Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Transkriptio

1 SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T{ αu + βu } = αt{ u } + βt{ u }, jossa α ja β ovat vaioita ja u ja u ovat järjestelmän T asi eri sisäänmenoa. (a) Järjestelmän ulostuloa on yleensä tapana meritä y:llä, jota ei uitenaan yllä olevasta lineaarisuuden määritelmästä löydy. Mitä termit lineaarisuuden määritelmässä edustavat järjestelmän ulostuloa? (b) Ysi esän 004 ohoohtia oli Jari Litmasen paluu Veiausliigaan FC Lahden riveihin. Tarastellaan järjestelmää, jona sisäänmeno u on Litmasen peliaia ysittäisessä otiottelussa, ja ulostulo y on yseisen ottelun yleisömäärä. Jos Jari ei pelaa minuuttiaaan, atsomossa on 000 silmäparia. Jos Jari pelaa täydet 90 minuuttia, atsojia on 0000 Oletetaan, että yleisömäärän riippuvuus Litmasen peliminuuteista noudattaa suoran yhtälöä. Ono järjestelmä lineaarinen? T αu βu T u. (a) { + }, T{ u } ja { } (b) Järjestelmä ei ole lineaarinen.. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmän sisäänmeno on ondensaattorin virta, ja ulostulo on ondensaattorin yli oleva jännite. Millä ehdolla yseinen järjestelmä on lineaarinen? Järjestelmä on lineaarinen, jos ondensaattorin jännite on 0 V tarastelun aluhetellä..3 Järjestelmien lineaarisuus: Tarastellaan oheista ytentää, jona sisäänmeno on lähdejännite u(t) ja ulostulo vastusen R yli oleva jännite y(t). Tarastele piirin lineaarisuutta, un (a) R = R. (b) R = u(t)/r. u(t) R R y(t) (a) Järjestelmä on lineaarinen. (b) Järjestelmä ei ole lineaarinen..4 Differenssiyhtälöt: (a) Teemu ostaa jänisaupasta asi vastasyntynyttä jänistä, joista toinen on uros ja toinen naaras. Jänöset ovat tehoaita lisääntymään, miä paljastuu ahden uuauden uluttua jäleläisparin (uros ja naaras) syntyessä. Oletetaan, että ysiään jänö ei uole, ja oletetaan lisäsi aiien jänisparien saavan uros- ja naaraspoiasen joa uuausi saavutettuaan ensin suuypsyyden uuaudessa. Muodosta pitäorvaparisuntien luumäärää uvaava differenssiyhtälö. Differentiaaliyhtälöt: (b) Tarastellaan oheista ytentää, jona sisäänmeno on lähdejännite u(t) ja ulostulo virta i(t). Muodosta järjestelmää uvaava differentiaaliyhtälö.

2 u(t) R L i(t) (a) y = + y y,. di( t) R (b) + i( t) = u( t) L L.5 Järjestelmien lineaarisuus: Vastus R on ytetty jännitelähteen u(t) anssa sarjaan. Ono järjestelmä lineaarinen, un sisäänmeno on u(t) ja ulostulo on vastusen ottama teho p(t)? Järjestelmä ei ole lineaarinen. Luu : Lineaaristen differenssiyhtälöiden rataiseminen aiatasossa. Homogeeniset differenssiyhtälöt: Tarastellaan differenssiyhtälöä Ay + + By + + Cy = 0. Hae yleinen rataisu y :lle, un (a) A =, B = - ja C = -. (b) A =, B = - ja C = /4. (c) A =, B = - ja C = /. (a) y = C + C (b) (c) y y = C = C + j + C + C j. Epähomogeeniset differenssiyhtälöt: Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Hae yleinen rataisu y :lle, un (a) D =. (b) D = 5. (c) D =. (a) (b) (c) y = y ( h ) ( p) + y = C + C + + D =. ( h ) ( p) y = y + y = C + C y ( h ) ( p) + y = C + C = y.3 Epähomogeeniset differenssiyhtälöt: Rataise oheista lohoaaviota uvaava differenssiyhtälö, un u = 4 ja y 0 = 4. u y 3

3 y = Epähomogeeniset differenssiyhtälöt: Marcello Lippi on laittanut Pavel Nedvedin rangaistuspotuurssille, osa Pavel teee tällä hetellä pilusta maalin säälittävällä 0%:n todennäöisyydellä. Pavel on uitenin nopea oppimaan, ja piluurssilla ollessaan hänen taitonsa ehittyy siten, että maalinteotodennäöisyys noudattaa yhtälöä P = 0.00, P jossa taroittaa uuautta. Kuina monta uuautta Pavelin on vietettävä urssilla, jotta hän teee joaisesta pilusta maalin? Huomaa, että yseessä on disreettiaia-järjesjestelmä, eli saa ainoastaan oonaisluuarvoja. P = , olme uuautta riittää.5 Epähomogeeniset differenssiyhtälöt, oonaisrataisu: Muodosta oonaisrataisu oheista lohoaaviota uvaavalle differenssiyhtälölle, un y, 0 u =. u 0, < y = Impulssivaste ja onvoluutiosumma: Tarastellaan samaa järjestelmää uin tehtävässä.5. Muodosta järjestelmän impulssivaste ja lase ulostulo onvoluutiosumman avulla. Miä on y 3 :n arvo? Tulio sama tulos uin tehtävässä.5? h 3 3 = 4 4, 3 y = 4 4, yllä.7 Disreettiaiajärjestelmien tilamuuttujaesitys: Tarastellaan edelleen samaa järjestelmää uin tehtävässä.5. Valitse viiveelementtien jäleiset tilat tilamuuttujisi ja muodosta järjestelmän tilamuuttujaesitys. Ono järjestelmä stabiili? ( + ) ( + ) x 3/6 x + u x = x, 0 0 x y = [ 3/6] + [ ] u x, on stabiili

4 .8 Disreettiaiajärjestelmän stabiilisuus: Tehtävässä.7 esitettiin disreettiaiajärjestelmän stabiilisuusehto tilamatriisin ominaisarvojen avulla. Miten voit tarastella stabiilisuutta tehtävän.5 differenssiyhtälön rataisusta? Mitä järjestelmän stabiilisuus siis taroittaa? Tilamatriisin A ominaisarvot vastaavat järjestelmää uvaavan yhtälön arateristisen yhtälön juuria. Tehtävässä.7 saatiin ominaisarvoisi 3/4 ja /4. Tehtävässä.5 arateristisen yhtälön juurisi saatiin samat arvot. Järjestelmän stabiilisuutta voidaan siis tarastella myös homogeenisen yhtälön rataisusta, joa tehtävässä.5 oli ( h ) 3 y = C + C. 4 4 (h) Jos y 0, un, järjestelmä on stabiili. Tämä ehto toteutuu, un arateristisen yhtälön juuret ovat itseisarvoltaan yöstä pienempiä. Samasta syystä seuraa siis tilamatriisin ominaisarvoihin liittyvä stabiilisuusehto..9 Impulssivaste ja onvoluutiosumma: Barcelonan jalapallojouueen hyöääjät suorittavat Cooperin testiä. Tapahtuma poieaa uitenin hieman totutusta, sillä joaisella hyöääjällä on selässään puolustaja, joa pyrii estämään hyöääjän etenemisen. Tarastellaan paria Ronaldinho - Puyol. Ronaldinho juosee, ja Puyol yrittää laittaa hanttiin. Kuina monta minuuttia Ronaldinho pystyy etenemään, un hänen nopeutensa v noudattaa minuuttien funtiona differenssiyhtälöä v v = u? Muodosta järjestelmän impulssivaste ja lase onvoluutiosumman avulla Ronaldinhon nopeus, un järjestelmän sisäänmeno u = Taroitus on siis selvittää, uina monennella minuutilla Puyol alaa repiä Ronaldinhoa taasepäin, jolloin vuoden 004 parhaasi jalapalloilijasi valitun henilön nopeus muuttuu negatiivisesi. h = (/), 0, jo olmen minuutin jäleen Ronaldinhon nopeus on negatiivinen.0 Konvoluutiosumma: Thierry ostaa Tapsantorilta järjestelmän muttei ymmärrä mitään sen toiminnasta. Hän pyytää apua Arsenelta, joa huomaa järjestelmän yljessä luevan: h 0, < 0 =. b, 0 Auta tyimiesasioa ja määritä lausee järjestelmän ulostulolle y, un sisäänmeno u 0, < 0 =. a, 0

5 y a / b a / b a / b b = b, a b = a / b a / b, 0. b ( + ), a = b. Diagonalisointi: Diagonalisoi oheinen järjestelmä, jolle muodostettiin tilamuuttujaesitys tehtävässä.7. Mitä iloa diagonalisoinnista on? y, 0 u =. u 0, < 0 ei uulu nyyisellään enää urssin aihepiireihin 3 6 Luu 3: Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden rataiseminen aiatasossa 3. Homogeeniset differentiaaliyhtälöt: Hae yleinen rataisu differentiaaliyhtälölle d dy ( t ) y t + A + By t = 0, un (a) A = 4, B = 7/4, (b) A =, B =. / t 7 / t y t C e = + C e (a) y t = C e + C te (b) t t 3. Homogeeniset differentiaaliyhtälöt: Hae yleinen rataisu tehtävän 3. yhtälölle, un A = ja B = 5/4. Karateristisen yhtälön juuret ovat nyt omplesiluuja. Mihin imaginääriysiö j atoaa homogeenisen yhtälön rataisusta? t t y ( t) = Be cos t + Be sin t 3.3 Homogeeniset differentiaaliyhtälöt: Hae yleinen rataisu differentiaaliyhtälölle 3 d d d y t y t y t + + = 0. t t t 3 3 y t = C + C exp + t + C exp t 3 d d 4 d Homogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Rataise v(t). i C i L i R C L R v(t)

6 C = 0.5 µf, L = 8 H, R = 0 Ω, v(0) = 0 V ja i L (0) = -.5 ma v(t) 00e -00t sin(979.80t) 3.5 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Alla olevan uvan ytin S on aui, un t < 0. Tällöin piiri on tasapainotilassa, eli virta i(t) on vaio. Ajanhetellä t = 0 ytin suljetaan. Määritä virta i(t), un t 0. i(t) = R t RE L E e + R R R R ( + ) i(t) E L R S R 3.6 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (yleinen oonaisrataisu): y t + 4y t + 4y t = f t, un Rataise differentiaaliyhtälö (a) f ( t) = e t, (b) f ( t) = 5t, (c) f ( t) = sin ( t ), (d) f ( t) e t 5t sin ( t ) y t = C e + C te + e (a) t t t t (b) = + +. y t t 5 7 = Ce + Cte + t 4 4 y t t t Ce = + Cte cos t 8 y t t t t 5 7 = Ce + Cte + e + t cos t (c) (d) 3.7 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Legendaarinen lasuvarjohyppy on monen mielestä TTY:n untopiirin rasain liie. Kyseinen liie on asivaiheinen. Ensin ponnistetaan lattiasta ylös, ja laipisteen saavuttamisen jäleen leijaillaan taaisin lattialle. Suorituseen valmistautuvaa henilöä voidaan uvata oheiselle meaanisella järjestelmällä. Lytyssä oleva jousi (jousivaio ) uvaa untoilijan (massa m) ouussa olevia polvia, jota sinoavat hänet irti lattiasta. Gravitaatio taasen pitää huolen siitä, ettei untoilija lyö päätään liiuntahallin attoon. x(t) uvaa untoilijan massaesipisteen sijaintia suoritusen aiana lepotilanteeseen verrattuna. Kun ilmanvastusta ei oteta huomioon, tilannetta uvaavasi differentiaaliyhtälösi saadaan Newtonin II lain muaisesti 0. m m x(t) x ( t ) mg = mx ( t).

7 Rataise x(t), un m = 70 g, = 000 N/m, g = 9.8 m/s, x(0) = -0. m ja x 0 = 0 m/s. Mallin oieellisuutta on mahdollista tarastella liiuntahallissa torstaisin lo 7-8. Misi malli ei uvaa todellista tilannetta? mg mg x( t) = 0. cos (( / m ) t) 3.8 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Oheisen järjestelmän sisäänmeno on lähdevirta i(t) ja ulostulo jännite y(t). Muodosta ulostulon lausee, un sisäämeno i(t) = 0, un t < 0, ja i(t) = e -t sin(t), t 0. R = Ω, C = mf y(t) = 000e -t - 000e -t i(t) R C y(t) cos(t), t Jatuva-aiajärjestelmän impulssivaste: Muodosta tehtävän 3.8 järjestelmälle impulssivaste. h t = e 000 t 3.0 Jatuva-aiajärjestelmän tilamuuttujaesitys: Kirjoita tilamuuttujaesitys oheiselle piirille. i(t) Järjestelmän sisäänmeno on lähdejännite v(t) ja ulostulo vastusen R yli oleva jännite. Käytä v(t) tilamuuttujina ondensaattorin yli olevaa jännitettä v C (t) ja äämin virtaa i(t). Ono järjestelmä stabiili, un R = Ω, C = nf ja L = mh? Mistä jatuvaaiajärjestelmien stabiilisuusehto tulee? x ( t) 0 / C x ( t) 0 = v t x ( t + ) / L R / L x ( t ) / L ( t) ( t) x y ( t) = [ 0 R] + [ 0] v( t ), on stabiili x Tilamatriisin A ominaisarvot vastaavat järjestelmää uvaavan differentiaaliyhtälön arateristisen yhtälön juuria, aivan uten oli disreettipuolellain. Täten, tehtävän 3.0 järjestelmän homogeenisen yhtälön rataisusi saadaan ( h) t e e y t C C t t = +. Tuosta HY:n rataisusta pystytään myös päättelemään jatuvaaiajärjestelmien stabiilisuusehto. Järjestelmä on stabiili, jos y(t) (h) 0, un t. Jotta yseinen ehto toteutuu yllä olevalle y(t) (h) :lle, arateristisen yhtälön juurien on oltava reaaliosaltaan negatiivisia, jolloin e-termit pienenevät t:n asvaessa. Stabiilisuusehto osee vain KY:n juurien reaaliosia, sillä KY:n juurien imaginääriosathan tuovat rataisuun pelästään sin- ja cos-termejä, joilla ei ole mitään teemistä stabiilisuuden anssa., L R C v C (t)

8 3. Epälineaarisen yhtälön rataiseminen (Newton-Raphson): Rataise oheisen ytennän omponenttien yli olevat jännitteet Newton- Raphson -algoritmilla ahden desimaalin taruudella, un I = A, R = 0.5 Ω ja diodin virta i D noudattaa lauseetta i D = e 0U -, missä U on diodin yli oleva jännite. R R I R I V V ja V V 6 3. Jatuva-aiajärjestelmän impulssivaste: Roberto Carlos antaa vapaapotua. Tarastellaan palloa, joa ennen vaparia lepää liiumattomana nurmella. Sillä hetellä, un Carlosin jala osuu palloon, siihen ohdistuu impulssimainen voima δ(t), josta seuraa pallon iihtyvyys h(t), ysiönä m/s. Järjestelmää uvaava yhtälö on dh t ( t) h t = 00 δ. Rataise pallon iihtyvyys h(t). t h t = 00e 000 Luu 4: Lineaaristen differenssiyhtälöiden rataiseminen Z-muunnosen avulla 4. Z-muunnosen muodostaminen: Hae määritelmään perustuen seuraavien termien Z-muunnoset, un 0. Termin x Z-muunnos on X(Z). (a) a (vaio) (b) (/3) (c) x +3 (d) x -3 (e) δ a (a) Z{ a} = (b) Z = z 3 z 3 (c) Z{ } (d) Z{ } (e) Z{ δ } = 3 x + 3 = z X z z x zx x x = z X z + z x + z x + z x Differenssiyhtälön rataiseminen aiatasossa: R. Ana on matalla Hinustaniin ja rahaa säästääseen päättää ylittää Kamalajan aavion amelilla. Ahmedin vesihuoltis Kamalajan aavion laitamilla myy vettä tasalitroittain pöyristyttävällä 0 centin litrahinnalla, joten Roope päättää lasea tarvittavan veden määrän. Jotta Roope ehtii liietapaamiseen, amelin matanopeuden täytyy olla 0 m/h. Vuoraamelin huoltoirjasta löytyvistä vedenulutustilastoista Roope näee em.

9 matanopeuden aiheuttaman vedenhäviin olevan,5 l/h. Toisaalta ulolämpötilasta ja tuulioloista johtuen 5 % ameliin tanatusta vesimäärästä haihtuu joa tunti. Kuina monta litraa vettä Roopen täytyy tanata amelinsa yttyröihin, jotta tanattu vesi ei lopu esen 50 m:n matalla? Roopen on ostettava 35 litraa vettä. 4.3 Differenssiyhtälön rataiseminen Z-muunnosen avulla: Rataise tehtävän 4. differenssiyhtälö Z-muunnosen avulla. 4.4 Z-muunnosen muodostaminen: π Hae u :n Z-muunnos U(Z), un u = sin, 0, missä a on vaio. a sin ( π / a) z U ( z) = z cos π / a z Differenssiyhtälön rataiseminen Z-muunnosen avulla: Rataise y Z-muunnosen avulla, un y 0 = 0 ja y + + y = 4. y 4 4 = (a) Z-muunnosen muodostaminen: Muodosta y :n Z-muunnos Y(z), un y =, 0, ja Z{u } = U(z). u (b) Loppuarvoteoreema: Disreettiaiajärjestelmän ulostulon y Z-muunnos Y(z) on 5z ( 0. z)( 0.5 z) Y ( z) =. Määritä lim z z y. 0.6z d d = dz dz (b) limy.85 (a) Y ( z) z z U ( z) 4.7 Impulssivasteen määrittäminen Z-muunnosen avulla: Rataise oheisen differenssiyhtälön impulssivaste Z-muunnosen avulla. y + y y = 3u u h = + ( ) = + ( ) 4.8 Siirtofuntion H(z) määrittäminen: Järjestelmän ulostulo on y 5 + =, 0, ja sisäänmeno u + =, 0. Määritä impulssivasteen h Z-muunnos H(z), jota siirtofuntiosiin utsutaan.

10 H ( z) 4 z / = 5 z / Siirtofuntion H(z) hyödyntäminen: Lase ulostulo y tehtävän 4.8 järjestelmälle, un järjestelmän sisäänmeno on 3 + =, 0. u y + + = Siirtofuntion H(z) hyödyntäminen: Tampere United vahvistaa rivejään. Erityisesti juosuvoimalle on tarvetta, joten päävalmentaja Hjelm ostaa Roberto Carlosin eräästä espanjalaisjouueesta. Kyseisellä pelaajallahan on tapana toimia seä alimpana puolustajana että hyöäysen ärenä, minä seurausena hän juosee useamman maratonin yhden ottelun aiana. Roberto saapuu Tampereelle ontissa, jona rahtiirjasta TamU:n päävalmentaja luee uuden vahvistusensa siirtofuntion olevan H z 0.8z =..8z Koittaa ensimmäinen pelipäivä. Hjelm antaa Carlosille luvan juosta, ja Carloshan juosee. Kun päävalmentajan lupa edustaa järjestelmän sisäänmenoa ja on u =, un 0, muodosta ulostulon y lausee. Ulostulo y uvaa Carlosin juosemaa ilometrimäärää ottelun aiana, un edustaa uluneita peliminuutteja. Kuina monen minuutin jäleen ensimmäinen maraton täyttyy? Seitsemän minuuttia riittää 4. Impulssivasteen h Z-muunnos H(z): Järjestelmän sisäänmeno u ja ulostulo y ovat u 5, un = 0 =, 0, un 0 y 500, un = 5 =. 0, un 5 Muodosta järjestelmän siirtofuntio H(z) ja impulssivaste h. 5 H ( z) = 4z, h = 4δ 5 4. Siirtofuntion H(z) hyödyntäminen asadiytennässä: Kasi identtistä järjestelmää on ytetty sarjaan. Ysittäisen järjestelmän impulssivaste h = (/), 0. Jos ensimmäisen järjestelmän sisäänmeno on u = ξ (asel), miä on jälimmäisen järjestelmän ulostulo y? y = 3 + 4

11 4.3 Differenssiyhtälöt & Z-muunnos: Rataise tehtävä.9 (Ronaldinho & Puyol) Z-muunnosella. Tuossahan järjestelmää uvaava yhtälö on v + v = u +, jossa v edustaa ulostuloa ja sisäänmeno u = Taroitus on siis muodostaa järjestelmän impulssivaste h ja rataista v, joa uvaa Ronaldinhon nopeutta minuuttien funtiona. Aluarvo v 0 = 0. Luu 5: Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden rataiseminen Laplacemuunnosen avulla 5. Laplace-muunnos: Hae määritelmään perustuen seuraavien termien Laplace-muunnoset, un i(t):n Laplace-muunnos on I(s). (a) a (vaio) (b) 3t (c) a s / e t 3 s (a) L( a) = (b) L( 3t ) (d) d i t = ( 0) L s I s si (d) d i t t = (c) L( e ) di ( 0) 5. Laplace-muunnos: Rataise Laplace-muunnosella differentiaaliyhtälö di ( t) + i ( t) = ξ ( t), un i(0) = 0 A. i ( t ) = e t, t 0 = s + / 5.3 Raúl Gonzáles: Raúl on erran antanut harhasyötön. Tuosta onnettomasta hetestä lähtien todennäöisyys onnistuneelle syötölle p(t) on noudattanut differentiaaliyhtälöä p ( t) p t + 5 = 7.5. Rataise p(t) Laplace-muunnosella, un p(0) = Millä todennäöisyydellä Raúl antaa onnistuneen syötön, un tuosta synästä virheestä on ulunut 0.5 s? p %

12 5.4 Differentiaaliyhtälöt & Laplace-muunnos: Oheisen RLC-piirin ytin suljetaan, un t = 0 s. Kun ytin on aui, ondensaattorin yli on 40 V:n jännite. Rataise Laplace-muunnosen avulla ondensaattorin yli oleva jännite ajan funtiona, v C (t). U = 00 V, R = 50 Ω, L = 0 mh, C = 5 µf 000t 4000t vc ( t) = 00 80e + 0e, t 0 U R L C 5.5 Differentiaaliyhtälöt & Laplace-muunnos: Rataise oheinen differentiaaliyhtälöpari, un x(0) = ja y(0) = 0. x ( t) + 4x( t ) + y ( t) + y ( t) = x( t) + y ( t) + y ( t) = 0 x( t) = + e y t = + e t t, t Siirtofuntio: Muodosta tehtävän 5. järjestelmän siirtofuntio H(s), un i(t) edustaa järjestelmän ulostuloa ja aselfuntio ξ(t) edustaa järjestelmän sisäänmenoa. Varmista lisäsi tehtävässä 5. saatu ulostulo H(s)U(s):n avulla. y ( t) = e t, t Siirtofuntio ja loppuarvoteoreema: Jatuva-aiajärjestelmää uvaavasi siirtofuntiosi on saatu ( s + ) H ( s) =. s s + s + 3 Rataise järjestelmän ulostulo y(t), un sisäänmeno u ( t) 4e t ( t) loppuarvoteoreemalla lim y ( t) t t 3t y ( t ) = 8 4e + 6e, t 0, y ( t) = ξ. Lase vielä. Varmista tulos aiatason rataisusta. lim = The Science of Soccer: Kuvitellaan, että jalapallon törmäystä maalin tolppaan voidaan uvata homogeenisella differentiaaliyhtälöllä d b t cp b ( t ) 0 + =, un 0 t t max. m Tuossa b on pallon muodonmuutosen syvyys, c pallon ehän pituus, p erotus pallon sisällä olevasta paineesta ja ympäröivästä ilmanpaineesta ja m pallon massa. Tarastellaan SMG:n wirallista tyy-palloa, jolle t m = 0.44 g, c = m, p = N/m (0.83 atm) ja t max = 8. ms.

13 Rataise Laplace-muunnosen avulla pallon muodonmuutos b(t), un Risto ampuu pallon tolppaan maltillisella 87 m/h:n nopeudella. Tarastelun aluhetellä pallo on juuri osumassa tolppaan, eli b(0) = 0 m. b t sin 38.4 t 5.9 Laplace-muunnos: Tarastellaan indutanssiltaan 50 mh:n äämiä. Ajatellaan sitä järjestelmänä, jona sisäänmeno on äämin yli oleva jännite u L (t) ja ulostulo äämin virta i L (t). Rataise Laplace-muunnosen avulla i L (t), un u L (t) noudattaa lauseetta π ul ( t) sin = ωt + V, jossa ω = 00π. Oleta äämin tasavirtaomponentti nollasi. Aluarvo i L (0) on pääteltävissä u L (t):stä, vaia vaatiiin hieman pähäilyä... i ( t 40 L ) = sin ( 00 π ) 00π t 5.0 Differentiaaliyhtälöt & Laplace-muunnos: Rataise tehtävä 3.7 (lasuvarjohyppy) Laplace-muunnosella. Rataise siis x(t) differentiaaliyhtälöstä x ( t ) mg = mx ( t), jossa m = 70 g, = 000 N/m, g = 9.8 m/s, x(0) = 0. m ja Luu 6: Jasolliset funtiot ja Fourier'n sarjaehitelmä x 0 = Fourier'n esponenttisarja: Esitä oheinen jasollinen jännitesignaali Fourier'n esponenttisarjana. v(t) (V) 5 0 t (ms) 5 v t = e e e + e jnπ n 4π 5 ( ) n= n 0 jnπ jnπ jn000πt 0

14 6. Taajuusvaste: Järjestelmää, jona sisäänmeno on u(t) ja ulostulo y(t), uvaava differentiaaliyhtälö on + = + y t y t 4y t u t 3u t. Määritä järjestelmän taajuusvaste. jω + 3 H ( jω ) = jω + jω Taajuusvaste: Järjestelmän taajuusvasteesi on saatu H ( jω ) = 3 j j j 3 ω ω + ω. Muodosta järjestelmää uvaava differentiaaliyhtälö. 3 y t y t + y t y t = u t 6.4 Taajuusvasteen hyödyntäminen järjestelmän ulostulon määrittämisessä: Tarastellaan oheista ytentää, jona sisäänmeno on lähdejännite u(t) ja ulostulo ondensaattorin yli oleva jännite y(t). Muodosta ulostulon lausee, un R L sisäänmenosi syötetään tehtävän 6. sahalaitasignaali. R = 000 Ω, L = 50 mh, C = 00 µf u(t) C 5 y ( t) 6 n= jn000π jn000π 0.+ n 0 jnπ jnπ jn000πt 5 e ( e ) e jn n 4 + π π y(t)