f ÓÒ ÒØ ÓØ ÙÖÑÐÐ Ò ÖÚÓ ÙÒØÓ ÐÚº ÓÒØ λ¹óðñø ÚÓÒ ÒØ ÌÙÖÒÒ ØÓ Òº ËØØÒ Ö ÒÒ ÓÐÐÒ ÑÔÐÑÒØÓ ØØÓÓÒÐÐ Ø ØÙÐ ÄÁËȹ ÚÒØÒ Ä Ô ÓØØ ÑÙØØ ÔÓØ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒº Ä Ô Ó

Transkriptio

1 ÓÐÑÓÒÒ Ø ÖØÝ Ø ÑØÒ ÙÒØÓÒÐ Ø ÖÓ ØÙØÙ Ø ØÐÔÖÙ Ø Ø ÓÐÑÓÒÒ Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ ÔÓ ÓÐÑÓ ÓÐÑÓÒØÐ Ø ÙÒØÓÒРغ ÒÒÓ ØÙÒÐÐ ÙÖ ØØÐ ÌØÓÒ ØØÐÝØÓÖ Ø Ð ÒØÑÐк ÖÐ Ø ÒÒÓ ØÙÒÐÐ ØØÐ ÖÐ Ø ÇÐÑÓÒÒ Ø ÓÐÑÒ ÙÙÒÒØØÐÙØÔº ÓÐÑÓÒع»Ø ÐÓ Ø ÒÒÓ ØÙÒÐÐ ÇÐÑÓÒØÐ Ø ÒÒ ÐÓÒ ÚÐ ÝØÝ º ÑÒØ ÃÙÖ ÐÐ ÓÐ ÚÖ Ò Ø ÓÔÔÖº ÑÖ ÖÓ ÚÓ ÝØØ ÐÙÒØÓÐÚÓÒ ÙÖÚ Èº ÀÙ Ì À ÐÐ ËÓÓÐ Ó ÜÔÖ ÓÒº ÍÒÚÖ ØÝ ÈÖ ¾¼¼¼º ÑÖ Ëº ÌÓÑÔ ÓÒ À ÐÐ Ì ÖØ Ó ÙÒØÓÒÐ ËÓÒ ØÓÒº ÓÒ¹Ï ÐÝ ÈÖÓÖÑÑÒ ½ ÂÓÒØÓ ½ ÂÓÒØÓ ½ Ó ÐÙÑ ØÓÒ ÂÓÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØÒ ÔÖÙ Ø Ò ½º Ä À ÐйÐÒ ÓØ ÚÙÐØ ØØÔ»»ÛÛÛº ÐкÓÖ ÐÝØÝÝ ØÙØÓÖÐ ÝÑ º ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ À ØÓÖ ÂÓÒØÓ ½º½ ½ À ØÓÖ ½º½ ØÝ ÓØ ÚÙÙØØÒºµ ÎÙÓÒÒ ½ ÒÒÒ ØØÓÓÒص ÙÐ ØÒ ÐÑÑ ÔÖÙ ØÚ ÑØÑØØ Ø ØÝØ ÌÙÖÒ ÙÐ ÒÑÒ ÒØÚØ ÓÒØ ÐÒ ÌÚÓØ ÒØ ÑÖØÐÑ ÒØÙØÚ ÐÐ ØÖÑÐÐ ËÒ ÓÑ ÙÑÒÒ ÓÒ ØØÒÒ ÔØØÝÑØÒ ØÚк º º µ ØØÚ T ÚÓÒ ÖØ Ø ÑÒ Øº ÇÐÑÒ ÙÓÖØÙ ØÒ ÑÙÙØØÑÐÐ ÓÒÒ ØÐ ÝÒ ÑÙÒ = ØØÓÓÒÒ ØÖØ ÑÐк ØÝ ÓØ ÚÙÙØØÒºµ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

2 f ÓÒ ÒØ ÓØ ÙÖÑÐÐ Ò ÖÚÓ ÙÒØÓ ÐÚº ÓÒØ λ¹óðñø ÚÓÒ ÒØ ÌÙÖÒÒ ØÓ Òº ËØØÒ Ö ÒÒ ÓÐÐÒ ÑÔÐÑÒØÓ ØØÓÓÒÐÐ Ø ØÙÐ ÄÁËȹ ÚÒØÒ Ä Ô ÓØØ ÑÙØØ ÔÓØ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒº Ä Ô ÓÒ ÐÒ ÚÓ ØÒÖ ÓØ ÓÑÑÓÒ ÝÖØÝ ÑÐÑ º ÝØØÒ ÓÒ ÐÒ ØØÝÚ ÑÙÖÖ Ó ÓÒ ËÑ ØÙØÑÙ Ò ØÝ Ò ØÙÐÓ ØÑ Ò ÚÒÓ Ø Ð Ø ÝØ ÓÒ Ò Ð ÚÒ Ø ÓÖÑÙÐ ÌÖÒ ÐØÓÖµ Ò ÔÐÓÒ ÓÖØÖÒ ÂÓ ÐÓ ÓÒ ÓÑØ ÒØÝ ØÐÑÒ ÓÒ ÚØØÙ Ù Ò ØÚÒ ØÓ ØÙ Ò ÓÒ = ÝØØÒ ÐÐØØÒ ÖÓØØ ÒØÒ ÙÐÙ ÑÝ Ò ÑÖÓº Ð ÆÒ ØÓÖÑÒØÓ ØØ ÐÓÚØ Ð ØÝ ÓÐÑÓÒØк ½º½ À ØÓÖ ½º½ À ØÓÖ ÙÖ ÙÐ λ¹ð ÒÒÒ ÐÓÒÞÓ ÌÚÓØ ÒØ ÑÖØÐÑ ÒØÙØÚ ÐÐ ØÝ ÐÐ ÄÁËÈ ÓÒ Ý ÝØ ÖÚÓÒ Ð ÒØ ØÒ ÚÒØÑÐÐ ÐÙ ØØ ÒÒØÙÐÐ ÒÒÐÐ = Ý ÒÖØ ÑÑ ÓÐÑÓÒØÐÒ ØÖØ ÑÐк ÚÐÒº ÌÙÖÒÒ ÙÖÒ Ð ØÝÑ ØÚØ Ó ÓØØÙØÙÚØ ÚÚÐÒØ ÐÙÓ ØÒ ÑÙÙØØÙÒÒºµ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ À ØÓÖ ÎÙÓÒÒ ½ ÂÓÒ ÅÖØÝ ÑÙÙÒ ÑÙ µ ½¼¹ÐÙÚÙÐÐ ØÓÐÝØÙØÑÙ ØØØÒ Ð ÓÐÑ ÓØ ÚØ ÐÓÓ ØÓÖÑÒØÓ Ø ½º½ À ØÓÖ ½º½ ØÓ ØÙ º Æ Ø ÐÙØØÒ ÝÐ ÝØØ ÐÒ ÄÁËÈ Ä Ø ÈÖÓ Òµº ÃÝØØ ÝØØ Ò ÚØØÒ ÓÐÐ Ò ÐÙ ØÓ ØÙ Ò ÃÐÒ ÒÒÓØØÒ ÓÐ λ¹ð Òغ ÐÙÒ ÔÖÒ ÓÐ Ô ØÓÐ ÅÖØÝÒ ØÓÐÝÓÐÑÐк ÙÙÒÒØØÐÑÐÐ Ò ÐÓÒ ÒÒØ Ó Ò ØÓ ØÙ Ò ÐÙº ÓÐÑÓÒØк ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

3 ÄÁËÈ ÓÒ ÔÐÚ Ø ØÝÝÔØØØÝ Ð ÙÓÖØÙ Ò ÙÐÙ ÔÝØÒ Ð ÑÒ ÂÓ ÐÙÙÐÙÙ ÑÖÓÒÓ ÒÒ ÙÓÖØÙ ÝØÒ ÚÖÐÑÓØÙ Òº ÝØÝÝ Í ÑÑ ÓÐÑÓÒØÐ ÐÑ ØÒ ÓÓ ØÝÝÔØ ÒØ ØÖ Ø Ó ÑÙ ØÔÓÒ ØØ ÙÓÖØÙ Ò ÝÖØØ ÓØØ ÔÝ ØÝݵ ÖÚÓ ÔÝÖÒ ÓÐÓÓÒº ÒÐÙÐÑ Ø ÓÖÑÐ ØÝÝÔÔØÓÖ ÓÒ Ö ÑØÑØØ Ò Ö ÓÓÒ Ù Ø ØÓÖÑÒØÓ Ø ÐÓÒ ÃÒØ Ø ÓÓ ÑÐÐ Ò ØÝÝÔÔ ØØÓÐÓØ ØØк ÓÓ ÇÐÑÓÒ ØÚØ ÖÓØØ µ ØÝÝÔÔ ÚÒ ÒØ ÓÒ ØÖÙÓ ÙÙ ØÝÝÔÔ ÓÓÒ ÆÒ ÓÐÑÓÒØÐØ ÐÓÚØ Ð ØÝ ØÓÖÑÒØÓ Ø ÐÑ ØÝ Ý Ò ØÝÝÔÔØÓÖÒ ÒØÒ ØÓ ØÙ ÐÓÖØѺ Ò ÑÑÒÒ ØÒÖ ÚÐÑ ØÙ ½¼ ÒÝÝÒÒ ½º ÚÑÒÒµ ËØÒÖØ ØØÚØ ÐÓÓ Ò ÒØÓÓÐÑÒ ËÅĹÓÐÑÒ ØÝÝÔÔÒÐÝÝ Ò ÅÐÐÒÒ ÒÒ Ò ÓÒµ ØÝÝÔÔÐÓÖØÑ Ð ÓÒ Ô ÓØÙ ÔÐÓÒ Ø ÑÐÐ ÑÑÒ ÙÒ Ð ÝÐÒ ËÐÐÓÒ ÚÓÒ ÐÒØ ØÓ ØÙ ØÓÖÒ Ó ÓÒ Ö ÐÓÒ ÒÒ Ó ¹ÐÙµ ÑÒØÐÑ ÓÖÑÐÒ ÌØ ÙØØ ÙÒØÓÒÐ ÓÐÑÓÒÒ ÔÝØØÒ ÌÑÒ ØÝ ÙÐÙÒ ØÙÒÒØÙÒ Ù Ø ÓÒ ËØÒÖ ÅÄ ÅØ ÄÒÙµ ÓÐÑÓÒØÐ ½º½ À ØÓÖ ½º½ À ØÓÖ ØÝÝÔÔØÓÖÒ ÌÝÔ ÌÓÖݵ ÙÓÖØÙ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò ÊÒ Ð ÐÐ ÓÒ ÓÑ ÑÙÖÖ Ç³Ñк ÒÝÝÒ ÔÓÙØÙÚغ ½½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½º½ À ØÓÖ À ØÓÖ ½º½ ÙÒØÓÒÐ ÓÐÑÓÒÒ ÐØØÒ ÙÙÒÒØÐÐ ËÅĹÐÐÐ ÓÒ ÓÐÐÙØ ÙÙÖ ÚÙØÙ ÓÐÑÓÒØÐØÒ ØÝÝÔØ ÔØØÐÚ Ð ØÓÖÒ ÒÐÝ ÓÒ ÓÐÑ ÓÐÚ ØØÒ ÙÙ Ý ØÐÑÐÐ ÚÒÓ ÓÔÚ Øº Ð ØÐÐ Ò ÒØÓÓÐÑÒº ÓÐÑÓÒØÐØÒ ØÓÖÒ ØÙØÑÙ Òº ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½¼ ½¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

