Kun vuoden alussa varastossa oli 100 karaattia ja Antwerpenin ostot oheisen kuvan

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kun vuoden alussa varastossa oli 100 karaattia ja Antwerpenin ostot oheisen kuvan"

Transkriptio

1 Optimoitimeetelmät Kirjallisuutta: Rardi Roald R.: Optimizatio i Operatios Research, 998 Wisto Waye L.: Operatios Research. Applicatios ad Algorithms, 3rd editio, 994. Matemaattie mallius ja ogelmie ratkaisu Kaikille tuttua (?) o fysikaaliste ilmiöide matemaattie mallius Newtoi, Eisteii je. laeilla. Tällä kurssilla pyritää mallitamaa ihmiste suorittamie operaatioide suuittelua. Tällaisia ovat esimerkiksi työvuoroje suuittelu ja käytettävissä olevie varoje tuottava ivestoiti. Malli muodostaa tällöi ogelma oleelliste piirteide kuvaamisee tarvittavie muuttujie ja relaatioide joukko. Operaatioaalyysi (operatios research, maagemet sciece, Uterehmesforschug, issledowaie operacij) o kvatitatiiviste meetelmie systemaattista käyttöä eri orgaisaatioide toimiassa esiityvä päätökseteo avustamiseksi. Operaatioaalyysiä suoritettaessa muodostetaa ogelmalle matemaattie malli, jota aalysoimalla pyritää saamaa selvät toimitaohjeet päätöksetekoa varte. Aalysoiti tarkoittaa yleesä toimia jokilaista optimoitia. Erilaiste toimitavaihtoehtoje vertailu täytyy perustua yhteismitallisii suureisii, jotka kuvaavat orgaisaatio tulevaa meestystä. Tällaie kriteeri o usei raha (suuri tuotto tai pieimmät kustaukset), joskus myös aika (opei tapa tehdä jotaki). Todellise elämä ogelmat ovat aia valitettava moimutkaisia. Siksi ratkaisussa yleesä joudutaa käyttämää apua tietokoetta. Malli atama tulos o kuiteki vai päätösehdotus ja lopullise päätökse tekee ihmie käyttäe lisäksi apuaa kokemusta, ituitiota ja tervettä järkeä.. Sovellutuksista Operaatioaalyysi o osoittautuut hyödylliseksi erittäi moissa liike-elämä, teollisuude, julkishallio sekä puolustusvoimie päätökseteko-ogelmissa. Esimerkki. Tarkastellaa pietä timattitukkukauppaa pitävää Mortimer Middlemaia (MM). Useita kertoja vuodessa häe o käytävä Atwerpeissä täydetämässä varastojaa. Timatit maksavat siellä 700 $ karaatilta, ja miimiostokse timattipörssistä o oltava aia vähitää 00 karaattia. Timatit Mortimer myy kultasepille 200 $ voitolla karaatilta. Jokaie Atwerpei matka maksaa 2000 $ ja kestää viiko. Timattie viikottaie kysytä o ollut keskimääri 55 karaattia viikossa ja edellise vuode tilaetta viikottai esittää kuva Ku vuode alussa varastossa oli 00 karaattia ja Atwerpei ostot oheise kuva

2 2 mukaisia ii voidaa laskea viikottaiset varastotilateet. Oletetaa, että jos varastosta ei löydy tarpeeksi timatteja, ii ostaja ei jää odottamaa täydeyserä tuloa vaa ostaa timattisa joltaki kilpailijalta. Varastoidut timatit täytyy vakuuttaa ja iihi o sitoutuut pääomaa. MM o estimoiut, että varasto ylläpito maksaa 0.5% häe maksamastaa hiasta eli = 3.5 $ karaatilta viikossa, ja häestä tutuu että edellise vuode toteutueessa varastotilateessa häellä o varsiki loppuvuodesta ollut liia paljo tavaraa. Kuiteki eljää viikkoa o timatteja ollut liia vähä ja MM o meettäyt se takia seuraavat tilaukset ja tämä takia hä ei ole saaut iistä tarjolla olevaa 200 $ voittoa karaatilta. Ylläolevassa tilateessa ovat varastoitikustaukset $, meetetystä myyistä saamattomat voitot 3600 $ ja matkakustaukset $ eli yhteesä $. Voiko MM toimia järkevämmi?.2 Optimoiti ja operaatioaalyysi Operaatioaalyysissa pyritää mallitamaa edellise kohda esimerki kaltaisia päätökseteko-ogelmia ja koko prosessia voidaa esittää kaaviolla

3 3 ogelma mallius malli tarkkailu aalyysi toimeepao ehdotus johtopäätökset Esimmäisessä vaiheessa suoritetaa mallius, jossa määritellää muuttujat, parametrit ja vakiot sekä iide väliset relaatiot. Aalyysivaiheessa tutkitaa mallia ja pyritää selvittämää mitä johtopäätöksiä siitä saadaa. Nämä johdetaa siis mallista ja e voivat olla koviki huooja. Jos e äyttävät järkeviltä, voidaa e esittää päätöksetekijälle toimeepaoa varte. Mikäli ratkaisu ei toimi riittävä hyvi, täytyy palata alkuu ja parataa mallia. Mallia muodostettaessa o otettava siihe mukaa a) päätöksetekijä tekemät päätökset, b) päätöksiä rajoittavat ehdot, c) kriteerit joilla voidaa verrata eri päätöste paremmuutta. Edellise kohda esimerkissä MM o päätöksetekijä ja hä tekee jatkuvasti erilaisia päätöksiä, mutta tällaisissa varasto hallitatapauksissa yksikertaistaa usei tilaetta ja rajoitutaa kahtee päätöksee. Mikä o se varasto koko (reorder poit), joho saavuttaessa suoritetaa täydeys ja mikä o tällaise täydeyserä suuruus. Rajoitukset ovat yt yksikertaisia. Selvästikää ei kumpikaa päätös voi saada egatiivisia arvoja. Lisäksi täydeyserä koo täytyy olla vähitää 00. Päätöste vertailukriteeriä ovat selvästiki kokoaiskustaukset. Mortimeri tavoitteea o miimoida varasto ylläpito-, täydeys- ja meetety myyi kustauste summaa. Siis yritetää määrätä eiegatiiviset varasto ja tilauserä koot, jotka miimoivat kokoaiskustaukset. Lisäksi tilauserä o oltava vähitää 00. Optimoitimalleissa esitetää päätöksiä päätösmuuttujia ja etsitää arvoja, jotka miimoivat tai maksimoivat iide avulla muodostettuje kohdefuktioide arvoja ku pysytellää rajoituste sallimalla alueella. Timattiesimerkissä päätösmuuttujat ovat q: kullaki matkalla hakitu timattierä koko r: se varasto taso joka saavuttamie aiheuttaa lisätilaukse tarpee. Rajoitukset ovat q 00 r 0, mutta kohdefuktio c(q,r): kokoaiskustaukset käytettäessä päätösmuuttujia q ja r matemaattie muoto jää vielä avoimeksi Esimerkki. (dieettiogelma). O käytettävissä eri ruoka-aietta (: hahemaksa, 2:

