1. Summa ja tulo Määritelmä. Olkoon M moduli ja A perhe modulin M osajoukkoja. Tällöin summa. supt((xa

Transkriptio

1 ÁÁÁ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓØ Mistä tahansa tarkasteltavista moduleista voidaan erilaisten konstruktioiden kautta rakentaa uusia moduleita. Tässä osassa käydään läpi yleisimpiä tällaisista konstruktiosta: Summan ja tulon avulla annetuista moduleista rakennetaan uusi, rakennuspalikoitaan isompi moduli, mutta muilla konstruktioilla voidaan päätyä myös lähtökohtaansa pienempää olioon. Tekijämodulin rakentaminen on tällainen konstruktio, ja aiemmin käsiteltyä alimoduliakin voi pitää tämäntyyppisenä asiana. Luvun lopuksi käsitellään operaattoriavaruuksia, minkä yhteydessä pienemmmistä rakennuspalikoista jälleen rakennetaan suurempia kokonaisuuksia. 1. Summa ja tulo 1.1. Määritelmä. Olkoon M moduli ja A perhe modulin M osajoukkoja. Tällöin summa A A Akoostuuvektoreista A A x A,missäjokaisellaA Apäteex A Ajavektoreiden summa on äärellisluonteinen. Lyhyesti siis: { } supt((xa A= x A ) A A )äärellinen, A A(x A A). A A A A Vastaavastiindeksöidylleperheelle(A i ) i I voidaanmääritelläsumma { } supt((xi A i = x A ) A A )äärellinen, i I(x i A i ). i I i I Erikoistapaustästäonäärellinenjono(A 0,...,A n 1 ),jollemerkitään n 1 A i =A 0 + +A n 1. i=0 1.2.Lause. OlkoonMmodulijaLperhesenalimoduleja.Tällöin L L LonmyösM:n alimoduli. Todistus. Tarkastetaan,ettäalimodulikriteeritpätevätsummalleS= L LL. Olkoot x,y S,jolloinvektoritxjayvoidaanesittäääärellisluonteisinasumminax= L L x L jay= L L x L.Olkoonmyösc Rskalaari. 0 KoskajokainenLalkioonalimoduli,niinjokaisellaL Lpätee 0 L. Siis 0= L L 0 S. 1 Käyttämällä vektorisumman vaihdannaisuutta saadaan ryhmiteltyä x+y= L L x L + L L x L = L L(x L +y L ) S, 20

2 silläjokaisellal Lpäteex L +y L L. 2 JokaisellaL Lpäteecx L L,joten cx=c L L x L = L Lcx L S. Siis alimodulikriteeri on voimassa ja S on M:n alimoduli Määritelmä. OlkoonMmodulijaAperhesenalimoduleja. Summa A A Aon suora,josjokaisellax A A Aonyksikäsitteinenesitysx= A A x A,missäsummaon äärellisluonteinenjajokaisellaa Apäteex A A.Tällöinmerkitään A AA= A. VastaavastimerkitäänA 0 + +A n 1 =A 0 A n 1,mikäliao.summaonsuora Lause. (Suoruuskriteeri)ModulinMalimoduliperheenLsumma L L Lonsuora täsmälleensilloin,kunjokaisellal 0 Lpätee L L 0 ={ 0}. L L {L 0 } ErityisestijosL 1 jal 2 ovatalimoduleita,niinl 1 +L 2,josjavainjosL 1 L 2 ={ 0}. Todistus.Oletetaanensin,ettäsumma L L Leiolesuora.Tällöinonolemassavektori v, jonka voi esittää summana kahdella tavalla, ts. on olemassa eri äärellisluonteiset jonot (x L ) L L ja(y L ) L L,joillev= L L x L= L L y LjajokaisellaL Lpäteex L,y L L. Koskajonotovaterijonoja,niinjollainL 0 Lpäteex L0 y L0 eliy L0 x L0 0.Toisaalta 0=v v= x L y L = (x L y L )+x L0 y L0, L L L L joten Siis Oletetaan sitten, että y L0 x L0 = L L {L 0 } L L {L 0 } L L {L 0 } L L {L 0 } (x L y L ) L L {L 0 } L L 0 { 0}. L L 0 { 0}. 21 L L 0.

