LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO"

Transkriptio

1 LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen, Kio Kleola AKKAROOIN ENTYMAATTINEN HYDROLYYI Työn taroitus Disaaridien glyosidiset sidoset voidaan hydrolysoida happoatalyytin avulla tai entsyaattisesti. Invertaasientsyyi hydrolysoi seletiivisesti -D-frutosideja. aaroosilla (4-O-( -D-gluopyranosyyli)- -D-frutofuranoosi) () hydrolyysituotteina ovat D-gluoosi (G) ja D-frutoosi (F) (yhtälö (1)). invertaasi (1) G F Entsyyit voivat olla reatioseosessa liuenneina tai ne on sidottu liueneattoaan antajaan. Moleissa tapausissa reatio tapahtuu entsyyin atiivisessa esusessa. Työssä tutitaan saaroosin hydrolyysiä invertaasientsyyillä äyttäen panos- ja iintopetireatoria. Invertaasi sidotaan heioon anioninvaihtohartsiin. Reation 1 ineettiset paraetrit ääritetään differentiaalienetelällä panosoeiden tulosista. Jatuvatoiisella iintopetireatorilla saatuja ittaustulosia verrataan näiden paraetrien avulla lasettuihin arvoihin.

2 Mittausenetelät 2 1. Katalyytin valistus Kaupallinen invertaasi sidotaan ionisesti anioninvaihtohartsin pintaan. idonta tehdään ph:ssa 6, jossa invertaasiproteiini on negatiivisesti varautunut ja antajan pinnalla olevat ryhät puolestaan ovat positiivisesti varautuneet. Näin uodostuvat sähöstaattiset "sidoset" iinnittävät entsyyin antajaan. Vesipitoinen antaja (n. 50 g) seoitetaan 100 L:aan invertaasiliuosta, ja seosta pidetään 45 C:ssa 2 h oo ajan hitaasti seoittaen. Kantajan tilavuus itataan ennen seoitusta. Invertaasiliuosessa on 50 L aluperäistä entsyyiliuosta ja 50 L ionivaihdettua vettä. Liuosen ph säädetään arvoon 6. Entsyyin sidonnan jäleen liuosfaasista otetaan 10 L näyte atiivisuusääritystä varten. Näytteen ja aluperäisen entsyyiliuosen atiivisuudet itataan ohdan 2 uaan. Lopusi sidottu entsyyi pestään ionivaihdetulla vedellä ja sitä säilytetään äränä jääaapissa. 2. Entsyyiatiivisuuden ittaus Ysi uner-ysiö (U) taroittaa sitä invertaasiäärää, joa tuottaa 1 g inverttisoeria (gluoosin ja frutoosin eviolaarinen seos) 5 inuutin aiana standardiolosuhteissa. Mittausolosuhteet: T 25 o C; ph 4,5; saaroosipitoisuus 6,5 p-%. Aluperäisestä entsyyiliuosesta tehdään 0,01 M asetaattipusuriin 1/10000 ja 1/20000 laiennoset. idonnan jäleinen näyte laiennetaan suhteissa 1/20, 1/200. Lisäsi valistetaan saaroosi- ja gluoosiliuoset seuraavasti: - 6,500 g saaroosia (pa-laatu)/ 100 L 0,01 M asetaattipusuria - 1,500 g D-gluoosia /100 L 0,01 M asetaattipusuria. Mittauset tehdään 10 L oeputissa vesihauteessa, joa on terostoitu 25 C:een. Kustain neljästä entsyyilaiennosesta otetaan 0,5 L oeputeen. Lisäsi yhteen oeputeen laitetaan 0,1 L gluoosiliuosta + 0,4 L vettä ja yhteen pelästään 0,5 L vettä. Näytteitä ja saaroosiliuosta terostoidaan uutaa inuutti ennen reation äynnistäistä. Mittaus aloitetaan lisääällä uhunin oeputeen 2,5 L saaroosiliuosta. Lisäyset tehdään esi. 30 s välein ja joaisessa oeputessa reation annetaan jatua tasan 30 in (ts. lisäys ensiäiseen oeputeen ajanhetellä t 0, toiseen ajanhetellä t 30 s, jne..). Reatio pysäytetään lisääällä oeputiin 7,0 L värjäysreagenssia ja oeputia pidetään tasan 10 in iehuvassa vesihauteessa. Kustain putesta otetaan jäähdytysen jäleen 2,0 L näyte ja siihen lisätään 8,0 L vettä. Lopusi itataan laiennosen absorbanssi aallonpituudella 515 n. Kullein entsyyinäytteelle tehdään lisäsi nollaoe. Näytteeseen (0,5 L) lisätään ensin värjäysreagenssi ja sitten vasta saaroosiliuos. Muuten nollanäytteet äsitellään uten edellä. Entsyyiliuosen atiivisuus R sol ysiöissä U/ 3 saadaan yhtälöstä (2). R sol 0,5 A A Näyte gluoosi - A - A Nollanäyte H 2 o laiennuserroin Laiennuserroin on lopputilavuuden suhde aluperäisen entsyyiliuosen tilavuuteen (10000, 20000, 20 tai 200) ja A taroittaa absorbanssia. (2)

3 3 3. Reatioittauset Panosreatori Panosoeet tehdään terostoidussa 1 d 3 pyöröolvissa, jossa on hyvä seoitus. Alusi tutitaan reationopeuden riippuvuutta atalyytin äärästä. Mittauset tehdään läpötilassa 35 C ja sidotun entsyyin äärät ovat 2, 5 ja 10 g. Lisäsi itataan reationopeus 25 C:ssa ja 45 C:ssa äyttäen esierisi 5 g entsyyiä. Kaiissa panosoeissa saaroosin aluonsentraatio on 0,5 ol/d 3 ja liuosäärä on 500 L. aaroosi liuotetaan 0,005 M asetaattipusuriin ja ph:si säädetään 5. Reatio äynnistetään lisääällä atalyytti terostoituun soeriliuoseen. Näytteitä, joiden tilavuus on 10 L, otetaan alussa 5-10 in välein, lopussa selvästi harvein. Näytettä otettaessa pysäytetään seoitus. Näyteliuos jäähdytetään huoneen läpötilaan ja se analysoidaan ohdan 4 uaan. Mittausen jäleen liuos palautetaan reatoriin. Reatiota jatetaan, unnes saaroosin onversio on % ja tasaantunut sille tasolle eli näytteenottoa jatetaan niin auan, että iertoula pysyy suunnilleen saana. Kiintopetireatori Kiintopetireatori tehdään paaaalla 10 g sidottua entsyyiä Pharasian Bioteh XK16-olonniin, jona jäleen yläpää suljetaan. Katalyyttierrosen läpötilasi säädetään 35 C vaipan vesiierron avulla. Katalyyttierros ei saa uivua ittausen aiana. 0,5 M saaroosiliuos syötetään reatoriin /in tilavuusvirtausnopeudella. Ulostuloonversio itataan äyttäen 3-4 eri virtausnopeutta ja liuosoostuus analysoidaan saoin uin panosoeissa. 4. Reatioseosen analysointi Näytteen saaroosionversio analysoidaan polarietrisesti, ts. ittaaalla näyteliuosen optinen iertoyy. Jäähdytetty näyte siirretään polarietriputeen (pituus 100 ) ja iertoula itataan laitteen äyttöohjeen uaisesti. aaroosionversion X ja itatun iertoulan [ o ] välinen riippuvuus on uotoa X M G 100 α - M [ α ] 0, l [ α ] + M F[ α ] - M [ α ] G F (3) aaroosin aluonsentraatio 0, [ol/d 3 ] lasetaan reagoiattoan soeriliuosen iertoulasta. M i ja [ ] i ovat oponentin i ooliassa [g/ol] ja oinaisiertoula [ o ] ja l on polarietriputen pituus etreinä. [ ] +66,5 o, [ ] G + 52,7 o ja [ ] F -93,0 o. M s 360,32 g/ol, M f 180,16 g/ol, M g 180,16 g/ol.

4 4 Tulosten äsittely 1. Reatioalli ja reatorialli Reation ajatellaan tapahtuvan ahdessa vaiheessa: 1) saaroosi sitoutuu entsyyin atiiviseen ohtaan /-E (yhtälö 4) 2) sitoutunut saaroosi /-E hydrolysoituu gluoosisi G ja frutoosisi F (yhtälö 5) /-E /-E (4) 2 / - E / - E + G + F (5) Olettaen, että reatio 5 on hydrolyysinopeutta ontrolloiva vaihe ja että ainoastaan saaroosi pystyy sitoutuaan entsyyiin, saadaan hydrolyysinopeudelle r h Mihaelis-Menten-tyyppinen yhtälö (6). r d - t K V h 2 d + (6) Yhtälössä (6) V on /V R, ja V R on reatorin nestetilavuus, on atalyytin assa, on saaroosin 1+ 2 onsentraatio, 2 on reation (5) nopeusvaio ja K on Mihaelis-Mentenin vaio. 1 Reationopeusyhtälö (6) on johdettu liitteessä 1. Differentiaalienetelässä ittaustulosista lasetaan derivaatan d /dt arvot eri ajanhetillä ja niiden avulla ääritetään yhtälön (6) vaiot 2 ja K. Tätä varten nopeusyhtälö irjoitetaan seuraavaan linearisoituun uotoon. 1 d 1 K + dt 2 V 2 V (7) Jos iintopetireatori toiii isoterisesti ja jos virtaus atalyyttierrosessa on tulppavirtausta, reation ainetase voidaan irjoittaa uotoon (tulee tulppavirtausreatorin PFR ainetaseesta): d dv r V & (8) Yhtälössä (8) r s on saaroosin hajoaisnopeus. toiioetrian uaan r s -r h. V & on tilavuusvirtausnopeus ja V on putireatorin tilavuus.

5 5 2. Mittaustulosten äsittely Atiivisuusittausten tulosista lasetaan aluperäisen invertaasiliuosen ja antajaan sidotun invertaasin atiivisuudet ysiöissä U/ 3 ja U/g. idotun entsyyin atiivisuus R i lasetaan yhtälöstä 9. R i V sol antaja ( R 0,sol R 4,sol ) (9) V sol on sidontaliuosen tilavuus (100 3 ) antaja on antajan assa (50 g). R 0,sol ja R 4,sol ovat atiivisuudet liuosessa ennen sidontaa ja sidonnan jäleen. Panosoeiden tuloset esitetään saaroosin onsentraation riippuvuutena reatioajasta ja (d /dt)- arvot lasetaan derivoialla ittauspisteiden autta sovitetun äyrän yhtälö (esi. toisen asteen polynoifuntio > derivoinnin jäleen suora). Konsentraatiot piirretään esierisi Exelillä ajan funtiona ja äyrään sovitetaan polynoi (Add trendline). Polynoi derivoidaan ja näin saadaan utain ittapistettä vastaavat d dt 1 -pisteet (huo. derivaattapisteistä otetaan äänteisluu). Vaiot 2 ja 1 d K saadaan tään jäleen suoran (7) f(1/ ) ulaertoiesta ja leiauspisteestä. Eri dt läpötiloissa itatuista nopeusvaioista lasetaan reation (5) ativoituisenergia E a Arrheniusen yhtälöstä (10). 2 0exp - E a (T) RT (10) Yhtälössä (10) 0 on frevenssiteijä, joa on läpötilasta riippuaton vaio, R on aasuvaio ja T on absoluuttinen läpötila (Kelvin). Vertaa saatua ativoituisenergiaa viitteessä [1] annettuun arvoon 9 al/ol. Yhtälö (10) saadaan linearisoidusi ottaalla yhtälön oleilta puolilta luonnollinen logariti. Tällöin saadaan ln( 2 ) 1/T:n funtiona (suora), jona ulaertoiesta ja leiauspisteestä saadaan E a ja o. Lisäsi tutitaan, riippuuo nopeusvaio 2 atalyytin äärästä. Kiintopetireatorin tuloset esitetään ulostuloonversion riippuvuutena syöttönopeudesta. Panosoeista ääritettyjä vaioita äytetään yhtälössä (8) lasettaessa ulostuloonversiota (Polyath, Matlab ). Esitä ittauspisteet ja lasettu riippuvuus saassa uvassa. Konversio ääritellään reagoineen saaroosin äärän suhteena aluperäiseen saaroosin äärään: X 0, 0, (11) aaroosin onsentraatio eri ajanhetinä saadaan lasettua, un onversio tiedetään, yhtälöstä (11).

6 6 Kirjallisuusviitteet 1. Bell, J.A. (toi.), Cheial Priniples in Pratie, Addison-Wesley, Reading, s. 194.

7 7 Liite 1 Reationopeusyhtälön (6) johtainen Oletetaan, että reatio (4) on paljon nopeapi uin reatio (5): Reatio (4) on nopea ja enee tasapainoon saaa. 1 E 1E 0 > 1 1 E E K Reatio (5) äärää hitaana oo hydrolysoituisnopeuden. r h 2 E Jotta reationopeusyhtälö saataisiin ääritellysi, täytyy E :lle saada äytännöllinen uoto. Käytetään stationääritilaoletusta, jona uaan entsyyiin sitoutuneen saaroosin äärä pysyy uuttuattoana (entsyyiin sitoutuu saaroosia saalla nopeudella uin entsyyistä lähtee tuotteita). d dt E 1 E 1 E 2 E 0 Entsyyi on joo vapaana tai siihen on sitoutuneena saaroosi. 0,E E + E > E 0, E E Edellä olevista saadaan E rataistusi. E 1 0, E Jaetaan edellinen 1 :llä. E 0, E

8 8 Mihaelis-Mentenin vaio on K aadaan yhtälö: E 0,E + K ijoitetaan E reationopeusyhtälöön. r 0, E h 2 + K Kosa atalyytin assa liuostilavuutta ohti on suoraan verrannollinen 0,E :hen, voidaan 0,E orvata V :llä ( /V R ). aadaan Mihaelis-Menten -tyyppinen reationopeusyhtälö. r V h 2 K +

9 9 Tenillisen eian laboratoriotyöt Mittauspöytäirja Teijät: Päivääärä: AKKAROOIN ENTYMAATTINEN HYDROLYYI 1. Entsyyin sitoinen hartsiin Entsyyi: T Kantaja: ph t o C in idontaliuosen tilavuus, V sol Kantajan assa, antaja l g Näyte Absorbanssi R sol R 0,sol (U/ 3 ) R 4,sol (U/ 3 ) R i (U/g) vesi gluoosi 1: : :20 1:200 1:10000* 1:20000* 1:20* 1:200* R sol 0.5 * ((A näyte - A nollanäyte) / (A gluoosi - A vesi )) * laiennuserroin R 0,sol atiivisuus liuosessa ennen sidontaa (1: :20000) / 2 R 4,sol atiivisuus sidonnan jäleen (1:20 + 1:200) / 2 R i V sol / antaja * (R 0,sol - R 4,sol ) laiennuserroin: 20, 200, tai 20000

10 10 Tenillisen eian laboratoriotyöt Mittauspöytäirja Teijät: Päivääärä: AKKAROOIN ENTYMAATTINEN HYDROLYYI 0, ol/l 2. aaroosin hydrolyysi panosoeena V L T o C T o C T antaja g antaja g antaja g o C t, in iertoula, o X, - t, in iertoula, o X, - t, in iertoula, o X, -

11 11 Tenillisen eian laboratoriotyöt Mittauspöytäirja Teijät: Päivääärä: AKKAROOIN ENTYMAATTINEN HYDROLYYI 3. aaroosin hydrolyysi panosoeena ja iintopetireatorissa Kiintopetioe: T o C T o C T antaja g antaja g antaja g o C t, in iertoula, o X, - t, in iertoula, o X, - V, L/in iertoula, o X, -

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine Physica 9. painos (6). Lämpötila ja paine :. Lämpötila ja paine. a) Suure, jolla uvataan aineen termoynaamista tilaa. b) Termoynaamisen eli absoluuttisen lämpötila-asteion ysiö. c) Alin mahollinen lämpötila.

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström Näyäalueanalyysi Jouhaisselä Tuore Kulvaoselä tuulipuisto 29032012 Annua Engströ Näyäalueanalyysin uodostainen Näeäalueanalyysilla saadaan yleisuva siitä, ihin tuulivoialat äytettyjen lähtötietojen perusteella

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi 02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011 BLY Paalulaattojen suunnittelu uitubetonista Petri Manninen BY 56 Paalulaatta - Yleistä Käytetään tyypillisesti peheillä, noraali- tai lievästi ylionsolidoituneilla savioilla ja uilla peheiöillä Mitoitustietojen

Lisätiedot

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus

Lisätiedot

BL20A0700 Sähköverkkotekniikan peruskurssi

BL20A0700 Sähköverkkotekniikan peruskurssi BLA7 ähöveroteniian perusurssi Viavirrat BLA7 ähöveroteniian perusurssi Viojen aiheuttajat lastollinen ylijännite Laitteiden toiintahäiriö tai virhetoiinta nhiillinen erehdys Yliuoritus BLA7 ähöveroteniian

Lisätiedot

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un

Lisätiedot

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET 5 TLOUYRTTÄJÄN ELÄKELN UKEN VKUUTUKEN PERUTEET PERUTEDEN OVELTNEN Näitä perusteita soelletaan..009 lähtien maatalousrittäjän eläelain 80/006 YEL muaisiin auutusiin. VKUUTUKU Vauutusmasu uodelta on maatalousrittäjän

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 202 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintauulustelujen matematiian oe 30.5.006 sarja A Ohjeita. Sijoita joainen tehtävä omalle sivulleen. Laadi rataisut seleästi v älivaiheineen, tarvittaessa

Lisätiedot

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k. ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,

Lisätiedot

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan

Lisätiedot

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa Jväslän Ammattioreaoulu, IT-instituutti IXPF24 Fsiia, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pasi Repo Valon diffratio hdessä ja ahdessa raossa Laatija - Pasi Vähämartti Vuosiurssi - IST4S1 Teopäivä 2005-2-17 Palautuspäivä

Lisätiedot

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan 3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa

Lisätiedot

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2) . Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

Kiinteätuottoiset arvopaperit

Kiinteätuottoiset arvopaperit Mat-.34 Ivestoititeoria Kiiteätuottoiset arvopaperit 6..05 Lähtöohtia Lueolla tarasteltii tilateita, joissa yyarvo laseassa äytettävä oro oli aettua ja riippuato aiaperiodista Käytäössä orot äärittyvät

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ********************************************************

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ******************************************************** .. Funtion asvainen ja väheneinen.. Bijetio. Funtion asvainen ja väheneinen Palautetaan ieleen funtion äsite. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ Oloot ja B asi ei-tyhjää

Lisätiedot

S , Fysiikka III (ES) Tentti Tentti / välikoeuusinta. Laaditaan taulukko monisteen esimerkin 3.1. tapaan ( nj njk Pk

S , Fysiikka III (ES) Tentti Tentti / välikoeuusinta. Laaditaan taulukko monisteen esimerkin 3.1. tapaan ( nj njk Pk S-.35, Fysiia III (ES) entti 8..3 entti / välioeuusinta I älioeen alue. Neljän tunnistettavissa olevan hiuasen miroanonisen jouon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, ε,, jota aii ovat degeneroitumattomia.

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien

Lisätiedot

Lämpöoppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Lämpöoppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Läpöoppia Haarto & Karhunen Läpötila Läpötila suuren atoi- tai olekyylijoukon oinaisuus Liittyy kiinteillä aineilla aineen atoeiden läpöliikkeeseen (värähtelyyn) ja nesteillä ja kaasuilla liikkeisiin Atoien

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5. Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.

Lisätiedot

2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = =

2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = = 2 Lasuarjoitus 2 21 Kytentäimpedanssin asenta Mitä taroittaa ytentäimpedanssi? 5 ma:n suuruinen äiriövirta oasiaaiaapein vaipassa (uojoto) aieuttaa 1 mv:n suuruisen äiriöjännitteen 1 m:n mataa Miä on ytentäimpedanssin

Lisätiedot

z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0

z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0 TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä

Lisätiedot

HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ

HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen,

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja

Lisätiedot

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004.

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT Koooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. SISÄLTÖ YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT 1. PUSTIDN SOVLTAMINN...

Lisätiedot

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä äyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin taristus: ZN-Face Kalle Korhonen sorhon@cc.hut.fi 13.4.2000 Tiivistelmä: Raportissa tutustutaan aupalliseen

Lisätiedot

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPEUSTEET Koooma 28.3.2006. Viimeisin perustemuutos on ahistettu 16.1.2003. APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKU-

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään

Lisätiedot

Koulun pihan liikennejärjestelyt. Muu toimenpide Mutkan suuntamerkit Kadun parantaminen Nopeusrajoituksen tehostaminen. Liittymän parantaminen

Koulun pihan liikennejärjestelyt. Muu toimenpide Mutkan suuntamerkit Kadun parantaminen Nopeusrajoituksen tehostaminen. Liittymän parantaminen Kevyen liienteen järjestelyt Pysäöintijärjestelyt 18 17 16 19 2 14a 14b 15 9 1 12 13 22a 22b 24 Pohjaartta:Maanmittauslaitos 215 18.6.215, Sito Oy 1 8 11 21 6a 6b 7 6c 23 25 2 5 4 3 5 Metriä 3 1 Kevyen

Lisätiedot

Molekulaarisuus = reagoivien molekyylien lkm Stoikiometria = tasapainotetun reaktioyhtälön lkm (ainetase)

Molekulaarisuus = reagoivien molekyylien lkm Stoikiometria = tasapainotetun reaktioyhtälön lkm (ainetase) 1. Yleistä a) Tasapainoreation yleinen muoto: a + bb f r cc + dd K c C D B èq a b, jossa d f r [X] = yhdisteen X onsentraatio a,b,c,d = yhdisteen stöiömetria (ainetaseesta) f = reationopeus eteenpäin r

Lisätiedot

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan

Lisätiedot

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa

Lisätiedot

Interaktiiviset menetelmät

Interaktiiviset menetelmät Interatiiviset menetelmät. Johdanto. Interatiivinen SWT-menetelmä 3. GDF-menetelmä 4. Yhteenveto Optimointiopin seminaari - Kevät 000 /. Johdanto Interatiivisissa menetelmissä päätösenteijä ja analyytio

Lisätiedot

AALTO-OPAS H-BEND VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Juhana Kankainen j82081 Teemu Lahti l82636 Henrik Tarkkanen l84319

AALTO-OPAS H-BEND VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Juhana Kankainen j82081 Teemu Lahti l82636 Henrik Tarkkanen l84319 VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Juhana Kanainen j8081 Teemu Lahti l8636 Henri Taranen l84319 SATE010 Dynaaminen enttäteoria AALTO-OPAS H-BEND Sivumäärä: 1 Jätetty tarastettavasi:

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana

Lisätiedot

vetyteknologia Polttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-54020 Risto Mikkonen

vetyteknologia Polttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-54020 Risto Mikkonen DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-5400 Risto Mikkonen 1.1.014 g:n määrittäminen olttokennon toiminta perustuu Gibbsin vapaan energian muutokseen. ( G = TS) Ideaalitapauksessa

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

ESIM. ESIM.

ESIM. ESIM. 1 Vierintäita f r lasetaan samannäöisellä aavalla uin liuuitain: Ihmisunnan erästä suurimmista esinnöistä eli pyörää äytetään sen taia, että vierintäitaerroin µ r on paljon pienempi uin liuuitaerroin:

Lisätiedot

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

ASPIRIININ MÄÄRÄN MITTAUS VALOKUVAAMALLA

ASPIRIININ MÄÄRÄN MITTAUS VALOKUVAAMALLA ASPIRIININ MÄÄRÄN MITTAUS VALOKUVAAMALLA Jaakko Lohenoja 2009 Johdanto Asetyylisalisyylihapon määrä voidaan mitata spektrofotometrisesti hydrolysoimalla asetyylisalisyylihappo salisyylihapoksi ja muodostamalla

Lisätiedot

Luentomoniste: Mekaniikka Pasi Repo & Pekka Varis (päivitetty 2.1.06)

Luentomoniste: Mekaniikka Pasi Repo & Pekka Varis (päivitetty 2.1.06) Fyiia evät 006 JAMK/IT -Intituutti Luentoonite: Meaniia Pai Repo & Pea Vai (päivitetty..06) 0. Johdanto... 0.. Fyiian ääitelä... 0.. Mittau ja yiöt.... -ulotteita ineatiiaa... 3.. Keivauhti... 3.. Keinopeu...

Lisätiedot

3 x ja 4. A2. Mikä on sen ympyräsektorin säde, jonka ympärysmitta on 12 ja pinta-ala mahdollisimman

3 x ja 4. A2. Mikä on sen ympyräsektorin säde, jonka ympärysmitta on 12 ja pinta-ala mahdollisimman HTKK, TTKK, LTKK, OY, ÅA/Insinööriosastot alintauulustelujen matematiian oe 900 Sarja A A Lase äyrien y, (Tara vastaus) y, ja rajaaman äärellisen alueen inta-ala A Miä on sen ymyräsetorin säde, jona ymärysmitta

Lisätiedot

BINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS A Tietoliikennetekniikka II Osa 11 Kari Kärkkäinen Syksy 2015

BINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS A Tietoliikennetekniikka II Osa 11 Kari Kärkkäinen Syksy 2015 BINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS 536A Tietoliienneteniia II Osa Kari Käräinen Sysy 5 Kantataajuusjärjestelmä lähettää ±A -tasoisia symboleita T:n välein. Optimaalinen vastaanotin

Lisätiedot

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. yhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. yhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään

Lisätiedot

53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ

53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ 53 LKTRONIN SUHTLLISUUSTORTTINN LIIK- MÄÄRÄ 53. Lorentz-uunnos instein esitti. 95 erikoisen suhteellisuusteorian eruseriaatteen, jonka ukaan kaikkien luonnonlakien tulee olla saoja haainnoitsijoille, jotka

Lisätiedot

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Luento 8 6.3.2015 1 Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) 2 Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä

Lisätiedot

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

S205 Lineaarinen hammashihnaservokäyttö (0,9 op)

S205 Lineaarinen hammashihnaservokäyttö (0,9 op) LTY / Säkötekniikan osasto Säätö- ja digitaaitekniikan aboratorio BL40A0600 Säätötekniikan ja signaainkäsitteyn työkurssi S05 Lineaarinen aasinaservokäyttö (09 op) Työoje OHDANTO Työssä käsiteään etusivun

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia 8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia

6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia 6 Lineaarisen ennustusen sovellusia Lineaarisella ennustusella on hyvin täreä asema monessa puheenäsittelyn sovellusessa. Seuraavassa on esitetty esimerejä siitä miten lineaarista ennustusta voidaan hyödyntää.

Lisätiedot

CHEM-C2230 Pintakemia. Työ 2: Etikkahapon adsorptio aktiivihiileen. Työohje

CHEM-C2230 Pintakemia. Työ 2: Etikkahapon adsorptio aktiivihiileen. Työohje CHEM-C2230 Pintakemia Tö 2: Etikkahapon orptio aktiivihiileen Töohje 1 Johdanto Kaasun ja kiinteän aineen rajapinnalla tapahtuu leensä kaasun orptiota. Mös liuoksissa tapahtuu usein liuenneen aineen orptiota

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 23: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 1

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 23: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 1 / VÄRÄHTELYEANIIA SESSIO : Usean vapausasteen vaeneaton onasvärähtely osa JOHDANTO Usean vapausasteen systeen leyhtälöt ovat ylesessä tapausessa uotoa [ ]{ & } [ C]{ & } [ ] { } { F} & ( un vaennusta e

Lisätiedot

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat

Lisätiedot

i ni 9 = 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, k k

i ni 9 = 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, k k 1. Neljä tuistettavissa oleva hiuase iroaoise jouo ahdolliset eergiatasot ovat 0, ε, ε, ε, 4ε,, jota aii ovat degeeroituattoia. Systeei ooaiseergia o 6ε. sitä aii ahdolliset partitiot ja osoita, että irotiloje

Lisätiedot

1974 N:o 622. Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. Liite 1.

1974 N:o 622. Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. Liite 1. 1974 N:o 622 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) Muu

Lisätiedot

RATKAISUT: Kertaustehtäviä

RATKAISUT: Kertaustehtäviä Phyica 1 uuditettu paino OPETTAJAN OPAS 1(9) Kertautehtäiä RATKAISUT: Kertautehtäiä LUKU 3. Luua on a) 4 eriteää nueroa b) 3 eriteää nueroa c) 7 eriteää nueroa. 4. Selitetään erieen yhtälön olepien puolien

Lisätiedot

1 4πε. S , FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 2005, LHSf5. Ratkaisut

1 4πε. S , FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 2005, LHSf5. Ratkaisut S-4.46, YSIIKKA IV (Sf Kvät 005, LHSf5. Rataisut LHSf5- (a Litiufluoridilla, Li, on NaCl-rann. Lähinaapuritäisyys on 0,04 n. Las Li:n ohsionrgia olttan, ttä rpulsiosponntti on n = 9. (b Li:n ohsionrgian

Lisätiedot

DC-moottorin pyörimisnopeuden mittaaminen back-emf-menetelmällä

DC-moottorin pyörimisnopeuden mittaaminen back-emf-menetelmällä 1 DC-moottorin pyörimisnopeuden mittaaminen back-emf-menetelmällä JK 23.10.2007 Johdanto Harrasteroboteissa käytetään useimmiten voimanlähteenä DC-moottoria. Tämä moottorityyppi on monessa suhteessa kätevä

Lisätiedot

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y 36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien

Lisätiedot

Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia

Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia Laseallise obiatoriia perusogelia Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, jouoje ts luuääriä, o taustalla joi uutaista peruslasetatavoista tai lasetaogelista Tässä esitelläälyhyesti

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus

Luku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2010 Luu 2. Jatuvuus ja opatisuus 1. Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia

Lisätiedot

Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus

Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia

Lisätiedot

Luonnos Kartta kaupan kohteesta on liitteenä. 4 Kauppahinta on kaksikymmentäviisituhatta (25 000) euroa.

Luonnos Kartta kaupan kohteesta on liitteenä. 4 Kauppahinta on kaksikymmentäviisituhatta (25 000) euroa. .6.07 Myyjä Naantalin aupuni, y-tunnus 07-. Ostaja Turun Osuusauppa, y-tunnus 0-9, Sibeliusenatu, PL 86, 00 Turu. Kaupan ohde Naantalin aupungin Rymättylän ironylässä sijaitsevasta Osuusauppa - nimisestä

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot