ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 06: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 1.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 06: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 1."

Transkriptio

1 6/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERSTEET SESSIO 6: Asiaalinen sauvaelementti, osa. ASIAALINEN RAENNE L, A, E L, A, E L, A, E uva. Asiaalinen raenne. Asiaalinen raenne taroittaa tässä yhteydessä raennetta, joa oostuu samalla suoralla perääin olevista sauvoista, uten uvassa on esitetty. Asiaalisella raenteella ei ole äytännössä suurta sovellusarvoa, mutta elementtimenetelmän teoria on tässä tapausessa ysinertaisimmillaan, joten sitä annattaa äsitellä ensimmäisesi. ASIAALINEN ELEMENTTI JA SEN JÄYYYSMATRIISI uvan veto/puristussauvan uormitusen f ja pituudenmuutosen u välinen yhteys on tunnetusti L, E, A u f EA f u () L missä L on sauvan lepopituus, A poiileiausen uva. Sauvan jäyyys. ala ja E immomoduuli. Veto/puristussauva voidaan siis tulita jousesi, jona jäyyysvaio on EA/L. un vetopuristussauva on raenteen osana eli elementtiveron yhtenä elementtinä, voivat sen molemmat päät siirtyä, uten uvassa on esitetty. Yleistetään seuraavasi jäyyyden äsite osemaan myös tätä tilannetta. Elementin asiaalisesta tasapainosta seuraa yhtälö f f () e u L, E, A f f uva. Sauvaelementti. u Toisaalta sauvan pituuden muutoselle on voimassa f L f L u u EA () josta seuraa tulos f + u u () aavojen () ja () perusteella on siis voimassa

2 6/ f f u u u + u f f u u (5) tai lyhyemmin irjoitettuna {} f [ ]{ u} jossa { f } { f f } on elementin solmuvoimavetori ja { } { u u } u sen solmusiirtymävetori seä (6) EA [ ] L (7) asiaalisen sauvaelementin jäyyysmatriisi. Solmuvoimavetorin omponenteista saadaan normaalivoima elementin päissä, sillä f N ja f N. Normaalivoimaa ei annata suoraan äyttää solmusuureena, sillä systemaattiseen äsittelyyn pääsemisesi elementtimenetelmässä on järevintä valita aiien suureiden positiivinen suunta samalla tavalla, jolloin tässä oiealle oleva solmuvoima on positiivinen ummassain solmussa. Elementtimenetelmässä on elementin jäyyysmatriisin tunteminen aivan eseinen asia, joten jäyyysmatriisien määrityseen tarvitaan mahdollisimman tehoaita menetelmiä. Edellä tultiin toimeen peruslujuusopilla, mutta se ei aina riitä. Muutaman erran voidaan hyö- uvassa on esitetty asiaaliselle sauvaelementille ysinertaistettu solmumittauspiirros, y jolloin elementti on piirretty lepotilannetta vastaavaan asemaan. uvaan on meritty solmut e x ja, jota ovat elementin alusolmu ja loppusolmu. Ne määräävät myös elementin paiallisoordinaatiston eli loaalioordinaatiston L, E, A siten, että origo on solmussa, x-aseli suunnassa - ja y-aseli oieaätisesti ylöspäin. uva. Asiaalinen elementti. Lisäsi uvaan on meritty nuolisymboleilla solmumittauseen äytetyt suureet eli elementin vapausasteet. Ne ilmaisevat solmumittauseen äytetyt voima- ja siirtymäsuureet seä näiden positiiviset suunnat. Edellä johdetut sauvaelementin solmuvoimavetori, solmusiirtymävetori ja jäyyysmatriisi liittyvät juuri uvan solmumittausjärjestelmään. L, E, A Jos solmumittaus valitaan toisin, voivat yseiset suureetin muuttua. u u uva 5. Yössiirtymä.

