8 USEAN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN VAIMENEMATON PAKKOVÄRÄHTELY

Transkriptio

1 Värähelymeaa 8. 8 USEAN VAPAUSASEEN SYSEEMIN VAIMENEMAON PAKKOVÄRÄHELY 8. Normaalmuoomeeelmä Usea vapausasee syseem leyhälöde (7.) raaseme vaa aava (7.7) a (7.8) homogeese yhälö ylese raasu { } lsäs paovomaveora { F } vasaava ysysraasu { } p uemsa. Jossa ysäsapausssa, ue harmoselle paovomaveorlle, vodaa ysysraasu arvaa. Yleses ämä e osu, joe arvaa ehoaampa meeelmä. Paovomaveor luoe vauaa ysysraasu löyämsee, mua o selvää, eä leyhälöde yeä haaloaa laea. Eräs mahdollsuus leyhälöde (7.) raasemses o ormaalmuoomeeelmä, joa peraaee eseää seuraavassa. Perusajaus ul eslle aava (7.5) yheydessä, joa muaa syseem la vodaa esää omasmuooje leaarsea yhdselmää. Normaalmuoomeeelmässä syseem la uvaamsee valaa uude oordaa,,,..., se, eä oordaa lmasee, mllä osuudella omasmuoo { } o muaa syseem lassa. Osoauuu velä, eä oordaa,,,..., ova pääoordaa el de avulla lausuu leyhälö evä ssällä saasa evää dyaamsa yeää. Normaalmuoomeeelmässä lähöohaa ova syseem leyhälö ja aluehdo L avulla el lausuua melvalase oordaae { } { } [ M ]{& } [ K]{ } { F} { () } { } { () & } { & } + (8.) Alus raasaa omasulmaaajuude,,,..., araerssesa yhälösä de ([ K] [ M] ) (8.) joa jälee laseaa ormeerau omasmuodo { },,,..., ([ K] [ M] ){ } { },,,..., yhälösä (8.) Jos syseemllä o moerasa omasulmaaajuusa, valaa ä vasaamaa omasmuodo, joa oeuava orogoaalsuusehdo u { } [ M]{ } { } [ K]{ } (8.4) () s () s j j j. Muodoseaa modaalmars [ Φ ], joa pysyrv ova omasveor Usea vapausasee syseem vameemao paovärähely Ma Läheemä

2 Värähelymeaa 8. [ ] [ ] { } { } L { } Φ (8.5) Määrellää pääoordaa { } { L } yhälöllä { } { } + { } + + { } [ Φ ]{ } L (8.6) Muueaa leyhälö (8.) pääoordaasoo sjoamalla { } aavasa (8.6) ja eromalla saaua yhälöä vasemmala marslla [ Φ [ Φ ] [ M][ Φ ]{ & } + [ Φ ] [ K] [ Φ ] { } [ Φ ] { F } Krjoeaa yhälö (8.7) muooo [ M ~ ]{ & } + [ K ~ ]{ } { F ~ } ], jollo seuraa & (8.7) & (8.8) jossa o äyey meröjä [ M ~ ] [ Φ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] { } M Φ K ~ Φ K Φ F ~ [ Φ ] { F} (8.9) modaalvomave- [ M ~ ] o modaalmassamars, [ K ~ ] modaaljäyyysmars ja { F ~ } or. Omasmuooje orogoaalsuudesa (8.4) seuraa, eä [ M ~ ] ja [ ] K ~ ova lävsäjämarseja, jode lävsäjäaloa ova modaalmassa { } [ M]{ } K { } [ K]{ } M ja modaaljäyyyde M (8.) K Leyhälö (8.8) ova au rjoeua muooa M && + K L M && + K L M && + K F ~ F ~ F ~ (8.) Jaamalla yhälö (8.) puola modaalmassolla ja oamalla lsäs huomoo yhälö (7.4) saadaa Usea vapausasee syseem vameemao paovärähely Ma Läheemä

3 Värähelymeaa 8. && + L && + L && + F ~ /M F ~ /M F ~ /M (8.) Ku uemao oordaa vodaa raasa omasa yhälösää, sllä yhälöde (8.) välllä e ole yeää. Ryhmä (8.) yhälö ova ose eraluvu avallsa dffereaalyhälöä. yypllse yhälö & & + F ~ / M (8.) raasu vodaa esää muodossa + (8.4) h p p äydellse yhälö ys- jossa h o homogeese yhälö ylee raasu ja ysraasu. ueus o vomassa D s + E cos (8.5) h Ysysraasu p esmsee vodaa sovelaa aa avallse dffereaalyhälöde eora yheydessä eseyjä meeelmä, ue esmers Duhamel egraala. Vao D ja E saadaa aluehdosa (8.), joa o velä muueava pääoordaasoo. Kaava (8.6) peruseella saadaa { ()} { } [ Φ ]{ () } { () & } { & } [ Φ] { &()} (8.6) Keromalla ämä yhälö puola vasemmala marslla [ ] [ M] [ Φ ] [ ]{ } [ ]{ () } [ Φ ] [ ]{ } [ ]{ & ()} M M ~ M Φ saadaa ulose & M ~ (8.7) Kosa [ M ~ ] o lävsäjämars, saadaa pääoordaae aluehdos ( ) { } [ M]{ } & () { } [ M]{ & },,,..., (8.8) M M Ku pääoordaa oordaaeh. ueaa, aava (8.6) avulla vodaa palaa aluperäs Usea vapausasee syseem vameemao paovärähely Ma Läheemä

4 Värähelymeaa Harmoe paovomaveor arasellaa harmosa paovomaveora vasaavaa ysysraasua. Kuormusveora o ällö { F } { F } s (8.9) jossa { F } o vaoveor. Modaalvomaveors ulee ässä apausessa { } [ Φ ] { F } s F ~ (8.) Veor { F ~ } yyplle ompoe o F ~ { } { F } s P s (8.) jollo o mery { } { F } P. Koordaaa vasaava leyhälö o ss P & + s (8.) M joa ysysraasu o apausssa p P P Y s s s (8.) M K ( / ) 8.. Esmer Kahde vapausasee vameemaoma paovärähely leyhälö ova muooa m m m m && && + F () F () (8.4) F Leyhälöde raasemsessa arvaa syseem aluehdo el o ueava aluasema () ja () seä aluopeude & () ja & (). Kuva 8. Esmer. arasellaa leyhälöde (8.4) raasemsa uva 8. ahde va- Usea vapausasee syseem vameemao paovärähely Ma Läheemä

5 Värähelymeaa 8.5 pausasee jous-massa syseem apausessa, u uormusea o harmoe paovomaveor { F() } { F } s Syseem leyhälös ulee m && F s m + && Raasaa alus omasulmaaajuude ja -muodo. Yhälösä m m seuraa araerse yhälö m ( m )( m ) m m ( ) 7m( ) + 5 m 5 m Amplude yhälöpar osesa yhälösä seuraa + ( m ) m,5 5. Ne o es- Omasveor ova ä olle { } A{ } ja { } A {,5 } ey uvassa 8., u A. Muodoseaa syseem modaalmars [ ] A joa pysyrv ova ormeerau omasmuodo el { } { } jossa { } { } ja { } { } Kuva 8. Omasveor.,5 [ Φ ] Φ, jossa o valu A A. Määrellää pääoordaa ja yhälöllä { } [ Φ ] { }. Pääoordaa määrelevä yhälö o ss Usea vapausasee syseem vameemao paovärähely Ma Läheemä

6 Värähelymeaa 8.6,5 +,5 Modaalvomaveors saadaa F F { } s s F ~,5 F joe aava (8.) P F ja P F. Laseaa modaalmassa ja -jäyyyde m m { } [ M]{ } { } m M m m,5 { } [ M]{ } {,5 } m M { } [ K]{ } { } K,5 { } [ K]{ } {,5 } 5 / 4 K Leyhälö pääoordaasossa ova aava (8.) peruseella F F & + s & + s m m Raasu pääoordaasossa o aavoje (8.4), (8.5) ja (8.) muases h h + p + p D s + E cos + Y s D s + E cos + Y s jossa D ja E seä D ja E ova aluehdosa saaava vaoa ja Y F ( / ) ( / ) Y 4F /5 Oloo aluehdo { } { } ja { & } { }, el syseem o aluheellä levossa asapaoasemassaa. Pääoordaae aluehdos ulee ällö aavasa (8.8) ( ) () & () & () Usea vapausasee syseem vameemao paovärähely Ma Läheemä

7 Värähelymeaa 8.7 Esmmäsesä ja osesa aluehdosa seuraa E ja E, joe & D cos + Y cos & D cos + Y cos Kolmaesa ja eljäesä aluehdosa seuraa D Y ja D Y, joe Y s + Y s Y s + Y s Aluperäse oordaae raasu saadaa aava (8.6) muuosella el + Y s Y s +,5 Y s +,5 Y s ( Y + Y ) + s ( Y,5 Y ) s jossa vmese erm edusava paovärähelyjä ja de amplud ja ova F / ( / ) ( / ) ( / ) ( / ) + 4F /5 F / F /5 Kuvassa 8. o esey ormeerau amplud f / F ja f / F aajuussuhee r / fuoa. Käyrä lähesyvä ääreöä resoassohdssa 5 ja, 58, jossa ysysraasu evä ole vomassa. Nähdää, eä heräevoma ulmaaajuude ollessa lähellä joa syseem omasulmaaajuua o syyvällä paovärähelyllä hyv suur amplud. f r f r r r Kuva 8. Ysysraasu. Usea vapausasee syseem vameemao paovärähely Ma Läheemä

8 Värähelymeaa 8.8 Usea vapausasee syseem vameemao paovärähely Ma Läheemä 8.. Esmer arasellaa ohda 7.. esmer jous-massa syseemä paramere arvolla g m ja m N/, u syseem vauaa harmoe paovomaveor { } { } s F F, jossa s rad/ ja N F. Omasulmaaajuuss ja modaalmarss saadaa svu 7.5 ja 7.6 ulose peruseella s rad 8,478 s rad 4,4 s rad,654 7 [ ] Φ joe pääoordaa määrelevä yhälö o { } [ ]{ } ( ) Φ Modaalvomaveors saadaa { } [ ] { } ) s( 4,4 4,4 s( ) F F ~ Φ joe N 4,4 P, P ja N P 4,4. Laseaa modaalmassa ja -jäyyyde { } g 4 M { } g M { } g 4 M

9 Värähelymeaa 8.9 K { } 4N/ m { } 4N/ m K K { } 657N/ m Leyhälö pääoordaasossa ova aava (8.) muaa (ysö o jäey pos) && && && + 58,579 +, + 4,4,555 s( ),555 s( ) Raasu pääoordaasossa saadaa aavosa (8.4), (8.5) ja (8.) ja se o D s(7,654 ) + E cos(7,654 ),8555 s( ) D D s(4,4 ) + E s(8,478 ) + E cos(4,4 ) cos(8,478 ),4645 s( ) Oloo syseem aluehdo { } {,m } { & } { } ällö aavasa (8.8) seuraa pääoordaae aluehdos () { },,555m 4 & () () { }, & () () { },,555 m 4 & () Usea vapausasee syseem vameemao paovärähely Ma Läheemä

10 Värähelymeaa 8. Aseme aluehdosa seuraa ( ) E,555 m () E () E,555 m Nopeuse lausees ulee dervomalla & & & 7,654 D cos(7,654 ) 7,654 E s(7,654 ),8555 cos( ) 4,4 D 8,478 D cos(4,4 ) 4,4 E cos(8,478 ) 8,478 E s(4,4 ) s(8,478 ),4645 cos( ) Nopeuse aluehdosa seuraa & ( ) 7,654 D,8555 D,5 m & ( ) 4,4 D D & ( ) 8,478 D,4645 D,7956 m Sjoamalla laseu vao leyhälöde raasuu saadaa ulose,5 s(7,654 ) +,555 cos(7,654 ),8555 s( ),7956 s(8,478 ),555 cos(8,478 ),4645 s( ) Aluperäse oordaa { } saadaa aavasa { } [ Φ] { } () + + el,5 s(7,654 ) +,555 cos(7,654 ) +,7956 s(8,478 ),555 cos(8,478 ), s( ) () ( ),577 s(7,654 ) +,5 cos(7,654 ),9 s(8,478 ) +,5 cos(8,478 ), s( ) () +,5 s(7,654 ) +,555 cos(7,654 ) +,7956 s(8,478 ),555 cos(8,478 ), s( ) Kuvassa 8.4 o esey sryme uvaaja aavälllä [, ] s. Usea vapausasee syseem vameemao paovärähely Ma Läheemä

11 Värähelymeaa 8. () () () Kuva 8.4 Sryme vahelu. 8. Värähely absorbo m m m ( ) m ( ) & & & & F() F s arasellaa paovärähely sovellusea uva 8.5 vameamaoa ahde vapausasee syseemä, jossa alempaa massaa m vauaa harmoe paovoma F() F s. Syseem leyhälös saadaa uva 8.5 vapaaappaleuvsa Newo laa äyämällä Kuva 8.5 Absorbo. Usea vapausasee syseem vameemao paovärähely Ma Läheemä

12 Värähelymeaa 8. m & + ( + ) m && + F s (8.5) Esää leyhälöde paovomaa vasaavaa ysysraasua muodossa () s () s (8.6) jollo hyvyyde ova & () s & () s (8.7) Sjoeaa ysysraasu leyhälöryhmää, josa seura ulos m m s + ( s + ) s s + s s F s (8.8) Kaavasa (8.8) seuraa amplude ja raasemsee yhälöpar ( + m ) + ( m ) F (8.9) Oeaa äyöö merä s / m ja s / m. ällö yhälöpar (8.9) osesa yhälösä seuraa ulos [ ( / s ) ] (8.) Sjoamalla ulos (8.) yhälöpar (8.9) osee yhälöö saadaa ( + m ) [ ( / s ) ] {[ + / ( / s) ][ ( / s ) ] / } F / F (8.) josa raeaa massa m ampludlle lausee [ + / ( / s) ] ( / s ) F / [ ] / (8.) Massa m ampluds saadaa aavasa (8.) Usea vapausasee syseem vameemao paovärähely Ma Läheemä

13 Värähelymeaa 8. [ ( / s ) ] F / [ + / ( / s) ] ( / s ) [ ] / (8.) Kaavasa (8.) äyy, eä massa m paovärähely amplud saadaa ollas valsemalla s / m se, eä ( / s ) (8.4) ällö syseem osa, m om häröaajuua vasaavaa massa m värähely absorbojaa. Kaavasa (8.4) seuraa häröaajuua vasaavas absorboja vrysehdos / m (8.5) Absorbolaea vasaavas massa m ampluds ulee aavasa (8.) F (8.6) / Absorbojaa suuelaessa o oeava huomoo amplud sallu arvo. Massaa m vauava jousvoma amplud o F. Absorboja oma perusuu ä olle she, eä sä aheuuu massaa m härövoma assa yhä suur, mua vasaassuuae voma. Usea vapausasee syseem vameemao paovärähely Ma Läheemä