4 4 osterit, 3: musta kaviaari, 4: VSOP-kojakki,, 2: ruisleipä, : suolasilakat, : rasvato piimä), joide yksikköhiat c j tuetaa. Tarkastellaa m eri ravietta (: c- vitamiii, 2; rauta,, m : eergiamäärä), joide päivittäiset tarpeet b i eri ikäisille, erilaista työtä tekeville ja eri sukupuolta oleville ihmisille tuetaa. Määrättävä mahdollisimma halpa päivittäie ruokavalio, ku tuetaa yhde ruoka-aieyksikö j sisältämä ravitee i määrä a ij. Päätösmuuttujiksi otetaa päivittäi ruoka-aietta j kulutettavat määrät x j,,,, jolloi ogelma matemaattiseksi malliksi saadaa lieaarie optimoititehtävä mi cx j j s.t. ax ij j bi,,, m xj 0,,, eli matriisimuodossa mi c T x s.t. Ax b x 0. Tässä s.t. o lyheys saoista subject to. Käytetää seuraavassa vektorista ja matriisista lihavoitua merkitää. Ideksoidaa yläideksillä itse vektoria ja alaideksillä se kompoettia. Kysymystä siitä, oko malli hyvä voidaa miettiä se jälkee, ku parametreille o kerätty datat ja tehtävä o ratkaistu. Sovellutuksea voidaa esittää vuode 995 syyskuu hitataso mukaie ratkaisu. Parametrie A ja b arvot o saatu Osmo Turpeise kirjasta Ruoka-aietaulukko, 992 ja hitatiedot c kerätty Kupittaa Citymarketista ja Alkosta. Parametriarvoia o käytetty arvoja =08, m=9, jolloi ratkaisuiksi o saatu Mies v. kevyt työ (opiskelija?) 3.64 mk/vrk kulutusmaito 3.0 dl audamaksa 5.0 g paprika 9.8 g porsaa muuaie 33.7 g vehäjauho 670 g Naie v. kevyt työ (opiskelija?) 2.9 mk/vrk kulutusmaito 3.3 dl audamaksa 5. g paprika 0.9 g porsaa muuaie 2.6 g vehäjauho 48 g. Kyseessä o operaatioaalyysi harjoitustyö Mari Alho, Meri Karvoseoja, Niia Koivisto ja Maarit Lehtoe. Tässä oli yksikertaie kohdefuktio, mutta palataa takaisi timattiesimerkkii. Jotta saataisii aikaa kohdefuktio siiheki, tehdää oletus, että timattie kysytä tapahtuu vakioopeudella 55 karaattia viikossa. Vaikka tämä ei todellisuudessa pidäkää tarkasti paikkaasa, ii sitä käyttämällä ogelma yksikertaistuu ja kuiteki saavutetut tulokset ovat usei hyviä. Varasto koo kuvaaja aja fuktioa o yt sahaterä muotoie. Saamme erilaiset tapaukset tilateissa, joissa meillä o varmuusvarastoa

5 5 ei ole varmuusvarastoa eikä meetettyä myytituottoa ja o meetettyä myytituottoa Vaikka varmuusvarasto o vakiokysytäopeude tapauksessa tarpeeto, se auttaa tilateissa, joissa kysytä oki keskimääräistä suurempi. Mikäli varasto täydeystaso saavuttamise ja täydeykse saapumise väliaikaa varasto loppuu keske, meetetää imittäi myytituottoa. Kahdessa esimmäisessä tapauksessa o yhde jakso (sahaterä) pituus q/55 viikkoa, mutta viimeisessä tapauksessa tähä tulee lisäksi suureista q ja r riippuva aika, jolloi varasto o tyhjä. Aalyysi olisi helpompi tapauksessa, jossa meetettyä myytiä ei olisi. Esimerkkitapauksessa voidaa lisätä tilauserää q yhdellä yksiköllä, jolloi saadaa aia yksi yksikkö eemmä myytyä (200 $), ja tämä peittäisi varastoitikustaukset 200/ viiko ajalta. Koska varastoa kuiteki o täydeetty aia 4-6 viiko välei, tehdää yksikertaistava lisäoletus: ei meetettyä myytituottoa. Koska viiko kestävä Atwerpei matka aikaa timatteja kysytää 55 karaattia, o

6 6 meidä siis vaadittava, että r 55. Muute meetettäisii 55 r karaattia joka jakso aikaa. Varmuusvarasto suuruus o yt r 55 ja se o piei varasto määrä. Suuri varasto koko o r 55 + q ja keskimääri siellä o r 55 + q/2 karaattia. Yhde jakso kokoaiskustaus o yt 35. q q r ja jakamalla se jakso pituudella q/55 saadaa keskimääräie kustaus viikossa q r q Optimoititehtävämme o siis mi 35. q r q s.t. q 00, r 55. Ratkaisu o sallittu (feasible) jos päätösmuuttujie saamat arvot toteuttavat kaikki rajoitukset. Optimaaliset ratkaisut ovat sellaisia sallittuja ratkaisuja, jotka tuottavat kohdefuktio (fuktioide) arvoille parhaat mahdolliset ratkaisut. Esimerkiksi edellä q = 200, r = 90 o sallittu ratkaisu. Helposti ähdää, että r* = 55 o optimaalie täydeystaso arvo. Ku se sijoitetaa kohdefuktioo, saadaa yhde muuttuja fuktio q cq ( ) = 35. +, 2 q joka o graafisesti esitettyä Derivoimalla saadaa optimaalie ratkaisu q* = joka toteuttaa myös rajoitukse q 00. Ku se sijoitetaa kohdefuktioo, saadaa kokoaiskustauksiksi $ viikossa eli $ vuodessa. Tämä o paljo pieempi kui yhde vuode toteutueet kokoaiskustaukset $..3 Herkkyysaalyysi, malli ratkeavus ja valiidisuus Timattiesimerkissä oletettii tuetuksi kysytäopeus, varastoitikustaus ja matkakustaus Atwerpeii. Tällaisia suureita, kutsumme parametreiksi. Jos iille

