4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään lkemäärä (mpulssmomentteja) energaa ja mahdollsest myös massoja Vuorovakutusten välttäjnä tomvat kappaleden välset vomat Kun kappaleet törmäävät ne vakuttavat tosnsa yhtäsuurlla vastakkassuuntaslla vomlla Tällasa systeemn osen välllä vakuttava kesknäsä voma kutsutaan systeemn ssäsks vomks Varsn usen ssäset vomat ovat konservatvsa ts systeemn tehty työ varastotuu shen kokonasuudessaan Energaa e ss hävä esm ktkan vottamseen Erstetyks systeemks sanotaan systeemä jossa ulkosten vomen summa ja ulkosten momentten summa ovat nolla Erstetyssä systeemssä ovat vomassa 1) lkemäärän sälymslak m v = p = vako (1) ) mpulssmomentn sälymslak r m v = L = vako () 3) tsesenergan sälymslak E k + E p = 1 m v + Epj j = vako (3) mssä E k on systeemn kokonaslke-energa ja E p on ssänen potentaalenerga E pj on systeemn ssäsestä potentaalenergasta E p se osa joka lttyy kappaleeseen ja aheutuu kappaleen j synnyttämästä vomasta Sälymslak pätee konservatvsten vomen tapauksessa Ktkavomsta ja törmäyksssä tapahtuvsta muodonmuutokssta johtuen lak (3) on harvon vomassa makroskooppsten kappaleden törmäyksssä Tavaankappaleden lkettä tarkasteltaessa (jos kappaleet evät törmää tosnsa) lak on tärkeä Ilmatyynyradalla sopva kmmosa massoja käytettäessä se on lkman vomassa Vuorovakutustapahtumen analysont perustuu yllämanttuhn kolmeen sälymslakn Systeemn ollessa erstetty ovat lat (1) ja () ana vomassa mutta (3):n vomassaoloa rajottaa konservatvsuusehto Näden laken avulla vodaan tutka mm kappaleden lkeratoja lkeenergan muutoksa ja muodonmuutoksn kuluvan energan määrää Tässä laboratorotyössä tutktaan sälymslaken pätevyyttä kahden kappaleen törmäyksessä
4 Kahden kappaleen vuorovakutukset Tarkastellaan kahden kappaleen törmäystä laboratorokoordnaatstossa (laboratoroon sdottu havatsjaan nähden levossa oleva koordnaatsto) Sälymslat vodaan tällön esttää seuraavast (kuva 1): Lkemäärän sälymnen m 1 v 1 + m v = m 1 v 1 + m v (4) Impulssmomentn sälymnen r 1 m 1 v 1 + r m v + L 1 + L = r 1 m 1 v 1 + r m v + L 1 + L (5) Yhtälössä (5) termt L johtuvat kappaleen mahdollsesta pyörmsestä massakeskpsteen kautta kulkevan akseln suhteen Penkokoslla kappalella ta kappaleden pyörmsen ollessa hdasta nämä termt vodaan jättää pos Itsesenergan sälymnen E k + E p = E k + E p (6) mssä E k = 1 m 1v 1 + 1 m v = p 1 + p m 1 m (7) ja E k = 1 m 1 v 1 + 1 m v = p 1 + p m 1 m (8) Kuva 1: Kahden kappaleen törmäys laboratorokoordnaatstossa
Yhtälössä (4)-(6) on otettu huomoon että kappaleden massat vovat muuttua törmäyksessä Usen on yksnkertasempaa analysoda vuorovakutuksa sellasessa koordnaatstossa jonka orgo yhtyy systeemn massakeskpsteeseen Tämän massakeskpstekoordnaatston orgo ss yleensä lkkuu havatsjaan nähden Massakeskpsteen määrtelmä vodaan krjottaa kahden kappaleen tapauksessa muodossa r CM = m 1 r 1 + m r m 1 + m (9) Dervomalla tätä saadaan nopeuksa koskeva yhtälö v CM = m 1 v 1 + m v m 1 + m (10) Lkemäärän sälymslasta seuraa edelleen v CM = m 1 v 1 + m v = m 1 v 1 + m v = v m 1 + m m 1 + m CM (11) mkäl kokonasmassa sälyy törmäyksessä el m 1 + m = M = m 1 + m (1) Yhtälön (11) mukaan ss erstetyssä systeemssä tapahtuvassa törmäyksessä massakeskpsteen nopeus sälyy Tämä on suora seuraus lkemäärän sälymslasta mutta sen pätevyysalue rajottuu epärelatvstsn tapauksn Jos massojen nopeudet ovat lähellä valon nopeutta massa rppuu nopeudesta ekä massakeskpstettä ja sen lkettä voda tarkastella kuten yhtälössä (9)-(1) on tehty Massakeskpstekoordnaatstossa vodaan myös krjottaa m 1 v 1CM = m v CM (13) mssä kappaleden nopeudet on lausuttu massakeskpsteen suhteen Lke-energalle saadaan E k = 1 m 1 v 1CM + 1 m v CM + 1 m 1 + m ( )v CM (14) el tosn krjotettuna E k = E kcm + 1 Mv CM (15)
Tässä E kcm on systeemn lke-energa massakeskpsteeseen nähden ja stä kutsutaan ssäseks lke-energaks Suuretta E ss E ss = E kcm + E p (16) mssä E p on systeemn ssänen potentaalenerga kutsutaan systeemn ssäseks energaks Yhtälö (6) on tetyst vomassa myös ssäselle energalle: E kcm + E p = E kcm + E p (17) jos systeem on erstetty ja ssäset vomat ovat konservatvsa 43 Vuorovakutuksen Q-arvo ja sysäyskerron Vuorovakutuksen el tässä tapauksessa törmäyksen Q-arvo määrtellään törmäyksen jälkesen ja stä edeltävän lke-energan erotuksena Q = E k E k (18) Jos ssäset vomat ovat konservatvsa saadaan Q = E k E k = E p E p (19) mssä jälkmmänen yhtäsuuruus seuraa yhtälöstä (6) Yhtälö (18) vodaan krjottaa kahden kappaleen tapauksessa myös muotoon p 1 + p = p 1 + p + Q m 1 m m 1 m (0) Jos Q = 0 kyseessä on elastnen el täysn kmmosa törmäys ja jos Q? 0 kyseessä on epäelastnen törmäys Makroskooppsten kappaleden törmätessä on kosketuskohta havattavssa Kosketuskohtaan prretty kappaleden yhtesen tangentttason normaal on nmeltään sysäyssuora Jos sysäyssuora kulkee kummankn kappaleen massakeskpsteen kautta sysäystä kutsutaan keskeseks sysäykseks Jos kappaleden nopeusvektort yhtyvät sysäyssuoraan sysäystä kutsutaan suoraks sysäykseks Jos sysäyssuora otetaan x-akselks vodaan määrtellä sysäyskerron e seuraavast: e = v 1x v x v 1x v x (1)
mssä alandeks x tarkottaa x-komponentta Suorassa keskesessä sysäyksessä vodaan Q- arvo lausua muodossa Q = 1 ( 1 ) m e 1 m ( v 1 v ) m 1 + m () Kmmosassa törmäyksessä Q = 0 jollon e = 1 Jos massat törmäyksen jälkeen lkkuvat tosnsa takertunena puhutaan plastsesta törmäyksestä jollon e = 0 44 Mttaukset Laboratorotyössä tutktaan kahden kappaleen törmäystä lmatyynypöydällä Kappalesn on knntetty lähettmet joden pakka vodaan määrätä tetokoneeseen yhdstetyllä pakannuslattestolla Törmäystapahtumasta saadaan kuva tetokoneen näytölle ja mtattujen pakkatetojen avulla tutktaan lkemäärän ja kneettsen energan sälymstä törmäyksessä Lsäks tutktaan massakeskpsteen lkettä ennen ja jälkeen törmäyksen sekä lasketaan törmäyksen Q- arvo ja sysäyskerron