Mat-.108 Sovelletun matematkan erkostyö Spataalsen autokorrelaaton testaamnen Esa-Pekka Horttananen 41867M 18. syyskuuta 003
Ssältö 1 Johanto... Spataalnen autokorrelaato... 3.1 Mantel-test autokorrelaatolle... 3. Varogramm... 5.3 Krgng... 7 3 Spataalsen autokorrelaaton testaamnen... 9 3.1 Autokorrelaaton testaamnen Mantel-testllä... 9 3. Emprnen a teoreettnen varogramm... 10 4 Tulosten tarkastelu... 13 Läheluettelo... 14 1
1 Johanto Spataalnen tlastoanalyys on yks tlastoteteen ptkälle erkostunut osa-alue. Snä tutktaan muun muassa kappaleen sannn spataalsa rppuvuuksa, er tyyppsten kappaleen santen välstä korrelaatota ta onkn lmön spataalsta autokorrelaatota. Spataalnen autokorrelaato tarkottaa, että tosaan lähellä olevat alueet ovat mtatun lmön suhteen samankaltasempa kun kauempana satsevat Spataalsen tlastoanalyysn sovellusalueta ovat muun muassa terveyenhuolto, ympärstötaloustee a pakkatetoärestelmät. Sovelluksa ovat esmerkks terveyslmöen ta sosaalsten ongelmen alueellnen tutkmnen, lkeyrtysten markkna-alueen tutkmnen sekä spataalsest akautuneen lmöen aallnen vertalu. Spataalsta autokorrelaatota voaan käyttää hyväks esmerkks atkuvan lmön (korkeusmall, kasvllsuus, mertutkmukset) nterpolontn (krgng). (Vrrantaus 001) Tässä työssä estellään yks tapa testata (Mantel-test), tulkta (varogramm) a hyöyntää (krgng) spataalsta autokorrelaatota. Menetelmen esttely pohautuu Manlyn (001) kran estykseen. Työssä käy lm, että spataalsen autokorrelaaton testaamnen e ana suu ongelmtta.
Spataalnen autokorrelaato Spataalsen tlastoanalyysn yks sovellus on mtatun lmön spataalsen autokorrelaaton tutkmnen. Spataalnen autokorrelaato tarkottaa, että tosaan lähellä olevat alueet ovat onkn lmön suhteen samankaltasempa kun kauempana satsevat (Vrkkala ym. 000, s. 11). Nyqvstn (00, s. 17) mukaan monen spataalsten anestoen tapauksssa käytettävssä olevat muuttuat evät seltä vasteen akauman havattua maanteteellstä yhtenäsyyttä, ollon autokorrelaaton huomova spataalnen mall vo tuottaa parempa ennusteta, vakka toellsta autokorrelaatota e olskaan..1 Mantel-test autokorrelaatolle Kun otakn lmötä mtataan er pakossa, ollaan usen knnostuneta lmön spataalsen autokorrelaaton olemassaolosta. Spataalnen autokorrelaato on yleensä postvsta, el lähellä tosaan olevat mttaukset tuottavat samankaltasa havantoa. Spataalsta autokorrelaatota voaan tutka vertaamalla otan havantoeroen mttaa havantopakkoen etäsyyen mttaan. Yks tapa testata autokorrelaaton merktsevyyttä on käyttää Manteln satunnastamstestä. (Manly 001, s. 9-30) Oletetaan, että havantopakkoa x on n kappaletta. Olkoon kahen havantopakan x a x välsen etäsyyen mtta,. havantopakkaparen etäsyyet saaaan koottua etäsyysmatrsn 0 1, 1,3 1, n,1 0,3, n D, (1) n1,1 n1, n1,3 n1, n n,1 n, n,3 0 oka on symmetrnen el, =,. Korrelaaton laskemseen tarvtaan velä tonen matrs, erotusmatrs 3
