Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!

Transkriptio

1 6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata hiukkasena, joka ei esim. lähde pyörimisliikkeeseen tai muuta muotoaan, ja voima on vakiosuuruinen, työ määritellään voima- ja siirtymävektorien skalaaritulon avulla W = F s (6.3) Kahden vektorin skalaaritulo (pistetulo) taas määritellään A B = AB cos = A x B x + A y B y + A z B z missä A ja B ovat vektorien A = (A x, A y, A z ) ja B = (B x, B y, B z ) pituudet ja φ niiden välinen kulma Jos voima F ja siirtymä s ovat samaan suuntaan, φ = 0 ja W = Fs (6.1) Kun voima ja siirtymä eivät ole samansuuntaisia: W = Fscos (6.2) Työtä tekee vain voiman komponentti siirtymän suuntaan: F? = F sin Voiman siirtymää vastaan kohtisuora komponentti EI tee työtä Se, että siirtymä on eri suuntaan kuin voima F, kertoo, että myös muita voimia vaikuttaa kappaleeseen. W on tässä nimenomaan voiman F tekemä työ Työn yksikkö on joule, [W] = J = N m = kg m / s 2 m = kg m 2 / s 2 F k = F cos 1

2 Voiman tekemä työ voi saada positiivisia arvoja, olla nollan suuruinen ja saada myös negatiivisia arvoja, riippuen siitä, onko voiman komponentti F siirtymän s suuntaan positiivinen, nolla vai negatiivinen 2

3 Kuvan kohdassa (a) painonnostajan käsien painoihin kohdistama voima F hb tekee negatiivista työtä, kun hän antaa painojen laskeutua hallitusti maahan Newton III: Painojen painonnostajan käsiin kohdistama voima F bh on yhtä suuri, mutta vastakkaismerkkinen: F bh = F hb Voima F bh on siirtymän suuntainen ja tekee positiivista työtä Koska voimat ovat yhtä suuria, mutta vastakkaismerkkisiä, ja siirtymä on sama s molemmille voimille, niiden tekemät työt ovat myös yhtä suuria, mutta vastakkaismerkkisiä: W bh = W hb Voimalaskuissa on tärkeää miettiä tarkkaan mikä voima tekee työtä, ja mihin kappaleeseen se kohdistuu! Usein yhtä aikaa vaikuttavia voimia enemmän kuin yksi 3

4 6.2 Kineettinen energia sekä työn ja energian yhteys Olemme nähneet, että kappaleeseen tehdyllä kokonaistyöllä W tot on yhteys kappaleen siirtymään. Kappaleeseen tehty kokonaistyö vaikuttaa myös kappaleen vauhtiin Kun kokonaisvoima on liikkeen suuntaan ja siten W tot > 0, vauhti kasvaa Kun kokonaisvoima on liikettä vastaan ja siten W tot < 0, vauhti laskee Tarkastellaan m-massaista kappaletta, johon vaikuttaa vakiosuuruinen nettovoima F positiivisen x-aks. suuntaan Newton II: F = ma x Kappale on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä siirtyessään paikasta paikkaan x 2 : vx 2 = v0x 2 +2a x (x x 0 ) 2 3 v x! v 2 4 v 0x! v 1 5 ) v2 2 = v1 2 +2a x s x x 0! x 2 = s ) a x = 1 2 v 2 2 v 2 1 s m, ma x = m v2 2 v1 2 F 2 s, W tot = Fs = mv2 2 2 mv2 1 4

5 Määritellään kappaleen kineettinen energia Nähdään siis, että kappaleelle tehty kokonaistyö on yhtä suuri kuin kappaleen kineettisen energian muutos: Kun kappaleelle tehty kokonaistyö W tot > 0, on kineettisen energian muutos ΔK > 0 eli K 2 > K 1 ja kappaleen vauhti kasvaa Kun kappaleelle tehty kokonaistyö W tot < 0, on kineettisen energian muutos ΔK < 0 eli K 2 < K 1 ja kappaleen vauhti laskee Kineettinen energia on skalaarisuure, kuten työkin K ei riipu nopeuden v suunnasta, vaan vain nopeuden itseisarvosta eli vauhdista v Kineettisen energian yksikkö on sama kuin työn, eli joule Yhtälö (6.6) on voimassa kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa K = 1 2 mv2 (6.5) W tot = K = K 2 K 1 (6.6) 5

6 Edellisen esimerkin perusteella nähtiin kaksi asiaa: (1) kappaleen kineettinen energia on yhtä suuri kuin kokonaistyö, joka on tarvittu kappaleen kiihdyttämiseen levosta sen nykyiseen vauhtiin W tot = K 0=K (2) kappaleen kineettinen energia on yhtä suuri kuin kappaleen kyky tehdä työtä samalla kun kappale palaa lepotilaansa 6