3 6/ dyntää ns. yössiirtymämenetelmää, joten tutustutaan siihen tässä vaiheessa johtamalla uudestaan jäyyysmatriisin lausee (7). Oletetaan alusi, että elementille paotetaan u uvan 5 muaisesti. Tähän tarvitaan solmuvoimat, solmusiirtymävetorisi { } { } jota voidaan rataista elementin perusyhtälöstä (6). un meritään tuntemattomia jäyyysmatriisin alioita ij, i, j,, saadaan tulos f f (8) jona muaan tarvittava solmuvoimavetori on jäyyysmatriisin ensimmäinen sarae. uvan 5 perusteella on EA / L. Paottamalla solmusiirtymisi { u } { } saadaan jäyyysmatriisin toinen sarae tähän tarvittavista solmuvoimaomponenteista. Jäyyysmatriisilla (7) on aiille jäyyysmatriiseille tyypilliset ominaisuudet o jäyyysmatriisi on symmetrinen eli [ ] [ ] T o lävistäjäaliot ovat aidosti positiivisia eli ii >, i, o jos elementillä on sille annetuilla vapausasteilla jäyän appaleen liiemahdollisuusia, on jäyyysmatriisi singulaarinen, jolloin det [ ] ja siis [ ] olemassa. uvan elementin asiaalista jäyän appaleen liiettä vastaava tasapainoehto on f ei ole + f (9) uvan 5 perustella jäyyysmatriisin ensimmäinen sarae toteuttaa yhtälön (9). Vastaavasti nähdään, että myös jäyyysmatriisin toinen sarae toteuttaa sen. Jäyyysmatriisin symmetriasta seuraa, että myös sen vaaarivit toteuttavat jäyän appaleen liiemahdollisuutta vastaavan tasapainoyhtälön (9). Edellä esitetty on myös yleisesti voimassa, eli minä tahansa elementin jäyyysmatriisin rivit ja saraeet toteuttavat yseisen elementin jäyän appaleen liiemahdollisuusia vastaavat tasapainoehdot. SIJOITTELSMMAS Tarastellaan uvan 6 (a) muaista raennetta. uvassa 6 (b) on sen elementtivero. Elementtiveron uvaan on meritty solmujen vapausasteet. Verossa on olme elementtiä ja neljä solmua, joiden globaalit solmunumerot on meritty uvaan. Meritään elementtien jäyyysertoimia E A /L, i,,. uvan 6 (b) elementtiveron perusyhtälö on [ ]{ } { } i i i i () missä { } on elementtiveron solmusiirtymävetori ja { } solmuuormitusvetori seä [ ] näitä vastaava elementtiveron jäyyysmatriisi. osa elementtiverolla on neljä vapausastetta, on yhtälö () aui irjoitettuna muotoa

4 6/ (a) L, A, E L, A, E L, A, E (b) uva 6. Asiaalinen raenne ja sen elementtivero. () Elementtiveron jäyyysmatriisin [ ] määrityseen ei vielä ole yössiirtymämenetelmää tehoaampaa einoa, joten äytetään sitä matriisin [ ] määrityseen. uvassa 7 on raenteelle paotettu siirtymävetori { } { }, jolloin tähän tarvittava solmuuormitusvetori on { } { }. osa solmut, ja eivät liiu, pysyvät elementtien ja pituudet ennallaan, joten niiden normaalivoimat ovat nollia. Tästä seuraa, että tuireatiot ja ovat nollia. Lisäsi on ja tasapainon perusteella. Jäyyysmatriisin [ ] ensimmäinen sarae on siis { }. uva 7. Yössiirtymä { } { }, johon tarvitaan solmuuormi-. osa elementin pituus ei muutu, on sen nor- uvassa 8 raenteella on siirtymävetori { } { } tusvetori { } { }. maalivoima nolla, mistä seuraa, että. uvan 8 (b) perusteella on +, ja, joten jäyyysmatriisin [ ] toinen sarae on

5 6/5 (a) Solmu (b) { + } ovat { + } ja { }. Jäyyysmatriisisi [ ] uva 8. Yössiirtymä { } { }.. Samalla periaatteella saadaan olmas ja neljäs sarae ja ne tulee siis [ ] + + () Jäyyysmatriisissa () näyy selvästi unin elementin, ja vaiutuset globaalisolmunumeroidensa muaisilla alueilla. Tulos on tulittavissa elementtien jäyyysmatriisien sijoittelusummausesi. Tämä taroittaa sitä, että unin elementin jäyyysmatriisin aliot sijoitetaan oonaisjäyyysmatriisiin [ ] elementin globaalisolmunumeroiden muaisiin paioihin lasien samaan paiaan tulevat aliot yhteen. Globaalinumerot Loaalinumerot [ ] Globaalinumerot uva 9. Jäyyysmatriisin [ ] sijoittelusummaus. Esimerisi elementin jäyyysmatriisin aliot sijoittelusummataan oonaisjäyyysmatriisiin [ ] uvan 9 muaisesti. un elementin jäyyysmatriisi on irjoitettu, globaalinume-

