Sami Holopainen Rakenteiden mekaniikka, Vol. 37 No. 2, 2004, ss

Transkriptio

1 AVARUUSRISTIKON GEOMETRIAN OPTIMOINNISTA Sami Holopainn Rakntidn mkaniikka, Vol. 37 No. 2, 2004, ss TIIVISTELMÄ Artikklissa tarkastllaan usin kirjallisuudssa siintyvän avaruusristikon yhdistttyä poikkilikkauspinta-alojn ja gomtrian optimointia. Tavoittna on siis haka lasknnallissti ristikon sauvojn optimikoko ja niidn solmuill optimaalinn sijainti. Kohdfunktiona on käyttty ristikon matriaalitilavuutta (massaa) sitn, ttä sallittuja jännityksiä i saa ylittää. Optimointimntlmä on slostttu ylisllä tasolla. JOHDANTO Rakntn gomtrian optimointi on räs kantavin rakntidn optimoinnin onglmatyyppi [5]. Siitä käyttään myös nimitystä layout-optimointi, mikä käsittää myös topologian ja sauvojn poikkipintasuuridn optimoinnin (sizing). Kysssä on sidottu optimointi, sillä tässä tapauksssa sauvojn jännitykst ovat rajoitttuja. Optimointionglma on pälinaarinn (nonlinar programming NLP), koska siinä olvat funktiot ovat suunnittlumuuttujin suhtn pälinaarisia. Suunnittlumuuttujina olvat solmukoordinaatit ja poikkilikkauspinta-alat ovat tässä tapauksssa jatkuvia. Joskus sim. sauvan poikkipintasuurt ovat olosuhtidn pakosta (saatavuus) kuitnkin diskrttjä. Kuvatut optimointionglmat ratkaistaan jollakin robustilla optimointimntlmällä, jonka sopivuus ko. onglman ratkaisuun prustuu usin hyviin käytännön kokmuksiin. Mntlmän thokkuus prustuu nnn kaikka siihn, ttä kritri()n ja rajoitustn hrkkyydt tunntaan. Ko. onglma linaarisna statiikan thtävänä on sllainn, ttä hrkkyydt voidaan laska, jopa analyyttissti. Kuitnkin juuri hrkkyyslasknta on usin ratkaisun haastavin osa, koska s on suunnittlumuuttujina olvin solmukoordinaattin suhtn hankalaa. Onglman ratkaisu voidaan jakaa kolmn osaan: Statiikan ratkaisu (FEM), hrkkyyslasknta kuormittull rakntll (dsign snsitivity analysis, DSA) ja varsinainn optimointi jollakin robustilla optimointimntlmällä. Mntlmä voi olla kokmuksn ( insinööriajattluun ) prustuva päsuora, itratiivinn mntlmä, sim. täysi jännitystkniikka (fully strssd dsign, FSD) tai optimaalisuuskritrin mntlmä (optimality critria, OC). Mntlmänä voi olla myös matmaattinn optimointialgoritmi, kutn präkkäistn kvadraattistn/linaaristn approksimaatioidn mntlmä (squntial quadratic/linar programming, SQP/SLP), täydnntyn Lagrangn funktion mntlmä (augmntd lagrangian mthod ALM), MMA (mthod of moving asymptots) tai kolmannksi jokin huristinn mntlmä, sim. simuloitu jäähdytys 34

2 (simulatd annaling, SA), tabu-haku (tabu sarch, TS) ja gnttist algoritmit. Ensimmäist mntlmät ovat tyypillissti hyvin thtäväsidonnaisia, mutta suppnvat mlko hyvin. Matmaattist algoritmit suppnvat usin hyvin ja ovat suhtllisn ylispätviä. Jälkimmäist mntlmät suppnvat gradinttipohjaisia matmaattisia mntlmiä hitaammin ja vaativat paljon analyysjä. Niitä kuitnkin käyttään, kun luotttavaa gradintti-informaatiota i ol saatavilla sim. stabiilisuutn liittyvissä rajoitushdoissa. Tässä artikklissa optimointimntlmänä on nk. täydnntyn Lagrangn funktion mntlmä (ALM), jota on slostttu ylispiirtissti. OPTIMOINTIONGELMAN RATKAISUSTA ALM-mntlmä on nk. sakkofunktiomntlmä [2], [9]. Prusajatuksna on muodostaa jono vapaita ääriarvothtäviä, joidn ratkaisut konvrgoivat kohti sidotun thtävän ratkaisua. Konvrgnssi saavuttaan sakottamalla käyvän alun (pistt, jotka ivät riko rajoitushtoja) ulkopuollla kulkmissta. Sakkofunktiona käyttään tässä nliöllistä funktiota (jatkuva, positiivinn). Optimiratkaisu x* voidaan määritllä s.. x* = lim r x(r) li sakkokrrointa r kasvattaan itraatioittain. Sopiva sakkokrroin valitaan s.. saatu ratkaisu olisi lähllä alkupräisn onglman käypää alutta (r riittävän suuri) ja toisaalta niin, ttä täydnntty Lagrangn funktio i käyttäydy numrissti huonosti (r riittävän pini). Käyttty ALM-algoritmi ratkais priaattssa onglmaa [9]: min f ( x) s.. h( x) = 0, l u x x x. Problman täydnntty Lagrangn funktio T r T n m A( x, λ, r) = f ( x) + λ h( x) + h( x) h( x), x R ; λ, h R ; r > 0. 2 ALM:ssä alkupräinn sidottu onglma korvataan vapaalla thtävällä: min Minimipistssä A( x, λ, r) = 0, josta suraa, ttä R S T f ( x) + h' ( x) λ = 0, missä h( x) = 0. T T f f ( x) = f' ( x), f ( x) = i x i T = = h, h' ( x) h( x), h( x) ij x i j x, λ (1) A( x, λ, r). (2) Edllä f :R q1 R on kohdfunktio (objkti), λ Lagrangn krroinvktori ja h:n komponnttina ovat rajoitusyhtälöt h i :R qi R. Sakkofunktiona on trmi h T h. Käyttyn täydnntyn Lagrangn funktion minimipist on alkupräisn onglman Karush-Kuhn- Tuckr-pist (KKT-pist). Ts. hto (2) totutuu. 35

3 Käytännössä algoritmi tn itratiivissti: 1. Valits alkuarvot λ ja sakkokrroin r 2. Ratkais minimointithtävä min A x,λ (x,λ,r), ratkaisuna saadaan itraatti x k 3. Jos h(x)=0 (sakkofunktio riittävän pini), lopta. Muutn päivitä x k, λ k, valits r k+1 > r k ja jatka asklsta 2. Alkupräinn onglma on siis yhtälörajoittinn, jonka KKT-pist saadaan Lagrangn funktion (täydnntty Lagrangn funktio ilman sakkotrmiä) gradintin nollakohdasta. Tällöin rajoitutaan tarkastlmaan vain käypiä pistitä, ts. A(x,λ) = f(x). Käyttyssä algoritmissa ratkaisua hataan itratiivissti. Jokaislla itraatiokirrokslla k ratkaistaan linaarissti rajoitttua problmaa, jossa kohdfunktiona on täydnntty Lagrangn funktio (kohta 2): T r T min A( x, λ, r) = f ( x) + λ h( x) + h( x) h( x) 2 s.. h' ( x )( x x ) + h( x ) = 0, l k k k u x x x (3) Ratkaisu on approksimatiivinn, jossa kohdfunktiota f approksimoidaan toisn krtaluvun kvadraattislla approksimaatiolla ja Hssn matriisia A päivittään BFGStkniikalla (kirjaimt tulvat khittäjin Broydn, Fltchr, Goldfarb ja Shanno nimstä). Ratkaisulta i vaadita suurta tarkkuutta, sillä approksimatiivista problmaa ratkaistaan kunns problma (3) totutuu (ulompi itraatio) ja optimi saavuttaan. Ts. alkupräisn onglman KKT-hdot totutuvat. Mrkitään l k = λ k+1 - λ k Uusi hakusuunta s k saadaan Nwtonin mntlmällä suraavasti: A (z k )s k = - A(z k ). (4) Edllä z k = [x k, λ k ] T on nykyinn itraatiopist ja s k = [d k, l k ] T hakusuunta. Hssn matriisin komponntit ovat suraavat: 2 A [A ] ij = x x i j. Uusi itraatiopist z k+1 = z k + s k ja x k+1 = x k + d k. Kuinka ryhmä (4) ratkaistaan lopulta, slviää sim. artikklista [4]. ALM:ää on käsitlty myös lähtssä [2]. Mukana voi olla myös päyhtälörajoituksia, kun niihin lisätään plivara- ja ylijäämämuuttujat s.. onglma palautuu yhtälörajoittisksi thtäväksi. Myös muuttujill voidaan asttaa rajat, joidn käsittly vaihtl algoritmittain. Algoritmin ida on siis s, ttä käyvän alun ulkopuollla liikkuminn on kallista ja aihuttaa siis kustannuksia. Hyvin asttut optimointiparamtrit (mm. loptus, sakkokrroin itraatioittain jn.) saavat aikaan sn, ttä optimi on käyvällä alulla. Algoritmi konvrgoi, jos KKT-hdot (2) totutuvat. Loptuskritrinä on tavallissti kohdfunktion ja suunnittlumuuttujin muutokst. Ei-konvksissa onglmassa (joko kohdfunktio tai rajoitukst i-konvksja) i ol takita siitä, päädytäänkö globaaliin vai kntis johonkin lokaaliin optimiin (mikä skin 36

