S Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face
|
|
- Reijo Salonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 S Hahmontunnistus ihmisläheisissä äyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin taristus: ZN-Face Kalle Korhonen Tiivistelmä: Raportissa tutustutaan aupalliseen ZN-face ulunvalvontajärjestelmän [1] toimintaan ja toteutuseen. Järjestelmässä hahmon piirteet on talletettu pieniin (1.6 B) merittyihin graafeihin, jota tunnistetaan elastisen graafinsovitusalgoritmin laajennusella. Järjestelmä toimii tavallisessa PC:ssä suorittaen asvojen paiannusen ja tunnistusen 3.5 seunnissa. Se mahdollistaa seä varman talletettujen henilöiden tunnistamisen että tuntemattomien henilöiden hyläämisen asetettaessa hyväsymisynnys hyläämään aii tuntemattomat päästään 99%:n talletettujen henilöiden tunnistamiseen. [2] 1. Johdanto hmisten synnynnäinen ominaisuus tunnistaa asvoja valaistusesta, asvonilmeistä ja muista häiriöteijöistä huolimatta on autta aiain haastanut löytämään sitä mativa algoritmi tai prosessi. Varhaisimmat asvontunnistusalgorimit äyttävät asvonpiirteisiin perustuvaa tunnistusta, jossa tutitaan selvästi näyvien piirteiden (esim. ulmaarvat) paiaa ja ominaisuusia, tai mallipohjaista tunnistusta, jossa annettua uvaa verrataan suoraan valmiisiin asvopohjiin. Uudemmat menetelmät äyttävät mm. asvojen jaamista eigenfaces-menetelmällä seä neuraalilasennallista lähtöohtaa. [1] Tässä doumentissa tutustutaan neuraalilasentaan perustuvaan ZN-face järjestelmään, joa taristaa henilön antaman identiteetin asvouvan perusteella paljastaen näin väärällä henilötunnusella liiuvan huijarin. Käytettäessä asvontunnistusta hälytysjärjestelmässä pitää muistaa myös sen päätavoitteet: mahdollisimman nopea luotettava tunnistus seä väärien hälytysten pieni todennäöisyys. ZN-Face järjestelmä pystyy taristamaan asvot luotettavasti 99% taruudella [2] taaten täten vähäiset väärän hälytysen mahdollisuudet. 2. Toiminta Useimmat asvontunnistusalgoritmit tarvitsevat erilliset prosessit loalisaatiolle, erottelemiselle ja tunnistamiselle. ZN-Facen perusalgoritmi on elastisen graafinsovitusmenetelmän laajennus [1], jolloin erillisiä vaiheita ei tarvita, vaan samaa periaatetta voidaan äyttää joaiseen vaiheeseen yhtäaiaisesti. Elastisessa graafinsovitusmenetelmässä [3] asvoja äsitellään joustavan graafin avulla. Alusi uvan pisteistä muodostetaan tiheä neliömäinen graafi, joille lasetaan piirrevetorit Gabor-aaltofuntioiden avulla. Gaboraaltofuntiot iinnittävät arateristiset visuaaliset piirteet solmuohtiin ja niiden informaatio oostuu globaaleista, epätaroista seä paiallisista, suuremman taruuden omaavista piirteistä. Ennen tallettamista