6 6/6 rot meritään sen ala- ja oiealle puolelle uvassa 9 esitetyllä tavalla. Silloin unin alion osoite oonaisjäyyysmatriisissa on välittömästi nähtävissä, vaaarivin numero alion ohdalta oiealta ja pystyrivin numero alion ohdalta alhaalta. Sijoittelusummausta voidaan soveltaa yleisesti aien tyyppisille elementeille veron jäyyysmatriisia muodostettaessa. Soveltamisen edellytysenä on uitenin, että elementin loaalin ja elementtiveron globaalin solmumittausien suunnat ovat samat. Jos näin ei ole, on elementin jäyyysmatriisiin sovellettava vielä oordinaatiston iertoa. Sijoittelusummausen symbolina äytetään merintää " ", joten lausee M [ ] " " [ ] e e () taroittaa sitä, että elementtiveron jäyyysmatriisi muodostetaan sijoittelusummaamalla M appaletta elementtien jäyyysmatriiseja. Tulosesta () näyy, että saatu jäyyysmatriisi on symmetrinen ja sen päälävistäjäaliot ovat positiivisia. Matriisi [ ] on lisäsi singulaarinen, sillä uvan 6 (b) solmumittausjärjestelmään sisältyy asiaalinen jäyän appaleen liiemahdollisuus, jota vastaava tasapainoyhtälö on () Matriisin () saraeet ja rivit toteuttavat tämän yhtälön. Elementtiveron perusyhtälössä () on oiealla puolella solmuuormitusvetori { }, joa sisältää solmuihin vaiuttavat uormituset ja tuntemattomat tuireatiot. Tässä tapausessa on uvan 6 (a) perusteella { } { } (5) missä ja tunnetaan tuiomponentit ja. Ne ovat nollia, jos tuet ovat siirtymättömiä tai annetun suuruisia paosiirtymiä eli inemaattisia uormitusia. Perusyhtälö () on siis aui irjoitettuna ovat tuntemattomia tuireatioita. Solmusiirtymävetorista { } + + (6) Yhtälössä (6) on solmusiirtymä- ja solmuuormitusvetorissa tunnetut omponentit lihavoitu. Ryhmää (6) ei voi rataista ääntämällä erroinmatriisi, sillä se on singulaarinen. Lisäsi tuntemattomia esiintyy myös yhtälöryhmän oiealla puolella. Rataisu saadaan esimerisi niin, että otetaan ryhmästä (6) vapaita solmusiirtymiä ja vastaavat yhtälöt, jolloin saadaan yhtälöpari

7 6/7 + ( + ( + + ) ) (7) eli matriisimuodossa irjoitettuna (8) joa voidaan rataista ääntämällä erroinmatriisi. un ja on rataistu, saadaan tuireatiot ja ryhmän (6) ensimmäisestä ja neljännestä yhtälöstä eli + (9) Edellä esitetty jäyyysyhtälön rataisumenetelmä on tehoton ja hanala ohjelmoida, joten ohjelmistoissa se on orvattu tehoaammilla menetelmillä. VAPAAT SOLMSIIRTYMÄT VERON VAPASASTEINA Vaia elementtimenetelmää ei varsinaisesti ole ajateltuaan äsilasumenetelmäsi, on teorian havainnollistamisesi syytä äsitellä pieniä malleja myös ilman tietoonetta. Tuisiirtymien ollessa nollia voidaan lasentatyötä jonin verran vähentää jättämällä tuivapausasteet lasennan aluvaiheessa pois elementtiveron solmumittausesta, jolloin sijoittelusummaus johtaa suoraan vapaiden solmusiirtymien yhtälöryhmään. Tuntemattomat tuireatiot voidaan siirtymien rataisemisen jäleen lasea elementin perusyhtälön avulla. uva. Vapaat solmusiirtymät. uvassa on esitetty edellä tarasteltu asiaalisen raenteen elementtivero, jossa solmusiirtymät solmuissa ja on varustettu vapausastenumeroilla ja seä iinteisi oletetuissa tuisolmuissa ja on yhteinen vapausastenumero merinä siitä, että nämä vapausasteet jätetään aluvaiheessa lasennasta pois. Tuivapausasteiden pois jättäminen pienentää tässä tapausessa ahdella veron jäyyysmatriisin ja solmusiirtymäja solmuuormitusvetorin dimensioita. uvan veron jäyyysyhtälö voidaan muodostaa tavanomaisesti sijoittelusummausella elementtien jäyyysmatriiseista jättäen uitenin huomioonottamatta ne aliot, joiden osoitteessa esiintyy vapausastenumero. Muo-