4 ØÒÑÒÒ ÔÖÓÖ Ó ÜÙØÓÒµ Ó Ò ËÙÓÖØÙ Ò ÓÙÙØ ØÐÒØ Ò ÓØ ÓÐ Ò ÐÒ ÐÝÑÒÒ ÔÖ ÖÚØÓÒ Ó ØÝÔ µ ÒÒ Ò ÌÝÝÔÔÒ ÓÐÑÒ ØØÐÑÐÐ ØØÓÐÓÐÐ ÔØÐÐÝØ Ò ØÖÚÐ Ø ØÓØØ ØÑÒ ÐÒ ÒÓÐÐ ÓÐ ÓÒ ÑÓÐÐ ÙÙØغ ÓÐÑØØ ÃÓÒ ØÖÙØÚÒÒ ÐÓÓÓ ÐÙÒ Ò Ò ÓÑÑÐÐ ÙÑÑÐÐ ÚØØ Ø ØÓ ØÙ Ò ËÒ ÓÒ ØÖÙØÚÒÒ ÐÙÙØÔ ÓÒ ÑØÓ M ÓÐÐ φ ØÓ ØÙ Ø ÑÙÓØØÙ ØÓ ØÙ Ò ÚØØÒ ½º¾ ÙÖÖÝÒ ÀÓÛÖÒ Ú ØÚÙÙ ½º½ À ØÓÖ ÃÓÒ ØÖÙØÚÒÒ Ð ÒØÙØÓÒ ØÒÒ ÐÓ ÝÚ Ý Ò º ÓÐÑÒÒÒ ÔÓ ÙÐØÙÒ Ðº Ô ØÓ º ÃÐ ÐÓ ÑÖ ÚØ ÅÖ ÓÒ Ø ÓÐ ÐÑ ÆÓ ÓÖ ÙÑÔ ØÝÝÔØ ÔÝ ÝÚØ ÑÓÒ ÑÝ ÙÓÖØÙ Ò Òº ÅÖ ÓÒ ÐÑ Ø ÅÖ ÓÐ ÐÑ ÆÓ ØÝÔ Ø ÓÒÒ ØÙÑÔ ÚØÑÙ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ÙÖÖÝÒ ÀÓÛÖÒ Ú ØÚÙÙ ÙÖÖÝÒ ÀÓÛÖÒ Ú ØÚÙÙ ½º¾ ½º¾ ÌÖ ØÐÐÒ ÐÐ Ø ÐÓ Ó ÓÒ ÚÒ ½º¾ ÙÖÖÝÒ ÀÓÛÖÒ Ú ØÚÙÙ ÅØÑØØ ¹ÐÓÓ ¹ÐÓ Ó Ø ØÝÝÔÔØÓÖÒ ÙØÒ ÙÚ ÙÖÖÝÒ ÀÓÛÖÒ ÓÐÑÓÒÒÒ ÑÔÐØÓ Ó φ ÒÒ ψº Ú ØÚÙÙ Ø ÙÖÖݹÀÓÛÖ ÓÑÓÖÔ Ñµº Î ØÚÙÙÒ ÚØ Ó ½ ÐÓÓÓ ÐÒ ÀÓÛÖº ÚØØÐÐ ψº ÀÒ ÙÐ Ò ÙØÒÒ Ú Ø ½¼ ÝÚÒ ÙÙÐÙ Ò À ÐÐ º ÙÖÖÝÒ ¼¹ÚÙÓØ ÝÒØÝÑÔÚÒ ÐÓÓÓÒ ÀÓÛÖÒ ÚÒØÓ φ ψ ÓÒ ÓÒ ØÖÙØÚ Ø ØÓ ØÙÚ Ó ÚÒ Ó ÙÒÒ ÓÓØÙ ÙÐÖ º ÐÙÔÖÒÒ ÚÒØÓ Ó ÖØÝ Ø Ý ÒÖØ Ø ÑÙØØ Ø ÓÒ ÑÝÑÑÒ ÐÒÒØØÙ ÐÓ ÓÒ λ¹øöñ τ ÓÒ ÔÖÑØÖ ÓÒ ØÝÝÔÔ φ ÖÚÓ ψ Ð τ ÓÒ ØÝÝÔÔ φ ψ ØÝÝÔÔ ÐÐÓÒ τ ÓÒ ÑØÓÒ M ÓÐÑÓÓº ÑÙÒÒº ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

5 Curryn ja Howardin vastaavuus 1.2 Siten tässä yksinkertaisessa tapauksessa todistukset ovat ohjelmia väitteet ovat tyyppejä Curryn ja Howardin vastaavuus 1.2 SML ja Haskell pohjautuvat let-polymor seen (proofs as programs) Hindleyn ja Milnerin ns. tyyppiteoriaan (erilaisin laajennuksin). (propositions as types) Curryn-Howardin vastaavuuden näkökulmasta ohjelman suoritus on todistuksen sieventämistä implikaation ' ' mutkikkaammasta yksinkertaisemmaksi. konjunktion ' ' Tietojenkäsittelijän lukutapa: vastine on vastine on funktio monikko konstruktiivisen disjunktion ' ' Tyyppijärjestelmät ovat logiikoita, joilla voidaan Ojelmointikielen tyyppijärjestelmän kehittäminen ja kuten edellä ( 2.1.4) vastine on tyyppi, jonka arvot ovat joko tällaisia tai tuollaisia ( 4.2) ilmaista ja todistaa ohjelmien ominaisuuksia. universaalikvanti oinnin ' ' tutkiminen on vastaavan logiikan kehittämistä ja vastine on geneerisyys: sama funktio soveltuu monille eri tyypeille ( 4.4). tutkimista : Johdatus funktionaaliseen ohjelmointiin, syksy Curryn ja Howardin vastaavuus : Johdatus funktionaaliseen ohjelmointiin, syksy 2006 Curryn ja Howardin vastaavuus Kurssilla esitellään funktionaalista ohjelmointikieltä nimeltään Haskell: Nykyinen standardi Haskell (ensimmäinen jo 1990). 98 valmistui 1998 Seuraavaa standardia kehitellään työnimellä Haskell'. Tyyppijärjestelmä on pääosin samanlainen kuin kielessä SML. Suoritusmekanismit ovat varsin erilaiset: SML sallii myös sellaisen ohjelmointitavan, jossa suoritus etenee muuttamalla koneen tilaa. Haskell taas on puhdas (pure) funktionaalinen kieli: suoritus on sievennystä, käsitettä tila ei ole : Johdatus funktionaaliseen ohjelmointiin, syksy : Johdatus funktionaaliseen ohjelmointiin, syksy

6 ÒÒ ÒÒ ÙÒ ÐÑÙ Ò δ ÑÖØÝ ÓÒ ÒØÝÑ Ñ ÙÒ ÐÙÔÖ Ò ÐÑÙ Ò γº Ý ÊÝÝØÒ ÒÓÔÙØØÑÒ Ø ÑÐÐ ØÔÙ n > 0 ÌÐØÓÒ ÓÐÑÓÒØ ½º ½º ÌÐØÓÒ ÓÐÑÓÒØ ½º ÌÐØÓÒ ÓÐÑÓÒØ pow(x, n) = x pow(x, n 1) pow(x, n) =... Ó Ò ÙÒ n > 0 ÓÒ ÔÖØÓÒ Ö ÑÙÓØÓÐÙ ÄÒÞÒ ÐÐÐ ÓÒ ÁÐÑÙ Ø α β ÙÒ n > 0 ÓÒ ÔÖÐÐÒÒº Ó ÚÒ Ó ÂÐÐÐ ÓÒ ØÔÙ n = 2 Ñ m m 0 > pow(x,2 m) = x 2 m = (x 2 ) m = x 2 (x 2 ) m 1 ØÖÓØØÚØ Ñ ÐÑÙ ÐÐ γ ÔØ ÙÖÚ Ó ÚÑÑ ÐÐ γ ÐÐ ÐÑÙ Ò α ÒØÝÑÒ ÐÑÙ Ò β ÐÑÙ Ò ÒÙØÓÐÐ ÙÙÖÒ m ÙØÒ Ó Ø = x 2 pow(x 2, m 1) ÓÒ ÐÙÔÖÒÒ ÒØ ØÔÖÒ ÙÒ m > 0 Ó = pow(x 2, m). ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ÇØØÒ ÓÐÑÓÒØÐÒ ÙÙÒÒØØÐÙÒ ÓÒÙÓÖ ÄÒÞÒ ÐÒ ÓÚÐØÑÒÒ Ò ÓÐÑÒ ÓÐ ØØ ÆÒ ÑÑ ÙÓÖÐÐ Ð ÙÐÐ ÒÓÔÑÑÒ ÙÒØÓÒ ÌÐØÓÒ ÓÐÑÓÒØ ½º ½º ÌÐØÓÒ ÓÐÑÓÒØ ÑÓÐÐ ÑÑÒ Ý ÒÖØ Øº ÃÙÒ ÐÙØÒ ÖÓØØ ÖÖÐÐ ÓÒ ØÓÑÚ ÒÒ Ö ÒÒ ØÝÚÐÒ ÓÒ ÓÖÚØ ÓÐÑ pow(x,0) = 1 pow(x, n) = x pow(x, n 1) n > 0 ÓÒ ÔÖØÓÒ ÙÒ pow(x, n) = pow(x x, ÙÒ n/2) n > ÓÒ ÔÖÐÐÒÒ 0 Ñ ØÖÓØØÚ ÓÐÑÒÔØ ØÓ ÐÐÒº Ó ØÓÑ ÚÖÑ Ø ÓÒ Ó ÓÒ ØÖÙØÓÒ ÒÓÐк ÑÖ ÔÓØÒ ÒÓÖÓØÙ ÙÒØÓ x n ÚÓÒ ÂÓÒÒ =¹ÔØØÐÝ Ð ÓÐ ÄÒÞÒ ÐÒ ÓÚÐÐÙ ÒÙØÓÐÐ ÑÖØÐÐ pow(x,0) = 1 pow(x, n) = x pow(x, n 1) ÙÒ n > 0º ÇÒ ÓÐÑÒ ØØÑ Ø ÐÔÓØØ Ó ÓÐ ÙÙÒÒØÐØÙ ÒÒ ØØ ÄÒÞÒ ÐÒ ÓÐÑÓÒØÐ ÓÚÐØÑÒÒ ÐÐ ÖÓØØØÙÒ ÓÐÑÒ ÓÐ ÐÔÔÓº ÇÐØØÒ ØØ ÔÓØÒ n Nºµ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾¾ ¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

7 ÓÐÑØ γ δ ÝØØÝØÝÚØ ÓÒ ÓÓÒ Ø ÑÓÒº Ø ÑÐÐÒ ÈØ α ØÖÓØØ ÓÒÒ ØÐÒ ÑÙÙØÓ Ø Ø ØÐ Ø p Ò Ð Ò ØÐÒ qº ÐØÚ Ø ½ µ ÎØØØ ÓÐÑÒ ØÐÓ Ø p q ÒÒÒ ÐÒ α ÙÓÖØÙ Òº ÓÓÒÔØÒ ÂÓ ÐÐ Ö ÐÙ ÐÐ α β ÓÒ Ñ ÖÚÓ v ÒØ Ø ÒÒ ÔØØÒ ÒÒ ÑÓÒº ÒÒ ÄÒÞÒ Ð ÓÐÑÓÒÒ ÇÐÑÓÓÒÔØØ α ÌÐÔÖÙ Ø ÓÐÑÓÒØ ØÝ ÓÒ Ó ÓØØ ÓÐÑ Ó ÑѺµ Ó ÑÙØ Ø ½º ÌÐØÓÒ ÓÐÑÓÒØ ½º ÌÐØÓÒ ÓÐÑÓÒØ β ØÖÓØØÚØ Ñ ÔØØÐÝÒ ÐØ ÓÚØ Òк ÊØ ÙÒ ÓÚØ ÒÚÖÒØØ Ó ÚÒ Ó ÑÖ ÓÐ ÙÖ ÐÐ ÌØÓÖÒØغ ÈØ β ØÖÓØØ Ñ Ó ÚÒ Ó β ÙÚ ØÐÒ p ÑÐÐ ØÐÐÐ q ÙÒ αº Ó Ò ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ ÐØÒÒ ØÓ Ò ÙÙÒØÒ ÅÙØØ ØÐÓ p ÓÒ Ú Ò ÓÓ Ø γ ÅÐÐ Ø ÓÒ ÓÐÑÓ ÐÑÒ ØÐÓ ÅÐÐÒÒ ÓÐÑÓÒØÐ ØÙ Ø ËÐÑÙÓ ÓÔ ÙÖÚ p i ÖÔÔÙÙ ÐÐ Ø q i 1 º ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ÌÐØÓÒ ÓÐÑÓÒØ ÎØØÙ ØÒ ÐÔÙÙÐØÚÙÙ ½º ½º º½ ÎÓÒÓ ÓÐÑÒÔØ ½º º½ ÎØØÙ ØÒ ÐÔÙÙÐØÚÙÙ K ÌÓÒÒ ØÔ ØÐÐ ÄÒÞÒ Ð ½º µ ÓÒ ÚØØÙ ØÒ ÐÔÙÙÐØÚÙÙ ÖÖÒØÐ ÓÐÑÓÒÒ Ð E ØÖÒ ÔÖÒݵ Ð ÚÓÒÓ ÓÓ ¹ÐÙ ÓÔØÑÓ ÔÐ ÃÒØÒ Ò ÖÚÓÒ v w ÑÙÙ ÔØ ÚÓ ÚÒ Ø ÓÑÐÐ ÒØ Ø Òº ÐÚØØ ØÙÓ ¹ØÓ ÓÖÚØ ÖÚÓÐÐ Ð Ð ÚÓÒÓ ÑÙ ØÚØØÙ Ò ØÐÐÐ ÖÓØØ ËÐÐÓÒÒ α β ÚÓÒ ÚØ Ò ÒÒ ÓÚØ Ö ÚØØÙ ØÔÓ ÑÒ ÓØÙ Ò vº ÒÒ Ð ¹Ö Ò E Ë ØÓÐÐÒÒ v ÙÙÐØ ÚØØÙ ØÒ α β Ðغ ÖÚÓ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