7 aetaa erilaiset arvot, saamme uude ratkaisu. Voimme esittää tilaetta kaavioa 7 systeemi raja parametrit päätösmuuttujat sisältävä malli ja se aalyysi tulokset Edellä suoritettu aalyysi voidaa suorittaa yleisestiki. Merkitää d: viikottaie kysytä (55 karaattia) f: varasto kiiteä täydeyskustaus (2000 $) h: varastoitikustaus karaatilta viikossa (3.5 $) s: meetetystä myyistä aiheutuva kustaus karaatilta (200 $) l: varastotäydeykse toimitusaika ( viikko) m: piei tilaus (00 karaattia) Silloi saadaa ratkaisuksi 2 fd q* = h r* = ld mikäli q* m ja q* ld. Ylläoleva optimaalise eräkoo (ecoomic order quatity, EOQ) kaava o esimmäisiä operaatioaalyysi sovellutuksia ja sitä o käytetty paljo. Joskus siitä o käytetty imeä Wilsoi kaava, vaikka se o kehittäyt Harris vuoa 95 ja tietysti Wilsoki, mutta vasta 98. Nyt ku meillä o käytettävissämme yleiset kaavat, voimme esimerkissä varioida parametrie arvoja, jotka ovat usei vaikeita määrätä luotettavasti. Jos Atwerpei matka maksaisiki 000 $ ii optimaalie eräkoko olisi q* = 77.3 ja kustauste ollessa 3000 $ taas q* =

8 8 Parametrie arvoje vaikutukse tutkimista matemaattise malli tuottamii tuloksii saotaa herkkyysaalyysiksi. Herkkyysaalyysi täytyisi aia liittää systeemie aalyysii. Edellie esimerkki o siitä harviaie, että ratkaisu saadaa suljetussa muodossa ja se helpottaa aalysoitia. Malli ratkeavuudella (tractability) ymmärretää sitä kuika hyvi sitä pystytää ratkaisemaa. Normaalisti emme kuitekaa saa ratkaisua suljetussa muodossa, vaa joudumme hakemaa umeerisia ratkaisuja jollaki algoritmilla. Aia ei kuitekaa mallia pystytä ratkaisemaa ollekaa. Malli valiidisuudella ymmärretää sitä astetta, jolla siitä saadut johtopäätökset pitävät paikkasa todelliselle systeemille. Yleesä operaatioaalyysissä täytyy tasapaioilla malli valiidisuude ja ratkeavuude välillä..4 Deskriptiiviset mallit ja simuloiti Simuloiissa jäljitellää (tavallisesti tietokoeessa) todellista systeemiä. Timattiesimerkissä voidaa tutkia jollai (r,q) pari arvolla systeemi käyttäytymistä viikottai käyttäe kohdassa. esitettyjä todellisia viikottaisia kysytöjä vuode ajalta. Joka viiko kohdalla täytyy. selvittää saapuuko MM Atwerpeistä mukaaa q karaati timattierä 2. tutkia, oko varasto koko q jolloi tarvitaa tavarahakitamatka 3. vähetää varastosta kyseise viiko kysytä Ku käytetää edellä saatuja optimiarvoja q* = 25 ja r* = 55 sekä varasto alkutilaa 00, saadaa seuraava simuloitihistoria, jossa m o kulloiki myyty määrä

9 9 viikko alku- kysytä myyti- varastoiti- täydeys- meetetty varasto määrä kustaus kustaus tuotto

10 0 Simuloitu 52 viiko kokoaiskustaus o 0862 $. Tätä voi verrata viime vuode kokoaiskustauksii $ ja EOQ malli tuottamaa arvoo $. Simuloiilla saadaa usei hyviä tuloksia ja ylläoleva laskelma olisi hyvä, mikäli jokaisea vuotea kysytä olisi tarkallee edellä esitety mukaie. Siiä o kuiteki käytettävä kiiteitä parametriarvoja (edellä q* = 25 ja r* = 55) ja tällaista meettelyä voidaa kutsua deskriptiiviseksi malliksi. Parametrie arvoje vaikutus lopputuloksee voidaa selvittää vai suorittamalla koko simuloitiprosessi uudellee..5 Numeerie haku, tarkat ja heuristiset ratkaisut Merkitää suureella c(q,r) simuloiilla saatua kokoaiskustausta ku siiä o käytetty arvoja q ja r. Optimoitiogelmaa o siis yt mi c(q,r) s.t. q 00, r 55. Numeerisessa haussa pyritää systemaattisella kokeilulla määräämää sallituissa rajoissa olevat ja mahdollisimmat hyvät arvot päätösmuuttujille. Tutuu järkevältä aloittaa jatkuvalla EOQ mallilla saamistamme arvoista. Kokeillaa esiksi 0 yksikö lisäyksiä r arvoihi, jolloi saadaa tulokset q 0 = 25 r 0 = 55 c(q 0,r 0 ) = 0862 q = 25 r = 65 c(q,r ) = 0842 q 2 = 25 r 2 = 75 c(q 2,r 2 ) = q 3 = 25 r 3 = 85 c(q 3,r 3 ) = q 4 = 25 r 4 = 95 c(q 4,r 4 ) = Kiiitetää sitte paras saaduista r=85 ja kokeillaa erilaisilla q arvoilla, jolloi q 5 = 26 r 5 = 85 c(q 5,r 5 ) = 9593 q 6 = 24 r 6 = 85 c(q 6,r 6 ) = 7278 mutta e eivät paraa tulosta. Saatu tulos parai oleellisesti, mutta se ei tarvitse olla optimaalie. Jos lähdetää liikkeelle pisteestä q 0 = 25, r 0 = 45, saadaa aalogisesti q 0 = 25 r 0 = 45 c(q 0,r 0 ) = q = 25 r = 55 c(q,r ) = q 2 = 25 r 2 = 35 c(q 2,r 2 ) = q 3 = 25 r 3 = 25 c(q 3,r 3 ) = q 4 = 26 r 4 = 35 c(q 4,r 4 ) = 5493 q 5 = 27 r 5 = 35 c(q 5,r 5 ) = Saatii edellisiä parempi tulos q = 26, r = 35 joka aiheuttaa kustaukset Tällaisella haulla saadut johtopäätökset pätevät varmasti vai tutkituissa pisteissä ja riippuvat siis kohdefuktio muodosta ja hakutiheydestä. Kuiteki äyttää ilmeiseltä, että EOQ malli tuottama eräkoko q = 25 o varsi luotettava. Tarkka optimiratkaisu o sallittu ratkaisu, joka o todistettavasti vähitää yhtä hyvä kui mikä tahasa sallittu ratkaisu. Heuristie eli likimääräie ratkaisu saadaa optimoitimeettelyllä, joka ei takaa tarkkaa optimaalisuutta. Olemme umeerisella haulla löytäeet timattiogelma heuristise optimi, mutta pitäisikö meidä määrätä tarkka optimi? Usei tarka ratkaisu vaatimat malli yksikertaistukset tuottavat huoompia ratkaisuja kui tarkemma malli ratkaisemie

11 heuristisesti. Heuristise ratkaisu huoo puoli o taas se, ettei meillä ole mikäälaista käsitystä siitä kuika paljo parempia ratkaisuja o mahdollisuus saavuttaa..6 Determiistiset ja stokastiset mallit Jos emme hyväksy oletusta siitä, että viikottaiset kysyät toistuvat joka vuosi idettisiä, joudumme turvautumaa satuaismuuttujii. Tuemme siis vai kysytöje jakautuma, joka yhtä realisaatiota o käytetty edellä. Yksikertaisuude vuoksi voidaa olettaa, että kysyät D t viikolla t ovat toisistaa riippumattomia ja idettisesti jakautueita. Tarkasteltaessa edelläolevaa dataa, saadaa kysyöille empiiriset frekvessit, jotka o esitetty oheisessa kuvassa yhteäisellä viivalla. Jakautumaa voidaa silloi käyttää katkoviivoilla esitettyä käyrää, jolloi kysyä tiheysfuktio saa arvo 0.02 välillä [40, 69) sekä arvo 0.02/3 väleillä [0, 40) ja [70, 99) Stokastisessa simuloiissa (jota yleesä kutsutaa lyhyesti simuloiiksi) geeroidaa kysyät käyttäe aettua jakautumaa. Yhdellä kertaa saadaa siis yksi realisoiti kysytöje muodostamalle satuaisvektorille. Jokaista tällaista kysytävektoria aalysoidaa kohda.4 mukaisesti. Ku suoritetaa tämä 200 kertaa käyttäe edellä saatuja parhaita päätöksiä q=26, r=35 ja ylläolevaa kysyä jakautumaa, saadaa satuaiste vuosittaiste kokoaiskustauste C(26, 35) keskiarvoksi $ ja empiiriseksi frekvessiksi Kustaukset vaihtelevat välillä $ $ ja tähä osuu aikaisemmi saamamme tulos 5493 $. Simuloitia käytetää paljo, koska se mahdollistaa moimutkaiste systeemie tutkimise. Kuiteki meillä o yt 200 ajolla vasta selvitetty kustauste käyttäytymie

12 2 yhdelle päätösmuuttujie arvoparille. Lisäksi tarvitaa statistisia meetelmiä saatuje tuloste luotettavuude arvioitii. Yleisesti o satuaismuuttujia sisältävie stokastiste mallie aalysoiti huomattavasti hakalampaa kui determiististe mallie ja erityisesti tämä pitää paikkasa optimoiissa. Se takia käytetää paljo determiistisiä malleja, joissa satuaiset suureet korvataa determiistisillä parametreilla, ja iilläki o usei saatu hyviä tuloksia. 2. Determiistiset optimoitimallit 2. Päätösmuuttujat, rajoitukset ja kohdefuktiot Esimerkki. Crude Petroleum yhtiö valmistaa öljyjalostamossaa saudiarabialaisesta ja veezuelalaisesta raakaöljystä besiiiä, letokoebesiiiä sekä voiteluöljyä. Jokaisesta saudiarabialaisesta raakaöljytyyristä saadaa 0.3 tyyriä besiiiä, 0.4 tyyriä letokoebesiiiä ja 0.2 tyyriä voiteluöljyä. Veezuelalaisesta öljystä puolestaa saadaa 0.4 tyyriä besiiiä, 0.2 tyyriä letokoebesiiiä ja 0.3 tyyriä voiteluöljyä. Saudiarabialaista öljyä o saatavissa 9000 tyyriä päivittäi 20 $ tyyrihitaa ja veezuelalaista öljyä 6000 tyyriä päivässä. Pieempie kuljetuskustauste takia veezuelalaie raakaöljy maksaa vai 5 $ tyyriltä. Yhtiö o tehyt jakelusopimuksia, joide mukaa se täytyy päivässä toimittaa 2000 tyyriä besiiiä, 500 tyyriä letokoebesiiiä ja 500 tyyriä voiteluöljyä. Mite tämä voidaa tehdä mahdollisimma kaattavasti? Malliukse esimmäiseä vaiheea täytyy määrätä päätösmuuttujat, joilla siis esitetää tehtäviä päätöksiä. Tässä yksikertaisessa esimerkissä o ilmeistä, että päätöksiä ovat kummastaki lähteestä peräisi olevie jalostettavie raakaöljyje määrät, ja määritellää x : saudiarabialaistä öljyä päivittäi jalostettava määrä tuhasia tyyreiä x 2 : veezuelalaista öljyä päivittäi jalostettava määrä tuhasia tyyreiä. Kustaki päätösmuuttujista täytyy aia selkeästi esittää se merkitys ja laatu. Päätösmuuttujie arvot ovat toistaiseksi tutemattomia ja o havaittu edulliseksi valita periteisee tapaa valita kirjaimia aakkosto loppupäästä. Muut formuloiissa tarvittavat suureet ovat parametreja, joilla tässä o aettu umeroarvot. Esiksi kaattaa miettiä luoolliset rajoitukset, jotka seuraavat päätösmuuttujie mielekkyydestä. Esimerki tapauksessa ei voida jalostaa egatiivista määrää, jote saamme ehdot x 0, x 2 0. Tällaiset ei-egatiivisuusrajoitukset ovat tavallisimmat, mutta joskus voi päätösmuuttuja saada vai kokoaislukuarvoja (kokoaislukumuuttuja) tai pelkästää arvoja 0 ja (biäärie muuttuja). O tärkeää ottaa luoolliset rajoitukset mukaa, sillä ratkaisualgoritmit eivät ymmärrä mitää ilmeisiä ehtoja vaa kaikki ehdot o puettava eksplisiittisee muotoo. Varsiaiset rajoitukset ovat muita ehtoja, jotka rajoittavat päätösmuuttujie valitaa. Jakeluu o saatava riittävä määrä tuotteita, jote o oltava 0.3x + 0.4x (besiii) 0.4x + 0.2x 2.5 (letokoebesiii) 0.2x + 0.3x (voiteluöljy).

13 3 Lisäksi raaka-aieide saatavuus o rajallie, jote x 9 x 2 6 (saudiöljy) (Veezuela öljy). Kohdefuktioita ovat e päätösmuuttujie fuktiot, joita optimoiissa pyritää maksimoimaa tai miimoimaa. Esimerkkitapauksessa tavoitteita o vai yksi ja pyrimme miimoimaa ostettava raakaöljy hia 20x + 5x 2, joka laatua o tuhat dollaria päivässä. Merkitää tätä tavoitetta mi 20x + 5x 2 ja saamme malliettua ogelma optimoititehtäväksi mi 20x + 5x 2 s.t. 0.3x + 0.4x x + 0.2x x + 0.3x x 9 x 2 6 x 0, x 2 0. (kokoaiskustaus) 2.2 Graafie ratkaisu Edelläkuvatu kaltaisia kaksidimesioisia ogelmia voidaa ratkaista graafisesti. Jokaie päätösmuuttujapari (x, x 2 ) pystytää esittämää graafisesti tasossa. Näi voidaa muodostaa sallittuje pisteide joukko, jossa kaikki rajoitukset toteutuvat. Esimerkkitapauksessa saadaa Kohdefuktio arvot c(x, x 2 ) = 20x + 5x 2 muodostavat yt 3-dimesioise avaruude taso, mutta voimme esittää sitä karta tavoi kaksiulotteisea piirtämällä se tasa-arvokäyriä 20x + 5x 2 = h tasolle. Tässä kiiostaa vai sallittuje pisteide joukko ja siiä saadaa

