Kun vuoden alussa varastossa oli 100 karaattia ja Antwerpenin ostot oheisen kuvan

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kun vuoden alussa varastossa oli 100 karaattia ja Antwerpenin ostot oheisen kuvan"

Transkriptio

1 Optimoitimeetelmät Kirjallisuutta: Rardi Roald R.: Optimizatio i Operatios Research, 998 Wisto Waye L.: Operatios Research. Applicatios ad Algorithms, 3rd editio, 994. Matemaattie mallius ja ogelmie ratkaisu Kaikille tuttua (?) o fysikaaliste ilmiöide matemaattie mallius Newtoi, Eisteii je. laeilla. Tällä kurssilla pyritää mallitamaa ihmiste suorittamie operaatioide suuittelua. Tällaisia ovat esimerkiksi työvuoroje suuittelu ja käytettävissä olevie varoje tuottava ivestoiti. Malli muodostaa tällöi ogelma oleelliste piirteide kuvaamisee tarvittavie muuttujie ja relaatioide joukko. Operaatioaalyysi (operatios research, maagemet sciece, Uterehmesforschug, issledowaie operacij) o kvatitatiiviste meetelmie systemaattista käyttöä eri orgaisaatioide toimiassa esiityvä päätökseteo avustamiseksi. Operaatioaalyysiä suoritettaessa muodostetaa ogelmalle matemaattie malli, jota aalysoimalla pyritää saamaa selvät toimitaohjeet päätöksetekoa varte. Aalysoiti tarkoittaa yleesä toimia jokilaista optimoitia. Erilaiste toimitavaihtoehtoje vertailu täytyy perustua yhteismitallisii suureisii, jotka kuvaavat orgaisaatio tulevaa meestystä. Tällaie kriteeri o usei raha (suuri tuotto tai pieimmät kustaukset), joskus myös aika (opei tapa tehdä jotaki). Todellise elämä ogelmat ovat aia valitettava moimutkaisia. Siksi ratkaisussa yleesä joudutaa käyttämää apua tietokoetta. Malli atama tulos o kuiteki vai päätösehdotus ja lopullise päätökse tekee ihmie käyttäe lisäksi apuaa kokemusta, ituitiota ja tervettä järkeä.. Sovellutuksista Operaatioaalyysi o osoittautuut hyödylliseksi erittäi moissa liike-elämä, teollisuude, julkishallio sekä puolustusvoimie päätökseteko-ogelmissa. Esimerkki. Tarkastellaa pietä timattitukkukauppaa pitävää Mortimer Middlemaia (MM). Useita kertoja vuodessa häe o käytävä Atwerpeissä täydetämässä varastojaa. Timatit maksavat siellä 700 $ karaatilta, ja miimiostokse timattipörssistä o oltava aia vähitää 00 karaattia. Timatit Mortimer myy kultasepille 200 $ voitolla karaatilta. Jokaie Atwerpei matka maksaa 2000 $ ja kestää viiko. Timattie viikottaie kysytä o ollut keskimääri 55 karaattia viikossa ja edellise vuode tilaetta viikottai esittää kuva Ku vuode alussa varastossa oli 00 karaattia ja Atwerpei ostot oheise kuva

2 2 mukaisia ii voidaa laskea viikottaiset varastotilateet. Oletetaa, että jos varastosta ei löydy tarpeeksi timatteja, ii ostaja ei jää odottamaa täydeyserä tuloa vaa ostaa timattisa joltaki kilpailijalta. Varastoidut timatit täytyy vakuuttaa ja iihi o sitoutuut pääomaa. MM o estimoiut, että varasto ylläpito maksaa 0.5% häe maksamastaa hiasta eli = 3.5 $ karaatilta viikossa, ja häestä tutuu että edellise vuode toteutueessa varastotilateessa häellä o varsiki loppuvuodesta ollut liia paljo tavaraa. Kuiteki eljää viikkoa o timatteja ollut liia vähä ja MM o meettäyt se takia seuraavat tilaukset ja tämä takia hä ei ole saaut iistä tarjolla olevaa 200 $ voittoa karaatilta. Ylläolevassa tilateessa ovat varastoitikustaukset $, meetetystä myyistä saamattomat voitot 3600 $ ja matkakustaukset $ eli yhteesä $. Voiko MM toimia järkevämmi?.2 Optimoiti ja operaatioaalyysi Operaatioaalyysissa pyritää mallitamaa edellise kohda esimerki kaltaisia päätökseteko-ogelmia ja koko prosessia voidaa esittää kaaviolla

3 3 ogelma mallius malli tarkkailu aalyysi toimeepao ehdotus johtopäätökset Esimmäisessä vaiheessa suoritetaa mallius, jossa määritellää muuttujat, parametrit ja vakiot sekä iide väliset relaatiot. Aalyysivaiheessa tutkitaa mallia ja pyritää selvittämää mitä johtopäätöksiä siitä saadaa. Nämä johdetaa siis mallista ja e voivat olla koviki huooja. Jos e äyttävät järkeviltä, voidaa e esittää päätöksetekijälle toimeepaoa varte. Mikäli ratkaisu ei toimi riittävä hyvi, täytyy palata alkuu ja parataa mallia. Mallia muodostettaessa o otettava siihe mukaa a) päätöksetekijä tekemät päätökset, b) päätöksiä rajoittavat ehdot, c) kriteerit joilla voidaa verrata eri päätöste paremmuutta. Edellise kohda esimerkissä MM o päätöksetekijä ja hä tekee jatkuvasti erilaisia päätöksiä, mutta tällaisissa varasto hallitatapauksissa yksikertaistaa usei tilaetta ja rajoitutaa kahtee päätöksee. Mikä o se varasto koko (reorder poit), joho saavuttaessa suoritetaa täydeys ja mikä o tällaise täydeyserä suuruus. Rajoitukset ovat yt yksikertaisia. Selvästikää ei kumpikaa päätös voi saada egatiivisia arvoja. Lisäksi täydeyserä koo täytyy olla vähitää 00. Päätöste vertailukriteeriä ovat selvästiki kokoaiskustaukset. Mortimeri tavoitteea o miimoida varasto ylläpito-, täydeys- ja meetety myyi kustauste summaa. Siis yritetää määrätä eiegatiiviset varasto ja tilauserä koot, jotka miimoivat kokoaiskustaukset. Lisäksi tilauserä o oltava vähitää 00. Optimoitimalleissa esitetää päätöksiä päätösmuuttujia ja etsitää arvoja, jotka miimoivat tai maksimoivat iide avulla muodostettuje kohdefuktioide arvoja ku pysytellää rajoituste sallimalla alueella. Timattiesimerkissä päätösmuuttujat ovat q: kullaki matkalla hakitu timattierä koko r: se varasto taso joka saavuttamie aiheuttaa lisätilaukse tarpee. Rajoitukset ovat q 00 r 0, mutta kohdefuktio c(q,r): kokoaiskustaukset käytettäessä päätösmuuttujia q ja r matemaattie muoto jää vielä avoimeksi Esimerkki. (dieettiogelma). O käytettävissä eri ruoka-aietta (: hahemaksa, 2:

