Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt"

Transkriptio

1 SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T{ αu + βu } = αt{ u } + βt{ u }, jossa α ja β ovat vaioita ja u ja u ovat järjestelmän T asi eri sisäänmenoa. (a) Järjestelmän ulostuloa on yleensä tapana meritä y:llä, jota ei uitenaan yllä olevasta lineaarisuuden määritelmästä löydy. Mitä termit lineaarisuuden määritelmässä edustavat järjestelmän ulostuloa? (b) Ysi esän 004 ohoohtia oli Jari Litmasen paluu Veiausliigaan FC Lahden riveihin. Tarastellaan järjestelmää, jona sisäänmeno u on Litmasen peliaia ysittäisessä otiottelussa, ja ulostulo y on yseisen ottelun yleisömäärä. Jos Jari ei pelaa minuuttiaaan, atsomossa on 000 silmäparia. Jos Jari pelaa täydet 90 minuuttia, atsojia on 0000 Oletetaan, että yleisömäärän riippuvuus Litmasen peliminuuteista noudattaa suoran yhtälöä. Ono järjestelmä lineaarinen? T αu βu T u. (a) { + }, T{ u } ja { } (b) Järjestelmä ei ole lineaarinen.. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmän sisäänmeno on ondensaattorin virta, ja ulostulo on ondensaattorin yli oleva jännite. Millä ehdolla yseinen järjestelmä on lineaarinen? Järjestelmä on lineaarinen, jos ondensaattorin jännite on 0 V tarastelun aluhetellä..3 Järjestelmien lineaarisuus: Tarastellaan oheista ytentää, jona sisäänmeno on lähdejännite u(t) ja ulostulo vastusen R yli oleva jännite y(t). Tarastele piirin lineaarisuutta, un (a) R = R. (b) R = u(t)/r. u(t) R R y(t) (a) Järjestelmä on lineaarinen. (b) Järjestelmä ei ole lineaarinen..4 Differenssiyhtälöt: (a) Teemu ostaa jänisaupasta asi vastasyntynyttä jänistä, joista toinen on uros ja toinen naaras. Jänöset ovat tehoaita lisääntymään, miä paljastuu ahden uuauden uluttua jäleläisparin (uros ja naaras) syntyessä. Oletetaan, että ysiään jänö ei uole, ja oletetaan lisäsi aiien jänisparien saavan uros- ja naaraspoiasen joa uuausi saavutettuaan ensin suuypsyyden uuaudessa. Muodosta pitäorvaparisuntien luumäärää uvaava differenssiyhtälö. Differentiaaliyhtälöt: (b) Tarastellaan oheista ytentää, jona sisäänmeno on lähdejännite u(t) ja ulostulo virta i(t). Muodosta järjestelmää uvaava differentiaaliyhtälö.

2 u(t) R L i(t) (a) y = + y y,. di( t) R (b) + i( t) = u( t) L L.5 Järjestelmien lineaarisuus: Vastus R on ytetty jännitelähteen u(t) anssa sarjaan. Ono järjestelmä lineaarinen, un sisäänmeno on u(t) ja ulostulo on vastusen ottama teho p(t)? Järjestelmä ei ole lineaarinen. Luu : Lineaaristen differenssiyhtälöiden rataiseminen aiatasossa. Homogeeniset differenssiyhtälöt: Tarastellaan differenssiyhtälöä Ay + + By + + Cy = 0. Hae yleinen rataisu y :lle, un (a) A =, B = - ja C = -. (b) A =, B = - ja C = /4. (c) A =, B = - ja C = /. (a) y = C + C (b) (c) y y = C = C + j + C + C j. Epähomogeeniset differenssiyhtälöt: Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Hae yleinen rataisu y :lle, un (a) D =. (b) D = 5. (c) D =. (a) (b) (c) y = y ( h ) ( p) + y = C + C + + D =. ( h ) ( p) y = y + y = C + C y ( h ) ( p) + y = C + C = y.3 Epähomogeeniset differenssiyhtälöt: Rataise oheista lohoaaviota uvaava differenssiyhtälö, un u = 4 ja y 0 = 4. u y 3

3 y = Epähomogeeniset differenssiyhtälöt: Marcello Lippi on laittanut Pavel Nedvedin rangaistuspotuurssille, osa Pavel teee tällä hetellä pilusta maalin säälittävällä 0%:n todennäöisyydellä. Pavel on uitenin nopea oppimaan, ja piluurssilla ollessaan hänen taitonsa ehittyy siten, että maalinteotodennäöisyys noudattaa yhtälöä P = 0.00, P jossa taroittaa uuautta. Kuina monta uuautta Pavelin on vietettävä urssilla, jotta hän teee joaisesta pilusta maalin? Huomaa, että yseessä on disreettiaia-järjesjestelmä, eli saa ainoastaan oonaisluuarvoja. P = , olme uuautta riittää.5 Epähomogeeniset differenssiyhtälöt, oonaisrataisu: Muodosta oonaisrataisu oheista lohoaaviota uvaavalle differenssiyhtälölle, un y, 0 u =. u 0, < y = Impulssivaste ja onvoluutiosumma: Tarastellaan samaa järjestelmää uin tehtävässä.5. Muodosta järjestelmän impulssivaste ja lase ulostulo onvoluutiosumman avulla. Miä on y 3 :n arvo? Tulio sama tulos uin tehtävässä.5? h 3 3 = 4 4, 3 y = 4 4, yllä.7 Disreettiaiajärjestelmien tilamuuttujaesitys: Tarastellaan edelleen samaa järjestelmää uin tehtävässä.5. Valitse viiveelementtien jäleiset tilat tilamuuttujisi ja muodosta järjestelmän tilamuuttujaesitys. Ono järjestelmä stabiili? ( + ) ( + ) x 3/6 x + u x = x, 0 0 x y = [ 3/6] + [ ] u x, on stabiili

4 .8 Disreettiaiajärjestelmän stabiilisuus: Tehtävässä.7 esitettiin disreettiaiajärjestelmän stabiilisuusehto tilamatriisin ominaisarvojen avulla. Miten voit tarastella stabiilisuutta tehtävän.5 differenssiyhtälön rataisusta? Mitä järjestelmän stabiilisuus siis taroittaa? Tilamatriisin A ominaisarvot vastaavat järjestelmää uvaavan yhtälön arateristisen yhtälön juuria. Tehtävässä.7 saatiin ominaisarvoisi 3/4 ja /4. Tehtävässä.5 arateristisen yhtälön juurisi saatiin samat arvot. Järjestelmän stabiilisuutta voidaan siis tarastella myös homogeenisen yhtälön rataisusta, joa tehtävässä.5 oli ( h ) 3 y = C + C. 4 4 (h) Jos y 0, un, järjestelmä on stabiili. Tämä ehto toteutuu, un arateristisen yhtälön juuret ovat itseisarvoltaan yöstä pienempiä. Samasta syystä seuraa siis tilamatriisin ominaisarvoihin liittyvä stabiilisuusehto..9 Impulssivaste ja onvoluutiosumma: Barcelonan jalapallojouueen hyöääjät suorittavat Cooperin testiä. Tapahtuma poieaa uitenin hieman totutusta, sillä joaisella hyöääjällä on selässään puolustaja, joa pyrii estämään hyöääjän etenemisen. Tarastellaan paria Ronaldinho - Puyol. Ronaldinho juosee, ja Puyol yrittää laittaa hanttiin. Kuina monta minuuttia Ronaldinho pystyy etenemään, un hänen nopeutensa v noudattaa minuuttien funtiona differenssiyhtälöä v v = u? Muodosta järjestelmän impulssivaste ja lase onvoluutiosumman avulla Ronaldinhon nopeus, un järjestelmän sisäänmeno u = Taroitus on siis selvittää, uina monennella minuutilla Puyol alaa repiä Ronaldinhoa taasepäin, jolloin vuoden 004 parhaasi jalapalloilijasi valitun henilön nopeus muuttuu negatiivisesi. h = (/), 0, jo olmen minuutin jäleen Ronaldinhon nopeus on negatiivinen.0 Konvoluutiosumma: Thierry ostaa Tapsantorilta järjestelmän muttei ymmärrä mitään sen toiminnasta. Hän pyytää apua Arsenelta, joa huomaa järjestelmän yljessä luevan: h 0, < 0 =. b, 0 Auta tyimiesasioa ja määritä lausee järjestelmän ulostulolle y, un sisäänmeno u 0, < 0 =. a, 0

5 y a / b a / b a / b b = b, a b = a / b a / b, 0. b ( + ), a = b. Diagonalisointi: Diagonalisoi oheinen järjestelmä, jolle muodostettiin tilamuuttujaesitys tehtävässä.7. Mitä iloa diagonalisoinnista on? y, 0 u =. u 0, < 0 ei uulu nyyisellään enää urssin aihepiireihin 3 6 Luu 3: Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden rataiseminen aiatasossa 3. Homogeeniset differentiaaliyhtälöt: Hae yleinen rataisu differentiaaliyhtälölle d dy ( t ) y t + A + By t = 0, un (a) A = 4, B = 7/4, (b) A =, B =. / t 7 / t y t C e = + C e (a) y t = C e + C te (b) t t 3. Homogeeniset differentiaaliyhtälöt: Hae yleinen rataisu tehtävän 3. yhtälölle, un A = ja B = 5/4. Karateristisen yhtälön juuret ovat nyt omplesiluuja. Mihin imaginääriysiö j atoaa homogeenisen yhtälön rataisusta? t t y ( t) = Be cos t + Be sin t 3.3 Homogeeniset differentiaaliyhtälöt: Hae yleinen rataisu differentiaaliyhtälölle 3 d d d y t y t y t + + = 0. t t t 3 3 y t = C + C exp + t + C exp t 3 d d 4 d Homogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Rataise v(t). i C i L i R C L R v(t)

6 C = 0.5 µf, L = 8 H, R = 0 Ω, v(0) = 0 V ja i L (0) = -.5 ma v(t) 00e -00t sin(979.80t) 3.5 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Alla olevan uvan ytin S on aui, un t < 0. Tällöin piiri on tasapainotilassa, eli virta i(t) on vaio. Ajanhetellä t = 0 ytin suljetaan. Määritä virta i(t), un t 0. i(t) = R t RE L E e + R R R R ( + ) i(t) E L R S R 3.6 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (yleinen oonaisrataisu): y t + 4y t + 4y t = f t, un Rataise differentiaaliyhtälö (a) f ( t) = e t, (b) f ( t) = 5t, (c) f ( t) = sin ( t ), (d) f ( t) e t 5t sin ( t ) y t = C e + C te + e (a) t t t t (b) = + +. y t t 5 7 = Ce + Cte + t 4 4 y t t t Ce = + Cte cos t 8 y t t t t 5 7 = Ce + Cte + e + t cos t (c) (d) 3.7 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Legendaarinen lasuvarjohyppy on monen mielestä TTY:n untopiirin rasain liie. Kyseinen liie on asivaiheinen. Ensin ponnistetaan lattiasta ylös, ja laipisteen saavuttamisen jäleen leijaillaan taaisin lattialle. Suorituseen valmistautuvaa henilöä voidaan uvata oheiselle meaanisella järjestelmällä. Lytyssä oleva jousi (jousivaio ) uvaa untoilijan (massa m) ouussa olevia polvia, jota sinoavat hänet irti lattiasta. Gravitaatio taasen pitää huolen siitä, ettei untoilija lyö päätään liiuntahallin attoon. x(t) uvaa untoilijan massaesipisteen sijaintia suoritusen aiana lepotilanteeseen verrattuna. Kun ilmanvastusta ei oteta huomioon, tilannetta uvaavasi differentiaaliyhtälösi saadaan Newtonin II lain muaisesti 0. m m x(t) x ( t ) mg = mx ( t).

7 Rataise x(t), un m = 70 g, = 000 N/m, g = 9.8 m/s, x(0) = -0. m ja x 0 = 0 m/s. Mallin oieellisuutta on mahdollista tarastella liiuntahallissa torstaisin lo 7-8. Misi malli ei uvaa todellista tilannetta? mg mg x( t) = 0. cos (( / m ) t) 3.8 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Oheisen järjestelmän sisäänmeno on lähdevirta i(t) ja ulostulo jännite y(t). Muodosta ulostulon lausee, un sisäämeno i(t) = 0, un t < 0, ja i(t) = e -t sin(t), t 0. R = Ω, C = mf y(t) = 000e -t - 000e -t i(t) R C y(t) cos(t), t Jatuva-aiajärjestelmän impulssivaste: Muodosta tehtävän 3.8 järjestelmälle impulssivaste. h t = e 000 t 3.0 Jatuva-aiajärjestelmän tilamuuttujaesitys: Kirjoita tilamuuttujaesitys oheiselle piirille. i(t) Järjestelmän sisäänmeno on lähdejännite v(t) ja ulostulo vastusen R yli oleva jännite. Käytä v(t) tilamuuttujina ondensaattorin yli olevaa jännitettä v C (t) ja äämin virtaa i(t). Ono järjestelmä stabiili, un R = Ω, C = nf ja L = mh? Mistä jatuvaaiajärjestelmien stabiilisuusehto tulee? x ( t) 0 / C x ( t) 0 = v t x ( t + ) / L R / L x ( t ) / L ( t) ( t) x y ( t) = [ 0 R] + [ 0] v( t ), on stabiili x Tilamatriisin A ominaisarvot vastaavat järjestelmää uvaavan differentiaaliyhtälön arateristisen yhtälön juuria, aivan uten oli disreettipuolellain. Täten, tehtävän 3.0 järjestelmän homogeenisen yhtälön rataisusi saadaan ( h) t e e y t C C t t = +. Tuosta HY:n rataisusta pystytään myös päättelemään jatuvaaiajärjestelmien stabiilisuusehto. Järjestelmä on stabiili, jos y(t) (h) 0, un t. Jotta yseinen ehto toteutuu yllä olevalle y(t) (h) :lle, arateristisen yhtälön juurien on oltava reaaliosaltaan negatiivisia, jolloin e-termit pienenevät t:n asvaessa. Stabiilisuusehto osee vain KY:n juurien reaaliosia, sillä KY:n juurien imaginääriosathan tuovat rataisuun pelästään sin- ja cos-termejä, joilla ei ole mitään teemistä stabiilisuuden anssa., L R C v C (t)

8 3. Epälineaarisen yhtälön rataiseminen (Newton-Raphson): Rataise oheisen ytennän omponenttien yli olevat jännitteet Newton- Raphson -algoritmilla ahden desimaalin taruudella, un I = A, R = 0.5 Ω ja diodin virta i D noudattaa lauseetta i D = e 0U -, missä U on diodin yli oleva jännite. R R I R I V V ja V V 6 3. Jatuva-aiajärjestelmän impulssivaste: Roberto Carlos antaa vapaapotua. Tarastellaan palloa, joa ennen vaparia lepää liiumattomana nurmella. Sillä hetellä, un Carlosin jala osuu palloon, siihen ohdistuu impulssimainen voima δ(t), josta seuraa pallon iihtyvyys h(t), ysiönä m/s. Järjestelmää uvaava yhtälö on dh t ( t) h t = 00 δ. Rataise pallon iihtyvyys h(t). t h t = 00e 000 Luu 4: Lineaaristen differenssiyhtälöiden rataiseminen Z-muunnosen avulla 4. Z-muunnosen muodostaminen: Hae määritelmään perustuen seuraavien termien Z-muunnoset, un 0. Termin x Z-muunnos on X(Z). (a) a (vaio) (b) (/3) (c) x +3 (d) x -3 (e) δ a (a) Z{ a} = (b) Z = z 3 z 3 (c) Z{ } (d) Z{ } (e) Z{ δ } = 3 x + 3 = z X z z x zx x x = z X z + z x + z x + z x Differenssiyhtälön rataiseminen aiatasossa: R. Ana on matalla Hinustaniin ja rahaa säästääseen päättää ylittää Kamalajan aavion amelilla. Ahmedin vesihuoltis Kamalajan aavion laitamilla myy vettä tasalitroittain pöyristyttävällä 0 centin litrahinnalla, joten Roope päättää lasea tarvittavan veden määrän. Jotta Roope ehtii liietapaamiseen, amelin matanopeuden täytyy olla 0 m/h. Vuoraamelin huoltoirjasta löytyvistä vedenulutustilastoista Roope näee em.

9 matanopeuden aiheuttaman vedenhäviin olevan,5 l/h. Toisaalta ulolämpötilasta ja tuulioloista johtuen 5 % ameliin tanatusta vesimäärästä haihtuu joa tunti. Kuina monta litraa vettä Roopen täytyy tanata amelinsa yttyröihin, jotta tanattu vesi ei lopu esen 50 m:n matalla? Roopen on ostettava 35 litraa vettä. 4.3 Differenssiyhtälön rataiseminen Z-muunnosen avulla: Rataise tehtävän 4. differenssiyhtälö Z-muunnosen avulla. 4.4 Z-muunnosen muodostaminen: π Hae u :n Z-muunnos U(Z), un u = sin, 0, missä a on vaio. a sin ( π / a) z U ( z) = z cos π / a z Differenssiyhtälön rataiseminen Z-muunnosen avulla: Rataise y Z-muunnosen avulla, un y 0 = 0 ja y + + y = 4. y 4 4 = (a) Z-muunnosen muodostaminen: Muodosta y :n Z-muunnos Y(z), un y =, 0, ja Z{u } = U(z). u (b) Loppuarvoteoreema: Disreettiaiajärjestelmän ulostulon y Z-muunnos Y(z) on 5z ( 0. z)( 0.5 z) Y ( z) =. Määritä lim z z y. 0.6z d d = dz dz (b) limy.85 (a) Y ( z) z z U ( z) 4.7 Impulssivasteen määrittäminen Z-muunnosen avulla: Rataise oheisen differenssiyhtälön impulssivaste Z-muunnosen avulla. y + y y = 3u u h = + ( ) = + ( ) 4.8 Siirtofuntion H(z) määrittäminen: Järjestelmän ulostulo on y 5 + =, 0, ja sisäänmeno u + =, 0. Määritä impulssivasteen h Z-muunnos H(z), jota siirtofuntiosiin utsutaan.

10 H ( z) 4 z / = 5 z / Siirtofuntion H(z) hyödyntäminen: Lase ulostulo y tehtävän 4.8 järjestelmälle, un järjestelmän sisäänmeno on 3 + =, 0. u y + + = Siirtofuntion H(z) hyödyntäminen: Tampere United vahvistaa rivejään. Erityisesti juosuvoimalle on tarvetta, joten päävalmentaja Hjelm ostaa Roberto Carlosin eräästä espanjalaisjouueesta. Kyseisellä pelaajallahan on tapana toimia seä alimpana puolustajana että hyöäysen ärenä, minä seurausena hän juosee useamman maratonin yhden ottelun aiana. Roberto saapuu Tampereelle ontissa, jona rahtiirjasta TamU:n päävalmentaja luee uuden vahvistusensa siirtofuntion olevan H z 0.8z =..8z Koittaa ensimmäinen pelipäivä. Hjelm antaa Carlosille luvan juosta, ja Carloshan juosee. Kun päävalmentajan lupa edustaa järjestelmän sisäänmenoa ja on u =, un 0, muodosta ulostulon y lausee. Ulostulo y uvaa Carlosin juosemaa ilometrimäärää ottelun aiana, un edustaa uluneita peliminuutteja. Kuina monen minuutin jäleen ensimmäinen maraton täyttyy? Seitsemän minuuttia riittää 4. Impulssivasteen h Z-muunnos H(z): Järjestelmän sisäänmeno u ja ulostulo y ovat u 5, un = 0 =, 0, un 0 y 500, un = 5 =. 0, un 5 Muodosta järjestelmän siirtofuntio H(z) ja impulssivaste h. 5 H ( z) = 4z, h = 4δ 5 4. Siirtofuntion H(z) hyödyntäminen asadiytennässä: Kasi identtistä järjestelmää on ytetty sarjaan. Ysittäisen järjestelmän impulssivaste h = (/), 0. Jos ensimmäisen järjestelmän sisäänmeno on u = ξ (asel), miä on jälimmäisen järjestelmän ulostulo y? y = 3 + 4

11 4.3 Differenssiyhtälöt & Z-muunnos: Rataise tehtävä.9 (Ronaldinho & Puyol) Z-muunnosella. Tuossahan järjestelmää uvaava yhtälö on v + v = u +, jossa v edustaa ulostuloa ja sisäänmeno u = Taroitus on siis muodostaa järjestelmän impulssivaste h ja rataista v, joa uvaa Ronaldinhon nopeutta minuuttien funtiona. Aluarvo v 0 = 0. Luu 5: Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden rataiseminen Laplacemuunnosen avulla 5. Laplace-muunnos: Hae määritelmään perustuen seuraavien termien Laplace-muunnoset, un i(t):n Laplace-muunnos on I(s). (a) a (vaio) (b) 3t (c) a s / e t 3 s (a) L( a) = (b) L( 3t ) (d) d i t = ( 0) L s I s si (d) d i t t = (c) L( e ) di ( 0) 5. Laplace-muunnos: Rataise Laplace-muunnosella differentiaaliyhtälö di ( t) + i ( t) = ξ ( t), un i(0) = 0 A. i ( t ) = e t, t 0 = s + / 5.3 Raúl Gonzáles: Raúl on erran antanut harhasyötön. Tuosta onnettomasta hetestä lähtien todennäöisyys onnistuneelle syötölle p(t) on noudattanut differentiaaliyhtälöä p ( t) p t + 5 = 7.5. Rataise p(t) Laplace-muunnosella, un p(0) = Millä todennäöisyydellä Raúl antaa onnistuneen syötön, un tuosta synästä virheestä on ulunut 0.5 s? p %

12 5.4 Differentiaaliyhtälöt & Laplace-muunnos: Oheisen RLC-piirin ytin suljetaan, un t = 0 s. Kun ytin on aui, ondensaattorin yli on 40 V:n jännite. Rataise Laplace-muunnosen avulla ondensaattorin yli oleva jännite ajan funtiona, v C (t). U = 00 V, R = 50 Ω, L = 0 mh, C = 5 µf 000t 4000t vc ( t) = 00 80e + 0e, t 0 U R L C 5.5 Differentiaaliyhtälöt & Laplace-muunnos: Rataise oheinen differentiaaliyhtälöpari, un x(0) = ja y(0) = 0. x ( t) + 4x( t ) + y ( t) + y ( t) = x( t) + y ( t) + y ( t) = 0 x( t) = + e y t = + e t t, t Siirtofuntio: Muodosta tehtävän 5. järjestelmän siirtofuntio H(s), un i(t) edustaa järjestelmän ulostuloa ja aselfuntio ξ(t) edustaa järjestelmän sisäänmenoa. Varmista lisäsi tehtävässä 5. saatu ulostulo H(s)U(s):n avulla. y ( t) = e t, t Siirtofuntio ja loppuarvoteoreema: Jatuva-aiajärjestelmää uvaavasi siirtofuntiosi on saatu ( s + ) H ( s) =. s s + s + 3 Rataise järjestelmän ulostulo y(t), un sisäänmeno u ( t) 4e t ( t) loppuarvoteoreemalla lim y ( t) t t 3t y ( t ) = 8 4e + 6e, t 0, y ( t) = ξ. Lase vielä. Varmista tulos aiatason rataisusta. lim = The Science of Soccer: Kuvitellaan, että jalapallon törmäystä maalin tolppaan voidaan uvata homogeenisella differentiaaliyhtälöllä d b t cp b ( t ) 0 + =, un 0 t t max. m Tuossa b on pallon muodonmuutosen syvyys, c pallon ehän pituus, p erotus pallon sisällä olevasta paineesta ja ympäröivästä ilmanpaineesta ja m pallon massa. Tarastellaan SMG:n wirallista tyy-palloa, jolle t m = 0.44 g, c = m, p = N/m (0.83 atm) ja t max = 8. ms.

13 Rataise Laplace-muunnosen avulla pallon muodonmuutos b(t), un Risto ampuu pallon tolppaan maltillisella 87 m/h:n nopeudella. Tarastelun aluhetellä pallo on juuri osumassa tolppaan, eli b(0) = 0 m. b t sin 38.4 t 5.9 Laplace-muunnos: Tarastellaan indutanssiltaan 50 mh:n äämiä. Ajatellaan sitä järjestelmänä, jona sisäänmeno on äämin yli oleva jännite u L (t) ja ulostulo äämin virta i L (t). Rataise Laplace-muunnosen avulla i L (t), un u L (t) noudattaa lauseetta π ul ( t) sin = ωt + V, jossa ω = 00π. Oleta äämin tasavirtaomponentti nollasi. Aluarvo i L (0) on pääteltävissä u L (t):stä, vaia vaatiiin hieman pähäilyä... i ( t 40 L ) = sin ( 00 π ) 00π t 5.0 Differentiaaliyhtälöt & Laplace-muunnos: Rataise tehtävä 3.7 (lasuvarjohyppy) Laplace-muunnosella. Rataise siis x(t) differentiaaliyhtälöstä x ( t ) mg = mx ( t), jossa m = 70 g, = 000 N/m, g = 9.8 m/s, x(0) = 0. m ja Luu 6: Jasolliset funtiot ja Fourier'n sarjaehitelmä x 0 = Fourier'n esponenttisarja: Esitä oheinen jasollinen jännitesignaali Fourier'n esponenttisarjana. v(t) (V) 5 0 t (ms) 5 v t = e e e + e jnπ n 4π 5 ( ) n= n 0 jnπ jnπ jn000πt 0

14 6. Taajuusvaste: Järjestelmää, jona sisäänmeno on u(t) ja ulostulo y(t), uvaava differentiaaliyhtälö on + = + y t y t 4y t u t 3u t. Määritä järjestelmän taajuusvaste. jω + 3 H ( jω ) = jω + jω Taajuusvaste: Järjestelmän taajuusvasteesi on saatu H ( jω ) = 3 j j j 3 ω ω + ω. Muodosta järjestelmää uvaava differentiaaliyhtälö. 3 y t y t + y t y t = u t 6.4 Taajuusvasteen hyödyntäminen järjestelmän ulostulon määrittämisessä: Tarastellaan oheista ytentää, jona sisäänmeno on lähdejännite u(t) ja ulostulo ondensaattorin yli oleva jännite y(t). Muodosta ulostulon lausee, un R L sisäänmenosi syötetään tehtävän 6. sahalaitasignaali. R = 000 Ω, L = 50 mh, C = 00 µf u(t) C 5 y ( t) 6 n= jn000π jn000π 0.+ n 0 jnπ jnπ jn000πt 5 e ( e ) e jn n 4 + π π y(t)

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja

Lisätiedot

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un

Lisätiedot

2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = =

2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = = 2 Lasuarjoitus 2 21 Kytentäimpedanssin asenta Mitä taroittaa ytentäimpedanssi? 5 ma:n suuruinen äiriövirta oasiaaiaapein vaipassa (uojoto) aieuttaa 1 mv:n suuruisen äiriöjännitteen 1 m:n mataa Miä on ytentäimpedanssin

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine Physica 9. painos (6). Lämpötila ja paine :. Lämpötila ja paine. a) Suure, jolla uvataan aineen termoynaamista tilaa. b) Termoynaamisen eli absoluuttisen lämpötila-asteion ysiö. c) Alin mahollinen lämpötila.

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi 02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5. Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai

Lisätiedot

AALTO-OPAS H-BEND VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Juhana Kankainen j82081 Teemu Lahti l82636 Henrik Tarkkanen l84319

AALTO-OPAS H-BEND VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Juhana Kankainen j82081 Teemu Lahti l82636 Henrik Tarkkanen l84319 VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Juhana Kanainen j8081 Teemu Lahti l8636 Henri Taranen l84319 SATE010 Dynaaminen enttäteoria AALTO-OPAS H-BEND Sivumäärä: 1 Jätetty tarastettavasi:

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:. AMMATIKKA top 7..005 MATEMATIIKAN KOE. ateen ammatillien oulutuen aiien alojen yteinen matematiia ilpailu Nimi: Oppilaito:. Koulutuala:... Luoa:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA. Teniia ja liienne:... Matailu-,raitemu-

Lisätiedot

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus Luento 8 Lineaarinen suodatus Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Käytännölliset suodattimet 8..006 Suodattimien käyttötarkoitus Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden

Lisätiedot

Kaupunkisuunnittelu 17.8.2015

Kaupunkisuunnittelu 17.8.2015 VANTAAN KAUPUNKI MIEIPITEIDEN KOONTI Kaupunisuunnittelu..0 MR :N MUKAISEEN KUUEMISKIRJEESEEN..0 VASTAUKSENA SAADUT MIEIPITEET JA KANNANOTOT ASEMAKAAVAN MUUTOKSESTA NRO 009, MARTINAAKSO YHTEENSÄ KANNANOTTOJA

Lisätiedot

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET 5 TLOUYRTTÄJÄN ELÄKELN UKEN VKUUTUKEN PERUTEET PERUTEDEN OVELTNEN Näitä perusteita soelletaan..009 lähtien maatalousrittäjän eläelain 80/006 YEL muaisiin auutusiin. VKUUTUKU Vauutusmasu uodelta on maatalousrittäjän

Lisätiedot

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPEUSTEET Koooma 28.3.2006. Viimeisin perustemuutos on ahistettu 16.1.2003. APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKU-

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä äyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin taristus: ZN-Face Kalle Korhonen sorhon@cc.hut.fi 13.4.2000 Tiivistelmä: Raportissa tutustutaan aupalliseen

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y 36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien

Lisätiedot

Palkkielementti hum 3.10.13

Palkkielementti hum 3.10.13 Palilmntti hum.0. Palilmnttjä Tarastllaan tässä sitysssä vain Eulr-Brnoullin palitoriaan prustuvia palilmnttjä. Tässä palitoriassa olttaan, ttä palin poiiliaus säilyy taivutttunain tasona, joa on ohtisuorassa

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström Näyäalueanalyysi Jouhaisselä Tuore Kulvaoselä tuulipuisto 29032012 Annua Engströ Näyäalueanalyysin uodostainen Näeäalueanalyysilla saadaan yleisuva siitä, ihin tuulivoialat äytettyjen lähtötietojen perusteella

Lisätiedot

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa Jväslän Ammattioreaoulu, IT-instituutti IXPF24 Fsiia, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pasi Repo Valon diffratio hdessä ja ahdessa raossa Laatija - Pasi Vähämartti Vuosiurssi - IST4S1 Teopäivä 2005-2-17 Palautuspäivä

Lisätiedot

Tuomo Mäki-Marttunen Stokastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaikannuksessa

Tuomo Mäki-Marttunen Stokastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaikannuksessa TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Luonnontieteiden ja ympäristöteniian tiedeunta Tuomo Mäi-Marttunen Stoastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaiannusessa Diplomityö Aihe hyväsytty tiedeuntaneuvostossa

Lisätiedot

Mittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014

Mittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 Mittalaitetekniikka NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 1 1. VAIHTOSÄHKÖ, PERUSKÄSITTEITÄ AC = Alternating current Jatkossa puhutaan vaihtojännitteestä. Yhtä hyvin voitaisiin tarkastella

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen

Lisätiedot

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL

Lisätiedot

VIRTAPIIRILASKUT II Tarkastellaan sinimuotoista vaihtojännitettä ja vaihtovirtaa;

VIRTAPIIRILASKUT II Tarkastellaan sinimuotoista vaihtojännitettä ja vaihtovirtaa; VITAPIIIASKUT II Tarkastellaan sinimutista vaihtjännitettä ja vaihtvirtaa; u sin π ft ja i sin π ft sekä vaihtvirtapiiriä, jssa n sarjaan kytkettyinä vastus, käämi ja kndensaattri (-piiri) ulkisen vastuksen

Lisätiedot

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004.

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT Koooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. SISÄLTÖ YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT 1. PUSTIDN SOVLTAMINN...

Lisätiedot

RATKAISUT: Kertaustehtäviä

RATKAISUT: Kertaustehtäviä hysica 6 OETTAJAN OAS 1. painos 1(16) : Luku 1 1. c) 1 0,51 A c) 0,6 A 1 0,55 A 0,6 A. b) V B 4,0 V c) U BC,0 V b) 4,0 V c),0 V 3. a) Kichhoffin. 1 + 3 1 3 4 0,06 A 0,06 A 0 V. b) Alin lamppu syttyy. Kokonaisvita

Lisätiedot

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän

Lisätiedot

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi

Lisätiedot

Analogiatekniikka. Analogiatekniikka

Analogiatekniikka. Analogiatekniikka 1 Opintojakson osaamistavoitteet Opintojakson hyväksytysti suoritettuaan opiskelija: osaa soveltaa ja tulkita siirtofunktiota, askelvastetta, Bodediagrammia ja napa-nolla-kuvaajaa lineaarisen, dynaamisen

Lisätiedot

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011 BLY Paalulaattojen suunnittelu uitubetonista Petri Manninen BY 56 Paalulaatta - Yleistä Käytetään tyypillisesti peheillä, noraali- tai lievästi ylionsolidoituneilla savioilla ja uilla peheiöillä Mitoitustietojen

Lisätiedot

PIIRIANALYYSI. Harjoitustyö nro 7. Kipinänsammutuspiirien mitoitus. Mika Lemström

PIIRIANALYYSI. Harjoitustyö nro 7. Kipinänsammutuspiirien mitoitus. Mika Lemström PIIRIANAYYSI Harjoitustyö nro 7 Kipinänsammutuspiirien mitoitus Mika emström Sisältö 1 Johdanto 3 2 RC-suojauspiiri 4 3 Diodi suojauspiiri 5 4 Johtopäätos 6 sivu 2 [6] Piirianalyysi Kipinänsammutuspiirien

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

3 x ja 4. A2. Mikä on sen ympyräsektorin säde, jonka ympärysmitta on 12 ja pinta-ala mahdollisimman

3 x ja 4. A2. Mikä on sen ympyräsektorin säde, jonka ympärysmitta on 12 ja pinta-ala mahdollisimman HTKK, TTKK, LTKK, OY, ÅA/Insinööriosastot alintauulustelujen matematiian oe 900 Sarja A A Lase äyrien y, (Tara vastaus) y, ja rajaaman äärellisen alueen inta-ala A Miä on sen ymyräsetorin säde, jona ymärysmitta

Lisätiedot

Sähkötekniikan perusteet

Sähkötekniikan perusteet Sähkötekniikan perusteet 1) Resistanssien rinnankytkentä kuormittaa a) enemmän b) vähemmän c) yhtä paljon sähkölähdettä kuin niiden sarjakytkentä 2) Jännitelähteiden sarjakytkentä a) suurentaa kytkennästä

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

FYSA220/K2 (FYS222/K2) Vaimeneva värähtely

FYSA220/K2 (FYS222/K2) Vaimeneva värähtely FYSA/K (FYS/K) Vaimeneva värähtely Työssä tutkitaan vaimenevaa sähköistä värähysliikettä. Erityisesti pyritään havainnollistamaan kelan inuktanssin, konensaattorin kapasitanssin ja ohmisen vastuksen suuruuksien

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

Annostuspumppusarja G TM M

Annostuspumppusarja G TM M Annostuspumppusarja G M M Virtausmäärä jopa 500 l/h Paine jopa 12 bar Mekaanisesti toimiva kalvo Säädettävä epäkeskotoimiosa Useampia samanlaisia tai erilaisia pumppuja yhdistettävissä ärkeimmät tekniset

Lisätiedot

RATKAISUT: Kertaustehtäviä

RATKAISUT: Kertaustehtäviä Phyica 1 uuditettu paino OPETTAJAN OPAS 1(9) Kertautehtäiä RATKAISUT: Kertautehtäiä LUKU 3. Luua on a) 4 eriteää nueroa b) 3 eriteää nueroa c) 7 eriteää nueroa. 4. Selitetään erieen yhtälön olepien puolien

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

Astianpesu EFT3 - Tappimattokone 3 tankkia

Astianpesu EFT3 - Tappimattokone 3 tankkia PROJEKTI # Astianpesu Syöttösuunta Oikea-->Vasen Vasen-->Oikea Käyttöenergia: Sähkö Höyry OPTIOT KONEESEEN (ERILLISHINTA) Eri syöttöalueet: 1.1 mm 1.5 mm 1.8 mm 2.4 mm 3. mm 4. mm 2.9 mm Cross-over Eri

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali 7/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 7: Yhn vapausasn paovärähly, impulssiuormius ja Duhamlin ingraali IMPULSSIKUORMITUS Maanisn sysmiin ohisuva jasoon hrä on usin ajasa riippuva lyhyaiainn uormius. Ysinraisin

Lisätiedot

BL20A0700 Sähköverkkotekniikan peruskurssi

BL20A0700 Sähköverkkotekniikan peruskurssi BLA7 ähöveroteniian perusurssi Viavirrat BLA7 ähöveroteniian perusurssi Viojen aiheuttajat lastollinen ylijännite Laitteiden toiintahäiriö tai virhetoiinta nhiillinen erehdys Yliuoritus BLA7 ähöveroteniian

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia 8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

Sähkötekiikka muistiinpanot

Sähkötekiikka muistiinpanot Sähkötekiikka muistiinpanot Tuomas Nylund 6.9.2007 1 6.9.2007 1.1 Sähkövirta Symboleja ja vastaavaa: I = sähkövirta (tasavirta) Tasavirta = Virran arvo on vakio koko tarkasteltavan ajan [ I ] = A = Ampeeri

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Markov-prosessit 1 Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketut) Tarkastellaan (stationaarisia) Markov-prosessea, oiden parametriavaruus on atkuva (yleensä aika). Siirtymät

Lisätiedot

Matemaattisesta mallintamisesta

Matemaattisesta mallintamisesta Matemaattisesta mallintamisesta (Fysikaalinen mallintaminen) 1. Matemaattisen mallin konstruointi dynaamiselle reaalimaailman järjestelmälle pääpaino fysikaalisella mallintamisella samat periaatteet pätevät

Lisätiedot

ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV. Suomen Aktuaariyhdistyksen vuosikokousesitelmä

ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV. Suomen Aktuaariyhdistyksen vuosikokousesitelmä ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV Suomen Atuaariyhdistysen vuosioousesitelmä 27.2.2006 2 Sisällysluettelo: sivu 1. Tasoitusvastuujärjestelmän uvaus

Lisätiedot

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 Insino o rialinnan fysiikan koe 7.5.15, malliratkaisut A1 Pallo (massa m = 1, kg, sa de r =, cm) nojaa kur an mukaisesti pystysuoraan

Lisätiedot

LOPPURAPORTTI 19.11.2007. Lämpötilahälytin. 0278116 Hans Baumgartner xxxxxxx nimi nimi

LOPPURAPORTTI 19.11.2007. Lämpötilahälytin. 0278116 Hans Baumgartner xxxxxxx nimi nimi LOPPURAPORTTI 19.11.2007 Lämpötilahälytin 0278116 Hans Baumgartner xxxxxxx nimi nimi KÄYTETYT MERKINNÄT JA LYHENTEET... 3 JOHDANTO... 4 1. ESISELOSTUS... 5 1.1 Diodi anturina... 5 1.2 Lämpötilan ilmaisu...

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-0361-1 1 (5) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 15100 Lahti 7.4.01 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 1001, 0044 VTT Puh. 00 7 5566, ax. 00 7 7003

Lisätiedot

Flow shop, työnvaiheketju, joustava linja, läpivirtauspaja. Kahden koneen flow shop Johnsonin algoritmi

Flow shop, työnvaiheketju, joustava linja, läpivirtauspaja. Kahden koneen flow shop Johnsonin algoritmi Flow shop önvaheeju jousava lnja läpvrauspaja Flow shopssa önvaheden järjess on sama alla uoella Kosa vahea vo edelää jono vova ö olla vaheleva ja ö vova ohaa osensa äl ö evä oha osaan puhuaan permuaaoaaaulusa

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Riikka Kangaslampi Syksy 214 2 Esipuhe Tämä on Aalto-yliopiston Matematiikan ja systeemianalyysin laitoksen kurssin ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 tueksi

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Operaatiovahvistimen vahvistus voidaan säätää halutun suuruiseksi käyttämällä takaisinkytkentävastusta.

Operaatiovahvistimen vahvistus voidaan säätää halutun suuruiseksi käyttämällä takaisinkytkentävastusta. TYÖ 11. Operaatiovahvistin Operaatiovahvistin on mikropiiri ( koostuu useista transistoreista, vastuksista ja kondensaattoreista juotettuna pienelle piipalaselle ), jota voidaan käyttää useisiin eri kytkentöihin.

Lisätiedot

Mittaustuloksen esittäminen Virhetarkastelua. Mittalaitetekniikka NYMTES 13 Jussi Hurri syksy 2014

Mittaustuloksen esittäminen Virhetarkastelua. Mittalaitetekniikka NYMTES 13 Jussi Hurri syksy 2014 Mittaustuloksen esittäminen Virhetarkastelua Mittalaitetekniikka NYMTES 13 Jussi Hurri syksy 2014 SI järjestelmä Kansainvälinen mittayksikköjärjestelmä Perussuureet ja perusyksiköt Suure Tunnus Yksikkö

Lisätiedot

TUOTTEEN NIMI VALMISTAJA TUOTEKUVAUS SERTIFIOINTIMENETTELY. Myönnetty 28.8.2012. Kerto-S ja Kerto-Q Rakenteellinen LVL

TUOTTEEN NIMI VALMISTAJA TUOTEKUVAUS SERTIFIOINTIMENETTELY. Myönnetty 28.8.2012. Kerto-S ja Kerto-Q Rakenteellinen LVL SERTIFIKAATTI VTT-C-184-03 Myönnetty 28.8.2012 TUOTTEEN NIMI VALMISTAJA Kerto-S ja Kerto-Q Raenteellinen LVL Metsäliitto Osuusunta Metsä Wood PL 24 08101 LOHJA TUOTEKUVAUS SERTIFIOINTIMENETTELY Kerto-S

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Digitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006

Digitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006 Digitaalinen Signaalinkäsittely T5 Luento 4-7.4.6 Jarkko.Vuori@evtek.fi Z-taso Z-taso on paljon käytetty graafinen esitystapa jonka avulla voidaan tarkastella signaalien taajuussisältöjä sekä järjestelmien

Lisätiedot

FYSP105 / K3 RC-SUODATTIMET

FYSP105 / K3 RC-SUODATTIMET FYSP105 / K3 R-SODATTIMET Työn tavoitteita tutustua R-suodattimien toimintaan oppia mitoittamaan tutkittava kytkentä laiterajoitusten mukaisesti kerrata oskilloskoopin käyttöä vaihtosähkömittauksissa Työssä

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

Fy06 Koe ratkaisut 29.5.2012 Kuopion Lyseon lukio (KK) 5/13

Fy06 Koe ratkaisut 29.5.2012 Kuopion Lyseon lukio (KK) 5/13 Fy06 Koe ratkaisut 9.5.0 Kuopion Lyseon lukio (KK) 5/3 Koe. Yksilöosio. 6p/tehtävä.. Kun 4,5 V:n paristo kytketään laitteeseen, virtapiirissä kulkee,0 A:n suuruinen sähkövirta ja pariston napojen välinen

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

S-55.1100 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S-55.1100 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA S-55.00 SÄHKÖKNKKA A KONKKA. välikoe 2..2008. Saat vastata vain neljään tehtävään!. aske jännite U. = 4 Ω, 2 = Ω, = Ω, = 2, 2 =, = A, 2 = U 2 2 2 2. ännitelähde tuottaa hetkestä t = t < 0 alkaen kaksiportaisen

Lisätiedot

Lämpöoppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Lämpöoppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Läpöoppia Haarto & Karhunen Läpötila Läpötila suuren atoi- tai olekyylijoukon oinaisuus Liittyy kiinteillä aineilla aineen atoeiden läpöliikkeeseen (värähtelyyn) ja nesteillä ja kaasuilla liikkeisiin Atoien

Lisätiedot

Ene-59.4130, Kuivatus- ja haihdutusprosessit teollisuudessa, Laskuharjoitus 5, syksy 2015

Ene-59.4130, Kuivatus- ja haihdutusprosessit teollisuudessa, Laskuharjoitus 5, syksy 2015 Ene-59.4130, Kuivaus- ja haihduusprosessi eollisuudessa, asuharjoius 5, sysy 2015 Tehävä 4 on ähiehävä Tehävä 1. eijuerrosilassa poleaan rinnain uora ja urvea. Kuoren oseus on 54% ja uiva-aineen ehollinen

Lisätiedot

www.kastowin.com Sahaus. Varastointi. Ja enemmän.

www.kastowin.com Sahaus. Varastointi. Ja enemmän. Uusi KASTOwin Mestariteos sarjatuotantona www.astowin.com Sahaus. Varastointi. Ja enemmän. Enemmän uin ainutlaatuinen: Uusi KASTOwin. Kannattavan automaattisahausen asi täreintä teijää ovat: suuri leuuteho

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2

Talousmatematiikan perusteet, L2 Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-

Lisätiedot

a) I f I d Eri kohinavirtakomponentit vahvistimen otossa (esim. http://www.osioptoelectronics.com/)

a) I f I d Eri kohinavirtakomponentit vahvistimen otossa (esim. http://www.osioptoelectronics.com/) a) C C p e n sn V out p d jn sh C j i n V out Käytetyt symbolit & vakiot: P = valoteho [W], λ = valodiodin ilmaisuvaste eli responsiviteetti [A/W] d = pimeävirta [A] B = kohinakaistanleveys [Hz] T = lämpötila

Lisätiedot