y 1 = f 1 (t,y 1,,y n ) y 2 = f 2 (t,y 1,,y n ) (1) y n = f n (t,y 1,,y n ) DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä muodostuu ryhmästä (1) ja alkuehdoista

Transkriptio

1 9 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmät Diffrtilihtälörhmiä trvit usiss sovlluksiss. Näistä usimmt void mllit simmäis krtluvu diffrtilihtälörhmi vull. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmä o = f (t,,, ) = f (t,,, ) () = f (t,,, ) Fuktiot,, ovt hd muuttuj t fuktiot. Rhmä () rtkisu välillä <t<b o : diffrtioituv fuktio joukko = h (t),, = h (t), jok totutt htälöt () välillä <t<b. DY-rhmää liittvä lkurvothtävä muodostuu rhmästä () j lkuhdoist (t 0 ) = K, (t 0 ) = K,, (t 0 ) = K () Esimrkki 5.. Muodost diffrtilihtälörhmä, joll rtkist virrt I (t), I (t) survss virtpiirissä. Ktki suljt htkllä t=0, jolloi virrt j vrukst ovt olli. Vstust rsistssit R = 4, R = 6 Käämi iduktssi L = H Kodsttori kpsitssi C = 0,5 F Jäitläht sähkömotori voim E = V Jäithäviöt kompotiss: - vstuksss: RI di - käämissä: L dt - kodsttoriss: Q/C, missä I = dq/dt li Q = I dt Vsmmss silmukss: di L R (I I ) E dt di dt R (I L I ) E L

2 30 Q Oikss silmukss: R I R (I I) 0 C ( R R )I R I I dt C Drivoimll di di ( R R ) R I dt dt C Sijoitt vkioid rvot htälöihi: I + 4(I I ) = => I = 4I + 4I + 0I 4I + 4I = 0 => I = 0,4I 0,4I Sijoittmll I jälkimmäis sd DY- rhmä I = 4I + 4I + I =,6I +,I + 4,8 Alkuhdot: I (0) = I (0) = 0. : krtluvu DY: sittämi DY-rhmää Diffrtilihtälö () = F(t,,,, (-) ) (3) void sittää simmäis krtluvu diffrtilihtälörhmää: määrittlmällä 0 0 li =, =, 3 =,, = (-) (4) =, =,, = () sd htälöä (3) vstv DY-rhmä = = 3 (5) - = = F(t,,, ) Esimrkki 5.. Muut diffrtilihtälörhmäksi. krtluvu DY + = 0 li = +. Mrkitää =, =. Silloi = j kstt rhmä o = =

3 Liri. krtluvu diffrtilihtälörhmä o muoto 3 Vktorimuodoss = (t) + + (t) + g (t) = (t) + + (t) + g (t) (6) = (t) + + (t) + g (t) missä = A + g (7) A = = g = g g g = Alkiot voivt oll vkioit ti t:stä riippuvi (vikk tätä i mrkitä äkvii). Lus 5.. Jos ij - j g i -fuktiot ovt jtkuvi välillä <t<b jok sisältää pist t 0, ii htälöillä (7) o tällä välillä ksikäsiti lkuhdot () totuttv rtkisu. Yhtälörhmä (7) o homogi, jos g = 0 li = A (8) Rtkisuj suprpositioprit: Jos () j () ovt homogis DY-rhmä (8) rtkisuj, ii mös iid lirikombitiot C () + C () ovt rtkisuj. Huom. Joki rtkisu o t : fuktio (pst)vktori j vktorit mrkitää lihvoiduill smbolill. Käsi kirjoitttss vktori void mrkitä liviivuksll, ts. =. Yläidksi (i) i tässä trkoit drivtt, v rtkisu umro. DY-rhmä rtkisuj (),, () Wroski dtrmitti o W( (),, () ) = () () () () () () () () () (9) jok j:s srk o j:s ktrtkisu (j) = ( ( j) j) Rtkisut (),, () ovt lirissti riippumttomi välillä <t<b j muodostvt rtkisuj k, jos W 0 josski väli pistssä t.