8 6/8 dostetaan alusi elementtien jäyyysmatriisit ja varustetaan ne alioiden osoitenumeroilla, jolloin saadaan tulosesi seuraavat matriisit [ ] [ ] [ ] () Elementtien jäyyysmatriiseissa on sijoittelusummauseen osallistuvat aliot lihavoitu. un sijoittelusummaus suoritetaan näillä alioilla, saadaan elementtiveron perusyhtälösi + + () josta näyy, että yhtälöön (8) päästään tällä teniialla suoraan (huomaa merintäero vapausastenumeroinnissa). Yhtälöön (8) päästään myös, un ryhmästä (6) pyyhitään pois tuettuja solmumittausia ja vastaavat rivit ja saraeet. orostetaan vielä, että pelien vapaiden solmusiirtymien äyttö vapausasteina onnistuu vain, un tuisiirtymät ovat nollia. Nollasta poieavien inemaattisten uormitusten äsittely edellyttää niihin liittyvien vapausasteiden ottamista muaan solmumittauseen. A EA EA 7 5 L L A N 8 N mm mm mm A mm A mm E GPa A ESIMERI ES6E Tarastellaan uvan muaista ahden pistevoiman uormittamaa raennetta. Elementtiverossa on olme elementtiä ja neljä solmua, joissa on ysi vapausaste. Solmuissa mitattavat suureet ovat vaaasuuntainen siirtymä ja voima, joiden positiivinen suunta on oiealle. Lasuissa äytetään ysiöitä N ja mm, mutta laatuja ei tulosia luuun ottamatta meritä näyviin. Elementtien jäyyysvaiot ja jäyyysmatriisit ovat [ ] [ ] [ ]

9 Elementtiveron perusyhtälösi [ ]{ } { } 6/9 tulee sijoittelusummausella seä ottamalla huomioon siirtymien reunaehdot seä uormituset Tuntemattomat solmusiirtymät ja saadaan rataistua jäyyysyhtälöryhmän toisesta ja olmannesta yhtälöstä, jota ovat Edellä olevan yhtälöparin rataisu on,69mm,7857mm Tuntemattomien tuireatioiden arvot ja selviävät nyt jäyyysyhtälön ensimmäisestä ja neljännestä yhtälöstä, joista seuraa tuloset 7,5N 7,5N Raenteen vapaaappaleuvasta nähdään asiaalisen voimatasapainon toteutuvan saaduilla tuireatioiden arvoilla.,5 N N 8 N,5 N Rataistaan seuraavasi elementtien solmuvoimavetorit äyttämällä elementin perusyhtä- f u. Tulosesi saadaan vetorit löä { } [ ]{ } f f 7 7 7,5 N 7,69,5 f f 5 5 5,69 6,75 N 5,7857 6,75

10 6/ f f 7 7 7,7857,5 N 7,5 Seuraavassa uvassa ovat elementtien ja solmujen vapaaappaleuvat, joista voidaan todeta aiien solmujen ja elementtien olevan tasapainossa. 6,75 6,75,5,5,5,5,5,5,5 6,75 6,75,5,5,5 8 Elementtien vapaaappaleuvien perusteella saadaan oheinen normaalivoimauva.,5 N + - 6,75 N,5 N Tarastellaan toisena uormitustapausena tilannetta, jossa pistevoimien sijasta uormitusena on vasemmanpuoleisen tuen siirtymä δ mm vasemmalle. Elementtiveron perusyhtälössä [ ]{ } { } jäyyysmatriisi [ ] riippuu raenteen geometriasta ja siinä olevien materiaalien ominaisuusista, mutta ei sisällä mitään tietoja tuennasta tai uormitusista. Saman raenteen eri uormitustapausia voidaan siis äsitellä saman jäyyysmatriisin avulla. ineettiset uormituset sijoittuvat solmuuormitusvetoriin { } ja inemaattiset uormituset solmusiirtymävetoriin { }. Elementtiveron perusyhtälö on tässä tapausessa jona toisesta ja olmannesta yhtälöstä saadaan tuntemattomien solmusiirtymien ja rataisemiseen yhtälöpari 7 ( ) ,65mm,75 mm Perusyhtälön ensimmäisestä ja neljännestä yhtälöstä voidaan lasea tuireatiot

11 6/ 7 ( ) 7 6,5 N 7 6,5 N On ilmeistä, että tähän uormitustapauseen liittyvät muut lasut voidaan tehdä ensimmäisen uormitustapausen yhteydessä esitetyllä tavalla, joten ei jateta tämän tapausen tutimista pitemmälle. HARJOITS ES6H Muodosta uvan muaisen tasapasun asiaalisen raenteen elementtiveron jäyyysmatriisi sijoittelusummausella. irjoita vastaava elementtiveron perusyhtälö ja rataise se. Raenteen poiileiausen pinta-ala on A mm ja materiaalin immomoduuli on E GPa. Rataise elementtien 5 N N perusyhtälöistä solmuvoimavetorit ja piirrä 5 mm 5 mm raenteen normaalivoimauva. Vast. (5 / )mm ( / )mm 5N Vihjeet: HARJOITS ES6H A A B C D L L uvan raenne oostuu sauvoista BC ja CD. Sauvan CD poiipinta-ala on asinertainen sauvan BC poiipinta-alaan verrattuna. Sauvoilla on sama pituus L ja immomoduuli E. uormitusena on tuen D siirtyminen määrällä oiealle. Määritä asiaalista sauvaelementtiä äyttäen ohdan C vaaasiirtymä, tuireatiot ohdissa B ja D seä sauvojen normaalijännityset. Vast. E A L E A L Vihjeet:

Simo Ali-Löytty Kalmanin suodatin ja sen laajennukset paikannuksessa

Simo Ali-Löytty Kalmanin suodatin ja sen laajennukset paikannuksessa TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tenis-luonnontieteellinen osasto Simo Ali-Löytty Kalmanin suodatin ja sen laajennuset paiannusessa Diplomityö Aihe hyväsytty osastoneuvostossa 10.3.2004 Tarastaja: professori

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia...............

Lisätiedot

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Tommi Syrjänen 1 Yleistä pumppauslemmoista Pumppauslemmalla voidaan todistaa, että kieli ei kuulu johonkin kieliluokkaan.

Lisätiedot

DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA DISKREETTI MATEMATIIKKA 1 2 DISKREETTI MATEMATIIKKA Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 2. Kombinatoriikkaa 8 2.1. Tulo- ja summaperiaate 9 2.2.

Lisätiedot

Lukiotason matematiikan tietosanakirja

Lukiotason matematiikan tietosanakirja niinkuin matematiikka Simo K. Kivelä Lukiotason matematiikan tietosanakirja Versio 1.12 / 10.08.2000 Simo K. Kivelä Riikka Nurmiainen TKK 1998 2005 Taustat 1/1 Lukiotason matematiikan tietosanakirja M

Lisätiedot

Y100 kurssimateriaali

Y100 kurssimateriaali Y kurssimateriaali Syksy Jokke Häsä ja Jaakko Kortesharju Sisältö Johdanto 4 Reaaliarvoiset funktiot 5. Funktio.................................... 5. Yhdistetty funktio.............................. 7.3

Lisätiedot

1.1 Yhtälön sieventäminen

1.1 Yhtälön sieventäminen 1.1 Yhtälön sieventäminen Lausekkeeksi voidaan kutsua jokaista merkittyä laskutoimitusta. Sellaisia matema-tiikan tehtäviä on vähän, joita suorittaessaan ei joutuisi sieventämään lausekkeita, millä tarkoitetaan

Lisätiedot

Kreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden

Kreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden MAB2: Geometrian lähtökohdat 2 Aluksi Aloitetaan lyhyellä katsauksella geometrian historiaan. Jatketaan sen jälkeen kuvailemalla geometrian atomeja, jotka ovat piste ja kulma. Johdetaan näistä lähtien

Lisätiedot

1.Kuvauksen lähtöaineisto

1.Kuvauksen lähtöaineisto 1.Kuvauksen lähtöaineisto 1 Tieteen tehtävänä on uuden tiedon hankkiminen. Käyttäytymistieteet tutkivat elollisten olioiden käyttäytymistä voidakseen ymmärtää sitä tai ainakin löytääkseen siitä säännönmukaisuuksia;

Lisätiedot

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015 Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 995 05 Tehtävät 9. Pohjoismainen matematiikkakilpailu, 5.3.995 995.. Olkoon AB O-keskisen ympyrän halkaisija. Valitaan ympyrän kehältä pistec

Lisätiedot

Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia

Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia T-79.4001 Tietojenkäsittelyteorian seminaari 0..008 1 Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia Loepp & Wootters, Protecting Information, luvut.4-.5 T-79.4001 Tietojenkäsittelyteorian

Lisätiedot

Kirjallisuuden vaihto hankintatapana

Kirjallisuuden vaihto hankintatapana Tieteellisen kirjallisuuden vaihtokeskus - Georg Strien Kirjallisuuden vaihto hankintatapana Tieteellisen kirjallisuuden vaihdolla on pitkä perinne, vanhimmat viitteet löytyvät vuodesta 1694 Ranskasta.

Lisätiedot

Palloja voi pyörittää kevyellä liikkeellä normaaliasennosta (harmaa) vaakatasossa niin, että numerot tulevat

Palloja voi pyörittää kevyellä liikkeellä normaaliasennosta (harmaa) vaakatasossa niin, että numerot tulevat PELIOHJE 1 (14) Pelaajat: 2-4 pelaajaa Ikäsuositus: 6+ SISÄLTÖ / PELIVÄLINEET 1 kääntyvä satataulu 100 lukukorttia (sis. luvut 1-100) 6 jokerikorttia 2 noppaa (sis.luvut 1-10) 30 pelimerkkiä PELI OPETTAA

Lisätiedot

Luova ympäristö lasten omaaloitteisen

Luova ympäristö lasten omaaloitteisen Luova ympäristö lasten omaaloitteisen toiminnan tukemiseksi (Miten käytimme TRIZ:a lasten TV-pelin suunnittelutyössä?) Kirjailija Karl Rautio Creavit Media Osk (Suomi) 2013 Opetusaineisto on valmistunut

Lisätiedot

D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I. origo x

D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I. origo x D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I origo f ( x, y ) x y 4 1 Segmentointi...43 1.1 Epäjatkuvuuskohtiin perustuva segmentointi... 43 1.1.1 Pisteentunnistus (point etection)...

Lisätiedot

YKSINKERTAISTEN RAKENNEMALLIEN TASAPAINO YHT ALOT - osa I SUORAT JA KAAREVAT TASOSAUVAT

YKSINKERTAISTEN RAKENNEMALLIEN TASAPAINO YHT ALOT - osa I SUORAT JA KAAREVAT TASOSAUVAT YKSINKERTAISTEN RAKENNEMALLIEN TASAPAINO YHT ALOT - osa I SUORAT JA KAAREVAT TASOSAUVAT Juha P aavola ja Eero-Matti Salonen Rakenteiden Mekaniikka, Vol. 28 No. 4, 1995, s. 29-43. T IIVISTELMA Taman artikkelisarjan

Lisätiedot

Karttojen värittäminen

Karttojen värittäminen Karttojen värittäminen Neliväriongelman värityskombinaatioiden lukumäärän etsiminen graafien avulla Eero Räty & Samuli Thomasson Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

LINEAARISESTI MUUTTUVALLA NORMAALIVOIMALLA KUORMI TETUN SAUVAN NURJAHDUS

LINEAARISESTI MUUTTUVALLA NORMAALIVOIMALLA KUORMI TETUN SAUVAN NURJAHDUS LINEAARISESTI MUUTTUVALLA NORMAALIVOIMALLA KUORMI TETUN SAUVAN NURJAHDUS Markku Heinisuo Rakenteiden Mekaniikka, Vol.26 No 4, 1993, pp. 25-37 Tiivistelma: Artikkelissa esitetaan tasonurjahdustarkastelu

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan lyhyesti peliteoriaan. Peliteorian ratkaisukäsite on Nashin tasapaino, jonka jo Augustin Cournot esitti duopolimallinsa ratkaisuna v. 1838. Cournot n

Lisätiedot

Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta

Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta 21.7.2009 Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Kiihdyttäviä autoja, lipsuvia hihnoja, loistavia tehtäviä, loistavaa filosofiaa LAske! Sisältö Alustavia lähtökohtia mekaniikkaan...

Lisätiedot

Miten nostaa yläasteen oppilaitten kiinnostusta matematiikan sanallisia tehtäviä kohtaan? Esimerkkejä, neuvoja, analyysi

Miten nostaa yläasteen oppilaitten kiinnostusta matematiikan sanallisia tehtäviä kohtaan? Esimerkkejä, neuvoja, analyysi Solmu 1/2008 1 Miten nostaa yläasteen oppilaitten kiinnostusta matematiikan sanallisia tehtäviä kohtaan? Esimerkkejä, neuvoja, analyysi Pavel Shmakov MAFYKE-lehtori, Käpylän peruskoulu, Helsinki shpavel@luukku.com

Lisätiedot

Kustannus-hyötyanalyysi julkisessa päätöksenteossa: esimerkkinä alueellistamisen arviointi. Heikki Pursiainen

Kustannus-hyötyanalyysi julkisessa päätöksenteossa: esimerkkinä alueellistamisen arviointi. Heikki Pursiainen Kansantaloudellinen aikakauskirja 110. vsk. 2/2014 Kustannus-hyötyanalyysi julkisessa päätöksenteossa: esimerkkinä alueellistamisen arviointi Heikki Pursiainen Poliittisen päätöksenteon taustalla olevat

Lisätiedot

Itseindeksit Kun tiivistetty teksti ja sen indeksi ovatkin sama asia

Itseindeksit Kun tiivistetty teksti ja sen indeksi ovatkin sama asia Tietojenkäsittelytiede 25 Joulukuu 2006 sivut 28 37 Toimittaja: Jorma Tarhio c kirjoittaja(t) Itseindeksit Kun tiivistetty teksti ja sen indeksi ovatkin sama asia Veli Mäkinen Helsingin yliopisto Tietojenkäsittelytieteen

Lisätiedot

Alkusanat ja sisällysluettelo

Alkusanat ja sisällysluettelo Alkusanat ja sisällysluettelo Tässä ohjeessa käsitellään pintapuolisesti ohjelman sujuvan käytön aloittamiseksi tarvittavien pohjatietojen lisääminen. Useimmat ohjeessa käsitellyistä toimenpiteistä onnistuvat

Lisätiedot

8. Yhdistetyt rasitukset

8. Yhdistetyt rasitukset TAVOITTEET Analysoidaan ohutseinäisten painesäiliöiden jännitystilaa Tehdään yhteenveto edellisissä luennoissa olleille rasitustyypeille eli aksiaalikuormalle, väännölle, taivutukselle ja leikkausvoimalle.

Lisätiedot

Djid _Zc\^ engi_ohjekirja_091107.indd 1 9.11.2007 10:47

Djid _Zc\^ engi_ohjekirja_091107.indd 1 9.11.2007 10:47 Kaikki erilaisia, kaikki samanarvoisia! Jokainen meistä on jollain tavalla erilainen kuin muut: yhdellä on valtava punainen kiharapehko, toisella tumma iho, kolmannella hörökorvat, iso peppu tai jotain

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Aki Taanila MÄÄRÄLLISEN AINEISTON KERÄÄMINEN

Aki Taanila MÄÄRÄLLISEN AINEISTON KERÄÄMINEN Aki Taanila MÄÄRÄLLISEN AINEISTON KERÄÄMINEN 19.5.2014 SISÄLLYS 0 JOHDANTO... 1 1 LAADULLINEN VAI MÄÄRÄLLINEN?... 2 2 TUTKIMUSPROSESSI... 3 2.1 Suunnittelu... 3 2.2 Toteutus... 5 3 EI-KOKEELLINEN TUTKIMUSASETELMA...

Lisätiedot