylor-sarjoista: Eksponenttifunktio e z = n= z n n! = + z + z! + z3 3! +... ja sarja suppenee z C. Trigonometriset funktiot sin z = cos z = ( ) n zn+ (n + )! = z z3 3! + z5 5!... n= n= ( ) n zn (n)! = z! + z4 4!... ja molemmat sarjat suppenevat z C. Geometrinensarja suppenee arvoilla z < (z C). Logaritmi ln( + z) = z = z n = + z + z +... n= n= ( ) n zn+ n + = z z + z suppenee arvoilla z <. Huom! Taylor-sarjan tapauksessa kertoimet a n (n =,,,... ) voidaan laskea myös kaavalla a n = f (n) (z ) n!. Taylor-sarjoja voi käyttää apuna muodostettaessa funktioiden Laurent-sarjakehitelmiä. Esimerkki f(z) = z e /z = z ( n= n! ( ) ) n = z + z + z z + 3!z Laurent-sarja pisteessä z =, joka suppenee arvoilla z >.

37 3.3. Residy lause Residy lause Usein Laurent-sarja muodostetaan rengasalueessa < z z < R, missä kehityskeskus z on aina R-säteisen palloympäristön piste, jossa f(z) ei ole analyyttinen. Tarkastelun kohteena on tällöin erityisesti sellaiset funktiot, joiden Laurentin sarjoissa negatiivisia indeksejä vastaavista kertoimista vain äärellinen määrä on nollasta eroavia, ts. f(z):n Laurent-sarja on muotoa missä f(z) = f (z) = n= m n= a n (z z ) n = f (z) + f (z), = a m = a m =..., a n (z z ) n ja f (z) = a + a z z (z z ) + + a m (z z ) m. Kun tässä a m, sanotaan että f:llä on m-kertainen napa pisteessä z. Jos z on f:n napa, niin lim z z f(z) =. Funktion Laurent-sarjakehitelmän kerroin a on erityisasemassa ja sitä sanotaan funktion residyksi pisteessä z, merk. (3.) Res z f(z) = a = πi C f(ξ)dξ. Tätä voi hyödyntää mm. käyräintegraalien laskemisessa, jos funktion Laurent-sarja tunnetaan. sin z Esimerkki Laske C dz, missä C on yksikköympyrän kehä. Funktion z 4 sin z Taylor-sarjakehitelmä antaa Laurent-sarjan joka suppenee kun z >. Siten Tässä z = on f(z):n 3-kertainen napa. C sin z z 4 = z 3 3!z + z 5!..., ( sin z dz = πi ) = πi z4 3! 3. Usein funktion residy voidaan kuitenkin laskea muodostamatta sen Laurentsarjaa. Tarkastellaan tilannetta, jossa funktiolla on -kertainen napa pisteessä z. Tällöin m = ja f(z) = a z z + a + a (z z ) + a (z z ) + ( < z z < R). Nyt (z z )f(z) = a + a (z z ) + a (z z ) + a (z z ) 3 + ( < z z < R),

38 3 Chapter 3. Sarjakehitelmistä kompleksialueessa joten Res z f(z) = a = lim z z (z z )f(z), kun m =. Jos p(z) ja q(z) ovat analyyttisiä pisteessä z ja piste z = z on q:n -kertainen nollakohta (eli q(z ) = ja q (z ) ) ja p(z ), niin (3.) Res z p(z) q(z) = p(z ) q (z ). Nimittäin lim (z z ) p(z) z z q(z) = lim z z Esimerkki Res z =i p(z) q(z) z z = lim z z p(z) q(z) q(z ) z z [ ] [ ] 9z + i 9z + i z(z = + ) 3z = i + z=i = 5i. = p(z ) q (z ). Lause (Residy lause) Olkoon C paloittain säännöllinen umpinainen käyrä, jonka rajaamassa kompleksitason alueessa funktio f on analyyttinen lukuunottamatta pisteitä z, z,..., z k, jotka ovat C:n sisäpuolella. Tällöin C f(z)dz = πi k Res zj f(z). Todistus. Lisätään jokaiseen pisteeseen z j niitä ympäröivät ympyräkehät, jotka eivät leikkaa toisiaan ja sijaitsevat käyrän C rajaaman alueen sisäpuolella. Olkoon A se alue, joka on C:n sisäpuolella poislukien pisteitä z, z,..., z k ympäröivät ympyräalueet (ts. alueessa A on k ympyränmuotoista reikää: piirrä kuva). Tällöin f on analyyttinen A:ssa, joten A f(z)dz =, missä alueen A reuna A (ts. kaikki sen reunakäyrät) on positiivisesti suunnistettu (vrt. s. 7). Toisin sanoen f(z)dz + C f(z)dz + C f(z)dz + + C f(z)dz = C k eli C j= f(z)dz = f(z)dz + C f(z)dz + + C f(z)dz, C k missä käyrät C,..., C k on suunnistettu vastapäivään. Käyrän C j (j =,..., k) sisäpuolella piste z j on ainoa piste, jossa f ei ole analyyttinen, joten (katso (3.)) f(z)dz = Res zj f(z), j =,..., k. πi C j Niinpä f(z)dz = Res z f(z) + Res z f(z) + + Res zk f(z). πi C