4 4 osterit, 3: musta kaviaari, 4: VSOP-kojakki,, 2: ruisleipä, : suolasilakat, : rasvato piimä), joide yksikköhiat c j tuetaa. Tarkastellaa m eri ravietta (: c- vitamiii, 2; rauta,, m : eergiamäärä), joide päivittäiset tarpeet b i eri ikäisille, erilaista työtä tekeville ja eri sukupuolta oleville ihmisille tuetaa. Määrättävä mahdollisimma halpa päivittäie ruokavalio, ku tuetaa yhde ruoka-aieyksikö j sisältämä ravitee i määrä a ij. Päätösmuuttujiksi otetaa päivittäi ruoka-aietta j kulutettavat määrät x j,,,, jolloi ogelma matemaattiseksi malliksi saadaa lieaarie optimoititehtävä mi cx j j s.t. ax ij j bi,,, m xj 0,,, eli matriisimuodossa mi c T x s.t. Ax b x 0. Tässä s.t. o lyheys saoista subject to. Käytetää seuraavassa vektorista ja matriisista lihavoitua merkitää. Ideksoidaa yläideksillä itse vektoria ja alaideksillä se kompoettia. Kysymystä siitä, oko malli hyvä voidaa miettiä se jälkee, ku parametreille o kerätty datat ja tehtävä o ratkaistu. Sovellutuksea voidaa esittää vuode 995 syyskuu hitataso mukaie ratkaisu. Parametrie A ja b arvot o saatu Osmo Turpeise kirjasta Ruoka-aietaulukko, 992 ja hitatiedot c kerätty Kupittaa Citymarketista ja Alkosta. Parametriarvoia o käytetty arvoja =08, m=9, jolloi ratkaisuiksi o saatu Mies v. kevyt työ (opiskelija?) 3.64 mk/vrk kulutusmaito 3.0 dl audamaksa 5.0 g paprika 9.8 g porsaa muuaie 33.7 g vehäjauho 670 g Naie v. kevyt työ (opiskelija?) 2.9 mk/vrk kulutusmaito 3.3 dl audamaksa 5. g paprika 0.9 g porsaa muuaie 2.6 g vehäjauho 48 g. Kyseessä o operaatioaalyysi harjoitustyö Mari Alho, Meri Karvoseoja, Niia Koivisto ja Maarit Lehtoe. Tässä oli yksikertaie kohdefuktio, mutta palataa takaisi timattiesimerkkii. Jotta saataisii aikaa kohdefuktio siiheki, tehdää oletus, että timattie kysytä tapahtuu vakioopeudella 55 karaattia viikossa. Vaikka tämä ei todellisuudessa pidäkää tarkasti paikkaasa, ii sitä käyttämällä ogelma yksikertaistuu ja kuiteki saavutetut tulokset ovat usei hyviä. Varasto koo kuvaaja aja fuktioa o yt sahaterä muotoie. Saamme erilaiset tapaukset tilateissa, joissa meillä o varmuusvarastoa

5 5 ei ole varmuusvarastoa eikä meetettyä myytituottoa ja o meetettyä myytituottoa Vaikka varmuusvarasto o vakiokysytäopeude tapauksessa tarpeeto, se auttaa tilateissa, joissa kysytä oki keskimääräistä suurempi. Mikäli varasto täydeystaso saavuttamise ja täydeykse saapumise väliaikaa varasto loppuu keske, meetetää imittäi myytituottoa. Kahdessa esimmäisessä tapauksessa o yhde jakso (sahaterä) pituus q/55 viikkoa, mutta viimeisessä tapauksessa tähä tulee lisäksi suureista q ja r riippuva aika, jolloi varasto o tyhjä. Aalyysi olisi helpompi tapauksessa, jossa meetettyä myytiä ei olisi. Esimerkkitapauksessa voidaa lisätä tilauserää q yhdellä yksiköllä, jolloi saadaa aia yksi yksikkö eemmä myytyä (200 $), ja tämä peittäisi varastoitikustaukset 200/ viiko ajalta. Koska varastoa kuiteki o täydeetty aia 4-6 viiko välei, tehdää yksikertaistava lisäoletus: ei meetettyä myytituottoa. Koska viiko kestävä Atwerpei matka aikaa timatteja kysytää 55 karaattia, o

6 6 meidä siis vaadittava, että r 55. Muute meetettäisii 55 r karaattia joka jakso aikaa. Varmuusvarasto suuruus o yt r 55 ja se o piei varasto määrä. Suuri varasto koko o r 55 + q ja keskimääri siellä o r 55 + q/2 karaattia. Yhde jakso kokoaiskustaus o yt 35. q q r ja jakamalla se jakso pituudella q/55 saadaa keskimääräie kustaus viikossa q r q Optimoititehtävämme o siis mi 35. q r q s.t. q 00, r 55. Ratkaisu o sallittu (feasible) jos päätösmuuttujie saamat arvot toteuttavat kaikki rajoitukset. Optimaaliset ratkaisut ovat sellaisia sallittuja ratkaisuja, jotka tuottavat kohdefuktio (fuktioide) arvoille parhaat mahdolliset ratkaisut. Esimerkiksi edellä q = 200, r = 90 o sallittu ratkaisu. Helposti ähdää, että r* = 55 o optimaalie täydeystaso arvo. Ku se sijoitetaa kohdefuktioo, saadaa yhde muuttuja fuktio q cq ( ) = 35. +, 2 q joka o graafisesti esitettyä Derivoimalla saadaa optimaalie ratkaisu q* = joka toteuttaa myös rajoitukse q 00. Ku se sijoitetaa kohdefuktioo, saadaa kokoaiskustauksiksi $ viikossa eli $ vuodessa. Tämä o paljo pieempi kui yhde vuode toteutueet kokoaiskustaukset $..3 Herkkyysaalyysi, malli ratkeavus ja valiidisuus Timattiesimerkissä oletettii tuetuksi kysytäopeus, varastoitikustaus ja matkakustaus Atwerpeii. Tällaisia suureita, kutsumme parametreiksi. Jos iille