3 Vasemmanpuoleinen (( leikkaus on alimoduli, joten se ei voi olla tyhjä joukko. Valitaan ) x L0 L L {L0} ) L L 0 { 0},jolloinerityisestix L0 L 0 { 0}. Toisaaltax L0 L L {L 0 } L,jotenvoidaanvalitaäärellisluonteinenjono(y L) L L {L0 },jollex L0 = L L {L 0 } y L jajokaisellal L {L 0 }päteey L L.Merkitäänx L = 0,kunL L {L 0 },jay L0 = 0. TällöinjokaisellaL Lpäteex L,y L Lja L = L Lx y L, L L jotensumma L L eiolesuora. 1.5.Lause. OlkoonWvektoriavaruussekäUjaV senaliavaruuksia,joilleu V =W. Tällöindim(W)=dim(U)+dim(V). Todistus. Kantalauseen(osa I, lause 4.13) mukaan U:lle voidaan valita U:lle kanta E jav:llevastaavastikantaf. Väitetään, ettäe F onw:nkanta. (Huomattakoon, ettäe F =Ø,silläsummanU V suoruudestaseuraau V ={ 0}jaØeivoiolla yhdessäkään kannassa alkiona.) Ensinnäkin E F virittää W:n, sillä U = sp(e) sp(e F) jav =sp(f) sp(e F),jotenU F sp(e F),mistälaskuharjoituksessatodistetun perusteella seuraa W=U+V =sp(u V) sp(sp(e F))=sp(E F). SiisE FvirittääW:n. Todistetaansitten,ettäE Fonmyösvapaa.TehdäänvapaustestijoukolleE Fja oletetaan,ettääärellisluonteinenkerroinjono(λ s ) s E F onsellainen,että s E F λ ss= 0. Merkitään u= λ s sjav= λ s s, s E s F jolloinsiisu+v=ø,u Ujav V.KoskasummaU V onsuora,niinu V ={ 0}, muttau= v U V,jotenu= v= 0.Toisinsanoen s s= 0ja s Eλ λ s s= 0, s F mistäjoukkojenejafvapaudennojallaseuraatoisaalta,ettäkaikillas Epäteeλ s =0, toisaalta,ettäkaikillas F päteeλ s =0. Siiskerroinjono(λ s ) s E F onnollajono,mikä osoittaa,ettäe Fonvapaa. Koska E F on vapaana virittäjistönä avaruuden W kanta, pätee dim(w)= E F = E + F =dim(u)+dim(v). 1.6.Määritelmä.OlkoonMmodulijaLsenalimoduli.M:nalimoduliaL kutsutaanl:n (algebralliseksi)komplementiksim:ssä,josm=l L Lause. Vektoriavaruuden V jokaisella aliavaruudella U on komplementti. 22

4 Todistus. KantalauseennojallaU:llevoidaanvalitakantaE 0. KoskaE 0 onvapaajav virittääitsensä,niinv:lläonkantalauseennojallakantae,jollee 0 E V. Merkitään Z=sp(E E 0 ). TällöinU+Z=sp(U Z) sp(e 0 (E E 0 ))=sp(e)=v,joten U+V =Z.Tarkistetaanvielä,ettälauseen1.4suoruuskriteerionvoimassa.KoskaEon kanta,niinu Z=sp(E 0 ) sp(e E 0 )={vo},muutenhanolisiolemassaepätriviaali vektorix,jonkavoisikirjoittaatoisaaltae 0 :n,toisaaltae E 0 :nvektorienlineaarikombinaationa, ja siten kahdella eri tavalla E:n vektorien lineaarikombinaationa. Siis U Z = V ja Z on U:n komplementti. 