8 ½ ½ ÊÚÐÐ Ò ÑÖÓÒÓ Ö Ð ÑÐÐ ÓÓ ÔÖÒ ØÝ ÑÖÓÒÓº ÑÖÓÒÓÒ ÎØØÙ ØÒ ÐÔÙÙÐØÚÙÙ ÚØ ØØ ÐÙ Ø Ö ÚÓ ÖÓØØ ØÓ ØÒ ÓÓ ½¾ ØÙÐÓ ØÙ ÓÐ ÑØÒ ÐÑÒ ÊÚÒ ÖÓº ÚØØÚ Ë Ú ÓÓ Ø ÒÝ ÒÒ ÖÚÐÐ ½ ØÓ ØÒ ÓÓ Ö ÐÐ ÔÖÙ ØÐÐ ÖÓØÐÐÒÒ Ð ÓÒ ÚÒ Ý ÑÙÙÒ Ð ÝØ ÙÙÖÙÙÒ Ø ÓÒ ÐÐÐÐÒÒ ÑÙÙ ÙØÒ ÖÚÒ ½ ÕÙÐ ÓÐÑÒ ÙÓÖØÙ Ø ÙÖÚ ÑÙÙ ÙØÒ ½ º ÖÚÒ ½º º½ ÎØØÙ ØÒ ÐÔÙÙÐØÚÙÙ ËÙÖÚ ÑÖÓÐÑ Ó ÓØØ ØØ ÂÚ ØÝØ ÎØØÙ ØÒ ÐÔÙÙÐØÚÙÙ ½º º½ ÂÚ ÓÒ ÖÐÐ Ø ÑÙÙÒ ÝØ ÙÙÖÙÙÒ ØØ ÚØÑÙ Ø ØØغ ÇÐÑÓÐÐ ÚØØÙ ØÒ ÐÔÙÙÐØÚÙÙ ÓÒ Ø ØØ ËÐØ ÖÚÐÐ ½ ÚÖØÐÙÒ ØÙÐÓ ÓÒÒ ÄË ØØ ÐÐÒÒ ÝÒØÝ ÖÚÐÐ ÐÑÑÒÒ ÖÚÐÐ º ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ÎØØÙ ØÒ ÐÔÙÙÐØÚÙÙ ½º º½ ÅØÑØØ Ø ÑÙÙØØÙØ ½º º¾ ½º º¾ ÅØÑØØ Ø ÑÙÙØØÙØ ¾ Ð ÊÇÔÕß ÌÖÒ Ý ØØÒÒ Ð ØÐÔÖÙ Ø Ø ØÐØØÓÑÒ ½ ÑÔÓÖØ ÚºÓº ÔÙÐ ØØ ÚÓ ÑÒ ËØÖÒ Ö µß ÓÐÑÓÒØÒ ÓÒ ØØ ËØÖÒ ÓÓ Ò Ñ ÙØØÙ ½º ÑÙÙØØÙ ØÐØ ÐÐ ÒÒØÒ ÐÙÖÚÓ ËØÖÒ Ö ÓÓ ËÝ ØѺÓÙغÓÖÑØ ÓÓ± Ò ½¼ ÓÓµ ¾º ÓØ Ò ÑÙÙØØ ÓÐÑÒ Ø ½½ ½¾ ËÝ ØѺÓÙغÓÖÑØ Ö± Ò Öµ ÅÙÙØØÙ ØÐÐÒ ËÝ ØѺÓÙغÓÖÑØ ÓÓÖ ±Ò ½ ÓÓÖµ ÓÐÑÓÒÒ ÑÙ ØÔÒ ½ ËÝ ØѺÓÙغÓÖÑØ ÓÓ ÕÙÐ Ö ±Ò ½ ÓÓºÕÙÐ Öµµ ÑØÑØ ÖÚÓÒ ½ Ð ½ Ð ÒÑÒº ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¼

9 ÖÖÝØÒ ÙÓÖØØÑÒ ÓÐÑÒ ÙÖÚ ÖÚ Ú ØÒ ÐÝÝ ÑÝ ÙÒØÓÒÐ Ò À ÐйРÓÐ ÓØÙ ÐÙ ØØ ÚÒ ÔÐ ØÒ ÒÑÒØ = ÖÚÓ ÒÑ ØÙÐÒØ ÓÒ ØÑ ÒÑ ÓÒ ÐÝÒÒÝ ÑÖÒØ ÓÒ ØØ ÑÝ ÙÒØÓØÒ ÓÚØ ÑØÑØØ ËÑÒ ÙÒØÓÒ f Ö ÙØ ÙØ f(v) ÑÐÐ ÖÚÓÐÐ v ÒØÚØ Ò ÑÒ ØÙÐÓ Ò ÔÖÑØÖÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ø f ÖÔÔÙÙ ÓÐ ÚÓÒÙØ ÑÒ ÖÚÓÒ ÙØ ÙÒ ÚÐÐк ÚØ ÙÒØÓÐÐ f ÑÝ Ò ÚÓ ÓÐÐ ÑÒÒÐ ÚÓ ÚÒ ÔÐÙØØ ÚÙÚÙØÙ ÃÙÒ Ð ÓÒ ÚÒ ÑØÑØØ Ø ÙÒØÓØ ÒÒ ÐÙÑÒÒ ØÙÐÓ ØÒ ÖÓØØÑÒÒ ØÝØÝÝ ÝØØÒ ËÒ ÔØ ÔÐÙØØ Ñ ÑÖ Ó ÐÐ ÙØ ÙÖÖÐÐ ÝÑÔÖÚÐÐ ÑÐÑÐÐ ÓÒ ØÐ ÚÓÒØÒ ÒÝÝ Ø ÐÙÙÓØ ÝÑ ºµº º º ÝØØÓ ØÓÒ ÓØ ÙÙÖ ÔÝÖÑÑ ÐÑÒÓÑÒ ÓÐÑÓÒØÐ ØÑÑ ½º º ÇÒÐÑÐÐÒÒ Á»Ç ÇÐÑÓÒÒ Ò ÓÒ ÒÐ ÓÒÒ ØÐÒ ½º º¾ ÅØÑØØ Ø ÑÙÙØØÙØ ½º º ÇÒÐÑÐÐÒÒ Á»Ç ÑÙÙØÓ ÓÐÑÓÒÒ Ø ØÓ Ò ÙÒ ÒÓÖÑРغ ÑÙÓØÒ ØÝÑÙ ØÒ ÐØ Ò ÒÝØ ÔÓ º ÆÒÔ ÔÙØ µ ÙÒØÓÒÐ ÓÐÑÓÒÒ ÑÖ ÂÚ¹ÐÒ ÑÖÒÐÙÙÑØÓ ÒØ Ö µ Ý Ë ÓÒÒ ÐÓÐÑ ÙÖÓÙØÒµ ÙÒØÓ ØÙÓÐÐ ÖÚÓÐк ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ÅØÑØØ Ø ÙÒØÓØ ½º º ½º º ÇÒÐÑÐÐÒÒ Á»Ç ½º º ÅØÑØØ Ø ÙÒØÓØ ÇÒÐÑ ÓÒÒ ÔÖÙ ØÚ ÐØÙ Ö ÙÖÙ ÑØÑØØ Ø ÑÙÙØØÙ Ø ½º º¾µ ÓÒ ÌÐÐÐ Ò ÙÐÓÑÐÑÒ Ò ÓÑÑÙÒÓÒØ ÒØÝÝ ÑÝ ÑÖ ÙÒØÓÒ f ÓÓ ÖÔÒØ ÙÐÓÑÐÑÒ ÒÝÝ Ò ÝØØÐØØÝÑ ÔÖÑØÖÖÚÓÒ v ÑÖÑÒ ØÙÐÓ Òº ØØÓÒØÖÔÒÒÓ º º º ÓÑ ÓÓ º ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

10 ØÓ ØÓ ÐÑ ØÒÒ Ò ÖÙÖ ÓÐÐ ÊÙÖ ÓÙØ Ù ÔÖÑØÖ µò ÒÑØ ÓÖÚØÒ ÐÙ ÙØ ÙØÒ ÖÚÓ µððò ÙØ ÙØØÚ = ÓÒ ÓÖÚ laatikoitu ÐÙ ÖÚÓÐÐÒº Ñ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÇÐÑ ÓÓ ØÙÙ ÒÒ Ø ÑÙÓØÓ rekursiokutsu ÓÒ ØÑÒ ÑÙÓØÓÒÒ = ÒÒ ÂÓ ÓÖÚØ ØÙÓÒ ÑÙÓØÓ ÐÐ ÐÙ ÐÐ ÚÓÒ ÑÓÐÐ Ø Ð ÓØÒ ÓÚØ ØÓØصº ÙÒ À ÐÐ ¹ ØÒÖÒ Ú ØÙ ÓÒ ÑÓÒÒÒ Á»Ç µ ÑÖÒ ÒÓÔÙØØÙÐÐ ½º µ ÔÓØÒ ÒÓÖÓØÙ ÐÓÖØÑÐÐÑÑ ½º º ÊÙÖ Ó ½º º ÇÒÐÑÐÐÒÒ Á»Ç pow(3,5) = 3 pow(3, 5 1 ) ËØÒÖÓØÒ ØØØÝ ÓÐÑÓÒØÙÖ Ó ÝØØØ ÐÙ ØÙÐÓ Ø ÖÓØØ ÚÒ ØØÝ Ó ÚÓ = 3 pow(3, 4) = 3 pow(3 3, 4/2 ) = 3 pow(3 3,2) ÓÐѺ = 3 pow(3 3, 2/2 ) ËÒ ÚÒ Òµ Ó ÓÐÑ ÑÙÓØ Øк ÙÐÓÑÐÑÒ = 3 pow((3 3) (3 3),1) = 3 ((3 3) (3 3)) pow((3 3) (3 3), 1 1 ) = 3 ((3 3) (3 3)) pow((3 3) (3 3),0) = 3 ((3 3) (3 3)) 1 ÌÑÒ Ó Ò ØÝÝÔÔ ÓÒ ØØØÝ ÑÓÒº ÇÐÑÓÒØÐÒ ØÝÝÔÔØÖ Ø ÚÓ ÐÐÓÒ ÚÐÚÓ ÙÖ ÒÓÙØØÒº ØØ º = 243 ÅÓÒØ ÓÚÐØÙÚØ ÑÙÙÙÒÒ ÙÒ ØÐÒ ØØÐÝÝÒº ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½º º ÊÙÖ Ó ÊÙÖ Ó ½º º ÊÙÖ Ó ½º º ÁÐÑÒ ÓØÙ ÐÙ ØØ ½º º¾µ ØÓ ØÓÖÒØØ ÙØÒ ÌÑÒ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÒ ÑÖØÝ ÙÓÖØÙ ÓÚØ ÒØÙØÚ Ø ÓÖ ÛÐ ØÙÐÚØ ÑÓØØÓÑ º ÙÒØÓÒÐ ÓÐÑÓÒÒ À ÐйРÖÚÓÒ Ð ÒØ ØÒ ÐÙØØÐÑÐÐ ÓÖÚÙ ¹ Ð ÑÙÓÙØÙÚ ÐÙ º sievennyskohtaa ØØÒº Ë ÓÖÚ ØÖÔÒ ÔÚØØ ÐÑÙÑÙÙØØÙº ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