7 aetaa erilaiset arvot, saamme uude ratkaisu. Voimme esittää tilaetta kaavioa 7 systeemi raja parametrit päätösmuuttujat sisältävä malli ja se aalyysi tulokset Edellä suoritettu aalyysi voidaa suorittaa yleisestiki. Merkitää d: viikottaie kysytä (55 karaattia) f: varasto kiiteä täydeyskustaus (2000 $) h: varastoitikustaus karaatilta viikossa (3.5 $) s: meetetystä myyistä aiheutuva kustaus karaatilta (200 $) l: varastotäydeykse toimitusaika ( viikko) m: piei tilaus (00 karaattia) Silloi saadaa ratkaisuksi 2 fd q* = h r* = ld mikäli q* m ja q* ld. Ylläoleva optimaalise eräkoo (ecoomic order quatity, EOQ) kaava o esimmäisiä operaatioaalyysi sovellutuksia ja sitä o käytetty paljo. Joskus siitä o käytetty imeä Wilsoi kaava, vaikka se o kehittäyt Harris vuoa 95 ja tietysti Wilsoki, mutta vasta 98. Nyt ku meillä o käytettävissämme yleiset kaavat, voimme esimerkissä varioida parametrie arvoja, jotka ovat usei vaikeita määrätä luotettavasti. Jos Atwerpei matka maksaisiki 000 $ ii optimaalie eräkoko olisi q* = 77.3 ja kustauste ollessa 3000 $ taas q* =

8 8 Parametrie arvoje vaikutukse tutkimista matemaattise malli tuottamii tuloksii saotaa herkkyysaalyysiksi. Herkkyysaalyysi täytyisi aia liittää systeemie aalyysii. Edellie esimerkki o siitä harviaie, että ratkaisu saadaa suljetussa muodossa ja se helpottaa aalysoitia. Malli ratkeavuudella (tractability) ymmärretää sitä kuika hyvi sitä pystytää ratkaisemaa. Normaalisti emme kuitekaa saa ratkaisua suljetussa muodossa, vaa joudumme hakemaa umeerisia ratkaisuja jollaki algoritmilla. Aia ei kuitekaa mallia pystytä ratkaisemaa ollekaa. Malli valiidisuudella ymmärretää sitä astetta, jolla siitä saadut johtopäätökset pitävät paikkasa todelliselle systeemille. Yleesä operaatioaalyysissä täytyy tasapaioilla malli valiidisuude ja ratkeavuude välillä..4 Deskriptiiviset mallit ja simuloiti Simuloiissa jäljitellää (tavallisesti tietokoeessa) todellista systeemiä. Timattiesimerkissä voidaa tutkia jollai (r,q) pari arvolla systeemi käyttäytymistä viikottai käyttäe kohdassa. esitettyjä todellisia viikottaisia kysytöjä vuode ajalta. Joka viiko kohdalla täytyy. selvittää saapuuko MM Atwerpeistä mukaaa q karaati timattierä 2. tutkia, oko varasto koko q jolloi tarvitaa tavarahakitamatka 3. vähetää varastosta kyseise viiko kysytä Ku käytetää edellä saatuja optimiarvoja q* = 25 ja r* = 55 sekä varasto alkutilaa 00, saadaa seuraava simuloitihistoria, jossa m o kulloiki myyty määrä

9 9 viikko alku- kysytä myyti- varastoiti- täydeys- meetetty varasto määrä kustaus kustaus tuotto

10 0 Simuloitu 52 viiko kokoaiskustaus o 0862 $. Tätä voi verrata viime vuode kokoaiskustauksii $ ja EOQ malli tuottamaa arvoo $. Simuloiilla saadaa usei hyviä tuloksia ja ylläoleva laskelma olisi hyvä, mikäli jokaisea vuotea kysytä olisi tarkallee edellä esitety mukaie. Siiä o kuiteki käytettävä kiiteitä parametriarvoja (edellä q* = 25 ja r* = 55) ja tällaista meettelyä voidaa kutsua deskriptiiviseksi malliksi. Parametrie arvoje vaikutus lopputuloksee voidaa selvittää vai suorittamalla koko simuloitiprosessi uudellee..5 Numeerie haku, tarkat ja heuristiset ratkaisut Merkitää suureella c(q,r) simuloiilla saatua kokoaiskustausta ku siiä o käytetty arvoja q ja r. Optimoitiogelmaa o siis yt mi c(q,r) s.t. q 00, r 55. Numeerisessa haussa pyritää systemaattisella kokeilulla määräämää sallituissa rajoissa olevat ja mahdollisimmat hyvät arvot päätösmuuttujille. Tutuu järkevältä aloittaa jatkuvalla EOQ mallilla saamistamme arvoista. Kokeillaa esiksi 0 yksikö lisäyksiä r arvoihi, jolloi saadaa tulokset q 0 = 25 r 0 = 55 c(q 0,r 0 ) = 0862 q = 25 r = 65 c(q,r ) = 0842 q 2 = 25 r 2 = 75 c(q 2,r 2 ) = q 3 = 25 r 3 = 85 c(q 3,r 3 ) = q 4 = 25 r 4 = 95 c(q 4,r 4 ) = Kiiitetää sitte paras saaduista r=85 ja kokeillaa erilaisilla q arvoilla, jolloi q 5 = 26 r 5 = 85 c(q 5,r 5 ) = 9593 q 6 = 24 r 6 = 85 c(q 6,r 6 ) = 7278 mutta e eivät paraa tulosta. Saatu tulos parai oleellisesti, mutta se ei tarvitse olla optimaalie. Jos lähdetää liikkeelle pisteestä q 0 = 25, r 0 = 45, saadaa aalogisesti q 0 = 25 r 0 = 45 c(q 0,r 0 ) = q = 25 r = 55 c(q,r ) = q 2 = 25 r 2 = 35 c(q 2,r 2 ) = q 3 = 25 r 3 = 25 c(q 3,r 3 ) = q 4 = 26 r 4 = 35 c(q 4,r 4 ) = 5493 q 5 = 27 r 5 = 35 c(q 5,r 5 ) = Saatii edellisiä parempi tulos q = 26, r = 35 joka aiheuttaa kustaukset Tällaisella haulla saadut johtopäätökset pätevät varmasti vai tutkituissa pisteissä ja riippuvat siis kohdefuktio muodosta ja hakutiheydestä. Kuiteki äyttää ilmeiseltä, että EOQ malli tuottama eräkoko q = 25 o varsi luotettava. Tarkka optimiratkaisu o sallittu ratkaisu, joka o todistettavasti vähitää yhtä hyvä kui mikä tahasa sallittu ratkaisu. Heuristie eli likimääräie ratkaisu saadaa optimoitimeettelyllä, joka ei takaa tarkkaa optimaalisuutta. Olemme umeerisella haulla löytäeet timattiogelma heuristise optimi, mutta pitäisikö meidä määrätä tarkka optimi? Usei tarka ratkaisu vaatimat malli yksikertaistukset tuottavat huoompia ratkaisuja kui tarkemma malli ratkaisemie

11 heuristisesti. Heuristise ratkaisu huoo puoli o taas se, ettei meillä ole mikäälaista käsitystä siitä kuika paljo parempia ratkaisuja o mahdollisuus saavuttaa..6 Determiistiset ja stokastiset mallit Jos emme hyväksy oletusta siitä, että viikottaiset kysyät toistuvat joka vuosi idettisiä, joudumme turvautumaa satuaismuuttujii. Tuemme siis vai kysytöje jakautuma, joka yhtä realisaatiota o käytetty edellä. Yksikertaisuude vuoksi voidaa olettaa, että kysyät D t viikolla t ovat toisistaa riippumattomia ja idettisesti jakautueita. Tarkasteltaessa edelläolevaa dataa, saadaa kysyöille empiiriset frekvessit, jotka o esitetty oheisessa kuvassa yhteäisellä viivalla. Jakautumaa voidaa silloi käyttää katkoviivoilla esitettyä käyrää, jolloi kysyä tiheysfuktio saa arvo 0.02 välillä [40, 69) sekä arvo 0.02/3 väleillä [0, 40) ja [70, 99) Stokastisessa simuloiissa (jota yleesä kutsutaa lyhyesti simuloiiksi) geeroidaa kysyät käyttäe aettua jakautumaa. Yhdellä kertaa saadaa siis yksi realisoiti kysytöje muodostamalle satuaisvektorille. Jokaista tällaista kysytävektoria aalysoidaa kohda.4 mukaisesti. Ku suoritetaa tämä 200 kertaa käyttäe edellä saatuja parhaita päätöksiä q=26, r=35 ja ylläolevaa kysyä jakautumaa, saadaa satuaiste vuosittaiste kokoaiskustauste C(26, 35) keskiarvoksi $ ja empiiriseksi frekvessiksi Kustaukset vaihtelevat välillä $ $ ja tähä osuu aikaisemmi saamamme tulos 5493 $. Simuloitia käytetää paljo, koska se mahdollistaa moimutkaiste systeemie tutkimise. Kuiteki meillä o yt 200 ajolla vasta selvitetty kustauste käyttäytymie

12 2 yhdelle päätösmuuttujie arvoparille. Lisäksi tarvitaa statistisia meetelmiä saatuje tuloste luotettavuude arvioitii. Yleisesti o satuaismuuttujia sisältävie stokastiste mallie aalysoiti huomattavasti hakalampaa kui determiististe mallie ja erityisesti tämä pitää paikkasa optimoiissa. Se takia käytetää paljo determiistisiä malleja, joissa satuaiset suureet korvataa determiistisillä parametreilla, ja iilläki o usei saatu hyviä tuloksia. 2. Determiistiset optimoitimallit 2. Päätösmuuttujat, rajoitukset ja kohdefuktiot Esimerkki. Crude Petroleum yhtiö valmistaa öljyjalostamossaa saudiarabialaisesta ja veezuelalaisesta raakaöljystä besiiiä, letokoebesiiiä sekä voiteluöljyä. Jokaisesta saudiarabialaisesta raakaöljytyyristä saadaa 0.3 tyyriä besiiiä, 0.4 tyyriä letokoebesiiiä ja 0.2 tyyriä voiteluöljyä. Veezuelalaisesta öljystä puolestaa saadaa 0.4 tyyriä besiiiä, 0.2 tyyriä letokoebesiiiä ja 0.3 tyyriä voiteluöljyä. Saudiarabialaista öljyä o saatavissa 9000 tyyriä päivittäi 20 $ tyyrihitaa ja veezuelalaista öljyä 6000 tyyriä päivässä. Pieempie kuljetuskustauste takia veezuelalaie raakaöljy maksaa vai 5 $ tyyriltä. Yhtiö o tehyt jakelusopimuksia, joide mukaa se täytyy päivässä toimittaa 2000 tyyriä besiiiä, 500 tyyriä letokoebesiiiä ja 500 tyyriä voiteluöljyä. Mite tämä voidaa tehdä mahdollisimma kaattavasti? Malliukse esimmäiseä vaiheea täytyy määrätä päätösmuuttujat, joilla siis esitetää tehtäviä päätöksiä. Tässä yksikertaisessa esimerkissä o ilmeistä, että päätöksiä ovat kummastaki lähteestä peräisi olevie jalostettavie raakaöljyje määrät, ja määritellää x : saudiarabialaistä öljyä päivittäi jalostettava määrä tuhasia tyyreiä x 2 : veezuelalaista öljyä päivittäi jalostettava määrä tuhasia tyyreiä. Kustaki päätösmuuttujista täytyy aia selkeästi esittää se merkitys ja laatu. Päätösmuuttujie arvot ovat toistaiseksi tutemattomia ja o havaittu edulliseksi valita periteisee tapaa valita kirjaimia aakkosto loppupäästä. Muut formuloiissa tarvittavat suureet ovat parametreja, joilla tässä o aettu umeroarvot. Esiksi kaattaa miettiä luoolliset rajoitukset, jotka seuraavat päätösmuuttujie mielekkyydestä. Esimerki tapauksessa ei voida jalostaa egatiivista määrää, jote saamme ehdot x 0, x 2 0. Tällaiset ei-egatiivisuusrajoitukset ovat tavallisimmat, mutta joskus voi päätösmuuttuja saada vai kokoaislukuarvoja (kokoaislukumuuttuja) tai pelkästää arvoja 0 ja (biäärie muuttuja). O tärkeää ottaa luoolliset rajoitukset mukaa, sillä ratkaisualgoritmit eivät ymmärrä mitää ilmeisiä ehtoja vaa kaikki ehdot o puettava eksplisiittisee muotoo. Varsiaiset rajoitukset ovat muita ehtoja, jotka rajoittavat päätösmuuttujie valitaa. Jakeluu o saatava riittävä määrä tuotteita, jote o oltava 0.3x + 0.4x (besiii) 0.4x + 0.2x 2.5 (letokoebesiii) 0.2x + 0.3x (voiteluöljy).