4 on jo parannus sinänsä). Optimointialgoritmi saa tarvittavan siirtymä- ja jännitysinformaation FEM-ohjlmasta. Näitä titoja tarvitaan kohdfunktion ja rajoitustn arvojn laskmisn laskntapistssä skä niidn hrkkyyksin lasknnassa. Ratkaisuun käyttyn ohjlman vuokaavio on priaattasolla sittty kuvassa 1. i Lähtötidot, aloituspist FEMratkaisu Hrkkyysanalyysi (DSA) Optimointi (ALM) Päivitä suunnittlumuuttujat Konvrgoi? kyllä Post-prosssointi STOP Kuva 1 Ratkaisuvuokaavio. HERKKYYSLASKENTA Optimiratkaisu totuttaa KKT-hdot (2). Niidn lasknnassa tarvitaan kohdfunktion ja rajoitustn hrkkyydt suunnittlumuuttujin suhtn. Hrkkyyslasknta tai - analyysi (Dsign Snsitivity Analysis DSA) on analyyttissti usin hyvin hankalaa, mahdotontakin, jolloin on tyydyttävä laskmaan funktion g:r q R muutosta, kun sitä himan häiritään muuttamalla suunnittlumuuttujin (x i R) arvoja sim. diffrnssimntlmällä tai kokilmalla. Matmaattisssa milssä DSA ja häiriöhrkkyystarkastlu (Imprfction Snsitivity Analysis ISA) ovat kvivalntit. Tämä artikkli käsittl staattissti kuormitttujn ristikoidn optimointia. Tässä tapauksssa myös analyyttinn hrkkyyslasknta onnistuu. Hrkkyysanalyysiä on käsitlty mlko kattavasti aihsn liittyn mm. lähtssä [7]. Varsinainn analyysi, voidaan thdä priaattssa kahdlla ri tavalla: o Varioidaan kontinuumimallin tasapainohto suunnittlumuuttujin suhtn ja ratkaistaan saatu linaarinn ryhmä. NR-itroinnilla tai diskrtoimalla nsin FEM-muotoon. o Muodostamalla suunnittludrivaatat diskrtill (FEM) mallill. Ensimmäisn mntlmän tu on siinä, ttä mahdollissti rajoitushtoina olvin jännitystn (ja vnymin) hrkkyyslasknta sisältyy variointiin, sillä varioitavat funktio(naali)t sisältävät n. Kontinuumiprustista hrkkyysanalyysiä käyttään usin pälinaarisissa mkaniikan onglmissa. Jälkimmäinn mntlmä on luonnollissti suoraviivaismpi sittää, sillä s on jo valmiiksi ratkaistavassa muodossa ja tässä artikklissa siksi käyttty. 37