2 graafista arsitaan tarpeettomat informaatiosisällöttömät pysty- ja vaaarivit [1] ja vain saatu harva, objetin muaan esitetty graafi talletetaan. Tunnistusvaiheessa uvasta muodostetaan adaptiivisesti talletettuun malligraafiin sopiva valmiisi harva graafi. Graafinmuodostusta ohjataan ustannusfuntiolla [3], joa suosii malligraafin solmujen samanaltaisuutta ja hylii graafin neliömäisyydestä poieamista. Tapahtuma toistetaan joaiselle tunnistettavan identiteetin malligraafille, joista valitaan pienimmän ustannusfuntion arvon omaava. ndentiteetin taristus tehdään muodostamalla samanaltaisuusarvo [1], jota verrataan referessigraafeille lasettuihin. Jos niiden ero ylittää hyväsymisynnysen tunnistettava asvo hyväsytään. 2.1 Kuvan esittäminen graafina Kuvan graafiesitys perustuu dynaamiseen lini aritehtuuriin (dynamic lin architecture). [3] Siinä uva-alue oostuu asiulotteisesta tauluosta solmuja A x = {( x, α ) α = 1,..., F}, jossa joainen solmu pisteessä x oostuu F :stä eri piirteitä tunnistavasta neuronista ( x, α), jossa puolestaan α :aa äytetään erottamaan eri piirretyypit. Ysinertaisimmillaan piirretyypit voivat olla vaiapa uvan intensiteettiarvoja, mutta yleensä äytetään monimutaisia suodatuseen perustuvia tyyppejä uten tässäin tapausessa. Tauluon solmujen A x arvot lasetaan ameran antamasta harmaasävyuvasta, josta saatu syöte johtaa piirreneuronisolmujen ( x, α) ativaatioon sx α. Joainen solmu A x sisältää jouon useita eri ativaatiosignaaleja J x = { s xα α = 1,..., F}, joita nimitetään suihuisi (engl. jet). Kaii solmut ovat myös ytettyjä lähinaapurustoonsa 4-ytentäisesti seä myös itseensä, joten uva-alaa voidaan hyvin sanoa meritysi graafisi (labeled graph).graafin raennetta havainnollistetaan uvassa 1. A x Suihu Säännöllinen meritty graafi Sovitusprosessissa muuntunut graafi uva 1. Erilaisten graafien ja suihun uvaus. Kuvan graafiesitysen puolesta puhuvat seuraavat seiat: [1] - Tiedon paaussuhde. Tavalliseen harmaasävyuvaan verrattuna graafi voidaan tallettaa huomattavasti pienempään tilaan. ZN-facen tapausessa 128 x 128 ooinen harmaasävyuva voidaan esittää 1.6 ilotavun ooisella graafilla, eli tieto paautuu ymmenesosaan aluperäisestä. - Saalaus. Graafeja voidaan helposti muuttaa geometrisesti oon tai perspetiivin muaan ilman harmaasävyuvien tarvitsemia monimutaisia transformaatioita. Tällöin vältytään myös vantisoinnin tai interpoloinnin aiheuttamilta virheiltä.
3 - Jaautuneisuus. Graafi sisältää orean tason uvausen harmaasävyuvan sisällöstä ja sen piirteistä jaautuneena useammalle solmulle. Sisi se on myös hyvin epäherä häiriöille yhden solmun puuttuminen ei siis vaieuta tunnistusprosessia. 2.2 Graafin solmujen piirteiden lasenta Gabor-aaltofuntiot Graafin solmujen piirteiden lasenta aloitetaan lineaarisella suodatusoperaatiolla harmaasävyuvalle, jona harmaatasojaaumaa voidaan meritä (x) :llä. Suodatusoperaatio toteutetaan onvoloimalla Gauss-funtion rajoittamalla tasoallolla ψ eli niinsanotulla Gabor tyypin aaltofuntiolla: [3] ψ r r2 rr x rr σ = exp exp 2 2 ( ix) exp σ 2σ 2 (1) missä haasulujen ensimmäinen termi määrittelee aaltofuntion värähtelevän osan ja toinen ompensoi nollataajuuden amplitudin. Vetori muuttaa Gauss-funtion leveyttä seä aallonpituutta ja suuntaa. σ puolestaan määrää iunan leveyden ja aallonpituuden suhteen lisäsi tarpeesi suurilla σ :n arvoilla nollataajuuden amplitudista tulee meritysetön. Komplesinen Gabor-aaltofuntio parittomasta osasta, s. uva 2. ψ oostuu parillisesta ja a) b) r uva 2. Gabor aaltofuntion reaalinen (a) ja imaginäärinen (b) osa arvolla = 0.72, φ = 45 [3] Gabor-aaltofuntion ψ aallonpituutta ja suuntaa muuttelemalla saadaan mitattua uvan ohdassa x 0 olevia piirteitä. Saatuja Gabor-ertoimia G meritään funtiolla: [4]