13 3 Lisäksi raaka-aieide saatavuus o rajallie, jote x 9 x 2 6 (saudiöljy) (Veezuela öljy). Kohdefuktioita ovat e päätösmuuttujie fuktiot, joita optimoiissa pyritää maksimoimaa tai miimoimaa. Esimerkkitapauksessa tavoitteita o vai yksi ja pyrimme miimoimaa ostettava raakaöljy hia 20x + 5x 2, joka laatua o tuhat dollaria päivässä. Merkitää tätä tavoitetta mi 20x + 5x 2 ja saamme malliettua ogelma optimoititehtäväksi mi 20x + 5x 2 s.t. 0.3x + 0.4x x + 0.2x x + 0.3x x 9 x 2 6 x 0, x 2 0. (kokoaiskustaus) 2.2 Graafie ratkaisu Edelläkuvatu kaltaisia kaksidimesioisia ogelmia voidaa ratkaista graafisesti. Jokaie päätösmuuttujapari (x, x 2 ) pystytää esittämää graafisesti tasossa. Näi voidaa muodostaa sallittuje pisteide joukko, jossa kaikki rajoitukset toteutuvat. Esimerkkitapauksessa saadaa Kohdefuktio arvot c(x, x 2 ) = 20x + 5x 2 muodostavat yt 3-dimesioise avaruude taso, mutta voimme esittää sitä karta tavoi kaksiulotteisea piirtämällä se tasa-arvokäyriä 20x + 5x 2 = h tasolle. Tässä kiiostaa vai sallittuje pisteide joukko ja siiä saadaa

14 4 Kuvasta o helppo määrätä optimiratkaisut, jotka toteuttavat tavoitteet sallituista pisteistä parhaite. Siis optimipisteide täytyy sijaita sillä tasa-arvokäyrällä, joka saa pieimmä arvo sallitulla alueella. Esimerkissä piste x * = 2, x 2 * = 3.5 o tehtävä yksikäsitteie ratkaisu. Optimaalie kustaus o silloi 92.5 tuhatta dollaria päivässä. Harjoitustehtävä. Käytettävissä o 80 metriä aitaa ja sillä o aidattava mahdollisimma suuri suorakaiteemuotoie alue. Muodosta tehtävästä matemaattie optimoitimalli sekä ratkaise se graafisesti muodostamalla sallittuje pisteide joukko ja piirtämällä siihe tasa-arvokäyriä. Optimoitiogelma ratkaisu voi olla yksikäsitteie tai sillä voi olla useampia optimaalisia ratkaisuja. Edellisessä tapauksessa optimi tuottava tasa-arvokäyrä koskettaa sallittuje pisteide joukkoa vai yhdessä pisteessä. Jos se kulkee useamma kui yhde sallitu pistee kautta, ovat e kaikki optimaalisia. Kohdefuktio arvo o tieteki äissä kaikissa idettie. Harjoitustehtävä. Tutki graafisesti öljyjalostusesimerkkiä tapauksessa, jossa kohdefuktio o muuettu muotoo mi 20x + 0x 2 ja määrää tehtävä kaikki optimiratkaisut Mikäli mitkää päätösmuuttujie arvot eivät toteuta kaikkia rajoituksia eli sallittuje pisteide joukko o tyhjä, ei itse optimoititehtävällä voi olla ratkaisuja. Harjoitustehtävä. Tutki öljyjalostusesimerkkiä tapauksessa, jossa kumpaaki raakaöljylaatua o saatavissa 2000 tyyriä päivässä ja osoita, ettei tehtävällä ole silloi ratkaisua. Toie tilae, jossa optimoititehtävällä ei ole ratkaisua, o sellaie, jossa päätösmuuttuja sallitut arvot tuottavat mielivaltaise hyviä (rajoittamattomia) kohdefuktioide arvoja. Raakaöljyesimerkissä päädytää tähä mikäli Saudiarabia maksaa 2 dollaria jokaisesta tyyristä eikä rajoita millää tavoi ostettava raakaöljy määrää.

15 5 2.3 Realistiset optimoitimallit Käytäö ogelmissa saattaa olla jopa miljooia muuttujia ja satojatuhasia rajoituksia, jote graafie ratkaisu o käyttökelvoto. Esimerkki. Maissi tuottajalla o toimitaa l=20 paikassa ja se tuottaa m=25 laatua maissituotteita =30 alueelle. Sitä kiiostaa tuotato- ja kuljetuskustauste miimoimie. Piee miettimise jälkee havaittii, että seuraavie parametrie - kuki tuottee valmistuskustaus kussaki toimipaikassa (dollaria pussilta) - kuki toimipaika kapasiteetti (toeia) - kuhuki tuotepussii tarvittavie maissitoie lukumäärä - kuki tuottee tarve kullaki myytialueella pusseia - kuki tuottee kuljetuskustaus kultaki toimipaikalta kulleki myytialueelle arvot voidaa käsittää vakioiksi. Tehtävässä täytyy käyttää ideksoituja muuttujia ja kaattaa käyttää samasta asiasta aia samoja ideksejä. Valitaa toimipaikkoje ideksiksi i, tuotteide ideksiksi j ja myytialueide ideksiksi k. Päätöksiä ovat tuotatomäärät ja lähetettävät tavaramäärät. Valitaa siis päätösmuuttujiksi x ij : laitoksella i tuotetu tavara j määrä pusseia y ijk : laitokselta i myytialueelle k lähetetty tuottee j määrä pusseia jolloi iitä o yhteesä = 5500 kappaletta. Tehtävä parametreja ovat p ij : laitoksella i tuotetu tavara j tuotatokustaus pussilta u i : laitokse i tuotatokapasiteetti maissitoeia a j : tuottee j yhtee pussillisee tarvittava maissitoie määrä d jk : tuottee j tarve alueella k pusseia s ijk : kuljetuskustaus lähetettäessä pussi tuotetta j laitokselta i alueelle k. Ku oletetaa, että kustaukset ovat lieaarisia, saadaa optimoitimalliksi l m l m ij ij + ijk ijk k= m mi px s y s.t. ax u l k= y y j ij i ijk ijk d = x jk ij x ij 0,,,l;,,m (kokoaiskustaukset),,,l (kapasiteetti),,,m; k=,, (kysyät),,,l;,,m (tasapaioehto) y ijk 0,,,l;,,m; k=,, Tehtävässä o 20 kapasiteetti-, 750 kysytä-, 500 tasapaio- ja 5500 eiegatiivisuusrajoitusta. 2.4 Lieaariset ja epälieaariset optimoititehtävät Edelliset esimerkit ovat lieaarisia optimoititehtäviä (liear programmig). Niille o voimassa

16 6 ) verraollisuus ts. kuki päätösmuuttuja vaikutus kohdefuktioo ja rajoituksii o suoraa verraollie se arvoo, 2) additiivisuus ts. kuki päätösmuuttuja vaikutus kohdefuktioo ja rajoituksii o riippumato muide päätösmuuttujie arvoista, 3) jaollisuus ts. kuki päätösmuuttuja o jatkuva eli se voi saada mielivaltaisia reaalilukuarvoja, 4) determiistisyys ts. tehtävä parametrit ovat vakioita eikä satuaismuuttujia 5) tavoitteita o vai yksi. Ehdot ) ja 2) takaavat malli malli lieaarisuude. Mikäli ehto 3) ei ole voimassa, o kysymys diskreetistä optimoiista (katso kohta 2.5 ja luvut ja 2), joka ratkaisuja voidaa approksimoida pyöristämällä vastaava lieaarise optimoititehtävä ratkaisu kokoaisluvuiksi. Mikäli ehto 4) ei ole voimassa, o kyseessä stokastie optimoiti. Mikäli tavoitteita o useampia, puhutaa moitavoiteoptimoiista. Yleie epälieaarie optimoititehtävä voidaa kirjoittaa muodossa max f( x,, ) mi x s.t. gi( x,, x) = bi,,,m jossa f ja g i ovat päätösmuuttujie x i aettuja fuktioita ja b i aettuja parametreja. Fuktioista f ja g i vähitää yhde tulee olla epälieaarie ja jaollisuusoletukse 3) tulee olla voimassa. Teoreettisissa tarkasteluissa oletetaa tavallisesti, että rajoituksissa siirretää muuttujista riippuvat termit epäyhtälö vasemmalle puolelle ja vakiotermi oikealle puolelle. Esimerkki. Tarkastellaa E-mart kauppaketju maioskustauste budjetoitia. Ketju myy m=2 eri tuoteryhmää (vaatteet, lelut, makeiset, CD-levyt je) ja maioskampajoita o =5 tyyppiä (vaatteide myytiluettelo, vaatemaios lehdessä, lelumaios televisiossa je).tarkoituksea o optimoida rajoitettu maiostusbudjetti. Oletetaa tuetuksi b: maiostusbudjeti suuruus p i : tuoteryhmä i lisämyyistä saatava yksikkötuotto,,,m s ij : parametri, joka kertoo kampajaa j käytety rahamäärä vaikutukse tuoteryhmä i myyi lisäyksee. Päätösmuuttuja olkoo x j : kampajaa j käytetty rahamäärä. Nyt ei tuu järkevältä olettaa lieaarista mallia, jossa maiostukse aiheuttama myyi lisäys olisi verraollisuusoletukse mukaista muotoa s ij x j. O melko selvää, että realistisessa mallissa lisäys pieeee koko aja satsaukse x j kasvaessa. Siis jokaie lisäeuro tuottaa aia joki verra vähemmä kui edellie, ts rajatuotto pieeee. Hyvi yksikertaie lauseke, joka toteuttaa tällaise vaatimukse o s ij log(x j + ). Silloi saadaa epälieaarie optimoititehtävä

17 7 m max pi sijlog( xj+ ) s.t. x b j x j 0,,,. (lisätuotto) (budjettirajoitus) 2.5 Diskreetit optimoititehtävät Diskreetit päätösmuuttujat saavat arvoja umeroituvista joukoista. Tavallisimmi o kyseessä jompikumpi joukoista {0,, 2, 3, } ja {0, }. Edellisessä tapauksessa o kyseessä yleie kokoaislukumuuttuja ja jälkimmäisessä biäärie päätösmuuttuja. Jos kaikki päätösmuuttujat ovat samatyyppisiä, meillä o kokoaislukuoptimoiti- tai biäärioptimoititehtävä. Usei o osa päätösmuuttujista jatkuvia ja osa diskreettejä, jolloi o kyseessä lieaarie tai epälieaarie sekaoptimoititehtävä (mixed-iteger programmig). Esimerkki. Betlehem Steel Co valaa terästä muoteissa erikokoisiksi aihioiksi (igot) jotka tuotao myöhemmissä vaiheissa kuumeetaa ja iistä valmistetaa valssaamalla levyjä, puristamalla putkia je. Valmistettavia tuotteita o =30 erilaista ja kuki aihiolaji sopii eemmä tai vähemmä hyvi kuhuki tuotteesee. Mahdollisia aihiotyyppejä o ehdotettu m=600 kappaletta, mutta ii mota ei kaata valmistaa, vaa o päätetty tyytyä p=6 erilaisee tyyppii. Pyritää miimoimaa käyttämättä jäävä materiaalimäärä. Kaikista aihiolaaduista ei saada millää kaikkia tuotteita, ja merkitää I j : iide aihioide i joukko, joista pystytää tekemää tuotetta j c ij : hukka-aiee määrä valmistettaessa aihiosta i tuotetta j. Kuki aihiotyypi kohdalla täytyy tehdä päätös otetaako se käyttöö vai ei. Näitä valitoja o luoollista kuvata biäärisillä arvoilla 0 ja. Useimmite valitaa arvoa kuvaamaa se vaihtoehto, jossa tapahtuu jotaki eli tässä tapauksessa se että aihio otetaa käyttöö. Siis päätösmuuttuja olkoo, jos aihio i valitaa y i = 0, muute Tämä ei vielä riitä, vaa tarvitaa vielä i j xij =, jos aihiosta tehdää tuote 0, muute O huomattava, että äi määritellyt päätösmuuttujat y i ja x ij eivät ole riippumattomia sillä x ij voi saada arvo vai mikäli y i =. Saamme siis lieaarise biäärise optimoititehtävä mi m iij cx ij ij s.t. y p i x ij = ii j,,, x ij y i,,,; i I j y i {} 0,,,,m x ij {} 0,,,,; ii j (hukkamateriaali) (valitaa korkeitaa p) (tuotteelle j yksi aihio) (vai valituille aihioille)

18 8 Yleisesti mikäli päätösmuuttujie optimiarvot ovat se verra suuria, ettei murto-osilla ole käytäö merkitystä, kaattaa käyttää jatkuvia päätösmuuttujia (pussie lukumäärä maissiesimerkissä), vaikka e luoteeltaa olisivatki kokoaislukuja. Kokoaislukuoptimoititehtävä ratkaisemie o imittäi oleellisesti vaikeampaa. Esimerkki 2. Purdue yliopistossa o m=2000 kurssia ja tettikautea täytyisi orgaisoida iide suorittamie =30 tettitilaisuudessa ii, että mahdollisimma harvalla opiskelijalla olisi kuutelemasa kurssi tetit samaaikaisesti. Jotta pystyisimme formuloimaa tehtävä, täytyy tietää e ik : sekä kurssi i että k kuutelevie opiskelijoide määrä, i < k m. Päätösmuuttujaksi o yt luoollista valita, jos kurssi itetitää tilaisuudessa j,,, m;,, xij = 0, muute Silloi kurssie i ja k tetti osuu yhtäaikaa e x x ik ij kj opiskelijalle ja saamme siis kvadraattise biäärise optimoititehtävä m m mi e x x s.t. k=+ i x ij = ik ij kj (päällekkäisyyksie luku),,,m (kurssille i yksi tetti) x ij {} Moitavoiteoptimoiti,,,,m;,,. Edelläkuvatu kaltaiset ogelmat, joissa päätöksetekokriteerejä o vai yksi, toimivat hyvi moissa liike-elämä ogelmissa, joissa maksimoidaa voittoa tai miimoidaa kustauksia. Usei esiityy kuiteki päätöksetekoa, missä keskeää ristiriitaisia kriteerejä o useita. Esimerkki. Kutie maakäytö suuittelu o tyypillie tilae, jossa o vaikea tulla toimee yhdellä päätöksetekokriteerillä. Tarkastellaa esimerkiksi erää Chicago esikaupukialuee kaavoitusta. Siellä o =47 aluetta, joita voidaa käyttää seuraavii m=7 tarkoituksii i maakäytö laji yhde perhee talot 2 useamma perhee talot 3 myymälät 4 toimistot 5 tuotatolaitokset 6 koulut ja virastot 7 puistot Kriteerejä mietittäessä päädyttii seuraavaa viitee.. Yhteesopivuus: kuika hyvi suuiteltu kaava sopii aluee ja se lähiympäristö ykyisee käyttöö.

19 9 2. Liikee: aika joka kuluu kaava aiheuttamii matkoihi alueelle ja alueelta. 3. Verovaikutus: lisäätyeide kualliste palveluje kuluje suhde lisäätyeesee verotuottoo. 4. Ympäristövaikutukset: kaavoituksesta aiheutuva ympäristö huooemie 5. Kualliset laitokset: uusie asukkaide tarvitsemie kouluje, päiväkotie ym kualliste palveluje sekä kuallistekiika rakeuskustaukset. Ku merkitää tehtävä parametreja symboleilla c ij : yhteesopivuuskerroi käytettäessä eekkeri tarkoituksee i alueella j t ij : lisäätyyt matkustusaika käytettäessä eekkeri tarkoituksee i alueella j r ij : yhteiskua vuosimeot käytettäessä eekkeri tarkoituksee i alueella j e ij : ympäristö huooemie käytettäessä eekkeri tarkoituksee i alueella j f ij : kua pääomakustaukset käytettäessä eekkeri tarkoituksee i alueella j ja päätösmuuttujia x ij : tarkoituksee i alueella j käytettyje eekkerie lukumäärä, saadaa tavoitteet max mi mi mi mi m m cx ij ij tx ij ij m rx ij ij m m ex ij ij fx ij ij. Otetaa käyttöö lisäparametrit, b j : tehottomasti käytettyje eekkereide määrä alueella j l i : tarkoituksee i vähitää kaavoitettavie eekkereide määrä u i : tarkoituksee i eitää kaavoitettavie eekkereide määrä o j : kallioide, vesijättöje ym. käyttökelvottomie eekkereide määrä alueella j ja huomioidaa, että asuot vaativat välttämättä samalle alueelle ostoskeskuksia, puistoja, kouluja sekä päiväkoteja. Näitä vaatimuksia voidaa esittää parametreilla s i : yhde perhee asuoksi varatu eekkeri implikoima tarve tarkoituksee i d i : usea perhee asuoksi varatu eekkeri implikoima tarve tarkoituksee i. Lopulta saadaa moitavoiteoptimoititehtävä

20 20 max mi mi mi mi m m cx ij ij tx ij ij m rx ij ij m m m ex ij ij fx ij ij s.t. x = b x x ij ij ij l i i j (yhteesopivuus) (liikee) (verot) (ympäristö) (kualliset palvelut),,, (maakäyttö),,,m (piei käyttömäärä) u,,,m (suuri käyttömäärä) x7 j oj,,, (käyttökelvoto maa) xij sx i j + dix2 j, 3,6,7;,, (aiheutetut tarpeet) x ij 0,,,m;,, (ei-egatiivisuus). Tällaisessa ogelmassa tavoitteet ovat yleesä ristiriitaiset, eikä optimaalisuude määrittely ole ii yksikertaista kui tapauksessa, jossa päätösmuuttujia o vai yksi. Samate tehtävä ratkaisu vaikeutuu. Harjoitus. Muodosta graafisesti tehtävä max 3z + z 2 mi z z 2 s.t. z + z 2 3 z 0, z 2 0 optimi kummaki kriteeri suhtee eriksee. Mite määriteltäisii koko tehtävä optimaalisuus? 3. Paratava haku 3. Lokaaliset ja globaaliset optimit Yleesä emme saa optimiratkaisua suljetussa muodossa, vaa meidä o jollai optimoitialgoritmilla etsittävä ykyistä ratkaisuehdokasta parempi piste, josta sitte jatketaa samalla tavoi kues olemme tyytyväisiä saamaamme ratkaisuu. Yllä termi ratkaisu merkitsee vektoria, jossa kuki päätösmuuttuja o saaut kiiitety lukuarvo. Tällaise ratkaisu ei tarvitse olla optimaalie eikä välttämättä edes sallittu. Merkitää lähtöratkaisua x 0, seuraavaa ratkaisua x je. Esimerkki. Tarkastellaa 3 kaupukia palveleva hypermarketi optimaalista sijoittamista. Kaupukie keskipisteet ovat (, 3), (, 3) ja (0, 4) sekä asukasluvut 60000, ja Oletetaa, että hypermarket voidaa sijoittaa muute vapaasti, mutta se tulee olla vähitää 0.5 yksikö päässä kuki kaupugi keskustasta. Kokemus o

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

4.3 Signaalin autokorrelaatio

4.3 Signaalin autokorrelaatio 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

Parametrien oppiminen

Parametrien oppiminen 38 Parametrie oppimie Tilastollise malli (Bayes-verkko rakee o kiiitetty, se umeeriste parametrie (ehdolliste todeäköisyyksie arvot pyritää määräämää Oletamme havaitoe oleva täydellisiä; s.o., okaise datapistee

Lisätiedot

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen Matematiika ja systeemiaalyysi laitos B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Harjoitus 5 ( )

Harjoitus 5 ( ) Harjoitus 5 (14.4.2015) Tehtävä 1 Figure 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat

Lisätiedot

3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut

3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut MAB5: Tuusluvut 3.2 Sijaitiluvut Sijaitiluvut ovat imesä mukaiset: e etsivät muuttuja tyypillise arvo, jos sellaie o olemassa, tai aiaki luvu, joka lähellä muuttuja arvoja o eite. Sijaitiluvut jaetaa kahtee

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

Kimppu-suodatus-menetelmä

Kimppu-suodatus-menetelmä Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x

Lisätiedot

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla. Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN

HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN S-08-0 OPTIIKKA /6 HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN Laboratoriotyö S-08-0 OPTIIKKA /6 Sisällysluettelo Teoria... 3 Työ suoritus... 4. Kokoaisheijastus... 4. Brewsteri kulma... 5 3 Mittauspöytäkirja... 6 S-08-0

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Rekursioyhtälön ratkaisu ja anisogamia

Rekursioyhtälön ratkaisu ja anisogamia Rekursioyhtälö ratkaisu ja aisogamia Eeva Vilkkumaa.0.2008 Rekursioyhtälö ratkaisu (Liite I) Edellie esitelmä: +/m -koiraide (p) ja -aaraide (P) osuus populaatiossa kehittyy rekursiivisesti: p P + + a

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:

Lisätiedot

Laaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005

Laaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005 7303045 Laaja matematiikka Kertaustehtäviä Viikko 7/ 005 Tehtävät ovat Laaja matematiikka : ja : alueelta olevia etisiä välikoe- ja tettitehtäviä. Alkupää tehtävät liittyvät yleesä kurssii ja loppupää

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot

Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot Digitaalie sigaalikäsittely Sigaalit, joot Teemu Saarelaie, teemu.saarelaie@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Sigal Processig: A Practical Approach H.Huttue, Sigaalikäsittely meetelmät, Opitomoiste,

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 kevät 2017 Talousmatematiika perusteet, ORMS1030 Opettaja: Matti Laaksoe A1. välikoe torstaia 16.2.2017 A Ratkaise 3 tehtävää. Kokeessa saa olla mukaa laski ja taulukkokirja (MAOL tai vastaava). Ku teet

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu 111A Tietoraketeet ja algoritmit, 016-017, Harjoitus, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje kompleksisuusluokat

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

Kombinatoriikka. Iiro Honkala 2015

Kombinatoriikka. Iiro Honkala 2015 Kombiatoriikka Iiro Hokala 2015 Sisällysluettelo 1. Haoi torit 1 2. Lokeroperiaate 3 3. Tuloperiaate 3 4. Permutaatioista ja kombiaatioista 4 5. Toistokombiaatioista 5 6. Biomikertoimista 5 7. Multiomikertoimista

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14) Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

LP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo

LP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo LP-mallit, L19 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut 91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio, Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1 Kertausta Luku o viimeistä pkälää (iduktio) lukuu ottamatta kertausta koulukurssi asioista (tai asioista joide pitäisi kuulua koulukurssii) Tämä luku kädää siksi lueoilla läpi opeasti Jos asiat eivät ole

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1 BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit II Algoritmien analyysi

811312A Tietorakenteet ja algoritmit II Algoritmien analyysi 811312A Tietoraketeet ja algoritmit 2016-2017 II Algoritmie aalyysi Sisältö 1. Algoritmie oikeellisuus 2. Algoritmie suorituskyvy aalyysi 3. Master Theorem 811312A TRA, Algoritmie aalyysi 2 II.1. Algoritmie

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Ehdollinen todennäköisyys

Ehdollinen todennäköisyys Ehdollie todeäköisyys Kerrataa muutama todeäköisyyslaskea laskusäätö. Tapahtuma E komplemettitapahtuma E o "E ei tapahdu". Koska todeäköisyyksie summa o 1, P ( E = 1 P (E. Joskus o helpompi laskea komplemettitapahtuma

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise

Lisätiedot

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C = BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B

Lisätiedot

Pienimmän Neliösumman menetelmä (PNS)

Pienimmän Neliösumman menetelmä (PNS) neliösumman Perusongelman kuvaus 1 Tarkastellaan neljää pitkää aikasarjaa q 1 = (q 11,q 21,...,q 10,1 ) T, q 2 = (q 12,q 22,...,q 10,2 ) T, q 3 = (q 13,q 23,...,q 10,3 ) T, ja p 1 = (p 11,p 21,...,p 10,1

Lisätiedot

Bloom-filtterit. Juho Mäkinen jvmakine(at)cs.hut.fi

Bloom-filtterit. Juho Mäkinen jvmakine(at)cs.hut.fi Bloom-filtterit Juho Mäkie jvmakie(at)cs.hut.fi Semiaariesitelmä 9.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Bloom-filtteri o probabilistie tietorakee, joho

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9. Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Y ja

Y ja 1 Funktiot ja raja-arvot Y100 27.10.2008 ja 29.10.2008 Aki Hagelin aki.hagelin@helsinki.fi Department of Psychology / Cognitive Science University of Helsinki 2 Funktiot (Lue Häsä & Kortesharju sivut 4-9)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 04 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 6. harjoitus, viikko 0 3. 7.3.04 R ma 0 D5 R5 ti 4 6 C09 R ma 4 6 D5 R6 to 4 C09 R3 ti 08 0 D5 R7 pe 08 0 D5 R4 ti 4 C09 R8 pe 0 D5. Laske

Lisätiedot

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5)

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie

Lisätiedot