14 4 Kuvasta o helppo määrätä optimiratkaisut, jotka toteuttavat tavoitteet sallituista pisteistä parhaite. Siis optimipisteide täytyy sijaita sillä tasa-arvokäyrällä, joka saa pieimmä arvo sallitulla alueella. Esimerkissä piste x * = 2, x 2 * = 3.5 o tehtävä yksikäsitteie ratkaisu. Optimaalie kustaus o silloi 92.5 tuhatta dollaria päivässä. Harjoitustehtävä. Käytettävissä o 80 metriä aitaa ja sillä o aidattava mahdollisimma suuri suorakaiteemuotoie alue. Muodosta tehtävästä matemaattie optimoitimalli sekä ratkaise se graafisesti muodostamalla sallittuje pisteide joukko ja piirtämällä siihe tasa-arvokäyriä. Optimoitiogelma ratkaisu voi olla yksikäsitteie tai sillä voi olla useampia optimaalisia ratkaisuja. Edellisessä tapauksessa optimi tuottava tasa-arvokäyrä koskettaa sallittuje pisteide joukkoa vai yhdessä pisteessä. Jos se kulkee useamma kui yhde sallitu pistee kautta, ovat e kaikki optimaalisia. Kohdefuktio arvo o tieteki äissä kaikissa idettie. Harjoitustehtävä. Tutki graafisesti öljyjalostusesimerkkiä tapauksessa, jossa kohdefuktio o muuettu muotoo mi 20x + 0x 2 ja määrää tehtävä kaikki optimiratkaisut Mikäli mitkää päätösmuuttujie arvot eivät toteuta kaikkia rajoituksia eli sallittuje pisteide joukko o tyhjä, ei itse optimoititehtävällä voi olla ratkaisuja. Harjoitustehtävä. Tutki öljyjalostusesimerkkiä tapauksessa, jossa kumpaaki raakaöljylaatua o saatavissa 2000 tyyriä päivässä ja osoita, ettei tehtävällä ole silloi ratkaisua. Toie tilae, jossa optimoititehtävällä ei ole ratkaisua, o sellaie, jossa päätösmuuttuja sallitut arvot tuottavat mielivaltaise hyviä (rajoittamattomia) kohdefuktioide arvoja. Raakaöljyesimerkissä päädytää tähä mikäli Saudiarabia maksaa 2 dollaria jokaisesta tyyristä eikä rajoita millää tavoi ostettava raakaöljy määrää.

15 5 2.3 Realistiset optimoitimallit Käytäö ogelmissa saattaa olla jopa miljooia muuttujia ja satojatuhasia rajoituksia, jote graafie ratkaisu o käyttökelvoto. Esimerkki. Maissi tuottajalla o toimitaa l=20 paikassa ja se tuottaa m=25 laatua maissituotteita =30 alueelle. Sitä kiiostaa tuotato- ja kuljetuskustauste miimoimie. Piee miettimise jälkee havaittii, että seuraavie parametrie - kuki tuottee valmistuskustaus kussaki toimipaikassa (dollaria pussilta) - kuki toimipaika kapasiteetti (toeia) - kuhuki tuotepussii tarvittavie maissitoie lukumäärä - kuki tuottee tarve kullaki myytialueella pusseia - kuki tuottee kuljetuskustaus kultaki toimipaikalta kulleki myytialueelle arvot voidaa käsittää vakioiksi. Tehtävässä täytyy käyttää ideksoituja muuttujia ja kaattaa käyttää samasta asiasta aia samoja ideksejä. Valitaa toimipaikkoje ideksiksi i, tuotteide ideksiksi j ja myytialueide ideksiksi k. Päätöksiä ovat tuotatomäärät ja lähetettävät tavaramäärät. Valitaa siis päätösmuuttujiksi x ij : laitoksella i tuotetu tavara j määrä pusseia y ijk : laitokselta i myytialueelle k lähetetty tuottee j määrä pusseia jolloi iitä o yhteesä = 5500 kappaletta. Tehtävä parametreja ovat p ij : laitoksella i tuotetu tavara j tuotatokustaus pussilta u i : laitokse i tuotatokapasiteetti maissitoeia a j : tuottee j yhtee pussillisee tarvittava maissitoie määrä d jk : tuottee j tarve alueella k pusseia s ijk : kuljetuskustaus lähetettäessä pussi tuotetta j laitokselta i alueelle k. Ku oletetaa, että kustaukset ovat lieaarisia, saadaa optimoitimalliksi l m l m ij ij + ijk ijk k= m mi px s y s.t. ax u l k= y y j ij i ijk ijk d = x jk ij x ij 0,,,l;,,m (kokoaiskustaukset),,,l (kapasiteetti),,,m; k=,, (kysyät),,,l;,,m (tasapaioehto) y ijk 0,,,l;,,m; k=,, Tehtävässä o 20 kapasiteetti-, 750 kysytä-, 500 tasapaio- ja 5500 eiegatiivisuusrajoitusta. 2.4 Lieaariset ja epälieaariset optimoititehtävät Edelliset esimerkit ovat lieaarisia optimoititehtäviä (liear programmig). Niille o voimassa