7 Jos tarkasteltava systeemi on monimutkainen, sitä ei voi esittää yhtenä hiukkasena vaan monesta osasesta koostuvana, sisäisiä vuorovaikutuksia omaavana systeeminä Esim. poika seisoo rullaluistimilla kitkattomalla lattialla ja työntää käsillään seinää voimalla -F Seinän reaktiovoima F kohdistuu käsiin, mutta ei tee työtä, koska käsien siirtymä on nolla Poika liikkuu kuitenkin kuvassa oikealle; hänen vartalonsa saama liike-energia on peräisin eri ruumiinosien välisistä vuorovaikutuksista: käsien lihasten tekemä työ lisää vartalon liike-energiaa Poikaa ei voida käsitellä yhtenä hiukkasena vaan sisäistä rakennetta (kädet, vartalo, ) omaavana systeeminä Tällaisen systeemin liike-energia voi muuttua, vaikka ulkoisten voimien tekemä työ siihen olisi nolla 6.3 Työ ja energia, kun voimat eivät ole vakiosuuruisia Esim. tasapainopituudestaan venytetyn jousen sen päähän kiinnitettyyn kappaleeseen kohdistama voima on likimain verrannollinen venymän suuruuteen Jousen voima ei siis ole vakiosuuruinen venymän funktiona Tarkastellaan kappaletta, joka siirtyy x-akselilla paikasta paikkaan x 2 ja johon vaikuttaa suuruudeltaan muutttuva voima F x Jaetaan x-akseli lyhyisiin tarkasteluväleihin Δx a, Δx b,, joiden sisällä funktio F x (x) on kulloinkin likimain vakio F xa, F xb,... Voiman kappaleeseen tekemä työ saadaan siis tarkasteluväleillä tehtyjen töiden summana W = F ax x a + F bx x b +... ) W tot = F x dx (6.7) 7

8 Nähdään, että F x (x)-kuvaajan alle jäävä pinta-ala vastaa kokonaistyötä Erikoistapaus: vakiosuuruinen voima: (kuten aiemminkin) W = F x dx = F x dx = F x (x 2 x1 x1 )=F x s Venytetty jousi, jonka poikkeama tasapainopituudesta on x, kohdistaa päähänsä kiinnitettyyn kappaleeseen voiman kx. Venymän ylläpitämiseksi jousen päähän tulee kohdistaa vastavoima F x = kx (6.8) Tässä approksimatiivisessa Hooken laissa k on jousen voimavakio (jousivakio), jonka yksikkö [k] = N / m Lasketaan jousen venyttämisessä poikkeamien x=0 ja x=x välillä tehtävä työ: W = Z X 0 Z X apple 1 F x dx = k xdx= k 0 2 x2 X 0 = 1 2 kx2 (6.9) Työ, jos jousi oli alun perin venytetty siirtymään : W = apple 1 F x dx = k 2 x2 = 1 2 kx2 2 Saadaan graafisesti kahden kolmion pinta-alojen erotuksena ( iso-pieni ) x kx2 1 Laskettu työ on setyö, jonka ulkoinen voima tekee jousen venyttämiseksi. Jousen tekemä työ samassa tilanteessa on vastakkaismerkkinen, koska jousi kohdistaa kuormaansa voiman F x Kun jousta puristetaan venyttämisen sijaan, x < 0 ja jousen voima suuntautuu +x akselin suuntaan (pyrkii palauttamaan tasapainopituuden) Puristamiseen tarvittava ulkoinen voima F x < 0 ja sen jouseen tekemä työ on taas positiivinen (siirtymä ja voima samaan eli negatiivisen x-akselin suuntaan) 8

9 Mikä on kappaleeseen tehdyn työn ja kineettisen energian yhteys, kun voiman suuruus riippuu paikasta? Kiihtyvyys, kun käytetään derivoinnin ketjusääntöä: a x = dv x dt = dv x dx Lasketaan nettovoiman F x tekemä kokonaistyö W tot = F x dx = ma x dx = m dx dt {z} ) W tot = mv2 2 2 mv2 1 Saatiin täsmälleen sama tulos kuin vakiosuuruisenkin voiman tapauksessa [yhtälö (6.6)]! =v x = v x dv x dx Sekä vakiosuuruisen että paikan mukana vaihtelevan voiman tekemä työ saadaan siis tarkasteluvälin päissä laskettujen kineettisten energioiden erotuksena v x dv x dx dx = m Z v2 v 1 (6.11) apple 1 v x dv x = m 2 v2 x v 2 v 1 9

10 10