4 G ( x r ) ( x r 0 0 x r r = ψ r ) ( x ) dx r (2) Operaattori W uvaa onvoluutiota aiilla mahdollisilla :n arvoilla ja se lasetaan näytteistysruuduolla seä spatiaali- ( x 0 ) että taajuustasossa ( ): [3] rr r r r r (3) ( W)( x, ) ( ) ( ) ( )( ) 0 : = ψr x 0 x x d 2 x = ψr x 0 Gabor-aaltofuntioiden hyviä puolia ovat niiden reagoivuus reunaviivoihin seä invarianttius uvan globaalin intensiteetin ja ontrastin muutosille. Myös hahmontunnistusessa esiintyvät turhat piirteet uten pään asennot ja ilmeet eivät vaiuta paljoa Gabor-aaltofuntioiden arvoihin. Lisäsi Gabor-aaltofuntioita suosivat neurobiologiset samanaltaisuudet; nisääiden visuaalinen aivouori sisältää neuroneita, joiden heryysäyrät ovat Gabor-aaltofuntioiden altaisia. [1] Jo yhdestä pisteestä saatujen Gabor-ertoimien G avulla voidaan palauttaa suhteellisen hyvä uvan approsimaatio, jossa pisteen lähellä olevat piirteet palautuvat taroina auempien jäädessä sumeisi, s. uva3. [4] a) b) uva 3. Aluperäinen (a) ja reonstruoitu (b) uva. Reonstrutiossa äytettiin 144 Gabor-ertoimen arvoa esipisteen ollessa vasemmassa silmässä. [4] Vaia Gabor-aaltofuntiot reagoivat suuresti reunaviivoihin, on niissä myös haittapuolensa reunan ohdalla vaste W ei ole tasainen piii, vaan se osilloi ominaistaajuudellaan aallonpituudella 2 π. Tämä voidaan uitenin välttää äyttämällä W :n itseisarvoa, jolloin se saadaan äyttäytymään monotonisesti. [3] Solmujen lasenta Tauluon solmujen A x arvot lasetaan näytteistämällä W viiden logaritmisesti hajautetun taajuuden v ja ahdesan suunnan φ µ muaan, joita indesoidaan ν { 0,...,4} ja µ { 0,...,7} : [3]
5 r iφ = e µ (4) νµ ν missä max / f ν ν = (5) ja πµ φ µ = (6) 8 jossa ertoimella f säädellään Gabor-aaltofuntioiden etäisyysiä taajuustasossa seä ertoimella max sen leveyttä. Kertoimia max ja f valittaessa annattaa myös muistaa uvan ohinaisuudesta ja uva-alueen äytön rajoittuneisuudesta johtuvat taajuusrajoituset, eli suurilla taajuusilla seä leveillä Gaboraaltofuntioilla esiintuleva lasostuminen. Saaduista W :n arvoista muodostetaan itseisarvoistamalla x 0 :n piirrevetori eli suihu r r Jνµ x = W x (7) ( 0 ) : ( )( νµ, 0 ) Solmujen särmien lasenta Solmujen särmät sisältävät ahden solmun väliset suhteelliset paiat, joita tarvitaan tunnistusvaiheessa estämään graafin solmujen leviäminen naapureidensa ulopuolelle. Solmujen ysinertaisesti Eulidisena pituusvetorina: x i ja x j suhteelliset paiat lasetaan ur r r ij : = x j xi, (, i j) E (8) missä E on solmujen särmäpisteet. 2.3 Elastinen graafinsovitusalgoritmi Graafinsovitusessa annettua graafia sovitetaan malligraafiin M siten, että jouo { } x solmunohtia optimoivat seä solmujen että niiden särmien paiat malligraafin suhteen. Saatu sovitus lasetaan ahden eri ustannusfuntion avulla. Piirrevetoreille J ja M J määritellään seuraava ustannusfuntio i