1.8.Lemma. OlkootUjaV vektoriavaruudenwaliavaruuksia.olkoonu 1 aliavaruuden U V komplementtiu:ssajav 1 aliavaruudenu V komplementtiv:ssä.tällöin Todistus.KoskaU 1 (U V)=U,niin U+V =U 1 (U V) V 1. U 1 +(U V)+V 1 =(U 1 +(U V))+V 1 =U+V 1 U+V. Toisaaltayo.kaavanyhtälöosastaseuraamyösU U+V 1 =U 1 +(U V)+V 1,ja symmetrisestisaadaanjohdettua V U 1 +V = U 1 +(U V)+V 1. SiisU V U 1 +(U V)+V 1,mistäseuraalaskuharjoituksissatodistetuntuloksenavulla U+V =sp(u V) U 1 +(U V)+V 1. Kunsaadutsisältyvyydetyhdistetään,saadaanU+V =U 1 +(U V)+V 1. On vielä todistettava, että yo. summa on suora; suoruuskriteeri 1.4 jakautuu kolmeksi ehdoksi. Ensimmäiseksi todetaan, että U 1 (U V) V 1 =U 1 V =(U 1 U) V =U 1 (U V)={ 0}, silläu 1 onu V:nkomplementtiU:ssa. AivanvastaavallatavallasaadaanV 1 ((U 1 (U V))={ 0}. Viimeiseksionosoitettava,että(U V) (U 1 +V 1 )={Ø}. Olkoon siisx (U V) (U 1 +V 1 ). Koskax U 1 +V 1,niinx=u 1 +v 1 joillakinu 1 U 1 ja v 1 V 1. Toisaaltax U V U,jotenmyösv 1 =x u 1 U,silläu 1 U 1 U. Siis v 1 U V 1 U V jav 1 V 1,muttaV 1 (U V)={ 0}suoruuskriteerinmukaan,ts. v 1 = 0.Samatenu 1 = 0,jotenx=u 1 +v 1 = 0+ 0= 0.SiissummaU 1 (U V) V 1 on suora Lause. Olkoot U ja V vektoriavaruuden W äärellisulotteisia aliavaruuksia. Tällöin dim(u+v)=dim(u)+dim(v) dim(u V). Todistus. EdellisenlauseennojallavoidaanvalitaU V:llekomplementitU 1 U:ssajaV 1 V:ssä. TällöinpaitsiettäU=U 1 (U V)jaV =V 1 (U V),niinedellisenlemman mukaanmyösu+v =U 1 (U V) V 1.Lausetta1.5toistuvastikäyttäensaadaanensin dim(u)=dim(u 1 )+dim(u V)ja dim(v)=dim(v 1 )+dim(u V). 23

5 Koska U ja V ovat äärellisulotteisia, dimensiot kaavoissa ovat luonnollisia lukuja, joten dim(u 1 )=dim(u) dim(u V)ja dim(v 1 )=dim(v dim(u V). Kolmas lauseen 1.5 sovellus tuottaa lopuksi kaavan dim(u+v)=dim(u 1 )+dim(u V)+dim(V 1 ) =dim(u) dim(u V)+dim(U V)+dim(V) dim(u V) =dim(u)+dim(v dim(u V) Määritelmä.OlkootM i,i I,R-moduleja.Näidenkarteesinentuloonperusjoukkojen karteesinen tulo i ={x:i i IM M i i I(x(i) M i )} i I varustettunapisteittäiselläsummallajaskalaarikerronnalla,ts.x+y:i i I M i, jacx:i i I M i, (x+y)(i)=x(i)+y(i) (cx)(i)=cx(i), kunx,y i I M i,c R. NäinmuodostuvarakenneonR-moduli. Erikoistapauksena tästäonr-modulim 0 M n 1,kunM 0,...,M n 1 ovatr-moduleita Lause. OlkootM i,i I,R-moduleita. Kunj I,olkoonp j :M j i I M i kanoninen upotus, ts. { v, kuni=j p j (v)(i)= 0, muuten, kunv M j jai I.Tällöin: a) Summa i I Im(p i)= i I p i[m i ]onsuora. b) i I Im(p i)={x i I M i supt(x)onäärellinen}. ErityisestijosIonäärellinen, niin i I Im(p i)= i I M i. Todistus.a)Tarkastellaanvektorieny i I M ikantajia supt(y)={i I y(i) 0}. Olkoon j I. Suoraan upotuksen p j määritelmän mukaan jokaisella x M j pätee supt(p j (x)) {j}.huomataansiis,ettäjokaisellay i I {j} Im(p i)pätee supt(y) ( I {j}, kuntaasjokaisellay Im(p j )päteesupt(y) {j}. Siiskaikilla ) y i I {j} Im(p i) Im(p j )onvoimassasupt(v)=øeliv= 0.Siten Im(p i ) Im(p j )={ 0}, i I {j} 24

6 ts.summa i I Im(p i)toteuttaasuoruusehdon. b)olkoony i I Im(p i).tällöiny= i I y i,missäsummaonäärellisluonteinenja jokaisellai Ipäteey i Im(p i ).SummanäärellisluonteisuudennojallaJ=supt((y i ) i I )= {i I y i 0}onäärellinen.Kaikillai Jpäteesupt(y i )={i}jakaikillai I Jtaas supt(y i )=Ø,joten supt(y)=supt( y i )=J. i I Siis i I Im(p i) L,missäonmerkittyL={x i I M i supt(x)onäärellinen}. Olkoon kääntäen y = (y i ) i I L. Tällöin J = supt(y) on äärellinen ja y = i I p i(y i ),missäsummankantajaonsamatenjjajokaisellai Ipäteep i (y i ) Im(p i ). Siisy i I Im(p i).tästäseuraal i I Im(p i) Lause. Olkoon A: U V vektoriavaruuksien välinen lineaarikuvaus. Olkoon Z Ker(A):nkomplementtiU:ssa.TällöinA Z:Z =Im(A). Todistus. Rajoittuman A Z ydin on Ker(A Z)={x Z (A Z)(x)= 0}={x U A(x)= 0} Z=Ker(A) Z={ 0}, sillä Z on Ker(A):n komplementti. Siis A Z on injektio. SelvästiIm(A Z) Im(A). Olkoontoisaaltay Im(A). Valitaanu U, jolle A(u)=y. KoskaU =Z Ker(A),niinjoillakinz Zjax Ker(A)onvoimassa u=z+x.siteny=a(u)=a(z+x)=a(z)+a(x)=a(z)+ 0=A(z),silläx Ker(A). Siisy A[Z]=Im(A Z),jotenA ZonkuvauksenaZ Im(A)surjektio. SiisA Zon bijektio Z Im(A), ja lineaarikuvauksen rajoittumana se on myös lineaarikuvaus, joten A Z:Z =Im(A) Seuraus. Kun A: U V on vektoriavaruuksien välinen lineaarikuvaus, niin dim(u)=dim(ker(a))+rg(a). Todistus. Valitaan lineaarikuvauksen A ytimelle Ker(A) komplementti Z, jolloin U = Ker(A) Z.KoskaedellisenlauseenmukaanZ =Im(A),niinlauseen1.5avullasaadaan dimensiot laskettua: dim(u) = dim(ker(a)) + dim(z) =dim(ker(a))+dim(im(a))=dim(ker(a))+rg(a). 2. Tekijäavaruudet 2.1. Määritelmä. Olkoon M R-moduli. Ekvivalenssirelaatio on modulin M kongruenssi, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: 25

7 1) Josx x jay y,niinx+y x +y. 2) Josx x jac R,niincx cx Lause. Olkoon M R-moduli. Tällöin M:n kongruenssit ja aliavaruudet ovat yksi yhteen-vastaavuudessa seuraavalla tavalla: 1) Kun onmodulinmkongruenssi,niinnollavektorinekvivalenssiluokkal=[ 0] on M:nalimodulijakaikillax,y Mpätee x y x y L. 2) KunLonM:nalimoduli,niinkaikillex,y Mpätevänehdon x y x y L määräämäm:nrelaatio onkongruenssijal=[ 0]. Todistus. 1)Oletetaan,että onkongruenssijatarkastetaan,ettäl=[ 0] toteuttaa alimodulikriteerit. 0 Selvästi 0 [ 0] =L. 1 Olkootx,y L=[ 0] elix 0jay 0.Koska onkongruenssi,niintästäseuraa x+y 0+ 0= 0,jotenx+y L. 2 Olkoonx Ljax R. Tällöinx 0,jotenkongruenssinmääritelmästäseuraa cx c 0= 0jasiiscx L. SiisLonM:nalimoduli.Kaikillax,y Mpätee x y x y,( y) ( y) x+y=x+(y) y+( y)= 0 x y L ja kääntäen x y L x y 0,y y x=(x y)+y 0+y=y, joten lisäväitekin pitää paikkansa. 2)Oletetaankääntäen,ettäLonalimodulijaM:nrelaatio määritelläänehdonx y x y Lkautta,kunx,y M.Tarkastetaanensin,että onekvivalenssirelaatio. Olkootx,y,z M. Refleksiivisyys:KoskaLonalimoduli,niinx x= 0 L,jotenx x. Symmetrisyys:Josx yelix y L,niiny x=( 1)(x y) L,silläLonalimoduli, joteny x. Transitiivisuus: Oletetaan,ettäx y jay z elix y,y z L. KoskaLonM:n alimoduli,tästäseuraa,ettäx z=(x y)+(y z) L,jotenx z. Ekvivalenssirelaatio onkongruenssi,silläkaikillax,x,y,y Mjac Rpätee: 1 Josx x jay y elix x,y y L,niin (x+x ) (y+y )=(x y)+(x y ) L, jotenx+x y+y. 2 Josx x,niinx x L,jotencx cx =c(x x ) L,mistäsaadaancx cx. Lopuksi tarkastetaan vielä, että [ 0] ={x M x 0}={x M x=x 0 L}=L. 26

8 2.3. Määritelmä. Olkoon M R-moduli ja sen kongruenssi. Varustetaan kongruenssia vastaavaositusm/ ={[x] x M}yhteenlaskulla,joille ja skalaarikerronnalla [x] +[y] =[x+y] c[x] =[cx], kunx,y Mjac R.Koska onkongruenssi,yhteenlaskuonm/ :nhyvinmääritelty laskutoimitus ja skalaarikerronta hyvinmääritelty kuvaus R (M/ ) M/sim. Näin muodostuvaa R-modulia kutsutaan tekijämoduliksi ja merkitään yleensä M/L = M/, missäl=[ 0]. Tekijämoduli on tietenkin erityisempi asia kuin tekijäryhmä, joten tässäkin tapauksessa alkion x M ekvivalenssiluokka on sivuluokka eli [x] =x+l={x}+l={x+v v L} Lause. Olkoon W vektoriavaruus, U sen aliavaruus ja V U:n komplementti W:ssä.TällöinV =W/U,missäisomorfismiksip Velikanonisenprojektionp:W W/U, p(x)=x+u,rajoittumav:hen.lisäksiv onu:tavastaavankongruenssiedustajisto,ts. jokaisellax W(x+L) V onyksiö. Todistus. Kanoninenprojektioponselvästilineaarikuvaus,Ker(p)={x W p(x)= 0 W/U }={x W x+u= 0+U}=UjaIm(p)=W/U,jotenlausetta1.12soveltamalla saadaan,ettäp V:V =W/U. Koskap V onsurjektiov W/U,niinjokaistax W vastaav V,jollep(x)= p(v)elix+u=v+u.josmyösalkiollev V päteep(x)=x+u=v +U=p(v ), niinkuvauksenp V injektiivisyydestäseuraav=v.siis(x+l) U={v}onyksiö Seuraus. (Homomorfialause vektoriavaruuksille) Olkoon A: V W vektoriavaruuksien välinen lineaarikuvaus. Tällöin on olemassa sellainen lineaarinen isomorfismi Ã:A/Ker(A) =W,ettäA=à p,missäponkanoninenkuvausa A/Ker(A),ts. p(x)=x+ker(a),kunx V. V W A p à V/Ker(A) Todistus. Valitaan Ker(A):lle komplementti C. Edellisen lauseen mukaan p C:C = V/Ker(A). KuvausÃ=A (p C) 1 onhyvinmääriteltylineaarikuvausv/ker(a) W. Tarkistetaan, että A = à p. Olkoon x V. Koska V = C Ker(A), niin vektorin x voi esittää summana x = x +u, missä x C ja u Ker(A). Huomataan,ettäA(x)=A(x +u)=a(x )+A(u)=A(x )+ 0=A(x )jatietenkinmyös p(x)=x+ker(a)=x +u+ker(a)=x +Ker(A),joten (à p)(x)=ã(p(x))=(a (p C) 1 )(p(x )) =(A (p C) 1 (p C))(p(x ))=A(x )=A(x). 27

9 SiisA=à p.tästäseuraaim(a) Im(Ã),muttamääritelmästäÃ=A (p C) 1 seuraatietenkinkääntäenim(ã) Im(A).SiisÃonsurjektioV/Ker(A) Im(A).Koska Ker(A C)=Ker(A) C={ 0}suoruuskriteerinmukaan,niinA Coninjektio,jotenÃ= 1 (A C) (p C) onmyösinjektio.siisãonlineaarinenisomorfismiv/ker(a) Im(A). Homomorfialauseen voi yleistää moduleille, mutta todistuksessa ei voi enää käyttää yleisessä tapauksessa komplementteja Homomorfialause moduleille. Olkoon A: M N modulien välinen lineaarikuvaus. TällöinonolemassasellainenlineaarikuvausÃ:A/Ker(A) N,ettäA=à p,missäp onkanoninenkuvausa A/Ker(A),ts.p(x)=x+Ker(A),kunx M. M N A p à M/ Ker(A) Todistus.TarkastellaankuvaustaÃ:M/Ker(A) N, Ã(x+Ker(A))=A(x). Ontietenkintarkastettava,onkotällainenkuvaushyvinmääritelty. Olkootsiisx,x M vektoreita,joillex+ker(a)=x +Ker(A).Tällöinx x+ker(a)=x +Ker(A),joten onolemassau Ker(A),jollepäteex=x +u.saadaan A(x)=A(x +u)=a(x )+A(u)=A(x )+ 0=A(x ), jotenãonhyvinmääritelty.seonmyöslineaarikuvaus,silläkunx,y Mjac R,missä (R, +, ) on käsiteltävien modulien yhteinen kerroinrengas, niin Ã((x+L)+(y+L))=Ã((x+y)+L) =A(x+y)=A(x)+A(y) =Ã(x+L)+Ã(y+L) ja Ã(c(x+L))=Ã(cx+L) =A(cx)=cA(x)=cÃ(x+L), missä laskuja on lyhennetty merkinnällä L = Ker(A). SelvästiIm(Ã)=Im(A)jayhtälöA=à pseuraasuoraankuvauksenãmääritelmästä: A(x)=Ã(x+L)=Ã(p(x)). Tarkistetaanvielä,ettäÃoninjektio. Olkoonnimittäin x Msellainen,ettäx+L Ker(Ã)eliÃ(x+L)= 0 N. KuvauksenÃmääritelmästä saadaantällöina(x)=ã(x+l)= 0 N,jotenx Ker(A)=L. Siisx+L= 0 M +L, ts.ker(ã)={ 0 M +L}={ 0 M/L }. SiisÃoninjektiivinenjasurjektiivinenlineaarikuvaus M/L Im(A)eliÃ:M/Ker(A) =Im(A). 28

10 2.7. Lause. Olkoon V vektoriavaruus ja U sen aliavaruus. Tällöin dim(v)=dim(v/u)+dim(u). Todistus.ValitaanaliavaruudelleUkomplementtiCV:ssä,jolloinsiisV =U C.Tällöin lauseen2.4nojallac =V/U,jotenlauseesta1.5saadaan dim(v)=dim(u)+dim(c)=dim(u)+dim(v/u). 3. Operaattoriavaruudet Edelläontarkasteltumodulienkarteesisiatuloja,ts.josM i,i I,ovatR-moduleita, niin i I M ivoidaanluonnollisellatavallavarustaanr-modulinrakenteella. Erikoistapaus tästäonkarteesinenpotenssi,jolloinlähtöavaruusonyksijasaman. Siiserityisesti I N onr-moduli,kunnonr-moduli. Edelleentämänerikoistapaussaadaan,kunI=Mon myösr-moduli:kunmjanovatr-moduleita,niin N MonluonnollisellatavallaR-moduli. Merkitään L(M,N)={A:M N Alineaarikuvaus} M N. JosM=N,merkitäänlyhyemminL(M)=L(M,M). 3.1.Lause. OlkootMjaNvaihdannaisenrenkaan(R,+, )moduleita.tällöinl(m,n) on M N:nalimoduli. Todistus. Riittää tarkastaa, että L(M, N) toteuttaa alimodulikriteerit. Olkoot A, B L(M,N)jac R. 0 Nollakuvaus0:M N,0= 0 N ontietenkinlineaarineneli0 L(M,N). 1 MääritelmänmukaanA+BonkuvausA+B:M N,(A+B)(v)=A(v)+B(v). Ontarkastettava,ettäA+Bonlineaarinen.Olkootx,y Mjar R.Tällöin (A+B)(x+y)=A(x+y)+B(x+y) ja =(A(x)+A(y))+(B(x)+B(y)) AjaBovatlineaarisia =(A(x)+B(x))+(A(y)+B(y)) (N,+)onAbelinryhmä =(A+B)(x)+(A+B)(y) (A+B)(rx)=A(rx)+B(rx) SiisA+B L(M,N). =ra(x)+rb(x) AjaBovatlineaarisia =r(a(x)+b(x)) NonR-moduli =r(a+b)(x). 29

11 2 MääritelmänsämukaancAonkuvauscA:M N,,(cA)(v)=c(A(v)). Olkoot x,y Mjar R.Tällöin (ca)(x+y)=c(a(x+y)) ja =c(a(x)+a(y)) Aonlineaarinen = c(a(x)) + c(a(y)) osittelusääntö N:ssä =(ca)(x)+(ca)(y) (ca)(rx)=c(a(rx)) =c(ra(x)) Aonlineaarinen =(cr)(a(x)) Nonmoduli =(r c)(a(x)) kerroinrengas on vaihdannainen =r(c(a(x)))=r(ca)(x). SiiscAonlineaarikuvaus,jotencA L(M,N) Lause. Kun M on moduli, missä kerroinrengas on vaihdannainen, niin(l(m), +, ) on rengas. Todistus. Kerätään kasaan, mitä rakenteesta(l(m), +, ) valmiiksi tiedetään: Ensinnäkin edellisen lauseen nojalla L(M) = L(M, M) on R-moduli, joten erityisesti(l(m), +) on Abelin ryhmä. (L(M), ) on monoidi, sillä lineaarikuvausten yhdistetyt kuvaukset ovat myöslineaarisia, kuvaustenyhdistäminenonliitännäistä, jaid M L(M)onrakenteen ykkösalkio. Jäljellejääosittelulakientarkastus:OlkootA,B,C L(M)jax M.Tällöinsuoraan kuvausten summan määritelmästä seuraa ((A+B) C)(x)=(A+B)(C(x))=A(C(x))+B(C(x)) =(A C)(x)+(B C)(x)=(A C+B C)(x), joten(a+b) C=A C+B C.KäyttämällämyöskuvauksenAlineaarisuuttasaadaan (A (B+C))(x)=A((B+C)(x))=A(B(x)+C(x))=A(B(x))+A(C(x)) =(A B)(x)+(A C)(x)=(A B+A C)(x). SiismyösA (B+C)=A B+A C. Koska(L(M), +) on Abelin ryhmä,(l(m), ) on monoidi, ja osittelulait pätevät, niin (L(M),+, )onrengas Määritelmä. a) Renkaan(R, +, ) alkiota a R kutsutaan kääntyväksi, jos sillä on käänteisalkio. Rakennetta(R, )kutsutaanr:nkertolaskuryhmäksi.renkaanalkioa Ronnilpotentti,josa n =0jollakinn Z +. 30

12 b) Puoliryhmän(S, )alkiotaa Skutsutaanidempotentiksi, josa 2 =a. Jospuoliryhmässä (S, ) on ykkösalkio eli se on monoidi, niin involuutioita ovat ne alkiot a S,joillea 2 =1,muttaa Määritelmä. Kun M on vaihdannaisen renkaan moduli, niin(l(m), ):n kääntyvien alkioiden joukkoa merkitään GL(M):llä. Tällöin(GL(M), ) kutsutaan M:n lineaariseksi ryhmäksi Lause. (GL(M), ) on todella ryhmä. Todistus. Tiedetään, että jos A: M M on kääntyvä L(M):n alkio täsmälleen silloin, kun seonmodulinmautomorfismi,jolloinmyösa 1 onkääntyvälineaarikuvaus.edelleenjos A,B GL(M)eliA,B:M Movatkääntyviälineaarikuvauksia,niinyhdistettykuvaus A B on lineaarikuvauksien yhdisteenä lineaarikuvaus ja bijektioiden yhdisteenä bijektio, jolloin A B GL(M). Siis on GL(M):n hyvinmääritelty laskutoimitus. Kuvausten yleisestä liitännäisyydestä seuraa, että laskutoimitus on liitännäinen GL(M):ssä. Koskaid M onlineaarinenjaitsensäkäänteiskuvaus,niinseongl(m):nykkösalkio.koska GL(M) on käänteiskuvausten suhteen suljettu, niin kaikilla sen alkioilla on myös käänteisalkio. 3.6.Määritelmä.OlkoonMmoduli.LineaarikuvausP:M Monprojektio,josP P= P Esimerkki. Suoraan summaan voidaan aina liittää projektio. Olkoon M nimittäin moduli,jonkavoiesittäämuodossam=n L.AsetetaanP:M M,P(x)=y,missä alkioymääräytyyvektorinx Myksikäsitteisestäesityksestäx=y+z,jossay Nja z L. Onsuoraviivaistaosoittaa,ettäP onlineaarikuvaus: Olkootnimittäinx 0,x 1 M jac R,missä(R,+, )onkerroinrengas.valitaanyksikäsitteisety 0,y 1 Njaz 0,z 1 L, joillex 0 =y 0 +z 0 jax 1 =y 1 +z 1.Tällöin x 0 +x 1 =(y 0 +z 0 )+(y 1 +z 1 )=(y 0 +y 1 ) +(z }{{} 0 +z 1 ) }{{} N L cx 0 =c(y 0 +z 0 )=cy }{{} 0 +cz 0, }{{} N L joten P(x 0 +x 1 )=y 0 +y 1 =P(x 0 )+P(x 1 )ja P(cx 0 )=cy 0 =cp(x 0 ). Ponilmeinenprojektio,silläedelleenP(P(x 0 ))=P(y 0 )=P(y 0 +0)=y 0.ProjektionP kuvajoukkoonselvästiim(p)=n. Vektorillex MpäteeP(x)=0,josjavainjosx:n esitysasianomaisenasummanaonx=0+x,missäx L.SiisKer(P)=L. Osoitetaan jatkossa, että esimerkin tapa on oleellisesti ainoa tapa muodostaa projektioita. 3.8.Lause. OlkoonP L(M)projektio.TällöinM=Im(P) Ker(P),jakuny Im(P) jaz Ker(P),niinP(y+z)=y. 31

13 Todistus.Olkoonx M.Merkitääny=P(x) Im(P)jaz=x y.tällöinx=y+z jakoskaponprojektio,niin P(z)=P(x y)=p(x) P(y)=P(x) P(P(x))=P(x) P(x)= 0, jotenz Ker(P).SiisM=Im(P)+Ker(P). Osoitetaan suoruuskriteerillä, että tarkasteltava summa on suora. Olkoon siis t Im(P) Ker(P),jollointoisaaltajollainx Mpäteet =P(x)jatoisaaltaP(t)=0. Yhdistämällä nämä tiedot ja käyttämällä sitä, että P on projektio, saadaan t=p(x)=p(p(x))=p(t)=0. SiisIm(P) Ker(P)={ 0}jaM=Im(P) Ker(P). Kuny Im(P)jaz Ker(P),niinjollakinx MpäteeP(x)=yja P(y+z)=P(y)+P(z)=P(P(x))+ 0=P(x)=y Määritelmä. Projektion P: M M sanotaan olevan projektio N:lle suuntaan L, jos N=Im(P)jaL=Ker(P) Seuraus. Modulin M alimodulilla N on komplementti, jos ja vain jos on olemassa projektiop:m MmodulilleN. Todistus. Jos on olemassa projektio P L(M) modulille N, niin edellisen lauseen mukaan M=Im(P) Ker(P)=N Ker(P),jotenKer(P)onalimodulinNkomplementti. Jos kääntäenn:lläonkomplementtilelim=n L,niinesimerkissä3.7onmuodostettu projektiop L(M),jolleIm(P)=N Määritelmä. Olkoon M R-moduli, missä kerroinrengas(r, +, ) on vaihdannainen. TällöinR-moduliaL(M,R)kutsutaanM:nduaaliksijamerkitäänM :llä. 32