TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe sarja A

Transkriptio

1 TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintauulustelujen matematiian oe sarja A Ohjeita. Sijoita joainen tehtävä omalle sivulleen. Laadi rataisut seleästi v älivaiheineen, tarvittaessa irjoita rataisu uudelleen puhtaasi. Meritse hyl äämäsi rataisu yliviivaamalla se, sillä saman tehtävän useista rataisuista huonoin otetaan muaan arvosteluun. A1. Millä parametrin p arvoilla yhtälöllä x x + p 4p + 16 = 0 on rataisu x = 3? Miä on tällöin yhtälön toinen rataisu? A. Määritä funtion f (x)=sin 3 x 3sinx + 8x 11 suurin ja pienin arvo välillä [0, 7]. (Anna vastauset olmen desimaalin taruudella.) A3. Kolme averusta pelaa peliä, jossa pussista nostetaan soona valoisia ja mustia uulia. Pussissa on ysi valoinen ja neljä mustaa uulaa. Vuorossa oleva pelaaja nostaa yhden uulan. Miäli se on valoinen, on nostaja voittanut; muutoin uula palautetaan pussiin, ja vuoro siirtyy seuraavalle. Vuoro iertää, unnes valoinen uula on nostettu. a) Millä todennäöisyydellä peli rateaa ennenuin uaan pelaajista on nostanut asi ertaa? b) Oloot pelaajat vuorojärjestysessä A, B ja C. Miä on unin pelaajan todennäöisyys voittaa peli? ja osan ärjen välisestä matasta ja ääntyy sitten taaisin ulemaan ohti osan tyveä. Osan tyveä ohti uliessaan Mauri aina malttaa ulea 60 % ääntymispisteen ja tyven välisestä matasta, minä jäleen se jälleen ääntyy ulemaan ohti osan äreä. Erään erran, un Mauri ääntyy ulemaan ohti osan äreä, Maurin etäisyys osan tyvestäonx 0. Kun Mauri tämän jäleen n:nnen erran ääntyy ulemaan ohti osan äreä, Maurin etäisyys osan tyvestäonx n, n > 0. a) Määritäetäisyyden x n lausee etäisyyden x n 1 funtiona. b) Määritäetäisyyden x n lausee etäisyyden x 0 funtiona. c) Miäonx 0, un tiedetään, ettäääntyminen tiettyyn suuntaan tapahtuu aina samassa pisteessä? (Anna vastaus ahden desimaalin taruudella.) A6. Origoesisen ysiöympyrän aari K sijaitsee xy-tason 1. neljännesessä. Origosta aaren K päätepisteisiin piirretyt janat muodostavat positiivisen x-aselin anssa ulmat α ja β, missä 0 α < β π. Oloon A aaren K ja x-aselin väliin jäävä alue uten uvassa 1. Vastaavasti, oloon B aaren K ja y-aselin väliin jäävä alue. Osoita, että alueiden A ja B pinta-alojen summa on luuarvoltaan yhtä suuri uin aaren K pituus. (Anna vastauset olmen desimaalin taruudella.) A4. Millä vaion, <, arvoilla on voimassa x + 3 dx = (x + 3)dx? A5. Päättämätön mittarimato Mauri ulee edestaaisin pitin osaa, jona pituus on 1. Aina äännyttyään ohti osan äreä se ulee 80 % ääntymispisteen α Kuva 1 β A K Liite: aavaooelma c TKK 006

2 INSMAT 006 tehtävä 1 sarja A sarja B sarja C sarja D alustava Välttämätön ja riittävä ehto parametrille p on, että p toteuttaa yhtälön, joa saadaan sijoittamalla aluperäiseen yhtälöön x = 3, siis 9 6p + p 4p + 16 = 0 eli p 10p + 5 = 0, x = 4 p = 0 x = 5 p = 0 x = 6 p 14p + 49 = 0 jona ainoa rataisu on p = 5 p = 6 p = 6 p = 7 3p (asoisjuuri). Sijoittamalla aluperäiseen yhtälöön p = 5 saadaan yhtälö x 10x + 1 = 0, x 1x + 3 = 0, x 1x + 35 = 0, x 14x + 48 = 0, jona rataisut ovat x 1 = 3 (annettu) ja x = 7. x = 8 x = 7 x = 8

3 INSMAT 006 tehtävä sarja A sarja B sarja C sarja D alustava Funtio f on aiialla derivoituva; mahdollisia ääriarvoohtia voivat siis olla ainoastaan f:n derivaatan 0-ohdat ja tarasteluvälin päätepisteet. f (x) = 3 sin x cos x - 3 cos x + 8/11 = = 3(sin x 1) cos x + 8/11 = = - 3 cos 3 x + 8/11 f (x) = - 3 cos 3 x + 11/7 f (x) = - 3 cos 3 x + 3/9 f (x) = - 3 cos 3 x + 14/9 (sillä sin x 1 = - cos x ). Siis piste x on f :n 0-ohta jos ja vain jos cos x = cos x = 3 = cos x = cos x = cos x = p Tämän yhtälön rataisut ovat x 0 = (lasimesta) ja lisäsi pisteet nπ ± x 0, missä n on oonaisluu. x 0 = x 0 = x 0 = Väliillä [0,7] sijaitsevat rataisut ovat x 0 :n lisäsi x 1 = π - x 0 = seä x = π + x 0 = x 1 = x = x 1 = x = x 1 = x = Lasemalla funtion arvot f(0), f(x 0 ), f(x 1 ), f(x ) ja f(7) todetaan, että pienin on f(x 0 ) ja suurin on f(7) f(x 0 ) = f(8) = f(x 0 ) = f(7) = 16.0 f(x 0 ) = f(8) =

4 INSMAT 006 tehtävä 3 alustava a) Todennäöisyys, että vuorossa oleva pelaaja nostaa mustan uulan, on 5 4 = 0,8. Todennäöisyys, että olmella ensimmäisellä nostolla saadaan musta, on silloin 0,8 3. Kysytty todennäöisyys, joa on tapahtuman olmella ensimmäisellä musta omplementtitapahtuman todennäöisyys, on siis 1-0,8 3 = 0,488. b) Meritään tapahtumia A = pelaaja A voittaa jne. Jos pelaaja A nostaa ensimmäisellä erralla mustan (todennäöisyys = 0,8), siirtyy vuoro pelaajalle B, joa on nyt aivan samassa tilanteessa uin A oli pelin alussa. Näin ollen on oltava P(B) = 0,8 P(A). Vastaavasti, jos seä A että B ensimmäisillä yritysillään ovat nostaneet mustat (todennäöisyys = = 0,8 ), on C:n voittotodenäöisyys sama uin oli A:n voittotodenäöisyys pelin alaessa (eli P(A)), joten C:n voittotodennäöisyys pelin alaessa on P(C) = 0,8 P(A). Kosa jou (ja vain ysi) pelaajista lopulta varmasti voittaa, on P(A) + P(B) + P(C) = 1 eli (1 + 0,8 + 0,8 ) P(A) = 1. Saadaan P(A) = 1,44 0,410, mistä edelleen P(B) 0,38 ja P(C) 0,6. Huom: Todennäöisyydet voidaan lasea myös geometristen sarjojen avulla; esim. P(A) = P(valea) + P(3 mustaa, sitten valea) + P(6 mustaa, sitten valea) +... = 1 = 0, + 0,8 3 0, + 0,8 6 0, +... = 0, 0,410 jne ,8

5 INSMAT 006 tehtävä 4 sarja A sarja B sarja C sarja D alustava Jos aiissa integrointivälin pisteissä x (ts. un < x < ) pätee x+3 > 0, on yhtälö voimassa, osa tällöin voidaan suoraan poistaa itseisarvomerit molemmilta puolilta. Selvästi näin on, jos +3 > 0 eli > -3/. > -5/ > -7/ > -9/ Tapausessa < -3/ saadaan : vasen puoli = 3 / = x + 3 dx = ( x + 3)dx + ( x + 3)dx =... = /, / / / 3 / oiea puoli = ( x + 3)dx = On siis löydettävä ne :n arvot ( < -3/ ), joilla joo a) / = 10 3 tai b) / = - (10 3 ). Vaihtoehto a) antaa / = 0 eli = -3/, joa ei toteuta ehtoa < -3/. Vaihtoehto b) ei voi toteutua millään :n arvolla, osa b):n yhtälö johtaa ristiriitaan 9/ = -10. = -5/ 53/ = -14 = -7/ 85/ = -18 = -9/ 15/ = - Siis tapausessa < -3/ ei saada uusia rataisuja, joten tehtävän ehdon toteuttavat ne ja vain ne vaiot, joilla -3/ < <. -5/ < < -7/ < < -9/ < <