0 1, 1,3 1, n,1 0,3, n C, () n1,1 n 1, n 1,3 n 1, n n,1 n, n,3 0 oka on myös symmetrnen a onka alkot, ovat havantoen a erotuksen tsesarvoa el,. Alkona voaan käyttää myös erotuksen nelön puolkasta (, 0,5( ) ), ollon etäsyys-erotus paren kuvaaa vastaa varogrammplveä (katso luvut. a 3.1). Esmerkk varogrammplvestä on kuvassa 1. Kuva 1. Varogrammplv Noran ärven sulfaattptosuukssta vuonna 1981. Matrsen C a D ala- ta yläkolmoelementn etäsyys-erotus parelle (,,, ) saaaan laskettua Pearsonn korrelaatokerron. Jos tämä kerron on epätavallsen suur verrattuna sellasen korrelaatokertomen akaumaan, oka saaaan, os matrsn 4
C havannot ärestetään uuelleen sattumanvarasest, on kysymyksessä spataalsest autokorrelotunut ata. Manteln satunnastestssä akauma korrelaatokertomelle saaaan ärestämällä matrsn C alkot satunnasest tarpeeks monta kertaa. Testn nollahypotees on, että havannolla e ole spataalsta autokorrelaatota. Jos testn p-arvo alttaa ennalta päätetyn rsktason, nollahypotees hylätään, a toetaan atan olevan spataalsest autokorrelotunutta.. Varogramm Jos Y a Y ovat saman satunnasmuuttuan er pakossa mtattua arvoa, nen erotuksen nelön ootusarvo on E( Y Y ) ( Y ) ( Y )( Y Var( Y ) Cov( Y, Y ) Var( Y ). ) ( Y ) (3) Jos varanss on molemmssa pakossa, saaaan E( Y Y ) ( Cov( Y, Y )). (4) Korrelaato ( Y, Y ) Cov( Y, Y ) /, osta saaaan E( Y Y ) (1 ( Y, Y )). (5) Jos Y :n a Y :n korrelaato oletetaan rppuvaseks anoastaan nen välsestä etäsyyestä h, voaan yhtälö krottaa muotoon ( h) (1 ( h)). (6) Yhtälöä (6) sanotaan muuttuan Y varogrammks. Yhtälö (5) aetaan yleensä kahella, mstä ohtuen yhtälöä (6) kutsutaan myös semvarogrammks. Yleensä 5
myös varogrammlla tarkotetaan uur semvarogramma. Tässä työssä käytetään termä varogramm. Varogrammyhtälön pakkansaptävyyen eellytykset ovat muuttua Y:n ssänen statonaarsuus ( E ( Y ( s h) Y ( s)) 0 a Var( Y ( s h) Y ( s)) ( h) ), a että Y :n a Y :n korrelaato on rppuvanen anoastaan nen välsestä etäsyyestä h. Varogramm lmasee stä suuruutta, ota muuttuan havantoarvoen erot lähestyvät, kun havantoparen välmatka kasvaa (Manly 001, s. 43). Täten varogramm kuvalee spataalsen autokorrelaaton laatua. Koska spataalnen autokorrelaato yleensä penenee etäsyyen kasvaessa, varogrammyhtälöstä nähään, että varogramm lähestyy varanssa etäsyyen kasvaessa. Varogramm määrtetään havantoanestosta emprsest tasottamalla anesto sopvalla tavalla, esmerkks akamalla anesto etäsyysluokkn, a laskemalla varogrammestmaatt käyttäen kaavaa 0,5( y ˆ( h) y ) / N( h) (7), okaselle luokalle. Kaavassa h on luokkakeskus, N(h) on luokan havantoen lukumäärä a summaus käy läp kakk pstepart, oen välnen etäsyys kuuluu luokkaan. Saaut estmaatt plotataan luokkakeskuksa vastaan. Tämän älkeen emprseen varogrammn yrtetään sovttaa sopva funkto. Tavallsa varogrammmallea ovat Gaussn mall, pallofunkto- sekä eksponenttfunktomall. Mallt ovat muotoa ( h) ( S )(1 exp( 3h / a )) (Gaussn mall) 3 ( S )(1,5( h / a) 0,5( h / a) ), kun h a ( h), muullon (pallofunktomall) ( h) ( S )(1 exp( 3h / a)) (eksponenttfunktomall) 6
Kuva. Esmerkk emprsestä (pallot) a teoreettsesta (atkuva vva) varogrammsta. Kakssa mallessa tarkottaa vakotermä (nugget effet), oka saattaa esntyä, os hyvn lähekkän olevat havantoarvot eroavat tosstaan, S on kynnysarvo (sll), oka on kuvaaan maksmarvo, a a on vakutusalue (range of nfluene), oka määrtellään usen kohaks, ossa kuvaaan arvo on 95% kynnysarvon a vakotermn erotuksesta. Vakoterm vo ssältää myös varsnasta mttausvrhettä (Hanng 1990, s. 9), a osa geostatstssta ohelmstosta olettaa vakotermn nollaks, koska muuten varogramma vastaava kovaranssfunkto ols orgossa epäatkuva (Upton ym. 1985, s. 368). Esmerkk emprsestä varogrammsta a shen sovtetusta Gaussn mallsta on kuvassa..3 Krgng Varogramm kuvalee spataalsen autokorrelaaton laatua (Manly 001, s.45). Varogrammn avulla laskettua malla käytetään hyväks muun muassa er tyyppsssä geostatstkan analyysessa. Yks ylesmmstä on krgng, oka on nmetty menetelmän uranuurtaan D. G. Krgen mukaan (Manly 001, s. 48). 7
Kuva 3. Esmerkk Matlabn krgng-toolboxsta. Krgng on eräänlanen nterpolontprosess, onka avulla estmoaan muuttuan arvoa mttauspsteen välllä. Estmonnssa lasketaan lneaarkombnaato kaksta havannosta, a ongelmaks muoostuu panokertomen määrttämnen. Krgngmenetelmä on er tyyppsä, a Manly (001, s. 48-49) esttelee tavallsen krgngn vaheet: 1. Emprsen varogrammn laskemnen.. Useen teoreettsten varogrammmallen sovttamnen emprseen varogrammn, sopvmman malln valnta. 3. Varsnanen krgng-estmont. Tässä työssä e tehä erkseen krgng-estmonta ohtuen työn raauksesta sekä vaheessa esn tullesta ongelmsta. Esmerkk yhestä Internetstä laatusta Matlabn krgng-toolboxsta on kuvassa 3. 8
3 Spataalsen autokorrelaaton testaamnen Vuonna 197 alotettn noralanen tutkmusohelma, oka tutk happosateen vakutuksa Skannavassa. Tutkmukseen kuulu muun muassa happamuuen, sekä sulfaatt-, ntraatt- a kalsumptosuuksen mttaamnen erästä Noran ärvstä. (Manly 001, s. 7) Tässä työssä käytetään hyväks tutkmuksen tulokssta ärven sulfaattptosuusataa. Työssä yrtetään tutka, onko ärven sulfaattptosuus spataalsest korrelotunutta, el mustuttavatko tosaan lähellä oleven ärven sulfaattptosuuet enemmän tosaan, kun tosstaan kauempana oleven. 3.1 Autokorrelaaton testaamnen Mantel-testllä Manlyn (001, s. 8-9) krassa on taulukko Noran ärven sulfaattptosuukssta vuosna 1976, 1977, 1978 a 1981. Vuoen 1977 ata ätettn het tarkastelun ulkopuolelle selväst vähmpne havantoneen. Tarkotus ol ensks testata, mnä vuonna sulfaattptosuuen spataalnen autokorrelaato ol vomakkanta, a tutka tämän vuoen autokorrelaatota varogrammn avulla. Datalle tehtn Mantel-test Matlablla käyttäen hyväks Internetstä löytyvä valmks ohelmotua funktota. Test käyttää Matlabn Ranperm-funktota matrsn sekottamseen, a testessä matrst sekotettn 5000 kertaa. Etäsyysmatrsna käytettn havantopsteen euklsta etäsyyttä. Havantopsteen sannt ol annettu atassa ptuus- a leveysastena, mutta tästä ohtuva vrhe on muutaman asteen kokosella alueella huomaamaton. Yks ptuus- ta leveysaste vastaa kuuen esmaaln tarkkuuella 111,1 klometrä. Tonen vahtoehto ols käyttää etäsyyen mttana etäsyyksen käänteslukua (Manly 001, s. 30), varsnkn, os korrelaatota e havata etäsyyksen perusteella. Tässä työssä korrelaato ol kutenkn havattavssa o normaalesta etäsyyksstä. Erotusmatrsna käytettn sulfaattptosuuksen erotusta. 9
Vomakkan autokorrelaato ol vuoen 1981 atalla korrelaatokertomen arvon ollessa 0,38 (vuoen 1976 atalla kertomen arvo ol 0,30 a vuoen 1978 atalla 0,36). Kysesen korrelaatokertomen merktsevyystestn p-arvo ol myös penn (0,000), el testn tulos ol tlastollsest merktsevn. Mantel-test tehtn myös varogrammplveä vastaavalle erotusmatrslle, el matrslle, onka alkot, 0,5( ). Myös tämän testn korrelaatokerron (0,3) ol suurn a testn tulos tlastollsest merktsevn (p-arvo 0,000). Jatkoanalyys päätettn ss tehä vuoen 1981 sulfaattptosuuelle. Vuoen 1981 sulfaattptosuuksen varogrammplv on kuvassa 1. 3. Emprnen a teoreettnen varogramm Emprstä varogramma varten anesto aettn etäsyysluokkn sten, että okaseen luokkaan tul yhtä palon havantoa, ollon luokkaväln ptuus vahtel. Tonen vahtoehto ols ollut käyttää tasavälstä luoktusta, mutta usemmat valmt varogrammohelmat käyttävät tasavälstä luoktusta, a tässä työssä haluttn testata, mkä vakutus muuttuvaptuukssella luokkavälllä on varogrammn estmonnssa. Estmont suortettn Matlabssa. Emprsen varogrammn estmonnssa havattn heman yllättäen selvä lneaarnen tren. Myös luokkakoon muuttamnen vakutt huomattavast varogrammn muotoon, mkä näkyy kuvasta 4. Kuva 4. Emprset varogrammt 10 a 11 etäsyysluokalla. 10
Manly (001, s. 47) käyttää krassaan esmerkkä samalle atalle, a hän on saanut estmotua GEOPACK-ohelmalla kuvan 5 kaltasen hyvn käyttäytyvän Gaussn malln. Kuva 5. GEOPACK-ohelmalla estmout emprnen varogramm a Gaussn mall. Kuvan astekkoa tarkastelemalla huomaa, että mall ättää käyttämättä havannot lähes puolesta psteen maksmetäsyyestä. GEOPACK käyttää myös knteäptuukssa etäsyysluokka. Myös Matlablla saatn samanlasa estmonttuloksa, kun anestosta postettn kaumpana tosstaan olevat havannot. Jos estmonnssa pakott vakotermn nollaan, saatn koko anestoon sovtettua myös näennäsest sopva Gaussn mall, varsnkn, kun luokkakoko valttn sopvast. Vakotermn mukaan ottamnen näytt kutenkn, ette Gaussn mall ole sopvn. Parhaten anestoon sop eksponenttmall (kuva 6), oka näyttää lähes suoralta. 11
Tämän taka e olekaan hme, että kynnysarvo () a vakutusalue (a) ovat erttän suuret. Vakoterm (b) taas on lähes olematon. Kuva 6. Sulfaattptosuusanestoon sovtettu eksponenttmall 14 etäsyysluokalla. Krgng-estmonta e tässä työssä tehty työn raauksen taka. Varogrammn estmonnssa esn tulleet ongelmat vahvstavat kutenkn geostatstkan asantuntoenkn melpettä stä, että krgng on erttän palon kästyötä vaatva menetelmä. 1
4 Tulosten tarkastelu Tässä työssä käytn läp spataalsen autokorrelaaton testaamsta. Spataalnen autokorrelaato on havattavssa anestosta esmerkks Mantel-testn avulla. Korrelaaton luonnetta vo yrttää tarkastella varogrammn avulla. Varogramma taas vo käyttää hyväks krgng-estmonnssa. Työssä tutkttu anesto vakutt olevan selväst spataalsest autokorrelotunut. Lähekkän oleven ärven sulfaattptosuuet vakuttasvat ss mustuttavan tosaan. Anestosta estmotu varogramm e kutenkaan käyttäytynyt ootetust. Etäsyyen kasvaessa spataalsen autokorrelaaton tuls vähetä a varogrammn ptäs lähestyä varanssa. Tässä varogramm vakutt lneaarselta, mkä vttas estatonaarsuuteen (Hanng 1990, s. 97). Tämä rkkoo yhen varogrammyhtälön pakkansaptävyyen perusoletuksen, ssäsen statonaarsuuen. Nän ollen aneston spataalsta autokorrelaatota tuls ehkä yrttää tulkta ollan muulla tavon. Varogrammn määrttämnen e ole ss nn yksnkertasta, kun shen lttyvä teora antaa ymmärtää. Jos varogramma käytetään hyväks esmerkks krgngssä, vovat tulokset vahella suurestkn rppuen stä, mten emprnen a teoreettnen varogramm määrtellään. Emprstä varogramma määrtellessä kannattaa kokella useta er etäsyysluokka, sekä knteäptuuksslle että muuttuvaptuuksslle etäsyysluoklle. Geostatstkassa varogramm- a krgng-menetelmä on kutenkn käytetty palon, a parhammllaan nstä vo olla suurtakn hyötyä. Tutkmusten tuloksn kannattaa ss suhtautua varauksella. Kutenkn, os hekkokn mall tom käytännössä, kannattaa stä tetenkn käyttää apuna. Käytännön tutkmuksen vaatvn ongelma onkn terveen ären käyttämnen, sllä lähes kakkn ongelmn on o kehtetty valmta mallea, mutta nen käyttökelposuuesta varmstumnen a okea soveltamnen on oma ongelmansa. 13
Läheluettelo Hanng, R. 1990. Spatal ata analyss n the soal an envronmental senes. Cambrge, Cambrge Unversty Press. 409 s. Manly, B. F. J. 001. Statsts for Envronmental Sene an Management. Boa Raton, Chapman & Hall. 36 s. Nyqvst, T. 00. Atlastyyppsen aneston luokttelu a luokttelumenetelmen vertalu. Pro grau tutkelma. Helsnk, Helsngn ylopsto, Tetoenkästtelyteteen latos. 55 s. Upton, G. & Fngleton, B. 1985. Spatal Data Analyss by Example, Volume 1: Pont Pattern an Quanttatve Data. Norwh, John Wley & Sons Lt. 410 s. Vrkkala, R., Korhonen, K. T., Haapanen, R. & Aapala, K. 000. Metsen a soen suoelutlanne metsä- a suokasvllsuusvyöhykkettän valtakunnan metsen 8. nventonnn perusteella. Helsnk, Suomen ympärstökeskus & Metsäntutkmuslatos, Suomen ympärstö, luonto a luonnonvarat 395. 5 s. Vrrantaus, K. 001. Johantoa GIS Analyss opntoaksolle. http://www.hut.f/unts/cartography/ourses/fall001/maa-1340.htm. Otettu 17.9.003. 14