16 6 ) verraollisuus ts. kuki päätösmuuttuja vaikutus kohdefuktioo ja rajoituksii o suoraa verraollie se arvoo, 2) additiivisuus ts. kuki päätösmuuttuja vaikutus kohdefuktioo ja rajoituksii o riippumato muide päätösmuuttujie arvoista, 3) jaollisuus ts. kuki päätösmuuttuja o jatkuva eli se voi saada mielivaltaisia reaalilukuarvoja, 4) determiistisyys ts. tehtävä parametrit ovat vakioita eikä satuaismuuttujia 5) tavoitteita o vai yksi. Ehdot ) ja 2) takaavat malli malli lieaarisuude. Mikäli ehto 3) ei ole voimassa, o kysymys diskreetistä optimoiista (katso kohta 2.5 ja luvut ja 2), joka ratkaisuja voidaa approksimoida pyöristämällä vastaava lieaarise optimoititehtävä ratkaisu kokoaisluvuiksi. Mikäli ehto 4) ei ole voimassa, o kyseessä stokastie optimoiti. Mikäli tavoitteita o useampia, puhutaa moitavoiteoptimoiista. Yleie epälieaarie optimoititehtävä voidaa kirjoittaa muodossa max f( x,, ) mi x s.t. gi( x,, x) = bi,,,m jossa f ja g i ovat päätösmuuttujie x i aettuja fuktioita ja b i aettuja parametreja. Fuktioista f ja g i vähitää yhde tulee olla epälieaarie ja jaollisuusoletukse 3) tulee olla voimassa. Teoreettisissa tarkasteluissa oletetaa tavallisesti, että rajoituksissa siirretää muuttujista riippuvat termit epäyhtälö vasemmalle puolelle ja vakiotermi oikealle puolelle. Esimerkki. Tarkastellaa E-mart kauppaketju maioskustauste budjetoitia. Ketju myy m=2 eri tuoteryhmää (vaatteet, lelut, makeiset, CD-levyt je) ja maioskampajoita o =5 tyyppiä (vaatteide myytiluettelo, vaatemaios lehdessä, lelumaios televisiossa je).tarkoituksea o optimoida rajoitettu maiostusbudjetti. Oletetaa tuetuksi b: maiostusbudjeti suuruus p i : tuoteryhmä i lisämyyistä saatava yksikkötuotto,,,m s ij : parametri, joka kertoo kampajaa j käytety rahamäärä vaikutukse tuoteryhmä i myyi lisäyksee. Päätösmuuttuja olkoo x j : kampajaa j käytetty rahamäärä. Nyt ei tuu järkevältä olettaa lieaarista mallia, jossa maiostukse aiheuttama myyi lisäys olisi verraollisuusoletukse mukaista muotoa s ij x j. O melko selvää, että realistisessa mallissa lisäys pieeee koko aja satsaukse x j kasvaessa. Siis jokaie lisäeuro tuottaa aia joki verra vähemmä kui edellie, ts rajatuotto pieeee. Hyvi yksikertaie lauseke, joka toteuttaa tällaise vaatimukse o s ij log(x j + ). Silloi saadaa epälieaarie optimoititehtävä

17 7 m max pi sijlog( xj+ ) s.t. x b j x j 0,,,. (lisätuotto) (budjettirajoitus) 2.5 Diskreetit optimoititehtävät Diskreetit päätösmuuttujat saavat arvoja umeroituvista joukoista. Tavallisimmi o kyseessä jompikumpi joukoista {0,, 2, 3, } ja {0, }. Edellisessä tapauksessa o kyseessä yleie kokoaislukumuuttuja ja jälkimmäisessä biäärie päätösmuuttuja. Jos kaikki päätösmuuttujat ovat samatyyppisiä, meillä o kokoaislukuoptimoiti- tai biäärioptimoititehtävä. Usei o osa päätösmuuttujista jatkuvia ja osa diskreettejä, jolloi o kyseessä lieaarie tai epälieaarie sekaoptimoititehtävä (mixed-iteger programmig). Esimerkki. Betlehem Steel Co valaa terästä muoteissa erikokoisiksi aihioiksi (igot) jotka tuotao myöhemmissä vaiheissa kuumeetaa ja iistä valmistetaa valssaamalla levyjä, puristamalla putkia je. Valmistettavia tuotteita o =30 erilaista ja kuki aihiolaji sopii eemmä tai vähemmä hyvi kuhuki tuotteesee. Mahdollisia aihiotyyppejä o ehdotettu m=600 kappaletta, mutta ii mota ei kaata valmistaa, vaa o päätetty tyytyä p=6 erilaisee tyyppii. Pyritää miimoimaa käyttämättä jäävä materiaalimäärä. Kaikista aihiolaaduista ei saada millää kaikkia tuotteita, ja merkitää I j : iide aihioide i joukko, joista pystytää tekemää tuotetta j c ij : hukka-aiee määrä valmistettaessa aihiosta i tuotetta j. Kuki aihiotyypi kohdalla täytyy tehdä päätös otetaako se käyttöö vai ei. Näitä valitoja o luoollista kuvata biäärisillä arvoilla 0 ja. Useimmite valitaa arvoa kuvaamaa se vaihtoehto, jossa tapahtuu jotaki eli tässä tapauksessa se että aihio otetaa käyttöö. Siis päätösmuuttuja olkoo, jos aihio i valitaa y i = 0, muute Tämä ei vielä riitä, vaa tarvitaa vielä i j xij =, jos aihiosta tehdää tuote 0, muute O huomattava, että äi määritellyt päätösmuuttujat y i ja x ij eivät ole riippumattomia sillä x ij voi saada arvo vai mikäli y i =. Saamme siis lieaarise biäärise optimoititehtävä mi m iij cx ij ij s.t. y p i x ij = ii j,,, x ij y i,,,; i I j y i {} 0,,,,m x ij {} 0,,,,; ii j (hukkamateriaali) (valitaa korkeitaa p) (tuotteelle j yksi aihio) (vai valituille aihioille)

18 8 Yleisesti mikäli päätösmuuttujie optimiarvot ovat se verra suuria, ettei murto-osilla ole käytäö merkitystä, kaattaa käyttää jatkuvia päätösmuuttujia (pussie lukumäärä maissiesimerkissä), vaikka e luoteeltaa olisivatki kokoaislukuja. Kokoaislukuoptimoititehtävä ratkaisemie o imittäi oleellisesti vaikeampaa. Esimerkki 2. Purdue yliopistossa o m=2000 kurssia ja tettikautea täytyisi orgaisoida iide suorittamie =30 tettitilaisuudessa ii, että mahdollisimma harvalla opiskelijalla olisi kuutelemasa kurssi tetit samaaikaisesti. Jotta pystyisimme formuloimaa tehtävä, täytyy tietää e ik : sekä kurssi i että k kuutelevie opiskelijoide määrä, i < k m. Päätösmuuttujaksi o yt luoollista valita, jos kurssi itetitää tilaisuudessa j,,, m;,, xij = 0, muute Silloi kurssie i ja k tetti osuu yhtäaikaa e x x ik ij kj opiskelijalle ja saamme siis kvadraattise biäärise optimoititehtävä m m mi e x x s.t. k=+ i x ij = ik ij kj (päällekkäisyyksie luku),,,m (kurssille i yksi tetti) x ij {} Moitavoiteoptimoiti,,,,m;,,. Edelläkuvatu kaltaiset ogelmat, joissa päätöksetekokriteerejä o vai yksi, toimivat hyvi moissa liike-elämä ogelmissa, joissa maksimoidaa voittoa tai miimoidaa kustauksia. Usei esiityy kuiteki päätöksetekoa, missä keskeää ristiriitaisia kriteerejä o useita. Esimerkki. Kutie maakäytö suuittelu o tyypillie tilae, jossa o vaikea tulla toimee yhdellä päätöksetekokriteerillä. Tarkastellaa esimerkiksi erää Chicago esikaupukialuee kaavoitusta. Siellä o =47 aluetta, joita voidaa käyttää seuraavii m=7 tarkoituksii i maakäytö laji yhde perhee talot 2 useamma perhee talot 3 myymälät 4 toimistot 5 tuotatolaitokset 6 koulut ja virastot 7 puistot Kriteerejä mietittäessä päädyttii seuraavaa viitee.. Yhteesopivuus: kuika hyvi suuiteltu kaava sopii aluee ja se lähiympäristö ykyisee käyttöö.

19 9 2. Liikee: aika joka kuluu kaava aiheuttamii matkoihi alueelle ja alueelta. 3. Verovaikutus: lisäätyeide kualliste palveluje kuluje suhde lisäätyeesee verotuottoo. 4. Ympäristövaikutukset: kaavoituksesta aiheutuva ympäristö huooemie 5. Kualliset laitokset: uusie asukkaide tarvitsemie kouluje, päiväkotie ym kualliste palveluje sekä kuallistekiika rakeuskustaukset. Ku merkitää tehtävä parametreja symboleilla c ij : yhteesopivuuskerroi käytettäessä eekkeri tarkoituksee i alueella j t ij : lisäätyyt matkustusaika käytettäessä eekkeri tarkoituksee i alueella j r ij : yhteiskua vuosimeot käytettäessä eekkeri tarkoituksee i alueella j e ij : ympäristö huooemie käytettäessä eekkeri tarkoituksee i alueella j f ij : kua pääomakustaukset käytettäessä eekkeri tarkoituksee i alueella j ja päätösmuuttujia x ij : tarkoituksee i alueella j käytettyje eekkerie lukumäärä, saadaa tavoitteet max mi mi mi mi m m cx ij ij tx ij ij m rx ij ij m m ex ij ij fx ij ij. Otetaa käyttöö lisäparametrit, b j : tehottomasti käytettyje eekkereide määrä alueella j l i : tarkoituksee i vähitää kaavoitettavie eekkereide määrä u i : tarkoituksee i eitää kaavoitettavie eekkereide määrä o j : kallioide, vesijättöje ym. käyttökelvottomie eekkereide määrä alueella j ja huomioidaa, että asuot vaativat välttämättä samalle alueelle ostoskeskuksia, puistoja, kouluja sekä päiväkoteja. Näitä vaatimuksia voidaa esittää parametreilla s i : yhde perhee asuoksi varatu eekkeri implikoima tarve tarkoituksee i d i : usea perhee asuoksi varatu eekkeri implikoima tarve tarkoituksee i. Lopulta saadaa moitavoiteoptimoititehtävä

20 20 max mi mi mi mi m m cx ij ij tx ij ij m rx ij ij m m m ex ij ij fx ij ij s.t. x = b x x ij ij ij l i i j (yhteesopivuus) (liikee) (verot) (ympäristö) (kualliset palvelut),,, (maakäyttö),,,m (piei käyttömäärä) u,,,m (suuri käyttömäärä) x7 j oj,,, (käyttökelvoto maa) xij sx i j + dix2 j, 3,6,7;,, (aiheutetut tarpeet) x ij 0,,,m;,, (ei-egatiivisuus). Tällaisessa ogelmassa tavoitteet ovat yleesä ristiriitaiset, eikä optimaalisuude määrittely ole ii yksikertaista kui tapauksessa, jossa päätösmuuttujia o vai yksi. Samate tehtävä ratkaisu vaikeutuu. Harjoitus. Muodosta graafisesti tehtävä max 3z + z 2 mi z z 2 s.t. z + z 2 3 z 0, z 2 0 optimi kummaki kriteeri suhtee eriksee. Mite määriteltäisii koko tehtävä optimaalisuus? 3. Paratava haku 3. Lokaaliset ja globaaliset optimit Yleesä emme saa optimiratkaisua suljetussa muodossa, vaa meidä o jollai optimoitialgoritmilla etsittävä ykyistä ratkaisuehdokasta parempi piste, josta sitte jatketaa samalla tavoi kues olemme tyytyväisiä saamaamme ratkaisuu. Yllä termi ratkaisu merkitsee vektoria, jossa kuki päätösmuuttuja o saaut kiiitety lukuarvo. Tällaise ratkaisu ei tarvitse olla optimaalie eikä välttämättä edes sallittu. Merkitää lähtöratkaisua x 0, seuraavaa ratkaisua x je. Esimerkki. Tarkastellaa 3 kaupukia palveleva hypermarketi optimaalista sijoittamista. Kaupukie keskipisteet ovat (, 3), (, 3) ja (0, 4) sekä asukasluvut 60000, ja Oletetaa, että hypermarket voidaa sijoittaa muute vapaasti, mutta se tulee olla vähitää 0.5 yksikö päässä kuki kaupugi keskustasta. Kokemus o

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP) 10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k = Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat

5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat 2 5. Lieaarise optimoii perusprobleemat Optimoitiprobleema o lieaarise optimoii tehtävä, jos kohdefuktio o lieaarie fuktio ja rajoitusehdot ovat lieaarisia yhtälöitä tai lieaarisia epäyhtälöitä. Yleisessä

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

4.3 Signaalin autokorrelaatio

4.3 Signaalin autokorrelaatio 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

Matemaattinen optimointi I

Matemaattinen optimointi I Matemaattinen optimointi I Marko M. Mäkelä Turun yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2015 Sisältö Esipuhe 1 1 Matemaattinen mallinnus ja ongelmien ratkaisu 2 1.1 Sovellutuksista.................................

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

Luento 7 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 7 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Lueto 7 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio Aalto-yliopisto perustieteide korkeakoulu PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi Määritelmä Tarkasteltava

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

Ryhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät

Ryhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................

Lisätiedot

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut: Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie

Lisätiedot

Parametrien oppiminen

Parametrien oppiminen 38 Parametrie oppimie Tilastollise malli (Bayes-verkko rakee o kiiitetty, se umeeriste parametrie (ehdolliste todeäköisyyksie arvot pyritää määräämää Oletamme havaitoe oleva täydellisiä; s.o., okaise datapistee

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien Semiklassie johtavuusmalli Metalleissa vastus aiheutuu virrakuljettajie törmäyksistä, joita karakterisoi relaksaatioaika τ Oletetaa, että ifiitesimaalisella aikavälillä dt elektroi törmäystodeäköisyys

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen Matematiika ja systeemiaalyysi laitos B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut

3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut MAB5: Tuusluvut 3.2 Sijaitiluvut Sijaitiluvut ovat imesä mukaiset: e etsivät muuttuja tyypillise arvo, jos sellaie o olemassa, tai aiaki luvu, joka lähellä muuttuja arvoja o eite. Sijaitiluvut jaetaa kahtee

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Ruletti ja Martingaalistrategia

Ruletti ja Martingaalistrategia POHDIN projekti Ruletti ja Martigaalistrategia Ruletti o uhkapeli, jossa pelaaja pyrkii veikkaamaa kuula pysähtymiskohda pyörivältä kehältä. Euroopassa käytettävässä ruletissa o käytössä 37 umeroa (0-36)

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

Harjoitus 5 ( )

Harjoitus 5 ( ) Harjoitus 5 (14.4.2015) Tehtävä 1 Figure 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan

Lisätiedot

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit 2. Mittaus ja data 2.. Johdato Voidaksemme keksiä tosimaailma relaatioita tarkastelemme sitä kuvaavaa dataa, jote esiksi selvitämme, mitä data perimmiltää o. Data kerätää kuvaamalla mielekiitoaluee oliot

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

3.6. Geometrisen summan sovelluksia

3.6. Geometrisen summan sovelluksia Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa

Lisätiedot

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998.

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Kokooma 23.1.2008. Viimeisi perustemuutos o vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Sisällysluettelo

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla. Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.340 Lieaarie ohjelmoiti 20.9.2007 Lueto 2 Lieaarialgebraa ja geometriaa (kirja.5, 2.) S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / Lieaarialgebraa Notaatiota Kääteismatriisi

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Sote-alueen muodostamisen tarkemmat kriteerit on todettu väliraportin luvussa 4.1.2. (sivut 18 19).

Sote-alueen muodostamisen tarkemmat kriteerit on todettu väliraportin luvussa 4.1.2. (sivut 18 19). KYSYMYKSET Sosiaali- ja terveydehuoltoalueet (sote-alue) Väliraporti perusteella kua tulee kuulua sote-alueesee, joka järjestää sille sosiaali- ja terveyspalvelut. Sote-alue muodostuu maakutie keskuskaupukie

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:

ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla: 10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)

Lisätiedot

Teoria. Tilastotietojen keruu

Teoria. Tilastotietojen keruu S-38.348 Tietoverkkoje simuloiti / Tuloste keruu ja aalyysi Teoria Johdato simuloitii Simuloii kulku -- prosessi realisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tuloste keruu ja aalyysi

Lisätiedot

Valvontakortit. Sovelletun Matematiikan Erikoistyö. Pastinen Tommi 23.4.2010

Valvontakortit. Sovelletun Matematiikan Erikoistyö. Pastinen Tommi 23.4.2010 Valvotakortit Sovelletu Matematiika Erikoistyö Pastie Tommi 3.4. Tässä työssä perehdytää valvotakortteihi tilastollisessa laaduvalvoassa perusteoria ja esimerkkitapauste kautta. Sisältö Johdato... 3 Tilastollisesta

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT)

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) 2012/MAT814 ISSN 1797-3457 (vekkojulkaisu) ISBN (PDF) 978-951-25-2408-2 TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) Vaiheistettu heijastipita valemaalia Joha Ste, Päivi Koivisto, Ato Hujae, Tommi Dufva, VTT,

Lisätiedot

Määräys. sähköverkkotoiminnan tunnuslukujen julkaisemisesta. Annettu Helsingissä 2 päivänä joulukuuta 2005

Määräys. sähköverkkotoiminnan tunnuslukujen julkaisemisesta. Annettu Helsingissä 2 päivänä joulukuuta 2005 Dro 1345/01/2005 Määräys sähköverkkotoimia tuuslukuje julkaisemisesta Aettu Helsigissä 2 päivää joulukuuta 2005 Eergiamarkkiavirasto o määräyt 17 päivää maaliskuuta 1995 aetu sähkömarkkialai (386/1995)

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I. Heikki Ruskeepää

Todennäköisyyslaskenta I. Heikki Ruskeepää Todeäköisyyslasketa I Heikki Ruskeepää 2012 Sisällys 2 1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 3 1.2 Kombiatoriikkaa 4 1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 8 1.4 Ehdollie todeäköisyys 13 1.5 Riippumattomuus

Lisätiedot

HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN

HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN S-08-0 OPTIIKKA /6 HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN Laboratoriotyö S-08-0 OPTIIKKA /6 Sisällysluettelo Teoria... 3 Työ suoritus... 4. Kokoaisheijastus... 4. Brewsteri kulma... 5 3 Mittauspöytäkirja... 6 S-08-0

Lisätiedot

Laaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005

Laaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005 7303045 Laaja matematiikka Kertaustehtäviä Viikko 7/ 005 Tehtävät ovat Laaja matematiikka : ja : alueelta olevia etisiä välikoe- ja tettitehtäviä. Alkupää tehtävät liittyvät yleesä kurssii ja loppupää

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat

Lisätiedot

Aikaisemmat selvitykset. Hammaslääkäriliitto on selvittänyt terveyskeskusten. terveyskeskusten hammaslääkäritilannetta

Aikaisemmat selvitykset. Hammaslääkäriliitto on selvittänyt terveyskeskusten. terveyskeskusten hammaslääkäritilannetta S E L V I T Y S Terveyskeskuste hammaslääkäritilae lokakuussa 2005 ANJA EEROLA, TAUNO SINISALO Hammaslääkäriliitto selvitti julkise ja yksityise sektori hammaslääkärie työvoimatilatee lokakuussa 2005 kahdella

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 6 24.4.2017 Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomonisteen s. 107) mukaan yleisen muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on min θ(u,v)

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu 111A Tietoraketeet ja algoritmit, 016-017, Harjoitus, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje kompleksisuusluokat

Lisätiedot

Systemteoriförrochnu systemi en föränderlig värld Brändö, Åland 13-14 maj 2013

Systemteoriförrochnu systemi en föränderlig värld Brändö, Åland 13-14 maj 2013 Systemteoriförrochu systemi e föräderlig värld Brädö, Ålad 13-14 maj 2013 Pohjoismaide sähkömarkkioide ja sähkötuotao malli VTT-EMM Stokastie dyaamie ohjelmoiti Eero Tammie Veikko Kekkoe Göra Koreeff Tiia

Lisätiedot

Kombinatoriikka. Iiro Honkala 2015

Kombinatoriikka. Iiro Honkala 2015 Kombiatoriikka Iiro Hokala 2015 Sisällysluettelo 1. Haoi torit 1 2. Lokeroperiaate 3 3. Tuloperiaate 3 4. Permutaatioista ja kombiaatioista 4 5. Toistokombiaatioista 5 6. Biomikertoimista 5 7. Multiomikertoimista

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Kompleksiluvut. Johdanto

Kompleksiluvut. Johdanto Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie tuomo.pirie@tut.fi Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet

Lisätiedot

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 8: Excel - Optimointi Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Kimppu-suodatus-menetelmä

Kimppu-suodatus-menetelmä Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.

Lisätiedot

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto Liike-elämä matematiikka Opettaja aieisto Pirjo Saarae, Eliisa Kolttola, Jarmo Pösö ISBN 978-951-37-5741-0 Päivitetty 13.8.2014 Tehtävie ratkaisut - Luku 1 Verotus - Luku 2 Katelaskut ja talousfuktiot

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.

Lisätiedot

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto DEE-54 Sähköageettiste järjestelie läösiirto Lueto 7 Sähköageettiste järjestelie läösiirto Risto Mikkoe..4 Läöjohtuise leie osittaisdiffereretiaalihtälö t E g c p Sähköageettiste järjestelie läösiirto

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot