Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt"

Transkriptio

1 SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T{ αu + βu } = αt{ u } + βt{ u }, jossa α ja β ovat vaioita ja u ja u ovat järjestelmän T asi eri sisäänmenoa. (a) Järjestelmän ulostuloa on yleensä tapana meritä y:llä, jota ei uitenaan yllä olevasta lineaarisuuden määritelmästä löydy. Mitä termit lineaarisuuden määritelmässä edustavat järjestelmän ulostuloa? (b) Ysi esän 004 ohoohtia oli Jari Litmasen paluu Veiausliigaan FC Lahden riveihin. Tarastellaan järjestelmää, jona sisäänmeno u on Litmasen peliaia ysittäisessä otiottelussa, ja ulostulo y on yseisen ottelun yleisömäärä. Jos Jari ei pelaa minuuttiaaan, atsomossa on 000 silmäparia. Jos Jari pelaa täydet 90 minuuttia, atsojia on 0000 Oletetaan, että yleisömäärän riippuvuus Litmasen peliminuuteista noudattaa suoran yhtälöä. Ono järjestelmä lineaarinen? T αu βu T u. (a) { + }, T{ u } ja { } (b) Järjestelmä ei ole lineaarinen.. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmän sisäänmeno on ondensaattorin virta, ja ulostulo on ondensaattorin yli oleva jännite. Millä ehdolla yseinen järjestelmä on lineaarinen? Järjestelmä on lineaarinen, jos ondensaattorin jännite on 0 V tarastelun aluhetellä..3 Järjestelmien lineaarisuus: Tarastellaan oheista ytentää, jona sisäänmeno on lähdejännite u(t) ja ulostulo vastusen R yli oleva jännite y(t). Tarastele piirin lineaarisuutta, un (a) R = R. (b) R = u(t)/r. u(t) R R y(t) (a) Järjestelmä on lineaarinen. (b) Järjestelmä ei ole lineaarinen..4 Differenssiyhtälöt: (a) Teemu ostaa jänisaupasta asi vastasyntynyttä jänistä, joista toinen on uros ja toinen naaras. Jänöset ovat tehoaita lisääntymään, miä paljastuu ahden uuauden uluttua jäleläisparin (uros ja naaras) syntyessä. Oletetaan, että ysiään jänö ei uole, ja oletetaan lisäsi aiien jänisparien saavan uros- ja naaraspoiasen joa uuausi saavutettuaan ensin suuypsyyden uuaudessa. Muodosta pitäorvaparisuntien luumäärää uvaava differenssiyhtälö. Differentiaaliyhtälöt: (b) Tarastellaan oheista ytentää, jona sisäänmeno on lähdejännite u(t) ja ulostulo virta i(t). Muodosta järjestelmää uvaava differentiaaliyhtälö.

2 u(t) R L i(t) (a) y = + y y,. di( t) R (b) + i( t) = u( t) L L.5 Järjestelmien lineaarisuus: Vastus R on ytetty jännitelähteen u(t) anssa sarjaan. Ono järjestelmä lineaarinen, un sisäänmeno on u(t) ja ulostulo on vastusen ottama teho p(t)? Järjestelmä ei ole lineaarinen. Luu : Lineaaristen differenssiyhtälöiden rataiseminen aiatasossa. Homogeeniset differenssiyhtälöt: Tarastellaan differenssiyhtälöä Ay + + By + + Cy = 0. Hae yleinen rataisu y :lle, un (a) A =, B = - ja C = -. (b) A =, B = - ja C = /4. (c) A =, B = - ja C = /. (a) y = C + C (b) (c) y y = C = C + j + C + C j. Epähomogeeniset differenssiyhtälöt: Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Hae yleinen rataisu y :lle, un (a) D =. (b) D = 5. (c) D =. (a) (b) (c) y = y ( h ) ( p) + y = C + C + + D =. ( h ) ( p) y = y + y = C + C y ( h ) ( p) + y = C + C = y.3 Epähomogeeniset differenssiyhtälöt: Rataise oheista lohoaaviota uvaava differenssiyhtälö, un u = 4 ja y 0 = 4. u y 3

3 y = Epähomogeeniset differenssiyhtälöt: Marcello Lippi on laittanut Pavel Nedvedin rangaistuspotuurssille, osa Pavel teee tällä hetellä pilusta maalin säälittävällä 0%:n todennäöisyydellä. Pavel on uitenin nopea oppimaan, ja piluurssilla ollessaan hänen taitonsa ehittyy siten, että maalinteotodennäöisyys noudattaa yhtälöä P = 0.00, P jossa taroittaa uuautta. Kuina monta uuautta Pavelin on vietettävä urssilla, jotta hän teee joaisesta pilusta maalin? Huomaa, että yseessä on disreettiaia-järjesjestelmä, eli saa ainoastaan oonaisluuarvoja. P = , olme uuautta riittää.5 Epähomogeeniset differenssiyhtälöt, oonaisrataisu: Muodosta oonaisrataisu oheista lohoaaviota uvaavalle differenssiyhtälölle, un y, 0 u =. u 0, < y = Impulssivaste ja onvoluutiosumma: Tarastellaan samaa järjestelmää uin tehtävässä.5. Muodosta järjestelmän impulssivaste ja lase ulostulo onvoluutiosumman avulla. Miä on y 3 :n arvo? Tulio sama tulos uin tehtävässä.5? h 3 3 = 4 4, 3 y = 4 4, yllä.7 Disreettiaiajärjestelmien tilamuuttujaesitys: Tarastellaan edelleen samaa järjestelmää uin tehtävässä.5. Valitse viiveelementtien jäleiset tilat tilamuuttujisi ja muodosta järjestelmän tilamuuttujaesitys. Ono järjestelmä stabiili? ( + ) ( + ) x 3/6 x + u x = x, 0 0 x y = [ 3/6] + [ ] u x, on stabiili

4 .8 Disreettiaiajärjestelmän stabiilisuus: Tehtävässä.7 esitettiin disreettiaiajärjestelmän stabiilisuusehto tilamatriisin ominaisarvojen avulla. Miten voit tarastella stabiilisuutta tehtävän.5 differenssiyhtälön rataisusta? Mitä järjestelmän stabiilisuus siis taroittaa? Tilamatriisin A ominaisarvot vastaavat järjestelmää uvaavan yhtälön arateristisen yhtälön juuria. Tehtävässä.7 saatiin ominaisarvoisi 3/4 ja /4. Tehtävässä.5 arateristisen yhtälön juurisi saatiin samat arvot. Järjestelmän stabiilisuutta voidaan siis tarastella myös homogeenisen yhtälön rataisusta, joa tehtävässä.5 oli ( h ) 3 y = C + C. 4 4 (h) Jos y 0, un, järjestelmä on stabiili. Tämä ehto toteutuu, un arateristisen yhtälön juuret ovat itseisarvoltaan yöstä pienempiä. Samasta syystä seuraa siis tilamatriisin ominaisarvoihin liittyvä stabiilisuusehto..9 Impulssivaste ja onvoluutiosumma: Barcelonan jalapallojouueen hyöääjät suorittavat Cooperin testiä. Tapahtuma poieaa uitenin hieman totutusta, sillä joaisella hyöääjällä on selässään puolustaja, joa pyrii estämään hyöääjän etenemisen. Tarastellaan paria Ronaldinho - Puyol. Ronaldinho juosee, ja Puyol yrittää laittaa hanttiin. Kuina monta minuuttia Ronaldinho pystyy etenemään, un hänen nopeutensa v noudattaa minuuttien funtiona differenssiyhtälöä v v = u? Muodosta järjestelmän impulssivaste ja lase onvoluutiosumman avulla Ronaldinhon nopeus, un järjestelmän sisäänmeno u = Taroitus on siis selvittää, uina monennella minuutilla Puyol alaa repiä Ronaldinhoa taasepäin, jolloin vuoden 004 parhaasi jalapalloilijasi valitun henilön nopeus muuttuu negatiivisesi. h = (/), 0, jo olmen minuutin jäleen Ronaldinhon nopeus on negatiivinen.0 Konvoluutiosumma: Thierry ostaa Tapsantorilta järjestelmän muttei ymmärrä mitään sen toiminnasta. Hän pyytää apua Arsenelta, joa huomaa järjestelmän yljessä luevan: h 0, < 0 =. b, 0 Auta tyimiesasioa ja määritä lausee järjestelmän ulostulolle y, un sisäänmeno u 0, < 0 =. a, 0

5 y a / b a / b a / b b = b, a b = a / b a / b, 0. b ( + ), a = b. Diagonalisointi: Diagonalisoi oheinen järjestelmä, jolle muodostettiin tilamuuttujaesitys tehtävässä.7. Mitä iloa diagonalisoinnista on? y, 0 u =. u 0, < 0 ei uulu nyyisellään enää urssin aihepiireihin 3 6 Luu 3: Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden rataiseminen aiatasossa 3. Homogeeniset differentiaaliyhtälöt: Hae yleinen rataisu differentiaaliyhtälölle d dy ( t ) y t + A + By t = 0, un (a) A = 4, B = 7/4, (b) A =, B =. / t 7 / t y t C e = + C e (a) y t = C e + C te (b) t t 3. Homogeeniset differentiaaliyhtälöt: Hae yleinen rataisu tehtävän 3. yhtälölle, un A = ja B = 5/4. Karateristisen yhtälön juuret ovat nyt omplesiluuja. Mihin imaginääriysiö j atoaa homogeenisen yhtälön rataisusta? t t y ( t) = Be cos t + Be sin t 3.3 Homogeeniset differentiaaliyhtälöt: Hae yleinen rataisu differentiaaliyhtälölle 3 d d d y t y t y t + + = 0. t t t 3 3 y t = C + C exp + t + C exp t 3 d d 4 d Homogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Rataise v(t). i C i L i R C L R v(t)

6 C = 0.5 µf, L = 8 H, R = 0 Ω, v(0) = 0 V ja i L (0) = -.5 ma v(t) 00e -00t sin(979.80t) 3.5 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Alla olevan uvan ytin S on aui, un t < 0. Tällöin piiri on tasapainotilassa, eli virta i(t) on vaio. Ajanhetellä t = 0 ytin suljetaan. Määritä virta i(t), un t 0. i(t) = R t RE L E e + R R R R ( + ) i(t) E L R S R 3.6 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (yleinen oonaisrataisu): y t + 4y t + 4y t = f t, un Rataise differentiaaliyhtälö (a) f ( t) = e t, (b) f ( t) = 5t, (c) f ( t) = sin ( t ), (d) f ( t) e t 5t sin ( t ) y t = C e + C te + e (a) t t t t (b) = + +. y t t 5 7 = Ce + Cte + t 4 4 y t t t Ce = + Cte cos t 8 y t t t t 5 7 = Ce + Cte + e + t cos t (c) (d) 3.7 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Legendaarinen lasuvarjohyppy on monen mielestä TTY:n untopiirin rasain liie. Kyseinen liie on asivaiheinen. Ensin ponnistetaan lattiasta ylös, ja laipisteen saavuttamisen jäleen leijaillaan taaisin lattialle. Suorituseen valmistautuvaa henilöä voidaan uvata oheiselle meaanisella järjestelmällä. Lytyssä oleva jousi (jousivaio ) uvaa untoilijan (massa m) ouussa olevia polvia, jota sinoavat hänet irti lattiasta. Gravitaatio taasen pitää huolen siitä, ettei untoilija lyö päätään liiuntahallin attoon. x(t) uvaa untoilijan massaesipisteen sijaintia suoritusen aiana lepotilanteeseen verrattuna. Kun ilmanvastusta ei oteta huomioon, tilannetta uvaavasi differentiaaliyhtälösi saadaan Newtonin II lain muaisesti 0. m m x(t) x ( t ) mg = mx ( t).

7 Rataise x(t), un m = 70 g, = 000 N/m, g = 9.8 m/s, x(0) = -0. m ja x 0 = 0 m/s. Mallin oieellisuutta on mahdollista tarastella liiuntahallissa torstaisin lo 7-8. Misi malli ei uvaa todellista tilannetta? mg mg x( t) = 0. cos (( / m ) t) 3.8 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Oheisen järjestelmän sisäänmeno on lähdevirta i(t) ja ulostulo jännite y(t). Muodosta ulostulon lausee, un sisäämeno i(t) = 0, un t < 0, ja i(t) = e -t sin(t), t 0. R = Ω, C = mf y(t) = 000e -t - 000e -t i(t) R C y(t) cos(t), t Jatuva-aiajärjestelmän impulssivaste: Muodosta tehtävän 3.8 järjestelmälle impulssivaste. h t = e 000 t 3.0 Jatuva-aiajärjestelmän tilamuuttujaesitys: Kirjoita tilamuuttujaesitys oheiselle piirille. i(t) Järjestelmän sisäänmeno on lähdejännite v(t) ja ulostulo vastusen R yli oleva jännite. Käytä v(t) tilamuuttujina ondensaattorin yli olevaa jännitettä v C (t) ja äämin virtaa i(t). Ono järjestelmä stabiili, un R = Ω, C = nf ja L = mh? Mistä jatuvaaiajärjestelmien stabiilisuusehto tulee? x ( t) 0 / C x ( t) 0 = v t x ( t + ) / L R / L x ( t ) / L ( t) ( t) x y ( t) = [ 0 R] + [ 0] v( t ), on stabiili x Tilamatriisin A ominaisarvot vastaavat järjestelmää uvaavan differentiaaliyhtälön arateristisen yhtälön juuria, aivan uten oli disreettipuolellain. Täten, tehtävän 3.0 järjestelmän homogeenisen yhtälön rataisusi saadaan ( h) t e e y t C C t t = +. Tuosta HY:n rataisusta pystytään myös päättelemään jatuvaaiajärjestelmien stabiilisuusehto. Järjestelmä on stabiili, jos y(t) (h) 0, un t. Jotta yseinen ehto toteutuu yllä olevalle y(t) (h) :lle, arateristisen yhtälön juurien on oltava reaaliosaltaan negatiivisia, jolloin e-termit pienenevät t:n asvaessa. Stabiilisuusehto osee vain KY:n juurien reaaliosia, sillä KY:n juurien imaginääriosathan tuovat rataisuun pelästään sin- ja cos-termejä, joilla ei ole mitään teemistä stabiilisuuden anssa., L R C v C (t)

8 3. Epälineaarisen yhtälön rataiseminen (Newton-Raphson): Rataise oheisen ytennän omponenttien yli olevat jännitteet Newton- Raphson -algoritmilla ahden desimaalin taruudella, un I = A, R = 0.5 Ω ja diodin virta i D noudattaa lauseetta i D = e 0U -, missä U on diodin yli oleva jännite. R R I R I V V ja V V 6 3. Jatuva-aiajärjestelmän impulssivaste: Roberto Carlos antaa vapaapotua. Tarastellaan palloa, joa ennen vaparia lepää liiumattomana nurmella. Sillä hetellä, un Carlosin jala osuu palloon, siihen ohdistuu impulssimainen voima δ(t), josta seuraa pallon iihtyvyys h(t), ysiönä m/s. Järjestelmää uvaava yhtälö on dh t ( t) h t = 00 δ. Rataise pallon iihtyvyys h(t). t h t = 00e 000 Luu 4: Lineaaristen differenssiyhtälöiden rataiseminen Z-muunnosen avulla 4. Z-muunnosen muodostaminen: Hae määritelmään perustuen seuraavien termien Z-muunnoset, un 0. Termin x Z-muunnos on X(Z). (a) a (vaio) (b) (/3) (c) x +3 (d) x -3 (e) δ a (a) Z{ a} = (b) Z = z 3 z 3 (c) Z{ } (d) Z{ } (e) Z{ δ } = 3 x + 3 = z X z z x zx x x = z X z + z x + z x + z x Differenssiyhtälön rataiseminen aiatasossa: R. Ana on matalla Hinustaniin ja rahaa säästääseen päättää ylittää Kamalajan aavion amelilla. Ahmedin vesihuoltis Kamalajan aavion laitamilla myy vettä tasalitroittain pöyristyttävällä 0 centin litrahinnalla, joten Roope päättää lasea tarvittavan veden määrän. Jotta Roope ehtii liietapaamiseen, amelin matanopeuden täytyy olla 0 m/h. Vuoraamelin huoltoirjasta löytyvistä vedenulutustilastoista Roope näee em.

9 matanopeuden aiheuttaman vedenhäviin olevan,5 l/h. Toisaalta ulolämpötilasta ja tuulioloista johtuen 5 % ameliin tanatusta vesimäärästä haihtuu joa tunti. Kuina monta litraa vettä Roopen täytyy tanata amelinsa yttyröihin, jotta tanattu vesi ei lopu esen 50 m:n matalla? Roopen on ostettava 35 litraa vettä. 4.3 Differenssiyhtälön rataiseminen Z-muunnosen avulla: Rataise tehtävän 4. differenssiyhtälö Z-muunnosen avulla. 4.4 Z-muunnosen muodostaminen: π Hae u :n Z-muunnos U(Z), un u = sin, 0, missä a on vaio. a sin ( π / a) z U ( z) = z cos π / a z Differenssiyhtälön rataiseminen Z-muunnosen avulla: Rataise y Z-muunnosen avulla, un y 0 = 0 ja y + + y = 4. y 4 4 = (a) Z-muunnosen muodostaminen: Muodosta y :n Z-muunnos Y(z), un y =, 0, ja Z{u } = U(z). u (b) Loppuarvoteoreema: Disreettiaiajärjestelmän ulostulon y Z-muunnos Y(z) on 5z ( 0. z)( 0.5 z) Y ( z) =. Määritä lim z z y. 0.6z d d = dz dz (b) limy.85 (a) Y ( z) z z U ( z) 4.7 Impulssivasteen määrittäminen Z-muunnosen avulla: Rataise oheisen differenssiyhtälön impulssivaste Z-muunnosen avulla. y + y y = 3u u h = + ( ) = + ( ) 4.8 Siirtofuntion H(z) määrittäminen: Järjestelmän ulostulo on y 5 + =, 0, ja sisäänmeno u + =, 0. Määritä impulssivasteen h Z-muunnos H(z), jota siirtofuntiosiin utsutaan.

10 H ( z) 4 z / = 5 z / Siirtofuntion H(z) hyödyntäminen: Lase ulostulo y tehtävän 4.8 järjestelmälle, un järjestelmän sisäänmeno on 3 + =, 0. u y + + = Siirtofuntion H(z) hyödyntäminen: Tampere United vahvistaa rivejään. Erityisesti juosuvoimalle on tarvetta, joten päävalmentaja Hjelm ostaa Roberto Carlosin eräästä espanjalaisjouueesta. Kyseisellä pelaajallahan on tapana toimia seä alimpana puolustajana että hyöäysen ärenä, minä seurausena hän juosee useamman maratonin yhden ottelun aiana. Roberto saapuu Tampereelle ontissa, jona rahtiirjasta TamU:n päävalmentaja luee uuden vahvistusensa siirtofuntion olevan H z 0.8z =..8z Koittaa ensimmäinen pelipäivä. Hjelm antaa Carlosille luvan juosta, ja Carloshan juosee. Kun päävalmentajan lupa edustaa järjestelmän sisäänmenoa ja on u =, un 0, muodosta ulostulon y lausee. Ulostulo y uvaa Carlosin juosemaa ilometrimäärää ottelun aiana, un edustaa uluneita peliminuutteja. Kuina monen minuutin jäleen ensimmäinen maraton täyttyy? Seitsemän minuuttia riittää 4. Impulssivasteen h Z-muunnos H(z): Järjestelmän sisäänmeno u ja ulostulo y ovat u 5, un = 0 =, 0, un 0 y 500, un = 5 =. 0, un 5 Muodosta järjestelmän siirtofuntio H(z) ja impulssivaste h. 5 H ( z) = 4z, h = 4δ 5 4. Siirtofuntion H(z) hyödyntäminen asadiytennässä: Kasi identtistä järjestelmää on ytetty sarjaan. Ysittäisen järjestelmän impulssivaste h = (/), 0. Jos ensimmäisen järjestelmän sisäänmeno on u = ξ (asel), miä on jälimmäisen järjestelmän ulostulo y? y = 3 + 4

11 4.3 Differenssiyhtälöt & Z-muunnos: Rataise tehtävä.9 (Ronaldinho & Puyol) Z-muunnosella. Tuossahan järjestelmää uvaava yhtälö on v + v = u +, jossa v edustaa ulostuloa ja sisäänmeno u = Taroitus on siis muodostaa järjestelmän impulssivaste h ja rataista v, joa uvaa Ronaldinhon nopeutta minuuttien funtiona. Aluarvo v 0 = 0. Luu 5: Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden rataiseminen Laplacemuunnosen avulla 5. Laplace-muunnos: Hae määritelmään perustuen seuraavien termien Laplace-muunnoset, un i(t):n Laplace-muunnos on I(s). (a) a (vaio) (b) 3t (c) a s / e t 3 s (a) L( a) = (b) L( 3t ) (d) d i t = ( 0) L s I s si (d) d i t t = (c) L( e ) di ( 0) 5. Laplace-muunnos: Rataise Laplace-muunnosella differentiaaliyhtälö di ( t) + i ( t) = ξ ( t), un i(0) = 0 A. i ( t ) = e t, t 0 = s + / 5.3 Raúl Gonzáles: Raúl on erran antanut harhasyötön. Tuosta onnettomasta hetestä lähtien todennäöisyys onnistuneelle syötölle p(t) on noudattanut differentiaaliyhtälöä p ( t) p t + 5 = 7.5. Rataise p(t) Laplace-muunnosella, un p(0) = Millä todennäöisyydellä Raúl antaa onnistuneen syötön, un tuosta synästä virheestä on ulunut 0.5 s? p %

12 5.4 Differentiaaliyhtälöt & Laplace-muunnos: Oheisen RLC-piirin ytin suljetaan, un t = 0 s. Kun ytin on aui, ondensaattorin yli on 40 V:n jännite. Rataise Laplace-muunnosen avulla ondensaattorin yli oleva jännite ajan funtiona, v C (t). U = 00 V, R = 50 Ω, L = 0 mh, C = 5 µf 000t 4000t vc ( t) = 00 80e + 0e, t 0 U R L C 5.5 Differentiaaliyhtälöt & Laplace-muunnos: Rataise oheinen differentiaaliyhtälöpari, un x(0) = ja y(0) = 0. x ( t) + 4x( t ) + y ( t) + y ( t) = x( t) + y ( t) + y ( t) = 0 x( t) = + e y t = + e t t, t Siirtofuntio: Muodosta tehtävän 5. järjestelmän siirtofuntio H(s), un i(t) edustaa järjestelmän ulostuloa ja aselfuntio ξ(t) edustaa järjestelmän sisäänmenoa. Varmista lisäsi tehtävässä 5. saatu ulostulo H(s)U(s):n avulla. y ( t) = e t, t Siirtofuntio ja loppuarvoteoreema: Jatuva-aiajärjestelmää uvaavasi siirtofuntiosi on saatu ( s + ) H ( s) =. s s + s + 3 Rataise järjestelmän ulostulo y(t), un sisäänmeno u ( t) 4e t ( t) loppuarvoteoreemalla lim y ( t) t t 3t y ( t ) = 8 4e + 6e, t 0, y ( t) = ξ. Lase vielä. Varmista tulos aiatason rataisusta. lim = The Science of Soccer: Kuvitellaan, että jalapallon törmäystä maalin tolppaan voidaan uvata homogeenisella differentiaaliyhtälöllä d b t cp b ( t ) 0 + =, un 0 t t max. m Tuossa b on pallon muodonmuutosen syvyys, c pallon ehän pituus, p erotus pallon sisällä olevasta paineesta ja ympäröivästä ilmanpaineesta ja m pallon massa. Tarastellaan SMG:n wirallista tyy-palloa, jolle t m = 0.44 g, c = m, p = N/m (0.83 atm) ja t max = 8. ms.

13 Rataise Laplace-muunnosen avulla pallon muodonmuutos b(t), un Risto ampuu pallon tolppaan maltillisella 87 m/h:n nopeudella. Tarastelun aluhetellä pallo on juuri osumassa tolppaan, eli b(0) = 0 m. b t sin 38.4 t 5.9 Laplace-muunnos: Tarastellaan indutanssiltaan 50 mh:n äämiä. Ajatellaan sitä järjestelmänä, jona sisäänmeno on äämin yli oleva jännite u L (t) ja ulostulo äämin virta i L (t). Rataise Laplace-muunnosen avulla i L (t), un u L (t) noudattaa lauseetta π ul ( t) sin = ωt + V, jossa ω = 00π. Oleta äämin tasavirtaomponentti nollasi. Aluarvo i L (0) on pääteltävissä u L (t):stä, vaia vaatiiin hieman pähäilyä... i ( t 40 L ) = sin ( 00 π ) 00π t 5.0 Differentiaaliyhtälöt & Laplace-muunnos: Rataise tehtävä 3.7 (lasuvarjohyppy) Laplace-muunnosella. Rataise siis x(t) differentiaaliyhtälöstä x ( t ) mg = mx ( t), jossa m = 70 g, = 000 N/m, g = 9.8 m/s, x(0) = 0. m ja Luu 6: Jasolliset funtiot ja Fourier'n sarjaehitelmä x 0 = Fourier'n esponenttisarja: Esitä oheinen jasollinen jännitesignaali Fourier'n esponenttisarjana. v(t) (V) 5 0 t (ms) 5 v t = e e e + e jnπ n 4π 5 ( ) n= n 0 jnπ jnπ jn000πt 0

14 6. Taajuusvaste: Järjestelmää, jona sisäänmeno on u(t) ja ulostulo y(t), uvaava differentiaaliyhtälö on + = + y t y t 4y t u t 3u t. Määritä järjestelmän taajuusvaste. jω + 3 H ( jω ) = jω + jω Taajuusvaste: Järjestelmän taajuusvasteesi on saatu H ( jω ) = 3 j j j 3 ω ω + ω. Muodosta järjestelmää uvaava differentiaaliyhtälö. 3 y t y t + y t y t = u t 6.4 Taajuusvasteen hyödyntäminen järjestelmän ulostulon määrittämisessä: Tarastellaan oheista ytentää, jona sisäänmeno on lähdejännite u(t) ja ulostulo ondensaattorin yli oleva jännite y(t). Muodosta ulostulon lausee, un R L sisäänmenosi syötetään tehtävän 6. sahalaitasignaali. R = 000 Ω, L = 50 mh, C = 00 µf u(t) C 5 y ( t) 6 n= jn000π jn000π 0.+ n 0 jnπ jnπ jn000πt 5 e ( e ) e jn n 4 + π π y(t)

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja

Lisätiedot

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un

Lisätiedot

RATKAISUT: 21. Induktio

RATKAISUT: 21. Induktio Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = =

2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = = 2 Lasuarjoitus 2 21 Kytentäimpedanssin asenta Mitä taroittaa ytentäimpedanssi? 5 ma:n suuruinen äiriövirta oasiaaiaapein vaipassa (uojoto) aieuttaa 1 mv:n suuruisen äiriöjännitteen 1 m:n mataa Miä on ytentäimpedanssin

Lisätiedot

järjestelmät Diskreettiaikaiset järjestelmät aikatason analyysi DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen

järjestelmät Diskreettiaikaiset järjestelmät aikatason analyysi DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen DEE- Lineaariset järjestelmät Disreettiaiaiset järjestelmät aiatason analsi DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen Disreettiaiaiset järjestelmät 7 3 5 Lineaaristen, vaioertoimisten differenssihtälöiden

Lisätiedot

järjestelmät Luku 2 Diskreettiaikaiset järjestelmät - aikataso DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen

järjestelmät Luku 2 Diskreettiaikaiset järjestelmät - aikataso DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen DEE- Lineaariset järjestelmät Luu 2 Disreettiaiaiset järjestelmät - aiataso DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26 Diseettiaiainen vs jatuva-aiainen Jatuvan signaalin u(t) nätteistäminen disreetisi

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen,

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Vaihtosähkön teho kompleksinen teho S pätöteho P loisteho Q näennäisteho S Käydään läpi sinimuotoisiin sähkösuureisiin liittyviä tehotermejä. Määritellään kompleksinen teho, jonka

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan

Lisätiedot

± r = 1e 2 2 ±

± r = 1e 2 2 ± SMG- Piirianalyysi II Ehdotuset harjoitusen asi rataisuisi 3 (a) d y ( t) dy ( t) 7 4 y ( t) 4 r + + = y(t) = e rt r r ( ) + 4r + 7 / 4 = KY ± r = 4 4 4 7 / 4 e rt + 4 e rt + 7 / 4 e rt = : e rt r = /

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine Physica 9. painos (6). Lämpötila ja paine :. Lämpötila ja paine. a) Suure, jolla uvataan aineen termoynaamista tilaa. b) Termoynaamisen eli absoluuttisen lämpötila-asteion ysiö. c) Alin mahollinen lämpötila.

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi 02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2) . Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5. Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:

Lisätiedot

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. yhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. yhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k. ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai

Lisätiedot

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

järjestelmät Luento 8

järjestelmät Luento 8 DEE-111 Lineaariset järjestelmät Luento 8 1 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214 Luento 7 - Recap Z-muunnos ja sen ominaisuudet Lineaaristen dierenssiyhtälöiden käsittely Alku- ja loppuarvot

Lisätiedot

S Piirianalyysi 2 1. Välikoe

S Piirianalyysi 2 1. Välikoe S-55.0 Piirianalyyi. Välioe 9.3.007 ae tehtävät eri paperille uin tehtävät 3 5. Muita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Muita

Lisätiedot

AALTO-OPAS H-BEND VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Juhana Kankainen j82081 Teemu Lahti l82636 Henrik Tarkkanen l84319

AALTO-OPAS H-BEND VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Juhana Kankainen j82081 Teemu Lahti l82636 Henrik Tarkkanen l84319 VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Juhana Kanainen j8081 Teemu Lahti l8636 Henri Taranen l84319 SATE010 Dynaaminen enttäteoria AALTO-OPAS H-BEND Sivumäärä: 1 Jätetty tarastettavasi:

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

Työ ja energia. Haarto & Karhunen.

Työ ja energia. Haarto & Karhunen. Työ ja energia Haarto & Karhunen Voiman teemä työ Voiman F teemä työ W määritellään voiman F ja uljetun matan s pistetulona. Siis uljetun matan s ja matan suuntaisen voiman omponentin tulona. W = F s =

Lisätiedot

järjestelmät Luento 4

järjestelmät Luento 4 DEE- Lineaarise järjeselmä Lueno 4 Lineaarise järjeselmä Riso Mionen 3.7.4 Lueno 3 - Recap Lineaarisen differenssiyhälöiden raaiseminen Impulssivaseen äsie Impulssivase ja onvoluuiosumma Lineaarise järjeselmä

Lisätiedot

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 202 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:. AMMATIKKA top 7..005 MATEMATIIKAN KOE. ateen ammatillien oulutuen aiien alojen yteinen matematiia ilpailu Nimi: Oppilaito:. Koulutuala:... Luoa:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA. Teniia ja liienne:... Matailu-,raitemu-

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006 S-55.0/4 Piirianalyyi. Välioe 0.3.006 ae tehtävät 3 eri paperille in tehtävät 4 5. Mita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanmero, rin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Mita

Lisätiedot

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89. 5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Mekaniikan kertausta

Sähköstatiikka ja magnetismi Mekaniikan kertausta Sähöstatiia ja magnetismi Meaniian etausta Antti Haato 17.05.013 Newtonin 1. lai Massan hitauden lai Jatavuuden lai Kappaleen nopeus on vaio tai appale pysyy paiallaan, jos siihen ei vaiuta voimia. Newtonin

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintauulustelujen matematiian oe 30.5.006 sarja A Ohjeita. Sijoita joainen tehtävä omalle sivulleen. Laadi rataisut seleästi v älivaiheineen, tarvittaessa

Lisätiedot

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus Luento 8 Lineaarinen suodatus Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Käytännölliset suodattimet 8..006 Suodattimien käyttötarkoitus Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

Luento 2 / 12. SMG-1200 Piirianalyysi II Risto Mikkonen

Luento 2 / 12. SMG-1200 Piirianalyysi II Risto Mikkonen SMG-00 Piirianalsi II Lento / SMG-00 Piirianalsi II Risto Mionen 6.8.03 ) ( ) ( ) ( L L L L L ) ( ) ( Additiiviss Homogeeniss ) ( ) ( ) ( L L L Lineaariss 6.8.03 SMG-00 Piirianalsi II Risto Mionen Aiainvarianttiss

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

Kaupunkisuunnittelu 17.8.2015

Kaupunkisuunnittelu 17.8.2015 VANTAAN KAUPUNKI MIEIPITEIDEN KOONTI Kaupunisuunnittelu..0 MR :N MUKAISEEN KUUEMISKIRJEESEEN..0 VASTAUKSENA SAADUT MIEIPITEET JA KANNANOTOT ASEMAKAAVAN MUUTOKSESTA NRO 009, MARTINAAKSO YHTEENSÄ KANNANOTTOJA

Lisätiedot

EPOP Kevät

EPOP Kevät EPOP Kevät 2012 16.1.2012 Projeti 1 Muutosilmiöt Piirianalyysi 1:ssä äsitellyt tasa- ja vaihtovirta-analyysit ovat jatuvan tilan menetelmiä, joissa oletetaan, että piirin herätteet (riippumattomat lähteet)

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

järjestelmät Luku 1 Johdanto; termit ja käsitteet 1 DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen

järjestelmät Luku 1 Johdanto; termit ja käsitteet 1 DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen DEE-00 Lineaariset järjestelmät Luu Johdanto; termit ja äsitteet DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen DEE-00 Lineaariset järjestelmät I+II periodi Luennot, Risto Mionen, SH 3 Harjoituset, Tiina

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET 5 TLOUYRTTÄJÄN ELÄKELN UKEN VKUUTUKEN PERUTEET PERUTEDEN OVELTNEN Näitä perusteita soelletaan..009 lähtien maatalousrittäjän eläelain 80/006 YEL muaisiin auutusiin. VKUUTUKU Vauutusmasu uodelta on maatalousrittäjän

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2. / ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO : Tasoehän palielementti, osa. NELJÄN VAPAUSASTEEN PALKKIELEMENTTI Kun ahden vapausasteen palielementin solmuihin lisätään loaalin -aselin suuntaiset siirtmämittauset,

Lisätiedot

ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen.

ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen. ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen. X.X.2015 Tehtävä 1 Bipolaaritransistoria käytetään alla olevan kuvan mukaisessa kytkennässä, jossa V CC = 40 V ja kuormavastus

Lisätiedot

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPEUSTEET Koooma 28.3.2006. Viimeisin perustemuutos on ahistettu 16.1.2003. APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKU-

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta

Lisätiedot

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus 30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin

Lisätiedot

Heilurin differentiaaliyhtälö

Heilurin differentiaaliyhtälö LUKU 4 Heilurin differentiaaliyhtälö 4.. Konservatiiviset systeemit Fysiaalisissa sovellutusissa täreitä ovat ns. onservatiiviset systeemit. Ysiulotteinen onservatiivinen systeemi (tai onservatiivinen

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen

Lisätiedot

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y 36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN TEKNIIKAN VALINTAKOE

AMMATTIKORKEAKOULUJEN TEKNIIKAN VALINTAKOE AMMATTIKORKEAKOULUJEN TEKNIIKAN VALINTAKOE OHJEITA Valintakokeessa on kaksi osaa: TEHTÄVÄOSA: Ongelmanratkaisu VASTAUSOSA: Ongelmanratkaisu ja Tekstikoe HUOMIOI SEURAAVAA: 1. TEHTÄVÄOSAN tehtävään 7 ja

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017 KJR-C00 Kontinuumimeaniian perusteet viio 45/017 1. Oloon f t ) alojen onsentraatio [ f ] < g/m ) joessa joa riippuu siis seä paiasta että ajasta. Havaitsija on veneessä ja mittaa onsentraatiota suoraan

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Palkkielementti hum 3.10.13

Palkkielementti hum 3.10.13 Palilmntti hum.0. Palilmnttjä Tarastllaan tässä sitysssä vain Eulr-Brnoullin palitoriaan prustuvia palilmnttjä. Tässä palitoriassa olttaan, ttä palin poiiliaus säilyy taivutttunain tasona, joa on ohtisuorassa

Lisätiedot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

Interaktiiviset menetelmät

Interaktiiviset menetelmät Interatiiviset menetelmät. Johdanto. Interatiivinen SWT-menetelmä 3. GDF-menetelmä 4. Yhteenveto Optimointiopin seminaari - Kevät 000 /. Johdanto Interatiivisissa menetelmissä päätösenteijä ja analyytio

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä äyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin taristus: ZN-Face Kalle Korhonen sorhon@cc.hut.fi 13.4.2000 Tiivistelmä: Raportissa tutustutaan aupalliseen

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot