1. Osoita, että annetut funktiot ovat seuraavien differentiaaliyhtälöiden ratkaisufunktioita:

Transkriptio

1 760P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Krtausthtäviä välikoksn, sl 008 Näitä laskuja i laskta laskupäivissä ikä näistä saa laskuharjoituspistitä Laskut on tarkoitttu laskttaviksi itsksn, kavriporukalla tai Fsiikan tuutortuvassa Laskujn ratkaisuja i tul nttiin, mutta lopputulokst ovat matriaalin lopussa LASKUHARJOITUSTYYPPISIÄ TEHTÄVIÄ 4 0 Etsi juurt ( 6) Osoita, ttä anntut funktiot ovat suraavin diffrntiaalihtälöidn ratkaisufunktioita: a) ' 4 = = C + b) '' + 9 = Acos + Bsin c) '' ' + = ( Acos + Bsin ) Ratkais diffrntiaalihtälöt: a) ' = b) ' = cos Mitkä suraavista diffrntiaalihtälöistä ovat sparoituvia, ksaktja ja/tai linaarisia: a) ' + ( + ) b) + ' c) '= cot d) '= cos tan ) g) '= sin k ' + = f) + + ' 4 Ratkais suraavat sparoituvat diffrntiaalihtälöt: a) '= cos b) '= ln c) ' = + 5 Osoita, ttä suraavat diffrntiaalihtälöt ovat ksaktja ja ratkais n: a) d + d θ θ b) dr r dθ c) ( + ) d + d

2 6 Ratkais suraavat linaarist diffrntiaalihtälöt: a) ' b) ' + = 9 c) ' = 7 Ratkais suraavat alkuarvothtävät: a) ' + ( 0) = b) ( ) d + ( ) d k c) ' + k = ( 0) 7 ( 0) = 8 Ratkais suraavat diffrntiaalihtälöt: a) '' + 0' + 5 b) - '' + c) '' + ' + ( ω + ), missä ω on vakio 9 Ratkais suraavat diffrntiaalihtälöt: a) '' + = b) ' ' 4' + = sin 4cos c) ' ' ' = + 0 Kappaln paikka ajan funktiona on r = (t 5t + t)ˆ i + (4t + ) ˆj Määritä nopus ja kiihtvs ajan funktiona Määritä kappaln paikka, nopus ja kiihtvs, kun t = 5 Olkoon f = + z ja F = iˆ + ˆj Lask, mikäli mahdollista: a) f b) F c) f d) F ) f f) F (Tämä thtävä on ollut usita krtoja Sähkömagntismi(TTK)-kurssin loppukoksmksnä) Kappaln radiusvktori on r( t) = [( v cosα ) t] i + [( v sinα) t gt ]j kappaln htkllinn nopus ˆ 0 0 r ja htkllinn kiihtvs r ˆ Lask Kappalsn kohdistuu voima F = ( )ˆ i + ˆj Tutki, onko voima konsrvatiivinn li onko F

3 4 Kappaln potntiaalinrgia voimakntässä on muotoa U = a +b Määritä tämän kntän kappalsn aihuttama voima F = U 5 Määrää ksikkötangntti, päänormaali ja kaarvuussäd käräll r iˆ = + ˆj pistssä = 6 Kappal liikkuu pitkin rataa, jolla kappaln radiusvktori on r = ( Rsinω t) iˆ + ( R cosωt)j ˆ T Lask kappaln aikavälillä 0 t kulkma matka, 4 π kun T = ω VANHOJA VÄLIKOEKYSYMYKSIÄ 7 Ratkais alkuarvothtävä '' 4' 5 ( ) = ja '( ) = 9 8 Hiukkann liikkuu pitkin kärää r t t i t t ˆ = ( 4 )ˆ + ( + 4 ) j + (8t t ), kun t on aika Mikä on hiukkasn kiihtvs htkllä t =? Mikä on tällä samalla htkllä kiihtvdn projktio liikkn tangntin suuntaan? 9 Lask A ( B) ja ( A ) B pistssä (,-,), kun A = z ˆ i + j ˆ z ja B ziˆ zj ˆ = + z 0 Lask F dr, kun F = ( )ˆ i + ( ) ˆj ja C on -tason suljttu kärä C = cost = sin t piststä t pistsn t = π Hiukkann liikkuu pitkin kärää r = ( cost) iˆ + ( 4cost) ˆj + ( 5sin t) Määrää hiukkasn nopus v = r, vauhti v = v ja a = v htkllä t Mikä on kiihtvdn projktio liikkn tangntin suuntaan? Lask, kun r on radiusvktorin pituus, r Lask ( A), kun A = z ˆ i + z ˆj + z r + = + z

4 4 Ratkais htälöt ja alkuarvo-onglmat a) ' =, kun ( ) = b) ' = Etsi suraavin diffrntiaalihtälöidn ratkaisut: a) '' + ' 8 ; ( 0) = ja '(0) = b) '' + = + 6 Diffrntiaalilaskntaa skalaarikntillä a) Olkoon φ (,, z) = z Lask φ b) Määrää vakiot a ja b sitn, ttä pinnat a bz = ( a + ) ja 4 + z = 4 ovat pistssä (,-,) kohtisuorassa toisiaan vastaan 7 Lask intgraali F dr pitkin -tason kärää pistsn (,), kun C F iˆ = + ˆj = piststä (0,0) 8 Hiukkann liikkuu voimakntässä F z i ˆ = ( cos + )ˆ + ( sin 4) j + (z + ) a) Tota, ttä knttä F on konsrvatiivinn b) Etsi knttää F vastaava skalaaripotntiaali c) Lask tö, joka thdään siirrttässä hiukkasta kntässä F piststä ( 0,, ) pistsn ( π,,) 9 Etsi kaikki komplksiluvut z, jotka totuttavat htälön z = * + i z 0 Etsi luvun kaikki nljännt juurt Luonnostl juurt komplksitasoon Ratkais htälö z = i, ts tsi imaginääriksikön i nliöjuurt Nätä juurtn paikat komplksitasossa Ratkais htälö z + 8 Hahmottl juurt komplksitasoon

5 VASTAUKSET FYSIIKAN MATEMATIIKAN KERTAUSHARJOITUKSIIN 0 + i, + i, i, i - a) + C b) sin + C a) sparoituva b) sparoituva, linaarinn c) sparoituva, linaarinn d) sparoituva ) linaarinn f) linaarinn g) sparoituva, ksakti 4 a) = tan + C b) = C ln c) arctan = + C 5 a) = C b) r θ = C c) + = C 6 a) = C b) = + C c) = + C 7 a) = 4 b) + c) = ( 07 + ) k 5 8 a) = ( C + C ) b) = C cos( ) + C sin( ) c) = C cosω + C sinω ) ( 9 a) = C cos + C sin + 6 b) = C + C sin + C + c) = C 0 r = ( 40ˆ i + ˆ) j v = (0î + 4ĵ) a = (50î) ˆ ˆ a) i + j z d) 5 f ) 0 ( 0 0 ) = cosα ˆ + sinα ˆ r( t) = gˆj r t [ v ] i [ v gt]j + F = ( ), jotn voima i ol konsrvatiivinn 4 F = ( a + b)ˆ i bˆj 5 iˆ ˆ + j iˆ ˆj 7 +

6 6 πr 7 = iˆ + ˆj iˆ ˆj + 6 zˆ j + (4 + 5z + z ) 0 6 π ( sin t)ˆ i (4sin t) ˆj + (5cost), ( cost)ˆ i (4cost) ˆj (5sin t), 0 0 4ˆj 4 a) = + b) = + ln + C 5 a) = 4 b) = C + C a) z + 4 z b) a = b = 7 8 b) U = sin z + 4 z + C c) 5 + 4π 9 i, i 0, i, -, -i + i, i 9i, -9i