39 3.3. Residy lause 33 Esimerkki Lasketaan 4 3z C z z dz yli käyrän C, joka ympäröi pisteet z = ja z = eli integroitavan funktion navat. Napojen kertaluku on yksi, joten vastaavat residyt ovat Res z 4 3z z z = Res z 4 3z z z = katso (3.). Lauseen nojalla saamme C [ ] 4 3z z [ ] 4 3z z z= z= = 4, =, 4 3z z dz = πi [ 4 + ] = 6πi. z 3.3. Residyn laskeminen m-kertaisessa navassa Jos funktiolla f(z) on m-kertainen napa pisteessä z, niin sen Laurent-sarja z :ssa on muotoa f(z) = a m (z z ) m + + a (z z ) + a n (z z ) n, missä a m. Funktion f(z) residy Res z f(z) = a voidaan tällöin laskea pisteessä z seuraavasti. Merkitään g(z) := (z z ) m f(z) = a m +a m+ (z z )+ +a (z z ) m + a n (z z ) n+. Tällöin a = (m )! g(m ) (z ) = n= n= [ d m ] (m )! lim z z dz m ((z z ) m f(z)). Esimerkki Lasketaan Esim tulos yo. kaavalla, kun m = : [ ] [ ] 9z + i 9z + i Res z =i z(z = lim (z i) + ) z i z(z + ) [ ] 9z + i = lim = i z i z(z + i) i = 5i. z Esimerkki Olkoot f(z) =. Funktiolla f on navat pisteissä z (z+)(z ) =, jonka kertalukuna on, ja z =, jonka kertalukuna on. Siten Res z f(z) = lim z Res z f(z) = z (z ) = 4 9 [ d dz ( )! lim z ( z z + )] [ ] (z + ) z = lim z (z + ) = 4 9.

40 34 Chapter 3. Sarjakehitelmistä kompleksialueessa 3.3. Residy-lauseen sovelluksia Olkoon F (x, y) rationaalifunktio. Tällöin integraali π F (cos x, sin x)dx voidaan muuttujanvaihdolla palauttaa käyräintegraaliksi yli yksikköympyrän kehän. Merkitään e ix = z, jolloin dz dx = ieix = iz dx = dz iz. Koska { ( cos x = e ix + e ix) = ( ) z + z sin x = ( i e ix e ix) = ( ) i z z saamme muuttujanvaihdolla missä π f(z) = F F (cos x, sin x)dx = C f(z) dz iz, ( ( z + ), ( z )) z i z on rationaalifunktio ja C on yksikköympyrän kehä suunnistettuna vastapäivään. Esimerkki Lasketaan π Sijoitus: cos x = ( z + z π dx cos x. ) ja dx = dz iz : dx dz = cos x C (z + /z) iz = dz C i (z z + ) dz = i (z )(z + ). C Tässä z = + on C:n ulkopuolella ja z = on C:n sisäpuolella. Nyt Res z=z [ ] i (z )(z + ) = i z z= = i, joten π dx cos x = πi( i) = π Rationaalifunktion epäoleellinen integraali Olkoon f(x) = p(x)/q(x) reaalinen rationaalifunktio. Oletetaan lisäksi, että (3.3) { deg p deg q ; q(x) x R.

41 3.3. Residy lause 35 Tällöin integraali f(x)dx suppenee ja R f(x)dx = lim f(x)dx. R R Ko. epäoleellisen integraalin arvo voidaan laskea kompleksisen käyräintegraalin avulla Residy-lausetta käyttäen: Yhdistetään reaaliakselin pisteet R ja R puoliympyrän kaarella S R, ympyrän keskipisteenä origo. Yhdessä reaaliakselilla sijaitsevan janan [ R, R] kanssa muodostuu suljettu paloittain säännöllinen umpinainen käyrä, jonka rajaama alue on C:n ylemmässä puolitasossa C + sijaitseva R-säteinen puoliympyrä. (Piirrä kuva.) Koska f on rationaalifunktio ja q(x), x R, saadaan kompleksitason ylemmässä puolitasossa sijaitsevat q:n nollakohdat (ts. f:n kaikki C + :ssa sijaitsevat navat) z j käyrän C = [ R, R] S R sisäpuolelle, kun R on riittävän suuri. Tällöin: C f(z) = f(z)dz + S R R R f(x)dx }{{} = πi Lause z j C +, z j f:n napa Res zj f(z). Osoitetaan, että lim R S R f(z)dz = : Valitaan S R :lle parametriesitys z(t) = Re it, t [, π], jolloin z (t) = Rie it ja S R f(z)dz = π f ( Re it) Rie it dt. Tässä f ( Re it) Rie it = R f ( Re it) R k z, kun säde R ja vakio k > ovat riittävän suuria (syy: deg p deg q ). Siten lim R f(z)dz lim S R π R R k kπ dt = lim z R R =. Johtopäätös: (3.4) f(x)dx = πi Res zj f(z). z j C +,z j f:n napa Vastaavasti voidaan todistaa, että kun f(x) = p(x)/q(x) toteuttaa annetut ehtoa ((3.3)), niin kaikilla s > pätee (3.5) f(x)e isx dx = πi z j C +,z j f:n napa Res zj [ f(z)e isz ].