11 ÐÑÓØØ ÑØ Ò ÐÙ Ð ØØÚÒ ÓÐÑÓ Ý ØÝ ÓØ Ø ÑØÒ Ò ÔØ ØÔØÙº Ë ÄÒÞÒ Ð ½º µ ÓÒ ÑÒ ÓØÙ ÚÐØ ÑÐÐ ÓÒ ØØØÝ ÓÐÑÓÒØÑÐÐ ÈÓØÒ ÒÓÖÓØÙ ÑÖ ½º ºµ ÚÒ ÑÑ ÔÓÒÒØØ n Ó Ò ÔÖÙ ØÐÐ ÚÐØØÒ Ò ÌÐÔÖÙ ØÒÒ Ð ÚÓ ÚÚ Ø ÙÓÖØÙ Ø ÐÐ ÔÖÑØÖÐÐ ÔØ Ò Ò ÐÓÐÑÙØ ÙÒ ËÒØ ÓÐØ ÔÖÑØÖ ÚÒÒØÒ ÚÒ ÚÖÖÒ ØØ ÒÒ ÓÚÐØÙÙÓ ØÑ ÒØ Ò ÃÝØÒÒ ÒÑ ÚÒÒÝ Ò ØÙÐÓ Ø ÑÙ ØØÒ ÒØ ØÖÚØ Ø ÙÙÐÐÒ º½µº ÓØØ ÇÐÓÓÒ A ÐÓÐÑ Ó ØÙÓØØ ÖÐ tº ØØÙØ ÇÐÓÓÒ B ÐÓÐÑ Ó ÙÐÙØØ ØÐÐ tº ØØÓÐÓØ ½º º ÎÔÑÔ ÙÓÖØÙ Ö ØÝ ½º º ÊÙÖ Ó ÐÖØÚ Ò Ð ÙÚÐÚÒ ÓÐÑÓÒÒÒ À ÐйРÝØØ ÙÙÖ ØØ Ð ÙÓÖØÙ Ø ÐÞÝ»ÒÓÒ¹ ØÖØ ÚÐÙØÓÒµ ¾º¾º¾µ ÚÓ º ÚÒÒÝ Ö ØÝ º ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ÎÔÑÔ ÙÓÖØÙ Ö ØÝ ÌÖ ØÐÐÒ ÑÖÒ ØÙÓØعÙÐÙØعÔÖÒ ÎÔÑÔ ÙÓÖØÙ Ö ØÝ ½º º ½º º ÎÔÑÔ ÙÓÖØÙ Ö ØÝ ½º º ÔÖÓÙÖ¹ÓÒ ÙÑÖ ÔÖ µ ÓÐÑÓÒØ ÝØØØÚ Òغ ËÒ Ò ØÑÑ ÒØÐÙÚÙÒ x ÒÐÒÒØ x x ÑÖ ÓÐÑÓØ ÐÙØÔÐ ØÙÓØØ ÑÓÐÐ Ø ÖØÓÚØÓÓØ A ÓÓØØÑÒ ÙÒÒ ÒØ ØÖÚØØÒ ÐÓÔÔÙØÙÐÓ Ò 243º ÔÓÙØÙÒ ÔÐÒ ÒØÒº B ÖÚÓ Ö ÚØÓØÓÒ ÝÚÝÝØØ ÔÓÙØÙÒ ÖÐ Ò ÙÖ ØÓÒº ÖÚÓØ Ó Ð ÒÒÒ ÚÙÚÙØÙ Ø ÚÓÚØ Ð ÑÝ ÙØ ÙØØÚÒ ÐÓÐÑÒº ÚÙØØ ÇÐ ÒÓ ÓÐÑ ØÓ ÙÙÒÒØØÐÙ Ý Ø A B ÐÓÐÑ º Ñ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

12 c Ø = B(t ) Ø AÐÐ ÓÒ Ð ÚØÓØÓ Ó ÛÐ Ò ÛÐ Ò ÓÚÐÐØÒ ÙÚÙ Ø f(t) = (t, B(t)) ÐÓÓÒ (t Ø, c Ø ) = Ð ØÒ y ÐÓ Ø ÓÒ ÔÖ ÙÓÖØÙ ÑÒØÐÑØ ÓÚØ ÓÐÐÐ Ø Ä ÑØ Ä ØÒ x ÙÖÚ ÐÓ Ò Ý ÝÑÐÐ AÒ º ÚØÓØÓº ÙÖÚ ÖØ Ð Ò Ð ØÒ µ Ø ÝÐÐ ÐÐÚÚØØÙ ØÙÐÓ ÚØÓÓ ØÒ ½º º ÎÔÑÔ ÙÓÖØÙ Ö ØÝ ½º º ÎÔÑÔ ÙÓÖØÙ Ö ØÝ ÌÐÔÖÙ Ø ÓÐÑÓÒÒ ÝÒÖÓÒÓÒ Ò t Ø = AÒ Ò ÑÑÒÒ ÚØÓØÓ ½º ÀÐÙØÒ Ð ÔÖ (t Ø, c Ø )º t ÒÜØ = AÒ ÙÖÚ ÚØÓØÓ c ÒÜØ = B(t ) ÒÜØ c ÒÜØ < c Ø ØÒ ËÒ ÑÖØØÐÝ ÒÓÓ ØØ Ð Ø y ÓÒ ÝØÚ ÐÔ ¾º ÐÓÐغ ÐÓ t Ø = t ÒÜØ c Ø = c ÒÜØ Ä ØÒ y ÙÖÚ ÐÓ Ò ÓÚÐØÑÐÐ º f Ð ØÒ x ÙÖÚÒ ÐÓÓÒº ÙÚÙ Ø ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ÎÔÑÔ ÙÓÖØÙ Ö ØÝ ÎÔÑÔ ÙÓÖØÙ Ö ØÝ ½º º ½º º ÙÒØÓÒÐ ÓÐÑÓÒÒ ÒÒØÒ ÑÖØØÐÝØ AÒ Ò ÚØÓØÓÒ Ð Ø x Ð Ø Ó Ò ÙÒ Ð ØÒ y Ó Ò x ÀÝÝØ ÚÓÒ ÓÐÑÓ ÙÒØÓ Ó ÔÐÙØØ A ÔÙÓÔÖØÓØ ØÖÚØ ÓÐÑÓ Ø º ÔÙÑÖØÐÑÒ x y ÓÐÐ ÙÙ ÓÒ ÐÔÔÓ Òº ÐÑÑÒÒ ÓÑÔÓÒÒØØ ÓÒ ÔÒÒ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

13 [] ÓÒ ØÝ Ð Ø z : zs ÓÒ ÔØÝ Ð Ø ÓÒ Ñ ÐÓ ÓÒ z ÐÓÔÔÙÐ Ø zs µº Ò ÑÑÒÒ ÂÓ Ò ÐÓÒ z ÓÐÐ ÔÚØØÒ Ò ÖÚÓ h(a, z)º ÙÖÚ ÆÑ ÔÙÙÒØÓØ map ÓÚØ ÝÚÒ foldl Ó ÒØ ÚÓ ÑÙÓØ Ö ÑÓÒÝØØ ½º º ÃÓÖÑÑÒ ÖØÐÙÚÙÒ ÙÒØÓØ ½º º ÃÓÖÑÑÒ ÖØÐÙÚÙÒ ÙÒØÓØ ½º º ÃÓÖÑÑÒ ÖØÐÙÚÙÒ ÙÒØÓØ ÔÙÙÒØÓ foldl(h, a, l) ÐÑ ÝÚÒ ØÚÐÐ Ò ØÚÒ ÌÙÓØعÙÐÙØع ÑÖ ½º ºµ ÑÖØØÐÑÑ Ý ÐÔ Ð Ø l ÐÙ Ø ÐÓÔÔÙÙÒ ÒÒØÒ Ð ÙÖÐÐ a ÐÙÖÚÓº y ÓÔÖØÓÐÐ ÓÒ ÔÖÑØÖØ ÓÐÚØ Ð ØÒ Ð Ø x ÙÒØÓ fº ÄÓÔÙ ÔÐÙØØÒ ÒÒ ÖØÝÒÝØ ÐÓÔÙÐÐÒÒ ÖÚÓº ÌÑ ÓÔÖØÓ ÚÓÒ ÐÑ Ø ÝÐ Ò ÒØÒ map(f,[]) = [] map(f, z : zs) = f(z) : map(f, zs) Á ÖÓØØÒ ÙÓÖÒ ÒÒ foldl(h, a,[]) = a foldl(h, a, z : zs) = foldl(h, h(a, z), zs) ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½º º ÃÓÖÑÑÒ ÖØÐÙÚÙÒ ÙÒØÓØ ÃÓÖÑÑÒ ÖØÐÙÚÙÒ ÙÒØÓØ ½º º ÌÐÐ ÔÙÙÒØÓÐÐ ÚÓÒ ÑÖ ÐÑ Ø y = map(f, AÒ Ò ÚØÓØÓÒ Ð Ø) f(t) = (t, B(t)). ÝØØØÖÔ Ò ÓÔÚÐÐ f hº ÑÖ ÓÔÖØÓ Ð ÒÒØÙÒ ÐÙÙÐ ØÒ l ÄÓÔÔÙØÙÐÓ ÚÓÒ ÔÙÓÐ ØÒ ÐÑ Ø (t Ø, c Ø ) = foldl(g,(+,+ ), y) ÔÙÙÒØÓ g ÔÐÙØØ Ñ ØÒ Ø Ñ Ò ÓÐÐ ÓÒ ÔÒÑÔ ÐÑÑÒÒ ÔÖ Ø ÒÐÒ ÙÑÑ ÚÓÒ ÐÑ Ø ÐÙÙÒ sos(l) = foldl(sum, 0, map(square, l)) sum(x, y) = x + y square(z) = z z. ÓÑÔÓÒÒØØ ÙÒ g((t 1, c 1 ),(t 2, c 2 )) = (t 1, c 1 ) c 1 c 2 g((t 1, c 1 ),(t 2, c 2 )) = (t 2, c 2 ) ÑÙÙØÒ. Æ ÓÚØ ÑÖ ÓÖÑÑÒ ÖØÐÙÚÙÒ ÙÒØÓ Ø Ð ÐÐ Ø ÓØ ÚØ Ö¹ÓÖÖµ ÔÖÑØÖ Ò ØÓ ÙÒØÓغ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¼ ¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