6 M M J J Sv ( J, J ) : = (9) M J J joa on osoittautunut vastustusyyisesi vaihtelevasta valaistusesta johtuvia ontrastieroja vastaan. [3] Solmujen etäisyysille ja M määritellään ustannusfuntio e ur ( ) ( ) ur 2, M ur : ur M ij ij ij ij S = (10) Nämä yhdistämällä saadaan lopullinen ustannusfuntio ur ur C x C C S S J x J ({ }) : ( ) M M = λ + = λ ij, ij ( ( ), ) (11) total i e v e v i (, i j) E i V jossa λ ontrolloi graafin jäyyyttä saottaen graafia suhteessa malligraafiin M. Graafin jäyyyttä voidaan myös muuttaa sovitusen edetessä pidettäessä alusi graafi täysin jäyänä eli λ se voidaan ohdistaa malligraafiin äyttäen lasennassa vain C v :tä unnes minimi saavutetaan. Koeissa tämä vaihe on osoittautunut erittäin vaaasi ja nopeasi, eiä sen lasennassa tarvita uin osaa solmupisteistä ja Gaboraaltofuntioiden taajuusista. [3] Tämän jäleen voidaan λ :n arvo lasea äärelliseen arvoon graafin solmupisteiden vääristymisen sallien. Solmupisteiden paioja muutetaan satunnaisesti unnes löydetään C total :n paiallinen minimi. Kumpaain vaihetta voidaan pitää simuloidun jäähdytysen altaisena. 2.4 Elastisen graafinsovitusalgoritmin laajennus ZN-face järjestelmässä on elastista graafinsovitusalgoritmia laajennettu huomaamalla mahdollisuus saalata graafia eri ooon uin malligraafi, s. uva 4. Menetelmä sallii jopa ±20-30%:n ooerot, joa on huomattavaa ahdesta eri syystä: [1] - Optimoidessa graafia ahteen eri suuntaan seä samalla saalaamalla sitä etsintäavaruutta laajennetaan yhdellä dimensiolla, joa asvattaa virhetulinnan mahdollisuutta. Käytännön oeissa näin ei uitenaan äynyt, vaan menetelmä äyttäytyi stabiilisti eri parametrien arvoilla - Periaatteessa graafin saalaaminen vaatisi myös Gabor-aaltofuntioiden saalaamista, joa puolestaan lisäisi tarvittavaa prosessointitehoa. Käytännössä saalaamattomat Gabor-aaltofuntiot toimivat hyvin saalattujen approsimaationa. Tämä voidaan äsittää Gabor-aaltofuntioiden ominaisuusien avulla ne reagoivat parhaiten uvan teräviin reunoihin, jota saalatessain pysyvät lähes aluperäisen altaisina.
7 a) b) uva 4. Mallin talletusessa äytetty graafi (a) seä siihen ZN-face järjestelmällä sovitettu graafi (b). [1] Tämän lisäsi algoritmi muodostaa pienimmän ustannusfuntion aiaan saavalle malligraafille M samanaltaisuusarvon Μ [ 0,1], jota verrataan referenssimallejen M ref samanaltaisuusarvoon. Tiettyjen ehtojen c (, ) ΜΜ > t (12) i ref i täyttyessä uvan ja malligraafin M sovitaan täsmäävän ja henilö todetaan oieasi. Termillä t i taroitetaan hyväsymisynnystä. 3. Toteutus ZN-face järjestelmä oostuu tavallisesta PC:stä, uvanaappaajasta ja onsolista, johon sisältyy amera, näyttö seä tunnusluvun luija, s. uva5a. [1] Kamera on sijoitettu puoliläpäisevän peilin taase, jota ääntämällä mahdollistetaan eriooisten henilöiden tunnistus. Kohdistettuaan itsensä amerauvan eselle, äyttäjä lauaisee uvanaappausen ja antaa tunnusoodin. ZN-face ei suinaan tunnista annettua uvaa aiien hahmojen jouosta, vaan taristaa sen vain annetun henilöllisyyden ohdalla vertaamalla sitä henilöstä muodostettuihin malligraafeihin seä erillisiin referenssigraafeihin. Lopullinen tunnistuspäätös tehdään aavan 12 muaan.
