Kaavoja: Aalto-yliopisto. Hyperboliset ja trigonometriset funktiot: coshz = ez +e z. , sinhz = ez e z. 1. (a) Esitä polaarimuodossa kompleksiluku

Transkriptio

1 Aalto-yliopisto Rasila/Murtola Mat peruskurssi S3 Syksy välikoe Ti klo Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksessa sallittua laskinta mutta ei taulukkokirjaa. 1. (a) Esitä polaarimuodossa kompleksiluku 1+i 1 i. (b) Onko funktio f(z) = (z) analyyttinen? Perustele vastauksesi. (c) Olkoon u(x,y) = Re(f(z)), z = x+iy ja f kuten b-kohdassa. Osoita, että u harmoninen. Mikä on u:n harmoninen konjugaattifunktio?. (a) Etsi Möbius-kuvaus, joka vie pisteet 0, i ja i pisteiksi 1, 0, ja. (b) Mikä on potenssisarjan (z +i) n n=1 kehityskeskus? Määritä sarjan suppenemissäde. 3. Laske kompleksinen polkuintegraali f(z)dz, missä on kolmio kärkipisteinä 0, 1, 1 + i, vastapäivään kierrettynä, kun a) b) n f(z) = 1 z i, f(z) = Imz. 4. Laske residymenetelmää käyttäen trigonometrinen integraali π 0 sin θ 5 4cosθ dθ. Kaavoja: Hyperboliset ja trigonometriset funktiot: coshz = ez +e z, sinhz = ez e z, tanhz = sinhz coshz, auchy-riemannin yhtälöt: Möbius-kuvaukset: Polkuintegraali: coshz cothz = sinhz, cosθ = eiθ +e iθ, sinθ = eiθ e iθ, i sin(x±y) = sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y), cos(x±y) = cos(x)cos(y) sin(x)sin(y) x u(x,y) = y v(x,y), y u(x,y) = x v(x,y). (w w 1 )(w w 3 ) (w w 3 )(w w 1 ) = (z z 1)(z z 3 ) (z z 3 )(z z 1 ). auchyn integraalilause: auchyn integraalikaava: Laurentin sarja: Residylause: f(z)dz = n=0 b a f ( z(t) ) z (t)dt. f(z)dz = 0. f(z) z z 0 dz = πif(z 0 ). f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n. f(z)dz = πi n=1 k Res f(z). z=z j j=1 Vihje: Viereisellä sivulla olevat kaavat voivat virkistää muistia.

2 ADDD EF ADE F F DD DEEEEDEEDEDEEEEDAEE FDDDEAAEAAEE EEAEDEAEAAAEAAAAAED FAEDEEEAEADDEE AAEEDD EEA A!ADDDDE "EAADED# ADEAADDD D DE$ AAEAEEEE$ EEE%E&EEE$ 'D(D E)*EEEE +$*DD%DE,D&E DDDE(D DED#DE+AADAAEAEAAAE(D(EDEE +$AEAA-./EA ADE,01DE($AA$ A -/EA D

3 1 A 1 AEAA 1 0 EAAEAE3DEDEE D DEDAAEEDEAEA-./EA A$ AEAAEEEAEE$ EEE$1 DEEA(%,& DDDED$1 %EEDEDEA1$EA$EEE,$%,01&EE& DEEEEA(%,&DED$ 'DD%1&0/E%(%,&&,01(E5D'DEADDEFAD $DED#(D) 6DDDEEED DE$EE5D ADDE!AA$DED#(D +$AEAA-./EA A%DDED#(DEE DE&$ 1 +D A 1 %!AEA-/A ADEED$& 7E#DEDEEA$EE A 1 A%1&DD(D1$A DE-/A EEE

4 A A 1D 8EAA$EEEEDEEAAA$AEEA9E EEEEDE1EEA+AE%1&0#%&0D%A & E A 1AEF +$ D EA(D D ED%EAA,01& D5D(DDD#DDEE AE (DDE#AAD A 1 D DEDDED$ DEE$ AEEEE$EEAEA!F 5DEEEE: AEAAF 5EAEAA ; ; ; ; DEAAEE%DDEE,$EE&EEA$ <AE ADDDAEAEDDDEEEDE DE F F F DAAEAA

5 DD,$ *EEAEADAAA DEA "DDE AAAAA ="EAEDDEDEAEE EE: :F 5AEAAEEEAEEDEDD >D?:DEADD>D?$EE *DEAAE EEDED F F DEDEEED AAEAEAA AAE EDDDEEEDAAAEEEE DEEAAAAF 5EAEE D 'EA $ EEDD$ 'EAAEA%DEDEDE&$; FADDE EE)FAAAEEAE *DEDEEDD E EEEEAAAEAEE, 0EEAEE EEAEE A E E A

6 ADDEA,EAEDEEEAEEEDEE DE D DEEE$ DEEEEAEEAEEE$ DEEEAE$,$EEAEE$15D F "EEDE#DAEADEDAAA &+$E(D DEDDE#DDEEA(DEEEEE ED EEAEEAEDEE#DD-.E#EE DD AEDEEEEEA+AAEEAEAEE EA F AA(DAEDE%EADEEEDE D(DDEEEEAA&EEE DEAEAAEDEEEEE#E DAAADEEEDEEA EEAEE E#DDEEEE -.E#EAAEAAADAAAAEEEEEEAAE EEEEFAA EEAEAE%AA(D AEEEEEEEEEE&DDDE +$*DE#DE EDDEE#+AA DEAAED D 7E#EAEE$; 7E#EEE$1 -.E#$1 +7$ 'EED$ FD$ 7E#DDED$ AEEEE$EEEE AAAEDAAADD$1

7 3DEDEEDE-.E#EEDAAAFAED EADEAAAEEE+AAEEEEA EE%E(DAAAE& 'EDEDDE#EEE$ *D *D *D ; 8AE#D((EEE F F F; EE#E $ $ ;$ ED ED ED DDDE#D ADDEA, $A%0;,ED&DE#AADDD EE7#AADDEEE$ED+AAEEA EDEE 7E#DAAEDDEEE8DDEDEAEE (DDEE+A DE#D EDEAE AAEEA D

8 *ED$ FD$ 7E#D$ 7E#D(DE$A$1

9 S3 S011 VK1 tehtävän 4 malliratkaisu ja pisteytys Tehtävänä on laskea trigonometrinen integraali käyttäen Residy-menetelmää. Havaitaan, että kun z = z(θ) = e iθ niin z + 1 z = eiθ +e iθ = cosθ, (1) z 1 z = eiθ e iθ = isinθ. () Eli trigonometriset funktiot voidaan esittää kompleksiluvun z avulla. Suoritetaan siis integraaliin muuttujan vaihto θ z. Muuntokertoimeksi saadaan: Itse integraaliksi tulee siis: π 0 dz = z(θ) θ dθ = ieiθ dθ = izdθ, (3) dθ = 1 dz. (4) iz sin θ 5 4cosθ dθ = ( 1(z 1 i z )) 1 5 4( 1(z + 1)) dz (5) iz z = i (z 1 z ) 4 5z z(z + 1 (6) )dz z = i (z 1) dz (7) 4 z (5z z ) = i (z 1) 4 z (z 1 (8) )(z )dz = i (z 1) 8 z (z 1 (9) )(z )dz missä kiertää yksikköympyrän kehän kerran vastapäivään. Tämä sijoitus johtaa rationaalifunktion integraaliin. Rationaalifunktio on analyyttinen, joten integraalin arvo saadaan laskettua Residylauseella. Nimittäjällä on kolme nollakohtaa {0, 1,}. Näistä kaksi ensimmäistä sijaitsevat yksikköympyrän sisäpuolella. Näistä ensimmäinen on toisen kertaluvun napa ja kaksi jälkimmäistä ensimmäisen kertaluvun napoja. f(z)dz = πi k Resf(z) (10) z=z j j=1 = πi(res f(z)+res f(z)). (11) z=0 z= 1 1

10 Lasketaan Residyt: d (z 1) Resf(z) = lim z=0 z 0 dz z z (z 1)(z ) (1) Res z= 1 d (z 1) = lim z 0 dz(z 1)(z ) (13) [ (z 1) 4z = lim z 0 (z 1 )(z ) z 1 1 z 1 1 ] (14) z = 5, (15) f(z) = lim(z 1 z 1 ) (z 1) z (z 1)(z ) (16) = lim z 1 (z 1) z (z ) = 3. (17) Eli: π 0 sin θ 5 4cosθ dθ = i 8 (z 1) z (z 1 (18) )(z )dz = i 8 πi(resf(z)+res f(z)) (19) z=0 z= 1 = π ( ) = π 4. (0) Pisteytys noudattaa seuraavia periaatteita: 0 p. Integraali on laskettu muutoin kuin Residylauseen avulla (esimerkiksi numeerisesti tai trigonometrisellä sijoituksella). +1 p. Idean keksimisestä (integraalin muuntaminen sijoituksella, parametrisaatiolla tai muulla vastaavalla tavalla). +1 p. Oikean sijoituksen käyttö. 0 p. Integrointipolkua ei ole mainittu. (Tämä pitää aina tehdä, mutta koska kyseessä on "insinöörimatematiikka"...) 1 p. Yksikköympyrän ulkopuolisen navan Residy on otettu mukaan laskuun. +1 p. Oikein käytetty Residylause. + p. Oikein lasketut Residyt. Piste kummastakin. +1 p. Oleelliselta muodoltaan oikea lopputulos. 1 p. Pieni virhe. Tätä kohtaa voidaan soveltaa useaan otteeseen. Tehtävän pisteet arvioidaan näillä kriteereillä, minkä jälkeen ne pyöristetään normaalien pyöristyssääntöjen mukaan kokonaisiksi pisteksi. Negatiiviset pistemäärät vastaavat 0 p suoritusta.