14 ÑÖØÐÐÒ ÓÒ ÝÐÒÒ Ð ÒØÔÖØ ÙØÒ ÚÒ ÖÖÒ foldlµ ÝØØÒ Ñ ÑÖØÐÑ Ö ØÐÒØ ÓÔÚÒ ÙØÒ hµº ÔÖÑØÖÙÒØÓÒ ÈÖØØÒ ÑÖØÐÑÒ ÓÐÐ ÙÙ ÖÐÐÒ ÚÒ Ø ÖÓØØØ º ÖÖÒ ÆØ ÚÓ Ý ØÐÐ ÓÖÑÑÒ ÖØÐÙÚÙÒ ½º ºµº ÙÒØÓÐÐ ÙÒØÓØ ÖÚÓÒ ¹ØØÐÙ ½º ºµ ÚØ ÙØÓÑØØ Ò ÑÙ ØÒÐÐÒÒÒº ÝØÒÒ ÙÒØÓÒÐ ÓÐÑÓÒÒ ÝØØÒ ÔÐÓÒ ½º º ÙÒØÓØ ÖÚÓÒ ÎÓÑÑ ÑÖ ÑÖØÐÐ ÙÒØÓÒ foo(x) = y ½º º ÃÓÖÑÑÒ ÖØÐÙÚÙÒ ÙÒØÓØ ÓÖÑÑÒ ÖØÐÙÚÙÒ ÙÒØÓØ y(z) = x z + 1 Ñ ÔÙÙÒØÓÒ ÌÚÓØØÒ ÓÒ Ø ÔØ ÖÓØÙ ¹ ÑÝ ËÐÐÓÒ ÙØ Ù foo(2) ÔÐÙØØ ÖÚÓÒÒ ÙÒØÓÒ ÑÙÙØØÙ x ÚØØ ÔÙÒØÓÒ foo ÔÖÑØÖÒº y 2 (z) = 2 z + 1 ØÙ ØÝØ ËØ ÝØØØ ÖÐÝ ØÖÚØ ØÓ Ø ÚØ ÔÝ ØÝ ÓØÑÒ Ø ÔÖØØغ ÔÖÑØÖØ º º º ØÓÒÒ ÙØ Ù ØÓ Ò ÙÒØÓÒ foo(3) y 3 (z) = 3 z + 1. ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ÙÒØÓØ ÖÚÓÒ ½º º ½º º ÙØÓÑØØÒÒ ÑÙ ØÒÐÐÒØ ÙÒØÓØ ÖÚÓÒ ½º º ½º º ÙØÓÑØØÒÒ ÑÙ ØÒÐÐÒØ ÙÒØÓÒÐ ÓÐÑÓÒÒ ÑÝ ÙÒØÓØ ÓÚØ ÖÚÓ ÙØÒ ÑÙÙØÒ ØØÓÐÓغ ØÝ ÚÐØ ÂÚ ÓÒ ØÙÓÒÙØ ÙØÓÑØØ Ò ÑÙ ØÒÐÐÒÒÒ ÖÓ ÒÖÙÙÒ ÝÑ ºµ ÓÐÑÓÒÒÒ ÚÐØÚÖØÒº ÌÑ ØÖÓØØ ØØ ÑÝ ÙÒØÓÐÐ ÚÓ Ø ÒÐÐ ÐÙÓÒØ ØÓÑØÙ ÖÓØÙ ØØ ÌÑ ÓÒ ÑÐÓ ÙÙØØ ÑÑ ÚÐØÐ ÙØÒ ÝÒÑÒÒ ÑÙ Ø ÓÐ ÓÐÑÓÒ Ú ØÙÙÐк ÆÒ ÔÐÙØÙ ÖÚÓ ÚÓ Ð º ÎÓÒ ÒÓ ØØ ÙÙÖ ÙÒØÓÒÐÒÒ ÓÐÑÓÒØ ÙØÓÑØØ Ò ÑÙ ØÒÐÐÒÒÒ ÝÝÐÐ ÝÝÒº Ó ÓØØ ÆØ ÚÓ ÒØ ØÓ ÐÐÒ ÔÖÑØÖÒ ½º ºµº ÆØ ÚÓ ÑÝ ØÓ ÐØÒ ÔÐÙØÙ ÖÚÓÒº ÂÚÒ ÙÙÒÒØØÐÓÐÐ ÓÐ ÝÚÐÐÒÒ ÄÁËȹØ٠غ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

15 ÓÒ ÓÙÓ ÓÒ ÔÓÐÑ ÓÒ ÝØØ ÐÙ ÙÓÖØØØÚÒº ÓÑÒÒÓØ = ÐÙ ÒÑ ÔÐÙ Ø Ø ÓÒ ÖÚÓÒ ÝØØ ÃÝØØ ÚÓ ÖÓØØ ÒÑÒØ ÙÓÖÒ ØÙÐÒ Ø ÐØ ÒØ ØÓ ØÓ Øµº ÓÑÒØÓÖÚÐÐ ÃÝØØ ÚÓ ÖÓØØ ÑÝ ÐÙ Ø ÓÒ ÖÚÓØ Ð ÚÐØØÑ Ø ÒÝÝ Ò ÒÑÒÒÒº ØÙÐ ÄØÓ Ò ÄÒÙܹÓÒ Ò ÓÒ ÒÒØØÙ ØÙÐ ÒØÖØÚµº À ÈØØÒ ÙÙÐÙÙ ÑÝ ÑѺ ÔÖÒØÒÒ ÒØ ÓÐÑ ÚÖØÒ ÓØ ÐÙØÒ ÐÑÒ ÐÐ À ÐØ ÑÝ ÝÚÒ ÑÓÒ ÙÖÚÒ À Ðг ÓØØÙ Ø ÐÒÒ٠غ ØÒÖÒ ÈØÒ ÓÙÑÒØØÓØ Ö ØÓØ º º º µ ÐÑ µ ÓØÓÒÐÐ ÐÒ ÚÖÓ ÚÙÐØ ÚÓ ½º À ½º º½¼ ÄÙ Ø ÓÑÒØÓÒ Ò ½º º½¼ ÄÙ Ø ÓÑÒØÓÒ Ò À ½º ÐÐ ÓÐÑÑ ÔÙÙÒØ Ò ÐÙ Ø ÜÔÖ ÓÒµ ÃÙÖ ÐÐ ÝØØÒ À ÐйØÓØÙØÙ Ø Ø Ð ÓÛ ÒÒ ÖÚÓ Ø ÚÐÙµº À ÐÐ ÓÑÔÐÖ Àµº ÌÐÔÖÙ Ø ÓÐÑÓÒØÐ ÓÒ ÒÒ Ð ÐÙ Ø ØØÑÒص ÑÖ ÂÚ ÑÝ ÜÔÖ ÓÒ ØÙк ÓÐÑ ÓÓ ØÙÙ ÔÓÑÑÐØÒ ØÐÐ Ø ÐÙ Ø À ØÓØÙØØ ÒÝÝ Ò ØÒÖÒ À ÐÐ º ÓØ ÓÚØ ÓÑÒØÓ ÖØÝ ØÐ Ø ØÓ Ò ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ÄÙ Ø ÓÑÒØÓÒ Ò ÙÒØÓÒÐÒÒ ÓÐÑ Ø ÓÓ ØÙÙ ÔÓÑÑÐØÒ À ½º º½¼ ½º ÒÑÒÒ Ø ½º º¾µ ÐÙ Øغ ÙÒØÓÒÐ Ø ÐØ ÓÚÐØÙÚØÒ ÝÚÒ ÒØÖØÚ Ò ÝØØÒ ØØÔ»»ÛÛÛº ÐкÓÖº ÃÐÒ ØÓØÙØÙ ÓÒÒ ØÙÐ Òغ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

16 ÚØ ÙÙÐÙ ÐÒ Ò ÓÚØ ÊÚÒÙÑÖÓØ ÚÒÒÓÐÐ ÙÙÒ ÚÙÓ ºµ ÓÓÐ ØÙ ÑÑ º º º ØÙÚØ ÔÒÐÐ Ø ÙÙÖÐÐ ÖÑÐÐ ØØÓÑÖÐÐ ³º ÒÙÑÖÓÐÐ ËÚÙÙØØÒ ÖÓ ÒÒØ ÓÒ ÒÓÐÐ ÑÝ ÙØÒ ³+³ ÓÚØ ÑÙÙØØÙÒ ÒѺ ÓÔÖØØÓÖØ Ó ØÖÚØ ØØÓ ÙÒØÓÒ ÓÐÑÓÐÐ ØÙÐÓ Ò ØÝÝÔ Øº ÔÖÑØÖÒ Ó ÐÑÓØØ ÚÖÒ Ó Ò ÔØØÐÑ ÒØÐÐ ÓÐÑÓÒ ÖÓØØÑ ØÝÝÔÔ ÔÓÚغ ¾º½ ÅÙÙØØÙÒ ØØÐÝ ØÝÝÔØÝ ¾ À ÐйÐÒ ÝÒ ¾ À ÐйÐÒ ÝÒ ÅÙÙØØÙÒ ØØÐÝ ØÝÝÔØÝ ¾º½ ÐÓØØÒ À ÐйÐÒ ØÙØÙ ØÙÑÒÒ Ò ÑÖÓÐÑÑÑ ¾µ ÖÚÒ ½ ÓÒ ÔÖÙ ÐÙ Ø ¹ØÝÝÔ Øº ÑÙÙØØÙÒ ÒÑ Ò ØÝÝÔÔº ÅÝÑÑÒ Ø Ö ØØÒ Ð ÔÖØÐÐ ÅÙÙØØÙÒ ÒÑØ ÐÚØ ÔÒÐÐ ÖÑÐк º º ÝØØÒ ÑÖØØÐÑÐÐ ÙÙ ÐÐ ØÝÝÔÐÐ º µ ØÝÝÔÔÒ ÚÐ ÐÐ ÙÙÐ ÙÙ ÙØÐÐ ºµ ÝØØÐÐ ØÙÐÓ ØÙ ÐÐ µ ÌÝÝÔÔÒ ÒÑØ ÐÚØ ËÍÍÊÄÄ ÖÑÐк ÑÓÙÙÐÐÐ µº ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ Ò ÑÑÒÒ À Ðй ÑÖÓÐÑÑÑ ÓÐÓÓÒ À ÐÐ ÓÒ ÚÚ Ø ØÝÝÔØØØÝ Ð Ð Ó ÐÐ Ò ¾º½ ÅÙÙØØÙÒ ØØÐÝ ØÝÝÔØÝ À ÐйÐÒ ÝÒ ¾ ÒÓÔÙØØØÙ ÔÓØÒ ÒÓÖÓØÙ ½º µ ÖÚÓÐÐ ½ ÔÓÛ ÁÒØÖ ÁÒØÖµ ¹ ÁÒØÖ ÑÙÙØØÙÐÐ Ó ÒÑ ÖÚÓÒ ¾ ÔÓÛ ¼µ ½ ÓÒ ÒØ ØÝÝÔÔº ÔÓÛ Ü Òµ Ó Ò À ÐÐ ÔØØÐ ØÝÝÔØ Ø ÓØÒ ØØ ÖÚ ØÖÚغ Ü ÔÓÛ Ü Ò¹½µ ÚÒ Ò ÔÓÛ Ü Ü Ú Ò ¾µ Æ ÙØÒÒ ÒØÚØ ÒÓÖÑØÓØ ÄØÒ ÐÚØØÑÒ Ø Ó Ó Ðغ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

17 ÓÒ ØÝÝÔÔ ÔÖ ÔÖµ ÓÒ ÑÓÐÑÑØ ÔÖÑØÖ ÓÚØ ÚÙÓÖÓ ØÒ ØÝÝÔÔ ÁÒØÖ ¾º½ºµº Ó Ø ÔÐØÒ Ò ÑØ Ó Ø ÅÝÑÑÒ ÙÒØÓ ÓÒ ¾º¾ºµº ÑÓÒÔÖÑØÖÒÒ ÈÖÙ ÓÒ ÓÚØØ ÔÖÑØÖÒ ØÙ Ø Ó ÓÔ ÒÒ ÐÐÓÒ ÓÐÑ ØÒ ÑÓÓÒ ÌÑ ÑÓÒ ÓÚØÙ ÔØØÖÒ ÑØÒµ ÓÒ ÓÖÑÐ ÑÑÐÐ ÒØÙØÓÐÐÑÑ ÓÖÚ ØÑÒ Ú ØÒ ÃÝÒ Ø Ò Ò ÐÔ ÑÓÒ ÝÐ ÔÖØØ ÒØ ØÝÝÔÔÓØ ÐÐ Ð ÔÖØÐÐ Ö ØÝÒÒØÒ ¾ ¼µ Ó ÓÔ Ò ÐÐ Ò ÔÖÒ ÖÚÒ ÐÑÑ Ò Ó Ò ÓÒ ÓÓÒ ÐÙÙ 0º ÓÒ ÌÑ ÓÒ ÐÝÝØ ÐÖØÚÒÒ ØÔ ÐÑ Ø ØÓÐÐ ØÑ Ö ÓÒ ØÖÓØØØÙº ÑÐÐ ÐÐ ÀÑÓÒ ÐÚÚ ³³ ØÖÓØØ Ò ÒÝØ ÚÐØ ÑØ Ø Ó ÓÒº Ø ÆØ Ó ÐÐ ÒÒØØÙ ÒÑ ÚÓ ØØÒ ÝØØ ÑÓÒ Ö Ð ÖÚÐÐ º ØÑÒ ¾º½º½ ÀÑÓØ ÑÖÖÚÑÑ ½ ÐÑÓØØ ØØ ÑÙÙØØÙÒ ÒÑÐØ ÖÚÓ ÓÒ ÙÒØÓ Ó ØÝÝÔÔ ÓÒ ÑÙÓØÓ ÔÓÛ ÅÙÙØØÙÒ ØØÐÝ ØÝÝÔØÝ ¾º½ ÔÖÑØÖÒ ØÝÝÔÔ ¹ ØÙÐÓ Ò ØÝÝÔÔº ÖÙÖ ÓÙØ Ù ØÙÓÒ ÑÙÓØÓ ÐÐ ØÙÐÓ ÐÐ ÑÙÓØÓÒÒ ½º ºµº Ñ ØÙÐÓ ÓÒ ÓÓÒ ÐÙÙØÝÝÔÔ ÁÒØÖ ¾º½º¾µº ÙÒØÓÐÐÑÑ ÔÓÛ ÓÐÒ ¾ ÔÖÑØÖ ÚÒ ØÝÝÔÔ ØÖ ØÐÐ ÑѺ ½ ÔÖÑØÖ Ó ÓÒÒ ¾ Ó º ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ÀÑÓØ ÑÖÓÐÑÑÑ ¾µ ÑÓØ ÓÚØ ÀÑÓØ ¾º½º½ ¾º½º½ ÀÑÓØ ¾º½º½ ÀÑÓØ ÔØØÖÒ µ ÓÚØ ÒÒ ÓÐÑÓÒØÚÐÒ ÑÓÖÒ ÙÒØÓÒÐ Ð º ÖÚÒ Ü Òµ Ó ÓÔ Ò ÔÖÒº ÑÓÒ ÑÙ Ò ÖÒº º º º º º Ð ÑÓ Ú ØÚÒ ÑÖÒ ³³ Ð Ò ËÑÐÐ ÒÑ ÔÖÒ Ò ÑÑ Ò Ó Ò Ü ØÓ Ò Òº ÒÑÐÐ ÐÙ Òº ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