8 a) b) uva 5. ZN-face järjestelmän prototyyppi (a) ja äyttöliittymä (b). [2] Vaia uvan aappaamisessa äytetään puoli-automaattista menetelmää, jossa itse äyttäjä vaiuttaa lopulliseen tuloseen, ei järjestelmä uitenaan välty vaihteluilta pään oossa, suunnassa ja ilmeissä. Myös ameran ja peilin ääntämisessä syntyy virhettä aluperäiseen, edestä otettuun asvouvaan verrattuna. Nämä vaihtelut eivät onnesi vaiuta ovin paljoa elastisen graafinsovitusalgoritmin toimintaan, joa äsittelee jopa silmälasien suuruiset poieamat. Jäljelle jäävien häiriöteijöiden vuosi voidaan järjestelmään tallettaa saman asvouvan useita eri versioita. ZN-face on myös erittäin nopea. Aluperäinen elastinen graafinsovitusalgoritmi on äännetty tavalliselle PC:lle. Lasenta-aia on saatu optimoitua täydessä tunnistusessa n. 3,5s pituisesi 90Mhz Pentium-tasoisella laitteella, ilman erillisiä lasentaa nopeuttavia laitteita. Nopeus on osasi saatu aiaan pelällä henilöllisyyden taristamisella, eli läpiäytävien graafien määrää on saatu alennettua referenssigraafien lisäsi vain tunnistettavaan henilön graafien tasolle. Tämä ominaisuus yhdessä graafin pienen oon (1.6 B) anssa mahdollistaa myös suurten tietueiden hallinnan järjestelmään voidaan syöttää jopa yli tuhat tunnistettavaa asvoa. Ohjelman helppoäyttöisyyden lisäämisesi on siihen toteutettu Windows-pohjainen äyttöliittymä, joa äytön lisäsi mahdollistaa helpon ylläpidon, s. uva 5b.
9 4. Testaus ja tuloset Menetelmää testattaessa on muistettava yseessä olevan ulunvalvontajärjestelmä, jolloin pelä tunnistettujen asvojen luumäärä ei riitä uvaamaan järjestelmän toimivuutta testitulosten täytyy ertoa uina hyvin järjestelmä hylää järjestelmässä olemattomien ihmisten asvot. Nämä virheet on jaettu biometristen tutimusen muaan väärään hyläämiseen (False Rejection Rate, FRR) ja väärään hyväsyntään (False Acceptance Rate, FAR). Kuvassa 6 nähdään 800 tunnistusen tuloset (400 oieaa henilöä, 400 huijaria) hyväsymisynnysen t i funtiona. [2] Liian alhainen hyväsymisynnys nostaa väärien hyväsymisten määrää, un taas liian oreana se hylää liiasi oieita asvoja. Näiden arvojen yhdistetty minimi löytyy leiauspisteestä, jossa seä FRR että FAR saavat arvon 0.5%. Kosa yseessä on ulunvalvontajärjestelmä, voidaan väärien hyväsymisten määrää pitää huonompana ominaisuutena. Sisi hyväsymisynnys annattaa asettaa turvalliselle alueelle (FAR 0%), joa silti tuottaa vaadittavan väärän hyläämisten määrän (FAR<1%). Menetelmää on myös esitelty monissa näyttelyissä, uten CeBit 95 ja 96:ssa, jossa se toimi odotetusti aidossa ympäristössä. Kesästä 1995 lähtien järjestelmää on äytetty myös eräässä suuressa yhtiössä, jossa se on saanut äyttäjien esuudessa hyvän vastaanoton. uva 6. FFR (iinteä viiva) ja FAR (pisteviiva) hyväsymisynnysen funtiona. [2] 5. Yhteenveto ja pohdinta ZN-facen toiminta voidaan tiivistää olmeen eri vaiheeseen [1]: 1. Kuvan onvolointiin joaisen graafissa äytetyn Gabor-aaltofuntion anssa 2. Kuvan sovituseen talletettuun graafiin muuttamalla paiaa, ooa ja sisäistä raennetta. Saotermin muuntelulla ohjataan graafin muuntumista seä vältetään graafin liia vääristyminen. 3. Saadun graafin vertaamiseen malli- ja referenssigraafeihin, seä hyväsymispäätösen teemiseen aavan 12 avulla. Vaia ZN-face mahdollistaa nopean ja varman tunnistusen on siinä silti parantamisen varaa. Elastinen Graafinsovitusalgoritmi on herä varjoille, vaatien siten tasaisen valaistusen, eiä se myösään toimi monimutaisemmilla uvilla. ZN-face ehitetään edelleen ja siihen ollaan lisäämässä täysin automaattista asvouvien aappaamista seä asvontunnistusta monimutaisemmista uvista.
10 6. Viitteet [1] W. Konen, F. Schulze-Krüger. Zn-Face: A system for access control using automated face recognition. nt. Worshop on Face and Gesture Recognition, [2] M. Hormel, W. Konen, S. Fuhrmann, A. Flugel. Neural systems for complex identification tass: the access control system ZN-Face and the alarm identification SENECA. nt. Conference on Artificial Neural Networs, 1995 [3] M. Lades, J. Vorbrüggen, J. Buhmann, J. Lange. Distortion invariant object recognition in the dynamic lin architecture. EEE Transaction on Computers, 42: , [4] J. Buhmann, J. Lange, C. von der Malsburg. Distortion invariant object recognition by matching hierarchically labeled graphs. nt. Conference on Neural Networs, 1989
Sattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
LisätiedotVakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.
1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2
LisätiedotValon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa
Jväslän Ammattioreaoulu, IT-instituutti IXPF24 Fsiia, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pasi Repo Valon diffratio hdessä ja ahdessa raossa Laatija - Pasi Vähämartti Vuosiurssi - IST4S1 Teopäivä 2005-2-17 Palautuspäivä
Lisätiedot2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
Lisätiedot4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
LisätiedotDISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi
02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin
LisätiedotLAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO
LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen
/ ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai
LisätiedotEksponentti- ja logaritmiyhtälö
Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
LisätiedotVakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15
SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotEnnen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
Lisätiedot3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista
Elementtimenetelmän peusteet. KEHÄRAKENTEET. leistä ehäaenteista Kehäaenteen osina oleat palit oiat ottaa astaan aiia annattimen asitusia, jota oat nomaali- ja leiausoima seä taiutus- ja ääntömomentti.
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
LisätiedotSYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN
SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
LisätiedotHanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotNäkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström
Näyäalueanalyysi Jouhaisselä Tuore Kulvaoselä tuulipuisto 29032012 Annua Engströ Näyäalueanalyysin uodostainen Näeäalueanalyysilla saadaan yleisuva siitä, ihin tuulivoialat äytettyjen lähtötietojen perusteella
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta
LisätiedotM y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y
36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien
LisätiedotTuomo Mäki-Marttunen Stokastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaikannuksessa
TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Luonnontieteiden ja ympäristöteniian tiedeunta Tuomo Mäi-Marttunen Stoastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaiannusessa Diplomityö Aihe hyväsytty tiedeuntaneuvostossa
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
LisätiedotLuku kahden alkuluvun summana
Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
LisätiedotPalkkielementti hum 3.10.13
Palilmntti hum.0. Palilmnttjä Tarastllaan tässä sitysssä vain Eulr-Brnoullin palitoriaan prustuvia palilmnttjä. Tässä palitoriassa olttaan, ttä palin poiiliaus säilyy taivutttunain tasona, joa on ohtisuorassa
LisätiedotTyöntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet
Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 202 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös
LisätiedotNaulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle
LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.
Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.
LisätiedotLuku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt
SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,
LisätiedotMAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET
5 TLOUYRTTÄJÄN ELÄKELN UKEN VKUUTUKEN PERUTEET PERUTEDEN OVELTNEN Näitä perusteita soelletaan..009 lähtien maatalousrittäjän eläelain 80/006 YEL muaisiin auutusiin. VKUUTUKU Vauutusmasu uodelta on maatalousrittäjän
LisätiedotTalousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotC (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
LisätiedotTKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A
TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintauulustelujen matematiian oe 30.5.006 sarja A Ohjeita. Sijoita joainen tehtävä omalle sivulleen. Laadi rataisut seleästi v älivaiheineen, tarvittaessa
LisätiedotK-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä
Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotMiehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
Lisätiedot3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus
30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin
LisätiedotModaalilogiikan harjoitusteht vi Aatu Koskensilta 1 Harjoitusteht v t Teht v 100 a) Osoitamme, ett Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) vastaesim
Modaalilogiian harjoitusteht vi Aatu Kosensilta 1 Harjoitusteht v t 16.4 1.1 Teht v 100 a) Osoitamme, ett Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) vastaesimerin avulla. Otamme ehysisi F 1 = hz? ;?i ja F 1 = hz
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen
9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen
LisätiedotNaulalevylausunto LL13 naulalevylle
LAUSUNTO NRO VTT-S-3259-12 1 (4) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 151 Lahti 27.4.212 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 11, 244 VTT Puh. 2 722 5566, Fax. 2 722 73
Lisätiedot6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia
6 Lineaarisen ennustusen sovellusia Lineaarisella ennustusella on hyvin täreä asema monessa puheenäsittelyn sovellusessa. Seuraavassa on esitetty esimerejä siitä miten lineaarista ennustusta voidaan hyödyntää.
LisätiedotHARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen,
LisätiedotSAUNAN ENERGIANKULUTUS JA SIIHEN VAIKUTTAVAT TEKIJÄT The energy consumption of sauna and related factors
LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tenillinen tiedeunta Ympäristöteniian oulutusohelma BH10A0300 Ympäristöteniian andidaatintyö a seminaari SAUNAN ENERGIANKULUTUS JA SIIHEN VAIKUTTAVAT TEKIJÄT The energy
LisätiedotAALTO-OPAS H-BEND VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Juhana Kankainen j82081 Teemu Lahti l82636 Henrik Tarkkanen l84319
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Juhana Kanainen j8081 Teemu Lahti l8636 Henri Taranen l84319 SATE010 Dynaaminen enttäteoria AALTO-OPAS H-BEND Sivumäärä: 1 Jätetty tarastettavasi:
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
LisätiedotBLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011
BLY Paalulaattojen suunnittelu uitubetonista Petri Manninen BY 56 Paalulaatta - Yleistä Käytetään tyypillisesti peheillä, noraali- tai lievästi ylionsolidoituneilla savioilla ja uilla peheiöillä Mitoitustietojen
Lisätiedot7.1 Taustamelun estimoinnista
7 Puheen ehostus Puheen ehostamisea taroitetaan seaisia menetemiä, joia puheen aatua pyritään parantamaan. Kuuostaa ysinertaiseta, mutta mitä sitten taroitetaan aadua? Siä voidaan taroittaa ainain seeyttä
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
Lisätiedot4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet
4.3 Erillisten jouojen yhdisteet Ongelmana on pitää yllä ooelmaa S 1,..., S perusjouon X osajouoja, jota voivat muuttua ajan myötä. Rajoitusena on, että miään alio x ei saa uulua useampaan uin yhteen jouoon.
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi
Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2.
/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO : Tasoehän palielementti, osa. NELJÄN VAPAUSASTEEN PALKKIELEMENTTI Kun ahden vapausasteen palielementin solmuihin lisätään loaalin -aselin suuntaiset siirtmämittauset,
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
LisätiedotOHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan Syksy 2008
OHJ-2300 Johdatus tietojenäsittelyteoriaan Sysy 2008 1 2 Organisaatio & aiataulu Luennot: prof. Tapio Elomaa P1: Ti 14-16 TC 103 ja to 14 16 TC 133 P2: Ti 14-16 TB 219 ja to 12 14 TB 224 26.8. 20.11. Jussi
LisätiedotMAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan
3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa
Lisätiedottermit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
LisätiedotVALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 1. Työn tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus Tässä työssä tutit valoa aaltoliieenä. Ensimmäisessä osassa tutustut valon taipumiseen eli
LisätiedotVALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA
VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
LisätiedotLuento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )
Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat
Lisätiedot5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.
5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.
Lisätiedot(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA
Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi
LisätiedotAMBIGUITEETTIONGELMA KANTOAALLONVAIHEMITTAUKSESSA. JUKKA TOLONEN Teknillinen korkeakoulu Maanmittaustieteiden laitos jotolone@cc.hut.
MIGUITEETTIONGELM KNTOLLONVIHEMITTUKSESS JUKK TOLONEN Tenillinen oreaoulu Maanmittaustieteiden laitos otolone@cc.hut.fi . Johdanto Satelliittipaiannus perustuu vastaanottimen a satelliittien välisen etäisyyden
Lisätiedot2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = =
2 Lasuarjoitus 2 21 Kytentäimpedanssin asenta Mitä taroittaa ytentäimpedanssi? 5 ma:n suuruinen äiriövirta oasiaaiaapein vaipassa (uojoto) aieuttaa 1 mv:n suuruisen äiriöjännitteen 1 m:n mataa Miä on ytentäimpedanssin
Lisätiedot2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ********************************************************
.. Funtion asvainen ja väheneinen.. Bijetio. Funtion asvainen ja väheneinen Palautetaan ieleen funtion äsite. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ Oloot ja B asi ei-tyhjää
LisätiedotREIKIEN JA LOVIEN MITOITUS
REIKIEN J LOVIEN ITOITUS Leiauslujuuen ja poiittaisen vetolujuuen ansiosta Kerto -tuotteisiin on maollista teä reiiä. Reiät voivat olla joo pyöreitä tai suoraulmaisia. Erityisesti ristiviiluraenteinen
LisätiedotEETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA. Kandidaatintyö
EETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA Kandidaatintyö Tarastaja: Lehtori Konsta Koppinen Jätetty tarastettavasi 11. tououuta 2009 2 TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tietoliienne-
LisätiedotInteraktiiviset menetelmät
Interatiiviset menetelmät. Johdanto. Interatiivinen SWT-menetelmä 3. GDF-menetelmä 4. Yhteenveto Optimointiopin seminaari - Kevät 000 /. Johdanto Interatiivisissa menetelmissä päätösenteijä ja analyytio
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen,
LisätiedotPyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
LisätiedotLuku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt
SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja
Lisätiedot1974 N:o 622. Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. Liite 1.
1974 N:o 622 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) Muu
LisätiedotFinpyyn 81. kaupunginosan korttelin 97 ja Palomäen puiston (osa) asemakaavan muutos sekä I asemakaava 609 1655 VP 31/28.5.2015
ASEMAKAAVAN SELOSTUS Finpyyn 8. aupunginosan orttelin 97 ja Palomäen puiston (osa) asemaaavan muutos seä I asemaaava 609 655 Porin aupunisuunnittelu 26.4.206 Asemaaavan tunnus 609 655 Asemaaavan diaari
Lisätiedot3 Ääni ja kuulo. Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta.
3 Ääni ja kuulo 1 Mekaanisista aalloista ääni on ihmisen kannalta tärkein. Ääni on pitkittäistä aaltoliikettä, eli ilman (tai muun väliaineen) hiukkaset värähtelevät suuntaan joka on sama kuin aallon etenemissuunta.
LisätiedotRATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine
Physica 9. painos (6). Lämpötila ja paine :. Lämpötila ja paine. a) Suure, jolla uvataan aineen termoynaamista tilaa. b) Termoynaamisen eli absoluuttisen lämpötila-asteion ysiö. c) Alin mahollinen lämpötila.
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. yhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. yhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
LisätiedotKÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS
KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS Kiitos Canon-tuotteen ostamisesta. EOS 50D on suoritusyyinen digitaalinen SLR (Single-Lens Reflex) -amera, jona toimintoihin uuluvat tara, 15,10 tehollisen megapiselin CMOS-enno,
LisätiedotS-114.3812 Laskennallinen Neurotiede
S-114.381 Laskennallinen Neurotiede Projektityö 30.1.007 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1: Virityskäyrästön laskeminen Luokitellaan neuroni ensin sen mukaan, miten se vastaa sinimuotoisiin syötteisiin. Syöte
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia
8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.
LisätiedotESIM. ESIM.
1 Vierintäita f r lasetaan samannäöisellä aavalla uin liuuitain: Ihmisunnan erästä suurimmista esinnöistä eli pyörää äytetään sen taia, että vierintäitaerroin µ r on paljon pienempi uin liuuitaerroin:
LisätiedotREIKIEN JA LOVIEN MITOITUS
REIKIEN JA LOVIEN ITOITUS REIKIEN JA LOVIEN ITOITUS Leiauslujuuen ja poiittaisen etolujuuen ansiosta Kertotuotteisiin on mahollista tehä reiiä. Erityisesti ristiiiluraenteinen soeltuu ohteisiin, joissa
LisätiedotEksponenttifunktio. Johdanto. Määritelmä. Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
Solmu 3/08 3 Esponenttifuntio Pea Alestalo Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Jodanto Esponenttifuntio e x on eräs täreimmistä matematiiassa ja varsinin sen sovellusissa esiintyvistä
Lisätiedot