6 INSMAT 006 tehtävä 5 sarjat A ja C sarjat B ja D alustava Käytetään osan pisteen oordinaattina etäisyyttä osan tyvestä, jolloin siis esim. tyven oordinaatti on x = 0 ja osan ärjen oordinaatti on x = 1 jne. a) Mauri (Mats) siis lähtee pisteestä x n-1 taivaltamaan ohti pistettä 1, mutta ääntyyin eräässä pisteessä, sanoaamme pisteessä y, taaisin ohti pistettä 0 ja ulee pisteeseen x n asti (ja ääntyy sitten taas). Tehtävänannon muaan y x n-1 = 0,8(1 x n-1 ) eli y = 0,8 + 0, x n-1. Edelleen y x n = 0,6(y 0) eli x n = 0,4 y. y x n-1 = 0,8(1 x n-1 ) y x n = 0,7(y 0) eli x n = 0,3 y Saadaan x n = 0,4 (0,8 + 0, x n-1 ) eli x n = 0,3 + 0,08 x n-1. b) Edellisen nojalla x 1 = 0,3 + 0,08 x 0, x = 0,3 + 0,08 x 1 = 0,3 + 0,08 (0,3 + 0,08 x 0 ) = 0,3 (1 + 0,08) + 0,08 x 0, x 3 = 0,3 + 0,08 x =... = 0,3 (1 + 0,08 + 0,08 ) + 0,08 3 x 0 jne. Selvästi yleinen lausee on x n = 0,3 (1 + 0,08 + 0, ,08 n-1 ) + 0,08 n x 0, joa voidaan geometrisen summan aavan avulla vielä sieventää muotoon x n = 0,4 + 0,06 x n-1 x n = 0,4 (1 + 0, ,06 n-1 ) + + 0,08 n x 0 x n = n 0,3(1 0,08 ) 0,9 + 0,08 n x 0. c) Jotta olisi x n = x n-1 aiilla n, on välttämätöntä ja riittävää, että x 1 = x 0. Kohdan a) nojalla saadaan 0,3 + 0,08 x 0 = x 0, mistä x 0 = 0,3 0,9 0,35 Tällöin myös ääntymiset osan äripäässä tapahtuvat aina samassa pisteessä. x 0 = 0,4 0,94 0,6

7 INSMAT 006 tehtävä 6 Kosa yseessä on 1-säteinen ympyrä, aaren K pituus on suoraan β - α. alustava Viitaten tehtäväpaperin uvioon: Alue A sijaitsee ympyräsetorissa, jona ala on A:n vasemmalla puolella sijatsevan olmion ala = 1 cos β sin β. β π π = β ( huom. että ysiöympyrän ala = π ). Siis sen segmentin puoliaan ( setori olmio ), johon A sisältyy, ala on β - 1 cos β sin β. Alueen A ala saadaan vähentämällä tästä A:n oiealla puolella sijaitsevan segmentin puoliaan ala, joa riippuu ulmasta α samoin uin yllä lasettu ala riippuu ulmasta β. β 1 α 1 β α 1 Siis A:n pinta-ala = - cos β sin β - ( - cos α sin α) = - ( cos β sin β - cos α sin α ). π π Alueen B ala lasetaan samalla tavalla ulmien - α ja - β funtiona. 3p Kosa cos( π - α) = sin α jne., alueen B alasi saadaan β α - 1 ( sin α cos α - sin β cos β ). Summaamalla A:n ala + B:n ala saadaan β α + β α = β - α, uten pitiin.