18 ËÑ ÑÙÙØØÙ ÒØÝ ÑÓ ÚÒ ÖÖÒº ÑÓ Ý Ýµ ÓÒ ÐØÓÒ ØÓ Ò ÔÖØ ÓÒ Ë Ó Ø ÓÚØ ÑØ ÓÒ ÐÑ ØÚ ÑÙÙÐÐ ÑÓÐÑÑØ ØÚÐк ÐÚÚ ÚÓ ÐØ ØÓ ØÙ µ ÓÒ ÐÐÐÒÒ ÑÓ ÓÐÑÓÐÐ ÓÒ ÑÑÒÒ ÓÑÔÓÒÒØØ ÒÐÐ ÖÚÒ Ó Ò ÖÚÒ ÚÒ Ò ÓØ ÙÙÐÙÚØ Ó Ò ÚÓÖ ØÓÓÒ ÈÖÐÙ ¾º½º½ ÀÑÓØ ¾º½º½ ÀÑÓØ ÑÖÓÐÑÑÑ ÚØ ÓÚØ ÀÑÓÒ ÓÚØÙ ÓÒ ÔÙØÒ ÝÒØØÒÒ ØÓÑØÙ ÓØ ØÙØÚØ ÓÒÓ ÓÓÒ ÐÙÙ n ÔÖØÓÒ Ø ÔÖÐÐÒÒº ÆÑ ÔÙÙÒØÓØ Ó ÚÒ ÓÚØ ØÚÐÐ À ÐйÙÒØÓØ ÓÒ ÓÓÒ ÐÙÙ 5º Ó ÐØÒ ÙØÓÑØØ Ø ØÙÐÒ ÝÒÒ ØÝ º ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ÌÐÐ ØÒ ÑÒØØ ØÒ Ð ØÓÒ ÐÑ Ñ Ò ÓÒ ÑÓÚØ ÔØØÖÒ ÙÖ µ À ÐйРÅÓÐÑÑØ ÑÖÓÐÑÑÑ ÚØ ÐØØÝÚØ ÀÑÓØ ¾º½º½ ¾º½º½ ÀÑÓØ ÑÒ ÖÚÒ ÑÓÓÒ Ü Òµº ÑÓ Ò ÚØ Ò Ö ËÐÐÓÒ ÖÚ ØÖÓØØ ÝØ ÖÚ ÐÐÓÒ Ó ÓÒ ØÓØÙÙ ÖÚÓØÝÝÔÔÒÒ ÐÙ º ÀÑÓÚÒ ÑÖÒ ÓÐÚÒ ÔÝ ØÝÚÚÒ ³³ ÚÓ ÙÒ Ø ÓÔ ÖÚÒ ÑÓÓÒ Ð Ò ØÓÒÒ Ó Ò ÓÒ ÔÖØÓÒ ÀÑÓÒ Ý Ýµ ÚÓ ÖÓØØ ÐÐÐ Ø Î ØÚ Ø ÖÚ ØÖÓØØ ÝØ ÖÚ ÐÐÓÒ ÐÙ ÙÒ ½º µº ÙÒ Ø ÓÔ ÖÚÒ ÑÓÓÒ Ý Ý³µ Ý Ý³ Ð Ò ØÓÒÒ Ó Ò ÓÒ ÔÖÐÐÒÒ Ñ ÓÒ À ÐйÐÒ ÑÙÙ ÚÖØÐÙº ½º º½µº ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¼ ¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

19 ÂÓ Ù ÐÙÑÑ ÒÑØ ÑÐÐ ÖØ ÑÓÓÒ Ø Ø Ó ØØ ÓÓ ØÒº ËÐÐÓÒ ÓÔÚ Ø ÝØØÒ ¹ÑÓ ÒÑ ÓÔÚÒ ÓÐÑÓÒ ÓÐÑÒÒÒ Ó Ò ÒÑÐÐ Õ ÑÙØØ ØÖ ØØÒ Ú Ø ÙÒ Ò ØÓ Ø Ó ¾º ØÖÚØÒ ÓÐÐÓÒ ÚÖ ÐÙÙ ÙØÒ 101µ ÓØÒ º ÚÖ Òº ÓÒ Ò ÓÓÒ ÐÙÙØÝÝÔÔ ÁÒØ ÓÐÐ ÓÒ ÃÓÒÓØÒÒ ØÓØÙØÙ ÓØÒÒ ÖÚÓÐÙ ÑÖ ÖÐÐÒÒ ¾º½º½ ÀÑÓØ ¾º½º½ ÀÑÓØ À ÐйРÒØ ÓÐÐÒ ÒÒ À ÐйРÓÒ ÑÝ ÚÚ ØØØÝ ÑÓ ÖÓØÙ Ö ØÝ º ÑÖ ÑÓ ½¼¼ µ ÓÔ Ò ÔÖÒ ½º Ò ÑÑÒÒ Ó ÓÒ ÓÓÒ ÐÙÙ 100 ÓÒ ÁÒØÙØÚ Ø ÓÐÑÑÑ ÓÓ ØÙÙ ÒÒ Ø ÖÚØ ¾ ØØÐ ØÔÙ Ò ÓÖÓØ ÔÓØÒ Ò 0 ØÔÙ Ò ÓÖÓØ ÔÖØØÓÑÒ ÔÓØÒ Ò ÖÚØ n 0 ØÔÙ Ò ÓÖÓØ ÔÖÐÐ Ò ÔÓØÒ Ò ÖÚØ n 0º ËØ ØÖÚØÒ ÖÚÓÒ ÝÐÒ ÚÒ Ó Ò ÖØÝ ØÐÒØ º¾µº ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ÆÙÑÖ Ø ØÝÝÔØ ÀÑÓØ ¾º½º¾ ¾º½º½ ¾º½º¾ ÆÙÑÖ Ø ØÝÝÔØ Ô ½¼ Õµ ÓÔ Ò ÓÐÑÓÒ ÓÒ Ò ÑÑÒÒ Ó ÓÒ 10 ÓÓÒ ÐÙÙ ¾ ØØ Ð À ÆÐÐ ÓÔÖÓÒØ ÓÒ ØÓ Ø ÑÙØØ ÖÚÓÐÙÒ ÝÐØØÝ ÐÙÚÙØ ÔÝÖØÚØ ÒÑ ÓÓ ÓÔÚÒ ÓÐÑÓÒ ÒÑÐÐ Ôº ÝÑÔÖ ÙØÓÒ ÑØÑØØÖÒ ØÚÓÒº ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

20 ÓÓÒ ÐÙÙØÝÝÔÔ ÁÒØÖ ÓÐÐ ÓÒ ØÓ ÅØÑØØÒÒ ÖÚÓÐÙ ÖØÒ ¾µ ÝØÑÑ ÑÖÓÐÑ ÑÑ ÖÚÒ ¾ ÑÓ ¼µº ÁÒØÖ¹ÚÓØ ±ÑÒØ 10 ÔÓÒÒØØ Á¹ÓÙÐÒ ÔØ ÓÐÐ ÚÒØÒ ÒÒ ÁØ ÑÖ ÁÒØйÔÖÓ ÓÖ Ò ÑÒØ ØÖ ÓÔÖØÓØ ÙØÒ ÝØÒ¹ ÚÒÒÝ ¹ ÖØÑØØ ÖØÓÐ Ù ÙØÒ ÑÙÙ Ò ÚÖØÐÙÓÔÖØØÓÖØ» º Ú ØÓØ ÖÓØØÒ ØÙØØÙÙÒ ØÔÒ ÓÔÖØØÓÖ ÆÑ ÚÐÒº ÖÙÑÒØØÒ ¾º½º¾ ÆÙÑÖ Ø ØÝÝÔØ ¾º½º¾ ÆÙÑÖ Ø ØÝÝÔØ..., 2, 1,0,1,2,... ÄÙÙÐÙÚÙØ ÓÚØ Á ¹ ØÒÖÒ ÑÙ Ø ÆÐÐ ÓÔÖÓÒØ ÓÒ ÐÚ Ø ØÑÔ Ñ ÑÙØØ ÔÝÖ ÝÑÔÖ ÒÑ ÑÒØ Ò ÓÓ ÔÓÒÒØÒ ÚÐ ØÝÝÔÒ ¾ ØØ ¹½¾º º º ½¾ ÐÓØ ÓÙÐ ØØ ¹½¼¾½º º º ½¼¾ ÄÙÙÚÓØ ÚÓ ÝØØ ÑÓ ¾º½º½µº ÓÒ ¼ ØØ ÐÐÓÒ ÙÒ ÓÒ Ö ØÖ ºµ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ÆÙÑÖ Ø ØÝÝÔØ ¾º½º¾ ¾º½º¾ ÃÝØÑÑ ÓÐÑ ÑÑ ØÝÝÔÒ ÁÒØÖ ÙÖÚ ÃÓÓÒ ¹ ÐÙÙÐÙÙØÝÝÔÐÐ ÓÒ ÑÒÐ ÙÒ ÑÙ Ò ÓÐÑÓÒØÐ ÓÔÖØÓØ ÆÙÑÖ Ø ØÝÝÔØ ÓÔÖØÓØ ÖØÓÐ Ù ÖÚÐÐ ÚÒÒÝ Ð Ù ¹ ÖÚÐÐ ÓÐ Ù Ú ÖÚÐÐ À ÐйРÓÐ ÙØÓÑØØ ÑÙÙÒÒÓ ÚÖØÐÙ ÚÓÓÒ ¼ ÑÔÐ ØØ Ø ÖÚÒ ¾ ÑÓ ÔÖØØÓÑÙÙ Ø Ø Ó ÖÚÒ Ú ÐÙÙØÝÝÔÔÒ ÚÐÐк ËÒ Ò ÈÖÐÙ ØÖÓ ÙÖÚØ ÔÙÙÒØÓغ ÔÖÐÐ ÙÙ Ø Ø ÚÒ ÖÚÒ Ú º ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

21 ÓÒ ÑÙÙÒÒÓ ÙÑÑ Ø ØÒ ÖÓÑÁÒØÖÐ ÑÒ ØÒ ÓÓÒ ¹ Ø ÓÓÒ ÐÙÙØÝÝÔ Ø Ð ÔÓ ÑÐÓ Ò ÙÑÑÒ ØÒ ØÖÙÒØ ÐÙÙÐÙÚÙ Ø ÔÐÙØØ ÓÓÒ Ó Ò ØÝÝÔÔ Ø Ð... ÓÒ ÙØÒ ØÖÙÒØ ÑÙØØ ÔÐÙØØ ÐÐ Ò ÐÓÓÖ ÝØ ÙÙÖÒ ÓÓÒ ÐÙÚÙÒº ÓÖÒØÒ Ð... ÓÒ ÙØÒ ØÖÙÒØ ÑÙØØ ÔÐÙØØ ÐÒ ÚÒØÒ ÝØ ÙÙÖÒ ÓÓÒ ÐÙÚÙÒº ÙÖÚÒ À ÐйÐÒ Ð ÙÓÖØÙ ÑÒ Ñ ½º ºµ Ó ØØ Ò Ó ÚØ ÓÑÒ ÙÓÖØÙ Ò Ø ÚÐØØ ÙÑÔ ÖÓ Ø ÓÚÐØÙÙ ÑÖ p ²² q ÚÒÒØÒ ÚÒ Ò ÑÑÒÒ ÐÙ ÐÐ ÑÓÒ ¾º½º½µ ÚÙÓ ÐÐ ÖÓØØÒ ÑÙØØ ÙÒ ÑÙ Ð º ÖÚÑÑÒ ÆÑ ÓÔÖØØÓÖØÒ ÓÒ ÑÖØÐØÝ ØÚÐÐ Ò ¾º½º ÌÓØÙÙ ÖÚÓØ ¾º½º¾ ÆÙÑÖ Ø ØÝÝÔØ ÙÒØÓÒ ÐÙÙÐÙÙØÝÝÔÔÒº ÌÖÙ ²² Ü Ü Ð ²² Ð ÌÖÙ ÌÖÙ Ð Ü Ü ÙÑÑ ØÒ ÓÓÒ ÐÙÙØÝÝÔ º ÖÓÙÒ ÓÒ ÙØÒ ØÖÙÒØ ÑÙØØ ÔÝÖ ØÒ ÐÑÔÒº p ÐÑÑ Ø ÐÐÙ ØØ q ØÖÚØÒ Ú Ø ÐÐÙ p ÓÒ ÌÖÙº Ó ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ÌÓØÙÙ ÖÚÓØ ÌÓØÙÙ ÖÚÓØ ¾º½º ¾º½º ÌÓØÙÙ ÖÚÓØ ¾º½º À ÐйÐÒ ØÓØÙÙ ÖÚÓØÝÝÔÒ ÒÑ ÓÒ ÓÓк ËÒ ÚÓØ ÓÚØ Ð ÌÖÙº ÃÐ ÓÒ ÑÝ ØÙØØÙ ØÓÐÙ c t ØÒ f Ð Æ ÐÚØ ËÍÍÊÄÄ ÖÑÐк ÆØÒ ÝØØ ÑÓ ¾º½º½µº ÌÝÝÔÐÐ ÓÓÐ ÓÒ ØÙØÙØ ÓÔÖØØÓÖØ ²² ÔÙÙÒØÓ ÒÓغ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

22 ØÝÝÔÔ 1 ØÝÝÔÔ 2 ØÝÝÔÔ 3... ØÝÝÔÔ k µ Ö ØÝ iº ÒØ ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ ØÝÝÔÔ ÓÒ ØÝÝÔÔ i º ½º ÒØ ÓÒ ÁÒØ ¾º ÒØ ÓÒ ÓÓÐ ½º ÒØ ÓÒ ÁÒØÖ ÐÙ 1 ÐÙ 2 ÐÙ 3... ÐÙ k µ ÑÓ ÒØÓ ÒØØÒ ÖÚÓÐÐ ÒÑØ Ü Ò ÓÐÐ ÖÚÒ ÚÓØÒ ÚØØ ÖÚÐÐ º ÒÒ ÅÓÒÓØÝÝÔÔ Ò ÖÚÓÒ ØÙÓØØÚ ÐÙ ÖÓØØÒ ÅÓÒÓØ ¾º½º ¾º½º ÅÓÒÓØ ÅÓÒÓØ ¾º½º Ú ØÚ Ø À ÐйРÓÒ ÒÖÒÒØØÙÒ ÖÐ Ø ÑÓÒÓØ ØÙÔÐ µº ÅÓÒÓØÝÝÔÔ ÖÓØØÒ Ñ ÙÒ ÐÙ i ÓÒ Ú ØÚ ØÝÝÔÔ ØÝÝÔÔ i º ÅÓÒÓØÝÝÔÒ ÑÓØÒ ¾º½º½µ ÓÚØ Ñ ÑÙÓØÓ ÑÓ 1 ÑÓ 2 ÑÓ 3... ÑÓ k µº ÐÑÓØØ ØØ ØÑÒ ØÝÝÔÒ ÖÚÓ ÓÒ k ÒÑØÒØ ÒØØ À ÐйÐÒ ÝÐ ÔÖØ ÓÒÒ ØØ ØØÝÒÐ Ò ØÙÓØØÚ ÐÙ ÐÐ Ø ÖÚÓ ØÙØÚ ÑÓ ÖÚÓÒ ÖÓØØÒ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÑÐÐ ØÚÐк ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ÅÓÒÓØ ÌÑ ÓÒ Ò ÑÑÒÒ ÑÖ ØÝÝÔÔÓÒ ØÖÙØÓÖ Ø ÅÓÒÓØ ¾º½º ¾º½º ÓÒ ØÖÙØÓÖµ ÓÔÖØÓ Ø Ó ÖÒØ ØÝÔ ØÝÝÔÔÒ ØÝÝÔÔ ÒÒØØÙÒ i ÙÙÒ ØÝÝÔÒº ÔÓÐØ ÑÖ ÁÒØ ÓÓÐ ÁÒØÖ ÁÒصµ ÓÒ ÐÐ ØÒ ÑÖÓÐÑ ÑÑ ¾µ ¾ ÑÓ ÝØØÒÝØ Ò ÑÑ Ò ÒØÒ ÖÚÓ ÖÚÒ ÚØ ØØ ØÓ Ò ÔØ ÓÐÐ 0 ÑÙØØ ÑÓÒÓÒ ØÝÝÔÔ Ó ËÓÔÚÐÐ ÑÓÐÐ Ô ØÒ ØØÒ ÑÓÒÓÒ º ÒØ ÓÒ ØÓÒÒ ¾¹ÒØØÒÒ ÑÓÒÓ ÓÒ ÒÑØØÑÒ ÒØØÒº ¾º ÒØ ÓÒ ÁÒغ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

23 ÓÓÒ ÐÙÚÙÒ n ÓÓÒ ÐÙÚÙÐÐ m Ó ÖÚÓÒÒ ÔÖÒ ÔÐÙØØ ÒØØ Ò ÓÔÓÑÐÐ ÝØØÒ Ò ÑÑÒÒ ¾º Õ Ð Ó ÑÖº ÒØØ ÌÝÝÔÔ ÑÓ Ø ÐÙ ÑÙÓØÓ αµ ØÙÐØÒ ØÝÝÔ ÑÓ Ø ÐÙ ÙÒ αº Ñ ËØÒ ØÝÝÔ ÑÓ ÐÙ ÚÔ Ø Ö ÙÐÙ... µ ÐÚÒØÑÒ ÝØØ ÅÝ ÙÒØÓÒ ØÙÐÓ ØÝÝÔÔÒ ÚÓ ÓÐÐ ÑÓÒÓº À ÐйРÓÒ ÑÝ ÑÓÒÓ ÐÑÒ ÝØÒ ÒØØ ¾º½º ÅÓÒÓØ ¾º½º ÅÓÒÓØ Ð ØÔÙ k = 0µº ÝØØÒ ÙÒ ÙÒØÓÒ ÔØ ÒØ ÑÓÒÓ ÒÒ ÌØ ØÙÐÓ º ËÒ ØÝÝÔÔ ÒÓ ÑÓ ÒÓ ÐÙ ÖÓØØÒ ÑÐÐ ØÚÐÐ µº ÑÖ ÚÓÖ ØÓ ÈÖÐÙ ØÖÓ ÙÒØÓÒ ÕÙÓØÊÑ n m ½¹ÒØØ Ø ÑÓÒÓ Ð ØÔÙ Ø k = 1µ ÔÙÓÐ ØÒ ÓÐ Ó ÑÖ ÓÒÒ µº ÒÒ ÖÒÒØغ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾º¾ ÙÒØÓØ ÅÓÒÓØ ¾º½º ÃÖÓØØÒ ÙÒØÓ Ó ÔÐÓØØÐ ÑÒ Ò ÚÑ Ò ØØÒ Ø ÐØÚÒ ÓÓÒ ÐÙÚÙÒ ÙÒØÓØ ¾º¾ ØØÒ ÑÙÓÓ ØÑÒ ÓÓÒ ÐÙÙÙÒ ½ Ð ØØ ÁÒØ ¹ ÓÓÐ ÁÒص À ÐйРÓÒ ØÝÝÔÔÓÒ ØÖÙØÓÖ ¾º½ºµ ¾ Ð ØØ Ò Ð Øس ÕÙÓØÊÑ Ò ¾µ Ð Øس Õ Öµ ÔÖÑØÖÒ ØÝÝÔÔ ¹ ÖÚÓÒ ØÝÝÔÔ Ö½ Õµ ÔÙÙÒØÓ Ð Øس ÔÐÙØØ ÖÚÓÒÒ ÔÖÒ ÓÒ Ó ÓÒ ØÖÙÓ Ý Ò ÙÒØÓØÝÝÔÒº ÒØØ Ò Ø ØÑÐÐ ÓÒÓ ÝØØÒ ØÓÒÒ ½º Ð ÓÒÒ Ö ÝØ ÙÒ 1 ÒØØ ÙÒØÓÒÒ ØÓØØÒ ½º ºµ ÓÐÚÒ ØÝ ÚÐØ ÓØÒ ÒÐÐÒ ÖÚÓÐÐ ÔØ ÓÐÐ ØÝÝÔÔ ÓÒÒ ÖÚÓ À ÐÐ ÚÚ Ø ØÝÝÔØØØÝ Ðº ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¼ ¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

24 ÙÒØÓÒ ÑÖØØÐÝ ¾º¾º½µ ÓÒÒ Ý Ò ÚÓÖÚÓÒ ÒÑÑ Øº ÙÒØÓØÝÝÔÔ Ò ÚÓÒ ÔÝ ÝÝ ÙÒØÓÒ Ð ÒÒ ÝØØØÚ ÐÙ f g ÓÒ ÑÓØÓÒØ ÓÐ ËÑÙÙ ÚÖØÐÙ ÖØÚº ÐÓÖØÑ Ø ÅÙÙØØÙÒ ÒÑØ Ö ØÝÝÔÔÒ ÚÓØ ÓÚØ Ð٠غ ÔÒÑÔ ÅÓÒÓÖÚÓÒ Ð Ú ÐÙ ¾º½ºµ ÓÒ ÑÙØÑÑ Ø Ð٠غ ÑÖ ÌØ ÒÙØÚ Ø ÑÖØÐÑ ÐÒÒØÒ Ø ÙÒ ÔÖÝÑÑ À ÐйÐÒ ÝÚÑÑÒº ÑÙ ËØØÒ ØÙÐ ÔÖÒ Ý Ø Ù ÑÔ Òغ ¾º ÒØ ÓÒ ÑÙÓØÓ ÃÙÒ ØÙÐÓ ÓÒ Ñ ØÒ ÐÙ ÓÒ ØÝÝÔÔ ÓÒ Ò µ ÖÚÓÒº ÙÒ ¾º¾º½ ÙÒØÓÒ ÑÖØØÐÝ ¾º¾ ÙÒØÓØ ÅÖØØÐÝ ÝØØÒ ÓÖÑÐ ÓØÚ ØØØ ÐÙ ÔÖÑØÖÒ Ö ÖÚÓÐÐ Ò Ö ØÙÐÓ ÖÚÓº ÙÒØÓØÝÝÔÐÐ ÓÒ ÙØÒÒ ÓØÒ ÖÓØÙ Ó Ò ÑÓÒ ÓÚØÙ ÐÐ ¾º½º½µ ÈÙÖÑÒÒ ÑÙÙ ÚÖØÐÙÒº ÚØ Ò Ò ÚÓ ØÙÐÐ ÚÔØÓÒÒ ØØÐÝ ÑÙÓØÓ ½º ÔÖÑØÖÒ ØÝÝÔÔ ¹ ÖÚÓÒ ØÝÝÔÔ f ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ÙÒØÓÒ ÑÖØØÐÝ ÙÒØÓÒ ÑÖØØÐÝ ¾º¾º½ ¾º¾º½ f ÑÓ ÖØ ¾º¾º½ ÙÒØÓÒ ÑÖØØÐÝ ÆÝØ ØÐÐÒ À ÐйÙÒØÓÒ ÒÑÐØ f µ ÑÓÒ ¾º½º½µ ÔÖÑØÖÒ ØÝÝÔÔ ÓÚØ ÑØ µ ÓÒÒ Ö ÓÒ ÑÙÓØÓ ÑÖØØÐÝ ÝÒØ º pow¹ ÑÖÑÑ ½º µ ÐØ Ø ÚØ ØÙÐÓ ÙÚØØÚØ ÔÖØغ ËÝÒØ ØÝÒÒØÒ ÑÝÑÑÒ ÔÒÐÐ Ð Ý ÐÐ ¾º¾ºµº ÚØ ÓÒ Ñ ØÒ ÐÙ ØÝÝÔÔ ÓÓÐ µ ¾º½º µ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

25 Ì ÖÓ ØÔÙ ÒØ ÚÓÒ ÖÓØØ ÙÓÖÒ ÆÝØ ÑÓ ÔÓ Ó ÓÐ ÔÖÑØÖ ÓØ ÓÚØغ ËÑÓÒ ÚØ ÔÓ Ó ÓÐ ÑÓ ÓÒ ØÙغ ÑÒØ ÂÐÐÐ ÒÑØÝÒ ÚÓÖÚÓÒ g ÑÖØÐѺ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÐÙ ÙÒØÓ ÐÙ ÖÙÑÒØØ ÐÙ ÖÙÑÒØØ ÓÒ ÐÙ ÓÒ ØÝÝÔÔ ÓÒ Ñ ÔÖÑØÖÒ ÙÒ Ë ÙÒØÓÒ ÙØ Ù ÖÙÑÒØÐÐ g ÐÑ ØÒ a Ò ÔÖÒ ÚÐ Øݵ ÖÓØØÑÐÐ À ÐйÓÐÑ ÚÓÒ Ð ÑØ ÙÒØÓØ Ó ÐÙØÒ ØÐÐ ÖØ ÙØ Ùº Ø ÌØ ÑÓÐÐ ÙÙØØ ÝÝÒÒØÒ ÑÖ ÖØÐÙÚÙÒ ÙÒØÓ ½º ºµ Ó ÓÖÑÑÒ ¾º¾º¾ ÙÒØÓÒÙØ Ù ËÒØ ÚÓ ÑÝ ÓÓ ØÙ ÚÒ Ý Ø Ö Ø ÓÐÐ ÙÒØÓÒ ÑÖØØÐÝ ¾º¾º½ ¾º¾º¾ ÙÒØÓÒÙØ Ù ÓÐ Úغ À ÐйРÙÒØÓÒÙØ Ù ÓÒ ÐÙ f ÑÓ ØÙÐÓ Ó Ë ÓÒ ÐÝÒÒÝ ÑÖÒØ Ò ØÓÐÐ ÚÐÐ ÑÓ f ÐÙ ÙÒØÓ ÓÒ ÐÙ ÓÒ ØÝÝÔÔ ÓÒ ÔÖÑØÖÒ ØÝÝÔÔ ¹ ÖÚÓÒ ØÝÝÔÔ ÌÖÙ ØÙÐÓ ÓÓ ÐÙ Ò ØÝÝÔÔ ÓÒ Ñ ÙÒ ÖÚÓÒº ÑÖÑÑ Ò ÑÑÒÒ ÒØ ÓÐ ØÐÐÒÒº ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ÙÒØÓÒ ÑÖØØÐÝ ÌÑÒ ÖÓ ØÔÙ Ò ÖÓ ØÔÙ ÓÒ ÙÒØÓ g ÙÒØÓÒÙØ Ù ¾º¾º½ ¾º¾º¾ ÓÐÐ ÓÐ ÔÖÑØÖº ÎÔØÓÒÒ ØØÐÝ ÙØ ØÙÙ ÑÙÓØÓÓÒ ÖÚÓÒ ØÝÝÔÔ g g a ÒÓ ÒØ ÙØ ØÙÙ ÑÙÓØÓÓÒ g ÃÙØ ÙØØÚÒ ÙÒØÓÒ g ÖÓÓÐ ÚÓ ÓÐÐ ÐÙ º ØÙÐÓ ÙØ ÙØÒ ÔÖÑØÖÒ ØÙ ÙÒØÓغ ½¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

26 ÃÙØ ÙÒ ÚÒØÑÒÒ ÐÓØØÒ ÚÒØÑÐÐ ÐÙ ÙÒØÓ ÐÓÔÔÙÙÒ ÒÒ ÐÚ ÙØ ÙØØÚ Ì À ÐÐ ÔÓ ÐÚ Ø Ù ÑÑ Ø ÑÙ Ø ÓÐÑÓÒØРغ ÌÑ ÓÒÒ ÒÒ Ó Ò Ð ÙÓÖØÙ ÑÒ Ñº ÃÙÒ ÑÝÑÑÒ ÐÒÒÑÑ ÐØÑÑ ÙÙ ÐÐ ØÝÝÔÔÓÒ ØÖÙØÓÖÐÐ ÒÒ ÑÐÐ ØÝÝÔÐÐ ÒØ ÑÓ ÓÚØÙ ÒØ ÐÒÒÑÑ Ú ØÚ Øº ÑÒØ ÖÙÑÒØØ ÐÐ ÑÙÓØØÚ ÐÙ ÓØÒ ØÖÚØ ÐØØ ÚØÓ ÑÙ ØÔÓ x Ö ÒØÝÑØ Ø ÑÒ Ú Ö ÓÔÓÒº ÑÙÙØØÙÒ ¾º¾º¾ ÙÒØÓÒÙØ Ù ÙÒØÓÙØ ÙÒ ÑÒØ ÓÒ À ÐйÐÒ ¾º¾º¾ ÙÒØÓÒÙØ Ù ÇÒ ÖÒ ÚÐÒÒ ÔÖÙ Ý ÝÑÝ ÓÒ ËÓÔÚØÓ ÙÓÖØÙ ÑÒ ÑÒ ÒÒ Ó º ÑÓ 1 ÐÙ ÖÙÑÒØØ ØÓ Ò ÅÖØÐÐÒ ÓÚØÙ ÒÒØ ÓÐÐ ØÑ Ý ÝÑÝ ÙÒØÓ f ÓØ ÒÝØ ÙØ ÙØÒº ÃÙØ ÙÒ ÖÙÑÒØØÒ ÐÙ ÖÙÑÒØØ ÚÐ Ó Ø Öغ Ú Ø ÙÒ»Ó ÓÒ ÔÓ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½¼½ ÙÒØÓÒÙØ Ù ¾º¾º¾ ÐÓØØÒ ÙØ ÙØØÚÒ ÙÒØÓÒ f Ò ÑÑ Ø ÙÒØÓÒÙØ Ù ¾º¾º¾ ÂÓ ÑÓ ½º 1 ÑÙÙØØÙÒ ÒÑ x ÒÒ ØØÒÒ ÓÔ ÓÒ ÃÓÖÚØÒ ÑÙÙØØÙÒ ÓÒÒ ÒØÝÑ Ø x ÒÒ Øº Ë ÓÒ ÑÙÓØÓ f ÑÓ 1 ÚØ 1 ØÙÐÓ 1 ÚØ 2 ØÙÐÓ 2 Ò ÖÚÓÐÐ ÐÙ ÖÙÑÒØØ ÄÒÞÒ ÐÒ ÒÒ ½º µ Ò º Ì ÓÐÑÓÒØÐÒ ÔÙØÙ Ý ÒÖØ Ø Ò ÚØ 3 ØÙÐÓ 3 º ÚØ m ØÙÐÓ m ÌÓØÙØÙ Ø ÓÐÐ Ò ÚØ ÑÒ ÓÔÓÒ º½µº ÅÙ Ø Ö ÓÒ ÒÒ Ý ØÙÐÓ ÐÐ Úغ ¾º ÂÓ ÑÓ 1 ÓÒ ÐÚÚ ³³ ÒÒ ØÖÚØ ÓÖÚغ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½¼¾ ½¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼

27 ÂÓ ÑÓ º 1 ÓÒ ÚÓ c ÒÒ ÐÙ ÖÙÑÒØØ ÓÒ ÓÒ ÒÐÐ ÑÓÐÐ ÚÒÒÝ ÒÒÐÐ ÓØØ ÚÒÒØØÚ ÐÙ 1 ÐÙ 2 ÐÙ 3... ÐÙ k µ ÂÓ ÑÓ 1 ÐÙ ÖÙÑÒØØ ÚØ ÓÚ ÝØÒ ÒÒ ÖÖÝØÒ ÙÒØÓÒ f ÙÖÚÒ ÚÒÒÝ ÔÓÒÒ ØÙÒÒ ÑÓÒ ÓÚØÙ Ò Ò ØÝØ ÙÒÓØÙÚØ ÒÒ ØØÒ ÚÒ ØÒ ÓÖÚÙ Ø ÆÒ ÑÓÒ ÑÙÙØØÙÒ ÒÝÚÝÝ ÐÙ ÓÒ Ý ÒÒ Òغ Ø ÑÐÐÒ ÌÓØÙØÙ Ø ÓÐÐ ÑÙ ØØÒ ÑÓÒ ÓÚØÙ Ò ÚÒÒÝ Ø º½µº ØÑØ ÂÓ ØÙÐÓ ÓÒ Ð ÒÒ ÖÖÝØÒ ÙÖÚÒ ¾º ¾ º º º Ó ÐÐÒÒ ÓÒ ÓÐÑ ÑÙÙØÒ ÖÒ ÂÓ ØÙÐÓ ÓÒ ÌÖÙ ÒÒ ÙØ ÙÒ ØÙÐÓ ÓÒ Ð ØØÙ º ÐÙ ØÙÐÓ 1 Ó ÔÐÙØØÒ ÚÒØÑØغ ÓÒ ÚÒÒÝ Ð ÓÐÑÒ ÙÓÖØÙ ÔØØÝÝ ÒÒ ÚÖ Ò ÓÒ Ò f ÓÐÒ ÑÖØÐØÝ ÖÙÑÒØØÒ ÙÒØÓØ ÖÙÑÒØØ ÖÚÓÐк ÐÙ ¾º¾º¾ ÙÒØÓÒÙØ Ù ¾º¾º¾ ÙÒØÓÒÙØ Ù ÂÓ ÑÓ 1 ÐÙ ÖÙÑÒØØ ÓÔÚØ ÝØÒ ÒÒ ØØÒ Ò ÑÑ Ò ÖÒ ÒÒ ÓÒÓ Ò ÐÓÔÙÐÐÒÒ ÖÚÓ cº ÚØ 1 ØÙÐÓ 1 º ÂÓ ÑÓ 1 ÓÒ ÑÓÒÓÑÓ ÑÓ 1 ÑÓ 2 ÑÓ 3... ÑÓ k µ ÚÒÒØÒ ÐÙ ÖÙÑÒØØ ÑÙÓØÓÓÒ ½º ËÚÒÒØÒ ÚØ 1 ÓÓÒÒº ÙÖÚÒ ÒØÒº ÓÒÒ ÐÙ i ÚÐ ÚÒØÑØØ ÑÙØØ ØØÒ ÓÚØØ ÓÒÒ ÑÓ i ÐÙ i ÒÐÐ ÖØØÒ ÑÓÐÐ ÓÚØÙ ÒÒÐк ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½¼ ½¼ ÙÒØÓÒÙØ Ù ÙÒØÓÒÙØ Ù ¾º¾º¾ ¾º¾º¾ ÂÓ ÙÒØÓÐÐ f ÓÐ ÙÖÚ ÒØ ÓÓÒ ÖØÝ ÒØÒ ¾ º º º ÓÔÑØØÓÑÒ ÒØÒº ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½¼ ½¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