Taylorin sarja ja Taylorin polynomi

Transkriptio

1 Taylorin sarja ja

2 1 Potenssisarja c k (x a) k = f (x) määrittelee x:n funktion. Seuraavaksi toteamme mikä yhteys potenssisarjalla on sen määrittelemän funktion derivaattoihin f (a),f (a),f (a),f (3) (a),... Potenssisarjan suppenemisvälin x a < R sisäpisteissä funktio f (x) voidaan derivoida derivoimalla sarjaa. Tämä ei ole ihan itsestään selvä asia. Oikeastaan pitäisi ensin osoittaa, että d dx ( n lim n k=0 c k (x a) k ) = lim n n k=0 ( ) d dx c k(x a) k

3 2 d ( ) lim dx S n(x) = lim S n n n(x) Sivuutamme nyt tämän perustelun ja hyväksymme annettuna asiana, että potenssisarjan määrittelemä funktio voidaan suppenemisvälillä x a < R derivoida sarjasta ja näin saatu derivaattafunktion potenssisaja suppenee samalla välillä x a < R. Tarkastellaan seuraavaa potenssisarjaa, kun x on suppenemisvälin sisäpiste f (x) = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) Voimme nyt helposti derivoida tämän lausekkeen niin monta kertaa kuin haluamme:

4 3 f (x) = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) f (x) = c 1 + 2c 2 (x a) + 3c 3 (x a) 2 + 4c 4 (x a) f (x) = 2c c 3 (x a) + 4 3c 4 (x a) c 5 (x a) f (3) (x) = 3 2c c 4 (x a) c 5 (x a) f (4) (x) = 4 3 2c c 5 (x a) c 6 (x a) Ylläolevat ovat totta erityisesti, kun x = a eli f (a) = c 0 = 0! c 0 f (a) = c 1 = 1! c 1 f (a) = 2 c 2 = 2! c 2 f (3) (a) = 3 2 c 3 = 3! c 3 f (4) (a) = c 4 = 4! c 4...

5 4 Saamme siis c k = f (k) (a) k! (1) f (x) = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) = k=0 f (k) (a) (x a) k, kun x a < R (2) k! Sarjaa (2) sanotaan Taylorin sarjaksi ja jos a = 0, niin sarjaa sanotaan MacLaurinin sarjaksi. Eräiden tuttujen funktioiden Taylorin sarja -esitykset löytyvät taulukkokirjoista.

6 5 Esimerkki 1 (f (x) = e x, a = 0, eli MacLaurin ) f (x) = e x f (0) = 1 f (x) = e x f (0) = 1 f (x) = e x f (0) = 1.. c k = f (k) (0) k! = 1 k! e x = c 0 + c 1 (x 0) + c 2 (x 0) 2 + c 3 (x 0) 3 = 1 + x + 1 2! x ! x ! x4 + = 1 k=0 k! xk

7 6 Esimerkki 2 (f (x) = ln(1 + x), a = 0, eli MacLaurin ) f (x) = ln(1 + x) f (0) = 0 f (x) = x f (0) = 1 f (x) = 1 (1 + x) 2 f (0) = 1 f (x) = 1 2 (1 + x) 3 f (0) = 2! f (4) (x) = (1 + x) 4 f (4) (0) = 3!... ln(1 + x) = f (x) = x 1 2! x2 + 2! 3! x3 3! 4! x = x 1 2 x x3 1 4 x4 + = k=1 ( 1) k+1 1 k xk

8 7 Esimerkki 3 (f (x) = ln(1 + x), a = 2, eli Taylor ) f (x) = ln(1 + x) f (2) = ln3 f (x) = x f (2) = 1 3 f (x) = 1 (1 + x) 2 f (2) = f (x) = 1 2 (1 + x) 3 f (2) = 2! 3 3 f (4) (x) = (1 + x) 4 f (4) (0) = 3! 3 4 f (x) = ln (x 2) 3 = ln3 + k=1 2!3 2 (x 2)2 + 2! 3!3 3 (x 2)3 3! 4!3 4 (x 2) ( 1) k+1 k 3 k (x 2) k

9 8 Esimerkki 4 (f (x) = 1 + x, a = 0, eli MacLaurin ) f (x) = 1 + x = (1 + x) 1/2 f (0) = 1 f (x) = 1 2 (1 + x) 1/2 f (0) = 1 2 f (x) = (1 + x) 3/2 f (0) = f (x) = (1 + x) 5/2 f (0) = f (4) (x) = (1 + x) 7/2 f (4) (0) = f (x) = x 1 4 x x x4 + = 1 + k=1 ( 1) k+1 (2k 2)! 2 2k 1 (k 1)!k! xk

10 9 Jos Taylorin sarjasta otetaan vain n + 1 termiä, niin saamme P n (x) = n k=0 f (k) (a) (x a) k. k! Esimerkki 5: Jos ln(1+x) = ln (x 2) (x 2) (x 2) (x 2) niin vastaava toisen kertaluvun on P 2 (x) = ln (x 2) 1 (x 2)2 18

11 10 Esimerkki 6: Piirretään funktion f (x) = ln(1 + x) ja sen toisen kertaluvun P 2 (x) kuvaajat (kehityskeskus a = 2) y 2 y = ln(1 + x) x y = P 2 (x)

12 Jäännöstermi 11 Voidaan osoittaa (Todistus sivuutetaan tässä), että Jos sarja f (x) = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) suppenee, kun x a < R ja vastaava n:nnen kertaluvun on P n (x) = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) c n (x a) n, niin: jos x a < R, niin f (x) = P n (x) + R n (x), missä R n (x) = f (n+1) (z) (n + 1)! (x a)n+1,ja z on jokin lukujen a ja x välillä oleva luku.

13 Jäännöstermi 12 Esimerkki 7: Arvioidaan virhettä esimerkin 6 tapauksessa. Kun arvioimme, että f (3) P 2 (3) = ln (3 2) 1 18 (3 2)2 = niin todellisuudessa f (3) = P 2 (3) + R 2 (3), missä R 2 (x) = f (z) (x 2) 3 3! Koska f (x) = 2 (1+x) 3 ja 2 z 3, niin 2 3! 4 3 R 2 (x) 2 3! 3 3. Siis f (3) (eli f (3) = ± 0.004)