4 3 Lus 5.. Jos fuktiot ij (t) ovt jtkuvi välillä <t<b, ii homogisll diffrtilihtälörhmällä = A o lirissti riippumtot ktrtkisu (),, (). Rhmä li rtkisu o silloi = C () + + C () (0) missä C,,C ovt vkioit. 5. Vkiokrtoimist homogist diffrtilihtälörhmät Vkiokrtoimi simmäis krtluvu homogi diffrtilihtälörhmä o li = + + = + + () = + + = A () missä krroimtriisi A = lkiot ij ovt vkioit. Esimrkki 5.. ) Rtkis vkiokrtoimi DY-pri = + = 4 + Yrit: i = i t, i=, Vktorimuodoss: = t i = i t = t Sijoitt ämä htälöihi: t = t + t t = 4 t + t = + = :t ovt mtriisi A = omiisrvoj j = 4 vstvi omiisvktorit.

5 Omiisrvot htälöstä dt(a I) = 0 => = 3, = Omiisvktorit rtkismll (A I) = 0 (liri htälörhmä). Omiisrvo = 3 vstv omiisvktori = Omiisrvo = - vstv omiisvktori = Yhtälörhmällä o rtkisut () = Wroski dtrmitti: 3t 3t, () t = t 3t t t t W = 4 0 3t t jot rtkisut ovt lirissti riippumttomt j muodostvt rtkisuj k. Yli rtkisu vktorimuodoss = C 3t t C Kompotitti: = C 3t + C -t = C 3t C -t b) H dllis rhmä rtkisu muuttmll DY-pri hdksi. krtluvu DY:ksi rtkismll simmäisstä htälöstä j sijoittmll s drivttoi tois. = + = 4 + Esimmäisstä htälöstä = => = Sijoitt ämä tois: = 4 + => 3 = 0 Krktristis htälö 3 = 0 juurt 3 j - => Sijoittmll : = C 3t + C -t = 3C 3t C -t = 3C 3t C -t (C 3t + C -t ) = C 3t C -t

6 Rtkisu o = C 3t + C -t = C 3t C -t 34 c) Mikä o rhmä rtkisu lkuhdoill (0) =, (0) = 6? C + C = C C = 6 => C =, C = - Alkurvothtävä rtkisu: = 3t -t = 4 3t + -t Vkiokrtoimis DY-rhmä rtkismi lissti: Sijoitt htälörhmää () rittt i = i t li vktori = t (3) j pritää määräämää vkiot j sit ttä htälöt = A totutuvt. Sd = t A = A t t = A t Jkmll t :llä sd omiisrvo-oglm A = (4) Tämä htälörhmä totuttvt vkiot ovt A: omiisrvoj j :t iitä vstvi omiisvktorit. Lus 5.. Jos vkiokrtoimis, homogis DY-rhmä () krroimtriisill A:ll o lirissti riippumtot omiisvktori (),, () liitt omiisrvoihi,, (jotk voivt oll kikki risuuri ti jotkut htäsuuri), s ktrtkisut ovt j li rtkisu () = () t,, () = () t (5) = C () t + + C () t (6) A:ll o lirissti riippumtot omiisvktori iki silloi, jos s o smmtri ( ij = ji ) ti viosmmtri ( ij = - ji ) ti ku s omiisrvo ovt risuuri.

7 35 Wroski dtrmitti: W = () () t t () () t t = t... t () () () () (7) Jos A:ll o kksikrti omiisrvo, jot vst vi ksi omiisvktori, sd toi lirissti riippumto rtkisu sijoituksll () = t t + u t Kolmikrti omiisrvo => kolms lirissti riippumto rtkisu sijoituksll (3) = t t + ut t + v t Esimrkki 5.. Rtkis rhmä = 4 + = +