5 Hrkkyysanalyysi voidaan suorittaa suoraan drivoimalla tai nk. adjungoidulla mntlmällä suraavasti: dg g g g T = + q = q + z, i = 1,.., n, missä (5) dxi xi q xi xi xi z = g q ja q Rp (solmusiirtymävktori). Tässä artikklissa objktina on ristikon matriaalitilavuus (kuormittamattomana) ja rajoitushtoina ovat sauvojn jännitykst. Suunnittlumuuttujina ovat sauvojn pintaalat ja niidn solmukoordinaatit (nnn kuormittamista alkutilassa). Rajoitushtojn hrkkyydt dσ da = σ σ z T q. (6) A Olttaan, ttä muodonmuutokst ovat piniä ja matriaali on linaarissti kimmoista (vakio kimmomoduuli E), jolloin todllisll jännityksll pät z = Eb li z = E/L [-l,-m,-n,l,m,n], missä (7) L = lmntin alkupräinn pituus, l = cos(x,x), m = cos(x,y), n = cos(x,z). Y x (x 4,x 5,x 6 ) (x,y) (x 1,x 2,x 3 ) (x,x) X (x,z) Z Kuva 2 Suuntakosinit. Ts. z:n muut komponntit ovat nollia. Tasapainotilassa potntiaalinrgia Π saavuttaa miniminsä li Π/ q = 0. Drivoimalla tasapainohto saadaan K q/ A = - K/ A q, kun kuormitus i riipu suunnittlumuuttujista (ikä siirtymistä). Edllä K = R/ q li lmntin jäykkyysmatriisi ja R = sisäistn voimin vktori. 38

6 Mrkitään K λ = z. Silloin dσ σ T T da σ λ σ A σ λ = K q = K q nyt ristikoll A dσ σ T = da σ λ 1 K q, missä ( ) liittyy lmnttiin. A (8) Kohdfunktion f hrkkyys sauvan pinta-alan A suhtn li df/da = L (sauvalmntin pituus). Hrkkyydn lasknta solmukoordinaattin suhtn tapahtuu priaattssa samalla tavalla, mutta suora drivointi K/ x j on hankalampaa: vain ko. solmuun liittyvin lmnttin jäykkyysmatriisit riippuvat ko. muuttujasta. Lisäksi sauvan jännitys riippuu myös ksplisiittissti solmukoordinaatistaan (kaavan (5) trmi g/ x j 0). Kohdfunktiossa drivointi kohdistuu ko. solmuun liittyvin lmnttin k pituuksiin: df dx j A L k = k, k I (ko. solmuun liittyvät lmntit) (9) x k j AVARUUSRISTIKON LAYOUT-OPTIMOINTI Tavoittna on siis haka lasknnallissti ristikon sauvojn optimikoko ja niidn solmuill optimaalinn sijainti. Optimointikritrinä on käyttty ristikon matriaalitilavuutta (massaa) sitn, ttä sallittuja jännityksiä i saa ylittää. Muita rajoituksia olisivat sim. ristikon jousto (myös kohdfunktiona), siirtymät, globaali ja lokaalit nurjahdushdot. Näistä tavallissti hlpoimmin käsitltäviä (numrist onglmat, hrkkyyslasknta) ovat siirtymät ja jousto. Suunnittlumuuttujina ovat ristikon tittyjn solmujn koordinaatit ja sauvojn pinta-alat ja n ovat jatkuvia. Kysssä on siis pälinaarinn optimointionglma (Nonlinar programming, NLP) ja sn instanssina avaruusristikon layout-optimointi. Tässä simrkissä pinta-alall on astttu alaraja, jolla välttään nk. singulaarisuusonglma, joka usin siintyy suunnittlumuuttujin nollakohdissa käytttässä jännitysrajoituksia (onglma KKThtoihin prustuvissa algoritmissa). Singulaarisuusonglma voidaan ottaa huomioon nk. rlaksointitkniikalla (Chng & Guo 1997) tai olla luottamatta gradinttiprustisn tkniikkaan sllaisnaan sovltamalla sim. primaali-duaalimntlmää (Achtzingr 2000). Yhdisttyssä sizing ja layout-optimoinnissa alarajan asttaminn on osoittautunut suurissa onglmissa (larg-scal) lähs välttämättömäksi, lli optimointia suoritta monitasoissti (sim. riksn sizing ja layout-optimointi präkkäisinä vaihina) tai käyttämällä huristisia optimointimntlmiä [3]. Tyypillissti avaruusristikoissa on suuri määrä osia, joista jopa kaikki on optimoitava. Tällöin optimointialgoritmin on myös kyttävä tunnistamaan kussakin itraatiopistssä aktiivist rajoitushdot ts. tässä tapauksssa niidn sauvojn jännitykst, jotka ovat lähllä sallittua jännitystä. Muut rajoitushdot voidaan jättää tarkastlun ulkopuolll 39

7 ko. vaihssa. Tarkastltava raknn on symmtrinn ja käsittää 25 sauvalmnttiä (kuva 3) [1], [2]. Kuva 3 Optimoitava ristikko OPTIMOINNIN LÄHTÖTIEDOT Ajoa vartn anntut alkutidot on sittty taulukossa 1: Taulukko 1. Lähtötidot. Kuva 3 Ohjlman raknnkaavio Matriaali Kimmomoduuli Minimiala Mitta a träs 25 MPa 150 mm mm Tässä optimoidaan sauvojn 10,11,...,25 poikkilikkausaloja ja vaaditaan, ttä sauvojn 1,2,,9 pinta-alat ovat 150 mm 2. Lisäksi vaaditaan, ttä vaakasuuntaist sauvat 10, 11, 12 ja 13 ovat yhtäsuurt li onglmassa on yhtnsä 13 pinta-alamuuttujaa. Alussa kaikkin pinta-alamuuttujin arvoiksi asttaan 200 mm 2. Gomtriaa optimoidaan s.. suunnittlu-, tarkmmin paikkamuuttujina ovat solmujn 1 ja 2 kaikki koordinaatit (yht. 6 kpl). Paikkamuuttujin arvot alussa on sittty taulukossa 2: Taulukko 2. Paikkamuuttujat alussa. X Y Z Solmu Solmu

8 Optimointionglma on sitn suraava: min f = V(A,x) = A i L i (x), i = 1,2,...25, (10) σ sall_a σ i (x j,u k (A,x)) σ sall_y, i = 1,2,...,25, j S (ko. sauvan solmukoordinaatit), (11) k = 1,2,...,6, ts. sauvan vapausastt (DOF). A sall_a A m A sall_y, m = 1..13, x sall_a,n x n x sall_y,n, n = 1,2,...,6. (12) Kaikkin sauvojn sallitut jännitykst ovat 130 MPa vtoa ja 13 MPa puristusta. Suunnittlumuuttujina ovat siis sauvojn 10, 14, 15,...,25 poikkilikkausalat ja solmujn 1 ja 2 koordinaatit. Sauva i saa hävitä, jotn solmujn i sallita mnnä päällkkäin. Edllä sallitut paikkamuuttujin arvot on sittty taulukossa 3 (mm) ja kuormitus (symmtrinn) taulukossa 4: Taulukko 3. Paikkamuuttujin rajat (mm). x sall_a x sall_y y sall_a y sall_y z sall_a z sall_y Solmu < Solmu 2 > Taulukko 4. Kuormitus (kn). X Y Z Solmu Solmu RATKAISU Tilavuus itraatioittain on sittty kuvassa 4: Tilavuus V/10 cm 3 2,3 2,1 1,9 1,7 1, Itraatiot Kuva 4. Tilavuus itraatioittain. Vain nk. pääitraatiot (uloin laskntasilmukka), jotka tarvitaan, ttä kohdfunktio optimissa i nää muutu sallittua nmmän dllisn laskntakirroksn optimista. Kohdfunktion sallittu muutos on Uusi kirros alkaa dllisn kirroksn optimista ( lämmin käynnistys ). 41

9 Optimiraknn on siis symmtrinn, ja solmut 1 ja 2 yhtyvät! Suunnittlumuuttujat optimissa: A i * = 150 mm 2 (alarajalla), i = 1..13, x 1 * = [>0,0,8000] T (solmu 1) ja x 2 * = [>0,0,8000] T (solmu 2). Thtävä oli astttu sitn, ttä solmut ivät saa mnnä päällkkäin. Numroarvot jännitysrajoitustn, Lagrangn krtoimin ja solmusiirtymin osalta on sittty taulukossa 5. Taulukko 5. Numrodata optimissa. Sauvan nro/dof* ) Jännitykst sauvoissa (MPa) Lagrangn krtoimt λ * / Solmusiirtymät (mm) * ) DOF = solmun vapausastt s.. solmun 1 DOF = 1, 2, 3, solmun 2 DOF = 4, 5, 6 jn. 42

10 Tulos i ol tarkka optimi, mutta s täyttää loptuskritrit. Optimoitu raknn on kuvassa 5: Kuva 5 Optimoitu raknn. Solmut 1 ja 2 yhtyvät. ERIKOISTAPAUS: PUHDAS GEOMETRIAN OPTIMOINTI Jatktaan tstausta. Asttaan nyt pinta-alat arvoon 400 mm 2 (kaikki sauvat). Arvo on mlko suuri, jolloin gomtriall saadaan nmmän plivaraa. Optimoidaan kaikkin vapaidn solmujn 1,2,...,6 koordinaatit. Ts. onglmassa on nyt yhtnsä 18 suunnittlutai tarkmmin paikkamuuttujaa. Sallitut paikkamuuttujin arvot on annttu taulukossa 6: Taulukko 6. Paikkamuuttujin rajat (mm). x sall_a x sall_y y sall_a y sall_y z sall_a z sall_y Solmu < Solmu 2 > Solmu Solmu Solmu Solmu Lähtöraknn ja data on muutn sama kuin dllä. RATKAISU Jälln optimiraknn on symmtrinn ja solmut 1 ja 2 yhtyvät. Vaikka optimiraknn näyttääkin lähs symmtrisltä, jännitykst sauvoissa osoittavat optimirakntssa olvan kuitnkin päsymmtriaa. Ts. suunnittlumuuttujat tulisi asttaa s.. n noudattavat symmtriaa. On siis vaadittava, ttä optimoitavat solmut sijaitsvat 43

11 symmtrissti myös optimissa. Tilavuus itraatioittain on sittty kuvassa 6 ja optimoitu raknn kuvassa 7. Itraatioilla tarkoittaan tässä samaa kuin dllä kuvassa 4. Tilavuus /10 cm 3 5,4 5,2 5 4,8 4,6 4,4 4, Itraatiot Kuva 6. Tilavuus itraatioittain. Kuva 7. Optimoitu raknn. Sykkyrä huipussa osoittaa solmujn 1 ja 2 sijainnin itraatioittain (sis. myös sismmät irraatiot). Suunnittlumuuttujat optimissa ovat likimäärin suraavat (mm) * : x 1 [>0,0,7300] T (solmu 1), x 2 [>0,0,7300] T (solmu 2), x 3 [-300,100,3800] T (solmu 3), x 4 [300,100,3800] T (solmu 4), x 5 [300,-100,3800] T (solmu 5), x 6 [-300,-100,3800] T (solmu 6). * Solmut ivät saa mnnä päällkkäin. 44

12 YHTEENVETO Layout-optimoinnissa tn tullita onglmakohtia ALM-algoritmilla: Paramtrin asttaminn hankalaa (kaikka i voi optimoida). Ratkaisu suppn hitaasti. Syntyy numrista pätarkkuutta. Mikäli suppn liian hitaasti s.. sim. sallittu ali-itraatioidn määrä ylittyy, ajaudutaan mahdollissti käyvän alun ulkopuolll, jolloin sisäpistalgoritmi kskytyy. Suuri gomtrian muuttuminn alkupräisstä, jolloin o jäsntn häviäminn ja siitä johtuvat singularittit o rakntn muuttuminn totaalissti toisksi o lmnttivrkko vaatii päivitystä optimoinnin dtssä (hankalaa kuort, solidit?). Hrkkyysanalyysin vaikus (ja sn implmntointi) mm. jännitysrajoitustn osalta Hrkkyys nimnomaan paikkamuuttujin suhtn suuri. Hrkkyysanalyysilta dllyttään hyvää tarkkuutta ja luotttavuutta, hdoton vaatimus suppnmisn varmistamisksi. Optimointithtävän (instanssin) asttaminn: kohdfunktio(t), rajoitushdot. Erilainn thtävän asttlu johtaa rilaisn optimaalisn lopputuloksn, mutta mikä on tarkoituksnmukaisin. Koska itraatioita ja analyysja on tyypillissti paljon, syntyy numrista pätarkkuutta. Esim. tstionglmassa itraatioidn aikana syntyy siirtymää y-suunnassa symmtriasta huolimatta. Siksi thtävä tulisi asttaa niin, ttä s tuk symmtriaa. On sim. vaadittava, ttä sauvojn 8 ja 9 alat (kuva 3) ovat yhtäsuurt myös suunnittlumuuttujina. ALM-mntlmän dut kysisssä thtävässä: Ylnsäkin gradinttipohjaistn mntlmin suppnminn ja saavutttavin tulostn luotttavuus on tyypillissti hyvä, sikäli kuin mntlmin ja toisaalta instanssin rityisvaatimukst ottaan huomioon. Mntlmä i ol kovin hrkkä sakkoparamtrin r valinnasta. Sisäpistmntlmä on turvallinn, tulokst hyväksyttäviä usin myös kskytystilantissa. Lagrangn krtoimt krtovat paljon: rajoitushtojn ja/tai optimointimuuttujin mrkitys myös kskytystilantissa, onko optimi jn. Mitä suraavaksi: Epälinaaristn rakntidn gomtrian optimointi. Gomtrinn ja\tai matriaalinn pälinaarisuus ja Gradinttipohjaistn mntlmin mahdollisuudt tällaistn rakntidn optimoinnissa: hrkkyysanalyysi. 45

13 LÄHTEITÄ [1] Haftka, R., Gurdal, Z. Elmnts of Structural Optimization. Third rvisd and xpandd dition. Kluwr acadmic publishr, 1996, p [2] Vandrplaats, G. Numrical Optimization Tchniqus for Enginring Dsign: with Applications. Colorado Springs, CO, 1999, p [3] Bndsø, M.P., Sigmund O. Topology Optimization. Thory, Mthods and Applications. Springr, 2002, p [4] Broydn, C.G. Linar Equations in Optimization, in Algorithms for Continious Optimization (Emilio Spdicato, d.), Kluwr, 1994 pp [5] Rozvany, G.I.N t al. Optimization of Larg Structural Systms. Volum I (Rozvany, G.I.N, d.), NATO ASI Sris, 1991 pp [6] Achtzigr, W. Optimization with variabl sts of constraints and an application to truss dsign, Computational Optimization and Applications 15(1): 69-96, [7] Kirsch, U. Optimum Structural Dsign, McGraw-Hill, [8] Chng G.D., Guo, X. ε -ralaxd approach in topology optimization, Structural Optimization 13: , [9] Robinson S.M. A quadratically convrgnt algorithm for gnral nonlinar programming problms, Mathmatical Programming 3: , Sami Holopainn, dipl.ins. TTY, Tknillisn mkaniikan ja optimoinnin laitos, PL Tampr sami.holopainn@tut.fi 46