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi. Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun.

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun. 17. lokakuuta 2016 Kompleksiluvut Kompleksiluku Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari missä x ja y ovat reaalilukuja. z = (x, y), Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Lukuparin reaaliosa

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

Kompleksitermiset jonot ja sarjat

Kompleksitermiset jonot ja sarjat Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (

Lisätiedot

Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause

Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Pro Gradu-tutkielma Urho Erkkilä Matemaattisten tieteiden laitos Oulun Yliopisto Kevät 03 Sisältö

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i A.Rasila J.v.Pfaler TKK27 19. lokakuuta 27 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division

2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division 2. Funktiot Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi f(z) = e z f(z) =

Lisätiedot

Kompleksianalyysi Funktiot

Kompleksianalyysi Funktiot Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Kompleksianalyysi viikko 3

Kompleksianalyysi viikko 3 Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

1 Analyyttiset funktiot

1 Analyyttiset funktiot Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin

Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mervi Paavola Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Sini- ja kosinifunktio

Sini- ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun

Lisätiedot

Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali

Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Määritelmä 1 Olkoon f(t) = u(t) + jv(t) jatkuva funktio välillä [a, b]. Tällöin (1) b b b f(t)dt = u(t)dt + j v(t)dt. a a a Jatkossa oletetaan, että

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen.

Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Derivaatta Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Määritelmä Funktio f : A C on derivoituva pisteessä z 0 A jos raja-arvo (riippumatta

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Kompleksianalyysi. Tero Kilpeläinen

Kompleksianalyysi. Tero Kilpeläinen Kompleksianalyysi Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja keväälle 2005 26. huhtikuuta 2006 Alkusanat Seuraavilla sivuilla on luentomuistiinpanoja kompleksianalyysin laudatur-kurssille. Toivoakseni kirjoitus

Lisätiedot

2. Kompleksiluvut. 2A. Kompleksilukujen konstruktio

2. Kompleksiluvut. 2A. Kompleksilukujen konstruktio 2 Kompleksiluvut 2A Kompleksilukujen konstruktio Kompleksiluvut ovat syntyneet reaaliluvuista luonnollisen tarpeen myötä: kaikilla epätriviaaleilla polynomiyhtälöillä, kuten yhtälöllä z 2 +1 = 0, ei ole

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99 Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

Fysiikan matematiikka P

Fysiikan matematiikka P Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012

Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 Simo K. Kivelä Kompleksiluvut 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 c Simo K. Kivelä Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-JaaSamoin 3.0 Muokkaamaton -lisenssi (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fi)

Lisätiedot

Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus

Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus LuK-tutkielma Johannes Ylitalo 2372956 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 Merkintöjä 2 1 Kompleksifunktiot 3 2 Signaalianalyysi

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

Funktioiden approksimointi ja interpolointi

Funktioiden approksimointi ja interpolointi Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

RIEMANNIN KUVAUSLAUSE. Sirpa Patteri

RIEMANNIN KUVAUSLAUSE. Sirpa Patteri RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Sirpa Patteri 2 RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Johdanto Georg Bernhard Riemann (826-866) esitti kuvauslauseen väitöskirjassaan vuonna 85. Hän käytti todistuksessaan Dirichlet n periaatetta,

Lisätiedot

Kompleksianalyysi 1. Tero Kilpeläinen

Kompleksianalyysi 1. Tero Kilpeläinen Kompleksianalyysi 1 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja keväälle 2015 6. maaliskuuta 2015 Alkusanat Seuraavilla sivuilla on luentomuistiinpanoja Kompleksianalyysi 1 -kurssille. Nämä on muokattu kompleksianalyysin

Lisätiedot

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z 5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b,

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b, Kompleksiluvut c Pekka Alestalo 013 Tämä moniste sisältää perusasiat kompleksiluvuista. Tähdellä merkityt kohdat ovat lähinnä oheislukemistoksi tarkoitettua materiaalia. 1 Lukujoukot Uuden tyyppisten lukujen

Lisätiedot

exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y

exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y 4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x,

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot